2014届高考数学 课时跟踪检测(四) 函数及其表示课件
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课时跟踪检测(五) 函数及其表示1.(重庆调研)函数y =log 2(2x -4)+1x -3的定义域是( ) A .(2,3) B .(2,+∞) C .(3,+∞)D .(2,3)∪(3,+∞)解析:选D 由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧2x -4>0,x -3≠0,解得x >2且x ≠3,所以函数y =log 2(2x -4)+1x -3的定义域为(2,3)∪(3,+∞),故选D.2.(合肥质量检测)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1x -2,x >2,x 2+2,x ≤2,则f (f (1))=( )A .-12B .2C .4D .11解析:选C ∵f (1)=12+2=3,∴f (f (1))=f (3)=3+13-2=4.故选C. 3.已知函数f (x )=5|x |,g (x )=ax 2-x (a ∈R).若f (g (1))=1,则a =( ) A .1 B .2 C .3D .-1解析:选A 由已知条件可知f (g (1))=f (a -1)=5|a -1|=1,∴|a -1|=0,得a =1.故选A.4.(荆州联考)若函数f (x )的定义域是[1,2 019],则函数g (x )=f x +1x -1的定义域是( )A .[0,2 018]B .[0,1)∪(1,2 018]C .(1,2 019]D .[-1,1)∪(1,2 018]解析:选B 由题知,1≤x +1≤2 019,解得0≤x ≤2 018,又x ≠1,所以函数g (x )=f x +1x -1的定义域是[0,1)∪(1,2 018].5.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -1=2x -5,且f (a )=6,则a 等于( ) A.74 B .-74C.43D .-43解析:选A 令t =12x -1,则x =2t +2,f (t )=2(2t +2)-5=4t -1,故f (x )=4x -1,则f (a )=4a -1=6,解得a =74.6.(石家庄模拟)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ,x >0,a x+b ,x ≤0(0<a <1),且f (-2)=5,f (-1)=3,则f (f (-3))=( )A .-2B .2C .3D .-3解析:选B 由题意得,f (-2)=a -2+b =5,①f (-1)=a -1+b =3,②联立①②,结合0<a <1,得a =12,b =1,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ,x >0,⎝ ⎛⎭⎪⎫12x+1,x ≤0,则f (-3)=⎝ ⎛⎭⎪⎫12-3+1=9,f (f (-3))=f (9)=log 39=2.7.(福州二模)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x +a ,x >0,4x -2-1,x ≤0.若f (a )=3,则f (a -2)=( )A .-1516B .3C .-6364或3D .-1516或3解析:选A 当a >0时,若f (a )=3,则log 2a +a =3,解得a =2(满足a >0);当a ≤0时,若f (a )=3,则4a -2-1=3,解得a =3,不满足a ≤0,舍去.于是,可得a =2.故f (a -2)=f (0)=4-2-1=-1516.故选A.8.(合肥质检)已知函数f (x )满足f (2x )=2f (x ),且当1≤x <2时,f (x )=x 2,则f (3)=( ) A.98 B.94 C.92D .9解析:选C ∵f (2x )=2f (x ),且当1≤x <2时,f (x )=x 2,∴f (3)=2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322=92.9.(合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0},且3f (x )+5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =3x+1,则函数f (x )的解析式为________________________.解析:用1x代替3f (x )+5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =3x +1中的x ,得3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +5f (x )=3x +1,∴⎩⎪⎨⎪⎧3fx +5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =3x+1, ①3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +5f x =3x +1, ②①×3-②×5得f (x )=1516x -916x +18(x ≠0).答案:f (x )=1516x -916x +18(x ≠0)10.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ln -x ,x <0,-ln x ,x >0,若f (m )>f (-m ),则实数m 的取值范围是________.解析:函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ln -x ,x <0,-ln x ,x >0,当m >0时,f (m )>f (-m ),即-ln m >ln m ,即ln m <0,解得0<m <1;当m <0时,f (m )>f (-m ), 即ln(-m )>-ln(-m ), 即ln(-m )>0,解得m <-1. 综上可得,m <-1或0<m <1. 答案:(-∞,-1)∪(0,1)二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1.若函数y =f (x +1)的值域为[-1,1],则函数y =f (3x +2)的值域为( ) A .[-1,1] B .[-1,0] C .[0,1]D .[2,8]解析:选A 函数y =f (x +1)的值域为[-1,1],由于函数中的自变量取定义域内的任意数时,函数的值域都为[-1,1],故函数y =f (3x +2)的值域为[-1,1].故选A.2.(山西名校联考)设函数f (x )=lg(1-x ),则函数f [f (x )]的定义域为( ) A .(-9,+∞) B .(-9,1) C .[-9,+∞)D .[-9,1)解析:选B f [f (x )]=f [lg(1-x )]=lg[1-lg(1-x )],其定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1-x >0,1-lg 1-x >0的解集,解得-9<x <1,所以f [f (x )]的定义域为(-9,1).故选B.3.(安阳三校联考)若函数f (x )=mx 2+mx +1的定义域为一切实数,则实数m 的取值范围是( ) A .[0,4) B .(0,4) C .[4,+∞)D .[0,4]解析:选D 由题意可得mx 2+mx +1≥0恒成立. 当m =0时,1≥0恒成立;当m ≠0时,则⎩⎪⎨⎪⎧m >0,m 2-4m ≤0,解得0<m ≤4.综上可得,0≤m ≤4.4.(珠海质检)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1-2a x +3a ,x <1,ln x ,x ≥1的值域为R,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,-1] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫-1,12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12解析:选C 由题意知y =ln x (x ≥1)的值域为[0,+∞),故要使f (x )的值域为R,则必有y =(1-2a )x +3a 为增函数,且1-2a +3a ≥0,所以1-2a >0,且a ≥-1,解得-1≤a <12.5.(合肥质检)已知函数f (x )=mx 2+m -3x +1的值域是[0,+∞),则实数m 的取值范围是________.解析:当m =0时,函数f (x )=-3x +1的值域是[0,+∞),显然成立;当m >0时,Δ=(m -3)2-4m ≥0,解得0<m ≤1或m ≥9.显然m <0时不合题意.综上可知,实数m 的取值范围是[0,1]∪[9,+∞).答案:[0,1]∪[9,+∞) (二)技法专练——活用快得分6.[排除法]设x ∈R,定义符号函数sgn x =⎩⎪⎨⎪⎧1,x >0,0,x =0,-1,x <0,则( )A .|x |=x |sgn x |B .|x |=x sgn|x |C .|x |=|x |sgn xD .|x |=x sgn x解析:选D 当x <0时,|x |=-x ,x |sgn x |=x ,x sgn|x |=x ,|x |sgn x =(-x )·(-1)=x ,排除A 、B 、C,故选D.7.[特殊值法]函数y =a -a x(a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[0,1],则log a 56+log a 485=( )A .1B .2C .3D .4解析:选C 当x =1时,y =0,则函数y =a -a x在[0,1]上为减函数,故a >1.∴当x =0时,y =1,则a -1=1,∴a =2.∴log 256+log 2485=log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫56×485=log 28=3.8.[数形结合法]设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≤0,2x,x >0,则满足f (x )+f (x -1)>1的x 的取值范围是________.解析:画出函数f (x )的大致图象如图,易知函数f (x )在(-∞,+∞)上单调递增.又因为x >x -1,且x-(x -1)=1,f (0)=1,所以要使f (x )+f (x -1)>1成立,则结合函数f (x )的图象知只需x -1>-1,解得x >0.故所求x 的取值范围是(0,+∞).答案:(0,+∞)(三)素养专练——学会更学通9.[逻辑推理]具有性质f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =-f (x )的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,给出下列函数:①f (x )=x -1x ;②f (x )=x +1x ;③f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ,0<x <1,0,x =1,-1x ,x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A .①③B .②③C .①②③D .①②解析:选 A 对于①,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =1x-x =-f (x ),满足题意;对于②,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =1x+x =f (x ),不满足题意;对于③,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x ,0<1x <1,0,1x =1,-x ,1x >1,即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x ,x >1,0,x =1,-x ,0<x <1,故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =-f (x ),满足题意.综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③.故选A.10.[数学运算]已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-1,x ≤0,x -1,x >0,g (x )=2x -1,则f (g (2))=__________,f (g (x ))的值域为________.解析:g (2)=22-1=3,∴f (g (2))=f (3)=2.易得g (x )的值域为(-1,+∞),∴若-1<g (x )≤0,f (g (x ))=[g (x )]2-1∈[-1,0);若g (x )>0,f (g (x ))=g (x )-1∈(-1,+∞),∴f (g (x ))的值域是[-1,+∞).答案:2 [-1,+∞)11.[数学抽象]设函数f :R→R ,满足f (0)=1,且对任意x ,y ∈R 都有f (xy +1)=f (x )f (y )-f (y )-x +2,则f (2 018)=________.解析:令x =y =0,则f (1)=f (0)·f (0)-f (0)-0+2=1×1-1-0+2=2.令y =0,则f (1)=f (x )f (0)-f (0)-x +2,将f (0)=1,f (1)=2代入,可得f (x )=1+x ,所以f (2 018)=2 019.答案:2 019。
函数及其表示一、选择题1.(2013年高考江西卷)下列函数中,与函数y=定义域相同的函数为( D )(A)y=(B)y=(C)y=xe x(D)y=解析:∵y=的定义域为{x|x≠0},y=的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},y=的定义域为{x|x>0},y=xe x的定义域为R,y=的定义域为{x|x≠0},故选D.2.如图所示,可表示函数y=f(x)的图象的只可能是( D )解析:由函数的概念知,对于定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应.选项A、B、C 中都含有“一对二”的对应,故选D.3.设A={0,1,2,4},B=,则下列对应关系能构成A到B的映射的是( C )(A)f:x→x3-1 (B)f:x→(x-1)2(C)f:x→2x-1(D)f:x→2x解析:对于选项A,由于集合A中x=0时,x3-1=-1∉B,即A中元素0在集合B中没有元素与之对应,所以选项A不符合;同理可知B、D两选项均不能构成A到B的映射,选项C符合,故选C.4.(2013辽宁大连24中期中)下面各组函数中为相同函数的是( D )(A)f(x)=,g(x)=x-1(B)f(x)=,g(x)=·(C)f(x)=ln e x与g(x)=e ln x(D)f(x)=x0与g(x)=解析:函数的三要素相同的函数为相同函数,对于选项A.f(x)=|x-1|与g(x)对应关系不同故排除选项A,选项B、C中两函数的定义域不同,排除选项B、C,故选D.5.(2013山东聊城市第一学期期末质量检测)具有性质:f=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数:①f(x)=x-;②f(x)=x+;③f(x)=中满足“倒负”变换的函数是 ( B )(A)①② (B)①③(C)②③ (D)只有①解析:①f=-x=-f(x)满足.②f=+x=f(x)不满足.③0<x<1时,f=-x=-f(x),x=1时,f=0=-f(x),x>1时,f==-f(x)满足.故选B.6.已知函数f M(x)的定义域为R,满足f M(x)=(M是R的非空真子集),在R上有两个非空真子集A,B,且A∩B=,则F(x)=的值域为( B )(A) (B){1}(C)(D)解析:由题可知当x∈A时,f A∪B(x)=1,f A(x)=1,f B(x)=0,此时F(x)=1,当x∈B时,f A∪B(x)=1,f A(x)=0,f B(x)=1,此时F(x)=1,当x∉(A∪B)时,F(x)=1.故选B.二、填空题7.已知函数f(x)的定义域为[1,9],且当1≤x≤9时,f(x)=x+2,则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为.解析:因为函数f(x)的定义域为[1,9],所以要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义,必须满足1≤x≤9,1≤x2≤9,解得1≤x≤3.所以函数y=[f(x)]2+f(x2)的定义域为[1,3].因为当1≤x≤9时,f(x)=x+2,所以当1≤x≤3时,也有f(x)=x+2,即y=[f(x)]2+f(x2)=(x+2)2+(x2+2)=2(x+1)2+4,所以当x=1时,y取得最小值,y min=12,当x=3时,y取得最大值,y max=36,所以所求函数的值域为[12,36].答案:[12,36]8.已知f(x)=则使f(x)≥-1成立的x的取值范围是.解析:当x≤0时,f(x)≥-1即x+1≥-1.∴x≥-4,∴此时,-4≤x≤0.当x>0时,f(x)≥-1即-(x-1)2≥-1,∴0≤x≤2,∴此时,0<x≤2.综上可知使f(x)≥-1成立的x的取值范围是[-4,2].答案:[-4,2]9.设M是由满足下列性质的函数f(x)构成的集合:在定义域内存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立.已知下列函数:①f(x)=;②f(x)=2x;③f(x)=lg(x2+2);④f(x)=cosπx.其中属于集合M的函数是.(写出所有满足要求的函数的序号)解析:对于①,=+1显然无实数解;对于②,方程2x+1=2x+2,解得x=1;对于③,方程lg[(x+1)2+2]=lg(x2+2)+lg 3,显然也无实数解;对于④,方程cos[π(x+1)]=cos πx+cos π,即cos πx=,显然存在x使之成立.答案:②④三、解答题10.已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1.(1)求函数f(x)的解析式.(2)求函数y=f(x2-2)的值域.解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由题意可知整理得解得∴f(x)=x2+x.(2)由(1)知y=f(x2-2)=(x2-2)2+(x2-2)=(x4-3x2+2)=-,当x2=时,y取最小值-,故函数值域为.11.已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x∈(0,1)时,f(x)=.(1)求f(1)和f(-1)的值;(2)求f(x)在[-1,1]上的解析式.解:(1)因为f(x)是周期为2的奇函数,所以f(1)=f(1-2)=f(-1)=-f(1),所以f(1)=0,f(-1)=0.(2)由题意知,f(0)=0.当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1). 因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-=-.综上,在[-1,1]上,f(x)=。
高中数学课时跟踪检测:函数及其表示一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.(淮安调研)函数f (x )=lg5-x 2的定义域是________.解析:由lg(5-x 2)≥0,得5-x 2≥1, 即x 2≤4,解得-2≤x ≤2. ∴函数f (x )=lg 5-x 2的定义域是[-2,2].答案:[-2,2]2.(苏州高三期中调研)函数y =1lnx -1的定义域为________.解析:由⎩⎨⎧x >1,ln x -1≠0,解得x >1,且x ≠2,所以函数的定义域为(1,2)∪(2,+∞).答案:(1,2)∪(2,+∞)3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -1=2x -5,且f (a )=6,则a =________.解析:令t =12x -1,则x =2t +2,f (t )=2(2t +2)-5=4t -1,则4a -1=6,解得a =74.答案:744.已知f (x )是一次函数,满足3f (x +1)=6x +4,则f (x )=________. 解析:设f (x )=ax +b (a ≠0), 则f (x +1)=a (x +1)+b =ax +a +b , 依题设,3ax +3a +3b =6x +4, ∴⎩⎨⎧3a =6,3a +3b =4,∴⎩⎨⎧a =2,b =-23,则f (x )=2x -23.答案:2x -235.(盐城模考)已知函数f (x )=⎩⎨⎧a x +1-2,x ≤1,2x -1,x >1,若f (0)=3,则f (a )=________.解析:因为f (0)=3,所以a -2=3,即a =5,所以f (a )=f (5)=9. 答案:96.设函数f (x )=⎩⎨⎧1x , x >1,-x -2,x ≤1,则f (f (2))=________,函数f (x )的值域是________.解析:因为f (2)=12,所以f (f (2))=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=-52.当x >1时,f (x )∈(0,1),当x ≤1时,f (x )∈[-3,+∞), 所以f (x )∈[-3,+∞). 答案:-52[-3,+∞)二保高考,全练题型做到高考达标1.(如东高级中学高三学情调研)设函数f (x )=⎩⎨⎧1+log 22-x,x <1,2x -1,x ≥1,则f (-2)+f (log 212)=________.解析:因为f (-2)=1+log 24=3,f (log 212)=2log 212-1=6,所以f (-2)+f (log 212)=9.答案:92.(苏州期末)函数f (x )=⎩⎨⎧2x, x ≤0,-x 2+1,x >0的值域为________. 解析:画出f (x )的图象如图所示,可看出函数的值域为(-∞,1].答案:(-∞,1]3.(南京名校联考)f (x )=⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ,x ≤0,log 3x ,x >0,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19=________.解析:因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19=log 319=-2,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19=f (-2)=⎝ ⎛⎭⎪⎫13-2=9.答案:94.(南通调研)函数f (x )=11-x+lg(x +1)的定义域是________. 解析:由题意得⎩⎨⎧1-x ≠0,x +1>0⇒x >-1且x ≠1,所以函数f (x )的定义域是(-1,1)∪(1,+∞). 答案:(-1,1)∪(1,+∞)5.(启东中学检测)已知函数y =f (x 2-1)的定义域为[-3,3],则函数y =f (x )的定义域为________.解析:因为y =f (x 2-1)的定义域为[-3,3],所以x ∈[-3,3],x 2-1∈[-1,2],所以y =f (x )的定义域为[-1,2].答案:[-1,2]6.已知具有性质:f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =-f (x )的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:①y =x -1x ;②y =x +1x ;③y =⎩⎪⎨⎪⎧x ,0<x <1,0,x =1,-1x ,x >1.其中满足“倒负”变换的函数的序号是________.解析:对于①,f (x )=x -1x ,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =1x -x =-f (x ),满足;对于②,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =1x+x =f (x ),不满足;对于③,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x ,0<1x<1,0,1x =1,-x ,1x>1,即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x ,x >1,0,x =1,-x ,0<x <1,故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =-f (x ),满足.综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③. 答案:①③7.(扬州一模)若函数f (x )=⎩⎨⎧2-x-2,x <0,g x ,x >0为奇函数,则f (g (2))=________.解析:因为函数f (x )=⎩⎨⎧2-x-2,x <0,g x ,x >0为奇函数,所以当x >0时,-x <0,则f (-x )=2x -2=-f (x ), 所以f (x )=-2x +2,即g (x )=-2x +2.所以g (2)=-22+2=-2,f (g (2))=f (-2)=22-2=2. 答案:28.已知函数f (x )=⎩⎨⎧a -1x +1,x ≤1,a x -1,x >1,若f (1)=12,则f (3)=________.解析:由f (1)=12,可得a =12,所以f (3)=⎝ ⎛⎭⎪⎫122=14.答案:149.(泰州一调)设函数f (x )=⎩⎨⎧2x -3,x ≥2,x 2-3x -2,x <2,若f (x )>2,则x 的取值范围是________.解析:不等式f (x )>2可化为⎩⎨⎧x ≥2,2x -3>2或⎩⎨⎧x <2,x 2-3x -2>2,解得x >52或x <-1.答案:(-∞,-1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52,+∞10.(无锡一中月考) 已知函数f (x )的图象如图所示,则函数g (x )=log 2f (x )的定义域是________.解析:要使函数g (x )有意义,需f (x )>0,由f (x )的图象可知,当x ∈(2,8]时,f (x )>0.答案:(2,8]11.(南京金陵中学月考)二次函数f (x )满足f (x +1)-f (x )=2x ,且f (0)=1. (1)求f (x )的解析式;(2)若在区间[-1,1]上,函数y =f (x )的图象恒在直线y =2x +m 的上方,试确定实数m 的取值范围.解:(1)由f (0)=1,可设f (x )=ax 2+bx +1(a ≠0),故f (x +1)-f (x )=a (x +1)2+b (x +1)+1-(ax 2+bx +1)=2ax +a +b ,由题意得⎩⎨⎧2a =2,a +b =0,解得⎩⎨⎧a =1,b =-1,故f (x )=x 2-x +1.(2)由题意,得x 2-x +1>2x +m ,即x 2-3x +1>m ,对x ∈[-1,1]恒成立. 令g (x )=x 2-3x +1,则问题可转化为g (x )min >m , 又因为g (x )在[-1,1]上递减,所以g (x )min =g (1)=-1, 故m <-1,即实数m 的取值范围为(-∞,-1).12.(南京期末)已知二次函数f (x )满足f (1)=1,f (-1)=5,且图象过原点. (1)求二次函数f (x )的解析式; (2)已知集合U =[1,4],B =⎩⎪⎨⎪⎧y ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫y =f x x 2,x ∈U,求∁U B .解:(1)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 因为f (1)=1,f (-1)=5,且图象过原点,所以⎩⎨⎧a +b +c =1,a -b +c =5,c =0,解得a =3,b =-2,所以f (x )=3x 2-2x .(2)y =f x x 2=3-2x,当x ∈[1,4]时,函数y =3-2x是增函数,当x =1时,y 取得最小值1;当x =4时,y 取得最大值52,所以B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1,52,又集合U =[1,4],故∁U B =⎝ ⎛⎦⎥⎤52,4.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.已知实数a ≠0,函数f (x )=⎩⎨⎧2x +a ,x <1,-x -2a ,x ≥1,若f (1-a )=f (1+a ),则a =________.解析:当a >0时,1-a <1,1+a >1.由f (1-a )=f (1+a )得2-2a +a =-1-a -2a ,解得a =-32,不合题意;当a <0时,1-a >1,1+a <1,由f (1-a )=f (1+a )得-1+a -2a =2+2a +a , 解得a =-34,所以a 的值为-34.答案:-342.定义在R 上的函数f (x )满足f (x +2)=2f (x ),若当0≤x ≤2时,f (x )=x (2-x ),则当-4≤x ≤-2时,f (x )=________.解析:由题意知f (x +4)=2f (x +2)=4f (x ),当-4≤x ≤-2时,0≤x +4≤2, 所以f (x )=14f (x +4)=14(x +4)[2-(x +4)]=-14(x +4)(x +2),所以当-4≤x ≤-2时,f (x )=-14(x +4)(x +2).答案:-14(x +4)(x +2)3.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的x 2200+mx +刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系:y =n (m ,n 是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图.(1)求出y 关于x 的函数表达式;(2)如果要求刹车距离不超过25.2米,求行驶的最大速度.解:(1)由题意及函数图象,得⎩⎪⎨⎪⎧402200+40m +n =8.4,602200+60m +n =18.6,解得m =1100,n =0,所以y=x2200+x100(x≥0).(2)令x2200+x100≤25.2,得-72≤x≤70.因为x≥0,所以0≤x≤70.故行驶的最大速度是70千米/时.。
课时跟踪检测(四) 函数及其表示一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.函数f (x )=x +3+log 2(6-x )的定义域是( ) A .(6,+∞) B .(-3,6) C .(-3,+∞)D .[-3,6)解析:选D 要使函数有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧x +3≥0,6-x >0,解得-3≤x <6.2.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -1=2x -5,且f (a )=6,则a 等于( )A .-74B.74C.43D .-43解析:选B 令t =12x -1,则x =2t +2,f (t )=2(2t +2)-5=4t -1,则4a -1=6,解得a =74.3.若二次函数g (x )满足g (1)=1,g (-1)=5,且图象过原点,则g (x )的解析式为( ) A .g (x )=2x 2-3x B .g (x )=3x 2-2x C .g (x )=3x 2+2xD .g (x )=-3x 2-2x解析:选B 设g (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), ∵g (1)=1,g (-1)=5,且图象过原点,∴⎩⎪⎨⎪⎧a +b +c =1,a -b +c =5,c =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =3,b =-2,c =0,∴g (x )=3x 2-2x . 4.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a -1x +1,x ≤1,ax -1,x >1,若f (1)=12,则f (3)=________.解析:由f (1)=12,可得a =12,所以f (3)=⎝ ⎛⎭⎪⎫122=14.答案:145.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2ax ,x ≥2,2x+1,x <2,若f (f (1))>3a 2,则a 的取值范围是________.解析:由题意知f (1)=2+1=3,f (f (1))=f (3)=32+6a , 若f (f (1))>3a 2,则9+6a >3a 2, 即a 2-2a -3<0, 解得-1<a <3. 答案:(-1,3)二保高考,全练题型做到高考达标1.函数f (x )=10+9x -x2lg x -1的定义域为( )A .[1,10]B .[1,2)∪(2,10]C .(1,10]D .(1,2)∪(2,10]解析:选D 要使函数f (x )有意义,则x 须满足⎩⎪⎨⎪⎧10+9x -x 2≥0,x -1>0,lg x -1≠0,即⎩⎪⎨⎪⎧x +1x -10≤0,①x >1,x ≠2,解①得,-1≤x ≤10.所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10].2.(2016·武汉调考)函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧sin πx 2,-1<x <0,e x -1,x ≥0满足f (1)+f (a )=2,则a 的所有可能值为( )A .1或-22B .-22 C .1D .1或22解析:选A 因为f (1)=e 1-1=1且f (1)+f (a )=2,所以f (a )=1,当-1<a <0时,f (a )=sin(πa 2)=1, ∵0<a 2<1,∴0<πa 2<π, ∴πa 2=π2⇒a =-22;当a ≥0时,f (a )=ea -1=1⇒a =1.3.(2016·福建四地六校联考)若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )-f (-x )=3x +1,则f (1)=( )A .2B .0C .1D .-1解析:选A 令x =1,得2f (1)-f (-1)=4,① 令x =-1,得2f (-1)-f (1)=-2, ② 联立①②得f (1)=2.4.根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧c x ,x <a ,c a ,x ≥a ,(a ,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第a 件产品用时15分钟,那么c 和a 的值分别是( )A .75,25B .75,16C .60,25D .60,16解析:选D 因为组装第a 件产品用时15分钟, 所以ca=15,① 所以必有4<a ,且c4=c2=30.② 联立①②解得c =60,a =16.5.已知具有性质:f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x=-f (x )的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:①y =x -1x ;②y =x +1x ;③y =⎩⎪⎨⎪⎧x ,0<x <1,0,x =1,-1x,x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A .①② B .①③ C .②③D .①解析:选B 对于①,f (x )=x -1x,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =1x -x =-f (x ),满足;对于②,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =1x+x =f (x ),不满足;对于③,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x ,0<1x <1,0,1x =1,-x ,1x >1,即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x,x >1,0,x =1,-x ,0<x <1,故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x=-f (x ),满足. 综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③.6.已知f (x )=⎩⎨⎧x 12,x ∈[0,+∞,|sin x |,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,0,若f (a )=12,则a =________.解析:若a ≥0,由f (a )=12得,a 12=12,解得a =14;若a <0,则|sin a |=12,a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,0,解得a =-π6. 综上可知,a =14或-π6.答案:14或-π67.已知函数y =f (x 2-1)的定义域为[-3,3],则函数y =f (x )的定义域为________. 解析:∵y =f (x 2-1)的定义域为[-3,3], ∴x ∈[-3, 3 ],x 2-1∈[-1,2], ∴y =f (x )的定义域为[-1,2]. 答案:[-1,2]8.已知函数f (x )=2x +1与函数y =g (x )的图象关于直线x =2成轴对称图形,则函数y =g (x )的解析式为________.解析:设点M (x ,y )为函数y =g (x )图象上的任意一点,点M ′(x ′,y ′)是点M 关于直线x =2的对称点,则⎩⎪⎨⎪⎧x ′=4-x ,y ′=y .又y ′=2x ′+1, ∴y =2(4-x )+1=9-2x , 即g (x )=9-2x . 答案:g (x )=9-2x9.已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12+x +f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12-x =2成立,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18+f⎝ ⎛⎭⎪⎫28+…+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78=________.解析:由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12+x +f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12-x =2, 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78=2, f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫68=2, f ⎝ ⎛⎭⎪⎫38+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫58=2, 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48=12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48=12×2=1,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28+…+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78=2×3+1=7. 答案:710.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ax +b ,x <0,2x,x ≥0,且f (-2)=3,f (-1)=f (1).(1)求f (x )的解析式; (2)画出f (x )的图象.解:(1)由f (-2)=3,f (-1)=f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧-2a +b =3,-a +b =2,解得a =-1,b =1,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x +1,x <0,2x,x ≥0.(2)f (x )的图象如图:三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.(2016·唐山期末)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1-2a x +3a ,x <1,ln x ,x ≥1的值域为R ,那么a 的取值范围是( )A .(-∞,-1] B.⎝⎛⎭⎪⎫-1,12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫-1,12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12 解析:选C 要使函数f (x )的值域为R ,需使⎩⎪⎨⎪⎧1-2a >0,ln 1≤1-2a +3a ,∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12,a ≥-1,∴-1≤a <12.即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫-1,12. 2.(2015·北京二模)已知f 是有序数对集合M ={(x ,y )|x ∈N *,y ∈N *}上的一个映射,正整数数对(x ,y )在映射f 下的象为实数z ,记作f (x ,y )=z .对于任意的正整数m ,n (m >n ),映射f 由下表给出:(x ,y )(n ,n )(m ,n )(n ,m )f (x ,y ) nm -n m +n则f (3,5)=. 解析:由表可知f (3,5)=5+3=8.∵∀x ∈N *,都有2x >x ,∴f (2x ,x )=2x-x ,则f (2x ,x )≤4⇔2x -x ≤4(x ∈N *)⇔2x ≤x +4(x ∈N *), 当x =1时,2x =2,x +4=5,2x≤x +4成立; 当x =2时,2x =4,x +4=6,2x≤x +4成立; 当x ≥3(x ∈N *)时,2x>x +4. 故满足条件的x 的集合是{1,2}. 答案:8 {1,2}3.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系:y =x 2200+mx +n (m ,n 是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图.(1)求出y 关于x 的函数表达式;(2)如果要求刹车距离不超过25.2米,求行驶的最大速度.解:(1)由题意及函数图象,得⎩⎪⎨⎪⎧402200+40m +n =8.4,602200+60m +n =18.6,解得m =1100,n =0,所以y =x 2200+x100(x ≥0).(2)令x 2200+x100≤25.2, 得-72≤x ≤70. ∵x ≥0,∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时.。
第二章 函数 2.1 函数及其表示考纲要求1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单地应用.(1)函数的定义域、值域.在函数y =f (x ),x ∈A 中,x 叫做自变量,__________叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,__________叫做函数的值域,显然,值域是集合B 的子集.(2)函数的三要素:__________、__________和__________. 3.函数的表示方法表示函数的常用方法有__________、__________和__________. 4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因__________不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的__________,其值域等于各段函数的值域的__________,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.1.设f ,g 都是从A 到A则f (g (3))等于( ). A .1 B .2C .3D .不存在2.集合A ={x |0≤x ≤4},B ={y |0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数的是( ).A .f :x →y =12xB .f :x →y =13xC .f :x →y =23xD .f :x →y =x3.下列各函数中,表示同一个函数的是( ).A .f (x )=lg x 2,g (x )=2lg xB .f (x )=lg x +1x -1,g (x )=lg(x +1)-lg(x -1)C .f (u )=1+u1-u,g (v )=1+v1-vD .f (x )=x ,g (x )=x 2 4.(2012山东高考)函数f (x )=1ln (x +1)+4-x 2的定义域为( ).A .[-2,0)∪(0,2]B .(-1,0)∪(0,2]C .[-2,2]D .(-1,2]5.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x ,x ≤1,-x ,x >1,若f (x )=2,则x 等于( ).A .log 32B .-2C .log 32或-2D .2一、函数的概念【例1-1】已知a ,b 为实数,集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ,1,N ={a,0},f :x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ,则a +b 等于( ).A .-1B .0C .1D .±1【例1-2】设函数f (x )(x ∈N )表示x 除以2的余数,函数g (x )(x ∈N )表示x 除以3的余数,则对任意的x ∈N ,给出以下式子:①f (x )≠g (x );②g (2x )=2g (x ); ③f (2x )=0;④f (x )+f (x +3)=1.其中正确的式子编号是__________.(写出所有符合要求的式子编号). 【例1-3】以下给出的同组函数中,是否表示同一函数?为什么?(1)f 1:y =xx;f 2: y =1.(2)f 1:y =|x |;f 2:y =⎩⎪⎨⎪⎧x ,x >0,-x ,x <0.(3)f 1:y =⎩⎪⎨⎪⎧1,x ≤1,2,1<x <2,3,x ≥2,f 2:(4)f 1:y =2x ;f 2方法提炼1.要检验两个变量之间是否存在函数关系,只需检验:(1)定义域和对应关系是否给出;(2)根据给出的对应关系,自变量x 在其定义域中的每一个值,是否都能找到唯一的函数值y 与之对应.2.判断两个函数是否相同,要先看定义域是否一致,若定义域一致,再看对应法则是否一致,由此即可判断.请做演练巩固提升2二、求函数的解析式【例2-1】若函数f (x )=xax +b(a ≠0),f (2)=1,又方程f (x )=x 有唯一解,则f (x )=__________.【例2-2】若2f (x )-f (-x )=x +1,求f (x ).【例2-3】已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≤0时,f (x )=2x +x 2. (1)求x >0时,f (x )的解析式;(2)若关于x 的方程f (x )=2a 2+a 有三个不同的解,求a 的取值范围. 方法提炼函数解析式的求法:1.凑配法:由已知条件f (g (x ))=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的表达式;2.待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法;3.换元法:已知复合函数f (g (x ))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;4.方程思想:已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (-x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f (x ).提醒:因为函数的解析式相同,定义域不同,则为不相同的函数,因此求函数的解析式时,如果定义域不是R ,一定要注明函数的定义域,否则会导致错误.请做演练巩固提升1三、分段函数及其应用【例3】(2012江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ax +1,-1≤x <0,bx +2x +1,0≤x ≤1,其中a ,b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12=f ⎝⎛⎭⎫32,则a +3b 的值为__________. 方法提炼解决分段函数问题的基本原则是分段进行,即自变量的取值范围属于哪一段范围,就用这一段的解析式来解决.请做演练巩固提升3忽略分段函数中自变量的取值范围而致误 【典例】设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+bx +c ,x ≤0,2,x >0,若f (-2)=f (0),f (-1)=-3,求关于x 的方程f (x )=x 的解.错解:当x ≤0时,f (x )=x 2+bx +c . 因为f (-2)=f (0),f (-1)=-3,所以⎩⎪⎨⎪⎧ (-2)2-2b +c =c ,(-1)2-b +c =-3,解得⎩⎪⎨⎪⎧b =2,c =-2. 所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x -2,x ≤0,2,x >0.当x ≤0时,由f (x )=x 得x 2+2x -2=x 得x =-2或x =1.当x >0时,由f (x )=x 得x =2. 所以方程f (x )=x 的解为:-2,1,2.分析:(1)条件中f (-2),f (0),f (-1)所适合的解析式是f (x )=x 2+bx +c ,所以可构建方程组求出b ,c 的值.(2)在方程f (x )=x 中,f (x )用哪个解析式,要进行分类讨论.正解:当x ≤0时,f (x )=x 2+bx +c , 因为f (-2)=f (0),f (-1)=-3, ∴⎩⎪⎨⎪⎧ (-2)2-2b +c =c ,(-1)2-b +c =-3,解得⎩⎪⎨⎪⎧b =2,c =-2. ∴f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2x -2,x ≤0,2,x >0.当x ≤0时,由f (x )=x 得,x 2+2x -2=x ,得x =-2或x =1.由于x =1>0,所以舍去. 当x >0时,由f (x )=x 得x =2, 所以方程f (x )=x 的解为-2,2. 答题指导:1.对于分段函数问题,是高考的热点.在解决分段函数问题时,要注意自变量的限制条件.2.就本题而言,当x ≤0时,由f (x )=x 得出两个x 值,但其中的x =1不符合要求,错解中没有舍去此值,因而导致了增解.分段函数问题分段求解,但一定注意各段的限制条件.1.已知f ⎝⎛⎭⎫2x +1=lg x ,则f (x )=( ).A .lg 1xB .lg 1x -1C .lg 2x -1D .lg 1x -22.已知函数f (x )=lg x ,若f (ab )=1,则f (a 2)+f (b 2)=__________. 3.(2012陕西高考)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ,x ≥0,⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,x <0,则f (f (-4))=______.4.设g (x )是定义在R 上、以1为周期的函数.若函数f (x )=x +g (x )在区间[0,1]上的值域为[-2,5],则f (x )在区间[0,3]上的值域为__________.5.对a ,b ∈R ,记min{a ,b }=⎩⎪⎨⎪⎧a ,a <b ,b ,a ≥b ,函数f (x )=min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫12x ,-|x -1|+2(x ∈R )的最大值为________.参考答案基础梳理自测 知识梳理1.数集 集合 任意 数x 都有唯一确定 数f (x ) 任意 元素x 都有唯一确定 元素y f :A →B f :A →B2.(1)x 的取值范围A 函数值的集合{f (x )|x ∈A } (2)定义域 值域 对应关系 3.解析法 列表法 图象法 4.对应法则 并集 并集 基础自测1.C 解析:由题中表格可知g (3)=1, ∴f (g (3))=f (1)=3.故选C.2.C 解析:依据函数的概念,集合A 中任一元素在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应,选项C 不符合.3.C 解析:选项A 和B 定义域不同,选项D 对应法则不同.4.B 解析:由⎩⎪⎨⎪⎧ln(x +1)≠0,x +1>0,4-x 2≥0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0,x >-1,-2≤x ≤2,所以定义域为(-1,0)∪(0,2].5.A 解析:当x ≤1时,3x =2, ∴x =log 32;当x >1时,-x =2,∴x =-2(舍去). ∴x =log 32. 考点探究突破【例1-1】 C 解析:a =1,b =0, ∴a +b =1.【例1-2】 ③④ 解析:当x 是6的倍数时,可知f (x )=g (x )=0,所以①不正确;容易得到当x =2时,g (2x )=g (4)=1,而2g (x )=2g (2)=4,所以g (2x )≠2g (x ),故②错误;当x ∈N 时,2x 一定是偶数,所以f (2x )=0正确;当x ∈N 时,x 和x +3中必有一个为奇数、一个为偶数,所以f (x )和f (x +3)中有一个为0、一个为1,所以f (x )+f (x +3)=1正确.【例1-3】解:(1)不同函数.f 1(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0},f 2(x )的定义域为R . (2)不同函数.f 1(x )的定义域为R ,f 2(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0}. (3)同一函数.x 与y 的对应关系完全相同且定义域相同,它们是同一函数的不同表示方式. (4)同一函数.理由同(3).【例2-1】2x x +2 解析:由f (2)=1得22a +b =1,即2a +b =2;由f (x )=x 得xax +b =x ,变形得x ⎝⎛⎭⎫1ax +b -1=0,解此方程得x =0或x =1-ba,又∵方程有唯一解, ∴1-b a=0,解得b =1,代入2a +b =2得a =12,∴f (x )=2xx +2.【例2-2】解:∵2f (x )-f (-x )=x +1,用-x 去替换式子中的x , 得2f (-x )-f (x )=-x +1.即有⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )-f (-x )=x +1,2f (-x )-f (x )=-x +1.解方程组消去f (-x ),得f (x )=x3+1.【例2-3】解:(1)任取x >0,则-x <0, ∴f (-x )=-2x +(-x )2=x 2-2x . ∵f (x )是奇函数,∴f (x )=-f (-x )=2x -x 2. 故x >0时,f (x )=2x -x 2.(2)∵方程f (x )=2a 2+a 有三个不同的解, ∴-1<2a 2+a <1.∴-1<a <12.【例3】-10 解析:因为f ⎝⎛⎭⎫12=f ⎝⎛⎭⎫32,函数f (x )的周期为2,所以f ⎝⎛⎭⎫12=f ⎝⎛⎭⎫32-2=f ⎝⎛⎭⎫-12,根据f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ax +1,-1≤x <0,bx +2x +1,0≤x ≤1,得到3a +2b =-2,又f (1)=f (-1),得到-a +1=b +22,即2a +b =0,结合上面的式子解得a =2,b =-4,所以a +3b =-10.演练巩固提升1.C 解析:令t =2x +1,则x =2t -1,∴f (t )=lg 2t -1,即f (x )=lg 2x -1,故选C.2.2 解析:因为f (x )=lg x ,f (ab )=1,所以lg ab =1,所以f (a 2)+f (b 2)=lg a 2+lg b 2=lg a 2b 2=2lg ab =2.3.4 解析:∵f (-4)=⎝⎛⎭⎫12-4=16, ∴f (f (-4))=f (16)=16=4.4.[-2,7] 解析:设x 1∈[0,1],f (x 1)=x 1+g (x 1)∈[-2,5]. ∵函数g (x )是以1为周期的函数,∴当x 2∈[1,2]时,f (x 2)=f (x 1+1)=x 1+1+g (x 1)∈[-1,6]. 当x 3∈[2,3]时,f (x 3)=f (x 1+2)=x 1+2+g (x 1)∈[0,7]. 综上可知,当x ∈[0,3]时,f (x )∈[-2,7].5.1 解析:y =f (x )是y =12x 与y =-|x -1|+2两者中的较小者,数形结合可知,函数的最大值为1.。
2014年高考数学—函数1.(14安徽文20.(本小题满分13分)设函数23()1(1)f x a x x x =++--,其中0a >(1) 讨论()f x 在其定义域上的单调性;(2) 当[0,1]x ∈时,求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值.2.(14北京文20. (本小题满分13分))已知函数3()23f x x x =-.(1)求()f x 在区间[2,1]-上的最大值;(2)若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切,求t 的取值范围;(3)问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切?(只需写出结论)3.(14福建文22.(本小题满分14分))已知函数a ax e x f x ()(-=为常数)的图像与y 轴交于点A ,曲线)(x f y =在点处的切线斜率为1-。
(I ) 求a 的值及函数)(x f 的极值;(II ) 证明:当0>x 时,x e x <2;(Ⅲ)证明:对任意给定的正数c ,总存在0x ,使得当),(0+∞∈x x 时,恒有x ce x <。
4.(14广东文21.)已知函数321()1()3f x x x ax a R =+++∈ (1)求函数()f x 的单调区间;(2)当0a <时,试讨论是否存在011(0,)(,1)22x ∈U ,使得01()=()2f x f5.(14湖北文21.(本小题满分14分))π为圆周率,e 2.71828=L 为自然对数的底数. (Ⅰ)求函数ln ()x f x x=的单调区间; (Ⅱ)求3e ,e 3,πe ,e π,π3,3π这6个数中的最大数与最小数.6.(14湖南文21.(本小题满分13分))已知函数()cos sin 1(0)f x x x x x =-+>. (1)求()f x 的单调区间;(2)记i x 为()f x 的从小到大的第(*)i i N ∈个零点,证明:对一切*n N ∈,有2221211123n x x x +++<L7.(14江西文18.(本小题满分12分))已知函数x a ax x x f )44()(22++=,其中0<a .(1)当4-=a 时,求)(x f 的单调递增区间;(2)若)(x f 在区间]4,1[上的最小值为8,求a 的值.已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---,2()(1x g x x ππ=--. 证明:(1)存在唯一0(0,)2x π∈,使0()0f x =; (2)存在唯一1(,)2x ππ∈,使1()0g x =,且对(1)中的01x x π+<.9.(14大纲文21. (本小题满分12分))函数32()33(0)f x ax x x a =++≠.(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)若函数()f x 在区间(1,2)是增函数,求a 的取值范围.10.(14山东文(20) (本小题满分13分)) 设函数1()ln 1x f x a x x -=++ ,其中a 为常数. (I)若0a =,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;(II )讨论函数()f x 的单调性.设函数()ln ,m f x x m R x=+∈ (Ⅰ)m e =(e 为自然对数的底数)时,求()f x 的极小值; (Ⅱ)讨论函数()()3g x f x π'=-零点的个数; (Ⅲ)若对任意()()0,1f b f a b a b a->><-恒成立,求m 的取值范围。
时跟踪检测(四) 函数及其表示1.下列四组函数中,表示同一函数的是( ) A .y =x -1与y =x -12B .y =x -1与y =x -1x -1C .y =4lg x 与y =2lg x 2D .y =lg x -2与y =lg x1002.下列函数中,与函数y =13x定义域相同的函数为( )A .y =1sin x B .y =ln x xC .y =x e xD .y =sin xx3.(2012·安徽高考)下列函数中,不满足f (2x )=2f (x )的是( ) A .f (x )=|x |B .f (x )=x -|x |C .f (x )=x +1D .f (x )=-x4.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-cos πx ,x >0,f x +1+1,x ≤0,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-43的值等于( )A .-2B .1C .2D .35.现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是( )6.若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )-f (-x )=3x +1,则f (x )=( ) A .x -1 B .x +1 C .2x +1D .3x +37.已知f (x )=x 2+px +q 满足f (1)=f (2)=0,则f (-1)=________.8.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2ax ,x ≥2,2x+1,x <2,若f (f (1))>3a 2,则a 的取值范围是________.9.设集合M ={x |0≤x ≤2},N ={y |0≤y ≤2},那么下面的4个图形中,能表示集合M 到集合N 的函数关系的是________.10.若函数f (x )=xax +b(a ≠0),f (2)=1,又方程f (x )=x 有唯一解,求f (x )的解析式.11.甲同学家到乙同学家的途中有一公园,甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ,甲10时出发前往乙家.如图所示,表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系.试写出y =f (x )的函数解析式.12.如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象.(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义;(2)由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议,如图2、3所示.你能根据图象,说明这两种建议的意义吗?(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么? (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元?1.(2011·北京高考)根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧cx,x <A ,cA ,x ≥A(A ,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,那么c 和A 的值分别是( )A .75,25B .75,16C .60,25D .60,162.(2012·江西红色六校联考)具有性质:f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x=-f (x )的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:①y =x -1x ;②y =x +1x ;③y =⎩⎪⎨⎪⎧x ,0<x <1,0,x =1,-1x ,x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A .①②B .①③C .②③D .①3.二次函数f (x )满足f (x +1)-f (x )=2x ,且f (0)=1. (1)求f (x )的解析式; (2)解不等式f (x )>2x +5.[答 题 栏]A 级1._________2._________3._________4._________5.__________6._________B 级 1.______ 2.______7. __________ 8. __________ 9. __________ 答 案课时跟踪检测(四)A 级1.D 2.D 3.C 4.D5.选C 从球的形状可知,水的高度开始时增加的速度越来越慢,当超过半球时,增加的速度又越来越快.6.选B 由题意知2f (x )-f (-x )=3x +1.① 将①中x 换为-x ,则有2f (-x )-f (x )=-3x +1.② ①×2+②得3f (x )=3x +3, 即f (x )=x +1.7.解析:由f (1)=f (2)=0,得⎩⎪⎨⎪⎧12+p +q =0,22+2p +q =0,所以⎩⎪⎨⎪⎧p =-3,q =2.故f (x )=x 2-3x +2.所以f (-1)=(-1)2+3+2=6. 答案:68.解析:由题知,f (1)=2+1=3,f (f (1))=f (3)=32+6a ,若f (f (1))>3a 2,则9+6a >3a 2,即a 2-2a -3<0,解得-1<a <3.答案:(-1,3)9.解析:由函数的定义,对定义域内的每一个x 对应着唯一一个y ,据此排除①④,③中值域为{y |0≤y ≤3}不合题意.答案:②10.解:由f (2)=1得22a +b =1,即2a +b =2;由f (x )=x 得xax +b=x ,变形得 x ⎝⎛⎭⎪⎫1ax +b -1=0,解此方程得x =0或x =1-ba, 又因方程有唯一解,故1-b a=0,解得b =1,代入2a +b =2得a =12,所以f (x )=2x x +2. 11.解:当x ∈[0,30]时,设y =k 1x +b 1,由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1=0,30k 1+b 1=2,解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1=115,b 1=0.即y =115x .当x ∈(30,40)时,y =2; 当x ∈[40,60]时,设y =k 2x +b 2,由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2+b 2=2,60k 2+b 2=4,解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2=110,b 2=-2.即y =110x -2.综上,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧115x ,x ∈[0,30],2,x ∈30,40,110x -2,x ∈[40,60].12.解:(1)点A 表示无人乘车时收支差额为-20元,点B 表示有10人乘车时收支差额为0元,线段AB 上的点表示亏损,AB 延长线上的点表示赢利.(2)图2的建议是降低成本,票价不变,图3的建议是提高票价. (3)斜率表示票价.(4)图1、2中的票价是2元.图3中的票价是4元.B 级1.选D 因为组装第A 件产品用时15分钟, 所以cA=15,① 所以必有4<A ,且c4=c2=30.② 联立①②解得c =60,A =16.2.选B 对于①,f (x )=x -1x,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =1x -x =-f (x ),满足;对于②,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =1x+x =f (x ),不满足;对于③,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x ,0<1x <1,0,1x =1,-x ,1x >1,即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧1x ,x >1,0,x =1,-x ,0<x <1,故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =-f (x ),满足.综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③.3.解:(1)设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0). ∵f (0)=1,∴c =1.把f (x )的表达式代入f (x +1)-f (x )=2x ,有a (x +1)2+b (x +1)+1-(ax 2+bx +1)=2x .∴2ax+a+b=2x.∴a=1,b=-1.∴f(x)=x2-x+1.(2)由x2-x+1>2x+5,即x2-3x-4>0,解得x>4或x<-1.故原不等式解集为{x|x>4,或x<-1}.。