浙江省中考数学专题复习专题三5大数学思想方法第四节方程思想与函数思想训练

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……专题三 5大数学思想方法第四节 方程思想与函数思想类型十五 方程思想在实际生活中的应用(2018·台湾中考)某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售，且每盒方形礼盒的价钱相同，每盒圆形礼盒的价钱相同．阿郁原先想购买3盒方形礼盒和7盒圆形礼盒，但他身上的钱会不足240元，如果改成购买7盒方形礼盒和3盒圆形礼盒，他身上的钱会剩下240元．若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下多少元？( ) A ．360 B ．480 C ．600D ．720【分析】设每盒方形礼盒x 元，每盒圆形礼盒y 元，根据阿郁身上的钱数不变列出方程，再根据阿郁最后购买10盒方形礼盒求解即可． 【自主解答】17．(2018·新疆中考)某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的54倍，购进数量比第一次少了30支．则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是______元．类型十六 方程思想在几何中的应用(2018·湖南湘潭中考)如图，AB 是以O 为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M 是AB ︵上的动点，且不与点A ，C ，B 重合，直线AM 交直线OC 于点D ，连结OM 与CM. (1)若半圆的半径为10.①当∠AOM＝60°时，求DM 的长； ②当AM ＝12时，求DM 的长．(2)探究：在点M 运动的过程中，∠DMC 的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】(1)①当∠AOM＝60°时，△AMO是等边三角形，从而可知∠MOD＝30°，∠D＝30°，所以DM＝OM ＝10；②过点M作MF⊥OA于点F，设AF＝x，OF＝10－x，利用勾股定理即可求出x的值．易证明△AMF∽△ADO，从而可知AD的长度，进而可求出MD的长度．(2)根据点M的位置分类讨论，然后利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求出答案．【自主解答】数与形的组合历来都是公认的求解数学问题的理想方法，它会使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化，几何方面的计算题便是求某些未知数的值，都可以用方程来解决．要根据两边相等、勾股定理、相似三角形中的比例线段、题目中本身具有的等量关系等建立方程，从而达到解决问题的目的．18．(2018·山东潍坊中考)如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连结AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM 于点F，连结BE.(1)求证：AE＝BF；(2)已知AF＝2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．类型十七方程思想在函数中的应用(2018·广西桂林中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；(2)点M为坐标平面内一点，若MA＝MB＝MC，求点M的坐标；(3)在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE＝11tan∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)根据待定系数法，可得函数表达式；(2)根据线段垂直平分线的性质，可得M在线段AB和线段AC的垂直平分线上，根据勾股定理，可得答案；(3)根据相似三角形的判定与性质，可得F点坐标，根据解方程组，可得D点坐标，根据正切值，可得tan∠ABE＝2，①根据待定系数法，可得BM，根据解方程组，可得E点坐标；②根据正切值，可得关于m 的方程，根据解方程，可得答案．【自主解答】方程与函数本身就有必然的联系，函数本身就可以看成一个方程，因此方程与函数有着相同的思路和解题方法．此类问题常见的形式有用待定系数法确定函数关系式，求两个函数图象的交点等．19．(2018·湖南湘潭中考)如图，点M 在函数y ＝3x (x ＞0)的图象上，过点M 分别作x 轴和y 轴的平行线交函数y ＝1x (x ＞0)的图象于点B ，C.(1)若点M 的坐标为(1，3)． ①求B ，C 两点的坐标； ②求直线BC 的表达式； (2)求△BMC 的面积．类型十八函数思想在实际生活中的应用(2018·浙江舟山中考)小红帮弟弟荡秋千(如图1)，秋千离地面的高度h(m)与摆动时间t(s)之间的关系如图2所示．(1)根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？(2)结合图象回答：①当t＝0.7 s时，h的值是多少？并说明它的实际意义；②秋千摆动第一个来回需多少时间？【分析】(1)根据函数的定义判断即可；(2)通过观察图象求解即可．【自主解答】数学源于生活，又用于生活，生活中我们常把实际问题转化为数学问题来解决，往往需要找出其中的等量关系来建立函数关系，求出问题的答案，如用一次函数、反比例函数、二次函数等知识来解决生活中遇到的问题．20．(2016·浙江衢州中考)某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为__________m2.类型十九函数思想在数与式中的应用(2018·山东临沂中考)一列自然数0，1，2，3，…，100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是( )A．原数与对应新数的差不可能等于零B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30D．当原数取50时，原数与对应新数的差最大【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【自主解答】借助函数的知识解决有关方程、不等式及其他数与式的问题，往往需要我们先构造函数，再利用函数的图象和性质进行求解，常能够使得问题更加简单、直观．21．(2018·贵州毕节中考)已知关于x的一元二次方程x2－x＋m－1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．22．(2018·江苏连云港中考)已知A(－4，y1)，B(－1，y2)是反比例函数y＝－4x图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为__________．类型二十函数思想在几何中的应用(2018·湖北黄冈中考)如图，在直角坐标系xOy中，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，点B，C 在第一象限，∠C＝120°，边长OA＝8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动，点N从A出发沿边AB－BC－CO以每秒2个单位长的速度作匀速运动，过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于P，交对角线OB于Q，点M和点N同时出发，分别沿各自路线运动，点N运动到原点O时，M和N两点同时停止运动．(1)当t＝2时，求线段PQ的长；(2)求t为何值时，点P与N重合；(3)设△APN的面积为S，求S与t的函数关系式及t的取值范围．【分析】(1)解直角三角形求出PM，QM即可解决问题；(2)根据点P，N的路程之和＝24，构建方程即可解决问题；(3)分四种情形考虑问题即可解决问题；【自主解答】函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态的研究，从变量的运动变化，联系和发展的角度拓宽解题思路．23．(2018·四川绵阳中考)如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A(3，0)，B(0，4)，C(－3，0)．动点M，N同时从A点出发，M沿A→C，N沿折线A→B→C，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点C时，另一个动点也随之停止移动，移动的时间记为t秒．连结MN.(1)求直线BC的表达式；(2)移动过程中，将△AMN沿直线MN翻折，点A恰好落在BC边上点D处，求此时t值及点D的坐标；(3)当点M，N移动时，记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S，求S关于时间t的函数关系式．参考答案类型十五【例15】 设每盒方形礼盒x 元，每盒圆形礼盒y 元，则阿郁身上的钱有(3x ＋7y －240)元或(7x ＋3y ＋240)元．由题意可得3x ＋7y －240＝7x ＋3y ＋240， 化简整理得y －x ＝120.若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下：(7x ＋3y ＋240)－10x ＝3(y －x)＋240＝3×120＋240＝600(元)．故选C. 变式训练 17．4 类型十六【例16】 (1)①当∠AOM＝60°时， ∵OM＝OA ，∴△AMO 是等边三角形，∴∠A＝∠MOA＝60°，∴∠MOD＝30°，∠D＝30°， ∴DM＝OM ＝10.②如图，过点M 作MF⊥OA 于点F. 设AF ＝x ，∴OF＝10－x. ∵AM＝12，OA ＝OM ＝10，由勾股定理可知122－x 2＝102－(10－x)2， ∴x＝365，∴AF＝365.∵MF∥OD，∴△AMF∽△ADO，∴AM AD ＝AF OA ，∴12AD ＝36510， ∴AD＝503，∴MD＝AD －AM ＝143.(2)如图，当点M 位于AC ︵之间时，连结BC. ∵C 是AB ︵的中点，∴∠B＝45°. ∵四边形AMCB 是圆内接四边形， 此时∠CMD＝∠B＝45°.如图，当点M 位于BC ︵之间时，连结BC.由圆周角定理可知∠CMD＝∠B＝45°. 综上所述，∠CMD＝45°. 变式训练18．(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴BA＝AD ，∠BAD＝90°. ∵DE⊥AM 于点E ，BF⊥AM 于点F ， ∴∠AFB＝90°，∠DEA＝90°. ∵∠ABF＋∠BAF＝90°， ∠EAD＋∠BAF＝90°， ∴∠ABF＝∠EAD. 在△ABF 和△DAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BFA＝∠AED，∠ABF＝∠DAE，AB ＝DA ，∴△ABF≌△DAE(AAS)， ∴BF＝AE.(2)解：设AE ＝x ，则BF ＝x ，DE ＝AF ＝2. ∵四边形ABED 的面积为24， ∴12·x·x＋12·x·2＝24， 解得x 1＝6，x 2＝－8(舍去)， ∴EF＝x －2＝4.在Rt△BEF 中，BE ＝42＋62＝213， ∴sin∠EBF＝EF BE ＝4213＝21313.类型十七【例17】 (1)将A ，B 的坐标代入函数表达式得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋6＝0，a ＋b ＋6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－4， ∴抛物线y 的函数表达式y ＝－2x 2－4x ＋6. 当x ＝0时，y ＝6，即C(0，6)．(2)由MA ＝MB ＝MC 得M 点在AB 的垂直平分线上，M 在AC 的垂直平分线上， 设M(－1，x)，由MA ＝MC 得(－1＋2)2＋x 2＝(x －6)2＋(－1－0)2， 解得x ＝114，∴若MA ＝MB ＝MC ，点M 的坐标为(－1，114)．(3)①如图，过点A 作DA⊥AC 交y 轴于点F ，交CB 的延长线于点D ，过点A 作AM⊥x 轴，连结BM 交抛物线于点E.∵∠ACO＋∠CAO＝90°，∠DAO＋∠CAO＝90°，∠ACO＋∠AFO＝90°，∴∠DAO ＝∠ACO，∠CAO＝∠AFO， ∴△AOF∽△COA， ∴AO OF ＝CO AO，∴AO 2＝OC×OF. ∵OA＝3，OC ＝6，∴OF＝326＝32，∴F(0，－32)．∵A(－3，0)，F(0，－32)，∴直线AF 的表达式为y ＝－12x －32.∵B(1，0)，C(0，6)，∴直线BC 的表达式为y ＝－6x ＋6. ∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x －32，y ＝－6x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1511，y ＝－2411，∴D(1511，－2411)，∴AD＝24115，AC ＝35，∴tan∠ACB＝2451135＝811.∵4tan∠ABE＝11tan∠A CB ， ∴tan∠ABE＝2. ∵AB＝4，tan∠ABE＝2， ∴AM＝8，∴M(－3，8)． ∵B(1，0)，(－3，8)，∴直线BM 的表达式为y ＝－2x ＋2. 联立BM 与抛物线得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝－2x 2－4x ＋6， 解得x ＝－2或x ＝1(舍去)， ∴y＝6，∴E(－2，6)．②如图，当点E 在x 轴下方时，过点E 作EG⊥AB，连结BE.设点E(m ，－2m 2－4m ＋6)， ∴tan∠ABE＝CE BG ＝2m 2＋4m －6－m ＋1＝2，∴m＝－4或m ＝1(舍去)， 可得E(－4，－10)．综上所述，E 点坐标为(－2，6)，(－4，－10)． 变式训练19．解：(1)①∵点M 的坐标为(1，3)，且B ，C 在函数y ＝1x (x ＞0)的图象上，∴点C 横坐标为1，纵坐标为1，点B 纵坐标为3，横坐标为13，∴点C 坐标为(1，1)，点B 坐标为(13，3)．②设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b′，把B ，C 点坐标代入得 ⎩⎪⎨⎪⎧1＝k ＋b′，3＝13k ＋b′，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b′＝4， ∴直线BC 的表达式为y ＝－3x ＋4. (2)设点M 坐标为(a ，b)．∵点M 在函数y ＝3x (x ＞0)的图象上，∴ab＝3.由(1)得点C 坐标为(a ，1a )，B 点坐标为(1b ，b)，∴BM＝a －1b ＝ab －1b ，MC ＝b －1a ＝ab －1a，∴S △BMC ＝12·ab －1b ·ab －1a ＝12×（ab －1）2ab ＝23.类型十八【例18】 (1)由图象可知，对于每一个摆动时间t ，h 都有唯一确定的值与其对应， ∴变量h 是关于t 的函数． (2)①由函数图象可知，当t ＝0.7 s 时，h ＝0.5 m ，它的实际意义是秋千摆动0.7 s 时，离地面的高度是0.5 m. ②由图象可知，秋千摆动第一个来回需2.8 s. 变式训练 20．144 类型十九【例19】 设原数为a ，则新数为1100a 2，设新数与原数的差为y ，则y ＝a －1100a 2＝－1100a 2＋a.易得当a ＝0时，y ＝0，则A 错误． ∵－1100＜0，∴当a ＝－b 2a ＝－12×（－1100）时，y 有最大值．B 错误，D 正确．当y ＝21时，－1100a 2＋a ＝21，解得a 1＝30，a 2＝70，则C 错误．故选D. 变式训练21．m ＜54 22.y 1＜y 2类型二十【例20】 (1)当t ＝2时，OM ＝2. 在Rt△OPM 中，∠POM＝60°， ∴PM＝OM·tan 60°＝2 3. 在Rt△OMQ 中，∠QOM＝30°， ∴QM＝OM·tan 30°＝233，∴PQ＝CN －QM ＝23－233＝433. (2)由题意，8＋(t －4)＋2t ＝24， 解得t ＝203.(3)①当0＜t ＜4时，S ＝12·2t·43＝43t.②当4≤t＜203时，S ＝12×[8－(t －4)－(2t －8)]×43＝403－63t.③当203≤t＜8时，S ＝12×[(t－4)＋(2t －8)－8]×43＝63t －40 3.④当8≤t≤12时，S ＝S 菱形ABCO －S △AON －S △ABP －S △PNC ＝323－12·(24－2t)·43－12·[8－(t －4)]·43－12·(t－4)·32·(2t－16)＝－32t 2＋123t －56 3. 变式训练23．解：(1)设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，－3k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝43，b ＝4，∴直线BC 的表达式为y ＝43x ＋4.(2)如图1中，连结AD 交MN 于点O′.由题意四边形AMDN 是菱形，M(3－t ，0)，N(3－35t ，45t)，∴O′(3－45t ，25t)，D(3－85t ，45t)．∵点D 在BC 上，∴45t ＝43×(3－85t)＋4，解得t ＝3011，∴t＝3011 s 时，点A 恰好落在BC 边上点D 处，此时D(－1511，2411)．(3)如图2中，当0＜t≤5时，△ABC 在直线MN 右侧部分是△AMN，S ＝12·t·45t ＝25t 2.如图3中，当5＜t≤6时，△ABC 在直线MN 右侧部分是四边形ABNM.S ＝12×6×4－12×(6－t)·[4－45(t －5)]＝－25t 2＋325t －12.。