2021年子集全集补集知识点总结及练习

集合的概念、子集、交集、并集、补集课 题集合的概念、子集、交集、并集、补集教学目标1、了解集合的概念2、理解子集、补集以及全集的概念3、结合图形使学生理解交集并集的概念性质重点、难点重点：集合、子集、补集和全集的概念 难点：交集并集的概念，符号之间的区别与联系考点及考试要求理解集合及其表示；掌握子集、交集、并集、补集的概念。

教学内容一、知识回顾1、集合的概念。

2、集合的分类。

3、集合的性质。

4、常用的数集。

5、集合的表示。

6、元素与元素和集合与元素的关系以及集合与集合之间的关系。

二、全集与补集1 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A的补集（或余集），记作A C S ，即C S A=},|{A x S x x ∉∈且2、性质：C S （C S A ）=A ，C S S=φ，C S φ=S3、全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示S A三、典例分析例1、（1）若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，求C S A（2）若A={0}，求证：C N A=N*A例2、已知全集U＝R，集合A＝｛x｜1≤2x＋1＜9｝，求CUB的关系例3、已知S＝｛x｜－1≤x＋2＜8｝，A＝｛x｜－2＜1－x≤1｝，B＝｛x｜5＜2x－1＜11｝，讨论A与CS四、课堂练习1、已知全集U＝｛x｜－1＜x＜9｝，A＝｛x｜1＜x＜a｝，若A≠φ，则a的取值范围是（）（A）a＜9（B）a≤9（C）a≥9（D）1＜a≤92、已知全集U＝｛2，4，1－a｝，A＝｛2，a2－a＋2｝如果C U A＝｛－1｝，那么a的值是？3、已知全集U，A是U的子集，φ是空集，B＝C U A，求C U B，C Uφ，C U U4、设U=｛梯形｝,A=｛等腰梯形｝,求C U A.5、已知U=R ，A=｛x |x 2+3x+2<0｝, 求C U A .6、集合Ｕ=｛（x ，y ）|x ∈｛1,2｝,y ∈｛1,2｝｝ ,Ａ=｛（x ，y ）|x ∈N*,y ∈N*,x+y=3｝，求C U A .7、设全集U （U ≠Φ），已知集合M ，N ，P ，且M=C U N ，N=C U P ，则M 与P 的关系是（ ）（A ）M=C U P ； （B ）M=P ； （C ）M ⊇P ； （D ）M ⊆P .五、交集和并集1．交集的定义一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作A B （读作‘A 交B ’）， 即A B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e ｝,B={c,d,e,f}.则A B={c,d,e}．2．并集的定义一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作：A B （读作‘A 并B ’）， 即A B ={x|x ∈A ，或x ∈B})．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝．（1）交集与并集的定义仅一字之差，但结果却完全不同，交集中的且有时可以省略，而并集中的或不能省略，补集是相对于全集而言的，全集不同，响应的补集也不同；（2）交集的性质：A B B A =，A A A = ，∅=∅ A ，A B A ⊆ ，B B A ⊆ ；（3）并集的性质：A B B A =，A A A = ，A A =∅ ，B A A ⊆，B A B ⊆；（4）B A A B A ⊆⇔= ，A B A B A ⊆⇔= ；（5）集合的运算满足分配律：)()()(C A B A C B A =，)()()(C A B A C B A =；（6）补集的性质：∅=A C A u ，U A C A u = ，A A C C u u =)(；（7）摩根定律：B C A C B A C u u u =)(，B C A C B A C u u u =)(；六、典例分析例1 、设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求A B.例2 、设A=｛x|x 是等腰三角形｝，B=｛x|x 是直角三角形｝，求A B.例3 、A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求A B.例5、设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x<3｝，求A ∪B.说明：求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，两个数集的交集、并集，可通过数轴直观显示；利用韦恩图表示两个集合的交集，有助于解题例6（课本第12页）已知集合A=｛(x,y)|y=x+3｝,｛(x,y)|y=3x-1｝,求A B.注：本题中，(x,y)可以看作是直线上的的坐标，也可以看作二元一次方程的一个解．高考真题选录：一、选择题1.设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n MN =∈-=Z 则，≤≤（ ）A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 2.已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合)(B C A U 等于（ ）A ．{}|24x x -<≤B ．{}|34x x x 或≤≥C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤3.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则=)(B A C U ( )（Ａ）{}2,3 （Ｂ）{}1,4,5 （Ｃ）{}4,5 （Ｄ）{}1,54.设集合|0{8}x x N U =∈<≤，{1,2,4,5}S =，{3,5,7}T =，则=)(T C S U ( )（A ）{1,2,4} （B ）{1,2,3,4,5,7} （C ）{1,2} （D ）{1,2,4,5,6,8}5.集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ）A ．}{2,1AB =-- B ． ()(,0)RC A B =-∞C ．(0,)A B =+∞D ． }{()2,1R C A B =--6.满足M ⊆｛a 1, a 2, a 3, a 4｝,且M ∩｛a 1 ,a 2, a 3｝={ a 1·a 2}的集合M 的个数是( )（A ）1 (B)2 (C)3 (D)47.定义集合运算:{},,.A B z z xy x A y B *==∈∈设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B *的所有元素之和为( )A ．0B ．2C ．3D ．68.已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合)(B A C U 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二.填空题：1.若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}A B =，则实数a = ．2.已知集合M={}R y x x y x ∈=+-,,01 ,N={}R y x y x y ∈=+,,122 则M ⋂N=______3.已知集合P={}{}R x x y y Q R x x y y ∈+-==∈+-=,2,,22,那么P ⋂Q=____________。

子集、全集、补集练习题及答案例1 判定以下关系是否正确(1){a}{a}⊆(2){1，2，3}＝{3，2，1}(3){0}∅⊂≠(4)0∈{0}(5){0}(6){0}∅∅∈＝分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的．说明：含元素0的集合非空．例2 列举集合{1，2，3}的所有子集．分析 子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个．解含有个元素的子集有：； 0∅含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}； 含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个．说明：对于集合，我们把和叫做它的平凡子集．A A ∅例已知，，，，，则满足条件集合的个数为≠3 {a b}A {a b c d}A ⊆⊂________．分析 A 中必含有元素a ，b ，又A 是{a ，b ，c ，d}真子集，所以满足条件的A 有：{a ，b}，{a ，b ，c}{a ，b ，d}．答 共3个．说明：必须考虑A 中元素受到的所有约束．例设为全集，集合、，且，则≠4 U M N U N M ⊂⊆[ ]分析 作出4图形． 答 选C ．说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便．点击思维例5 设集合A ＝{x|x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R}，B ＝{y|y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R}，则下列关系式中正确的是[ ]A AB B A BC A BD A B ．＝．．．≠≠⊇⊂⊃分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上 x ＝5－4a ＋a 2＝(2－a)2＋1≥1，y ＝4b 2＋4b ＋2＝(2b ＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A ＝B ． 答 选A ．说明：要注意集合中谁是元素．M 与P 的关系是[ ]A ．M ＝U PB ．M ＝PC M PD M P ．．≠⊃⊆分析 可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利用补集的性质：M ＝U N ＝U (U P)＝P ；三是利用画图的方法．答 选B ．说明：一题多解可以锻炼发散思维． 例7 下列命题中正确的是[ ]A ．U (U A)＝{A}B A B B A BC A {1{2}}{2}A．若∩＝，则．若＝，，，则≠⊆⊂ϕD A {123}B {x|x A}A B ．若＝，，，＝，则∈⊆分析 D 选择项中A ∈B 似乎不合常规，而这恰恰是惟一正确的选择支．∵选择支中，中的元素，，即是集合的子集，而的子D B x A x A A ⊆集有，，，，，，，，，，，，，而∅{1}{2}{3}{12}{13}{23}{123}B是由这所有子集组成的集合，集合A 是其中的一个元素． ∴A ∈B ． 答 选D ．说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意．例8 已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C ．分析 逆向操作：A 中元素减2得0，2，4，6，7，则C 中元素必在其中；B 中元素加2得3，4，5，7，10，则C 中元素必在其中；所以C 中元素只能是4或7．答 C ＝{4}或{7}或{4，7}．说明：逆向思维能力在解题中起重要作用．例9 设S ＝{1，2，3，4}，且M ＝{x ∈S|x 2－5x ＋p ＝0}，若S M ＝{1，4}，则p ＝________．分析 本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于S M ＝{1，4}，且，≠M S ⊂ ∴M ＝{2，3}则由韦达定理可解． 答 p ＝2×3＝6．说明：集合问题常常与方程问题相结合．例10 已知集合S ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{|a ＋1|，2}，S A ＝{a ＋3}，求a 的值．S 这个集合是集合A 与集合S A的元素合在一起“补成”的，此外，对这类字母的集合问题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用．解 由补集概念及集合中元素互异性知a 应满足()1a 3 3 |a 1|a 2a 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 222＋＝①＋＝＋－②＋－≠③＋－≠④⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪或＋＝＋－①＋＝②＋－≠③＋－≠④(2)a 3a 2a 3 |a 1| 3 a 2a 3 2 a 2a 3 3 222⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 在(1)中，由①得a ＝0依次代入②③④检验，不合②，故舍去．在(2)中，由①得a ＝－3，a ＝2，分别代入②③④检验，a ＝－3不合②，故舍去，a ＝2能满足②③④．故a ＝2符合题意．说明：分类要做到不重不漏．例年北京高考题集合＝＝π＋π，∈，＝11 (1993)M {x|x k Z}N {k 24x|x k Z}＝π＋π，∈则k 42[ ]A ．M ＝NB M NC M N．．≠≠⊃⊂D ．M 与N 没有相同元素分析 分别令k ＝…，－1，0，1，2，3，…得M {}N {}M N ＝…，－π，π，π，π，π，…，＝…，π，π，π，π，π，…易见，．≠44345474423454⊂答选C．说明：判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性。

子集、全集、补集·典型例题子集、全集和补集是集合论中的重要概念，描述了集合之间的包含关系。

在这篇文档中，我们将介绍子集、全集和补集的定义及其相关的典型例题。

子集的定义在集合论中，如果一个集合A中的每个元素都是另一个集合B中的元素，那么集合A就被称为集合B的子集。

记作A ⊆ B。

换句话说，A是B的子集，意味着A中的元素都属于B。

例如，考虑两个集合A = {1, 2, 3} 和 B = {1, 2, 3, 4}。

由于A中的每个元素都属于B，因此可以说A是B的子集。

反之，B不是A的子集，因为B中包含A没有的元素4。

全集的定义全集是指包含了所有可能元素的集合。

在特定的上下文中，全集的确定可能会受到限制。

全集通常用字母U表示。

例如，在一个考虑自然数的集合论问题中，全集可能是所有自然数的集合N = {1, 2, 3, …}。

在实数集上的问题中，全集可能是所有实数的集合R。

补集的定义给定一个集合A，相对于某个全集U，与A中所有元素不同的元素构成的集合被称为A相对于U的补集，记作A’ 或 Ac。

补集中包含了全集U中不属于A的所有元素。

例如，考虑一个全集U = {1, 2, 3, 4, 5} 和一个集合A = {1, 2, 3}。

此时，A相对于U的补集，记作A’ 或 Ac，包含了U中不属于A的元素4和5。

典型例题例题1：已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A = {1, 2, 3}，集合B = {3, 4, 5}。

判断以下命题的真假：1.A ⊆ B2.B ⊆ U3.A’ = {4, 5, 6}解答：1.命题1的判断：因为A中的每个元素都属于B，所以A ⊆ B为真。

2.命题2的判断：B中的每个元素都属于U，所以B ⊆ U为真。

3.命题3的判断：A’中包含了全集U中A没有的元素4、5和6，所以A’ = {4, 5, 6}为真。

因此，命题1、2和3都为真。

例题2：已知全集U = {a, b, c, d, e, f}，集合A = {a, b, c}，集合B = {c, d, e}。

1.2 子集 全集 补集第1课时 子集一知识要点：1.子集的概念；2.补集、全集的概念.观察集合{1,2,3},{1,2,3,4,5,7}A B ==的特点，总结1．子集：对于两个集合A ，B ，如果A 中的任何一个元素都是B 的元素，则称A 是B 的子集，记为A B ⊆或B A ⊇，可形象的理解为A “不大于”B{1,2,3,9},{1,2,3,4,5,7}A B ==，记为A B ⊆/规定：∅是任何集合的子集性质：（1）A ∅⊆；（2）A A ⊆；（3）子集的个数.2．真子集：若A B ⊆，且B 中至少有一个元素A 中没有，则称A 是B 的真子集，记为A B ⊂≠，可形象的理解为A “小于”B （若A B ⊆且A B ≠，则称A 是B 的真子集） 显然，∅是任何非空集合的真子集。

3．集合的相等：若A B ⊆且B A ⊆，则称集合A 与集合B 相等，记为A ＝B 。

可形象的理解为“一样大”二.典例剖析：例1.给出以下关系：（1）{0}∅=；（2）{0}∅⊆；（3）{}∅⊆∅；（4）{}∅∈∅；（5）{1,2}{(1,2)}=，（6）{0}⊂∅≠其中正确的关系有 .例 2. 集合2{|10},{|320}A x mx B x x x =-==-+=，若A B ⊆，求实数m 的值组成的集合，并写出它的所有子集.真子集、非空真子集.例3. 设集合{1,2,3,4,5,6,7}A ⊆，且若a A ∈，则8a A -∈，试问这样的非空集合A 共有多少个？练习：1求满足条件22{|10}{|10}x x M x x ⊂+=⊆-=≠的集合M.2.满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠的集合的个数是 7 .备用：1．已知集合2{|60},{|10}A x x x B x ax =--==+=，若A B ⊆，求实数a 的取值范围，求实数a 的值组成的集合的子集的个数.（2{|8150}A x x x =-+=）2.设集合222{|40},{|2(1)10,}A x x x B x x a x a a R =+==+++-=∈，若A B ⊆，求实数a 的范围.1a ≤-或1a =3.设2{|320}A x x x =-+=，2{|20}B x x ax =-+=，若A B A = ，求实数a 的值 .解：{1,2}A =，若A B A = ，则B A ⊆；（1）B a =∅→-<<（2）B 为单元素集，无解；（3）{1,2}3B a =→=.变式：设2{|320}A x x x =-+=，2{|40}B x x ax =-+=，若A B A = ，求实数a 的值 .第2课时 全集、补集一.知识提要：1.图示法表示集合：（1）韦恩图；（2）数轴图：由韦恩图的直观性引入补集4．补集与全集：（1）全集的相对性；（2）补集的指向性；（3）U A A U = ð（1）先观察特殊例子{1,2,3},{1,2,3,4,5,7},{4,5,7}A U B ===的特点；（2）图 总结：设U 是一个集合，A 是U 的一个子集，由U 中所有不属于A 的元素构成的集合，叫A 关于U 的补集，记为{|,}U A x x U x A =∈∈/ð，而集合U 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。

辅导讲义――子集、全集、补集
[例2] 已知集合A =｛1｝，B =｛-1，2m -1｝，且A B ，则m =_______.
[巩固]集合A =｛21≤<x x ｝，集合B =｛a x x <｝，满足A B ，则实数a 的取值范围是______________.
3、子集和真子集的关系：
（1）任何一个集合是它本身的子集，但不是它本身的真子集；
（2）A ⊆B A B 或A =B .
（3）集合A =｛1，2｝，B =｛1，2，3｝，则A 是B 的子集，也是真子集，用符号A ⊆B 与A B 均可，但用A B 更
准确.
4、有限集合的子集个数
（1）由n 个元素构成的集合有2n 个子集（n ∈N*）；
（2）由n 个元素构成的集合有（2n -1）个真子集；
（3）由n 个元素构成的集合有（2n -1）个非空子集；
（4）由n 个元素构成的集合有（2n -2）个非空真子集.
[例]已知集合A =｛a ，b ，c ｝，则集合A 的非空真子集的个数是_____________.
[巩固]定义集合A -B =｛B x A x x ∉∈且｝，若M =｛1，2，3，4，5｝，N =｛0，2，3，6，7｝，则集合N -M 的真子集个数为__________.
1、全集和补集的概念
全集 如果集合U 包含我们所要的各个集合，那么这时U 可以看作是一个全集，记作U
补集
设A ⊆U ，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做U 的子集A 的补集，
记作∁U A ，读作A 在U 中的补集 符号
语言 ∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }
图示
语言
知识模块2全集、补集 精典例题透析。

子集全集补集典型例题子集、全集、补集是集合论中的重要概念，理解和掌握它们对于解决集合相关的问题至关重要。

下面通过一些典型例题来深入探讨这些概念。

例 1：已知集合 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}，集合 B ＝｛1, 2, 3}，判断集合 B 是否为集合 A 的子集。

解：因为集合 B 中的所有元素 1、2、3 都在集合 A 中，所以集合 B 是集合 A 的子集。

这里要明确子集的定义，如果集合 B 的所有元素都是集合 A 的元素，那么集合 B 就是集合 A 的子集。

例 2：设全集 U ＝｛1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，集合 A ＝｛1, 2, 3, 4}，求集合 A 的补集。

解：全集 U 中不属于集合 A 的元素为 5、6、7、8、9，所以集合 A 的补集为｛5, 6, 7, 8, 9}。

补集的概念就是在给定的全集中，除去某个集合中的元素，剩下的元素所组成的集合。

例 3：集合 M ＝｛x ｜ x ＜ 5}，集合 N ＝｛x ｜ x ＞ 2}，全集 U＝ R，求集合 M 的补集和集合 N 的补集。

解：集合 M 的补集是｛x ｜x ≥ 5}，集合 N 的补集是｛x ｜x ≤ 2}。

对于这种用不等式表示集合的情况，要注意理解实数轴上的范围来确定补集。

例 4：已知集合 A ＝｛x ｜－2 ＜ x ＜ 3}，集合 B ＝｛x ｜ 1 ＜ x ＜ 5}，全集 U ＝ R，求（∁UA）∩（∁UB）。

解：∁UA ＝｛x ｜x ≤ －2 或x ≥ 3}，∁UB ＝｛x ｜x ≤ 1 或x ≥ 5}所以（∁UA）∩（∁UB）＝｛x ｜x ≤ －2 或x ≥ 5}这道题需要先分别求出两个集合的补集，然后再求交集。

例 5：集合 P ＝｛（x, y）｜ x ＋ y ＝ 2}，集合 Q ＝｛（x, y）｜x y ＝ 4}，全集 U 为平面直角坐标系中所有点组成的集合，求∁UP 和∁UQ。

解：对于集合 P，解方程组{x ＋ y ＝ 2}可得 y ＝ 2 x，所以集合 P 表示直线 y ＝ 2 x 上的点。

1.2 子集全集补集学习目标：1．理解集合之间包含的含义，能识别给定集合是否具有包含关系；2．理解全集与空集的含义．重点难点：能通过分析元素的特点判断集合间的关系．授课内容：一、知识要点1．子集、真子集(1)子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集．即：对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则A ____B (或B ⊇A )．(2)真子集：若A ⊆B ，且A ≠B ，那么集合A 称为集合B 的真子集，记作A ___B (或B _____A )．(3)空集：空集是任意一个集合的______，是任何非空集合的____．即∅⊆A ，∅____B (B ≠∅)．(4)若A 含有n 个元素，则A 的子集有 个，A 的非空子集有 个．(5)集合相等：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B ．2．全集与补集：全集：包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ．补集：若S 是一个集合，A ⊆S ，则，S C =}|{A x S x x ∉∈且称S 中子集A 的补集． 简单性质：（1）S C (S C )=A ；（2）S C S=Φ，ΦS C =S ．二、典型例题子集、真子集1．（1）写出集合{a ，b }的所有子集及其真子集；（2）写出集合{a ，b ，c }的所有子集及其真子集．2．设M 满足{1，2，3}⊆M ≠⊂{1，2，3，4，5，6}，则集合M 的个数为 ． 3．设{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围是 ．4．若集合A ={1，3，x }，B ={x 2，1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数为 ．5．设集合M ={(x,y )|x+y <0，xy >0}和N ={(x,y )|x <0，y <0}，那么M 与N 的关系为______________．6．集合A ={x |x =a 2-4a +5，a ∈R }，B ={y |y =4b 2+4b +3，b ∈R } 则集合A 与集合B 的关系是________．7．设x ，y ∈R ，B ={(x,y )|y -3=x -2}，A ={(x,y )|32y x --=1}，则集合A 与B 的关系是_______ ____． 8．已知集合{}{}|21,,|41,,A x x n n Z B x x n n Z ==+∈==±∈则,A B 的关系是 ．9．设集合{}{}21,3,,1,,1,A a B a a a ==-+,A B =若则________=a ．10．已知非空集合P 满足：(){}11,2,3,4;P ⊆()2,5a P a P ∈-∈若则，符合上述要求的集合P 有 个．11．已知A={2，4，x 2-5x+9}，B={3，x 2+ax+a }，C={x 2+(a+1)x-3，1}．求：（1）当A ={2，3，4}时，求x 的值；（2）使2∈B ，B A ，求x a ,的值；（3）使B=C 的x a ,的值．【拓展提高】12．已知集合{}{},121|,52|-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A 满足,A B ⊆求实数m 的取值范围．⊂ ≠全集、补集1．设集合{}{}R b b y y B R a a x x A ∈+-==∈+-==,3|,,4|22，则A ，B 间的关系为 ．2．若U ={x|x 是三角形}，P ={x|x 是直角三角形}，则U C P = ．3．已知全集+=R U ，集合{}|015,,A x x x R =<-≤∈则_______.U C A =4．已知全集}{非零整数=U ，集合}},42{U x x x A ∈>+=，则=A C U ．5．设},61{},,5{N x x x B N x x x A ∈<<=∈≤=，则=B C A ．6．设全集U={1，2，3，4，5}，M ={1，4}，则U C M 的所有子集的个数是 ．7．已知全集},21{*N n x x U n ∈==，集合}*,21{2N n x x A n ∈==，则=A C U ．8．已知A A y ax y x A Z a ∉-∈≤-=∈)4,1(,)1,2(}3),{(,且，则满足条件a 的值为 ．9．设U =R ，}1{},31{+≤≤=≥≤=m x m x B x x x P 或，记所有满足P C B U ⊆的m 组成的集合为M ，求M C U ．10．（1）设全集{}{},1|,1|,+>=≤==a x x B x x A R U 且U C A B ⊆，求a 的范围．（2）已知全集{}{}{}22,3,23,2,,5,U U a a A b C A =+-==求实数b a 和的值．【拓展提高】10．已知全集}5{的自然数不大于=U ，集合}1,0{=A ，}1{<∈=x A x x B 且，}1{U x A x x C ∈∉-=且．求B C U 、C C U三、巩固练习《子集、全集、补集》1一、填空题1．已知全集U，M、N是U的非空子集，若∁U M⊇N，则下列关系正确的是________．①M⊆∁U N ②M∁U N ③∁U M＝∁U N ④M＝N2．设全集U和集合A、B、P，满足A＝∁U B，B＝∁U P，则A________P(填“”、“”或“＝”)．3．设全集U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，∁U A＝{x|x>4或x<3}，则a＝________，b＝________．4．给出下列命题：①∁U A＝{x|x/∈A}；②∁U∅＝U；③若S＝{三角形}，A＝{钝角三角形}，则∁S A＝{锐角三角形}；④若U＝{1,2,3}，A＝{2,3,4}，则∁U A＝{1}．其中正确命题的序号是________．5．已知全集U＝{x|－2011≤x≤2011}，A＝{x|0<x<a}，若∁U A≠U，则实数a的取值范围是________．6．设U为全集，且M U，N U，N⊆M，则①∁U M⊇∁U N；②M⊆∁U N；③∁U M⊆∁U N；④M⊇∁U N．其中不正确的是________(填序号)．7．设全集U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1，|a－5|,9}，∁U A＝{5,7}，则a的值为________．8．设全集U＝{2,4,1－a}，A＝{2，a2－a＋2}．若∁U A＝{－1}，则a＝______．9．设I＝{1,2,3,4,5,6,7}，M＝{1,3,5,7}，则∁I M＝________．10．若全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{2,3,4}，则由∁U A与∁U B的所有元素组成的集合为________．11．已知全集U＝{非负实数}，集合A＝{x|0<x－1≤5}，则∁U A＝________．12．已知全集U＝{0,1,2}，且∁U Q＝{2}，则集合Q的真子集共有________个．二、解答题13．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，∁U A＝{2,4,6,8}，∁U B＝{1,4,6,8,9}，求集合B．14．设全集I＝{2,3，x2＋2x－3}，A＝{5}，∁I A＝{2，y}，求x，y的值15．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|0<ax ＋1≤5}，集合B ＝{x|x ≤－12或x>2}． (1)若A ⊆∁U B ，求实数a 的取值范围；(2)集合A 、∁U B 能否相等？若能，求出a 的值；否则，请说明理由．《子集、全集、补集》2一、填空题1．已知M ＝{x|x≥22，x ∈R}，a ＝π，给定下列关系：①a ∈M ；②{a}M ；③a M ；④{a}∈M ，其中正确的是________(填序号)．2．已知集合A ⊆{2,3,7}，且A 中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．3．设集合A ＝{2,x,y}，B ＝{2x,y 2,2}，且A ＝B ，则x ＋y 的值为________．4．已知非空集合P 满足：①P ⊆{1,2,3,4,5}，②若a ∈P ，则6－a ∈P ，符合上述条件的集合P 的个数是________．5．集合M ＝{x|x ＝6－2n ，n ∈N ＋，x ∈N}的子集有________个．6．已知集合A ＝{x|ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有2个子集，则实数a 的取值是________．7．已知集合A ＝{x|0<x<2，x ∈Z}，B ＝{x|x 2＋4x ＋4＝0}，C ＝{x|ax 2＋bx ＋c ＝0}，若A ⊆C ，B ⊆C ，则a ∶b ∶c 等于________．8．已知集合A ＝{－1,2}，B ＝{x|x 2－2ax ＋b ＝0}，若B≠∅，且B A ，则实数a ，b 的值分别是________．9．以下表示正确的有________(填序号)．①{0}∈N ；②{0}⊆Z ；③∅⊆{1,2}；④Q R ．10．集合A ＝{x|0≤x<3且x ∈Z}的真子集的个数是________．11．设集合M ＝{x|－1≤x<2}，N ＝{x|x －k≤0}，若M ⊆N ，则k 的取值范围是________．12．已知集合A ＝{－1,3，m}，B ＝{3,4}，若B ⊆A ，则实数m ＝________．二、解答题13．已知集合M ＝{x|x ＝m ＋16，m ∈Z}，N ＝{x|x ＝n 2－13，n ∈Z}，P ＝{x|x ＝p 2＋16，p ∈Z}．试确定M ，N ，P 之间满足的关系．14．集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；(2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数；(3)当x∈R时，不存在元素x，使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．15．已知集合A＝{1,3，－x3}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．。

子集、全集、补集［预习自测］集合的运算运算类型交集并集补集定由所有属于A且属于由所有属于集合A或设S是一个集合，A是S 义B的元素所组成的集属于集合B的元素所的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做A,B的交组成的集合，叫做A,B 合，叫做S中子集A的补集•记作AQB （读作的并集.记作：AUB 集（或余集）'A 交B，),即AQB= （读作'A并B，）,记作C/,即{ X I X€ A,且XG B}・即AUB ={x|xeA,或xeB}).CsA 二{x|xwS,山纟A}韦(/I D) 恩C A C A图\/示 F. 1图2性AQA=A AUA二A (CuA) n (C U B)Ap e二e AU e二A二C u (AUB)质ARB^BAA AUB 二BUA (C U A) U (C U B)AABcA AUBo A =C u (A n B)AABcB AUBoB AU (GA)二UAA (GA)二 e.例1.判断以下关系是否正确：（1）｛。

匕何；（刀｛1，2,3｝ = ｛3,2,1｝；（3）0/°｝；⑷0e｛0｝；⑸0屮｝；⑹0珂0｝；例2.设A = gTv兀＜3,"Z｝,写出A的所有子集.例3.已知集合M={d,Q + d,d + 2d}, N = \a,aq,aq‘ ,其中心。

且M = N ,求§和d的值(用d 表示)•例4.设全集”={2,3,° +2d-3},人={|2°-1|,2}C〃A = {5},求实数G的值.例5.已知 A = {g<3},B = {gs}.⑴若B Q A，求Q的取值范围；⑵若AgB，求d的取值范围；⑶若c討吳C』，求d的取值范围.［课内练习］下列关系中正确的个数为( )①oe {0),②eQ{0},③{0, 1}^{ (0, 1) },④殳(a, b) } = { (b, a) }A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 42. 集合松，4,6,8}的真子集的个数是( )(A) 16 (B)15 (014 (D) 133. 集合人=｛正方形｝, 〃 = ｛矩形｝, C 二｛平行四边形｝, 0 = ｛梯丿切，则下面包含关系中不正确 的是( )(A) A ^B⑻ BuC(c) C Q D①)A U C4. 已知 M 二｛x| —2WxW5｝, N 二｛x| a+1WxW2a —1｝・ (I )若M^N,求实数a 的取值范圉； (II )若M — N,求实数a 的取值范围.［巩固提高］1.四个关系式：①0u ｛O ｝；②o*｛O ｝；③0w ｛O ｝；④0 = ｛0｝.其中表述正确的是［］ A.①,②B.①，③C. ①，④D.②，④ 2・若 U 二｛x | x 是三角形｝, p={X 1x 是直角三角形｝,则CuP = ------------------------- []A. ｛x x 是直角三角形｝B. {x | X 是锐角三角形｝C. ｛x | x 是钝角三角形｝D. {x | X 是锐角三角形或钝角三角形｝ 3.下列四个命题：①0 = ｛°｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个子集；④空集是任 何一个 集 合 的 子 集5. 若5尺，A = {g )»x}, 3-{(讪；-1},则 A,B 的关系是—[] A ・兔人 B 聂B ・A BC. A = BD.6 •设 A 二何X <5K N},B={X I 1< x <6/旳，则 C 』A. 0个B. 1个 C ・2个4・ 满足关昊{1,2} G A------------------------ [1A ・5B. 6 C・7D. 3个｛1,2,3,4,*的集合A 的个数是D. 87. U二{x | /—8x + 15 = 0,xw/?},则u 的所有子集是8.已知集合A=UI GVXV5},B = {x\x^2}且满足AcB，求实数a的取值范围.9.已知集合p 二{x | F+ —6 $ 二{x | Q + 1 =若SUP,求实数Q的取值集合.1 0.已知M 二{x | x>°，兀丘尺}, N 二{x | x> ⑦ xwR}(1) 若M匚N ,求a得取值范围：(2) 若心N ,求。

《子集、全集、补集》重点难点突破1.子集的概念.理解子集的概念，应注意以下几点：（1）“A是B的子集”的含义是：A中任意一个元素都是B中的元素，即由任意x A∈，能推出x B∈.（2）任何一个集合是它本身的子集，记作A A⊆.（3）空集是任何集合的子集，即对于任一集合A，有A∅⊆；空集是任何非空集合的真子集，即对于任一非空集合B，有B∅.（4）在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的部分元素”所组成的集合.（5）注意子集的三种语言.名称记号文字语言符号语言图形语言子集⊆若集合A的任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集若x A∈⇒x B∈，则A B⊆真子集若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不在A中，则称A是B的真子集若A B⊆且A B≠，则A B2.有限集合的子集个数.根据子集的定义，集合A是集合B的子集，即A B⊆，它可能包含几个方面：（1）A=∅；（2）A B；（3）A B=.当集合中元素个数是有限个时，其子集、真子集个数必为确定的，下面进行探讨：当元素个数为0时，即集合为∅，此时子集个数为1，真子集个数为0；当元素个数为1时，如集合{}a，此时子集个数为2，真子集个数为1；当元素个数为2时，如集合{}a b ，，此时子集个数为4，真子集个数为3；当元素个数为3时，如集合{}a b c ，，，可采用列举法写出其子集，注意写子集时可按元素从少到多的顺序来写，从而做到不重不漏，集合{}a b c ，，的所有子集如下：有0个元素的子集：∅. 有1个元素的子集：{}{}{}a b c ，，. 有2个元素的子集：{}{}{}a b a c b c ，，，，，. 有3个元素的子集：{}a b c ，，.因此集合{}a b c ，，的所有子集为：,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅. 集合{}a b c ，，的所有真子集为：,{},{},{},{,},{,},{,}a b c a b a c b c ∅. 故当元素个数为3时，其子集个数为8，真子集个数为7；同样用列举法可得：当元素个数为4时，其子集个数为16，真子集个数为15.至此，我们不难猜出：真子集个数比子集个数少1，且当元素个数为()*n n ∈N 时，有如下结论：①含有n 个元素的集合有2n 个子集； ②含有n 个元素的集合有()21n -个真子集； ③含有n 个元索的集合有()21n -个非空子集； ④含有n 个元素的集合有()22n -个非空真子集.特别注意：对于有限集A B C ，，，设集合A 中含有n 个元素，集合B 中含有m 个元素（*,, n m m n ∈<N 且）.若B C A ⊆⊆，则C 的个数为21n m --；若B C A ，则C 的个数为2n m -；若B CA ⊆，则C 的个数为21n m --；若BC A ，则C 的个数为22n m --.3.集合的图示法. （1）Venn 图.①用Venn 图表示集合间的基本关系如下：,,A B B A A B A BB AA B A B B A B A ⊆⊆⎫⊆⎫⎫⇒⇒=⎬⎬⎬≠≠⊆⎭⎭⎭②用venn 图表示集合间的基本关系ABC （如图）.（2）数轴法.对于由连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法在数轴上，若端点值是集合中的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合中的元素，则用空心点表示.例如，集合{15}xx -<∣与{3}x x ∣用数轴表示分别如图所示.注意：当集合为连续型的无限集时，它们之间是否有包含关系常常利用数轴法来判断，即在数轴上表示出各集合，通过数轴直观地做出判断.4.全集与补集.（1）补集是相对全集而言的，它与全集不可分割，一方面，不定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围.（2）补集既是集合的一种关系，同时也是集合的一种运算，求集合A 的补集的前提是A 为全集的子集，随着全集的不同，补集也会不同.（3）若x U ∈，则 Ux A x A ∈∈或，二者必居其一.（4）符号 UA 有三层意思：①A 是U 的子集，即A U ⊆；②UA 表示一个集合，且()U A U ⊆；③UA 是U 中不属于A 的所有元素组成的集合，即{UA x x U =∈∣，且x A ∉}.。

子集、全集、补集导读：本文是关于子集、全集、补集，希望能帮助到您！教学目标：（1）理解子集、真子集、补集、两个集合相等概念；（2）了解全集、空集的意义，（3）掌握有关子集、全集、补集的符号及表示方法，会用它们正确表示一些简单的集合，培养学生的符号表示的能力；（4）会求已知集合的子集、真子集，会求全集中子集在全集中的补集；（5）能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号及图形（文氏图）准确地表示出来，培养学生的数学结合的数学思想；（6）培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力．教学重点：子集、补集的概念教学难点：弄清元素与子集、属于与包含之间的区别教学用具：幻灯机教学过程设计（一）导入新课上节课我们学习了集合、元素、集合中元素的三性、元素与集合的关系等知识．【提出问题】（投影打出）已知，，，问：1．哪些集合表示方法是列举法．2．哪些集合表示方法是描述法．3．将集M、集从集P用图示法表示．4．分别说出各集合中的元素．5．将每个集合中的元素与该集合的关系用符号表示出来．将集N中元素3与集M的关系用符号表示出来．6．集M中元素与集N有何关系．集M中元素与集P有何关系．【找学生回答】1．集合M和集合N；（口答）2．集合P；（口答）3．（笔练结合板演）4．集M中元素有－1，1；集N中元素有－1，1，3；集P中元素有－1，1．（口答）5．，，，，，，，（笔练结合板演）6．集M中任何元素都是集N的元素．集M中任何元素都是集P的元素．（口答）【引入】在上面见到的集M与集N；集M与集P通过元素建立了某种关系，而具有这种关系的两个集合在今后学习中会经常出现，本节将研究有关两个集合间关系的问题．（二）新授知识1．子集（1）子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A 的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。

记作：读作：A包含于B或B包含A当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作：A B或B A．性质：①（任何一个集合是它本身的子集）②（空集是任何集合的子集）【置疑】能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合？【解疑】不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合．因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的．空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元素．由此也可看到，把A是B的子集解释成A是由B的部分元素组成的集合是不确切的．（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A 的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。