高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式课堂
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2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
课堂导学
三点剖析
一、向量数量积的坐标运算
若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a·b=a1b1+a2b2.
【例1】 已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),且AB·AD=5,AD2=10.
(1)求D点的坐标;
(2)用AB、AD表示AC.
思路分析:求D点坐标要先设出D点的坐标,然后用待定系数法求之.
解：(1)设D(x,y),则AB=(1,2),AD=(x+1,y),
所以AB·AD=x+1+2y=5,①
AD2=(x+1)2+y2=10.②
联立①②,解之,得.1,23,2yxyx或
所以D点的坐标为(-2,3)或(2,1).
(2)当D点的坐标为(-2,3)时,AB=(1,2),
AD=(-1,3),AC=(-2,1),设AC=mAB+nAD,
则(-2,1)=m(1,2)+n(-1,3),
所以.321,2nmnm所以m=-1,n=1.
所以AC=-AB+AD.
当D点的坐标为(2,1)时,设AC=pAB+qAD,
则(-2,1)=p(1,2)+q(3,1),
所以.21,32qpqp所以p=1,q=-1.
所以AC=AB-AD.
综上,当D点的坐标为(-2,3)时,AC=-AB+AD.
当D点的坐标为(2,1)时,AC=AB-AD.
各个击破
类题演练 1
设a=(4,-3),b=(2,1),若a+tb与b的夹角为45°,求实数t的值.
思路分析:运用(a+tb)·b=|a+tb||b|cos45°列出等式,解方程.
解:a+tb=(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,-3+t),
(a+tb)·b=(4+2t,-3+t)·(2,1)=5t+5,
|a+tb|=20)1(5)3()24(222ttt.
由(a+tb)·b=|a+tb||b|cos45°,
得5t+5=4)1(2252t,
即t2+2t-3=0.∴t=-3或t=1.
经检验知t=-3不合题意，舍去，∴t=1.
温馨提示
本题运用向量的坐标运算、模、数量积和一元二次方程等知识，体现了方程思想在解计算题中的重要作用，这是一种常用的解题方法，请同学们务必学会.
变式提升 1
已知向量a与b同向,b=(1,2),a·b=10.
(1)求向量a的坐标;
(2)若c=(2,-1),求(b·c)a.
思路分析:因为a与b同向,所以在设出a的向量坐标并求坐标时,要注意同向这个条件.
解:(1)∵a与b同向,∴可设a=(k,2k)(k>0).
又a·b=10,∴(k,2k)·(1,2)=10k=2.
∴a=(2,4).
(2)(b·c)a=［(1,2)·(2,-1)］(2,4)=0(2,4)=0.
二、两向量垂直条件的坐标表示
设a与b为两个非零向量,且a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a⊥ba1b1+a2b2=0.
【例2】 在△ABC中,AB=(2,3),AC=(1,k),且△ABC为直角三角形,求k的值.
思路分析:题目中只给出了△ABC为直角三角形,但没有指明哪个角为直角,应分别讨论.
解：若∠A=90°,由已知得AB·AC=0,
∴2×1+3k=0,解得k=32.
若∠B=90°,则AB·BC=0,
∵BC=AC-AB=(1,k)-(2,3)=(-1,k-3),
∴AB·BC=2×(-1)+3(k-3)=0,
解得k=311.
若∠C=90°,则AC·BC=0.
∴1×(-1)+k(k-3)=0,
即k2-3k-1=0,解得k=2133.
综上可得k=32或k=311或k=2133.
类题演练 2
已知a=(1,0),b=(1,1),当λ为何值时,(a+λb)⊥a?
思路分析:先求出a+λb的坐标,然后由垂直的条件列出方程求解.
解:∵a=(1,0),b=(1,1),∴a+λb=(1+λ,λ).
又∵a+λb与a垂直,∴1+λ+0=0.∴λ=-1.
∴当λ=-1时,a+λb与a垂直.
变式提升 2
平面上三点A、B、C共线,OA=(-2,m),OB=(n,1),OC=(5,-1)且OA⊥OB.求m、n的值.
思路分析:解答本题要注意A、B、C三点共线这个条件的运用,即AB与AC共线.
解:由题意得向量AB与AC共线,即(n+2,1-m)与(7,-1-m)共线.
∴.02,0)1(7)1)(2(mnmmn
解得.23,33,6nmnm或
三、向量的模、距离和夹角公式
1.设a=(a1,a2)，
则|a|=2221aa.
2.设A(x1,y1),B(x2,y2)，
则AB=(x2-x1,y2-y1)，
∴|AB|=212212)()(yyxx.
3.设a=(a1,a2),b=(b1,b2),
则cos〈a,b〉=222122212211bbaababa.
【例3】 已知a=(-2,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角α为钝角,求λ的取值范围.
思路分析：由于两个非零向量a、b的夹角θ满足0°≤θ≤180°,所以用cosθ=||||baba去
判断θ分五种情况:cosθ=1,θ=0°;cosθ=0,θ=90°;cosθ=-1,θ=180°;cosθ<0且cosθ≠-1,θ为钝角;cosθ>0且cosθ≠1,θ为锐角.
解:由题意cosα=1512||||2baba,
∵90°<α<180°,∴-1 ∴-1<15122<0. ∴.5512,0122 即.55)12(,2122即.2,21 ∴λ的取值范围是(-21,2)∪(2,+∞). 类题演练 3 已知a、b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角. 思路分析:设出a与b的坐标,运用公式. 解:设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2). ∵|a|=|b|, ∴x12+y12=x22+y22. 由|b|=|a-b|,得x1x2+y1y2=21(x12+y12). 由|a+b|2=2(x12+y12)+2·21(x12+y12)=3(x12+y12), 得|a+b|=)(32121yx. 设a与a+b的夹角为θ,则cosθ=233)(21)(||||)(2121212121212121yxyxyxyxbaabaa. ∴θ=30°. 变式提升 3 如右图所示，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上一点，PFCE是矩形，试用向量法证明PA⊥EF. 证明:以点D为坐标原点，DC所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系.设正方形的边长为1， |DP|=λ，则A（0，1），P（22λ，22λ），E（1，22λ），F（22λ，0）. 于是PA=（22λ，1-22λ），EF=(22λ-1,22λ). ∵PA·EF=(22λ)·(22λ-1)+(1-22λ)(22λ)=0, ∴PA⊥EF.
