高中数学课课精练导学先锋必修一(110-160)

课后导练基础达标.下面有四个命题，其中正确命题的个数为( )①集合中最小数为;②若∈,则∈;③所有小的正数组成一个集合;④若∈∈,则的最小值为.解析：①②正确，故选.答案：.方程组的解集为( ).() .{} .{()} .{()()}解析：三元一次方程组解唯一，它的解集只有一个元素而由方程组可知，，故选.答案：.已知∈*,则方程的解集为( ).{} .{} .{} .{()}解析：的实数解为，而∈*,∴，故选.答案：.下列集合中,表示同一集合的是( ){()}{()}{}{()}{()}{}{}{}解析：中集合的主要元素是点的坐标，与不同，、中主要元素不同，故选.答案：.下列集合表示空集的是（）.{} .{()∈}.{∈} .{<<∈*}解析：集合{∈}中的解为和，均不属于，故选.答案：.设{,,,,…},用描述法可表示为.答案：{∈*}.集合{<<∈},用列举法可表示为.答案：{，，}.用列举法表示下列给定的集合：（）大于且小于的质数；（）{<≤∈}.解析：（）∵大于且小于的质数有,∴集合为{}.（）∵<≤，而∈,∴为.∴{}..用适当方法表示下列集合：（）二次函数的函数值组成的集合；（）一次函数的自变量的值组成的集合.解析：此类问题求解的关键是认清集合中的元素是什么.（）因为二次函数在∈时的值有无数个，故用描述法表示为{}.（）同（）一样也是一个无限集，故用描述法表示{}..设集合{∈，∈}.()试判断元素,元素与集合的关系;()用列举法表示集合.解析：（）当时，∈,当时，,∴∈.（）因当时，∈,当时，∈,∴{}.综合训练.设{面积为的三角形}{面积为的正方形},则( )、都是有限集、都是无限集是有限集是无限集是无限集是有限集解析：根据题目中所给集合中元素是否可数，中面积为的三角形有无数个而面积为的正方形只有一种，故选.答案：.已知集合{<≤∈}，下列用列举法表示集合正确的是（）.{} .{} .{} .{}答案：.平面直角坐标系中,到两坐标轴距离相等的点的集合可表示为.解析：由于集合中的元素是点，于是所表示的集合是{()±}.答案：{()±}.使式子有意义的允许值组成的集合是,它是集.解析：由题意得≥且≠，∴≤且≠,于是所求得集合为{≤且≠}.因满足集合条件的实数有无限个，故为无限集.答案：{≤且≠} 无限.设表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形：。

第1讲 §1.1.1 集合的含义与表示¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.¤知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈，2N -∉. ¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于7的整数.解：（1）用描述法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=；用列举法表示为{0,1,3}-. （2）用描述法表示为：{|27}x Z x ∈<<；用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B .解：由3217k +=，解得5k Z =∈，所以17A ∈；由325k +=-，解得73k Z =∉，所以5A -∉； 由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈. 【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4）（1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合. 解：（1）3{(,)|}{(1,4)}26y x x y y x =+⎧=⎨=-+⎩.（2）2{|4}{|4}y y x y y =-=≥-.（3）2{|}{|0}x y x x x ==≠. 点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例4】已知集合2{|1}2x aA a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ． 解：化方程212x ax +=-为：2(2)0x x a --+=．应分以下三种情况： ⑴方程有等根且不是2±：由 △=0，得94a =-，此时的解为12x =，合．⑵方程有一解为2，而另一解不是2-：将2x =代入得2a =-，此时另一解12x =-，合．⑶方程有一解为2-，而另一解不是2：将2x =-代入得2a =，此时另一解为21x =+，合． 综上可知，9{,2,2}4A =--．点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.※基础达标1．以下元素的全体不能够构成集合的是（ B ）.A. 中国古代四大发明B. 地球上的小河流C. 方程210x -=的实数解D. 周长为10cm 的三角形 2．方程组{23211x y x y -=+=的解集是（ C ）.A . {}51，B. {}15，C. (){}51，D. (){}15， 3．给出下列关系：①12R ∈； ②2Q ∈；③ *3N ∈；④0Z ∈. 其中正确的个数是（ C ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4．有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3，2，1}；（3）方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1，1，2}；（4）集合{45}x x <<是有限集. 其中正确的说法是（ C ）.A. 只有（1）和（4）B. 只有（2）和（3）C. 只有（2）D. 以上四种说法都不对5．下列各组中的两个集合M 和N, 表示同一集合的是（ D ）.A. {}M π=, {3.14159}N =B. {2,3}M =, {(2,3)}N =C. {|11,}M x x x N =-<≤∈, {1}N =D. {1,3,}M π=, {,1,|3|}N π=- 6．已知实数2a =，集合{|13}B x x =-<<，则a 与B 的关系是 . a B ∈ 7．已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为 . 0,1,3x ≠- ※能力提高8．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数223y x x =-+的函数值组成的集合； （2）函数232y x =-的自变量的值组成的集合. 答案：（1）{|2}y y ≥；（2）{|2}x x ≠±9．已知集合4{|}3A x N Z x =∈∈-，试用列举法表示集合A . 答案：{1,2,4,5,7} 提示：分31,2,4x -=±±±等情况.※探究创新10．给出下列集合：①{(x ，y )|x ≠1，y ≠1，x ≠2，y ≠-3}； ②{{12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎨⎬≠≠-⎩⎭且 ③{{12(,)13x x x y y y ⎧⎫≠≠⎨⎬≠≠-⎩⎭或 ； ④{(x ，y )|[(x -1)2+(y -1)2]·[(x -2)2+(y +3)2]≠0}． 其中不能表示“在直角坐标系xOy 平面内，除去点（1，1），（2，-3）之外的所有点的集合”的序号有 . 答案：④ 提示：集合①与②是等价的，它们均表示除去了四条直线外的所有的点；集合③表示整个坐标平面；集合④不能表示点（1，1）、（2，-3），集合④能表示所指定的集合．A B B A A B A B A ． B ． C ． D ． ¤学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用Venn 图表达集合间的关系.¤知识要点：1. 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合B 的子集（subset ），记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.2. 如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），即集合A 与集合B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B =.3. 如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作A ≠⊂B （或B ≠⊃A ）. 4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set ），记作∅，并规定空集是任何集合的子集. 5. 性质：A A ⊆；若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆；若A B A =，则A B ⊆；若A B A =，则B A ⊆. ¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.（2）∅ 2{|20}x R x ∈+=； 0 {0}； ∅ {0}； N {0}. 解：（1），；（2）=， ∈，，.【例2】设集合1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的是（ ）.解：简单列举两个集合的一些元素，3113{,1,,0,,1,,}2222A =⋅⋅⋅---⋅⋅⋅，3113{,,,,,}2222B =⋅⋅⋅--⋅⋅⋅，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．另解：由21,}2{|n x n B x +=∈=Z ，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．【例3】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，求实数a 的值.解：由26023x x x +-=⇒=-或，因此，{}2,3M =-.（i ）若0a =时，得N =∅，此时，N M ⊆； （ii ）若0a ≠时，得1{}N a =. 若N M ⊆,满足1123a a ==-或，解得1123a a ==-或. 故所求实数a 的值为0或12或13-. 点评：在考察“A B ⊆”这一关系时，不要忘记“∅” ，因为A =∅时存在A B ⊆. 从而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，求实数x 的值.解：若22a b ax a b ax +=⎧⎨+=⎩⇒a +ax 2-2ax =0, 所以a (x -1)2=0，即a =0或x =1. 当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去；当x =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去.若22a b ax a b ax⎧+=⎨+=⎩⇒2ax 2-ax -a =0. 因为a ≠0，所以2x 2-x -1=0, 即(x -1)(2x +1)=0. 又x ≠1，所以只有12x =-.经检验，此时A =B 成立. 综上所述12x =-.点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第2练 §1.1.2 集合间的基本关系※基础达标1．已知集合{}{}3,,6,A x x k k Z B x x k k Z ==∈==∈, 则A 与B 之间最适合的关系是（ D ）. A.A B ⊆ B.A B ⊇ C. A ≠⊂B D. A ≠⊃B2．设集合{}|12M x x =-≤<，{}|0N x x k =-≤，若M N ⊆，则k 的取值范围是（ D ）. A ．2k ≤ B ．1k ≥- C ．1k >- D ．2k ≥ 3．若2{,0,1}{,,0}a a b -=，则20072007a b +的值为（ A ）. A. 0 B. 1 C. 1- D. 24．已知集合M ={x |x =2k +14,k ∈Z }, N ={x |x =4k +12, k ∈Z }. 若x 0∈M ，则x 0与N 的关系是（ A ）. A. x 0∈N B. x 0∉N C. x 0∈N 或x 0∉N D.不能确定5．已知集合P ={x |x 2=1}，集合Q ={x |ax =1}，若Q ⊆P ，那么a 的值是（ D ）.A. 1B. －1C. 1或－1D. 0，1或－1 6．已知集合{},,,A a b c =，则集合A 的真子集的个数是 . 7个7．当2{1,,}{0,,}ba a ab a=+时，a =_________，b =_________.－1，0※能力提高8．已知A ={2,3}，M ={2,5,235a a -+}，N ={1,3, 2610a a -+}，A ⊆M ，且A ⊆N ，求实数a 的值. 答案：2a =. 提示：联合2352a a -+=及26102a a -+=求解9．已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-.若B A ⊆，求实数m 的取值范围.答案：3m ≤（注意区间端点及B =φ）※探究创新10．集合S ={0，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x -1∉A 且x +1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，写出S 中所有无“孤立元素”的4元子集.解：依题意可知，“孤立元素x ”是没有与x 相邻的，非“孤立元素x ”是指在集合中有与x 相邻的元素．因此所求问题的集合可分成如下两类：（1）4个元素连续的，有3个：{0，1，2，3}，{1，2，3，4}，{2，3，4，5}；（2）4个元素分两组，每组两个连续的，也有3个：{0，1，3，4}，{1，2，4，5}，{0，1，4，5}．第3讲 §1.1.3 集合的基本运算（一）¤学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.并集 交集 补集概念由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（union set ） 由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的交集（intersection set ） 对于集合A,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）记号A B （读作“A 并B ”） A B （读作“A 交B ”） U A ð（读作“A 的补集”） 符号 {|,}A B x x A x B =∈∈或 {|,}A B x x A x B =∈∈且{|,}U A x x U x A =∈∉且ð图形表示¤例题精讲：【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B AB ==-≤≤=<<求ð.解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤，(){|1,9}U C AB x x x =<-≥或，【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求：（1）()A B C ； （2）()A A B C ð.解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------.（1）又{}3B C =，∴()A BC ={}3；（2）又{}1,2,3,4,5,6BC =，得{}()6,5,4,3,2,1,0A C BC =------.∴ ()A A C BC {}6,5,4,3,2,1,0=------.【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =，求实数m 的取值范围.解：由A B A =，可得A B ⊆.在数轴上表示集合A 与集合B ，如右图所示： 由图形可知，4m ≥.点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C AB ，()UC A B ，()()U U C A C B ，()()U U C A C B ，并比较它们的关系.解：由{1,2,3,4,5,8}A B =，则(){6,7,9}U C AB =.由{5,8}AB =，则(){1,2,3,4,6,7,9}UC A B =由{1,3,6,7,9}U C A =，{2,4,6,7,9}U C B =， 则()(){6,7,9}U U C A C B =，()(){1,2,3,4,6,7,9}U U C A C B =.由计算结果可以知道，()()()U U U C A C B C AB =，()()()U U U C A C B C A B =.另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.点评：可用Venn 图研究()()()U U U C A C B C A B =与()()()U U U C A C B C AB = ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.UA-2 4 m xB AA BB A-1359x第3练 §1.1.3 集合的基本运算（一）※基础达标1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =,{}2,4,5A =，则=A C U （ C ）.A. ∅B. {}2,4,6C. {}1,3,6,7D. {}1,3,5,7 2．若{|02},{|12}A x x B x x =<<=≤<，则A B =（ D ）.A. {|2}x x <B. {|1}x x ≥C. {|12}x x ≤<D. {|02}x x <<3．右图中阴影部分表示的集合是（ A ）.A. B C A UB. A C B UC. ()B A C UD. ()B A C U 4．若{}{}0,1,2,3,|3,A B x x a a A ===∈，则AB =（C ）.A. {}1,2B. {}0,1C. {}0,3D. {}35．设集合{|12}M x x =-≤<,{|0}N x x k =-≤，若M N φ≠，则k 的取值范围是（ B ）.A ．2k ≤B ．1k ≥-C ．1k ->D ．12k -<≤6．设全集*{|8}U x N x =∈<，{1,3,5,7}A =，{2,4,5}B =,则()U C A B = . {6}7．已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，那么集合M N = . {(3,1)}-※能力提高8．设全集*{|010,}U x x x N =<<∈，若{3}AB =，{}7,5,1=BC A U ，()(){}9=B C A C U U ，求集合A 、B .答案：A ={1，3，5，7}，B ={2，3，4，6，8}. 提示：由Venn 图可知.9．设U R =，{|24}A x x =-≤<，{|8237}B x x x =-≥-，求()B A C U 、()()B C A C U U .答案：{|4}x x ≥, {|4}x x ≥※探究创新10．设集合{|(4)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(1)(4)0}B x x x =--=.（1）求A B ，A B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的值；（3）若5a =，则A B 的真子集共有 个, 集合P 满足条件()A B ≠⊂P ≠⊂()AB ，写出所有可能的集合P .解：（1）{1,4}B =.当4a =时，{4}A =，则{1,4}A B =，{4}A B =；当1a =时，{1,4}A =，则{1,4}AB =，{1,4}A B =；当1a ≠且4a ≠时，{4,}A a =，则{1,4,}A B a =，{4}AB =.（2）若A B ⊆，由上易知4a =或1a =.（3）当5a =时，{1,5}A =，{1,4,5}A B =，其真子集有7个. {4}A B =，则满足{4}{1,4,5}P 刎的集合P 有：{1,4},{4,5}.第4讲 §1.1.3 集合的基本运算（二）¤学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法.¤知识要点：1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：()()()U U U C A B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =.2. 集合元素个数公式：()()()()n AB n A n B n A B =+-.3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维. ¤例题精讲：【例1】设集合{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，若{}9A B =，求实数a 的值.解：由于{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，且{}9AB =，则有：当219 a -＝时，解得5a ＝，此时={4, 9, 25}={9, 0, 4}A B －，－，不合题意，故舍去； 当29a ＝时，解得33a ＝或－.3 ={4,5,9} ={9,2,2}a A B ＝时，－，－－，不合题意，故舍去； 3={4, 7 9}={9, 8, 4}a A B ＝－，－－，，－，合题意.所以，3a ＝－.【例2】设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求A B , AB .（教材P 14 B 组题2）解：{1,4}B =.当3a =时，{3}A =，则{1,3,4}A B =，A B =∅； 当1a =时，{1,3}A =，则{1,3,4}A B =，{1}A B =； 当4a =时，{3,4}A =，则{1,3,4}A B =，{4}A B =；当3a ≠且1a ≠且4a ≠时，{3,}A a =，则{1,3,4,}A B a =，A B =∅.点评：集合A 含有参数a ，需要对参数a 进行分情况讨论. 罗列参数a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例3】设集合A ={x |240x x +=}， B ={x |222(1)10x a x a +++-=，a R ∈}，若A B =B ，求实数a 的值． 解：先化简集合A ={4,0}-. 由A B =B ，则B ⊆A ，可知集合B 可为∅，或为{0}，或{－4}，或{4,0}-. (i )若B =∅，则224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得a ＜1-； (ii )若0∈B ，代入得2a 1-=0⇒a =1或a =1-， 当a =1时，B =A ，符合题意；当a =1-时，B ={0}⊆A ，也符合题意．(iii )若－4∈B ，代入得2870a a -+=⇒a =7或a =1， 当a =1时，已经讨论，符合题意；当a =7时，B ={－12，－4}，不符合题意． 综上可得，a =1或a ≤1-．点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A =B 和B =∅的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.【例4】对集合A 与B ，若定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，当集合*{|8,}A x x x N =≤∈，集合{|(2)(5)(6)0}B x x x x x =---=时，有A B -= . （由教材P 12 补集定义“集合A 相对于全集U 的补集为{|,}U C A x x x A =∈∉且”而拓展）解：根据题意可知，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，{0,2,5,6}B =由定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，则{1,3,4,7,8}A B -=.点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A 中排除B 的元素. 如果再给定全集U ，则A B -也相当于()U AC B .第4练 §1.1.3 集合的基本运算（二）※基础达标1．已知集合A = {}1,2,4, B ={}8x x 是的正约数, 则A 与B 的关系是（ B ）.A. A = BB. A ≠⊂B C. A ≠⊃B D. A ∪B =∅2．已知,,a b c 为非零实数, 代数式||||||||a b c abca b c abc +++的值所组成的集合为M , 则下列判断正确的是（ D ）. A. 0M ∉ B. 4M -∉ C. 2M ∈ D. 4M ∈ 3．（08年湖南卷.文1）已知{}2,3,4,5,6,7U =，{}3,4,5,7M =，{}2,4,5,6N =，则（ B ）.A ．{}4,6MN = B.MN U = C ．()u C N M U = D. ()u C M N N =4．定义集合A 、B 的一种运算：1212{,,}A B x x x x x A x B *==+∈∈其中，若{1,2,3}A =，{1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为（ B ）.A ．9 B. 14 C. 18 D. 215．设全集U 是实数集R ，{}2|4M x x =>与{}|31N x x x =≥<或都是U 的子集（如右图所示），则阴影部分所表示的集合为（ A ）.A. {}|21x x -≤<B. {}|22x x -≤≤C. {}|12x x <≤D. {}|2x x <6．已知集合{11}A x x =-≤≤，{}B x x a =>，且满足AB φ=，则实数a 的取值范围是 . 1a ≥7．经统计知，某村有电话的家庭有35家，有农用三轮车的家庭有65家，既有电话又有农用三轮车的家庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为 . 80 提示：结合文氏图，易知()()()()n A B n A n B n A B =+-，则65352080+-=※能力提高8．已知集合2{|0}A x x px q =++=， 2{|20}B x x px q =--=，且{1}AB =-，求A B ．答案：{2,1,4}A B =--9．已知集合U =2{2,3,23}a a +-，A ={|a +1|，2}，U C A ={a +3}，求实数a 的值.答案：2a = 提示：由集合元素的特征列方程组而解.※探究创新 10．（1）给定集合A 、B ，定义A ※B ={x |x =m -n ，m ∈A ，n ∈B }．若A ={4，5，6}，B ={1，2，3}，则集合A ※B 中的所有元素之和为 （ ）A ．15B ．14C ．29D ．-14（2）设全集为U ，集合A 、B 是U 的子集，定义集合A 、B 的运算：A *B ={x |x ∈A ，或x ∈B ,且x ∉A ∩B }，则(A *B )*A 等于（ ）A ．AB ．BC ．()U A B ð∩D ．()U A B ð∪（3）已知集合A ={x |2x n ≠且3x n ≠，n ∈N ，x ∈N *，x ≤100}，试求出集合A 的元素之和. 答案：（1）A ※B ={3，4，5，2，1}，3+4+5+2+1=15．答案选A ．（2）先将A *B 化简即得 A *B ={x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }=()A B A B ð∪∩．∴(A *B )*A ={x |x ∈(A *B )∪A ，且x ∉(A *B )∩A }={x |x ∈A ∪B ，且x ∉()A A B ð∩}=B ．（3）S ＝(1＋2＋3＋…＋100)－(6＋12＋18＋…＋96)＝5050－816＝4234第5讲 §1.2.1 函数的概念¤学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.¤知识要点：1. 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作y =()f x ，x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.2. 设a 、b 是两个实数，且a <b ，则：{x |a ≤x ≤b }＝[a ,b ] 叫闭区间； {x |a <x <b }＝(a ,b ) 叫开区间；{x |a ≤x <b }＝[,)a b ， {x |a <x ≤b }＝(,]a b ，都叫半开半闭区间.符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞.3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数. ¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域： （1）121y x =+-；（2）3312x y x -=--.解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞.（2）由330120x x -≥⎧⎪⎨--≠⎪⎩，解得3x ≥且9x ≠，所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞.【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）3254x y x+=-； （2）22y x x =-++. 解：（1）要使函数有意义，则540x -≠，解得54x ≠. 所以原函数的定义域是5{|}4x x ≠.32112813(45)233233305445445445444x x x y x x x x ++-+==⨯=⨯=-+≠-+=-----，所以值域为3{|}4y y ≠-.（2）22192()24y x x x =-++=--+. 所以原函数的定义域是R ，值域是9(,]4-∞.【例3】已知函数1()1xf x x-=+. 求：（1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式 解：（1）由121x x -=+，解得13x =-，所以1(2)3f =-.（2）设11x t x -=+，解得11t x t -=+，所以1()1t f t t -=+，即1()1xf x x-=+. 点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例4】已知函数22(),1x f x x R x =∈+.（1）求1()()f x f x +的值；（2）计算：111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++.解：（1）由2222222221111()()1111111x x x x f x f x x x x x x ++=+=+==+++++.（2）原式11117(1)((2)())((3)())((4)())323422f f f f f f f =++++++=+=点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.第5练 §1.2.1 函数的概念※基础达标1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ C ）. A. 1,xy y x== B. 211,1y x x y x =-+=-C. 33,y x y x == D. 2||,()y x y x ==2．函数21232xy x x -=--的定义域为（ D ）.A. (,1]-∞B. (,2]-∞C. 11(,)(,1]22-∞-- D. 11(,)(,1]22-∞-- 3．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ B ）.4．下列四个图象中，不是函数图象的是（ B ）.5．已知函数()f x 的定义域为[1,2)-，则(1)f x -的定义域为（ C ）. A ．[1,2)- B ．[0,2)- C ．[0,3)- D ．[2,1)-6．已知()f x ＝2x ＋x ＋1，则(2)f ＝______；f ［(2)f ］＝______．3＋2, 57 7．已知2(21)2f x x x +=-，则(3)f = . －1 ※能力提高 8．（1）求函数21x y x -=-的定义域； （2）求函数2113x y x+=-的定义域与值域. 答案：（1）(,1)(1,2]-∞；（2）定义域1{|}3x x ≠，值域2{|}3y y ≠-.9．已知2()f x ax bx c =++，(0)0f =，且(1)()1f x f x x +=++，试求()f x 的表达式. 答案：211()22f x x x =+※探究创新 10．已知函数()f x ，()g x 同时满足：()()()()()g x y g x g y f x f y -=+；(1)1f -=-，(0)0f =，(1)1f =，求(0),(1),(2)g gg的值.解：令x y =得22()()(0)f x g y g +=. 再令0x =，即得(0)0,1g =. 若(0)0g =，令1x y ==时，得(1)0f =不合题意，故(0)1g =；(0)(11)(1)(1)(1)(1)g g g g f f =-=+，即21(1)1g =+，所以(1)0g =；那么(1)(01)(0)(1)(0)(1)0g g g g f f -=-=+=，(2)[1(1)](1)(1)(1)(1)1g g g g f f =--=-+-=-.x y 0-2 2x y 0 -2 22 xy 0 -2 22 xy 0 -2 2 2A. B. C . D.x Oy x x xy y y OO OA. B. C. D.11第6讲 §1.2.2 函数的表示法¤学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念.¤知识要点：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”. 判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f .¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．解：盒子的高为x ，长、宽为2a x －，所以体积为V ＝2(2)x a x －.又由20a x >－，解得2a x <. 所以，体积V 以x 为自变量的函数式是2(2)V x a x =－，定义域为{|0}2a x x <<.【例2】已知f (x )=333322x x x x-⎧++⎪⎨+⎪⎩ (,1)(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值.解：∵ 0(,1)∈-∞， ∴ f (0)=32.又 ∵32>1，∴ f (32)=(32)3+(32)-3=2+12=52，即f [f (0)]=52.【例3】画出下列函数的图象：（1）|2|y x =-； （教材P 26 练习题3） （2）|1||24|y x x =-++.解：（1）由绝对值的概念，有2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩.所以，函数|2|y x =-的图象如右图所示.（2）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，所以，函数|1||24|y x x =-++的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当(2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.解：3, 2.522,211,10()0,011,122,233,3x x x f x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪--≤<⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪=⎩. 函数图象如右：点评：解题关键是理解符号[]m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.12第6练 §1.2.2 函数的表示法※基础达标1．函数f (x )= 2(1)xx x ⎧⎨+⎩,0,0x x ≥< ，则(2)f -=（ B ）.A. 1 B .2 C. 3 D. 42．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t ，离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是（ C ）.3．已知函数()f x 满足()()()f ab f a f b =+，且(2)f p =，(3)f q =，那么(12)f 等于（ B ）.A . p q + B. 2p q + C. 2p q + D. 2p q + 4．设集合A ＝｛x ｜0≤x ≤6｝，B ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是（ A ）.A. f ：x →y ＝12x B. f ：x →y ＝13x C. f ：x →y ＝14x D. f ：x →y ＝16x5．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的话费由[]3.71,(04)() 1.06(0.52),(4)m f m m m <≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩给出，其中[]m 是不超过m 的最大整数，如：[]3.743=，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是（ C ）.A. 3.71B. 4.24C. 4.77D. 7.956．已知函数(),mf x x x=+且此函数图象过点（1，5），实数m 的值为 .4 7．24,02(),(2)2,2x x f x f x x ⎧-≤≤==⎨>⎩已知函数则 0 ；若00()8,f x x ==则 4 . ※能力提高8．画出下列函数的图象：（1）22||3y x x =-++； （2）2|23|y x x =-++.9．设二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-且()f x =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求()f x 的解析式答案：2()43f x x x =-+※探究创新10．（1）设集合{,,}A a b c =，{0,1}B =. 试问：从A 到B 的映射共有几个？（2）集合A 有元素m 个，集合B 有元素n 个，试问：从A 到B 的映射共有几个？ 解：（1）按映射定义，可以允许多对一，从而依次按三对一、二对一、一对一的情况作出映射图示，共有8种.（2）依据从A 到B 的映射定义，集合A 的每一个元素都对应着B 中的一个元素，有n 种可能，所以，共有映射m n 个.O d t O d tO d t Od t A. B. C. D.13第7讲 §1.3.1 函数的单调性¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别.¤知识要点：1. 增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；→计算f (x 1)－f (x 2) →判断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间（0，1）上的单调性. 解：任取12,x x ∈(0,1)，且12x x <. 则1221121212222()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=----. 由于1201x x <<<，110x -<，210x -<，210x x ->，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.所以，函数2()1xf x x =-在（0，1）上是减函数.【例2】求二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<的单调区间及单调性.解：设任意12,x x R ∈，且12x x <. 则22121122()()()()f x f x ax bx c ax bx c -=++-++221212()()a x x b x x =-+-1212()[()]x x a x x b =-++.若0a <，当122b x x a <≤-时，有120x x -<，12b x x a +<-，即12()0a x x b ++>，从而12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在(,]2b a -∞-上单调递增. 同理可得()f x 在[,)2ba-+∞上单调递减.【例3】求下列函数的单调区间：（1）|1||24|y x x =-++；（2）22||3y x x =-++.解：（1）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，其图象如右.由图可知，函数在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数.（2）22223,02||323,0x x x y x x x x x ⎧-++≥⎪=-++=⎨--+<⎪⎩，其图象如右.由图可知，函数在(,1]-∞-、[0,1]上是增函数，在[1,0]-、[1,)+∞上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到(||)f x 的图象. 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.【例4】已知31()2x f x x +=+，指出()f x 的单调区间. 解：∵ 3(2)55()322x f x x x +--==+++， ∴ 把5()g x x-=的图象沿x 轴方向向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到()f x 的图象，如图所示.由图象得()fx 在(,2)-∞-单调递增，在(2,)-+∞上单调递增.14点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知()f x a b ++平移变换规律.第7练 §1.3.1 函数的单调性※基础达标1．函数26y x x =-的减区间是（ D ）.A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞ 2．在区间（0，2）上是增函数的是（B ）.A. y =－x +1B. y =xC. y = x 2－4x ＋5D. y =2x3．函数()||()(2)f x x g x x x ==-和的递增区间依次是（ C ）.A. (,0],(,1]-∞-∞B. (,0],[1,)-∞+∞C. [0,),(,1]+∞-∞D. [0,),[1,)+∞+∞ 4．已知()f x 是R 上的增函数，令()(1)3F x f x =-+，则()F x 是R 上的（ B ）. A ．增函数 B ．减函数 C ．先减后增 D ．先增后减5．二次函数2()2f x x ax b =++在区间(-∞，4)上是减函数，你能确定的是（ C ）.A. 2a ≥B. 2b ≥C. 4a ≤-D. 4b ≤-6．函数()f x 的定义域为(,)a b ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x -->，则()f x 在(,)a b 上是增函数（填“增函数”或“减函数”或“非单调函数”）7．已知函数f (x )= x 2－2x ＋2，那么f (1)，f (－1)，f (3)之间的大小关系为 . (1)(3)(1)f f f <<- ※能力提高8．指出下列函数的单调区间及单调性：（1）3()1x f x x +=-；（2）2|23|y x x =-++ 解：（1）在(,1)-∞、(1,)+∞上都是减函数.（2）先作出函数223y x x =-++的图象，由于绝对值的作用，把x 轴下方的图象沿x 轴对折到x 轴上方，所得图象如右图所示.由图可知，函数在(,1]-∞-、[1,3]上是减函数，在[1,1]-、[3,)+∞上是增函数.9．若2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==. （1）求b 与c 的值；（2）试证明函数()f x 在区间(2,)+∞上是增函数.解：（1）4,3b c =-=；（2）略.※探究创新10．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数m 、n 均有()()()1f m n f m f n +=+-，且1()22f =，又当12x >-时，有()0f x >. （1）求1()2f -的值； （2）求证：()f x 是单调递增函数.解：（1）令0m n ==，则(0)(0)(0)1f f f =+-，∴ (0)1f =.又 111111()[()]()()1222222f f f f -=+-=+--，∴ 1(0)2()12f f =+--，1()(0)102f f -=-=. （2）设12x x <，则210x x ->，211122x x -->-. 又12x >-时有(0)0f >，∴ 211()02f x x -->.又21()()f x f x -=21112111[()]()()()1()f x x x f x f x x f x f x -+-=-+--=21()1f x x --212111()()1()022f x x f f x x =-+--=-->，∴ 21()()f x f x >，∴()f x 在R 上为增函数.15第8讲 §1.3.1 函数最大（小）值¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 能利用单调性求函数的最大（小）值.¤知识要点：1. 定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x = M . 那么，称M 是函数()y f x =的最大值（Maximum Value ）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value ）的定义.2. 配方法：研究二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值，先配方成224()24b ac b y a x a a-=++后，当0a >时，函数取最小值为244ac b a -；当0a <时，函数取最大值244ac b a-.3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：【例1】求函数261y x x =++的最大值.解：配方为2613()24y x =++，由2133()244x ++≥，得260813()24x <≤++. 所以函数的最大值为8.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.解：设他将售出价定为x 元，则提高了(10)x -元，减少了10(10)x -件，所赚得的利润为(8)[10010(10)]y x x =---.即2210280160010(14)360y x x x =-+-=--+. 当14x =时，max 360y =.所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360元. 【例3】求函数21y x x =+-的最小值.解：此函数的定义域为[)1,+∞，且函数在定义域上是增函数， 所以当1x =时，min 2112y =+-=，函数的最小值为2.点评：形如y ax b cx d =+±+的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究. 【另解】令1x t -=，则0t ≥，21x t =+，所以22115222()48y t t t =++=++，在0t ≥时是增函数，当0t =时，min 2y =，故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）25332,[,]22y x x x =--∈-； （2）|1||2|y x x =+--. 解：（1）二次函数232y x x =--的对称轴为2bx a=-，即1x =-. 画出函数的图象，由图可知，当1x =-时，max 4y =； 当32x =时，min 94y =-. 所以函数25332,[,]22y x x x =--∈-的最大值为4,最小值为94-.16（2） 3 (2)|1||2|2 1 (12)3 (1)x y x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩.作出函数的图象，由图可知，[3,3]y ∈-. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.第8练 §1.3.1 函数最大（小）值※基础达标 1．函数42y x =-在区间 []3,6上是减函数，则y 的最小值是（ A ）. A . 1 B. 3 C. －2 D. 52．函数221y x x =-+的最大值是（ B ）.A. 8B. 83C. 4D. 433．函数2()2f x x ax a =-+在区间(,1)-∞上有最小值，则a 的取值范围是（ A ）. A ．1a < B ．1a ≤ C ．1a > D ． 1a ≥4．某部队练习发射炮弹，炮弹的高度h 与时间t 的函数关系式是()24.914.718h t t t =-++则炮弹在发射几秒后最高呢（ C ）.A. 1.3秒B. 1.4秒C. 1.5秒 D 1.6秒5. 23()1,[0,]2f x x x x =++∈已知函数的最大（小）值情况为（ C ）.A. 有最大值34，但无最小值B. 有最小值34，有最大值1C. 有最小值1，有最大值194D. 无最大值，也无最小值6．函数32y x x =--的最大值是 .67．已知3()3xf x x =-，[4,6]x ∈. 则()f x 的最大值与最小值分别为 .12;6※能力提高8．已知函数2()2f x x x =-+.（1）证明()f x 在[1,)+∞上是减函数;（2）当[]2,5x ∈时，求()f x 的最大值和最小值. 答案：（1）略；（2）max min ()0,()15f x f x ==-9．一个星级旅馆有100个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如右： 欲使每天的的营业额最高，应如何定价？答案：设房价为x 元，则营业额21001(8510)135202x y x x x -=-⨯=-+，当135x =元时，营业额最高.※探究创新10．已知函数2142a y x ax =-+-+在区间[0，1]上的最大值为2，求实数a 的值. 解：令22211()()422442a a a a f x x ax x =-+-+=--+-+.（1）当02a ≤，即a ≤0时，max 1(0)242a y f ==-+=，得6a =-.房价（元） 住房率（%） 160 55140 65120 75100 85。

3.3 幂函数(精练)【题组一 幂函数的概念】1．(2021·福建高一期末)若幂函数()f x 的图象过点()2,4，则()3f 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．9【答案】D【解析】设幂函数()f x x α=，因为幂函数()f x 的图象过点()2,4，所以24α=，解得2α=， 所以()2f x x =，所以()2339f ==，故选：D2．(2021·江苏省锡山高级中学高一期末)若幂函数()f x 经过点()3,33，且()8f a =，则a =( )A ．2B ．3C ．128D ．512【答案】A【解析】设()f x x α=，因为幂函数()f x 经过点()3,33，所以(3)(3)33f α==，解得3α=，所以()38f a a ==，解得2a =，故选：A3．(新教材苏教版必修第一册))若函数()21xf x a a =++是幂函数，则a =________． 【答案】0或1- 【解析】由函数()21xf x a a =++是幂函数，可得211a a ++=，解得0a =或1a =-， 故答案为：0或1-．4．(2021年湖南)若函数()222433mm y m m x+-=-+为幂函数，则实数m 的值为________；当此幂函数在()0,∞+单调递减，则实数m 的值为_________． 【答案】1或2 1【解析】由幂函数定义知：2331m m -+=，解得：1m =或2； 当1m =时，2241m m +-=-，此时幂函数在()0,∞+单调递减； 当2m =时，2244m m +-=，此时幂函数在()0,∞+单调递增；∴当幂函数在()0,∞+单调递减时，1m =.故答案为：1或2；1. 【题组二 幂函数的三要素】1．(2020·浙江高一课时练习)5个幂函数：①2y x ；②45y x =；③54y x =；④23y x =；⑤45y x -=.其中定义域为R 的是( ) A ．只有①② B ．只有②③ C ．只有②④ D ．只有④⑤【答案】C 【解析】①2yx 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，②45y x =的定义域为R ， ③54y x =的定义域为(0,)+∞， ④23y x =的定义域为R ，⑤45y x -=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞， 故选：C .2．(步步高高一数学寒假作业：作业9幂函数)下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) A ．13y x = B ．12y x -= C ．53y x = D ．23y x =【答案】D【解析】A 中，13y x =的定义域和值域均为R ；B 中，12y x-=的定义域为()0,∞+，值域为()0,∞+；C 中，53y x =的定义域和值域均为R ；D 中，23y x =的定义域为R ，值域为[)0,+∞，定义域和值域不相同 故选：D3．(2021·江苏省)(多选)已知{}1,1,2,3α∈-，则使函数y x α=的值域为R ，且为奇函数的α的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3【答案】BD【解析】当1α=-时，11y x x-==，为奇函数，但值域为{}0y y ≠，不满足条件； 当1α=时，y x =为奇函数，值域为R ，满足条件； 当2α=时，2yx 为偶函数，值域为{}0y y ≥，不满足条件；当3α=时，3y x =为奇函数，值域为R ，满足条件. 故选BD.4．(2021·湖南高一期末)已知幂函数()y f x =的图象经过点()9,3，则()f x 的解析式是______． 【答案】()12f x x =【解析】幂函数()y f x =可设为()f x x α=，图象过点()9,3，则()993f α==，则12α=， 所以()12f x x =.故答案为：()12f x x =.5．(2021·浙江)已知幂函数 f (x ) = x α满足 f (3) = 33，则该幂函数的定义域为___________. 【答案】(0,)+∞ 【解析】因为f (3) =33，所以333α=，即1233α-=，解得12α=-，所以12()f x x -=，所以函数的定义域为(0,)+∞，故答案为：(0,)+∞6．(2021·上海市川沙中学高一期末)幂函数12y x =的定义域为________________. 【答案】[)0,+∞【解析】解：因为12y x x ==，所以0x ≥，所以函数的定义域为[)0,+∞ 故答案为：[)0,+∞ 【题组三 幂函数的性质】1(新教材人教版必修第一册))幂函数的图象过点(3， 3)，则它的单调递增区间是( ) A ．[-1，+∞) B ．[0，+∞) C ．(-∞，+∞) D ．(-∞，0)【答案】B【解析】设幂函数为f (x )=x α，因为幂函数的图象过点(3， 3)，所以f (3)=3α=3=123，解得α=12， 所以f (x )=12x ，所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞).故选：B2．(2021·务川仡佬族苗族自治县汇佳中学高一期末)下列函数既是幂函数又是偶函数的是( ) A ．2()3f x x =B ．()f x x =C ．41()f x x =D ．3()-=f x x【答案】C【解析】幂函数的图象都经过点(1,1)，排除A ； ()f x x =与3()-=f x x 不是偶函数，排除B ，D.故选:C3．(2021·河北高一期末)已知幂函数()221()1m f x m m x +=+-在()0,∞+上单调递减，则实数m 的值为( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2-或1【答案】A【解析】由于()f x 为幂函数，所以2112m m m +-=⇔=-或1m =；又函数()f x 在()0,∞+上单调递减，故当2m =-时符合条件，故选：A4．(2021·宁县第二中学高一期末)已知幂函数()223()22()n nf x n n xn -=+-∈Z 在(0,)+∞上是增函数，则n的值为( ) A ．1- B ．1 C ．3- D ．1和3-【答案】C【解析】因为函数是幂函数，所以2221+-=n n 解得：3n =-或1n =当3n =-时，()18=f x x 在()0,∞+上是增函数，符合题意. 当1n =时，()2f x x -=在()0,∞+上是减函数，不符合题意.故选：C5．(2021·四川高一期末)已知幂函数()()22222aaf x a a x+=--，满足()f x 在()0,x ∈+∞为减函数，则a 的值为( ) A ．3或1- B ．3 C ．1- D ．3-【答案】C【解析】由于幂函数()()22222aaf x a a x+=--在()0,x ∈+∞为减函数，所以，2222120a a a a ⎧--=⎨+<⎩，解得1a =-.故选：C.6．(2021·河南高一期末)已知幂函数()()()22231aa f x a a xa --=+-∈R 的图象在()0,∞+上单调递减，则实数a 的值是( )A ．1B ．2-C ．1或2-D ．512+ 【答案】A【解析】由幂函数定义得211a a +-=， 解得1a =或2a =-.当1a =时，()4f x x -=在()0,∞+上单调递减；当2a =-时，()5f x x =在()0,∞+上单调递增.故选：A7．(2021·山东高一期末)已知幂函数1234,,,a b c dy x y x y x y x ==== 在第一象限的图象如图所示，则( )A ．a b c d >>>B ．>>>b c d aC ．>>>d b c aD ．>>>c b d a【答案】B【解析】由图象可知，当2x =时，2222d a c b <<<，则a d c b <<< 故选：B8(2021·辽宁高一期末)幂函数23y x =的大致图像是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】203>，∴幂函数在第一象限内的图象为增函数，排除A ，C ，D ， 故选：B ．9．(2021·宁波中学高一期末)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A ．()y x x R =-∈B ．3()y x x x R =--∈C ．1()()2xy x R =∈D ．1y x=-(x R ∈，且0)x ≠ 【答案】B【解析】对于A 选项，()()f x x x f x -=--=-=，为偶函数，故错误；对于B 选项，()()()()33f x x x x x f x -=----=+=-，为奇函数，且函数3,y x y x =-=-均为减函数，故3()y x x x R =--∈为减函数，故正确；对于C 选项，指数函数没有奇偶性，故错误；对于D 选项，函数为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误. 故选：B10．(2021·河南高一期末)下列函数中，在(),1-∞-上是增函数的是( ) A ．3y x =- B ．24y x x =--C ．1x y x=+ D ．2y x =-【答案】C【解析】本题考查函数的单调性.A 项中，函数3y x =-在R 上单调递减，故A 错误；B 项中，二次函数24y x x =--的图像开口向下，对称轴方程为2x =-，故该函数在(],2-∞-上单调递增，在()2,-+∞上单调递减，故B 错误；C 项中，函数1111x y x x==-++，在(),1-∞-和()1,+∞上分别单调递增，故C 正确；D 项中，函数2y x =-在(],2-∞上单调递减，故D 错误. 故选：C11．(2021·江苏南通·高一期末)幂函数2232m m y x --=是偶函数，在()0,∞+上是减函数，则整数m 的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．2【答案】A【解析】因为幂函数2232m m y x --=在()0,∞+上是减函数，所以22320m m --<，解得122m -<<，又m Z ∈，所以0m =或1m =， 当0m =时，221yxx 定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()2211x x =-，所以2y x 是偶函数，满足题意；当1m =时，331y x x-==定义域为()(),00,-∞⋃+∞，而()3311x x =--，所以3y x -=是奇函数，不满足题意，舍去； 综上，0m =. 故选：A12．(2021·辽宁高一期末)使幂函数y x α=为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数的α值为( ) A ．1- B ．23-C ．12-D ．2【答案】B 【解析】A 选项，1y x=是奇函数，不符合题意. B 选项，321y x =为偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，符合题意.C 选项，1y x=是非奇非偶函数，不符合题意.D 选项，2y x ，在()0,∞+上递增，不符合题意.故选：B13．(2021·山东高一期末)已知点(),8a 在幂函数()()1bf x a x =-的图象上，若()()130f m f m +-<，则实数m 的取值范围为_________．2⎝⎭【解析】因为()()1bf x a x =-为幂函数，所以11a -=，解得a =2所以()b f x x =，又(2,8)在()f x 上，代入解得3b =， 所以3()f x x =，为奇函数因为()()130f m f m +-<，所以()(13)(31)f m f m f m <--=-， 因为3()f x x =在R 上为单调增函数， 所以31m m <-，解得12m >， 故答案为：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭14．(2021·湖南师大附中高一月考)已知幂函数2()(1)m f x m m x =--的图象关于y 轴对称，则m 的值为_________. 【答案】2【解析】由于()f x 是幂函数，所以211m m --=，解得2m =或1m =-.当2m =时，()2f x x =，图象关于y 轴对称，符合题意.当1m =-时，()11x xf x -==，图象关于原点对称，不符合题意. 所以m 的值为2. 故答案为：215．(2021·辽宁庄河高中高一开学考试)若幂函数()222=33mm y m xm ---+的图象不经过坐标轴，则实数m的值为___________. 【答案】1或2【解析】由题意得：2233120m m m m ⎧-+=⎨--≤⎩，解得：m=1或2，故答案为：1或2.16．(2021·全国高一期末)已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+的图象关于原点对称，则满足()()132mma a +>-的实数a 的值构成的集合为________.3⎝⎭【解析】因为函数()()2133m f x m m x +=-+为幂函数，则2331m m -+=，得1m =或2m =.若1m =，则()2f x x =为偶函数，不合乎题意；若2m =，则()3f x x =为奇函数，合乎题意.所以，2m =.所以不等式可转化为()()22132a a +>-，即231480a a -+<，解得243a <<.故答案为：2,43⎛⎫⎪⎝⎭.17．(2020·湖北高一期中)已知幂函数()2m f x x +=过点()2,8，且2(1)(24)0f k f k ++-<，则实数k 的取值范围是_____． 【答案】()3,1-【解析】由题设可得23282m +==，故1m =，所以()3f x x =，所以()f x 为R 上的奇函数且为增函数，而2(1)(24)0f k f k ++-<等价于()2(1)(24)42f k f k f k +<--=-，所以2230k k +-<，故31k -<<. 故答案为：()3,1-.【题组四 幂函数的综合运用】1．(新教材苏教版必修第一册)已知幂函数()()2151m h x m m x +=-+为奇函数．(1)求实数m 的值；(2)求函数()()()11202g x h x h x x ⎛⎫⎡⎫=+-∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，的值域．【答案】(1)0m =；(2)112⎛⎤⎥⎝⎦，． 【解析】(1)∵函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，2511m m ∴-+=，解得0m =或5，当0m =时，()h x x =，()h x 为奇函数， 当5m =时，()6h x x =，()h x 为偶函数，函数()h x 为奇函数，0m ∴=；(2)由(1)可知，()h x x =，则()12g x x x =+-，102x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，令12x t -=，则21122x t =-+，(]01t ∈，，则()22111(1)1222f t t t t =-++=--+，(]01t ∈，，函数()f t 为开口向下，对称轴为1t =的抛物线， ∴当0t =时，函数()102f =， 当1t =，函数()f t 取得最大值为1，∴()f t 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，，故函数()g x 的值域为112⎛⎤⎥⎝⎦，．2．(2021·山西高一期末)已知函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数.(1)求m 的值；(2)求函数()()12=+-g x h x x 在11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域.【答案】(1)0m =；(2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】(1)因为函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，所以2511m m -+=，解得0m =或5m =. 即()h x x =或()6h x x =.又因为函数()h x 为奇函数，所以()h x x =，0m =. (2)()()1212g x h x x x x =+-=+-，设12t x =-，因为11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以0,3t ⎡⎤∈⎣⎦，212t x -=. 所以()22111122t y t t -=+=--+， 当1t =时，max 1y =，当0t =时，min 12y =，故值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 3．(2021·赤峰二中高一期末(理))已知幂函数()2()1()kf x k k x k R =--∈，且在区间(0,)+∞内函数图象是上升的．(1)求实数k 的值；(2)若存在实数a ，b 使得函数f (x )在区间[a ，b ]上的值域为[a ，b ]，求实数a ，b 的值．【答案】(1)2；(2)a ＝0，b ＝1．【解析】(1)()2()1()k f x k k x k R =--∈为幂函数， ∴211k k --=，解得1k =-或2k =，又()f x 在区间(0,)+∞内的函数图象是上升的，0k ∴>，∴k ＝2；(2)∵存在实数a ，b 使得函数()f x 在区间,a b 上的值域为,a b ，且2()f x x =，∴()()f a a f b b =⎧⎨=⎩，即22a a b b ⎧=⎨=⎩， a b <，∴a ＝0，b ＝1．4．(2020·浙江高一课时练习)已知幂函数21322()()pp f x x p -++=∈N 在(0,)+∞上是增函数，且在定义域上是偶函数.(1)求p 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式. (2)对于(1)中求得的函数()f x ，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使得()g x 在区间(,4]-∞-上是减函数，且在区间(4,0)-上是增函数？若存在，请求出q ；若不存在，请说明理由.【答案】(1)当0p =或2p =时，32()f x x =；当1p =时，2()f x x =；(2)存在，130-. 【解析】(1)由于已知()f x 在(0,)+∞上是增函数，因而213022p p -++>，解得13p -<<. 又p ∈N ，因而0p =或1或2.当0p =或2p =时，32()f x x =，不是偶函数；当1p =时，2()f x x =，符合题意.(2)存在.理由如下： 由(1)知2()[()](21)()1()(21)()1g x qf f x q f x qf x q f x =-+-+=-+-+.由于2()0f x x =，因而当(,4]x ∈-∞-时，2()[16,)f x x =∈+∞，此时，函数()g x 单调递减，而函数()t f x =在(,4]-∞-上单调递减，则外层函数2(21)1y qt q t =-+-+在[16,)+∞上单调递增；当(4,0)∈-x 时，2()(0,16)f x x =∈，此时，函数()g x 单调递增，而函数()t f x =在(4,0)-上单调递减，则外层函数2(21)1y qt q t =-+-+在(0,16)上单调递减. 所以211620q q q -⎧-=⎪-⎨⎪->⎩，即130q =-. 所以存在130q =-满足题设条件. 5．(2021·上海市第二中学高一期末)已知幂函数223()mm y f x x --==(m ∈Z )在(0,)+∞是严格减函数，且为偶函数.(1)求()y f x =的解析式； (2)讨论函数5()(2)()y af x a x f x =+-⋅的奇偶性，并说明理由.【答案】(1)4()y f x x -==；(2)当2a =时，为偶函数；当0a =时，为奇函数；当2a ≠且0a ≠时，为非奇非偶函数.理由见解析.【解析】(1)因为幂函数223()m m y f x x --==(m Z ∈)在(0,)+∞是严格减函数，所以2230m m --<，即()()310m m -+< ，解得：13x ，因为m Z ∈，所以0,1,2m =，当0m =时，3()y f x x -==，此时()y f x =为奇函数，不符合题意；当1m =时，4()y f x x -==，此时()y f x =为偶函数，符合题意；当2m =时，3()y f x x -==，此时()y f x =为奇函数，不符合题意；所以4()y f x x -==，(2)4544(2)(2)y ax a x x ax a x ---=+-⋅=+-，令()4(2)F x ax a x -=+-当0a =时，()2F x x =-，()()()22F x x x F x -=-⨯-==-，此时是奇函数，当2a =时()4422F x x x -==，()()()444222F x x xx --=-==-，此时是偶函数， 当0a ≠且2a ≠时，()1(2)22F a a a =+-=-，()1(2)2F a a -=--=， ()()11F F ≠-，()()11F F -≠-，此时是非奇非偶函数函数.6．(2021·深圳市)已知幂函数()223mm y f x x --+==(其中22m -<<，m ∈Z )满足： ①在区间,0上为减函数；②对任意的x ∈R ，都有()()0f x f x --=.求幂函数()f x 的解析式，并求当[]0,4x ∈时，()f x 的值域.【答案】()4f x x =，值域为[]0,256【解析】22m -<<，m ∈Z ，1m ∴=-，0，1.对任意x ∈R ，都有()()0f x f x --=，即()()f x f x -=，f x 是偶函数.当1m =-时，()4f x x =，满足条件①②； 当1m =时，()0f x x =，不满足条件①；当0m =时，()3f x x =，条件①②都不满足，故同时满足条件①②的幂函数()f x 的解析式为()4f x x =，且在区间[]0,4上是增函数，∴当[]0,4x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,256.。

课时小练高一数学必修一活动单导学课程教学目标：了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求，了解新课程标准的基本思路，了解高考意向，掌握高中数学学习基本方法，激发学生学习数学兴趣，强调布置有关数学学习要求和安排。

教学重点：并使学生掌控高中数学自学基本方法。

教学难点：如何激发学生学习数学的兴趣.教学用具：投影仪.教学方法：学生通过自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成高中的学习.教学过程：一、欢迎词：1、祝贺同学们通过自己的不懈努力，步入低一级学校进修。

期望同学们能以代莱行动，圆满完成高中三年的自学任务，并预祝同学们获得优异成绩，同时实现宏伟目标。

2、同学们军训辛苦了，收获应是：吃苦耐劳、严肃认真、严格要求3、我将和同学们共同自学高中数学，暂定一年，…4、本节课和同学们谈谈几个问题：为什么要学数学？如何学数学？高中数学知识结构？新课程标准的基本思路？本期数学教学、活动安排？作业要求？二、几个问题：1.为什么要学数学：数学是各科之研究工具，渗透到各个领域；活脑，训练思维；计算机等高科技应用的需要；生活实践应用的需要。

2.如何学数学：请几个同学发表自己的看法→ 共同完善归纳为四点：抓好自学和预习；带着问题认真听课；独立完成作业；及时复习。

注重自学能力的培养，在学习中有的放矢，形成学习能力。

高中数学由于中考建议，自学时与初中有所不同，通晓书本知识外，还要适度加强难度，即为能思索顺利完成一些课后练习册，教材上每章备考参照题一定必须题题可以搞。

适度写作一些课外资料，例如下载一份数学报刊，出售一本同步辅导资料.3.高中数学知识结构：书本：高一上期（必修课程①、②），低一下期（必修课程③、④），高二上期（必修课程⑤、报读系列），高二下期（报读系列），高三年级：复习资料。

知识：密切联系，必修（五个模块）＋选修系列（4个系列）能力：运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力、分析和化解实际问题的能力、应用领域能力。

4.新课程标准的基本理念：①构筑共同基础，提供更多发展平台；②提供更多多样课程，适应环境个性挑选；③提倡积极主动、勇于探索的`自学方式；④著重提升学生的数学思维能力；⑤发展学生的数学应用领域意识；⑥与时俱进地重新认识“双基”；⑦特别强调本质，特别注意适当公理化；⑧彰显数学的文化价值；⑨著重信息技术与数学课程的资源整合；⑩创建合理、科学的评价体系。

第一章预备知识§1集合1.1 集合的概念与表示第1课时集合的概念课后篇巩固提升必备知识基础练1.(多选题)下列说法不正确的是( )A.班上个子较高的同学,可以组成集合B.方程x(x-2)2=0的解集是{2,0,2}C.集合{1,2,3,4}是有限集D.集合{x|x2+5x+6=0}与集合{x2+5x+6=0}是含有相同元素的集合2.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是( )D.√7A.3.14B.-5C.37√7是实数,但不是有理数,故选D.3.若集合A只含有元素a,则下列各选项正确的是( )A.A∈aB.a∉AC.a∈AD.a=AA中只有一个元素a,∴a∈A,元素a与集合A的关系不应该用“=”,故选C.4.(多选题)下列关系正确的有( )∈R B.√2∉RA.12C.|-3|∈ND.|-√3|∈Q,√2是实数,|-3|=3是非负整数,|-√3|=√3是无理数,故选AC.5.如果集合中的元素是三角形的边长,那么这个三角形一定不可能是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形6.(多选题)已知集合A中元素x满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示不正确的是( )A.-1∉AB.-11∈AC.3k2-1∈AD.-34∉Ak=0时,3k-1=-1,故-1∈A,选项A错误;∉Z,选项B错误;若-11∈A,则-11=3k-1,解得k=-103令3k2-1=3k-1,得k=0,或k=1,即3k2-1∈A,选项C正确;当k=-11时,3k-1=-34,故-34∈A,选项D错误.7.已知集合A中含有2个元素x+2和x2,若1∈A,则实数x的值为.x+2=1,或x2=1,所以x=1,或x=-1.当x=-1时,x+2=x2,不满足互异性,所以x=-1舍去;当x=1时,x+2=3,x2=1,故x=1.8.设P,Q为两个非空实数集合,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,则P+Q中元素的个数是.a∈P,b∈Q,则a+b的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11,则组成的集合P+Q中有8个元素.关键能力提升练9.(多选题)下面说法不正确的是( )A.集合N 中最小的数是0B.若-a 不属于N,则a 属于NC.若a ∈N,b ∈N,则a+b 的最小值为2D.x 2+1=2x 的解可表示为{1,1}N 中最小的数是0,所以A 说法正确;因为N 表示自然数集,-0.5∉N,0.5∉N,所以B 说法不正确;当a=0,b=1时,a+b=1<2,所以C 说法不正确;根据集合中元素的互异性知D 说法不正确.10.(江苏高一课时练)已知集合A 是由a-2,2a 2+5a,12三个元素组成的,且-3∈A,则a= .-3∈A,可得-3=a-2,或-3=2a 2+5a,且不同时相等.由-3=a-2,解得a=-1,由-3=2a 2+5a,解得a=-1或-32,经验证,a=-1不满足条件,a=-32满足条件.故答案为-32. -3211.已知集合M 满足条件:若a ∈M,则1+a1-a ∈M(a≠0,a≠±1).已知3∈M,试把由此确定的集合M 的元素全部求出来.3∈M,∴1+31-3=-2∈M. ∴1-21+2=-13∈M;1+-131--13=12∈M. 又∵1+121-12=3∈M,∴集合M 的所有元素为3,-2,-13,12.12.已知集合A 中含有两个元素a-3和2a-1.(1)若-3是集合A 中的元素,试求实数a 的值;(2)-5能否为集合A 中的元素?若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由.因为-3是集合A 中的元素,所以-3=a-3或-3=2a-1.若-3=a-3,则a=0,此时集合A 含有两个元素-3,-1,符合要求;若-3=2a-1,则a=-1,此时集合A 中含有两个元素-4,-3,符合要求.综上所述,满足题意的实数a 的值为0或-1.(2)若-5为集合A 中的元素,则a-3=-5或2a-1=-5.当a-3=-5时,解得a=-2,此时2a-1=2×(-2)-1=-5,显然不满足集合中元素的互异性;当2a-1=-5时,解得a=-2,此时a-3=-5,显然不满足集合中元素的互异性.综上,-5不能为集合A 中的元素.学科素养拔高练13.设A 是由一些实数组成的集合,若a ∈A,则11-a ∈A,且1∉A.(1)若3∈A,求集合A;(2)求证:若a ∈A,则1-1a ∈A; (3)集合A 中能否只有一个元素?若能,求出集合A;若不能,说明理由.3∈A,∴11-3=-12∈A, ∴11-(-12)=23∈A, ∴11-23=3∈A,∴A={3,-12,23}.a ∈A,∴11-a ∈A, ∴11-11-a =1-a-a =1-1a ∈A.A 只有一个元素,记A={a},则a=11-a ,即a 2-a+1=0.∵Δ=(-1)2-4=-3<0,∴a2-a+1=0无实数解,即集合A中不能只有一个元素.。

1）1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. 23讨论：军训前学校通知：8月15日上午8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？引入：在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体.集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件.二、新课导学※ 探索新知探究1：考察几组对象： ① 1～20以内所有的质数；② 到定点的距离等于定长的所有点； ③ 所有的锐角三角形；④ 2x , 32x +, 35y x -, 22x y +； ⑤ 东升高中高一级全体学生； ⑥ 方程230x x +=的所有实数根；⑦ 隆成日用品厂2008年8月生产的所有童车； ⑧ 2008年8月，广东所有出生婴儿. 试回答：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？新知1：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫做集合（set ）.试试1：探究1中①～⑧都能组成集合吗，元素分别是什么？探究2：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？新知2：集合元素的特征对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征.确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.互异性：同一集合中不应重复出现同一元素. 无序性：集合中的元素没有顺序.只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 .试试2：分析下列对象，能否构成集合，并指出元素：① 不等式30x ->的解； ② 3的倍数；③ 方程2210x x -+=的解； ④ a ，b ，c ，x ，y ，z ； ⑤ 最小的整数；⑥ 周长为10 cm 的三角形； ⑦ 中国古代四大发明； ⑧ 全班每个学生的年龄； ⑨ 地球上的四大洋； ⑩ 地球的小河流.探究3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢？新知3：集合的字母表示集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于(belong to)集合A ，记作：a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于(not belong to)集合A ，记作：a ∉A .试试3： 设B 表示“5以内的自然数”组成的集合，则5 B ，0.5 B ， 0 B ， －1 B .探究4：常见的数集有哪些，又如何表示呢？新知4：常见数集的表示 非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N ；正整数集：所有正整数的集合，记作N *或N +； 整数集：全体整数的集合，记作Z ；有理数集：全体有理数的集合，记作Q ； 实数集：全体实数的集合，记作R .试试4：填∈或∉：0 N ，0R ，3.7 N ，3.7Z ， .探究5：探究1中①～⑧分别组成的集合，以及常见数集的语言表示等例子，都是用自然语言来描述一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐，能否找到一种简单的方法呢？新知5：列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a与{a}不同.试试5：试试2中，哪些对象组成的集合能用列举法表示出来，试写出其表示.※典型例题例1 用列举法表示下列集合：①15以内质数的集合；②方程2(1)0x x-=的所有实数根组成的集合；③一次函数y x=与21y x=-的图象的交点组成的集合.变式：用列举法表示“一次函数y x=的图象与二次函数2y x=的图象的交点”组成的集合.三、总结提升※学习小结①概念：集合与元素；属于与不属于；②集合中元素三特征；③常见数集及表示；④列举法.※知识拓展集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的. 1874年康托尔提出“集合”的概念：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素. 人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列说法正确的是（）.A．某个村子里的高个子组成一个集合B．所有小正数组成一个集合C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一个集合D．1361,0.5,,,2242. 给出下列关系：①12R=；②Q；③3N+-∉；④.Q 其中正确的个数为（）.A．1个B．2个C．3个D．4个3. 直线21y x=+与y轴的交点所组成的集合为（）.A. {0,1}B. {(0,1)}C.1{,0}2- D.1{(,0)}2-4. 设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：深圳A；广州A. （填∈或∉）5. “方程230x x-=的所有实数根”组成的集合用列举法表示为____________.1. 用列举法表示下列集合：（1）由小于10的所有质数组成的集合；（2）10的所有正约数组成的集合；（3）方程2100x x-=的所有实数根组成的集合. 2. 设x∈R，集合2{3,,2}A x x x=-.（1）求元素x所应满足的条件；（2）若2A-∈，求实数x.§1.1.1 集合的含义与表示（2）1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.45复习1：一般地，指定的某些对象的全体称为 .其中的每个对象叫作 .集合中的元素具备 、 、 特征. 集合与元素的关系有 、 .复习2：集合2{21}A x x =++的元素是 ，若1∈A ，则x = .复习3：集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么？四个集合有何关系？二、新课导学※ 学习探究 思考：① 你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗？② 你能用列举法表示不等式13x -<的解集吗？探究：比较如下表示法 ① {方程210x -=的根}； ② {1,1}-；③ 2{|10}x R x ∈-=.新知：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为{|}x A P ∈，其中x 代表元素，P 是确定条件.试试：方程230x -=的所有实数根组成的集合，用描述法表示为 .※ 典型例题例1 试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）方程2(1)0x x -=的所有实数根组成的集合； （2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.练习：用描述法表示下列集合.（1）方程340x x +=的所有实数根组成的集合； （2）所有奇数组成的集合.小结：用描述法表示集合时，如果从上下文关系来看，x R ∈、x Z ∈明确时可省略，例如 {|21,}x x k k Z =-∈,{|0}x x >.例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）抛物线21y x =-上的所有点组成的集合；（2）方程组3222327x y x y +=⎧⎨+=⎩解集.变式：以下三个集合有什么区别. （1）2{(,)|1}x y y x =-；（2）2{|1}y y x =-；（3）2{|1}x y x=-.反思与小结：①描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如2{(,)|1}x y y x=-与2{|1}y y x=-不同.②只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如{|1}x x>，{|3,}x x k k Z=∈.③集合的{ }已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数集Z，所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集}，{R}也是错误的.④列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.※动手试试练1. 用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数. 练 2. 已知集合{|33,}A x x x Z=-<<∈，集合2{(,)|1,}B x y y x x A==+∈. 试用列举法分别表示集合A、B.三、总结提升※学习小结1. 集合的三种表示方法（自然语言、列举法、描述法）；2. 会用适当的方法表示集合；※知识拓展1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如：（1）所有直角三角形的集合可以表示为：{|}x x是直角三角形，也可以写成：{直角三角形}；（2）集合2{(,)|1}x y y x=+与集合2{|1}y y x=+是同一个集合吗？2. 我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合，即：文氏图，或称Venn图.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 设{|16}A x N x=∈≤<，则下列正确的是（）.A. 6A∈ B. 0A∈C. 3A∉ D. 3.5A∉2. 下列说法正确的是（）.A.不等式253x-<的解集表示为{4}x<B.所有偶数的集合表示为{|2}x x k=C.全体自然数的集合可表示为{自然数}D. 方程240x-=实数根的集合表示为{(2,2)}-3. 一次函数3y x=-与2y x=-的图象的交点组成的集合是（）.A. {1,2}- B. {1,2}x y==-C. {(2,1)}- D.3{(,)|}2y xx yy x=-⎧⎨=-⎩4. 用列举法表示集合{|510}A x Z x=∈≤<为.5.集合A＝{x|x=2n且n∈N}，2{|650}B x x x=-+=，用∈或∉填空：4 A，4 B，5 A，5 B.1. （1）设集合{(,)|6,,}A x y x y x N y N=+=∈∈，试用列举法表示集合A.（2）设A＝{x|x＝2n，n∈N，且n<10}，B＝{3的倍数}，求属于A且属于B的元素所组成的集合.2. 若集合{1,3}A=-，集合2{|0}B x x ax b=++=，且A B=，求实数a、b.§1.1.2 集合间的基本关系学习目标1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2. 理解子集、真子集的概念；3. 能利用V enn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；4. 了解空集的含义.学习过程一、课前准备（预习教材P 6~ P 7，找出疑惑之处）复习1：集合的表示方法有 、 、 . 请用适当的方法表示下列集合. （1）10以内3的倍数；（2）1000以内3的倍数.复习2：用适当的符号填空.（1） 0 N ；2 Q ； -1.5 R .（2）设集合2{|(1)(3)0}A x x x =--=，{}B b =，则1 A ；b B ；{1,3} A .思考：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？二、新课导学※ 学习探究探究：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：{3,6,9}A =与*{|3,333}B x x k k N k ==∈≤且； {}C =东升高中学生与{}D =东升高中高一学生； {|(1)(2)0}E x x x x =--=与{0,1,2}F =.新知：子集、相等、真子集、空集的概念.① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ），记作：()A B B A ⊆⊇或，读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含(contains)A . 当集合A 不包含于集合B 时，记作A B Ø.② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图. 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系为： ()A B B A ⊆⊇或.③ 集合相等：若A B B A ⊆⊆且，则A B =中的元素是一样的，因此A B =.④ 真子集：若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作：A B （或B A ），读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）.⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.试试：用适当的符号填空.（1）{,}a b {,,}a b c ，a {,,}a b c ； （2）∅ 2{|30}x x +=，∅ R ； （3）N {0,1}，Q N ；（4）{0} 2{|0}x x x -=.反思：思考下列问题.（1）符号“a A ∈”与“{}a A ⊆”有什么区别？试举例说明.（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论.（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？① 若,,a b b a a b ≥≥=且则；② 若,,a b b c a c ≥≥≥且则.B A※典型例题例 1 写出集合{,,}a b c的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.变式：写出集合{0,1,2}的所有真子集组成的集合.例2 判断下列集合间的关系：（1）{|32}A x x=->与{|250}B x x=-≥；（2）设集合A={0,1}，集合{|}B x x A=⊆，则A 与B的关系如何？变式：若集合{|}A x x a=>，{|250}B x x=-≥，且满足A B⊆，求实数a的取值范围.※动手试试练1. 已知集合2{|320}A x x x=-+=，B＝{1,2}，{|8,}C x x x N=<∈，用适当符号填空：A B ，A C，{2} C，2 C.练 2. 已知集合{|5}A x a x=<<，{|2}B x x=≥，且满足A B⊆，则实数a的取值范围为.三、总结提升※学习小结1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn 图图示；一些结论.2. 两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，特别要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法.※知识拓展如果一个集合含有n个元素，那么它的子集有2n21n-个.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列结论正确的是（）.A. ∅AB. {0}∅∈C. {1,2}Z⊆ D. {0}{0,1}∈2. 设{}{}1,A x xB x x a=>=>，且A B⊆，则实数a的取值范围为（）.A. 1a< B. 1a≤C. 1a> D. 1a≥3. 若2{1,2}{|0}x x bx c=++=，则（）.A. 3,2b c=-= B. 3,2b c==-C. 2,3b c=-= D. 2,3b c==-4. 满足},,,{},{dcbaAba⊂⊆的集合A有个.5. 设集合{},{},{}A B C===四边形平行四边形矩形，{}D=正方形，则它们之间的关系是，并用V enn图表示.课后作业1. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格. 若用A表示合格产品的集合，B表示质量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？,,,A B B A A C C A⊆⊆⊆⊆试用V enn图表示这三个集合的关系.2. 已知2{|0}A x x px q=++=，2{|320}B x x x=-+=且A B⊆，求实数p、q所满足的条件.§1.1.3 集合的基本运算（1）1. 理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；2. 会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题；3. 能使用V enn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.89复习1：用适当符号填空.0 {0}；0 ∅；∅{x|x2＋1＝0,x∈R}；{0} {x|x<3且x>5}；{x|x>－3} {x|x>2}；{x|x>6} {x|x<－2或x>5}.复习2：已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5}，则A S，{x|x∈S且x∉A}= .思考：实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？二、新课导学※学习探究探究：设集合{4,5,6,8}A=，{3,5,7,8}B=.（1）试用Venn图表示集合A、B后，指出它们的公共部分（交）、合并部分（并）；（2）讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并？新知：交集、并集.①一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作A、B的交集（intersection set），记作A∩B，读“A交B”，即：{|,}.A B x x A x B=∈∈I且Venn图如右表示. ②类比说出并集的定义.由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集（union set），记作：A BU，读作：A并B，用描述法表示是：{|,}A B x x A x B=∈∈U或.Venn图如右表示.试试：（1）A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝；（2）设A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝；（3）A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝，A∩B＝.（4）分别指出A、B两个集合下列五种情况的交集部分、并集部分.反思：（1）A∩B与A、B、B∩A有什么关系？（2）A∪B与集合A、B、B∪A有什么关系？（3）A∩A＝；A∪A＝.A∩∅＝；A∪∅＝.※典型例题例1 设{|18}A x x=-<<，{|45}B x x x=><-或，求A∩B、A∪B.变式：若A＝{x|-5≤x≤8}，{|45}B x x x=><-或，则A∩B= ；A∪B= . 小结：有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究.A例2 设{(,)|46}A x y x y=+=，{(,)|327}B x y x y=+=，求A∩B.变式：（1）若{(,)|46}A x y x y=+=，{(,)|43}B x y x y=+=，则A B=I ；（2）若{(,)|46}A x y x y=+=，{(,)|8212}B x y x y=+=，则A B=I.反思：例2及变式的结论说明了什么几何意义？※动手试试练 1. 设集合{|23},{|12}A x xB x x=-<<=<<.求A∩B、A∪B.练2. 学校里开运动会，设A={x|x是参加跳高的同学}，B={x|x是参加跳远的同学}，C={x|x是参加投掷的同学}，学校规定，在上述比赛中，每个同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释A BI与B CI的含义.三、总结提升※学习小结1. 交集与并集的概念、符号、图示、性质；2. 求交集、并集的两种方法：数轴、Venn图.※知识拓展A B C A B A C=I U I U I（）（）（），A B C A B A C=U I U I U（）（）（），A B C A B C=I I I I（）（），A B C A B C=U U U U（）（），A AB A A A B A==I U U I（），（）.你能结合Venn图，分析出上述集合运算的性质吗？学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 设{}{}5,1,A x Z xB x Z x=∈≤=∈>那么A BI等于（）.A．{1,2,3,4,5}B．{2,3,4,5} C．{2,3,4}D．{}15x x<≤2. 已知集合M＝｛(x, y)|x+y=2｝，N={(x, y)|x－y=4},那么集合M∩N为（）.A. x=3, y=－1B. (3，－1)C.｛3，－1｝D.｛(3，－1)｝3. 设{}0,1,2,3,4,5,{1,3,6,9},{3,7,8}A B C===，则()A B CI U等于（）.A. {0,1,2,6}B. {3,7,8,}C. {1,3,7,8}D. {1,3,6,7,8}4. 设{|}A x x a=>，{|03}B x x=<<，若A B=∅I，求实数a的取值范围是.5. 设{}{}22230,560A x x xB x x x=--==-+=，则A BU= .课后作业1. 设平面内直线1l上点的集合为1L，直线2l上点的集合为2L，试分别说明下面三种情况时直线1l与直线2l的位置关系？（1）12{}L L P=I点；（2）12L L=∅I；（3）1212L L L L==I.2. 若关于x的方程3x2+px－7=0的解集为A，方程3x2－7x+q=0的解集为B，且A∩B={13-}，求A BU.§1.1.3 集合的基本运算（2）学习目标1. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；2. 能使用V enn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.学习过程一、课前准备1011复习1：集合相关概念及运算.① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的 ，记作 . 若集合A B ⊆，存在元素x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的 ，记作 .若A B B A ⊆⊆且，则 .② 两个集合的 部分、 部分，分别是它们交集、并集，用符号语言表示为：A B =I ； A B =U . 复习2：已知A ＝{x |x ＋3>0}，B ＝{x |x ≤－3}，则A 、B 、R 有何关系？二、新课导学※ 学习探究 探究：设U ={全班同学}、A ={全班参加足球队的同学}、B ={全班没有参加足球队的同学}，则U 、A 、B 有何关系？新知：全集、补集. ① 全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U .② 补集：已知集合U , 集合A ⊆U ，由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作A 相对于U 的补集（complementary set ），记作：U C A ，读作：“A 在U 中补集”，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且.补集的Venn 图表示如右：说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，补集的概念必须要有全集的限制.试试：（1）U ={2,3,4}，A ={4,3}，B =∅，则U C A = ，U C B = ； （2）设U ＝{x |x <8，且x ∈N }，A ＝{x |(x -2)(x -4)(x -5)＝0}，则U C A ＝ ；（3）设集合{|38}A x x =≤<，则R A ð= ；（4）设U ＝{三角形}，A ＝{锐角三角形}，则U C A ＝ .反思：（1）在解不等式时，一般把什么作为全集？在研究图形集合时，一般把什么作为全集？（2）Q 的补集如何表示？意为什么？※ 典型例题例1 设U ＝{x |x <13，且x ∈N }，A ＝{8的正约数}，B ＝{12的正约数}，求UC A 、U C B .例2 设U =R ，A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}，求A ∩B 、A ∪B 、U C A 、U C B .变式：分别求()U C A B U 、()()U U C A C B I .※ 动手试试练1. 已知全集I ={小于10的正整数}，其子集A 、B 满足()(){1,9}I I C A C B =I ，(){4,6,8}I C A B =I ，{2}A B =I . 求集合A 、B .练2. 分别用集合A 、B 、C 表示下图的阴影部分.（1） ； （2） ；（3） ； （4） .反思：结合V enn 图分析，如何得到性质：（1）()U A C A =I ，()U A C A =U ； （2）()U U C C A = .三、总结提升※ 学习小结1. 补集、全集的概念；补集、全集的符号.2. 集合运算的两种方法：数轴、Venn 图.※ 知识拓展试结合Venn 图分析，探索如下等式是否成立？ （1）()()()U U U C A B C A C B =U I ； （2）()()()U U U C A B C A C B =I U .学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 设全集U =R ，集合2{|1}A x x =≠，则U C A =（ ） A. 1 B. －1，1 C. {1} D. {1,1}-2. 已知集合U ={|0}x x >，{|02}U C A x x =<<，那么集合A =（ ）.A. {|02}x x x ≤≥或B. {|02}x x x <>或C. {|2}x x ≥D. {|2}x x > 3. 设全集{}0,1,2,3,4I =----,集合{}0,1,2M =--, {}0,3,4N =--，则()I M N =I ð（ ）.A ．｛０｝B ．{}3,4--C ．{}1,2--D ．∅4. 已知U ={x ∈N |x ≤10}，A ={小于11的质数}，则U C A = .5. 定义A —B ={x |x ∈A ，且x ∉B }，若M ={1,2,3,4,5}，N ={2,4,8}，则N —M = .课后作业1. 已知全集I =2{2,3,23}a a +-，若{,2}A b =，{5}I C A =，求实数,a b .2. 已知全集U =R ，集合A ={}220x x px ++=，{}250,B x x x q =-+= 若{}()2U C A B =I ，试用列举法表示集合A§1.1 集合（复习）1. 掌握集合的交、并、补集三种运算及有关性质，能运行性质解决一些简单的问题，掌握集合的有关术语和符号；2. 能使用数轴分析、Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.214复习1：什么叫交集、并集、补集？符号语言如何表示？图形语言？A B =I ； A B =U ； U C A = .复习2：交、并、补有如下性质.A ∩A ＝ ；A ∩∅＝ ； A ∪A ＝ ；A ∪∅＝ ；()U A C A =I ；()U A C A =U ； ()U U C C A = . 你还能写出一些吗？二、新课导学※ 典型例题 例1 设U =R ，{|55}A x x =-<<，{|07}B x x =≤<.求A ∩B 、A ∪B 、C U A 、C U B 、(C U A )∩(C U B )、(C U A )∪(C U B )、C U (A ∪B )、C U (A ∩B ).小结：（1）不等式的交、并、补集的运算，可以借助数轴进行分析，注意端点；（2）由以上结果，你能得出什么结论吗？例2已知全集{1,2,3,4,5}U =，若A B U =U ，A B ≠I ∅，(){1,2}U A C B =I ，求集合A 、B .小结：列举法表示的数集问题用Venn 图示法、观察法.例3 若{}{}22430,10A x x x B x x ax a =-+==-+-=，{}210C x x mx =-+=,A B A A C C ==U I 且，求实数a 、m 的值或取值范围．变式：设2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=，若B ⊆A ，求实数a 组成的集合、.※ 动手试试练1. 设2{|60}A x x ax =-+=，2{|0}B x x x c =-+=，且A ∩B ＝{2}，求A ∪B .练2. 已知A ={x |x <-2或x >3}，B ={x |4x +m <0}，当A ⊇B 时，求实数m 的取值范围。

人教版高中数学必修一全册导学案尊敬的读者：在这篇文章中，我将为您提供人教版高中数学必修一全册导学案。

这是一份由数学教师编写的全面指导学生学习高中数学课程的材料。

以下是每个单元的导学案，旨在帮助您更好地理解和掌握相关的数学概念和技巧。

第一单元：函数的概念与基本性质本单元导学案旨在帮助学生们理解函数的基本概念和性质。

在这个单元中，学生将掌握如何用映射、关系、对应等方式描述函数的概念，并了解函数的定义域、值域和图像等基本性质。

第二单元：一次函数与二次函数在这个单元的导学案中，学生将学习一次函数和二次函数的图像、性质和应用。

学生将学会如何识别一次函数和二次函数的特点，并学习如何利用函数的图像解决实际问题。

第三单元：指数与对数函数这一单元的导学案将帮助学生们理解指数函数和对数函数的概念和性质。

学生们将学习指数函数和对数函数的性质、图像以及它们的运算法则，并能够应用指数和对数函数解决实际问题。

第四单元：三角函数本单元的导学案将介绍三角函数的基本概念和性质。

学生将学习正弦函数、余弦函数和正切函数的性质和图像，并掌握化简三角函数表达式的方法。

第五单元：数列与数学归纳法这个单元的导学案旨在帮助学生理解数列的概念和性质，并学习数列的求和公式和通项公式。

学生们将学习如何应用数学归纳法解决数列相关的问题。

第六单元：排列与组合在这个单元的导学案中，学生将学习排列和组合的基本概念和性质。

通过学习排列和组合的问题，学生可以培养解决实际问题的能力。

第七单元：概率与统计在概率与统计的导学案中，学生将学习如何计算事件的概率和统计数据，并了解一些常见的概率分布和统计方法。

第八单元：二次函数的图像与性质在这个单元的导学案中，学生将深入学习二次函数的图像和性质。

学生将学习如何识别二次函数的图像特点，并学习如何应用二次函数解决实际问题。

第九单元：三角函数的图像与性质这个单元的导学案将介绍更多关于三角函数的图像和性质。

学生将学习如何识别三角函数的图像特点，并学会通过图像推导三角函数的性质和公式。

【高一】数学必修1复习导学案
必修１第一
§1-1 集合及其运算
【前预习】阅读教材P2-14完成下面填空
1．元素与集合的关系:用或表示；
2．集合中元素具有、、
3．集合的分类：
①按元素个数可分：限集、限集；②按元素特征分：数集，点集等
4．集合的表示法：
①列举法：用表示有限集或具有显著规律的无限集，如N={0，1，2，3，…}；
②描述法
③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N；正整数集；整数集Z；有理数集Q、实数集R;
5．集合与集合的关系:
6．熟记：①任何一个集合是它本身的子集；②空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集；③如果，同时，那么A = B；如果.④n个元素的子集有2n个；n 个元素的真子集有2n －1个；n个元素的非空真子集有2n－2个.
7．集合的运算（用数学符号表示）
交集A∩B= ;
并集A∪B= ；
补集CUA= ，集合U表示全集.
8.集合运算中常用结论:
【初5分钟】前完成下列练习，前5分钟回答下列问题 1．下列关系式中正确的是（）
A. B.
C. D.
2．方程解集为______.
3．全集，
，则＝，＝，＝
4．设，a= ，则{a}与的关系是( )
A．{a}= B． {a}
C．{a} D． {a}
强调（笔记）：
感谢您的阅读，祝您生活愉快。

⾼⼀数学必修⼀导学案及答案课题：1．1．1集合的含义与表⽰(1)⼀、三维⽬标：知识与技能:了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；掌握常⽤数集及其记法、集合中元素的三个特征。

过程与⽅法:通过实例了解,体会元素与集合的属于关系。

情感态度与价值观:培养学⽣的应⽤意识。

⼆、学习重、难点：重点：掌握集合的基本概念。

难点：元素与集合的关系。

三、学法指导：认真阅读教材P1-P3，对照学习⽬标，完成导学案，适当总结。

四、知识链接：军训前学校通知：8⽉13⽇8点，⾼⼀年级在操场集合进⾏军训动员；试问这个通知的对象是全体的⾼⼀学⽣还是个别学⽣？初中时你听说过“集合”这⼀词吗？你在学习那些知识点中提到了“集合”这⼀词？（试举⼏例）五、学习过程：1、阅读教材P2页8个例⼦问题1：总结出集合与元素的概念：问题2：集合中元素的三个特征：问题3：集合相等：问题4：课本P3的思考题，并再列举⼀些集合例⼦和不能构成集合的例⼦。

2、集合与元素的字母表⽰：集合通常⽤⼤写的拉丁字母A，B，C…表⽰，集合的元素⽤⼩写的拉丁字母a,b,c,…表⽰。

问题5：元素与集合之间的关系？A例1：设A表⽰“1----20以内的所有质数”组成的集合，则3、4与A的关系？B 例2：若+∈N x ，则N x ∈，对吗？六、达标检测：A 1.判断以下元素的全体是否组成集合：（1）⼤于3⼩于11的偶数；（）（2）我国的⼩河流；（）（3）⾮负奇数；（）（4）本校2009级新⽣；（）（5）⾎压很⾼的⼈；（）（6）著名的数学家；（）（7）平⾯直⾓坐标系内所有第三象限的点（）A 2.⽤“∈”或“?”符号填空：（1）8 N ；（2）0 N ；（3）-3 Z ；（4；（5）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国 A ； B 3.下⾯有四个语句:①集合N 中最⼩的数是1;②若N a ?-，则N a ∈;③若N a ∈，N b ∈，则b a +的最⼩值是2;④x x 442=+的解集中含有2个元素；其中正确语句的个数是（）A.0B.1C.2D.3B 4.已知集合S 中的三个元素a,b,c 是?ABC 的三边长，那么?ABC ⼀定不是（）A 锐⾓三⾓形B 直⾓三⾓形C 钝⾓三⾓形D 等腰三⾓形B 5. 已知集合A 含有三个元素2，4，6，且当A a ∈，有6-a ∈A ，那么a 为（）A ．2 B.2或4 C.4 D.0B 6. 设双元素集合A 是⽅程x 2-4x+m=0的解集,求实数m 的取值范围。

函数的表示方法第课时分段函数讲堂导学三点分析一、正确地理解分段函数的意义【例】依法纳税是每个公民的义务, 国家征收个人所得税是分段计算的, 总收入不超出元, 免征个人所得税 , 超出元部分一定收税, 设全月纳税所得额为全月总收入元, 税率见下表 .级数全月纳税所得额税率不超出元部分超出元至元部分超出元至元部分设应纳税额为 (),使用分段函数表示—级纳税额()的表达式.思路分析：仔细读懂题意, 每一阶段中有多少钱按什么比率交钱必定找准, 这是打破问题的关键. 如第二阶段＜≤()() ××.解：依税率表 ,第一段·＜≤,第二段 :() ××＜≤,第三段 :() ×××＜≤.0.05 x,0 x 500,∴() 0.1x 25,500 x 2000,0.15 x 125,2000 x 5000.温馨提示易错解为 : 第二段×＜≤ , 第三段×＜≤.() 由列表写分析式是函数三种表示方法的综合应用.()在解题中要注意分段函数的正确书写.二、利用分段函数进行有关运算0,x0,【例】已知 (),x0,x21,x0,求{［( 3 3 2 2)］}的值.2思路分析：应从内到外 , 层层计算 , 最后求出所求的函数值 .解：∵ 33 2 2＞,2∴(3 322).2又() π ( π )( π ) π ,∴ { ［ (3 3 2 2) ］ } π .2温馨提示在分段函数中 , 要求复合函数的值 , 应从内到外挨次求值 , 此值作为外头函数的自变量再求值 , 最后求出复合函数值 .三、分段函数在实质问题中的应用【例】某商品在近天内每件的销售价钱元与时间天的函数关系式是t 20, 0 t25, t N * , 该商品的日销售量件与时间天的函数关系式是*),t100, 25 t30,tN * ( ＜≤∈ ,求这类商品的日销量金额的最大值, 并指出获得最大值的一天是天中的第几日.思路分析： 应先求出日销量金额的分析式 , 分别求各段最值 , 再比较大小求出最大的一个 .解：设日销售额为元 , 则·t 2 20t 800 (t10)2 900,0 t 25,tN * ,t2140t4000 (t70)2900,25 t30, t N *.当＜＜时元 ;当≤≤时元 .∵＞, ∴.∴第天日销售额最大 .温馨提示求分段函数最值问题时 , 也可利用图象法 , 作出分段函数图象 , 直接察看得最值 .分段函数的最值，不是某一段上的最值，而是在整个定义域上，取() 的最大值 .各个击破类题操练某市郊空调出租汽车的票价按以下规则拟订（）乘坐汽车 3km 之内，票价元；（） 3km 以上，每增添 1km ，票价增添 . 元（不足 1km 的按 1km 计算） .请依据题意写出票价与里程之间的函数分析式.分析： 设票价为，里程为，由空调出租汽车票价拟订的规定，可获得以下函数分析式：6,0 x 3,1.8[ x3] 6, x 3.[] 表示不小于的最小整数 .变式提高甲、乙两车同时沿某公路从地驶往 300km 外的地，甲车先以 75km/h 的速度行驶，在抵达中点处逗留后，再以100km/h 的速度驶往地，乙车一直以速度行驶.() 请将甲车离地行程 () 表示为走开地时间 () 的函数，并画出这个函数图象； （）若两车在途中恰巧相遇两次（不包含、两地），试确立乙车行驶速度的取值范围.75t,0 t 2,分析：（） 150,2 t4,150 (t 4) 100,4 t 5.5.它的图象如下图 .() 由已知 , 乙车走开地的行程() 表示为走开地的时间() 的函数为 ( ≤≤300), 其图象是一条v线段 .由图象知，当此线段经过（，）时，75(); 2当此线段经过点（）时，600(). 11∴当75<<600时，两车在途中相遇两次. 211类题操练x1, x0,若(), x0,则 {[()]}.0, x0,分析：∵(),∴[()]() π .∴{[()]}( π ) π .答案：π变式提高x 2, x1,若() x2, 1x 2, 若(),则 .2x, x 2.分析：当≤时 , 无解；当 <<时， 3 ;当≥时，3,无解.综上有3. 2答案：3类题操练不等式 <的解集是空集，则的取值范围为.-1 - 2x, x-2,分析：作出3,-2x 1,的图象知的最小值为（或利用绝对值的几何意义知就是()到两2x 1, x1定点（，）和（，）的距离的和）.答案： ( ∞］变式提高作出的图象，并求出其最大值.- x - 2, x1,分析：- 5x 2,0 x1,x 2, x0.图象如下图 .从图象上能够看出，最大值为.学习是一件增添知识的工作，在茫茫的学海中，也许我们困苦过，在困难的竞争中，也许我们疲惫过，在失败的暗影中，也许我们绝望过。

§1.1.1集合的含义及其表示[自学目标]1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法;2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义;3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1． 集合和元素(1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ∉. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集.5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作*N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R .[预习自测]例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. （1）小于5的自然数;（2）某班所有高个子的同学; （3）不等式217x +>的整数解; （4）所有大于0的负数;（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形 例3.设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值.分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.例4.已知{}2,,M a b =,{}22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值.[课内练习]1．下列说法正确的是（ ）（A ）所有著名的作家可以形成一个集合（B ）0与 {}0的意义相同 （C ）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,1是有限集 （D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素 2．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ．}01|{2=+-x x x 3．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是（ ）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{.4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x xB ∈==，用列举法表示B= . [归纳反思]1．本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法，难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个重要特性的正确使用；2．根据元素的特征进行分析，运用集合中元素的三个特性解决问题，叫做元素分析法。