第一章 变分法变分法（Variational calculus ）是研究泛函极值的数学方法，早在十七世纪末，几何学、力学等领域相继提出了一些泛函极值问题（最速降线问题、最小旋转曲面问题等），导致了变分法的形成和发展。
本章我们介绍变分法及其在最优控制中的应用。
第一节 泛函及其极值我们首先给出泛函的定义定义1.1 设Ω为一函数的集合，若对于每一个函数Ω∈)(t x 有一个实数J 与之对应，则称J 是定义在Ω上的泛函，记作))((t x J 。
Ω称为J 的容许函数集合，Ω∈)(t x 称为宗量。
例1 对于xy 平面上过定点),(11y x A 和),(22y x B 的每一条光滑曲线)(x y ，绕x 轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线)(x y 的泛函⎰+=21))(1()(2))((2x x dx x yx y x y J π 容许函数集合可表示为})(,)(],,[)()({2211211y x y y x y x x C x y x y ==∈=Ω绪论中介绍的三个性能指标1）终端型性能指标也称麦耶（Mayer ）型性能指标)),(()(11t t x x J Φ=2）积分型性能指标还称拉格郎日（Lagrange ）型性能指标⎰=1))(),(,()(0t t dt t xt x t f x J 3）混合型性能指标也叫包尔查（Bolza ）型性能指标⎰+Φ=1))(),(,()),(()(011t t dt t xt x t f t t x x J 它们都是泛函，并且它们之间可以相互转化。
引进新的函数)(0t x ，它是如下微分方程初值问题的解)()),(),(,()(0000==t x t x t x t f t x则拉格郎日（Lagrange ）型性能指标就化为⎰=≡Φ1))(),(,()()),((01011t t dt t xt x t f t x t t x 变成麦耶（Mayer ）型性能指标。
