人教版九上数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

人教版九上数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

1 / 11 二次函数cbxaxy2的图象和性质

要点链接

★二次函数y=ax²+bx+c可配方为：224()24bacbyaxaa，其顶点坐标为（ ， ），对称轴直线是 .

★求抛物线顶点和对称轴的方法：

（1）直接代入顶点公式24(,)24bacbaa，对称轴公式2bxa

（2）将函数y=ax²+bx+c配方成y=a（x-h）²+k的形式得到顶点坐标和对称轴.

★a、b、c与图象的关系：

1.a正负决定抛物线的 ：a＞0时， ；a＜0时， .|a|决定抛物线的开口大小：|a|越大，则 ，|a|越小，则 .

2.a、b同时决定 ：①当b=0时，对称轴是 ；②左同右异，即当a、b同号时，对称轴在 ；当a、b异号时，对称轴在 .

3.c决定抛物线与y轴 ：①当c＞0时，抛物线与y轴交点在 ；②当c＜0时，抛物线与y轴交点在 ；③当c=0时，抛物线经过 .

题型一 直接利用cbxaxy2获取图象信息

例1 下列对于二次函数xxy2的图象描述正确的是（ ）

A.开口向下 B.对称轴是y轴 C.经过原点 D.在对称轴右侧部分是下降的

【变式训练1】对于二次函数12842xxy下列说法正确的是（ ）

A.图象开口向下 B.顶点坐标是（-1,3）

C.当0x时，y随x的增大而减小 D.图象的对称轴是直线1x 人教版九上数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

2 / 11 题型二 确定抛物线cbxaxy2的解析式

角度a 利用平移规律确定抛物线的解析式

例2 把抛物线322xxy沿x轴向右平移2个单位长度，得到抛物线的解析式为

角度b 利用待定系数法确定抛物线的解析式

例3 抛物线cbxaxy2经过A（-2,4），B（6,4）两点，且顶点在x轴上，则抛物线的解析式为 .

【变式训练2】若函数khxay2)(的图象经过原点，最小值为-8且形状与抛物线3222xxy相同，则此函数的解析式为 ；

题型三 根据抛物线cbxaxy2确定a、b、c的关系

例4 已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①0abc；②cab；③bc32；④)1)((mbammba.其中正确的结论是 （只填序号）

例4图 变式3图

【变式训练3】已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图，现有下列结论：①abc＞0；②0cba；③b=2a；④a+b＞0.其中正确的结论是 （只填序号）.

题型四 二次函数y=ax²+bx+c与一次函数的双图象问题

例5 一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax²+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（ ） 人教版九上数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

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题型五 二次函数y=ax²+bx+c的实际应用

例6 某小说中有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：

温度x/℃

植物每天高度增长量y/mm

由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的二次函数，有下列说法：

①该植物在0℃时，每天高度增长量最大；②该植物在-6℃时，每天高度增长量仍能保持在20mm以上；③该植物与大多数植物不同，6℃以上的环境下高度几乎不增长，其中正确的有（ ）

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

【变式训练4】某学校开展了多场足球比赛，在某场比赛中，一个足球被从地面上向上踢出，它距离地面的高度h（m）可以用公式tvth025表示，其中)(st表示足球被踢出后经过的时间，)/(0smv是足球被踢出时的速度，如果要求足球的最大高度达到20m，那么足球被踢出时的速度应该达到（ ）

A.5m/s B.10m/s C.20m/s D.40m/s

题型六 二次函数的动态问题

例7 如图，已知关于x的二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于点A（1,0）和点B，与y轴交于点C（0,3），抛物线的对称轴与x轴交于点D.

（1）求二次函数的解析式.（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标.（3）有一个动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位长度的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M，N运动到何处时，△MNB的面积最大，试求出最大面积. 人教版九上数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

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【变式训练5】如图，已知抛物线y=x²+bx+c过点A（1,0），C（0，-3）.（1）求此抛物线对应的函数解析式，并确定其顶点.（2）在抛物线上存在一动点P，使△ABP的面积为10，请求出点P的坐标. 人教版九上数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

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中考演练

考法一 二次函数cbxaxy2的图象和性质

例1.（2018成都）关于二次函数1422xxy，下列说法正确的是（ ）

A.图象与y轴的交点坐标为（0,1） B.图象的对称轴在y轴的右侧

C.当0x时，y的值随x值的增大而减小 D.y的最小值为-3

【变式训练1】（2018攀枝花）抛物线222xxy的顶点坐标为（ ）

A.（1,1） B.（-1,1） C.（1,3） D.（-1,3）

考法二 求二次函数的解析式

例2.（2018宁波）已知抛物线cbxxy221经过点)23,0(),0,1(.

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）将抛物线cbxxy221平移，使其顶点恰好落在原点，写出一种平移的方法及平移后的函数解析式.

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6 / 11 【变式训练2】（2018乌鲁木齐）把抛物线3422xxy向左平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为 .

【变式训练3】（2018湖州）已知抛物线)0(32abxaxy经过点)0,3(),0,1(，求ba,的值

考法三 抛物线cbxaxy2与一次函数的双图象问题

例3.（2017阜新）二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则一次函数caxy的图象可能是（ ）

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【变式训练4】（2018德州）函数122xaxy和aaxy（a是常数且0a）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）

考法四 二次函数cbxaxy2的图象与cba,,的关系

例4.（2018日照）已知二次函数)0(2acbxaxy的图象如图所示，有下列结论：①0abc；②02ba；③22)(cab；④若点),1(),,3(21yy都在抛物线上，则有21yy.其中正确的结论有（ ）

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

例4图 变式5图

【变式训练5】（2017遵义）如图，抛物线cbxaxy2经过点（-1,0），对称轴为l，有下列结论：①0abc；②0cba；③02ca；④0ba.其中，所有正确的结论是（ ）

A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④ 人教版九上数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

8 / 11 考法五 二次函数的综合应用

例5.（2018宁夏）如图，抛物线cbxxy231经过点)0,33(A和点B（0,3），且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C.（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积.

【变式训练6】（2018南通）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线kkxkxy25)1(222（k为常数）.

（1）若抛物线经过点),1(2k，求k的值；（2）若抛物线经过点),2(1yk和点),2(2y，且21yy，求k的取值范围；（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新的抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值23，求k的值.

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课后作业

1.用配方法将二次函数982xxy化为khxay2)(的形式为（ ）

A.7)4(2xy B.25)4(2xy C.7)4(2xy D.25)4(2xy

2.如图，二次函数bxaxy2的图象开口向下，且经过第三象限的点P.若点P的横坐标为-1，则一次函数bxbay)(的图象大致是（ ）

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10 / 11 3.如图，抛物线cbxaxy2的对称轴为直线x=1，且过点（3,0），有下列结论：①0abc；②a-b+c＜0；③3a-c＞0.其中正确结论的个数有（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

4.二次函数342xxy的图象是由cbxaxy2的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，则a ，b ，c .

5.已知抛物线y=ax²+bx+c的图象如图，则|a-b+c|+|2a+b|= .

6.已知如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（1,0），B（5,0），C（0,5）三点.（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标、对称轴；（3）若过点C的直线与抛物线交于点E（4，m），连接CB，BE，并求出△CBE的面积.