2022-2023学年浙江省绍兴市越城区建功中学教共体九年级(上)期中数学试题及答案解析

第1页，共22页

2022-2023学年浙江省绍兴市越城区建功中学教共体九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 抛物线𝑦=−(𝑥−2)2−3的顶点坐标是( )

A. (2,−3) B. (−2,−3) C. (2,3) D. (−2,3)

2. 下列事件是必然事件的是( )

A. 明天会下雨 B. 抛一枚硬币，正面朝上

C. 若𝑎是实数，则|𝑎|≥0 D. 打开电视，正在播放新闻

3. 如图，点𝐴，𝐵，𝐶在⊙𝑂上，若∠𝐵𝑂𝐶=72°，则∠𝐵𝐴𝐶的度数是( )

A. 72° B. 36° C. 18° D. 54°

4. 若点𝐴(4,𝑦1)，𝐵(2,𝑦2)，𝐶(−2,𝑦3)是抛物线𝑦=(𝑥−2)2+1上的三点，则𝑦1，𝑦2，𝑦3的大小关系为( )

A. 𝑦3>𝑦1>𝑦2 B. 𝑦1>𝑦3>𝑦2 C. 𝑦3>𝑦2>𝑦1 D. 𝑦1>𝑦2>𝑦3

5. 下列说法中，正确的是( )

A. 同一条弦所对的两条弧一定是等弧 B. 弦的中垂线一定经过圆心

C. 圆心角相等的两条弧一定相等 D. 平分弦的直径一定垂直于该弦

6. 已知二次函数𝑦=−𝑥2+2𝑥+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是( )

A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是(1,3)

C. 当𝑥<1时，𝑦随𝑥的增大而增大 D. 图象与𝑥轴有唯一交点

7. 已知抛物线𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+4经过(−2,𝑛)和(4,𝑛)两点，则𝑛的值为 ( )

A. −2 B. −4 C. 2 D. 4

8. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=6，𝐴𝐵=10，𝐶𝐷是斜边𝐴𝐵上的中线，以𝐴𝐶为直径作⊙𝑂，设线段𝐶𝐷的中点为𝑃，则点𝑃与⊙𝑂的位置关系是( )

A. 点𝑃在⊙𝑂内 B. 点𝑃在⊙𝑂上 C. 点𝑃在⊙𝑂外 D. 点𝑃不在⊙𝑂内

第2页，共22页

9. 晚自习时，小敏和小聪在讨论一道题目：“已知点𝑂为△𝐴𝐵𝐶的外心，∠𝐵𝑂𝐶=126°，求∠𝐴.”小敏的解答为：画△𝐴𝐵𝐶以及它的外接圆𝑂，连结𝑂𝐵，𝑂𝐶，如图．由∠𝐵𝑂𝐶=2∠𝐴=126°，得∠𝐴=63°.而小聪说：“小敏考虑的不周全，∠𝐴还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是( )

A. 小敏求的结果不对，∠𝐴应得54° B. 小聪说的不对，∠4就得63°

C. 小聪说的对，且∠𝐴的另一个值是117° D. 两人都不对，∠𝐴应有3个不同值

10. 已知抛物线𝑦=12𝑥2+𝑏𝑥与直线𝑦=2𝑥交于点𝑂(0,0)，𝐴(𝑎,12)，点𝐵是抛物线上𝑂，𝐴之间的一个动点，过点𝐵分别作𝑥轴、𝑦轴的平行线与直线𝑂𝐴交于点𝐶，𝐸、以𝐵𝐶，𝐵𝐸为边构造矩形𝐵𝐶𝐷𝐸，设点𝐷的坐标为(𝑚,𝑛)，则𝑚，𝑛之间的关系式是( )

A. 𝑚=116𝑛2−14𝑛

B. 𝑚=18𝑛2−14𝑛

C. 𝑚=116𝑛2−18𝑛

D. 𝑚=18𝑛2−18𝑛

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11. 已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐中𝑥与𝑦的部分对应值如表，则𝑚=______．

𝑥 −3 −2 0 1 2 3 5

𝑦 7 0 −8 −9 𝑚 −5 7

12. 如图，△𝐴𝐵𝐶的外接圆的圆心坐标为______．

第3页，共22页

13. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为𝑦=−281𝑥2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面𝐴𝐵高为8米的点𝐸，𝐹处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离𝐸𝐹是______米．

14. 如图，一块直角三角板𝐴𝐵𝐶的斜边𝐴𝐵与量角器的直径恰好重合，点𝐷对应的刻度是58°，则∠𝐴𝐶𝐷的度数为____．

15. 如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)与𝑥轴交于点𝐴、𝐵，顶点为𝐶，对称轴为直线𝑥=1，给出下列结论：①𝑎𝑏𝑐<0；②若点𝐶的坐标为(1,2)，则△𝐴𝐵𝐶的面积可以等于2；③𝑀(𝑥1,𝑦1)，𝑁(𝑥2,𝑦2)是抛物线上两点(𝑥1<𝑥2)，若𝑥1+𝑥2>2，则𝑦1<𝑦2；④若抛物线经过点(3,−1)，则方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐+1=0的两根为−𝑙，3.其中正确结论的序号为______．

第4页，共22页

16. 如图，抛物线𝑦=𝑥2−2𝑥−3与𝑥轴交于𝐴、𝐵两点，与𝑦轴交于𝐶点．点𝐷是抛物线上的一个点，作𝐷𝐸//𝐴𝐵交抛物线于𝐷、𝐸两点，以线段𝐷𝐸为对角线作菱形𝐷𝑃𝐸𝑄，点𝑃在𝑥轴上，若𝑃𝑄=12𝐷𝐸时，则菱形对角线𝐷𝐸的长为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17. 二次函数的图象经过点𝐴(0,−3)，𝐵(2,−3)，𝐶(−1,0)．

(1)求此二次函数的关系式；

(2)求此二次函数图象的顶点坐标．

四、解答题（本大题共7小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

第5页，共22页

18. (本小题8.0分)

一个不透明的纸箱里有分别标有汉字“热”“爱”“祖”“国”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先摇匀再摸球．

(1)若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“国”字的概率；

(2)小红从中任取球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求小红取出的两个球上的汉字恰好能组成“爱国”或“祖国”的概率．

19. (本小题8.0分)

已知：如图，在⊙𝑂中，∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐷𝐵．

求证：𝐴𝐵=𝐶𝐷．

20. (本小题8.0分)

如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度𝐴𝐵为12𝑚，拱高𝐶𝐷为4𝑚．

(1)求拱桥的半径．

(2)有一艘宽为7.8𝑚的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3𝑚，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥？并说明理由．

21. (本小题10.0分)

已知关于𝑥的二次函数𝑦=𝑎𝑥2+2𝑎𝑥−3𝑎(𝑎≠0)．

(1)若该二次函数的图象经过(1,3)，(−1,4)，(−3,−10)三点中的一点，求𝑎的值；

(2)当−3<𝑥<0时，𝑦有最小值−4，若将该二次函数的图象向右平移𝑚(𝑚>1)个单位长度，平移后的图象所对应的函数𝑦在−3≤𝑥≤0的范围内有最小值−3，求𝑎，𝑚的值．

第6页，共22页

22. (本小题12.0分)

商店以每件40元的价格购进一种商品，经市场调查发现：在一段时间内，该商品的日销售量𝑦(件)与售价𝑥(元/件)成一次函数关系，其对应关系如表．

售价(元/件) 45 50 60

日销售量(件) 110 100 80

(𝐼)求𝑦关于𝑥的函数表达式．

(2)求售价为多少时，日销售利润𝑤最大，最大利润是多少元．

(3)该商店准备搞节日促销活动，顾客每购买一件该商品奖𝑚元(𝑚>0)，要想在日销售量不少于(件时的日销售最大利润是1360元，若日销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系，求𝑚的值．(每销售利润=售价−进价)

23. (本小题12.0分)

已知△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，以𝐴𝐵为直径的⊙𝑂交𝐵𝐶于𝐷，交𝐴𝐶于𝐸，连结𝐵𝐸．

(1)如图①，若∠𝐵𝐴𝐶=40°，求∠𝐶𝐵𝐸的度数；

(2)如图②，当∠𝐴为锐角时，证明∠𝐵𝐴𝐶=2∠𝐶𝐵𝐸；

(3)若②中的边𝐴𝐵不动，边𝐴𝐶绕点𝐴按逆时针旋转，当∠𝐵𝐴𝐶为钝角时，如图③，𝐶𝐴的延长线与⊙𝑂交于𝐸，请问：∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐶𝐵𝐸的关系是否与(2)中关系相同？若相同，请加以证明，若不同，请找出其它关系，并证明．

24. (本小题14.0分)

如图，抛物线𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过𝐴(−1,0)，𝐵(3,0)两点，且与𝑦轴交于点𝐶，点𝐷是抛物线的顶点，抛物线的对称轴𝐷𝐸交𝑥轴于点𝐸，连接𝐵𝐷．

(1)求经过𝐴，𝐵，𝐶三点的抛物线的函数表达式；

(2)点𝑄在该抛物线的对称轴上，若△𝐵𝐶𝑄是以𝐵𝐶为直角边的直角三角形，求点𝑄的坐标；

(3)若𝑃为𝐵𝐷的中点，过点𝑃作𝑃𝐹⊥𝑥轴于点𝐹，𝐺为抛物线上一动点，𝑀为𝑥轴上一动点，𝑁为

第7页，共22页

直线𝑃𝐹上一动点，当以𝐹、𝑀、𝑁、𝐺为顶点的四边形是正方形时，请求出点𝑀的坐标．

第8页，共22页

答案和解析

1.【答案】𝐴

【解析】解：∵抛物线𝑦=−(𝑥−2)2−3，

∴该抛物线的顶点坐标是(2,−3)，

故选：𝐴．

根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．

本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

2.【答案】𝐶

【解析】解：𝐴、明天会下雨是随机事件；

B、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件；

C、若𝑎是实数，则|𝑎|≥0是必然事件；

D、打开电视，正在播放新闻是随机事件，

故选：𝐶．

根据事件发生的可能性大小判断相应事件．

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

3.【答案】𝐵

【解析】

【分析】

此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

由点𝐴，𝐵，𝐶在⊙𝑂上，∠𝐵𝑂𝐶=72°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．

【解答】

解：∵点𝐴，𝐵，𝐶在⊙𝑂上，∠𝐵𝑂𝐶=72°，

∴∠𝐵𝐴𝐶=12∠𝐵𝑂𝐶=36°．