14.3.1 提公因式法教学设计

14.3 因式分解

14．3.1 提公因式法

本节课的内容是用提公因式法对多项式进行因式分解．之前已经学习了整式的乘法公式，为本节课的学习起到铺垫作用．同时本节课的内容也为后面继续学习用公式法和因式分解法打下了基础．有着承上启下的重要作用．

【置疑导入】

问题：计算375×2.8＋375×4.9＋375×2.3.

(1)讨论上题的计算方法，分别提出各自的依据，然后比较哪种方法简便；

(2)类似地，ab＋ac＋ad＝a(b＋c＋d);__

(3)引入“因式分解”及“公因式”的概念．

【说明与建议】 说明：此例让学生结合数的运算进行联想、类比以达到理解的目的．多项式的因式分解和整式乘法的联系与区别是本节教学的难点．建议：教师教学中要注意留出时间让学生讨论、交流，引导学生进行归纳、概括．

【归纳导入】

因式分解的意义

1．运用前两节所学的知识填空：

(1)m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；

(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2;__

(3)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．

2．试一试，填空：

(1)ma＋mb＋mc＝m·(a＋b＋c)；

(2)a2－b2＝(a＋b)(a－b);

(3)a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.

请同学们自己总结1，2两题的特点和联系．

教师由此引出因式分解和公因式的概念．

因式分解与整式乘法的关系： 多项式因式分解整式乘法整式×整式…×整式

教师由此总结，引出因式分解的方法——提公因式法．

【说明与建议】 说明：通过练习归纳，类比得到因式分解及公因式的概念，符合学生的认知规律，利于思考归纳能力的培养．建议：教师要多鼓励学生发现多项式中公因式的一些特点，以便于进一步学习应用提公因式法分解因式．

命题角度1 判断因式分解与整式乘法

1．下列从左到右的变形属于因式分解的是(D)

A．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 B．－7ab2c3＝－abc·7bc2

C．m(m＋3)＝m2＋3m D．2x2－5x＝x(2x－5)

命题角度2 利用提公因式法分解因式

2．分解因式：

(1)m2－12m＝m(m－12)．

(2)3mx－9my＝3m(x－3y)．

(3)3x(a－b)－6y(b－a)＝3(a－b)(x＋2y)．

命题角度3 化简求值

3．求(2x－y)(2x＋3y)－(2y＋x)(2x－y)的值，其中x＝2，y＝1.

解：原式＝(2x－y)(2x＋3y－2y－x)

＝(2x－y)(x＋y)

＝2x2＋xy－y2.

当x＝2，y＝1时，原式＝2×22＋2×1－12＝9.

课题 14.3.1 提公因式法 授课人

素养目标 1．了解因式分解与整式乘法之间的关系．

2．了解因式分解的概念和提公因式法.

3．在探索提公因式法因式分解的过程中会用逆向思维，渗透化归的思想方法思考现实世界.

教学重点 理解因式分解的概念；会用提公因式法分解因式.

教学难点 理解多项式的因式分解与整式乘法的联系和区别. 授课类型 新授课 课时

教学步骤 师生活动 设计意图

回顾 算一算(看谁算得快)

①－25×4＋75×4

①a(m＋n)

①(a＋1)(a－2)

①(x－2y)2 通过算一算，让学生用已有知识解决问题，感受数学知识给自己带来收获的愉快，同时为后面学习新知作出铺垫.

活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】

填一填

①将60分解成质数的乘积的形式为2×2×3×5．

①将99分解成质数的乘积的形式为3×3×11．

①将x2＋x写成整式的乘积的形式为x(x＋1)．

①x2－1写成整式的乘积的形式为(x＋1)(x－1)． 让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生体会数学思想——类比思想.

活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】

1．由【课堂引入】可知x2＋x＝ x(x＋1) ，x2－1＝(x＋1)(x－1) .

我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做多项式的因式分解．

议一议：

(1)下列各式从左到右的变形是否为因式分解？

①(x＋1)(x―1)＝x2―1 ①7x―7＝7(x―1)

①x2―4y2＝(x＋2y)(x―2y) ①2x(x―3y)＝2x2－6xy

①y2＋x2－4＝y2＋(x－2)(x＋2)

(2)小组活动，共同探究：因式分解与整式乘法有什么关系？

x2－1因式分解整式乘法(x＋1)(x－1)

(互逆变形)

(3)你能很快地把下列各式进行因式分解吗？说说你的理由． 1.使学生从感性到理性理解因式分解的意义，认识因式分解这种变形的特征．

2．通过小组活动，激发学生学习的积极性，鼓励学生参与探究，合作交流，让学生自我思考归纳总结，体会数学的价值. ① 5a＋5b＋5c＝________；① 3x－3＝________；

①ma＋mb＋mc＝________；① ab2－a2b＝________．

教师提问，学生共同回答，对于有疑问的地方及时处理．

2．提公因式法

研究多项式pa＋pb＋pc 各项中每个因式的特点，提出公因式的概念．

让学生体验：

pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)从左到右是怎样得到的，你能对ax＋2ay进行类似的变形吗？

归纳：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

活动三：开放训练、体现应用 【典型例题】

例1 (教材第115页例1)把8a3b2＋12ab3c分解因式．

解：8a3b2＋12ab3c

＝4ab2·2a2＋4ab2·3bc

＝4ab2(2a2＋3bc)

例2 (教材第115页例2)把2a(b＋c)－3(b＋c)分解因式．

分析：b＋c是这两个式子的公因式，可以直接提出．

解：2a(b＋c)－3(b＋c)＝(b＋c)(2a－3)．

【变式训练】

1．把下列各式分解因式：

(1)－3ax3＋12ax2－15ax；(2)2m(m－n)3＋6(n－m)2.

分析：(1)各项系数的最大公约数为3，相同字母为a，x，最低次数均为1.由于首项－3ax3的系数为－3，一般取公因式－3ax；(2)含有多项式m－n与n－m的乘方，由于(n－m)2＝(m－n)2，所以把m－n看成一个整体，得到各项的公因式为2(m－n)2.

解：(1)原式＝－3ax(x2－4x＋5)．

(2)原式＝2m(m－n)3＋6(m－n)2

＝2(m－n)2[m(m－n)＋3] 通过例题的练习，让学生对本节课的重点能够理解更到位. ＝2(m－n)2(m2－mn＋3)．

2．计算：21×3.14＋62×3.14＋1.7×31.4.

解：原式＝21×3.14＋62×3.14＋17×3.14

＝3.14×(21＋62＋17)

＝3.14×100

＝314.

师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．

活动四：课堂检测 【课堂检测】

1．多项式a2－4a分解因式，结果正确的是(A)

A．a(a－4) B．(a＋2)(a－2)

C．a(a＋2)(a－2) D．(a－2)2－4

2．把2(a－3)＋a(3－a)提取公因式a－3后，另一个因式为(A)

A．2－a B．a＋2 C．a－2 D．－2－a

3．已知a＋b＝3，ab＝2，则a2b＋ab2＝6．

4．分解因式：

(1)5a－10ab; (2)6p(p＋q)－4q(p＋q)；

(3)4a2－12ab; (4)2mx－6my；

(5)－3x2＋6xy－9xz; (6)4m2n3－2m3n3＋6mn2.

解：(1)原式＝5a(1－2b)．

(2)原式＝2(p＋q)(3p－2q)．

(3)原式＝4a(a－3b)．

(4)原式＝2m(x－3y)．

(5)原式＝－3x(x－2y＋3z)．

(6)原式＝2mn2(2mn－m2n＋3)．

师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 加深对所学知识的理解运用，在问题的选择上以基础为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知.

课堂小结 1.课堂小结：

(1)你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳(2)学习本节课后，还存在哪些困惑？

2．布置作业：

教材第115页练习第1，3题，第119页习题14.3第1题． 课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.

板书设计 14.3.1 提公因式法

一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 提纲挈领，重点突出.

教学反思 反思，更进一步提升.