变分法和加权余量法

加权余量法的基本原理
加权余量法是一种常用于工程设计中的计算方法，其基本原理是在设计时考虑各种偏差因素，通过对这些因素进行加权，得出可靠的设计参数。

加权余量法的主要思想是在设计时加入一定的安全余量，以应对可能存在的各种不确定因素，如材料强度、加工精度、负荷变化等。

这样，在实际使用时，即使存在一些误差或者随机因素，也能保证设计的可靠性和安全性。

在具体的计算中，加权余量法通常采用统计学方法，对各种偏差因素进行量化，并按照其权重进行加权。

这样，可以得到一个综合的设计余量，即在各种偏差因素都存在的情况下，仍能保证设计的可靠性和安全性。

总之，加权余量法是一种在工程设计中广泛应用的计算方法，其基本原理是考虑各种偏差因素，通过加权计算得出可靠的设计参数，以保证工程的可靠性和安全性。

- 1 -。

有限单元法的概念
1、基本思想:借助于数学和力学知识，利用计算机技术而解决工程技术问题。

三大类型(按其推导方法分):
(1) 直接刚度法(简称直接法)：根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元性质方程。

(2) 变分法：直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极植问题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种计算方法。

(3) 加权余量法：直接从控制方程中得到有限单元方程，是一种近似解法。

2、有限单元法基本步骤
(1) 待求解域离散化
(2) 选择插值函数
(3) 形成单元性质的矩阵方程
(4) 形成整体系统的矩阵方程
(5) 约束处理，求解系统方程
(6) 其它参数计算
本文来源于:元计算官网。

x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
有限单元法
崔向阳
18
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑两项近似解：
u x1 x a1 x2 1 x a2
将整个问题域分为两个子域，取： R2x x a1 2 x x2 a2 2 6x x2 x3
边界欲求解问题问题域在问题域内对于一个问题可以归结为在一定的边界条件或动力问题的初始条件下求解微分方程的解这些微分方程为问题的控制方程微分算子与未知函数u无关的已知函数域值待求的未知函数有限单元法崔向阳边界欲求解问题问题域在问题域内
湖南大学 机械与运载工程学院
Hunan University
College of Mechanical & Vehicle Engineering
考虑一项近似解：
取x=1/2作为配点，得到：
R
1 2
1 2
-
7 4
a1
0
解得： a1 2 / 7
可以得一项近似解为：
u1
2 7
x
1
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
考虑两项近似解：
取x=1/3, 2/3作为配点，得到：
R
1 3
1 3
- 16 9
a1
2 27
有限单元法
崔向阳
17
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑一项近似解：
取整个问题域作为子域，即：
W1 1, 0 x 1
余量加权的积分为零
1 0
R1
x
dx
1 0
x
a1

加权余量法
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
~
( ~u )
泛函 ( ~u的) 极值问题（求函数u），转化为求 多元（ a~1 ....）..a~函n 数的极值问题。
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
~
(u ) ~ 0
a ~
Ka F ~~ ~
3）求解线性代数方程组
a ~
u的近似解
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
2.解的收敛性
讨论： 1）此方法的优点是不增加最后的线性方程组阶数
2）
K ~
2为奇异阵
K ~
2
0
K ~
1
相对 K~可2 以忽略。
1 K~2~aP ~
0
而 ~a ，0 必K~须2 是奇异，才有非零解。
加权余量法
§1.3.2 修正泛函变分原理
从实例中可见， K~为2 奇异的。 实例计算中需证明 K~的2 奇异性。
~~~
~
~~~
因为算子是线性、自伴随的，所以：
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
~~~
2~~~ 2~~~
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
Байду номын сангаас~~~

其中 即
为常数，若
为路径的切线和铅垂线所构成的角度，
（13.3.4）
若如果折射率
是位置的连续函数，这意味着
沿着路径是一常数．若应用到分界面上，就得到光学中的 折射定律（Snell’s law）
（13.3.5）
在大气中光线轨迹的微分方程，由公式(13.3.3)得到 （13.3.6）
的泛函，记为
必须注意，泛函不同于通常讲的函数．决定通常函数值的
因素是自变量的取值，而决定泛函的值的因素则是函数的取
形．如上面例子中的泛函T的变化是由函数
本身的变化
（即从A到B的不同曲线） 所引起的．它的值既不取决于某一个
值，也不取决 于某一个 与 的函数关系． 泛函通常以积分形式出现，比如上面描述的最速降线 落径问题的式（13.1.1）．更为一般而又典型的泛函定义为 (13.1.2) 其中 称为泛函的核． 值，而是取决于整个集合C中
普通函数对 的变分定义为
的求极值的问题．同时，函数曲线
(13.1.3) 因此可得 (13.1.4) 这里 所以 即变分和微分可以交换次序． 代表对 求一阶导数． (13.1.5)
四、 泛函的变分
定义： 泛函的变分 泛函的增量 变分问题 泛函的变分定义为 (13.1.6)
在极值曲线
附近，泛函
的增量，定义为
而当
时，
对应于式(13.2.1),即为 取极值．于是原来的泛函极值 问题，就化为一个求普通函数 取极值的必要条件，有 的极值问题．由函数
即有
（13.2.2）
1.泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数
的积分形式
泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数的积分形式，
（13.1.2） 若考虑两端固定边界的泛函问题：积分是在区域内通过两点

在V域内
在S边界上
显然
R I， R B
反映了试函数与真实解之间的偏差，它们分别称
做内部和边界余量。
若在域V内引入内部权函数 W ，在边界S上引入边界权函数 则可建立n个消除余量的条件，一般可表示为：
I
WB

V
W Ii R I d V

S
W Bi R B d S 0
( i 1, 2 , , n )
方法概述及按试函数分类
设问题的控制微分方程为:
在V域内
L (u ) f 0
在S边界上 B ( u ) g 0 式中 : L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子； f、g ——为与未知函数u无关的已知函数域值； u——为问题待求的未知函数。
当利用加权余量法求近似解时，首先在求解域上建立一个试函数 u ， 一般具有如下形式：
5．矩法(Method of Moment) 本法与伽辽金法相似，也是用完备函数集作权函数。 但本法的权函数与伽辽金法又有区别，它与试函数无关。 消除余量的条件是从零开始的各阶矩为零，因此 对一维问题 对二维问题 其余类推 这五种基本方法在待定系数足够多(称做高阶近似)时，其精
W Ii x
W Iij x
不难验证其满足边界条件，也即 R B R I 为:
0 。而控制方程的内部余量
R I E Ic (1 2 0 x 2 4 l ) q
子域法解 由于试函数仅一个待定常数，因此只需取一个子域（等于全域） 即可，消除余量的条件为:

由此可解得:
l 0
E Ic 1 2 0 x 2 4 l q d x 0
i -1
i -1

第1章 有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理 复习题1.1已知一个数学微分方程，如何建立它的等效积分形式？如何证明两者是等效的？ 1.2 等效积分形式和等效积分“弱”形式的区别何在？为什么后者在数值分析中得到更多的应用？1.3 不同形式的加权余量法之间饿区别何在？除书中已列举的几种方法以外，你还能提出其他形式的加权余量法吗？如能，分析新方法有什么特点。

1.4什么是加权余量的伽辽金方法？它有什么特点？ 1.5如何识别一个微分算子是线性、自伴随的？识别它的意义何在？ 1.6 如何建立与线性、自伴随微分方程相等效的泛函和变分原理？如何证明它和加权余量的伽辽金方法之间的等效性？练习题1.1 一维热传导问题微分方程由（1.2.26）式给出，按1.2.2节例1.4给定的近似解及权函数用加权余量的配点法、子域法及伽辽金法求解并用图1.3进行校核。

1.2 某问题的微分方程是22220c Q x y φφφ∂∂+++=∂∂ 在Ω内 边界条件是 _φφ= （在1Γ上）_q n φ∂=∂ （在2Γ上） 其中和Q 仅是坐标的函数，试证明此方程的微分算子是自伴随的，并建立相应的自然变分原理。

c第2章 弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式 复习题2.1 选择位移模式的原则是什么？以８结点四边形单元为例，如何选择体现所述原则的位移模式？2.2 单元刚度矩阵每一个元素的力学意义是什么？矩阵具有什么性质？这些性质的力学意义是什么？2.3 什么是单元结点自由度和结构结点自由度之间的转换矩阵？它在实际计算执行中有什么作用？2.4结构刚度矩阵和载荷列阵的集成实际是如何进行的？ 2.5结构刚度矩阵有什么性质和特点？在计算中如何利用它们？ 2.6 什么是有限元解的收敛性？什么是解的收敛准则？为什么必须满足这些准则，有限元解才能收敛于微分方程的精确解？2.7为什么位移元解具有下限性？力学上如何解释？ 2.8 为什么位移有限元的应力结果精度低于位移结果？应力结果表现出哪些特点？有什么能改进应力结果的方法？2.9 和平面问题有限元分析相比较，轴对称问题有限元分析有什么相同点和不同点？ 练习题2.1 如图2.1所示的3结点三角形单元，厚度=1cm ，弹性模量t E =2.0×MPa ，泊桑比510ν=0.3。

加权余量法的基本原理
加权余量法是一种常用的风险控制方法，其基本原理为在投资决策时考虑一个适当的余量，以应对不确定性因素带来的风险。

具体来说，加权余量法的应用步骤如下：
1. 确定投资目标和预期收益率。

2. 评估投资组合中的风险，并计算出组合的标准差。

3. 根据投资者的偏好和风险承受能力，确定适当的加权余量。

这个余量通常是投资者的风险承受能力的一个百分比。

4. 通过将余量与标准差相乘，得出组合的最大净亏损额。

如果该净亏损额超过了投资者能够承受的最大亏损额，就需要对组合进行调整。

5. 确定投资组合中每个资产的权重，并根据加权余量的原则，对其进行调整。

加权余量法的基本原理是在保证投资者的收益率目标的同时，尽可能地降低风险。

通过合理的加权余量设置，投资者可以在保证收益的前提下，有效地控制风险，从而获得更加稳健的投资回报。

- 1 -。

有限元的理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

1.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。

（Weigh ted residual method WRM ）是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。

加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。

设问题的控制微分方程为:在V 域内 在S 边界上式中 :L 、B ——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f 、g ——为与未知函数u 无关的已知函数域值；u ——为问题待求的未知函数 ()0B u g -=(5.1.2)()0L u f -=(5.1.1)混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。

对内部法和边界法必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量较小。

无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点：(1)试函数应由完备函数集的子集构成。

已被采用过的试函数有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪夫和勒让德多项式等等。

(2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高阶导数低一阶的导数连续性。

(3)试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。

若计算问题具有对称性，应充分利用它。

显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。

按照对权函数的不同选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。

其中伽辽金法的精度最高。

2、虚功原理——平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式虚功原理包含虚位移原理和虚应力原理，是虚位移原理和虚应力原理的总称。

变分有限元
名词简答
宫HaBiblioteka ilton 原理：当质点不受外力作用时，处于静止或匀速直线运动状态。 39. 应变能：应力应变曲线和横坐标轴所围的面积。
应变余能：是外力作用下，加载设备所做的功 支撑系统的余势：当弹性系统的支撑边界允许有位移时，被支撑系统所吸收或通过支撑 系统传递给其他物体的那部分多余能量。 40. 弹性系统：由弹性体，载荷系统和支撑系统组成的弹性系统 弹性系统的总势能：弹性体的应变能和荷载系统的外力势之和。 弹性系统的总余势能：弹性体的应变余能和支撑系统的余势之和。 41. 保守力系：若某力系所做的功仅和位移的最终值有关，而与达到位移最终值的路径无关 42. 虚功原理：力系保持平衡的充分必要条件 如果物体在某种力系作用下处于平衡状态，则当从平衡位置发生约束允许的任意微小位 移（即虚位移或位移变分）时，所有外力的总虚功等于零。 虚位移： 从一种可能位移到邻近另一种可能位移的无限小该变量。 虚应力： 从一种可能应力到另一种可能应力的无限小改变量。 43. 虚位移原理： 对于一给定变形体，由某一应力场与给定外力组成的静力系统，如果该静力系统在变形 体的一切可能位移及相应的可能应变上所作的虚功都满足虚功方程，则此应力场必定是 给定外力下平衡许可的可能应力。（=平衡方程和外力条件） 虚应力原理： 在给定外力作用下的变形体，对于某一位移场及相应的应变长，如果已知外力和任何平 衡许可的可能应力都能使虚功方程成立，则此位移场必定是几何许可的位移场。（=几何 方程和位移边界条件） 44. 功的互等定理： 作用在弹性体上第一种状态的外力在第二种状态的位移上所作的功，等于作用在弹性体 上第二种状态的外力在第一种状态的位移上所作的功。 45. 可能位移： 满足变形连续条件（=几何条件）和位移边界条件的位移场，称为几何许可位移。满足 几何方程（=可能位移通过几何方程得到的）应变，称为可能应变 可能应力： 满足平衡方程和力边界条件的应力场，也称为静力许可应力。 真实解：从预先已经满足部分条件的众多解中，找到满足余下条件的解，即为全部基本 关系的精确解 46. 最小势能原理： 对于给定外力作用下处于平衡状态的小变形弹性系统，在一切可能位移场中，同时满足 平衡条件的真实位移场，使弹性系统的总势能取最小值。 （在一切可能的位移场中，使弹性系统总势能取最小值的必是真实位移场） 最小余能原理： 整个弹性系统在真实状态下所具有的余能（见应变能），恒小于与其他可能的应力相应 的余能。 47. 减缩积分：高斯积分阶数低于被积函数所有项次精确积分所需要的阶数的积分方案称为 减缩积分。

一、绪论
1.2 有限元法特性：
① 对于复杂几何构型的适应性（单元在空间可以是一维、二 维或三维的，而每一种单元可以有不同形状）； ② 对各种物理问题的可应用性(用单元内近似函数分片地表示 全求解域的未知场函数，并为限制场函数所满足的方程形式， 也为限制各个单元所对应方程必须是相同的形式)； ③ 建立于严格理论基础上的可靠性(用于建立有限元方程的变 分原理或加权余量法在数学上以证明是微分方程和边界条件的 等效积分形式)； ④ 适合计算机实现的高校性(有限元分析的各个步骤可以表达 成规范的矩阵形式，最后导致求解方程可以统一为标准的矩阵 代数问题，特别适合计算机编程和执行)。
王勖成《有限单元法》
（学习总结）
2020/3/8
汇报人：XXX 时 间：XXX
1
内容提纲
一、绪论 二、有限元法的理论基础-加权余量法和变分原理 三、弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达式 四、单元和插值函数的构造 五、等参元与数值积分 六、有限元法运用中的若干实际考虑 七、线性代数方程组的解法 八、有限元分析计算机程序
由于
是任意的，满足上式时必然有
都等于零。这是与待定系数a的个数相等的方程组， 用以求近似解的经典方法叫做里兹法。
里兹法的实质是从一族假定解中寻求满足泛函变分的最好
解，显然近似解的精度与试探函数的选择有关。
二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理
2.3 变分原理和里兹方法 2.3.2 里兹方法：
张量形式的几何方程为：
其扩展形式为：
二、有限元法理论基础-加权余量法和变分原理
2.4 弹性力学的基本方程和变分原理 2.4.2 弹性力学基本方程的张量形式： 物理方程：
张量形式的物理方程为：

简答题： 有限元法解微分方程的步骤 总体刚度矩阵的特点 描述 Gal的位移 三角形荷载下悬臂梁平衡方程的推导，Ritz 或者 Galerkin 法求解梁的位移 深梁三角单元，单元应力应变矩阵，单元刚度矩阵，单元荷载向量
3. 有限元法原理：最小势能原理 主要的单元形式：以结点位移为基本未知量的位移元 单元特性矩阵：插值函数矩阵，应变矩阵，单元刚度矩阵，荷载向量，并用以形成有限 元法的求解方程。 有限元法的一个重要特点：采用插值函数作位移模式
4. 有限元法的三种途径：结构矩阵法，变分法，加权余量法。 5. 工程设计：运用固体力学理论对结构进行强度，刚度和稳定性分析 6. Ritz 法：利用带未知量的试探函数对势能泛函进行近似，通过对每个未知量求势能泛函
的极小值得到求解未知量的方程组 限制条件：试探函数必须满足边界条件 Galerkin 法：除要求位移试函数满足边界位移条件之外，还要满足外力边界条件。不用 预先判读结构是否超静定，不用判定超静定次数。 7. Ritz 法的求解过程：利用最小势能原理，实质为由位移参数表示的近似平衡方程。 Galerkin 法的求解方程：可以用加权余量法的基本思想解释，当权函数选为试函数中的 各个容许函数时，就是 Galerkin 法。 8. Ritz 法的收敛准则：试函数具有完备性和连续性，且随着 n 的增加，Ritz 法的近似解将 趋近于微分方程的精确解 有限元解的收敛准则：1）完备性要：试函数中必须具备包括本身和直到 m 阶导数为常 数的项，必须能反应单元的刚体位移和常应变状态 2）协调性要求：若泛函中最高阶导 数是 m 阶，则试函数在单元交界面上必须具有 Cm-1 连续性，即在相邻交接面上函数应 具有直到 m-1 阶连续导数。 9. 有限元法实际是变分原理中 Ritz 法的一种 微分方程的解必使泛函 Q（x）取极小值 若泛函在 u（x）取极小值，则 u（x）是微分方程的解 10. Euler 有限差分法：是一种变分直接解法 变分问题的解法：Euler 法和直接法（Ritz，Galerkin 法） 11. 泛函的极小化序列：有限差分法求解泛函极值时 n 取无穷的时候，所得到的一系列曲线 或函数。N 越大，折线越接近于真实的函数曲线。因为真实解使泛函取极小值，因此 n 越大，泛函约小，该序列成为泛函的极小化序列 12. 加权余量法的思想：是使残值 R 在权函数空间 W 中的投影为零。Galerkin 法，矩法，最 小二乘法，配点法，子域法 13. 经典的有限元法：首先通过变分原理，找出微分方程所对应的变分问题，找出对应的泛 函 经典变分原理：最小势能原理和最小余能原理 加权残值法：比较复杂的微分方程，对应的泛函不易找到，则直接用基函数与方程两端 做内积，从而得到离散的求解方程组 14. 等效积分形式：即等效泛函 如

常用数值分析方法理论与应用1数值分析方法概述主要内容2几种常见的数值分析方法3几点思考求解方法精确解数值方法实验手段差分法有限元法边界元法变分法加权余量法一数值分析方法概述必要性由于诸多问题本身的复杂性非均质非线性以及复杂的加荷条件及边界条件精确解已无能为力
常用数值分析方法 理论与应用
1
主要内容
1、数值分析方法概述 2、几种常见的数值分析方法 3、几点思考
可对具有复 杂分布结构 面的岩体， 进行数模仿 真和为网格 剖分带来方 便
可以实现开 挖过程的模 拟。对于加 固锚件能够 实现几何布 局上的完全 仿真。
➢界面应力 ➢整体作用集 ➢对于岩石工 中于各个界面 程的模拟
界面元法的优点
三、几点思考
13
三、几点思考
定量化
介质 问题
自数值分析方 法应用到岩土 工程领域以来 ，岩土工程界 对数值分析的 定量评价结果 也是褒贬不一
2
一、数值分析方法概述
求解方法
精确解
数值方法
实验手段
差分法
有限元法
边界元法 变分法
加权余量法
3
一、数值分析方法概述
重要性
必要性
由于诸多问题本 身的复杂性—— 非均质、非线性 以及复杂的加荷 条件及边界条件， 精确解已无能为 力。
可能性
计算机的迅速发 展，也使数值分 析得到有效而经 济的成果。
4
一、数值分析方法概述
1、我们的市场行为主要的导向因素，第一个是市场需求的导向，第二个是技术进步的导向，第三大导向是竞争对手的行为导向。 2、市场销售中最重要的字就是“问”。 3、现今，每个人都在谈论着创意，坦白讲，我害怕我们会假创意之名犯下一切过失。 4、在购买时，你可以用任何语言；但在销售时，你必须使用购买者的语言。 5、市场营销观念：目标市场，顾客需求，协调市场营销，通过满足消费者需求来创造利润。2021年11月3日星期三 2021/11/32021/11/32021/11/3 6、我就像一个厨师，喜欢品尝食物。如果不好吃，我就不要它。2021年11月2021/11/32021/11/32021/11/311/3/2021 7、我总是站在顾客的角度看待即将推出的产品或服务，因为我就是顾客。2021/11/32021/11/3November 3, 2021 8、利人为利已的根基，市场营销上老是为自己着想，而不顾及到他人，他人也不会顾及你。2021/11/32021/11/32021/11/32021/11/3

第二章有限元法的基本原理有限元法吸取了有限差分法中的离散处理内核，又继承了变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。

有限元法的理论基础是加权余量法和变分原理，因此这里首先介绍加权余量法和变分原理。

2.1等效积分形式与加权余量法加权余量法的原理是基于微分方程等效积分的提法，同时它也是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法。

在有限元分析中，加权余量法可以被用于建立有限元方程，但加权余量法本身又是一种独立的数值求解方法。

2.1.1微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u 应满足微分方程组⎛A 1(u )⎫ ⎪A (u )= A 2(u )⎪=0（在Ω内）（2-1） M ⎪⎝⎭域Ω可以是体积域、面积域等，如图2-1所示。

同时未知函数u 还应满足边界条件⎛B 1(u )⎫ ⎪B (u )= B 2(u )⎪=0（在Γ内）（2-2）M ⎪⎝⎭要求解的未知函数u 可以是标量场（例如压力或温度），也可以是几个变量组成的向量场（例如位移、应变、应力等）。

A ，B 是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等）的微分算子。

微分方程数目应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。

所以在以上两式中采用了矩阵形式。

以二维稳态的热传导方程为例，其控制方程和定解条件如下：A (φ)=∂∂φ∂∂φ(k )+(k )+q =0（在Ω内）（2-3）∂x ∂x ∂y ∂y⎧φ-φ=0⎪B(φ)=⎨∂φ-q=0⎪k⎩∂n （在Γφ上）（在Γq上）（2-4）这里φ表示温度（在渗流问题中对应压力）；k是流度或热传导系数（在渗流问题中对应流度K/μ）；φ和q是边界上温度和热流的给定值（在渗流问题中分别对应边界上的压力和边界上的流速）；n是有关边界Γ的外法线方向；q是源密度（在渗流问题中对应井的产量）。

固体力学计算方法的发展孙秀山 岑章志 刘应华（北京大学工程力学系, 北京100084）摘要本文简要回顾了固体力学计算方法的发展过程。

从早期通过解析方法求解简单问题开始，固体力学的计算方法经历了一个从精确解法到近似解法、从解析方法到数值方法的发展过程，这一过程可以依据其历史阶段分为三种类型：传统解析方法、近似求解方法（古典数值方法）和现代数值方法。

文中分析了不同发展阶段中典型固体力学计算方法的形成及其特点，探讨了这些方法对固体力学发展的作用以及影响，最后总结了这些方法之间的关系。

关键词固体力学，计算方法，发展过程，继承关系1 引言固体力学是在经典牛顿力学框架下最先发展起来的学科之一，主要研究可变形体在各种外界因素作用下，其内部各个质点所产生的位移、运动、应力、应变以及破坏等的规律，是力学中形成较早、理论性较强、应用较广的一个分支[1]。

固体力学的发展首先是建立在弹性理论基础之上的，随后在工业发展的推动下，固体力学中有关塑性理论、强度理论以及稳定理论等得到了进一步的发展[2, 3]。

在传统的固体力学理论中，一般把研究对象看作是由无限个假象的元素组合在一起的连续体，因此研究对象（连续体）中的力学量（如位移、应变、应力等）就可以假设为空间或时间的连续函数。

这样，对于一个确定的固体力学问题，借助于数学方法最终可以将其转化相应的偏微分方程（或方程组）在给定条件下的边值问题或初值问题，如经典弹性理论中L-N方程或B-M方程的狄利赫莱（Dirichlet）边值问题和诺依曼（Neumann）边值问题。

对于这类方程（或方程组）的求解一直贯穿着固体力学的整个发展阶段，成为固体力学的重要研究内容之一。

从早期通过解析方法求解简单问题开始，固体力学的计算方法依据其历史发展过程大致经历了如下三个阶段：传统的解析方法、近似求解方法（古典数值方法）和现代数值方法，其中每个阶段里都出现了多种分析方法和计算方法。

在这些方法的发展中，尤以计算机技术的出现和应用为转折点，标志着固体力学计算方法的一个飞跃，促使了固体力学无论在理论研究方面还是在实际工程应用中都有了显著的进步[4, 5]。