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课时跟踪检测(五) 函数及其表示1．(重庆调研)函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是( ) A ．(2,3) B ．(2,＋∞) C ．(3,＋∞)D ．(2,3)∪(3,＋∞)解析：选D 由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧2x －4>0，x －3≠0，解得x >2且x ≠3,所以函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域为(2,3)∪(3,＋∞),故选D.2．(合肥质量检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x >2，x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( )A ．－12B ．2C ．4D ．11解析：选C ∵f (1)＝12＋2＝3,∴f (f (1))＝f (3)＝3＋13－2＝4.故选C. 3．已知函数f (x )＝5|x |,g (x )＝ax 2－x (a ∈R)．若f (g (1))＝1,则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．－1解析：选A 由已知条件可知f (g (1))＝f (a －1)＝5|a －1|＝1,∴|a －1|＝0,得a ＝1.故选A.4．(荆州联考)若函数f (x )的定义域是[1,2 019],则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是( )A ．[0,2 018]B ．[0,1)∪(1,2 018]C ．(1,2 019]D ．[－1,1)∪(1,2 018]解析：选B 由题知,1≤x ＋1≤2 019,解得0≤x ≤2 018,又x ≠1,所以函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是[0,1)∪(1,2 018]．5．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5,且f (a )＝6,则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1,则x ＝2t ＋2,f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1,故f (x )＝4x －1,则f (a )＝4a －1＝6,解得a ＝74.6．(石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x＋b ，x ≤0(0<a <1),且f (－2)＝5,f (－1)＝3,则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：选B 由题意得,f (－2)＝a －2＋b ＝5,①f (－1)＝a －1＋b ＝3,②联立①②,结合0<a <1,得a ＝12,b ＝1,所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＋1＝9,f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.7．(福州二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3,则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时,若f (a )＝3,则log 2a ＋a ＝3,解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时,若f (a )＝3,则4a －2－1＝3,解得a ＝3,不满足a ≤0,舍去．于是,可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.故选A.8．(合肥质检)已知函数f (x )满足f (2x )＝2f (x ),且当1≤x <2时,f (x )＝x 2,则f (3)＝( ) A.98 B.94 C.92D ．9解析：选C ∵f (2x )＝2f (x ),且当1≤x <2时,f (x )＝x 2,∴f (3)＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝92.9．(合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0},且3f (x )＋5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x＋1,则函数f (x )的解析式为________________________．解析：用1x代替3f (x )＋5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ＋1中的x ,得3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1,∴⎩⎪⎨⎪⎧3fx ＋5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x＋1， ①3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋5f x ＝3x ＋1， ②①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．答案：f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln －x ，x <0，－ln x ，x >0，若f (m )>f (－m ),则实数m 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln －x ，x <0，－ln x ，x >0，当m >0时,f (m )>f (－m ),即－ln m >ln m ,即ln m <0,解得0<m <1；当m <0时,f (m )>f (－m ), 即ln(－m )>－ln(－m ), 即ln(－m )>0,解得m <－1. 综上可得,m <－1或0<m <1. 答案：(－∞,－1)∪(0,1)二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．若函数y ＝f (x ＋1)的值域为[－1,1],则函数y ＝f (3x ＋2)的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[2,8]解析：选A 函数y ＝f (x ＋1)的值域为[－1,1],由于函数中的自变量取定义域内的任意数时,函数的值域都为[－1,1],故函数y ＝f (3x ＋2)的值域为[－1,1]．故选A.2．(山西名校联考)设函数f (x )＝lg(1－x ),则函数f [f (x )]的定义域为( ) A ．(－9,＋∞) B ．(－9,1) C ．[－9,＋∞)D ．[－9,1)解析：选B f [f (x )]＝f [lg(1－x )]＝lg[1－lg(1－x )],其定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－lg 1－x >0的解集,解得－9<x <1,所以f [f (x )]的定义域为(－9,1)．故选B.3．(安阳三校联考)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数,则实数m 的取值范围是( ) A ．[0,4) B ．(0,4) C ．[4,＋∞)D ．[0,4]解析：选D 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时,1≥0恒成立；当m ≠0时,则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上可得,0≤m ≤4.4．(珠海质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R,则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞,－1] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：选C 由题意知y ＝ln x (x ≥1)的值域为[0,＋∞),故要使f (x )的值域为R,则必有y ＝(1－2a )x ＋3a 为增函数,且1－2a ＋3a ≥0,所以1－2a >0,且a ≥－1,解得－1≤a <12.5．(合肥质检)已知函数f (x )＝mx 2＋m －3x ＋1的值域是[0,＋∞),则实数m 的取值范围是________．解析：当m ＝0时,函数f (x )＝－3x ＋1的值域是[0,＋∞),显然成立；当m >0时,Δ＝(m －3)2－4m ≥0,解得0<m ≤1或m ≥9.显然m <0时不合题意．综上可知,实数m 的取值范围是[0,1]∪[9,＋∞)．答案：[0,1]∪[9,＋∞) (二)技法专练——活用快得分6．[排除法]设x ∈R,定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x解析：选D 当x <0时,|x |＝－x ,x |sgn x |＝x ,x sgn|x |＝x ,|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ,排除A 、B 、C,故选D.7．[特殊值法]函数y ＝a －a x(a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[0,1],则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 当x ＝1时,y ＝0,则函数y ＝a －a x在[0,1]上为减函数,故a >1.∴当x ＝0时,y ＝1,则a －1＝1,∴a ＝2.∴log 256＋log 2485＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫56×485＝log 28＝3.8．[数形结合法]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，则满足f (x )＋f (x －1)>1的x 的取值范围是________．解析：画出函数f (x )的大致图象如图,易知函数f (x )在(－∞,＋∞)上单调递增．又因为x >x －1,且x－(x －1)＝1,f (0)＝1,所以要使f (x )＋f (x －1)>1成立,则结合函数f (x )的图象知只需x －1>－1,解得x >0.故所求x 的取值范围是(0,＋∞)．答案：(0,＋∞)(三)素养专练——学会更学通9．[逻辑推理]具有性质f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,给出下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①③B ．②③C ．①②③D ．①②解析：选 A 对于①,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x ),满足题意；对于②,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x ),不满足题意；对于③,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x ),满足题意．综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③.故选A.10．[数学运算]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≤0，x －1，x >0，g (x )＝2x －1,则f (g (2))＝__________,f (g (x ))的值域为________．解析：g (2)＝22－1＝3,∴f (g (2))＝f (3)＝2.易得g (x )的值域为(－1,＋∞),∴若－1<g (x )≤0,f (g (x ))＝[g (x )]2－1∈[－1,0)；若g (x )>0,f (g (x ))＝g (x )－1∈(－1,＋∞),∴f (g (x ))的值域是[－1,＋∞)．答案：2 [－1,＋∞)11．[数学抽象]设函数f ：R→R ,满足f (0)＝1,且对任意x ,y ∈R 都有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2,则f (2 018)＝________.解析：令x ＝y ＝0,则f (1)＝f (0)·f (0)－f (0)－0＋2＝1×1－1－0＋2＝2.令y ＝0,则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2,将f (0)＝1,f (1)＝2代入,可得f (x )＝1＋x ,所以f (2 018)＝2 019.答案：2 019。
函数及其表示一、选择题1.(2013年高考江西卷)下列函数中，与函数y=定义域相同的函数为( D )(A)y=(B)y=(C)y=xe x(D)y=解析:∵y=的定义域为{x|x≠0}，y=的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，y=的定义域为{x|x>0}，y=xe x的定义域为R，y=的定义域为{x|x≠0}，故选D.2.如图所示，可表示函数y=f(x)的图象的只可能是( D )解析:由函数的概念知，对于定义域内的任一变量都有唯一的函数值与之对应.选项A、B、C 中都含有“一对二”的对应，故选D.3.设A={0，1，2，4}，B=，则下列对应关系能构成A到B的映射的是( C )(A)f:x→x3-1 (B)f:x→(x-1)2(C)f:x→2x-1(D)f:x→2x解析:对于选项A，由于集合A中x=0时，x3-1=-1∉B，即A中元素0在集合B中没有元素与之对应，所以选项A不符合;同理可知B、D两选项均不能构成A到B的映射，选项C符合，故选C.4.(2013辽宁大连24中期中)下面各组函数中为相同函数的是( D )(A)f(x)=，g(x)=x-1(B)f(x)=，g(x)=·(C)f(x)=ln e x与g(x)=e ln x(D)f(x)=x0与g(x)=解析:函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A.f(x)=|x-1|与g(x)对应关系不同故排除选项A，选项B、C中两函数的定义域不同，排除选项B、C，故选D.5.(2013山东聊城市第一学期期末质量检测)具有性质:f=-f(x)的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数:①f(x)=x-;②f(x)=x+;③f(x)=中满足“倒负”变换的函数是 ( B )(A)①② (B)①③(C)②③ (D)只有①解析:①f=-x=-f(x)满足.②f=+x=f(x)不满足.③0<x<1时，f=-x=-f(x)，x=1时，f=0=-f(x)，x>1时，f==-f(x)满足.故选B.6.已知函数f M(x)的定义域为R，满足f M(x)=(M是R的非空真子集)，在R上有两个非空真子集A，B，且A∩B=，则F(x)=的值域为( B )(A) (B){1}(C)(D)解析:由题可知当x∈A时，f A∪B(x)=1，f A(x)=1，f B(x)=0，此时F(x)=1，当x∈B时，f A∪B(x)=1，f A(x)=0，f B(x)=1，此时F(x)=1，当x∉(A∪B)时，F(x)=1.故选B.二、填空题7.已知函数f(x)的定义域为[1，9]，且当1≤x≤9时，f(x)=x+2，则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为.解析:因为函数f(x)的定义域为[1，9]，所以要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义，必须满足1≤x≤9，1≤x2≤9，解得1≤x≤3.所以函数y=[f(x)]2+f(x2)的定义域为[1，3].因为当1≤x≤9时，f(x)=x+2，所以当1≤x≤3时，也有f(x)=x+2，即y=[f(x)]2+f(x2)=(x+2)2+(x2+2)=2(x+1)2+4，所以当x=1时，y取得最小值，y min=12，当x=3时，y取得最大值，y max=36，所以所求函数的值域为[12，36].答案:[12，36]8.已知f(x)=则使f(x)≥-1成立的x的取值范围是.解析:当x≤0时，f(x)≥-1即x+1≥-1.∴x≥-4，∴此时，-4≤x≤0.当x>0时，f(x)≥-1即-(x-1)2≥-1，∴0≤x≤2，∴此时，0<x≤2.综上可知使f(x)≥-1成立的x的取值范围是[-4，2].答案:[-4，2]9.设M是由满足下列性质的函数f(x)构成的集合:在定义域内存在x0，使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立.已知下列函数:①f(x)=;②f(x)=2x;③f(x)=lg(x2+2);④f(x)=cosπx.其中属于集合M的函数是.(写出所有满足要求的函数的序号)解析:对于①，=+1显然无实数解;对于②，方程2x+1=2x+2，解得x=1;对于③，方程lg[(x+1)2+2]=lg(x2+2)+lg 3，显然也无实数解;对于④，方程cos[π(x+1)]=cos πx+cos π，即cos πx=，显然存在x使之成立.答案:②④三、解答题10.已知f(x)是二次函数，若f(0)=0，且f(x+1)=f(x)+x+1.(1)求函数f(x)的解析式.(2)求函数y=f(x2-2)的值域.解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，由题意可知整理得解得∴f(x)=x2+x.(2)由(1)知y=f(x2-2)=(x2-2)2+(x2-2)=(x4-3x2+2)=-，当x2=时，y取最小值-，故函数值域为.11.已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0，1)时，f(x)=.(1)求f(1)和f(-1)的值;(2)求f(x)在[-1，1]上的解析式.解:(1)因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f(1)=f(1-2)=f(-1)=-f(1)，所以f(1)=0，f(-1)=0.(2)由题意知，f(0)=0.当x∈(-1，0)时，-x∈(0，1). 因为f(x)是奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-=-.综上，在[-1，1]上，f(x)=。
高中数学课时跟踪检测：函数及其表示一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1．(淮安调研)函数f (x )＝lg5－x 2的定义域是________．解析：由lg(5－x 2)≥0,得5－x 2≥1, 即x 2≤4,解得－2≤x ≤2. ∴函数f (x )＝lg 5－x 2的定义域是[－2,2]．答案：[－2,2]2．(苏州高三期中调研)函数y ＝1lnx －1的定义域为________．解析：由⎩⎨⎧x ＞1，ln x －1≠0，解得x ＞1,且x ≠2,所以函数的定义域为(1,2)∪(2,＋∞)．答案：(1,2)∪(2,＋∞)3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5,且f (a )＝6,则a ＝________.解析：令t ＝12x －1,则x ＝2t ＋2,f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1,则4a －1＝6,解得a ＝74.答案：744．已知f (x )是一次函数,满足3f (x ＋1)＝6x ＋4,则f (x )＝________. 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0), 则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ＝ax ＋a ＋b , 依题设,3ax ＋3a ＋3b ＝6x ＋4, ∴⎩⎨⎧3a ＝6，3a ＋3b ＝4，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－23，则f (x )＝2x －23.答案：2x －235．(盐城模考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a x ＋1－2，x ≤1，2x －1，x ＞1，若f (0)＝3,则f (a )＝________.解析：因为f (0)＝3,所以a －2＝3,即a ＝5,所以f (a )＝f (5)＝9. 答案：96．设函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ， x ＞1，－x －2，x ≤1，则f (f (2))＝________,函数f (x )的值域是________．解析：因为f (2)＝12,所以f (f (2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－52.当x ＞1时,f (x )∈(0,1),当x ≤1时,f (x )∈[－3,＋∞), 所以f (x )∈[－3,＋∞)． 答案：－52[－3,＋∞)二保高考,全练题型做到高考达标1．(如东高级中学高三学情调研)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 22－x，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝________.解析：因为f (－2)＝1＋log 24＝3,f (log 212)＝2log 212－1＝6,所以f (－2)＋f (log 212)＝9.答案：92．(苏州期末)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x， x ≤0，－x 2＋1，x ＞0的值域为________． 解析：画出f (x )的图象如图所示,可看出函数的值域为(－∞,1]．答案：(－∞,1]3．(南京名校联考)f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.答案：94．(南通调研)函数f (x )＝11－x＋lg(x ＋1)的定义域是________． 解析：由题意得⎩⎨⎧1－x ≠0，x ＋1＞0⇒x ＞－1且x ≠1,所以函数f (x )的定义域是(－1,1)∪(1,＋∞)． 答案：(－1,1)∪(1,＋∞)5．(启东中学检测)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3,3],则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3,3],所以x ∈[－3,3],x 2－1∈[－1,2],所以y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2]6．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数的序号是________．解析：对于①,f (x )＝x －1x ,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x ),满足；对于②,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x ),不满足；对于③,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x＜1，0，1x ＝1，－x ，1x＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x ),满足．综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③. 答案：①③7．(扬州一模)若函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x－2，x ＜0，g x ，x ＞0为奇函数,则f (g (2))＝________.解析：因为函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x－2，x ＜0，g x ，x ＞0为奇函数,所以当x ＞0时,－x ＜0,则f (－x )＝2x －2＝－f (x ), 所以f (x )＝－2x ＋2,即g (x )＝－2x ＋2.所以g (2)＝－22＋2＝－2,f (g (2))＝f (－2)＝22－2＝2. 答案：28．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a －1x ＋1，x ≤1，a x －1，x ＞1，若f (1)＝12,则f (3)＝________.解析：由f (1)＝12,可得a ＝12,所以f (3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.答案：149．(泰州一调)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －3，x ≥2，x 2－3x －2，x ＜2，若f (x )＞2,则x 的取值范围是________．解析：不等式f (x )＞2可化为⎩⎨⎧x ≥2，2x －3＞2或⎩⎨⎧x ＜2，x 2－3x －2＞2，解得x ＞52或x ＜－1.答案：(－∞,－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞10．(无锡一中月考) 已知函数f (x )的图象如图所示,则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________．解析：要使函数g (x )有意义,需f (x )＞0,由f (x )的图象可知,当x ∈(2,8]时,f (x )＞0.答案：(2,8]11．(南京金陵中学月考)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ,且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上,函数y ＝f (x )的图象恒在直线y ＝2x ＋m 的上方,试确定实数m 的取值范围．解：(1)由f (0)＝1,可设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0),故f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2ax ＋a ＋b ,由题意得⎩⎨⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1，故f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意,得x 2－x ＋1＞2x ＋m ,即x 2－3x ＋1＞m ,对x ∈[－1,1]恒成立． 令g (x )＝x 2－3x ＋1,则问题可转化为g (x )min ＞m , 又因为g (x )在[－1,1]上递减,所以g (x )min ＝g (1)＝－1, 故m ＜－1,即实数m 的取值范围为(－∞,－1)．12．(南京期末)已知二次函数f (x )满足f (1)＝1,f (－1)＝5,且图象过原点． (1)求二次函数f (x )的解析式； (2)已知集合U ＝[1,4],B ＝⎩⎪⎨⎪⎧y ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫y ＝f x x 2，x ∈U,求∁U B .解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0), 因为f (1)＝1,f (－1)＝5,且图象过原点,所以⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得a ＝3,b ＝－2,所以f (x )＝3x 2－2x .(2)y ＝f x x 2＝3－2x,当x ∈[1,4]时,函数y ＝3－2x是增函数,当x ＝1时,y 取得最小值1；当x ＝4时,y 取得最大值52,所以B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52,又集合U ＝[1,4],故∁U B ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤52，4.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1．已知实数a ≠0,函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a ),则a ＝________.解析：当a ＞0时,1－a ＜1,1＋a ＞1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ,解得a ＝－32,不合题意；当a ＜0时,1－a ＞1,1＋a ＜1,由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a , 解得a ＝－34,所以a 的值为－34.答案：－342．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x ),若当0≤x ≤2时,f (x )＝x (2－x ),则当－4≤x ≤－2时,f (x )＝________.解析：由题意知f (x ＋4)＝2f (x ＋2)＝4f (x ),当－4≤x ≤－2时,0≤x ＋4≤2, 所以f (x )＝14f (x ＋4)＝14(x ＋4)[2－(x ＋4)]＝－14(x ＋4)(x ＋2),所以当－4≤x ≤－2时,f (x )＝－14(x ＋4)(x ＋2)．答案：－14(x ＋4)(x ＋2)3．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离．在某种路面上,某种型号汽车的x 2200＋mx ＋刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝n (m ,n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米,求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象,得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100,n ＝0,所以y＝x2200＋x100(x≥0)．(2)令x2200＋x100≤25.2,得－72≤x≤70.因为x≥0,所以0≤x≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。
课时跟踪检测(四) 函数及其表示一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是( ) A ．(6，＋∞) B ．(－3,6) C ．(－3，＋∞)D ．[－3,6)解析：选D 要使函数有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，6－x >0，解得－3≤x <6.2．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( )A ．－74B.74C.43D ．－43解析：选B 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.3．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x解析：选B 设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x . 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1x ＋1，x ≤1，ax －1，x >1，若f (1)＝12，则f (3)＝________.解析：由f (1)＝12，可得a ＝12，所以f (3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.答案：145．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题意知f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ， 若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2， 即a 2－2a －3<0， 解得－1<a <3. 答案：(－1,3)二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝10＋9x －x2lg x －1的定义域为( )A ．[1,10]B ．[1,2)∪(2,10]C ．(1,10]D ．(1,2)∪(2,10]解析：选D 要使函数f (x )有意义，则x 须满足⎩⎪⎨⎪⎧10＋9x －x 2≥0，x －1>0，lg x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －10≤0，①x >1，x ≠2，解①得，－1≤x ≤10.所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]．2．(2016·武汉调考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx 2，－1<x <0，e x －1，x ≥0满足f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1或－22B ．－22 C ．1D ．1或22解析：选A 因为f (1)＝e 1－1＝1且f (1)＋f (a )＝2，所以f (a )＝1，当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， ∵0<a 2<1，∴0<πa 2<π， ∴πa 2＝π2⇒a ＝－22；当a ≥0时，f (a )＝ea －1＝1⇒a ＝1.3．(2016·福建四地六校联考)若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝( )A ．2B ．0C ．1D ．－1解析：选A 令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2， ② 联立①②得f (1)＝2.4．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x <a ，c a ，x ≥a ，(a ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a 件产品用时15分钟，那么c 和a 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：选D 因为组装第a 件产品用时15分钟， 所以ca＝15，① 所以必有4<a ，且c4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，a ＝16.5．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )，满足． 综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.6．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 12，x ∈[0，＋∞，|sin x |，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，若f (a )＝12，则a ＝________.解析：若a ≥0，由f (a )＝12得，a 12＝12，解得a ＝14；若a <0，则|sin a |＝12，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，解得a ＝－π6. 综上可知，a ＝14或－π6.答案：14或－π67．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]． 答案：[－1,2]8．已知函数f (x )＝2x ＋1与函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2成轴对称图形，则函数y ＝g (x )的解析式为________．解析：设点M (x ，y )为函数y ＝g (x )图象上的任意一点，点M ′(x ′，y ′)是点M 关于直线x ＝2的对称点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4－x ，y ′＝y .又y ′＝2x ′＋1， ∴y ＝2(4－x )＋1＝9－2x ， 即g (x )＝9－2x . 答案：g (x )＝9－2x9．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝________.解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2， 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫68＝2， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫38＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫58＝2， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12×2＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2×3＋1＝7. 答案：710．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式； (2)画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x，x ≥0.(2)f (x )的图象如图：三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·唐山期末)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选C 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1，∴－1≤a <12.即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12. 2．(2015·北京二模)已知f 是有序数对集合M ＝{(x ，y )|x ∈N *，y ∈N *}上的一个映射，正整数数对(x ，y )在映射f 下的象为实数z ，记作f (x ，y )＝z .对于任意的正整数m ，n (m >n )，映射f 由下表给出：(x ，y )(n ，n )(m ，n )(n ，m )f (x ，y ) nm －n m ＋n则f (3,5)＝． 解析：由表可知f (3,5)＝5＋3＝8.∵∀x ∈N *，都有2x >x ，∴f (2x ，x )＝2x－x ，则f (2x ，x )≤4⇔2x －x ≤4(x ∈N *)⇔2x ≤x ＋4(x ∈N *)， 当x ＝1时，2x ＝2，x ＋4＝5,2x≤x ＋4成立； 当x ＝2时，2x ＝4，x ＋4＝6,2x≤x ＋4成立； 当x ≥3(x ∈N *)时，2x>x ＋4. 故满足条件的x 的集合是{1,2}． 答案：8 {1,2}3.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2， 得－72≤x ≤70. ∵x ≥0，∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．。
第二章 函数 2.1 函数及其表示考纲要求1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单地应用．(1)函数的定义域、值域．在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，__________叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，__________叫做函数的值域，显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：__________、__________和__________． 3．函数的表示方法表示函数的常用方法有__________、__________和__________． 4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因__________不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的__________，其值域等于各段函数的值域的__________，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．1．设f ，g 都是从A 到A则f (g (3))等于( )． A ．1 B ．2C ．3D ．不存在2．集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是( )．A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x3．下列各函数中，表示同一个函数的是( )．A ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg xB ．f (x )＝lg x ＋1x －1，g (x )＝lg(x ＋1)－lg(x －1)C ．f (u )＝1＋u1－u，g (v )＝1＋v1－vD ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2 4．(2012山东高考)函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )．A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x ＞1，若f (x )＝2，则x 等于( )．A ．log 32B ．－2C ．log 32或－2D ．2一、函数的概念【例1－1】已知a ，b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫b a ，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )．A ．－1B ．0C ．1D ．±1【例1－2】设函数f (x )(x ∈N )表示x 除以2的余数，函数g (x )(x ∈N )表示x 除以3的余数，则对任意的x ∈N ，给出以下式子：①f (x )≠g (x )；②g (2x )＝2g (x )； ③f (2x )＝0；④f (x )＋f (x ＋3)＝1.其中正确的式子编号是__________．(写出所有符合要求的式子编号)． 【例1－3】以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f 1：y ＝xx；f 2： y ＝1.(2)f 1：y ＝|x |；f 2：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＞0，－x ，x ＜0.(3)f 1：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，2，1＜x ＜2，3，x ≥2，f 2：(4)f 1：y ＝2x ；f 2方法提炼1．要检验两个变量之间是否存在函数关系，只需检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能找到唯一的函数值y 与之对应．2．判断两个函数是否相同，要先看定义域是否一致，若定义域一致，再看对应法则是否一致，由此即可判断．请做演练巩固提升2二、求函数的解析式【例2－1】若函数f (x )＝xax ＋b(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，则f (x )＝__________.【例2－2】若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )．【例2－3】已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x ＋x 2. (1)求x ＞0时，f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝2a 2＋a 有三个不同的解，求a 的取值范围． 方法提炼函数解析式的求法：1．凑配法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；2．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；3．换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；4．方程思想：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．提醒：因为函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域，否则会导致错误．请做演练巩固提升1三、分段函数及其应用【例3】(2012江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为__________． 方法提炼解决分段函数问题的基本原则是分段进行，即自变量的取值范围属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决．请做演练巩固提升3忽略分段函数中自变量的取值范围而致误 【典例】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x ＞0，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，求关于x 的方程f (x )＝x 的解．错解：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c . 因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－2)2－2b ＋c ＝c ，(－1)2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－2. 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2，x ≤0，2，x ＞0.当x ≤0时，由f (x )＝x 得x 2＋2x －2＝x 得x ＝－2或x ＝1.当x ＞0时，由f (x )＝x 得x ＝2. 所以方程f (x )＝x 的解为：－2,1,2.分析：(1)条件中f (－2)，f (0)，f (－1)所适合的解析式是f (x )＝x 2＋bx ＋c ，所以可构建方程组求出b ，c 的值．(2)在方程f (x )＝x 中，f (x )用哪个解析式，要进行分类讨论．正解：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ， 因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ (－2)2－2b ＋c ＝c ，(－1)2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－2. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2，x ≤0，2，x ＞0.当x ≤0时，由f (x )＝x 得，x 2＋2x －2＝x ，得x ＝－2或x ＝1.由于x ＝1＞0，所以舍去． 当x ＞0时，由f (x )＝x 得x ＝2， 所以方程f (x )＝x 的解为－2,2. 答题指导：1．对于分段函数问题，是高考的热点．在解决分段函数问题时，要注意自变量的限制条件．2．就本题而言，当x ≤0时，由f (x )＝x 得出两个x 值，但其中的x ＝1不符合要求，错解中没有舍去此值，因而导致了增解．分段函数问题分段求解，但一定注意各段的限制条件．1．已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝( )．A ．lg 1xB ．lg 1x －1C ．lg 2x －1D ．lg 1x －22．已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝__________. 3．(2012陕西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ＜0，则f (f (－4))＝______.4．设g (x )是定义在R 上、以1为周期的函数．若函数f (x )＝x ＋g (x )在区间[0,1]上的值域为[－2,5]，则f (x )在区间[0,3]上的值域为__________．5．对a ，b ∈R ，记min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ＜b ，b ，a ≥b ，函数f (x )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫12x ，－|x －1|＋2(x ∈R )的最大值为________．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．数集 集合 任意 数x 都有唯一确定 数f (x ) 任意 元素x 都有唯一确定 元素y f ：A →B f ：A →B2．(1)x 的取值范围A 函数值的集合{f (x )|x ∈A } (2)定义域 值域 对应关系 3．解析法 列表法 图象法 4．对应法则 并集 并集 基础自测1．C 解析：由题中表格可知g (3)＝1， ∴f (g (3))＝f (1)＝3.故选C.2．C 解析：依据函数的概念，集合A 中任一元素在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，选项C 不符合．3．C 解析：选项A 和B 定义域不同，选项D 对应法则不同．4．B 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ln(x ＋1)≠0，x ＋1＞0，4－x 2≥0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ＞－1，－2≤x ≤2，所以定义域为(－1,0)∪(0,2]．5．A 解析：当x ≤1时，3x ＝2， ∴x ＝log 32；当x ＞1时，－x ＝2，∴x ＝－2(舍去)． ∴x ＝log 32. 考点探究突破【例1－1】 C 解析：a ＝1，b ＝0， ∴a ＋b ＝1.【例1－2】 ③④ 解析：当x 是6的倍数时，可知f (x )＝g (x )＝0，所以①不正确；容易得到当x ＝2时，g (2x )＝g (4)＝1，而2g (x )＝2g (2)＝4，所以g (2x )≠2g (x )，故②错误；当x ∈N 时，2x 一定是偶数，所以f (2x )＝0正确；当x ∈N 时，x 和x ＋3中必有一个为奇数、一个为偶数，所以f (x )和f (x ＋3)中有一个为0、一个为1，所以f (x )＋f (x ＋3)＝1正确．【例1－3】解：(1)不同函数．f 1(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0}，f 2(x )的定义域为R . (2)不同函数．f 1(x )的定义域为R ，f 2(x )的定义域为{x ∈R |x ≠0}． (3)同一函数．x 与y 的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式． (4)同一函数．理由同(3)．【例2－1】2x x ＋2 解析：由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得xax ＋b ＝x ，变形得x ⎝⎛⎭⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba，又∵方程有唯一解， ∴1－b a＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴f (x )＝2xx ＋2.【例2－2】解：∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ， 得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1.即有⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )－f (－x )＝x ＋1，2f (－x )－f (x )＝－x ＋1.解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x3＋1.【例2－3】解：(1)任取x ＞0，则－x ＜0， ∴f (－x )＝－2x ＋(－x )2＝x 2－2x . ∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝2x －x 2. 故x ＞0时，f (x )＝2x －x 2.(2)∵方程f (x )＝2a 2＋a 有三个不同的解， ∴－1＜2a 2＋a ＜1.∴－1＜a ＜12.【例3】－10 解析：因为f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，函数f (x )的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12，根据f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，得到3a ＋2b ＝－2，又f (1)＝f (－1)，得到－a ＋1＝b ＋22，即2a ＋b ＝0，结合上面的式子解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋3b ＝－10.演练巩固提升1．C 解析：令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1，故选C.2．2 解析：因为f (x )＝lg x ，f (ab )＝1，所以lg ab ＝1，所以f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg a 2b 2＝2lg ab ＝2.3．4 解析：∵f (－4)＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16， ∴f (f (－4))＝f (16)＝16＝4.4．[－2,7] 解析：设x 1∈[0,1]，f (x 1)＝x 1＋g (x 1)∈[－2,5]． ∵函数g (x )是以1为周期的函数，∴当x 2∈[1,2]时，f (x 2)＝f (x 1＋1)＝x 1＋1＋g (x 1)∈[－1,6]． 当x 3∈[2,3]时，f (x 3)＝f (x 1＋2)＝x 1＋2＋g (x 1)∈[0,7]． 综上可知，当x ∈[0,3]时，f (x )∈[－2,7]．5．1 解析：y ＝f (x )是y ＝12x 与y ＝－|x －1|＋2两者中的较小者，数形结合可知，函数的最大值为1.。
