第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答
2.1有电路如图P2.1所示，设输入为1u，输出为2u，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。
u2R1RuC1C2u12u
图P2.1
解 此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。这里采样机理分析法。
设1C两端电压为1cu，2C两端的电压为2cu，则
212221cccduuCRuudt (1)
112121cccduuduCCdtRdt
(2)
选择状态变量为11cxu，22cxu，由式(1)和(2)得：
1121121121212111cccduRRCuuudtRRCRCRC
2121222222111cccduuuudtRCRCRC
状态空间表达式为：
12111211212121212122222221111111RRCxxxuRRCRCRCxxxuRCRCRCyuux 即: 12121121211112222222211111RRCRCRRCRCxxuxxRCRCRC
11210xyux
2.2 建立图P22所示系统的状态空间表达式。
1B2BK1M2M)(tf
图P2.2
解 这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。令()ft为输入量，即uf，1M，2M的位移量1y，2y为输出量，
选择状态变量1x1y，2x= 2y，3x=1dydt，24dyxdt。
根据牛顿定律对1M有：
用矩阵指数法解状态方程的MATLAB函数vslovel：
函数vslovel:求解线性定常连续系统状态方程的解
function [PhitzPhitBu]=vsolvesl(A,B,ut)
%vsolvesl求线性连续系统状态方程X^AX+Bu的解
%[Phit,phitBu]=vsolvesl(A,B,ut)
%A,B系数矩阵
%ut控制输入，必须为时域信号的符号表达式，符号变量为t
%Phit——输出 Phi(t)
%P hitBu ------ 输出 phi (t-tao)*B*u(tao)在区间(0, t)的积分
syms t ta o %定义符号变量t,tao
Phit=expm(A*t);%求矩阵指数 exp(At)
if (B==0)
B=zeros(size(A J)J);%重构系数矩阵 B
end
phi=s ub(Phit/t7t-taoz);%求 e xp[A(t-tao)]
PhitBu=int(p hi*B*ut/tao 求 exp[A(t -tao)]*B*u(t ao)在 0~t 区间的积分
用拉氏变换法解状态方程的MATLAB函数vslo ve2：
函数vslove 2:求解线性定常连续系统状态方程的解
functi on [sl_A,sl_ABu]=vsolves l(A,B,us)
%vs olves2求线性连续系统状态方程X^AX+B u的解
%[sl_A,sl _ABu]=vsolve sl(A,B,ut)
%A,B系数矩阵
%us控制输入，必须为拉氏变换后的符号表达式，符号变量为s
%sl_A——输出矩阵(s l-A)A(-l)拉式反变换的结果
%sl_ABu——输出(sl-A)"-l)*B*u(s)拉式反变换后的结果
syms s %定义符号变量t,tao
AA=s*eye(siz e(A))-A;%求 sl-A
invAA=inv(AA );%求(sl-A )矩阵的逆 intAA
本科实验报告
课程名称： 现代控制理论
实验项目： 状态反馈和状态观测器的设计
实验地点： 中区机房
专业班级：自动化学号：
学生姓名：
指导教师：
年 月 日
现代控制理论基础
一、实验目的
（1）熟悉和掌握极点配置的原理。
（2）熟悉和掌握观测器设计的原理。
（3）通过实验验证理论的正确性。
（4）分析仿真结果和理论计算的结果。
二、实验要求
（1）根据所给被控系统和性能指标要求设计状态反馈阵K。
（2）根据所给被控系统和性能指标要求设计状态观测器阵L。
（3）在计算机上进行分布仿真。
（4）如果结果不能满足要求，分析原因并重复上述步骤。
三、实验内容
（一）、状态反馈
状态反馈是将系统的状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入叠加形成控制作为受控系统的控制输入，采用状态反馈不但可以实现闭环系统的极点任意配置，而且也是实现解耦和构成线性最优调节器的主要手段。
1.全部极点配置
给定控制系统的状态空间模型，则经常希望引入某种控制器，使得该系统的闭环极点移动到某个指定位置，因为在很多情况下系统的极点位置会决定系统的动态性能。
假设系统的状态空间表达式为
{ẋ=Ax+By=Cx （1）
其中 nmCrnBnnA::;:;:
引入状态反馈，使进入该系统的信号为
Kxru （2）
式中r为系统的外部参考输入，K为nn矩阵.
可得状态反馈闭环系统的状态空间表达式为
{ẋ=(A−BK)x+bry=Cx （3）
用矩阵指数法解状态方程的MATLAB函数vslove1：
函数vslove1:求解线性定常连续系统状态方程的解
function [Phit,PhitBu]=vsolves1(A,B,ut)
%vsolves1求线性连续系统状态方程X’=AX+Bu的解
%[Phit,phitBu]=vsolves1(A,B,ut)
%A,B系数矩阵
%ut控制输入，必须为时域信号的符号表达式，符号变量为t
%Phit——输出Phi(t)
%PhitBu——输出phi(t-tao)*B*u(tao)在区间（0，t）的积分
syms t tao %定义符号变量t,tao
Phit=expm(A*t); %求矩阵指数exp(At)
if (B==0)
B=zeros(size(A,l),l); %重构系数矩阵B
end
phi=sub(Phit,’t’,’t-tao’); %求exp[A(t-tao)]
PhitBu=int(phi*B*ut,’tao’,’0’,’t’); %求exp[A(t-tao)]*B*u(tao)在0~t区间的积分
用拉氏变换法解状态方程的MATLAB函数vslove2：
函数vslove2:求解线性定常连续系统状态方程的解
function [sl_A,sl_ABu]=vsolves1(A,B,us)
%vsolves2求线性连续系统状态方程X’=AX+Bu的解
%[sl_A,sl_ABu]=vsolves1(A,B,ut)
%A,B系数矩阵
%us控制输入，必须为拉氏变换后的符号表达式，符号变量为s
%sl_A——输出矩阵(sl-A)^(-1)拉式反变换的结果
%sl_ABu——输出(sl-A)^(-1)*B*u(s)拉式反变换后的结果
syms s %定义符号变量t,tao
