2017高考(新课标)数学(文)二轮专题复习(检测)：专题二第1讲三角函数的图象与性质 Word版含解析

第1讲 三角函数的图象与性质三角函数的定义、诱导公式及基本关系[学生用书P23]自主练透 夯实双基1．三角函数的定义若角α的终边过点P (x ，y )，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (其中r ＝x 2＋y 2)．2．诱导公式(1)sin(2k π＋α)＝sin α(k ∈Z )，cos(2k π＋α)＝cos α(k ∈Z )，tan(2k π＋α)＝tan α(k ∈Z )．(2)sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.(3)sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α.(4)sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α.(5)sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α. 3．基本关系sin 2x ＋cos 2x ＝1，tan x ＝sin x cos x .[题组通关]1．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－32，且角φ的终边上有一点(2，a )，则a ＝( )A ．－3B ．2 3C ．±2 3D. 3B [解析] 由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－32得sin φ＝32，则a 4＋a 2＝32，解得a ＝2 3.2．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是______．[解析] 由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1.[答案] －13．(2016·高考全国卷乙)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________．[解析] 法一：因为sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，因为θ为第四象限角，所以－π2＋2k π＜θ＜2k π，k ∈Z ，所以－3π4＋2k π＜θ－π4＜2k π－π4，k ∈Z ，所以sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45，所以tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin⎝⎛⎭⎫θ－π4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－43. 法二：因为θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45，所以tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫θ－π4sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－43.[答案] －43应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误．(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定注意三角函数的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．三角函数的图象与解析式[学生用书P23]高频考点 多维探明函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换 y ＝sin x――→向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)错误!y ＝sin(ωx ＋φ)――→纵坐标变为原来的A （A ＞0）倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．由函数的图象特征求解析式(2016·石家庄模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫11π24的值为( )A ．－62 B ．－32C ．－22D ．－1【解析】 由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－2，得φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭⎫11π12＋π3＝2sin5π4＝－1，选项D 正确． 【答案】 D函数图象变换(1)(2016·高考全国卷乙)将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3(2)(2016·昆明两区七校联考)将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象沿着x 轴向右平移a (a ＞0)个单位后的图象关于y 轴对称，则a 的最小值是( )A.π6B.π3 C.π2 D.2π3【解析】 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，所以将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移π4个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为y ＝2·sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎫2x －π3.故选D.(2)依题意得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，函数f (x －a )＝2·sin ⎝⎛⎭⎫x －a －π6的图象关于y 轴对称，因此sin ⎝⎛⎭⎫－a －π6＝±1，所以a ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π＋π3，k ∈Z ，因此正数a 的最小值是π3，选B.【答案】 (1)D (2)B解决三角函数图象问题的方法及注意事项(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．[题组通关]1．(2016·陕西质量检测(二))已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图所示，且f (α)＝1，α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋5π6＝( )A.13 B ．±223C.223D ．－223D [解析] 由题图可知A ＝3，易知ω＝2，φ＝5π6，即f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6.因为f (α)＝3sin ⎝⎛⎫2α＋5π6＝1，所以sin ⎝⎛⎫2α＋5π6＝13，因为α∈⎝⎛⎫0，π3，所以2α＋5π6∈⎝⎛⎭⎫5π6，3π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋5π6＝－223，故选D.2．(2016·高考全国卷丙)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．[解析] 因为y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，所以函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移π3个单位长度得到．[答案]π3三角函数的性质[学生用书P24]共研典例 类题通法1．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )；y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )；y ＝tan x 的递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )．2．y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数； 当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得． y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π2(k ∈Z )时为奇函数．已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝⎛⎭⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性．【解】 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z .f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－3＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x －3＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sin z 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z . 设A ＝⎣⎡⎦⎤－π4，π4，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤－π12，π4.所以，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上单调递减．三角函数的单调性、周期性及最值的求法(1)三角函数单调性的求法求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω＞0)的单调区间的一般思路是令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求解．(2)三角函数周期性的求法函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|.(3)三角函数最值(或值域)的求法在求最值(或值域)时，一般要先确定函数的定义域，然后结合三角函数性质可得函数f (x )的最值．[题组通关]1．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意的x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．[解析] 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意的x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则其对称轴为x ＝π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2.[答案] ±22．已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(A ＞0，ω＞0)，g (x )＝tan x ，它们的最小正周期之积为2π2，f (x )的最大值为2g ⎝⎛⎭⎫17π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)设h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x ，当x ∈⎣⎡⎭⎫a ，π3时，h (x )的最小值为3，求a 的值．[解] (1)由题意得2πω·π＝2π2，所以ω＝1.又A ＝2g ⎝⎛⎭⎫17π4＝2tan 174π＝2tan π4＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )．故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z )．(2)h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x＝32×4sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋23cos 2x ＝3(sin x ＋cos x )2＋23cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋3(cos 2x ＋1) ＝3＋3＋3sin 2x ＋3cos 2x ＝3＋3＋23sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.因为h (x )的最小值为3，令3＋3＋23sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝3⇒sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－12.因为x ∈⎣⎡⎭⎫a ，π3，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎭⎫2a ＋π6，5π6，所以2a ＋π6＝－π6，即a ＝－π6.课时作业[学生用书P113(独立成册)]1．已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P ⎝⎛⎭⎫12，y 0，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝( ) A ．－12B ．1 C.12D ．－32A [解析] 由题意知当x ＝12时，y 0＝－32或y 0＝32，即sin α＝－32或sin α＝32，又因为sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2α＝1－2sin 2α，所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝1－2×34＝－12.2．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos xA [解析] y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期T ＝2π2＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y 轴对称，故B 不正确；C ，D 均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C ，D 不正确．3．(2016·长春质量检测)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π4A [解析] 由题图可知，函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝⎝⎛⎭⎫3π8－π8×4＝π，所以ω＝2.又函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π8，1，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π4，即函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，故选A.4．(2016·银川模拟)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π3个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则函数f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤2k π－π12，2k π＋5π12，k ∈ZB.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋5π6，k ∈ZC.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈ZD.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋5π6，k ∈ZC [解析] 法一：将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，则函数变为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12ωx ＋φ，再向左平移π3个单位长度得到的函数为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12ω⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫12ωx ＋ωπ6＋φ＝sin x ，又ω＞0，所以⎩⎨⎧12ω＝1，ωπ6＋φ＝2k π，k ∈Z ，又－π2≤φ＜π2，所以ω＝2，φ＝－π3，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .选C.法二：将y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度得到的函数为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，将函数y＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上每一点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，则函数变为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝f (x )，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，选C.5．(2016·兰州诊断考试)将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增，为奇函数C ．在⎝⎛⎭⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称 B [解析] 由题意可知将f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位得到g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin 2x 的图象，因为函数g (x )为奇函数，所以排除C ，又当x ＝π2时函数值为0，当x ＝3π8时，函数值为22，所以A 和D 中对称的说法不正确，选B.6.(2016·呼和浩特模拟)如图是函数f (x )＝sin 2x 和函数g (x )的部分图象，则函数g (x )的解析式可能是( )A ．g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3B ．g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3C ．g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －5π6D ．g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6B [解析] 在函数f (x )＝sin 2x 的图象上，⎝⎛⎭⎫π8，y 关于对称轴x ＝π4对称的点为⎝⎛⎭⎫3π8，y ，17π24－3π8＝π3，故g (x )的图象可能是由f (x )的图象向右平移π3个单位得到的，故g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，选B.7．sin(－600°)＝________．[解析] sin(－600°)＝sin(－7×90°＋30°)＝cos 30°＝32. [答案]328．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________． [解析] 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4.又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sinθcos θ，所以m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，所以m ≤0或m ≥4，所以m ＝1－ 5. [答案] 1－ 59．(2016·山西考前质量检测)若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫||φ＜π2的图象关于直线x ＝π12对称，且当x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，x 1≠x 2时，f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________． [解析] 由题意得，2×π12＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π3＋k π，k ∈Z ，因为|φ|＜π2，所以k ＝0，φ＝π3， 又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，所以2x 1＋π3，2x 2＋π3∈(0，π)，所以2x 1＋π3＋2x 2＋π32＝π2，解得x 1＋x 2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32. [答案] 3210．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2满足f (x )＝－f (x ＋π)，f (0)＝12，则g (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为________． [解析] 由f (x )＝－f (x ＋π)可得f (x ＋2π)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2π，所以ω＝2π2π＝1.由f (0)＝12得sin φ＝12，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，因为g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，且0≤x ≤π2，所以π6≤x ＋π6≤2π3，所以－12≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32，因此g (x )max ＝ 3. [答案] 311．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋33sin 2x －33cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，求g (x )在区间⎣⎡⎤－π6，π3上的值域． [解] (1)f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x －33cos 2x ＝12sin 2x ＋36cos 2x ＝33sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度， 得到函数g (x )＝33sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝－33cos 2x 的图象， 即g (x )＝－33cos 2x . 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，2x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 可得cos 2x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 所以－33cos 2x ∈⎣⎡⎦⎤－33，36，即函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的值域是⎣⎡⎦⎤－33，36.12.已知函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2的部分图象如图所示． (1)写出φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－12，13上的最大值和最小值．[解] (1)因为32＝cos(0＋φ)，0＜φ＜π2，所以φ＝π6， 因为32＝cos ⎝⎛⎭⎫πx 0＋π6，所以2π－π6＝πx 0＋π6，可得x 0＝53. (2)由题意可得f ⎝⎛⎭⎫x ＋13＝cos ⎣⎡⎦⎤π⎝⎛⎭⎫x ＋13＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2＝－sin πx . 所以g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋13＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6－sin πx ＝cos πx cos π6－sin πx sin π6－sin πx ＝32cos πx －12sin πx －sin πx ＝32cos πx －32sin πx ＝3cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－12，13，所以－π6≤πx ＋π3≤2π3， 所以当πx ＋π3＝0，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3；当πx ＋π3＝2π3，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32. 13．已知定义在区间⎣⎡⎦⎤－π，3π2上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，当x ≥π4时，f (x )＝－sin x .(1)作出y ＝f (x )的图象；(2)求y ＝f (x )的解析式；(3)若关于x 的方程f (x )＝a 有解，将方程中的a 取一确定的值所得的所有解的和记为M a ，求M a 的所有可能的值及相应的a 的取值范围．[解] (1)y ＝f (x )的图象如图所示．(2)任取x ∈⎣⎡⎦⎤－π，π4， 则π2－x ∈⎣⎡⎤π4，3π2， 因为函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π4对称， 则f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ，又当x ≥π4时，f (x )＝－sin x ， 则f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－cos x ，即f (x )＝⎩⎨⎧－cos x ，x ∈⎣⎡⎭⎫－π，π4，－sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π2.(3)当a ＝－1时，f (x )＝a 的两根为0，π2，则M a ＝π2；当a ∈⎝⎛⎭⎫－1，－22时，f (x )＝a 的四根满足x 1<x 2<π4<x 3<x 4，由对称性得x 1＋x 2＝0，x 3＋x 4＝π，则M a ＝π；当a ＝－22时，f (x )＝a 的三根满足x 1<x 2＝π4<x 3，由对称性得x 3＋x 1＝π2，则M a ＝3π4；当a ∈⎝⎛⎦⎤－22，1时，f (x )＝a 的两根为x 1，x 2，由对称性得M a ＝π2. 综上，当a ∈⎝⎛⎭⎫－1，－22时，M a ＝π； 当a ＝－22时，M a ＝3π4； 当a ∈⎝⎛⎦⎤－22，1∪{－1}时，M a ＝π2.。

第1讲 三角函数的图象与性质三角函数的定义、诱导公式及基本关系［学生用书P23］自主练透 夯实双基 1．三角函数的定义若角α的终边过点P （x ，y ),则sin α＝错误!，cos α＝错误!，tan α＝错误!(其中r ＝错误!）． 2．诱导公式（1）sin(2k π＋α）＝sin α（k ∈Z ）,cos(2k π＋α）＝cos α（k ∈Z ），tan （2k π＋α）＝tan α（k ∈Z )． (2)sin （π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α， tan （π＋α）＝tan α。

（3)sin （－α）＝－sin α,cos （－α)＝cos α, tan （－α)＝－tan α。

(4）sin(π－α）＝sin α，cos （π－α）＝－cos α， tan （π－α)＝－tan α。

(5)sin 错误!＝cos α，cos 错误!＝sin α， sin 错误!＝cos α，cos 错误!＝－sin α. 3．基本关系sin 2x ＋cos 2x ＝1，tan x ＝错误!。

［题组通关］1．已知cos 错误!＝－错误!，且角φ的终边上有一点（2，a ），则a ＝( ） A ．－错误! B ．2错误! C ．±2错误!D.错误!B [解析] 由cos 错误!＝－错误!得sin φ＝错误!,则错误!＝错误!，解得a ＝2错误!。

2．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是______． ［解析］ 由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2。

所以2sin αcos α－cos 2α＝错误!＝错误!＝错误!＝－1. ［答案］ －13．(2016·高考全国卷乙）已知θ是第四象限角,且sin 错误!＝错误!，则tan 错误!＝________． ［解析] 法一：因为sin（）θ＋π4＝错误!，所以cos 错误!＝sin 错误!＝sin 错误!＝错误!,因为θ为第四象限角，所以－错误!＋2k π＜θ＜2k π,k ∈Z ,所以－错误!＋2k π＜θ－错误!＜2k π－错误!，k ∈Z ，所以sin 错误!＝－错误!＝－错误!，所以tan 错误!＝错误!＝－错误!.法二：因为θ是第四象限角，且sin 错误!＝错误!,所以θ＋错误!为第一象限角,所以cos 错误!＝错误!，所以tan 错误!＝错误!＝错误!＝－错误!＝－错误!。

一讲三角函数的图象与性质课时作业文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题二三角函数、平面向量第一讲三角函数的图象与性质课时作业文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第一讲三角函数的图象与性质课时作业文1．（2016·西安质检)将函数f(x)＝sin错误!的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍,所得图象的一条对称轴方程可能是( )A．x＝－π12B．x＝错误!C．x＝错误!D．x＝错误!解析：将函数f(x)＝sin错误!的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin错误!的图象，由错误!x＋错误!＝错误!＋kπ，k∈Z，得x＝错误!＋2kπ，k∈Z,∴当k＝0时，函数图象的对称轴为x＝2π3.故应选D.答案：D2．(2016·贵阳监测）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ)错误!的部分图象如图所示,如果x1，x2∈错误!,且f（x1）＝f(x2），则f(x1＋x2)＝( )A.错误!B。

错误!C。

错误!D．1解析：由题图可知,错误!＝错误!－错误!＝错误!,则T＝π，ω＝2，又错误!＝错误!，∴f(x)的图象过点错误!，即sin错误!＝1，得φ＝错误!，∴f(x)＝sin错误!。

而x1＋x2＝－错误!＋错误!＝错误!，∴f（x1＋x2）＝f错误!＝sin错误!＝sin 错误!＝错误!.答案：B3．（2016·高考山东卷)函数f（x)＝(错误!sin x＋cos x）·（错误!cos x－sin x）的最小正周期是（）A。

2017 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5 分）设集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∪B=（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3，4} D．{1，3，4} 2．（5分）（1+i）（2+i）=（）A．1﹣i B．1+3i C．3+i D．3+3i3．（5分）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．4．（5 分）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（）A．⊥B．||=|| C．∥D．||＞||5．（5 分）若a＞1，则双曲线﹣y2=1 的离心率的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，2）C．（1，）D．（1，2）6．（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π7．（5 分）设x，y 满足约束条件，则z=2x+y 的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．98．（5 分）函数f（x）=ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）9．（5 分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩10．（5 分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2 B．3 C．4 D．511．（5 分）从分别写有1，2，3，4，5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．B．C．D．12．（5 分）过抛物线C：y2=4x 的焦点F，且斜率为的直线交C 于点M（M 在x 轴上方），l为C 的准线，点N 在l 上，且MN⊥l，则M 到直线NF 的距离为（）A．B．2C．2D．3二、填空题，本题共4 小题，每小题5 分，共20 分13．（5 分）函数f（x）=2cosx+sinx 的最大值为．14．（5 分）已知函数f（x）是定义在R 上的奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f （x）=2x3+x2，则f（2）=．15．（5 分）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为．16．（5 分）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=．三、解答题：共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17 至21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60 分．17．（12 分）已知等差数列{a n}的前n 项和为S n，等比数列{b n}的前n 项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．18．（12 分）如图，四棱锥P﹣ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：直线BC∥平面PAD；（2）若△PCD 面积为2，求四棱锥P﹣ABCD 的体积．19．（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg 箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．附：P（K2≥K）0.050 0.010 0.001K 3.841 6.635 10.828K2=．20．（12 分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C：+y2=1 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N，点P 满足= ．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x=﹣3 上，且•=1．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F．21．（12 分）设函数f（x）=（1﹣x2）e x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0 时，f（x）≤ax+1，求a 的取值范围．选考题：共10 分。

第1讲 三角函数的图象与性质[做真题]题型一 三角函数图象及其变换1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：选D ．易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，故选D ． 2．(2016·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．解析：函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度得到．答案：2π3题型二 三角函数的性质1．(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x | C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |解析：选A ．A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．故选A ．2．(2019·高考全国卷Ⅰ)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增；③f (x )在[－π，π]有4个零点； ④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③解析：选C ．通解：f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故①正确；当π2<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，故②不正确；f (x )在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f (x )在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；因为y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，所以f (x )可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.故选C ． 优解：因为f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故①正确，排除B ；当π2<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，故②不正确，排除A ；因为y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，所以f (x )的最大值为2，故④正确．故选C ．3．(2018·高考全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π解析：选A ．法一：f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π，得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4，所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A ．法二：因为f (x )＝cos x －sin x ，所以f ′(x )＝－sin x －cos x ，则由题意，知f ′(x )＝－sin x －cos x ≤0在[－a ，a ]上恒成立，即sin x ＋cos x ≥0，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥0在[－a ，a ]上恒成立，结合函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象可知有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，解得a ≤π4，所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A ．4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos(x ＋π3)，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在(π2，π)单调递减解析：选D ．根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－1，所以B 正确；f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，23π上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，π上单调递增，故D 不正确．所以选D ．5．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，||φ≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5解析：选B ．因为x ＝－π4为函数f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，所以π2＝kT 2＋T4(k ∈Z ，T 为周期)，得T ＝2π2k ＋1(k ∈Z )．又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36单调，所以T ≥π6，k ≤112，又当k ＝5时，ω＝11，φ＝－π4，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36不单调；当k ＝4时，ω＝9，φ＝π4，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9.6．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．解析：依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0，1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1.答案：1[明考情]高考对此部分内容主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第6～12题或第14、15题位置上，命题的热点主要集中在三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．三角函数的定义、诱导公式及基本关系[考法全练]1．角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过点P (4，y )，且sin θ＝－35，则tan θ＝( ) A ．－43B ．43C ．－34D ．34解析：选C ．因为角θ的终边经过点P (4，y )，sin θ＝－35<0，所以角θ为第四象限角，所以cos θ＝1－sin 2θ＝45，所以tan θ＝sin θcos θ＝－34，故选C ．2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan (π－α)＝( ) A ．43 B ．23 C ．－23D ．－43解析：选A ．由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 得sin α＝1－cos 2α＝45，所以tan (π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝－45－35＝43.3．已知α是第三象限的角，且tan α＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－1010B ．1010C ．－31010D ．31010解析：选C ．因为α是第三象限的角，tan α＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝tan α，sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos α＝－11＋tan 2α＝－55，sin α＝－255， 则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－255×22－55×22＝－31010，故选C ．4．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则 1－2sin(π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝____________．解析：因为1－2sin(π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝(sin θ－cos θ)2＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以原式＝sin θ－cos θ.答案：sin θ－cos θ5．若tan α＝cos α，则1sin α＋cos 4α＝____________．解析：tan α＝cos α⇒sin αcos α＝cos α⇒sin α＝cos 2α，故1sin α＋cos 4α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋sin αsin α＋sin 2α＝sin 2α＋sinα＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.答案：2(1)三角函数的定义若角α的终边过点P (x ，y )，则sin α＝y r ，cos α＝x r， tan α＝y x(其中r ＝x 2＋y 2)． (2)利用诱导公式进行化简求值的步骤利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．[注意] “奇变偶不变，符号看象限”． (3)基本关系sin 2x ＋cos 2x ＝1，tan x ＝sin x cos x.[技能] 利用同角三角函数的基本关系求函数值时，要注意确定符号．三角函数的图象与解析式[典型例题]命题角度一 由“图”定“式”(一题多解)(2019·成都市第二次诊断性检测)将函数f (x )的图象上所有点向右平移π4个单位长度，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12B ．f (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π12 【解析】 法一：根据函数g (x )的图象可知A ＝1，12T ＝π3＋π6＝π2，T ＝π＝2πω，ω＝2，所以g (x )＝sin(2x ＋φ)，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，所以2π3＋φ＝π＋k π，k ∈Z ，φ＝π3＋k π，k ∈Z ，又因为|φ|<π2，所以φ＝π3，所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，将g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度后，即可得到函数f (x )的图象，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.法二：根据g (x )的图象可知g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－π62＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝1，因为f (x )的图象向右平移π4个单位长度后，即可得到g (x )的图象，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫π12－π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝1，对于A ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin π4≠1，不符合题意；对于B ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－cos 0＝－1≠1，不符合题意；对于C ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝cos 0＝1，符合题意；对于D ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin π4≠1，不符合题意．【答案】 C由“图”定“式”找“对应”由三角函数的图象求解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图．(1)最值定A ，B ：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M ，最小值为m ，则M ＝A ＋B ，m ＝－A ＋B ，解得B ＝M ＋m 2，A ＝M －m2.(2)T 定ω：由周期的求解公式T ＝2πω，可得ω＝2πT.记住三角函数的周期T 的相关结论：①两个相邻对称中心之间的距离等于T2.②两条相邻对称轴之间的距离等于T2.③对称中心与相邻对称轴的距离等于T4.(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，在求解过程中，可以代入图象上的一个已知点(此时A ，ω，B 已知)，也可代入图象与直线y ＝B 的交点(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”，利用“中心点”时要注意其所在单调区间的单调性，避免产生增解．命题角度二 图象变换(1)(一题多解)(2019·广州市调研测试)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －16π的图象，则f (x )＝( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋16πB ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －16πC ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋13π D ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋13π(2)若ω>0，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为( )A ．112B ．52C ．12D ．32【解析】 (1)法一：由题设知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －16π.设12x ＋π3＝t ，则x ＝2t －2π3，所以f (t )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫2t －2π3－16π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6t －16π.故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －16π.故选B ．法二：由题设知，先将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －16π的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，再将所得图象向右平移π3个单位长度即得函数f (x )的图象，故f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－16π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫6x －16π.故选B ．(2)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3＋π3，其图象与函数y ＝sin ωx ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2＋2k π，k ∈Z 的图象重合，所以－π2＋2k π＝－ωπ3＋π3，k ∈Z ，所以ω＝－6k ＋52，k ∈Z ，又ω>0，所以ω的最小值为52，故选B ．【答案】 (1)B (2)B三角函数图象的变换规律由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种方法．[提醒] (1)函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对x 作的变换．(2)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左(右)平移k 个单位长度后，其图象对应的函数解析式为g (x )＝sin[ω(x ±k )＋φ]，而不是g (x )＝sin(ωx ±k ＋φ)．命题角度三 三角函数图象的应用(1)(2019·湖南省湘东六校联考)已知函数f (x )＝|sin x |·|cos x |，则下列说法不正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 B ．f (x )的最小正周期为π2C ．(π，0)是f (x )图象的一个对称中心D ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减 (2)已知函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3cos x ＋3，若函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为____________．【解析】 (1)f (x )＝|sin x |·|cos x |＝12|sin 2x |，作出函数f (x )的图象如图所示，由图知函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，f (x )的最小正周期为π2，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减，f (x )的图象无对称中心，故选C ．(2)方程g (x )＝0同解于f (x )＝m ，在平面直角坐标系中画出函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象，如图所示，由图象可知，当且仅当m ∈[3，2)时，方程f (x )＝m 有两个不同的解．【答案】 (1)C (2)[3，2)巧用图象解决三角方程或不等式问题解决与三角函数相关的方程以及不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象，然后结合函数的图象的特征确定方程的解或不等式的解集．准确作出对应函数的图象是解决问题的关键，尤其是作出函数在指定区间上的图象，需要准确把握函数图象的端点值以及最值．[对点训练]1．(2019·高考天津卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f (x )的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( )A ．－2B ．－ 2C ． 2D ．2解析：选C ．由f (x )为奇函数可得φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π，所以φ＝0，所以g (x )＝A sin 12ωx .由g (x )的最小正周期为2π，可得2π12ω＝2π，故ω＝2，g (x )＝A sin x ．g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝2，所以A ＝2，所以f (x )＝2sin 2x ，故f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2.2．(2019·湖南省五市十校联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则f (2 019)的值为________．解析：由题图易知，函数f (x )的最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－1＝6，所以ω＝2πT ＝π3，所以f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ，将(0，1)代入，可得A sinφ＝1，所以f (2 019)＝f (6×336＋3)＝f (3)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3×3＋φ＝－A sin φ＝－1.答案：－1三角函数的性质 [典型例题](1)(一题多解)(2019·江西八所重点中学联考)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，则下列关于g (x )的说法正确的是( )A ．最大值为3B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π12上单调递减C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0是g (x )图象的一个对称中心 D ．直线x ＝－π6是g (x )图象的一条对称轴(2)(一题多解)(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，则ω的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，83B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，83 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，2 【解析】 (1)通解：因为函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和函数g (x )＝3cos(2x ＋φ)＋1(|φ|<π2)的图象的对称轴完全相同，所以两个函数的周期一定相同，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3＋φ＝±1(k ∈Z )，所以对任意k ∈Z 均存在m ∈Z ，使得k π＋2π3＋φ＝m π.因为|φ|<π2，所以π6<2π3＋φ<7π6，所以2π3＋φ＝π，所以φ＝π3，所以g (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1，所以g (x )的最大值为4，所以A 错误．令2n π≤2x ＋π3≤2n π＋π，n ∈Z ，得n π－π6≤x ≤n π＋π3，n ∈Z ，所以B 错误．因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＋1＝1，所以⎝⎛⎭⎪⎫π12，1是g (x )图象的一个对称中心，所以C 错误．因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋π3＋1＝4，所以直线x ＝－π6为函数g (x )图象的一条对称轴，所以D 正确．故选D ．优解：因为函数f (x )＝2sin(ωx －π6)(ω>0)和函数g (x )＝3cos(2x ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，所以两个函数的周期一定相同，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f (－π6)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－π6＝－2，又－2为函数f (x )的最小值，所以直线x ＝－π6为函数f (x )图象的一条对称轴，所以直线x ＝－π6为函数g (x )图象的一条对称轴，故选D ．(2)法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－ωπ4＋π6≥－π2＋2k π，k ∈Z 2ωπ3＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ω≤83－8k ，k ∈Z ω≤12＋3k ，k ∈Z，又ω>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧83－8k >012＋3k >0，k ∈Z ，所以k ＝0，则0<ω≤12，故选B ．法二：取ω＝1，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，令π2＋2k π≤x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π3＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z ，当k ＝1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3上单调递减，与函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项知选B ．【答案】 (1)D (2)B三角函数性质的应用要注意以下两点：首先要将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再对比y ＝sin x 的性质，即把ωx ＋φ看成一个整体处理，但是一定要注意ω>0，否则易出错；其次一定要结合图象进行分析．[对点训练]1．(一题多解)(2019·武昌区调研考试)已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为2π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z )B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z )D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) 解析：选B ．法一：因为f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin ωx －12cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6 ，f (x )的最小正周期为2π，所以ω＝2π2π＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为[2k π－π3，2k π＋2π3](k ∈Z )．故选B ．法二：因为f (x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx －12cos ωx ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，f (x )的最小正周期为2π，所以ω＝2π2π＝1，所以f (x )＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由2k π≤x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，故选B ．2．(2019·南昌模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(0<ω<1，|φ|<π2)的图象经过点(0，1)，且关于直线x ＝2π3对称，则下列结论正确的是( )A ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，2π3上是减函数B ．若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则一定有f ′(x 0)≠0C ．f (x )≥1的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π3，k ∈Z D ．f (x )图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 解析：选D ．由f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象经过点(0，1)，得sin φ＝12，又|φ|<π2，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6.因为f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称，所以存在m ∈Z 使得2π3ω＋π6＝m π＋π2，得ω＝3m 2＋12(m ∈Z )，又0<ω<1，所以ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.令2n π＋π2≤12x ＋π6≤2n π＋3π2，n ∈Z ，得4n π＋2π3≤x ≤4n π＋8π3，n ∈Z ，故A 错误；若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则f (x )在x ＝x 0处取得极值，所以一定有f ′(x 0)＝0，故B 错误；由f (x )≥1得4k π≤x ≤4k π＋4π3，k ∈Z ，故C 错误；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0是其图象的一个对称中心，故D 正确．选D ．3．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)，其中常数φ满足－π<φ<0.若函数g (x )＝f (x )＋f ′(x )是偶函数，则φ＝( )A ．－π3B ．－5π6C ．－π6D ．－2π3解析：选A ．由题意得g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－ 3 sin(3x ＋φ)＝2cos(3x ＋φ＋π3)，因为函数g (x )为偶函数， 所以φ＋π3＝k π，k ∈Z .又－π<φ<0，所以φ＝－π3.故选A ． 4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象上相邻两个最高点的距离为6，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－2是该函数图象上的一个最低点，则该函数图象的一个对称中心是( )A ．(1，0)B ．(2，0)C ．(3，0)D ．(4，0)解析：选C ．由题意可得函数f (x )的最小正周期T ＝6，则ω＝2πT ＝2π6＝π3.结合点P 的坐标可得A ＝2，且π3×32＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，得φ＝2k π－π(k ∈Z )，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋2k π－π＝－2sin π3x (k ∈Z )．令π3x ＝k ′π(k ′∈Z )，得x ＝3k ′(k ′∈Z )， 取k ′＝1可得该函数图象的一个对称中心是(3，0)．三角函数的值域与最值问题[典型例题](1)已知将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x ＋12的图象向左平移5π12个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上的值域为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 (2)(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．【解析】 (1)因为f (x )＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π6－cos x sin π6＋12＝3sin x cos x －cos 2x ＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.因为－π3≤x ≤π3，所以0≤2x ＋2π3≤4π3，则－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3≤1，故－32≤g (x )≤1.故选C ．(2)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1， 令t ＝cos x ，则t ∈[－1，1]， 所以f (x )＝－2t 2－3t ＋1.又函数f (x )图象的对称轴t ＝－34∈[－1，1]，且开口向下，所以当t ＝1时，f (x )有最小值－4. 【答案】 (1)C (2)－4有关三角函数的值域与最值问题的解题策略(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，要根据三角恒等变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再借助三角函数的图象与性质确定值域与最值．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，转化为二次函数去求解．(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，再转化为关于t 的二次函数去求解．[对点训练]1．(2019·济南市模拟考试)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)在[0，π]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则ω的最小值为( )A ．23 B ．34 C ．43D ．32解析：选A ．因为0≤x ≤π，ω>0，所以－π6≤ωx －π6≤ωπ－π6.又f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以ωπ－π6≥π2，所以ω≥23，故选A ．2．函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4上的最小值为________．解析：由题意得，f (x )＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.因为π2≤x ≤3π4，所以5π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤－22，所以1－2≤1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤0，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4上的最小值为1－ 2.答案：1－ 2一、选择题1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝( )A ．2B ．32 C ．1D ．12解析：选A ．依题意得函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2×(3π4－π4)＝π，解得ω＝2，选A ．2．(2019·昆明市诊断测试)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象的一条对称轴的方程为( ) A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝5π12解析：选D ．由题意，令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，当k ＝0时，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3图象的一条对称轴的方程为x ＝5π12.故选D ． 3．(2019·广东省七校联考)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的单调递增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈ZB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈ZC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈ZD ．⎝⎛⎭⎪⎫4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈Z 解析：选B ．由－π2＋k π<x 2－π6<π2＋k π，k ∈Z ，得2k π－2π3<x <2k π＋4π3，k ∈Z ，则函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z ，故选B ．4．(2019·济南市学习质量评估)为了得到函数y ＝2cos 2x 的图象，可以将函数y ＝cos 2x －3sin 2x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解析：选B ．因为y ＝cos 2x －3sin 2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以要得到函数y ＝2cos 2x 的图象，可以将函数y ＝cos 2x －3sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度，故选B ．5．(2019·石家庄市模拟(一))已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，点A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则函数f (x )图象的一条对称轴为( )A ．x ＝－π3B ．x ＝－π12C ．x ＝π18D ．x ＝π24解析：选D ．因为函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)的图象过点A (0，3)，所以2cos φ＝3，即cos φ＝32，所以φ＝2k π±π6(k ∈Z )．因为|φ|<π2，所以φ＝±π6，由函数f (x )的图象知φω<0，又ω>0，所以φ<0，所以φ＝－π6，所以f (x )＝2cos(ωx －π6)．因为f (x )＝2cos(ωx －π6)的图象过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，所以cos (ω－1)π6＝0，所以(ω－1)π6＝m π＋π2(m ∈Z )，所以ω＝6m ＋4(m ∈Z )．因为ω>0，πω>π6，所以0<ω<6，所以ω＝4，所以f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6.因为x ＝π24时，f (x )＝2，所以x ＝π24为函数f (x )图象的一条对称轴，故选D ． 6．将偶函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移π12个单位长度后，得到的曲线的对称中心为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3＋π4，0(k ∈Z )B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3＋π12，0(k ∈Z )C ．⎝⎛⎭⎪⎫k π3＋π6，0(k ∈Z ) D ．⎝⎛⎭⎪⎫k π3＋7π36，0(k ∈Z )解析：选A ．因为函数f (x )＝sin(3x ＋φ)为偶函数且0<φ<π，所以φ＝π2，f (x )的图象向右平移π12个单位长度后可得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象，分析选项知⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3＋π4，0(k ∈Z )为曲线y ＝g (x )的对称中心．故选A ．7．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，112∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23 解析：选B ．因为ω>0，π<x <2π，所以ωπ＋π6<ωx ＋π6<2ωπ＋π6，又函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在区间(π，2π)内没有最值，所以函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)在区间(π，2π)上单调，所以2ωπ＋π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ＋π6＝ωπ<π，0<ω<1，则π6<ωπ＋π6<7π6.当π6<ωπ＋π6<π2时，则2ωπ＋π6≤π2，所以0<ω≤16； 当π2≤ωπ＋π6<7π6时，则2ωπ＋π6≤3π2，所以13≤ω≤23.故选B ．8．(2019·福州市质量检测)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )为偶函数，则函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的值域是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B ．(－1，1)C ．(0，2]D ．(－1，2]解析：选D ．由f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，得T ＝π，又ω>0，所以2πω＝π，解得ω＝2.将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ的图象．因为函数g (x )为偶函数，所以2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，由|φ|<π2，解得φ＝－π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.因为0<x <π2，所以－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的值域是(－1，2]，故选D ．9．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，则ω的最大值为( ) A ．12 B ．1 C ．2D ．4解析：选C ．法一：因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8，所以ωx ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，ωπ8＋π4，因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，所以ωπ8＋π4≤π2，所以ω≤2，即ω的最大值为2，故选C ．法二：逐个选项代入函数f (x )进行验证，选项D 不满足条件，选项A 、B 、C 满足条件f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，所以ω的最大值为2，故选C ． 10．(2019·福州市第一学期抽测)已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin 2x －1在[0，m ]上单调递增，则m 的最大值是( )A ．π4B ．π2C ．3π8D ．π解析：选C ．由题意，得f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，k ＝0时，－π8≤x ≤3π8，即函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8上单调递增．因为函数f (x )在[0，m ]上单调递增，所以0<m ≤3π8，即m的最大值为3π8，故选C ．11．(2019·湖南省五市十校联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )，且f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，则f (x )取最大值时x 的值为( )A ．π3＋k π，k ∈ZB ．π4＋k π，k ∈ZC ．π6＋k π，k ∈ZD ．－π6＋k π，k ∈Z解析：选C ．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )得f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，即当x ＝π6时，f (x )取得最值，所以2×π6＋φ＝n π＋π2，n ∈Z ，φ＝n π＋π6，n ∈Z .又f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ，所以sin (2π＋φ)>sin (π＋φ)，即sin φ>－sin φ，得sin φ>0，所以n ∈Z ，且n 为偶数．不妨取n ＝0，即φ＝π6，当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝π6＋k π，k ∈Z ，故选C ．12．(2019·广东六校第一次联考)已知A 是函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3的最大值，若存在实数x 1，x 2使得对任意实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则A |x 1－x 2|的最小值为( )A ．π2 018 B ．π1 009 C ．2π1 009D ．π4 036解析：选B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3＝32sin 2 018x ＋12cos 2 018x ＋12cos 2 018x ＋32sin 2 018x ＝3sin 2 018x ＋cos 2 018x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6，故A ＝f (x )max＝2，f (x )的最小正周期T ＝2π2 018＝π1 009.又存在实数x 1，x 2使得对任意实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，所以f (x 2)＝f (x )max ，f (x 1)＝f (x )min ，故A |x 1－x 2|的最小值为A ×12T＝π1 009，故选B ． 二、填空题13．(一题多解)(2019·福州市质量检测)将函数f (x )＝a sin x ＋b cos x (a ，b ∈R 且a ≠0)的图象向左平移π6个单位长度后，得到一个偶函数图象，则ba＝________．解析：通解：将f (x )＝a sin x ＋b cos x (a ，b ∈R 且a ≠0)的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋b cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ，其中tan φ＝b a ，因为y ＝a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ为偶函数，所以π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝π3＋k π(k ∈Z )，所以ba＝tan φ＝ 3.优解：因为将f (x )＝a sin x ＋b cos x (a ，b ∈R 且a ≠0)的图象向左平移π6个单位长度后，得到一个偶函数图象，所以函数f (x )＝a sin x ＋b cos x 图象的一条对称轴为直线x ＝π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f (0)，所以a sin π3＋b cos π3＝b ，因为a ≠0，所以b a ＝ 3. 答案： 314．已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，A (a ，0)，B (b ，0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝________．解析：因为函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)，所以φ＝π2，所以f (x )＝－4sin ωx ，又A (a ，0)，B (b ，0)是其图象上两点，且|a －b |的最小值是1，所以函数f (x )的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f (x )＝－4sin πx ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝－4sin π6＝－2.答案：－215．(2019·长春市质量监测(二))定义在[0，π]上的函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)有零点，且值域M ⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，则ω的取值范围是________．解析：由0≤x ≤π，得－π6≤ωx －π6≤ωπ－π6，当x ＝0时，y ＝－12.因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6在[0，π]上有零点，所以0≤ωπ－π6，ω≥16.因为值域M ⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，所以ωπ－π6≤π＋π6，ω≤43，从而16≤ω≤43. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，4316．(2019·蓉城名校第一次联考)已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________． 解析：因为2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0， 所以1－cos 2x －3sin 2x ＋m －1＝0， 所以cos 2x ＋3sin 2x －m ＝0，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝m ，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝m 2.方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上有两个不同的实数根，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π的图象与y ＝m 2的图象有2个不同的交点．作出y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π及y＝m 2的图象如图所示，则－1<m 2<－12，即－2<m<－1，所以m的取值范围是(－2，－1)．答案：(－2，－1)。

课时作业1．(2016·广州市五校联考)下列函数中，周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2x C ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2xA [解析] y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，选A.2．已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝( )A ．－12B ．1 C.12D ．－32A [解析] 由题意知当x ＝12时，y 0＝－32或y 0＝32，即sin α＝－32或sin α＝32，又因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2α＝1－2sin 2α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝1－2×34＝－12.3．(2016·福建省毕业班质量检测)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin(π－2α)＝( )A.2425 B.1225 C ．－1225D ．－2425D [解析] 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin α·cos α＝－2425，选项D 正确．4．(2016·沈阳市教学质量监测(一))某函数部分图象如图所示，它的函数解析式可能是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x ＋3π5B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫65x －2π5C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫65x ＋3π5 D ．y ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56x ＋3π5C [解析] 不妨令该函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)，由图知A ＝1，T 4＝3π4－π3＝5π12，于是2πω＝5π3，即ω＝65，π3是函数的图象递减时经过的零点，于是65×π3＋φ＝2k π＋π，k ∈Z ，所以φ可以是3π5，选C.5．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0，2]A [解析] 由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，所以12≤ω≤54.6．(2016·山西考前质量检测)若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫||φ＜π2的图象关于直线x ＝π12对称，且当x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，x 1≠x 2时，f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12B.22C.32D ．1C [解析] 由题意得，2×π12＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π3＋k π，k ∈Z ，因为|φ|＜π2，所以k ＝0，φ＝π3，又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，所以2x 1＋π3，2x 2＋π3∈(0，π)，所以2x 1＋π3＋2x 2＋π32＝π2，解得x 1＋x 2＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.7．已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则sin α－cos α＝________．[解析] sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α·cos α＋cos 2α＝125，即2sin α·cos α＝－2425，因为(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝4925，又－π2<α<0，所以sin α<0，cos α>0，所以sin α－cos α<0，所以sin α－cos α＝－75.[答案] －758．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．[解析] 由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝cos π3，因为0≤φ<π，所以φ＝π6.[答案] π69．已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π4，都有|f (x )|<m ，则实数m 的取值范围是________．[解析] 因为f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4，所以⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，π6，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈(－3，1]， 所以|f (x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3<3，所以m ≥ 3.[答案] [3，＋∞)10．已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2满足f (x )＝－f (x ＋π)，f (0)＝12，则g (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为________．[解析] 由f (x )＝－f (x ＋π)可得f (x ＋2π)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2π，所以ω＝2π2π＝1.由f (0)＝12得sin φ＝12，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，因为g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，且0≤x ≤π2，所以π6≤x ＋π6≤2π3，所以－12≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32，因此g (x )max ＝ 3.[答案] 311．已知a ＝(sin 2x ，2cos 2x －1)，b ＝(sin θ，cos θ)(0<θ<π)，函数f (x )＝a ·b的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1.(1)求θ及f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4时，求f (x )的最大值和最小值． [解] (1)因为f (x )＝a ·b ＝sin 2x sin θ＋cos 2x cos θ＝cos(2x －θ)， 所以f (x )的最小正周期为T ＝π.因为y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝1.因为0<θ<π，所以θ＝π3.(2)由(1)得f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 因为－π6≤x ≤π4，所以－2π3≤2x －π3≤π6.故当2x －π3＝0，即x ＝π6时，f (x )取得最大值1；当2x －π3＝－2π3，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－12.12．设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程．[解] (1)f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＋a ，则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时f (x )单调递增，即k π－38π≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )． 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )为f (x )的单调递增区间． (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，π4≤2x ＋π4≤7π12， 当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1.所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2. 由2x ＋π4＝k π＋π2得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，故y ＝f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π8，k ∈Z .13．(2016·湖北省七市(州)协作体联考)已知函数f (x )＝2sin x ＋6cos x (x ∈R )． (1)若α∈[0，π]且f (α)＝2，求α；(2)先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x ＝3π4对称，求θ的最小值．[解] (1)f (x )＝2sin x ＋6cos x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.由f (α)＝2，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝22，即α＋π3＝2k π＋π4或α＋π3＝2k π＋3π4，k ∈Z .于是α＝2k π－π12或α＝2k π＋5π12，k ∈Z .又α∈[0，π]，故α＝5π12.(2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，再将y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点的横坐标向右平行移动θ个单位长度，得到y ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象．由于y ＝sin x 的图象关于直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )对称，令2x －2θ＋π3＝k π＋π2，解得x ＝k π2＋θ＋π12，k ∈Z .由于y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象关于直线x ＝3π4对称，令k π2＋θ＋π12＝3π4，解得θ＝－k π2＋2π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.14．已知定义在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，3π2上的函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，当x ≥π4时，f (x )＝－sin x . (1)作出y ＝f (x )的图象；(2)求y ＝f (x )的解析式；(3)若关于x 的方程f (x )＝a 有解，将方程中的a 取一确定的值所得的所有解的和记为M a ，求M a 的所有可能的值及相应的a 的取值范围．[解] (1)y ＝f (x )的图象如图所示．(2)任取x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π4， 则π2－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2， 因为函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，则f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ，又当x ≥π4时，f (x )＝－sin x ， 则f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x＝－cos x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，π4，－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2.(3)当a ＝－1时，f (x )＝a 的两根为0，π2，则M a ＝π2；当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22时，f (x )＝a 的四根满足x 1<x 2<π4<x 3<x 4，由对称性得x 1＋x 2＝0，x 3＋x 4＝π，则M a ＝π；当a ＝－22时，f (x )＝a 的三根满足x 1<x 2＝π4<x 3，由对称性得x 3＋x 1＝π2，则M a ＝3π4；当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－22，1时，f (x )＝a 的两根为x 1，x 2，由对称性得M a ＝π2.综上，当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22时，M a ＝π； 当a ＝－22时，M a ＝3π4； 当a ∈⎝⎛⎦⎥⎤－22，1∪{－1}时，M a ＝π2.。

一、选择题1．[2016·郑州质检]函数f(x)＝e x cos x 的图象在点(0，f(0))处的切线方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0答案 C解析 依题意，f(0)＝e 0cos 0＝1，因为f ′(x)＝e x cos x －e x sin x ，所以f ′(0)＝1，所以切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0，故选C .2．[2016·山西忻州四校联考]设函数f (x )＝x sin x ＋cos x 的图象在点(t ，f (t ))处切线的斜率为k ，则函数k ＝g (t )的部分图象为( )答案 B解析 f ′(x )＝(x sin x ＋cos x )′＝x cos x ，则k ＝g (t )＝t ·cos t ，易知函数g (t )为奇函数，其图象关于原点对称，排除A 、C.当0<t <π2时，g (t )>0，所以排除D ，故选B.3．[2016·广西质检]若函数f(x)＝(x 2－cx ＋5)e x在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，4]C ．(－∞，8]D ．[－2,4]答案 B解析 f ′(x)＝[x 2＋(2－c)x －c ＋5]e x，因为函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上单调递增，等价于x 2＋(2－c)x －c ＋5≥0对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，即(x ＋1)c ≤x 2＋2x ＋5，c ≤x 2＋2x ＋5x ＋1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4恒成立，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4，∴x 2＋2x ＋5x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1≥4，当且仅当x ＝1时等号成立，∴c ≤4.4．[2016·沈阳质检]已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0<x 0<12B .12<x 0<1 C .22<x 0< 2 D .2<x 0< 3答案 D解析 由题令f(x)＝x 2，f ′(x)＝2x ，f(x 0)＝x 20，所以直线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x(x ∈(0,1))的图象相切，令切点坐标为(x 1，ln x 1)，y ′＝1x ，所以l 的方程为y ＝1x 1x ＋ln x 1－1，这样有⎩⎨⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，所以1＋ln 2x 0＝x 20，x 0∈(1，＋∞)，令g(x)＝x 2－ln 2x －1，x ∈(1，＋∞)，所以该函数的零点就是x 0，又因为g ′(x)＝2x －1x ＝2x 2－1x ，所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，又g(1)＝－ln 2 <0，g(2)＝1－ln 2 2<0，g(3)＝2－ln 23>0，从而2<x 0<3，选D .5．已知函数f(x)＝x 3＋ax 2－x ＋c(x ∈R )，则下列结论错误的是( )A ．函数f (x )一定存在极大值和极小值B ．若函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上是增函数，则x 2－x 1≥233 C ．函数f (x )的图象是中心对称图形D ．函数f (x )的图象在点(x 0，f (x 0))(x 0∈R )处的切线与f (x )的图象必有两个不同的公共点答案 D解析 对于选项A ，f ′(x )＝3x 2＋2ax －1，方程3x 2＋2ax －1＝0的根的判别式Δ＝4a 2＋12>0恒成立，故f ′(x )＝0必有两个不等实根，不妨设为x 1，x 2，且x 1<x 2，令f ′(x )>0，得x <x 1或x >x 2，令f ′(x )<0，得x 1<x <x 2，所以函数f (x )在(x 1，x 2)上单调递减，在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 1时，函数f (x )取得极大值，当x ＝x 2时，函数f (x )取得极小值，故A 选项的结论正确；对于选项B ，令f ′(x )＝3x 2＋2ax －1＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2a 3，x 1x 2＝－13，易知x 1<x 2，所以x 2－x 1＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4a 29＋43≥233，故B选项的结论正确；对于选项C ，易知两极值点的中点坐标为⎝⎛－a3，⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 23x ＋x 3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 23x －x 3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3－x ＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，所以函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫－a 3，f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3成中心对称，故C 选项的结论正确；对于D 选项，令a ＝c ＝0得f (x )＝x 3－x ，f (x )在(0,0)处切线方程为y ＝－x ，且⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x y ＝x 3－x 有唯一实数解，即f (x )在(0,0)处切线与f (x )图象有唯一公共点，所以D 不正确，选D.6．已知函数f (x )＝(a －2)x －ax 3在区间[－1,1]上的最大值为2，则a 的取值范围是( )A ．[2,10]B ．[－1,8]C ．[－2,2]D ．[0,9]答案 B解析 f ′(x )＝－3ax 2＋a －2.(1)当a ＝0时，f ′(x )＝－2<0，f (x )在[－1,1]上为减函数，所以f (x )max ＝f (－1)＝2，符合题意．(2)当0<a ≤2时，f ′(x )≤0恒成立，所以函数f (x )在定义域内为减函数，所以f (x )max ＝f (－1)＝2，符合题意．(3)当a <0或a >2时，由f ′(x )＝0，解得x ＝±a －23a .①当－a －23a ≤－1，即 a －23a ≥1，即－1≤a <0时，函数f (x )在[－1,1]上单调递减，所以此时函数在定义域内的最大值为f (－1)＝2，满足条件；②当－a －23a >－1，即a －23a <1，即a <－1或a >2时，若a <－1，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－a －23a 与⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －23a ，1上单调递增，在⎣⎢⎡－a －23a ，⎦⎥⎤a －23a 上单调递减，所以此时函数在定义域内的最大值为f (1)＝－2或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －23a ，而f ⎝⎛⎭⎪⎫－ a －23a >f (－1)＝2，不满足条件，若a >2，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－a －23a 与⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a －23a ，1上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ a －23a ，a －23a 上单调递增，所以此时函数在定义域内的最大值为f (－1)＝2或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a ，则必有f ⎝⎛⎭⎪⎫a －23a ≤2，即(a －2)a －23a －a ⎝⎛⎭⎪⎫ a －23a 3≤2，整理并因式分解得(a －8)(a ＋1)2≤0，所以由a >2可得2<a ≤8.综上可得－1≤a ≤8，故选B.二、填空题7．[2016·九江一模]已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a ·e x图象的切线，则实数a ＝________.答案 e 2解析 设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1，∴e x0＝a ，又－1a ·e x 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，∴a ＝e 2.8．[2016·广东肇庆模拟]已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________.答案 5解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知x ＝－3为方程3x 2＋2ax ＋3＝0的根，所以3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5.9．[2016·石家庄一模]设过曲线f(x)＝－e x －x(e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在过曲线g(x)＝ax ＋2cos x 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为________．答案 －1≤a ≤2解析 函数f(x)＝－e x －x 的导数为f ′(x)＝－e x －1，设曲线f(x)＝－e x －x 上的切点为(x 1，f(x 1))，则l 1的斜率k 1＝－e x 1－1.函数g(x)＝ax ＋2cos x 的导数为g ′(x)＝a －2sin x ，设曲线g(x)＝ax ＋2cos x 上的切点为(x 2，g(x 2))，则l 2的斜率k 2＝a －2sin x 2.由题设可知k 1·k 2＝－1，从而有(－e x1－1)(a －2sin x 2)＝－1，∴a －2sin x 2＝1e x1＋1，对∀x 1，∃x 2使得等式成立，则有y 1＝1e x1＋1的值域是y 2＝a －2sin x 2值域的子集，即(0,1)⊆[a －2，a ＋2]，⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤0，a ＋2≥1，∴－1≤a ≤2.三、解答题10．[2016·石景山区高三统测]已知函数f(x)＝x －a ln x ，g(x)＝－1＋ax (a>0)．(1)若a ＝1，求函数f(x)的极值；(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，求函数h(x)的单调区间；(3)若存在x 0∈[1，e ]，使得f(x 0)<g(x 0)成立，求a 的取值范围． 解 (1)f(x)＝x －a ln x 的定义域为(0，＋∞)．当a ＝1时，f ′(x)＝x －1x . 由f ′(x)＝0，解得x ＝1.当0<x<1时，f ′(x)<0，f(x)单调递减； 当x>1时，f ′(x)>0，f(x)单调递增；所以当x ＝1时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(1)＝1－ln 1＝1；(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝x －a ln x ＋1＋ax ，其定义域为(0，＋∞)． 又h ′(x)＝x 2－ax －(1＋a )x 2＝(x ＋1)[x －(1＋a )]x 2. 由a>0可得1＋a>0，在x ∈(0,1＋a)上h ′(x)<0，在x ∈(1＋a ，＋∞)上h ′(x)>0，所以h(x)的递减区间为(0,1＋a)；递增区间为(1＋a ，＋∞)． (3)若在[1，e ]上存在一点x 0，使得f(x 0)<g(x 0)成立， 即在[1，e ]上存在一点x 0，使得h(x 0)<0. 即h(x)在[1，e ]上的最小值小于零．①当1＋a ≥e ，即a ≥e －1时，由(2)可知h(x)在[1，e ]上单调递减．故h(x)在[1，e ]上的最小值为h(e )， 由h(e )＝e ＋1＋a e －a<0，可得a>e 2＋1e －1.因为e 2＋1e －1>e －1，所以a>e 2＋1e －1；②当1<1＋a<e ，即0<a<e －1时，由(2)可知h(x)在(1,1＋a)上单调递减，在(1＋a ，e )上单调递增． h(x)在[1，e ]上最小值为h(1＋a)＝2＋a －a ln (1＋a)． 因为0<ln (1＋a)<1，所以0<a ln (1＋a)<a.∴2＋a －a ln (1＋a)>2，即h(1＋a)>2不满足题意，舍去．综上所述：a ∈⎝⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞.11．已知函数f (x )＝ln x ＋ax －a 2x 2(a ≥0)． (1)若x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，求a 的值； (2)若f (x )<0在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1x. 因为x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点， 所以f ′(1)＝1＋a －2a 2＝0， 解得a ＝－12(舍去)或a ＝1.经检验，当a ＝1时，x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，所以a ＝1. (2)当a ＝0时，f (x )＝ln x ，显然在定义域内不满足f (x )<0； 当a >0时，令f ′(x )＝(2ax ＋1)(－ax ＋1)x ＝0，得 x 1＝－12a (舍去)，x 2＝1a ，所以f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln a <0，所以a >1.综上可得a 的取值范围是(1，＋∞)．12．[2016·广西质检]已知函数f(x)＝1x ＋a ln x(a ≠0，a ∈R )． (1)若a ＝1，求函数f (x )的极值和单调区间；(2)若在区间(0，e]上至少存在一点x 0，使得f (x 0)<0成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝1，又f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f ′(x )<0得0<x <1，由f ′(x )>0得x >1，所以当x ＝1时，f (x )有极小值1.f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)． (2)f ′(x )＝－1x 2＋a x ＝ax －1x 2，且a ≠0，令f ′(x )＝0，得到x ＝1a ， 若在区间(0，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)<0成立，即f (x )在区间(0，e]上的最小值小于0.当1a <0，即a <0时，f ′(x )<0在(0，e]上恒成立，即f (x )在区间(0，e]上单调递减，故f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝1e ＋a ln e ＝1e ＋a ， 由1e ＋a <0，得a <－1e ，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e .当1a >0，即a >0时，①若e ≤1a ，则f ′(x )≤0对x ∈(0，e]成立，所以f (x )在区间(0，e]上单调递减，则f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝1e ＋a ln e ＝1e ＋a >0， 显然，f (x )在区间(0，e]上的最小值小于0不成立． ②若0<1a <e ，即a >1e 时，则有所以f (x )在区间(0，e]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ＋a ln a ，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ＋a ln 1a ＝a (1－ln a )<0，得1－ln a <0，解得a >e ，即a ∈(e ，＋∞)．综上，由①②可知：a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ∪(e ，＋∞)符合题意．。

专题二三角函数第1讲三角函数的图象与性质一、选择题1. (2016四川卷)为了得到函数y = sin2x -寸的图象，只需把函 数y = sin 2x的图象上所有的点()A .向左平行移动n 个单位长度B .向右平行移动n 个单位长度C .向左平行移动n 个单位长度 D .向右平行移动n 个单位长度 解析：T y = sin 2x -寸=sin2》一n将函数y = sin 2x 的图象向右平行移动§个单位长度，可得y = sin 2x - 3的图象.答案：D2.若函数f(x) = sin ax + ,3cosax(a>0)的最小正周期为2,则函数f(x)的一个零点为()2A 一—B.— A . 3 3 2 \ C・3 °丿本部讣fl:学土用书中单独飒册t* *+ **D . (°, °)r n 2 n解析：f(x) = 2sinax+3丿，= ~^ = 2,「・a=n(n 2「•f(x) = 2sin严 + 3丿，二当x=3时，f(x) = 0.答案：B3. 把函数y= sin x + f图象上各点的横坐标缩小到原来的 *纵坐标不变)，再将图象向右平移扌个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为() n nA. x= —2B. x = —4n nC. x= 8D. x= 4-(n n (n解析：由题意知y= sinl2 x-3+ 石=sin 2x-J=- cos 2x,验冗证可知x=-2是所得图象的一条对称轴.答案：A(n (% y4. (2016北京卷)将函数y= sin 2x-3图象上的点P® t向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'若P位于函数y= sin 2x的图象上，则( )A. t= 1，s的最小值为fB.上二于,s的最小值为nC. t=2 s的最小值为nD. t=23, s的最小值为n心、( n解析：丁点Pj t 在函数y = sin 2x -3J 的图象上，「.t =sin?x 4—扌丿=sin6= g 「P ；, gl •将点P 向左平移s(s>0)个单位长度••P ‘在函数y = sin 2x 的图象上，「• sin5「2s = 2k n+ 3或 2s = 2k n+ 3 n,即s = k n+ 6或s = k n+ Z), As 的最小值为；・答案：A5. (2016 山西临汾一中3月模拟)已知函数 f(x) = 2sin (3x+( 一册3 >0, |⑷<n 的图象如图所示，贝S 函数y = f(x) +3的图象的对称中 \、一 2 丿心坐标为()A ・gk n+ 24，2/k € Z)B. 3k n-普, l 823(k € Z) cos 2>=2,C・ £k n+ ?，3(k€ Z)D. Zk n-解析：由题图可知；=于-于=3n，「= 3蔦又T=23= 3耳2 _ 23 n n「•3 = 3，又3X 8 + ©= 2k n+ 2，k€ Z ,n —n n i'2 n;• •©= 2k n+4, k€ Z,又-| 吋＜2，・・0= 4，・f(x)= 2sin 3X + 4 ,2 n3 3 n由§x+ 4= k n, k€ Z，得x= Qk n—§, k€ Z ,贝S y= f(x) +3 的图象/3 3 2、的对称中心坐标为2k n—8n, 3 (k € Z).答案：D二、填空题6.已知函数f(x)= 3sin(3x—6)( 3>0)和g(x)= 3cos(2c + ©)的图象的对称中心完全相同，若x€ 0, 2,则f(x)的取值范围是_______________ .解析：由两个三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的广) _ T 周期相同，故3= 2, /f(x)= 3sin2x —訂那么当x€ 0,扌时，一詐彳『n 一3 "I• —2 = sinfx—骨尸 1,故f(x) € —空,3.答案：-2, 37. (2016江苏卷)定义在区间［0, 3付上的函数y=sin 2x的图象与y= cosx的图象的交点个数是___________ .解析：法：函数y—sin 2x的最小正周期为2= n, y= cosx的最小正周期为2耳在同一坐标系内画出两个函数在［0, 3n上的图象,如图所示.通过观察图象可知，在区间[0, 3 n上两个函数图象的交点个数是7.y= sin 2x, 法二：联立两曲线方程，得两曲线交点个数即为方I y= cosx,程组解的个数，也就是方程sin 2X=cosx解的个数.方程可化为2sinxcosx = cosx,即卩cosx(2sin x—1) = 0,亠1 「•cosx= 0 或sin x=2n①当cosx= 0 时，x= k n+ 2，k€ Z,冗3 5vx€ [0, 3n] /.x = 2，^n，共3 个；②当sin x=；时，TX€ [0, 3n]. n 5 13 17•・X—6, 6n,6 n,6 n共4丨.综上，方程组在[0 , 3n上有7个解，故两曲线在[0 , 3n上有7 个交占I 丿j八、、・答案：78.已知函数f(x)= sin 3X+ cos ®x(3>0), x€ R.若函数f(x)在区间(一®, 3)内单调递增，且函数y= f(x)的图象关于直线X= 3对称，则3的值为 _________ .讴+；,解析：f(x) = sin 3X+ cos w x= 2sin•函数f(x)的图象关于直线X= 3对称，32+ ；=±2,2 n n•••3+ 4=2 + k n, k€ Z,即32= 4+ k n k€ z,又函数f(x)在区间(一3, 3)内单调递增, 所以32+ 2，即32W 4，取k= 0,得32= 4，所以3= 2兀・答案：2”三、解答题9.已知函数f(x)= Nsin^cos^—2sin2x.(导学号55460108)(1)求f(x)的最小正周期;⑵求f(x)在区间［—n 0］上的最小值.解：(1)T f(x) = #sin x—¥(1 —cosx)sin X + ；一¥，• f(x)的最小正周期为2 n(2) •/ — n< x< 0,当x+n= —n，即x=-爭寸，f(x)取得最小值.(3 n \［2•f(x)在区间［—n, 0］上的最小值为f —~4卜-1-~2・一(n10.某同学用“五点法”画函数f(x) = Asin(3x +册w>0, |^|<2j 在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：(导学号55460109)(1) 请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；(2) 将y= f(x)图象上所有点向左平行移动0( 9>0)个单位长度，得到y= g(x)的图象.若y= g(x)图象的一个对称中心为I n，0，求0的最小值.解：⑴根据表中已知数据，解得A=5,3=2, ©=—n数据补全如下表：且函数表达式为f(x) = 5sin 2x -g 丿.丄升L n⑵由(1)知 f(x) = 5sin2x -g 丿，( n得 g(x) = 5sin2x + 2 0-gj.vy = sin x 的对称中心为(k n, 0), k €乙令 2x + 2 0— 6= k n,解得 x = k2+12— 0, k € Z ・ 由于函数y = g(x)的图象关于点 &, 0丿成中心对称,n由0>0可知，当k = 1时，0取得最小值g. ( n 11.设函数 f(x) = sin 3X + sin (3X — ? !, x € R.(导学号 55460110)1(1) 若 3= 2,求f(x)的最大值及相应x 的集合；(2) 若x =8是 f(x)的一个零点，且0< 3<10，求3的值和f(x)的最 小正周期.厂(n解：由已知：f(x) =sin 3X — cos 3X =p 2sin ,3X — 4J.(1)若 3 = 2,贝S f(x)= 2sin ；x —n .k n12 —= k n B= c -n 冗2 12' 解得,k € Z.又x€ R，贝S 2sin；x —；< 2,max =2,1 n n此时？x—4= 2k n + 2，k€ Z,即f(x)取最大值时，x的取值集合为x x= 4k n+ 32? , k€ Z.n⑵V x= 8是函数f(x)的一个零点，% 兀］兀兀•• 2sin@ 3—4 戶0,二8® —4= k n, k€ Z. 又0<3<10，所以3= 2 ,厂L B「•f(x) = \2sin 2x—4,此时其最小正周期为兀。

第1讲 三角函数的图象与性质高考统计·定方向题型1 三角恒等变换■核心知识储备·1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .■高考考法示例·【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15B.55C.255D ．1 (2)(2018·洛阳模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos π3＋2α＝________.(3)(2018·石家庄模拟)若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0＜β＜π4＜α＜π2，则α＋β的值为________． (1)B (2)－78 (3)π3 [(1)由题可知tan α＝b －a 2－1＝b －a ，又cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－b －a 21＋b －a2＝23，∴5(b －a )2＝1，得(b －a )2＝15，即|b －a |＝55，故选B. (2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14得cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝78，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝－78.(3)因为cos(2α－β)＝－1114且π4＜2α－β＜π，所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437且－π4＜α－2β＜π2，所以cos(α－2β)＝17.所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)·cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－1114×17＋5314×437＝12.因为π4＜α＋β＜3π4，所以α＋β＝π3.[方法归纳]1．三角恒等变换的“4大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦． 2．解决条件求值问题的关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角． (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示． (3)求解三角函数中的给值求角问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．(教师备选)(2018·佛山模拟)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝34，则cos 2π4－α＝( )A.725B.925 C.1625 D.2425B [tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝34，解得tan α＝－17，故cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2＝1＋sin 2α2＝12＋sin αcos α， 其中sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－750，故12＋sin αcos α＝925.] ■对点即时训练·1．(2018·黄山模拟)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725 B.15 C ．－15 D ．－725D [由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35得，sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725，故选D.] 2．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12B.π3 C.π4 D.π6C [由sin α＝55，α是锐角知cos α＝255， 由sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角知，－π2＜α－β＜0， 从而cos(α－β)＝31010.故cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝255×31010＋55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22所以β＝π4]3．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan ＝15，则tan α＝________.32 [法一：因为tan＝15，所以tan α－tan5π41＋tan αtan5π4＝15，即tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32.法二：因为tan＝15， 所以tan α＝tan＋5π4题型2 三角函数的图象与解析式■核心知识储备· 1．“五点法”作图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的简图时，一般先列表，后描点，连线，其中所列表如下：2.■高考考法示例·【例2】 (1)(2018·合肥模拟)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6的图象可由函数y ＝cos π3x 的图象至少向右平移m (m ＞0)个单位长度得到，则m ＝( )A ．1 B.12 C.π6 D.π2(2)(2015·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图2­1­1所示，则f (x )的单调递减区间为( )图2­1­1A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z (1)A (2)D [(1)因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3x －， 所以只需将函数y ＝cos π3x 的图象向右至少平移1个单位长度即可得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6的图象．(2)由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.][方法归纳]1．三角函数图象平移问题处理策略(1)统一函数名称，当原函数与所要变换得到的目标函数的名称不同时，首先要将函数名称统一．(2)将y ＝sin ωx (ω>0)的图象变换成y ＝sin(ωx ＋φ)的图象时，只需进行平移变换，应把ωx ＋φ变换成ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω，根据⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω确定平移量的大小，根据φω的符号确定平移的方向．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的确定方法(1)A 由最值确定，A ＝最大值－最小值2；(2)ω由周期确定；(3)φ由图象上的特殊点确定．通常利用峰点、谷点或零点列出关于φ的方程，结合φ的范围解得φ的值，所列方程如下：峰点：ωx ＋φ＝π2＋2k π；谷点：ωx ＋φ＝－π2＋2k π，利用零点时，要区分该零点是升零点，还是降零点．升零点(图象上升时与x 轴的交点)：ωx ＋φ＝2k π；降零点(图象下降时与x 轴的交点)：ωx ＋φ＝π＋2k π.(以上k ∈Z ) ■对点即时训练·1．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度B [∵y ＝cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2， ∴y ＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，故选B.]2．函数f (x )＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)的部分图象如图2­1­2所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)的值为( )图2­1­2A ．0B ．2＋2 2C ．6 2D ．－ 2 B [由题图可得，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x .∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，而2 019＝8×252＋3，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝2＋2 2.]题型3 三角函数的性质及应用■核心知识储备·1．三角函数的奇偶性、对称性(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得，对称点、横坐标可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．(2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得，对称点、横坐标可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．(3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数． 尤其注意其对称点横坐标可由ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z )求得．2．三角函数的最值■高考考法示例·►角度一 三角函数的定义域、周期性及单调性的判断【例3－1】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A.π4 B.π2 C.3π4D ．π C [法一：f (x )＝cos x －sin x ＝2cos x ＋π4.当x ∈[0，a ]时，x ＋π4∈，所以结合题意可知，a ＋π4≤π，即a ≤3π4，故所求a 的最大值是3π4.故选C.法二：f ′(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin.于是，由题设得f ′(x )≤0，即sin≥0在区间[0，a ]上恒成立．当x ∈[0，a ]时，x ＋π4∈，所以a ＋π4≤π，即a ≤3π4，故所求a 的最大值是3π4.故选C.](2)已知函数f (x )＝4tan x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos － 3.①求f (x )的定义域与最小正周期；②讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解] ①f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z. f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x cos x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. ②令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ －π12＋k π≤x ≤⎭⎪⎬⎪⎫5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．►角度二 三角函数的最值问题【例3－2】 (1)(2016·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7B [f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1,1]，所以当sinx ＝1时，f (x )有最大值5，故选B.](2)(2018·青岛模拟)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.①求ω；②将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．[解] ①因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z ，又0＜ω＜3，所以ω＝2. ②由①得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.►角度三 三角函数图象的对称性【例3－3】 (1)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π6 B.π12 C.π3 D.5π6(2)将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增，为奇函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0对称(1)A (2)B [(1)设f (x )＝3cos x ＋sin x ＝232cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ，向左平移m 个单位长度得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m ＋π3.∵g (x )的图象关于y 轴对称，∴g (x )为偶函数，∴π3＋m ＝π2＋k π(k ∈Z )，∴m ＝π6＋k π(k ∈Z )，又m ＞0，∴m 的最小值为π6.(2)由题意可得将f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位得到g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin 2x 的图象，因为函数g (x )为奇函数，所以排除C ，又当x ＝π2时函数值为0，当x ＝3π8时，函数值为22，所以A 和D 中对称的说法不正确，选B.][方法归纳] 函数y ＝Aωx ＋φ的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A ωx ＋φ＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A ωx ＋φ＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.■对点即时训练·1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan x的最小正周期为( ) A.π4 B.π2C ．πD ．2π C [f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin xcos x 1＋sin 2x cos 2x＝sin x cos xcos 2x ＋sin 2x＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C.]2．(2018·沈阳模拟)已知f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调递减区间分别为( )A ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8 B ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8C ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8D ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8B [f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1，则T ＝2π2＝π.由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π(k ∈Z )，令k ＝0得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8上单调递减，故选B.]3．(2018·哈尔滨模拟)若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0＜θ＜π)的图象关于⎝⎛⎭⎪⎫π2，0中心对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值是( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－12D ．－32B [f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π6，又图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0中心对称，所以2×π2＋θ＋π6＝k π，k ∈Z ，所以θ＝k π－76π，又0＜θ＜π，所以θ＝5π6， 所以f (x )＝－2sin 2x ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6. 所以2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π3，f (x )∈[－3，2]，所以f (x )的最小值是－ 3.]1．(2014·全国卷Ⅰ)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．②④ B ．①③④ C ．①②③D ．①③C [①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π. ②由图象知，函数的周期T ＝π. ③T ＝π. ④T ＝π2.综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③.]2．(2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 D [函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D.]3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4B [易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.]4．(2016·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．π3 [∵y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，∴函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移π3个单位长度得到．]5．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.－43 [由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＞0，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－4535＝－43.]。

【知识网络】【考点聚焦】对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示）．1.原题（必修4第十页A组第五题）变式1下列说法中正确的是( )A ．第一象限角一定不是负角B ．－831°是第四象限角C ．钝角一定是第二象限角D ．终边与始边均相同的角一定相等 【答案】C.变式2 已知θ为第二象限角，那么3θ是（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第一或四象限角 C. 第二或四象限角 D. 第一、二或第四象限角 【答案】D.【答案】C. 【解析】22,(),,(),2422k k k Z k k k Z ππαππαππππ+<<+∈+<<+∈当2,()k n n Z =∈时，2α在第一象限；当21,()k n n Z =+∈时，2α在第三象限；而coscoscos0222ααα=-⇒≤，2α∴在第三象限；答案：C .2.原题（必修4第十页B 组第二题）变式时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( )A.143 π B．－143 πC.718 πD ．－718π【答案】B.【解析】显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的13，用弧度制表示就是－4π－13×2π＝－143π.故选B.3.原题（必修4第十九页例6）变式 （1）已知sin α13=，且α为第二象限角，求tan α；（2）已知sin α=m (0,1)m m ≠≠±，求tan α. 【解析】（1）1sin 3α=，且α为第二象限角，cos α∴=sin tan cos ααα∴== （2）sin (0,1)m m m α=≠≠±，α∴为象限角.当α为第一或第四象限角时，cos αtan α=α为第二或第三象限角时，cos α=tan α=，综上，tan α.4.原题（必修4第十九页例7）变式 若sin cos 1,sin cos 1,a b ab θθθθ+=-=则的值是（ ）【答案】B.5.原题（必修4第二十二页习题 1.2B 组第二题）变式 化简为（ ）A. 2tan x C. 2tan x -B. 2tan x ± D. 不能确定 【答案】C.【解析】:C .原式=2tan 2,4432tan 2,44xx k k x x k k ππππππππ⎧⎛⎫∈-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-∈++ ⎪⎪⎝⎭⎩6.原题（必修4第二十二页B 组第三题）变式 已知tan 2α=，计算：（1）2sin cos sin 2cos αααα-+； （2）22sin sin cos 2cos αααα+-【解析】：（1）原式2tan 13tan 24αα-==+；（2）原式2222sin sin cos 2cos sin cos αααααα+-=+22tan tan 24tan 15ααα+-==+ 7.原题（必修4第二十三页探究）变式1( )A.sin 2cos 2+B.cos 2sin 2-C.sin 2cos 2-D.±cos 2sin 2- 【答案】C.【答案】B. 【解析】(2001)sin(2001)cos(2001)4sin()cos()f a b a b παβαβ=++π++=π++π+ sin cos 45a b αβ=--+=,sin cos 1a b αβ∴--=,(2010)sin(2010)cos(2010)4sin cos 4143f a b a b αβαβ=π++π++=++=-+=8.原题（必修4第二十七页例4）变式 已知角x 终边上的一点P （-4，3），则()cos sin 29cos sin 22x x x x ππππ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为. 【解析】()cos sin sin sin 2tan 9sin cos cos sin 22x x x x x x x x x ππππ⎛⎫+-- ⎪-∙⎝⎭==-∙⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据三角函数的定义，可知33tan ,=-tan 44y x x x ==-=所以原式 9.原题（必修4第四十一页练习题6）变式 函数12log cos 34x y π⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递增区间为.【解析】1122log cos log cos 3434x x y ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，∴所求的递增区间就是使cos 34x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值为正值的递减区间，由22,342x k k k zππππ≤+〈+∈得：3366,.44k x k k z ππππ-+≤〈+∈∴所求的递增区间为()336,644k k k z ππππ⎡⎫-++∈⎪⎢⎣⎭答案：()336,644k k k z ππππ⎡⎫-++∈⎪⎢⎣⎭10.原题（必修4第五十三页例1）变式 设ω>0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx＋π3的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A.23B.43C.32D ．3 【答案】C.11.原题（必修4第五十六页练习题3）变式 sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的振幅为______，频率和初相分别为______，______.【解析】 21π4π-12.原题（必修4第五十八页例4）变式 某正弦交流电的电压（单位V ）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是),[0,)6v t t ππ=-∈+∞.（1）求该正弦交流电电压的周期、频率、振幅； （2）当1600t =，160时，求瞬时电压； （3）将此电压加在激发电压、熄灭电压均为84V 的霓虹灯的两端，求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间？（说明：加在霓虹灯管两端电压大于84V 时灯管才发光.1.4≈）【解析】（1）周期2110050T ππ==，频率150f T==，振幅A =（2）1600t =时，1)06006v ππ=⨯-==（V ）；160t =时，13)6062v πππ=⨯-==-V ）. （3）由)846t ππ-> 1.4，得1sin(100)62t ππ->.结合正弦图象，取半个周期，有5100666t ππππ<-<，解得11300100t <<. 所以，半个周期内霓虹灯管点亮的时间为112100300300-=（s ）. 13.原题（必修4第六十页例2）变式 在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、2tan(2)3y x π=+中，最小正周期为π的函数的个数为（） A ．个 B ．个 C ．个 D ．个14.原题（必修4第六十九页复习参考题A 组第八题）变式 已知1tan tan αα，是关于的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且παπ273<<，求2sin cos sin ααα+的值．【解析】21tan 31,2tan k k αα⋅=-=∴=±，而παπ273<<，则1t a n 2,t a n kαα+==得tan 1α=，则222222sin cos sin tan tan sin cos sin 1cos sin 1tan ααααααααααα+++===++. 15.原题（必修4第七十一页复习参考题B 组第六题）变式 已知222121,yx y u x x-==+则的值域为. 【解析】221,x y -=()22221cos tan 12tan cos 2sin sin 2sin 1sec sin 12,1sin 1x sec y u sec θθθθθθθθθθθθ⎧==⎪∴⎨⎪=⎩∴=+=+=-++=--+-〈〈可设其中 sin u θ随的增大而增大.sin 12,sin 12u u θθ→-→-→→又当时，当时，∴所求值域为（-1，2）.16.原题（必修4第一百二十七页例2）变式 已知431c o s ,,,t a n ,,,5232πααππββπ⎛⎫⎛⎫=-∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求()cos αβ+.17.原题（必修4第137页A 组第十题）已知：αtan ，βtan 是方程0382=--x x 的两根，试求)tan(βα+的值.变式 已知：αt a n ,βtan 是方程0382=--x x 的两根，求2)c o s ()s i n (3)(s i n 2+++-+βαβαβα的值.【解析】由题意有8tan tan =+βα，3tan tan -=βα， ∴2)3(18tan tan 1tan tan )tan(=--=-+=+βαβαβα，∴2)cos()sin(3)(sin 2+++-+βαβαβα)(cos )(sin )](cos )([sin 2)cos()sin(3)(sin 22222βαβαβαβαβαβαβα+++++++++-+=5812223231)(tan 2)tan(3)(tan 32222=++⨯-⨯=++++-+=βαβαβα.18.原题（必修4第一百三十九页例1）变式 +的结果是. 【解析】2sin219.原题（必修4第147页复习参考题B 组第七题）变式如图，正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别为AB 、DA 上的点，当∠PCQ=045时，求△APQ 的周长.20.原题（必修4第一百四十七页复习参考题B 组第六题）变式 若函数2()22cos f x x x m ++在区间[0,]2π上的最小值为3，求常数m 的值及此函数当[,]x a a π∈+(其中可取任意实数)时的最大值.21.原题（必修5第3页例1）变式 ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3C π=，326,a c ==则的值为（ ）B 1C 1D【解析】先求出sin A ，再求出sinB ，最后用一次正弦定理即得.选D. 22.原题（必修5第10页习题1.1A 组第2题）变式1 在三角形ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A ．a=8 b=16 A=30︒ B. a=25 b=30 A=150︒ C. a=30 b=40 A=30︒ D. a=72 b=60 A=135︒ 【解析】C.变式2 在△ABC 中，已知a =b B =45︒ ，求A 、C 及c .23.原题（必修5第10页习题1.1B 组第2题）变式 （2010辽宁）在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.【解析】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++ 即222a b c bc =++，由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+-，故1cos 2A =-，A=120° （Ⅱ）由（Ⅰ）得：sin sin sin sin(60)B C B B +=+︒-1sin 2sin(60)B BB =+=︒+ 故当B=30°时，sinB+sinC 取得最大值1.24.原题（必修5第11页例2）变式 如图,为了测量河对岸两个建筑物C 、D 之间的距离,在河岸这边取两点A 、B,测得∠BAC=45°,∠DAC=75°,∠ABD=30°,∠DBC=45°.又AB=千米,A 、B 、C 、D 在同一平面内,试求C 、D 之间的距离.25.原题（必修5第19页习题1.2A 组第1题）变式 一只船以均匀的速度由A 点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A 点观测灯塔C 的方位角为30°，行驶60海里后，船在B 点观测灯塔C 的方位角为45°，求A 到C 的距离．【解析】A 到C 的距离为60+海里． 【感受高考】1.【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为( )（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B 【解析】试题分析：因为4x π=-为()f x 的零点,4x π=为()f x 图像的对称轴,所以()444T kT ππ--=+,即41412244k k T ππω++==⋅,所以41(*)k k N ω=+∈,又因为()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调,所以5236181222T ππππω-=≤=,即12ω≤,由此ω的最大值为9.故选B.2.【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度（C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D 【解析】试题分析：由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D.3.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ）（A ）725（B ）15 （C ）15-（D ）725-【答案】D4.【2016高考新课标1卷】 ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （I ）求C ；（II ）若c ABC =∆的面积为2,求ABC 的周长． 【答案】（I ）C 3π=（II ）5【解析】（II ）由已知,1sin C 22ab =． 又C 3π=,所以6ab =．由已知及余弦定理得,222cosC 7a b ab +-=．故2213a b +=,从而()225a b +=．所以C ∆AB 的周长为5+5.【2016高考天津理数】已知函数f(x)=4tanxsin(2x π-)cos(3x π-(Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f(x)在区间,44ππ-]上的单调性. 【答案】（Ⅰ）,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，.π（Ⅱ）在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：()()=2sin 23f x x π-，再根据正弦函数性质求定义域、周期()II 根据（1）的结论，研究三角函数在区间,44ππ-]上单调性试题解析：()I 解：()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21=4sin cos 2sin cos 2x x x x x x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭)()=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π=-.所以,()f x 的最小正周期2.2T ππ==。