7.4平行线的性质(教案〕教学目标知识与技能：会根据“两直线平行,同位角相等〞证明“两直线平行,内错角相等〞和“两直线平行,同旁内角互补〞,并能简单地应用这些结论.过程与方法：了解性质定理与判定定理的联系,初步感受互逆的思维过程.情感态度与价值观：进一步理解证明的步骤、格式和方法,开展演绎推理能力.教学重难点【重点】理解和简单应用平行线的性质定理.【难点】运用公理、定理进行简单的推理,以及用几何语言进行表述.教学准备【教师准备】问题探索和例题的教学用图.【学生准备】复习平行线的判定定理.教学过程一、导入新课导入一:师:同学们,上课前,老师在纸上画了一个∠A,准备用量角器测量它的度数时,因不小心将纸片撕破,只剩下如下图的一局部,如果不能同时反向延长CD,EF的话,你能否利用所学的数学知识测出∠A的度数?(多媒体展示)(学生思考,互相交流解决方法)生1:根据两直线平行,同位角相等的知识,可以过C点作FE的平行线,构造∠A的同位角,那么可以测出∠A的度数.生2:根据两直线平行,内错角相等的知识,也可以过C点作FE的平行线,构造∠A的内错角.师:同学们利用平行线的性质解决这个问题的想法太棒了!那么,你知道这些性质是如何证明的吗?这节课就让我们来探究这个问题.(板书课题:4平行线的性质)[设计意图]通过趣味题导入,激发学生的探究知识的欲望,点燃学生思维的火花,使其进入最正确的学习状态.导入二:如下图,工人在修一条高速公路时在前方遇到一座高山,为了降低施工难度,工程师决定绕过这座山,如果第一个弯是左拐30°,那么第二个弯应朝什么方向,才能不改变原来的方向?[处理方式]先给学生2分钟的时间自己探究,得出结论后小组讨论,最后选代表发言.学生观察,小组讨论,交流问题并发表见解,教师进一步引导学生分析,引导学生将这个问题如何转化成数学问题.在学生探究讨论的过程中,少局部学生可能对题意理解不透彻,此时教师可以结合实际问题加以引导,引导性语言如下:(1)不改变方向,在数学中的理解应是什么;(2)在这个问题中包含了什么问题;(3)如何将它转化为数学问题.[设计意图]通过实例,让学生从具体的实例中发现数学问题,进而寻求解决问题的方法,使学生懂得数学来源于现实生活,效劳于现实生活,同时也调动了学生的积极性,提高了学生的兴趣.二、新知构建[过渡语]上节课我们通过推理证得了平行线的判定定理,知道它们的条件是角的大小关系,其结论是两直线平行.如果我们把平行线的判定定理的条件和结论互换,那么得到的命题是真命题吗?(1)、两直线平行,同位角相等思路一活动内容:画出直线a的平行线b,结合画图过程思考:画出的平行线被第三条直线c所截的同位角的关系是怎样的?[处理方式]本节证明平行线的性质定理,将性质定理“两直线平行,同位角相等〞的证明作为选学内容,因此,第一局部以自学阅读的形式呈现,自学教材第175页内容(包括证明过程),学有余力的学生可以思考探究:应用平行线的性质定理“两直线平行,同位角相等〞可以得出什么?[设计意图]学生在自学的过程中,理解平行线的性质,并明确两直线平行的性质定理“两直线平行,同位角相等〞是推理论证后面两个性质定理的根底;“同位角相等〞是在“两直线平行〞的前提下才成立的,是平行线特有的性质.要防止一提到同位角就以为其相等的错误.思路二师:我们先来证明定理:两直线平行,同位角相等.你能否发现定理的条件是什么?生:两条平行直线被第三条直线所截.师:结论是什么?生:同位角相等.师:证明命题,要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言.所以根据题意,可以把这个文字证明题转化为以下形式.【课件展示】:如下图,直线a∥b,∠1和∠2是直线a,b被直线c所截出的同位角.求证:∠1=∠2.请同学们自主学习教材第175页“两直线平行,同位角相等〞的证明过程.(学生阅读思考,互相交流心得)师:利用这个定理,你能证明哪些熟悉的结论?思路三【问题】:如下图,直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB,CD被直线EF截出的同位角.求证:∠1=∠2.【思考】(1)∠1和∠2在数量关系上有哪两种情况?(2)过直线外一点有几条直线与这条直线平行?[设计意图]为接下来用反证法证明上述定理作准备.证明:假设∠1≠∠2,那么我们可以过点M作直线GH,使∠EMH=∠2,如下图.根据“同位角相等,两直线平行〞,可知GH∥CD.又因为AB∥CD,所以此时经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.这与根本领实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行〞相矛盾.这说明∠1≠∠2的假设不成立,所以∠1=∠2.【思考】为什么不能按如下方法证明上述定理?∵AB∥CD,∴∠2=∠AMN.又∵∠1=∠AMN,∴∠1=∠2.(2)、两直线平行,内错角相等;同旁内角互补(多媒体出示)根据同位角相等可以判定两直线平行,反过来,如果两直线平行,同位角之间有什么关系呢?内错角、同旁内角之间又有什么关系呢?1.两条平行直线被第三条直线所截,同位角是相等的,那么内错角、同旁内角之间有什么关系呢?∵a∥b(),∴∠1=∠2(两条直线平行,同位角相等).∵∠1=∠3(对顶角相等),∴∠2=∠3(等量代换).师:由此我们又得到了平行线有怎样的性质呢?【学生活动】同学们积极举手答复以下问题.教师根据学生表达,给出板书:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.2.下面请同学们自己推导同旁内角是互补的,并归纳总结出平行线的第三条性质.请一名同学到黑板上板演,其他同学在练习本上完成.师生共同订正推导过程并写出第三条性质,形成正确板书.∵a∥b(),∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).∵∠1+∠4=180°(邻补角的定义),∴∠2+∠4=180°(等量代换),即两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补,简单说成“两直线平行,同旁内角互补〞.师:我们知道了平行线的性质,在今后我们经常要用它们去解决、论述一些问题,所需要知道的条件是两条直线平行,才有同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,即它们的符号语言分别为:∵a∥b(),∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).∵a∥b(),∴∠2=∠3(两直线平行,内错角相等).∵a∥b(),∴∠2+∠4=180°(两直线平行,同旁内角互补).(板书在三条性质的对应位置上)[处理方式]在完成“两直线平行,同位角相等〞的证明后,要求学生自主证明“两直线平行,内错角相等〞“两直线平行,同旁内角互补〞,然后将学生的证明过程整理出来,与教材中的进行比照,感受证明的过程和标准格式.通过对平行线性质的探索,使学生对证明的步骤、格式有更进一步的认识,认识证明的必要性.引导学生使用符号语言,充分调动学生的主动性和积极性,开展学生的符号感.[设计意图]在前面复习引入的根底上,通过学生的观察、分析、讨论,此时学生已能够进行推理,在这里教师不必包办代替,而应充分调动学生的主动性和积极性,进而培养学生分析问题的能力,在学生有成就感的同时也鼓励了学生的学习兴趣. (3)、两类定理的比拟两条直线被第三条直线所截.平行线的判定平行线的性质条件结论条件结论同位角相等两直线平行两直线平行同位角相等内错角相等两直线平行两直线平行内错角相等同旁内角互补两直线平行两直线平行同旁内角互补[处理方式]引导学生分组探究,并明确平行线的性质定理和判定定理的条件和结论正好相反.性质是由条件“平行〞得到结论“角的关系〞;判定是由条件“角的关系〞得到结论“平行〞.[设计意图]初步建立平行线的性质定理和判定定理之间的联系,初步感受互逆的思维过程.具体为:在判定中,把角相等或互补作为判断两直线是否平行的前提,角相等或互补是,结论是两直线平行,那么判定是由“角相等或互补〞推理论证“两直线平行〞.在性质中,两直线平行是条件,结论是角相等或互补,性质是用来说明两个角相等或互补的,即由“两直线平行〞推理论证“角相等或互补〞.四、平行线的传递性如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.:直线a,b,c被直线d所截,且a∥b,c∥b.求证:a∥c.[处理方式]学生自行尝试解答,小组合作探究后,比照不同的解法,并推荐一人答复以下问题,这样的气氛,激发了学生强烈的学习兴趣.[设计意图]对学生中出现的不同解法给予肯定,培养学生的解题能力.议一议:完成一个定理的证明,需要哪些环节?与同伴进行交流.[处理方式]引导学生回忆证明过程,梳理证明活动中的经验,小组尝试整理证明的步骤.教师强调:(1)证明的一般步骤:①理解题意;②根据题意正确画出图形;③结合图形,写出“〞和“求证〞;④分析题意,探索证明的思路;⑤依据寻求的思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;⑥检查表达过程是否正确、完善.(2)证明的思路:①可以从求证出发向追溯,也可以由向结论探索,还可以从和结论两个方向同时出发,互相接近.②对于用文字表达的命题的证明,要先分清命题的条件和结论,然后根据题意画出图形,写出和求证,证明即可.[设计意图]使学生明确证明的步骤与思路,能更好地完成几何证明题.[知识拓展]该定理的主要作用是判断两个角相等,即由两条直线之间的“位置关系〞转化为两角之间的“数量关系〞,能正确找到内错角是证明该定理的重点.如下图,AB∥CD,∠CDE=140°,那么∠A的度数为()A.140°B.60°C.50°D.40°〔解析〕∵∠CDE=140°,∴∠ADC=180°-140°=40°,∵AB∥CD(),∴∠A=∠ADC=40°(两直线平行,内错角相等).应选D.三、课堂总结四、课堂练习1.平行线的性质定理有:,,.答案:两直线平行,同位角相等两直线平行,内错角相等两直线平行,同旁内角互补2.如下图,∠4=∠C,∠1=∠2,求证BD平分∠ABC.证明:∵∠4=∠C,∴AD∥BC,∴∠2=∠3.又∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,即BD平分∠ABC.3.如下图,CD∥OB,EF∥AO,求证∠1=∠O.证明:∵CD∥OB,∴∠1=∠2,又∵EF∥AO,∴∠2=∠O,∴∠1=∠O.五、板书设计4平行线的性质探索1两直线平行,同位角相等探索2两直线平行,内错角相等探索3两直线平行,同旁内角互补探索4平行于同一条直线的两条直线平行六、布置作业(1)、教材作业【必做题】教材随堂练习.【选做题】教材习题7.5第4题.(2)、课后作业【根底稳固】1.如下图,由AB∥CD能得到∠1=∠2的是()2.如下图,AB∥CD,E是AB上一点,ED平分∠BEC交CD于D,∠BEC=100°,那么∠D的度数是()A.100°B.80°C.60°D.50°3.如下图,AB∥CD,DB⊥BC于B,∠2=50°,那么∠1的度数()A.40°B.50°C.60°D.140°4.如下图,AB∥CD,EF分别交AB,CD于M,N,∠EMB=50°,MG平分∠BMF,MG交CD于G,那么∠1等于()A.65°B.50°C.115°D.120°5.如下图,AB∥EF∥DC,EG∥BD,那么图中与∠1相等的角(∠1除外)有()A.6个B.5个C.4个D.2个【能力提升】6.如下图,∠1与∠2互补,∠3=100°,求∠4的度数.7.如下图,直线AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于E,F,∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于P.求证∠P=90°.8.如下图,C,P,D在一条直线上,∠BAP与∠APD互补,∠1=∠2.求证∠E=∠F.【拓展探究】9.如下图,AB∥ED,∠CAB=135°,∠ACD=80°.求∠CDE的度数.【答案与解析】1.B2.D(解析:根据角平分线的定义可得∠BED=50°,再根据平行线的性质可得∠D=∠BED=50°.)3.A4.A(解析:综合运用平行线的性质和三角形内角和定理求出∠1的度数.)5.B6.解:∵∠1+∠2=180°,∠2=∠5,∴∠1+∠5=180°,∴a∥b,∴∠3=∠4,∴∠4=100°.7.证明:∵AB∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°.又∵EP,FP分别平分∠BEF,∠DFE,∴∠BEF=2∠PEF,∠DFE=2∠PFE.∴∠PEF+∠PFE=90°,∴∠P=90°.8.证明:∵∠BAP+∠APD=180°,∴AB∥CD.∴∠BAP=∠CPA.∵∠1=∠2,∴∠EAP=∠FPA,∴AE∥FP,∴∠E=∠F.9.解:如下图,过点C作CF∥AB,∵CF∥AB,∴∠A+∠ACF=180°(两直线平行,同旁内角互补).而∠A=135°,那么∠ACF=45°,∴∠FCD=∠ACD-∠ACF=80°-45°=35°.又∵CF∥AB,AB∥ED,∴CF∥DE,∴∠FCD=∠CDE(两直线平行,内错角相等),∴∠CDE=35°.。
