线段垂直的性质和判定

教学内容 直线、平面垂直的判定与性质

教学目标 掌握线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理

重点 线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理

难点 线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理

教学准备

教

学

过

程

直线、平面垂直的判定与性质

知 识 梳 理

1．直线与平面垂直

(1)定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．

(2)判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α.

(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.

2．平面与平面垂直

(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

(2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.

(3)性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒a⊥β.

3．直线与平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．

(2)线面角θ的范围：θ∈0，π2.

教

学

效

果

分

析

教

学

过

程

辨 析 感 悟

1．对线面垂直的理解

(1)直线a，b，c；若a⊥b，b⊥c，则a∥c.( )

(2)直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.( )

(3)(2013·浙江卷，4C)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.( )

(4)(2013·广东卷，8D)设l为直线，α，β是两个不同的平面，若α⊥β，l∥α，则l⊥β.( )

2．对面面垂直的理解

(5)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( )

(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( )

垂直线的性质与判定

直线是几何中最基本的图形之一，而垂直线是直线之中的一种特殊情况。垂直线的性质和判定方法在几何学中有着重要的作用和应用。本文将从垂直线的定义、性质和判定方法等方面进行论述，旨在加深对垂直线的理解和运用。

一、垂直线的定义

垂直线是指两条直线之间的相对方向关系，即两条直线在某个点处相交，且相交角度为90度。垂直线通常被表示为“⊥”符号，例如A⊥B，表示A与B两条直线垂直。

二、垂直线的性质

1. 两条垂直线的斜率乘积为-1：在笛卡尔坐标系中，设直线A的斜率为k1，直线B的斜率为k2，则满足k1 * k2 = -1时，可以判定直线A与直线B垂直。这是垂直线性质的一个重要推论，可以方便地判断两条直线是否垂直。

2. 垂直线的线段长相等：如果两条垂直线分别与一条水平线相交，并且线段长度相等，那么可以判定这两条直线互相垂直。这个性质可以通过实际测量线段长来判断垂直线的存在，特别适用于工程测量和建筑设计等领域。

3. 垂直线与水平线相互垂直：根据几何学基本原理，垂直线与水平线之间的夹角为90度，即互相垂直。这个性质可以方便地判断一条直线是否与水平线垂直，从而进一步判定直线的性质。 三、垂直线的判定方法

1. 斜率判定法：如前所述，两条垂直线的斜率乘积为-1。因此，通过计算两条直线的斜率，并判断它们的乘积是否为-1，可以判定这两条直线是否垂直。

2. 角度判定法：根据垂直线的定义，两条直线相交处的夹角为90度。因此，通过计算两条直线相交处的夹角，并判断夹角是否为90度，可以直接判定这两条直线是否垂直。

3. 坐标判定法：对于给定的两条直线，可以确定它们的两个相交点的坐标，并计算两个点之间的斜率。如果这两个斜率相乘得到-1，则可以判定这两条直线垂直。

四、垂直线的应用

1. 地理测量和导航：垂直线的性质和判定方法在地理测量和导航中有广泛的应用。例如，在地图测量中，垂直线可以用来确定建筑物的高度或山脉的高度。在导航中，垂直线可用于指示航空器或船只的垂直姿态。

线段的垂直平分线的性质和判定

教学目标

知识与技能：掌握线段垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题。

方法与过程：通过折叠，观察让学生动手操作探索规律，并用所学理论证明规律，并在实际解题过程中运用它。

情感态度与价值观：经历探究线段垂直平分线的性质和判定的过程，发展学生的空间观察的能力进而培养学生的探究意识和学习数学的兴趣。

重点：

线段垂直平分线的性质和判定

难点：

线段垂直平分线的性质和判定的推理及应用

教学过程

一、问题导入

1.什么是线段的垂直平分线？

2.线段是轴对称图形吗？如果是它的对称轴是什么？

二、探究新知

（一）线段垂直平分线的性质和判定

将线段AB折叠，并在折痕上任取一点P，连接PA，PB并再次折叠，你会发现什么？

由于P点的任意性，你又会得出什么结论？ 结论：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

性质的证明：

求证：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．”

已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点

P 在l 上．求证：PA =PB．

思路分析：图中只有两个直角三角形而证明的又是线段相等，所以联想证明这两个三角形全等。

证明过程：

证明：∵ l⊥AB，

∴∠PCA=∠PCB=90°

又∵ AC=CB，PC=PC,

又∵ AC=CB，PC=PC,

∴PA=PB

证后反思：线段垂直平分线的性质在做题过程中可以直接使用，省去其中证全等的过程，使解题过程更加简洁明了。

例1：如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的垂直平分线交BC于D，AC 的垂直平分线交BC 与E，则△ADE 的周长等 于______．

例2：如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上

点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？

AB+BD与DE 有什么关系？ 解：∵ AD⊥BC，BD =DC，

1 OABCOAB授课内容 线面垂直的判定及性质

教学内容

知识梳理

1 、线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足

直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α

2、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

3

直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行

4、斜线,垂线,射影

⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.

⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段

⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影

直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上

5．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角 2 一直线平行于平面或在平面内，所成角为0角。直线和平面所成角范围： 0，2

（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角

【同步练习】

1、下列命题中正确的个数是（ ）

①如果直线l与平面内的无数条直线垂直，则l；