北师大版八上专项分类训练(一)(汉字与词语)

第一章勾股定理1探索勾股定理第1课时勾股定理知识点一认识勾股定理精练版P1我们可以通过求网格中大正方形的面积来探索勾股定理．在求正方形网格中大正方形的面积时，一般采用数格子和图形割补两种方法：数格子时，直接数出大正方形内部所包含的完整的小方格的个数，将不足一个方格的部分进行适当拼凑，拼出若干个完整的小方格，将它们相加即可；图形割补时，通常是将图形分割成几个格点三角形和几个网格正方形，再将所分割成的各三角形和网格正方形的面积求出来相加即可．勾股定理的定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.例1如图①，在直角三角形外部作出3个正方形．(1)正方形A中含有________个小方格，即A的面积是________；(2)正方形B中含有________个小方格，即B的面积是________；(3)正方形C中含有________个小方格，即C的面积是________；(4)如果用S A，S B，S C分别表示正方形A，B，C的面积，那么它们之间的关系是：______________；(5)如图②中是否仍然存在着这样的关系？解析：通过观察、拼凑可以直接得出图中A，B，C三个正方形的面积及它们之间的关系，再按照同样的方法计算图②中几个正方形的面积，发现同样满足这个关系．解：(1)1616(2)99(3)2525(4)S A＋S B＝S C(5)图②中，S A′＝1，S B′＝9，S C′＝10，所以仍然有S A′＋S B′＝S C′.知识点二勾股定理的简单应用精练版P11．已知直角三角形的两边求第三边．2．已知直角三角形的一边，确定另两边的关系．3．证明线段的平方关系．例2如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了________米的路，却踩伤了花草．解析：根据勾股定理求得AB的长，再进一步求得少走的路的米数，即(AC＋BC)－AB.在Rt△ABC中，AB2＝BC2＋AC2，AC＝3米，BC＝4米，则AB＝AC2＋BC2＝5米，所以他们仅仅少走了AC＋BC－AB＝4米．答案：4第2课时勾股定理的验证及其应用知识点一勾股定理的验证精练版P2勾股定理的证明方法较多，中外数学史上关于勾股定理的证明一般是用拼图法来验证的．一般步骤如下：拼出图形→找出图形面积的表达式→建立等量关系→恒等变形→推导出勾股定理．如图(1)．因为S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，所以(a＋b)2＝4×12ab＋c2，所以a2＋b2＝c2.如图(2)．因为S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，所以c2＝4×12ab＋(b－a)2，所以c2＝a2＋b2.如图(3)．因为S梯形＝2S小三角形＋S大三角形，所以12(a＋b)(a＋b)＝2×12ab＋12c2，整理，得a2＋b2＝c2.知识点二勾股定理的应用精练版P21．勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的关系．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，则斜边AB称为弦，较短直角边BC称为勾，较长直角边AC称为股，BC2＋AC2＝AB2.这就是勾股定理．2．应用勾股定理时要注意：(1)勾股定理成立的前提条件是“直角三角形”，在锐角三角形和钝角三角形中不存在这一结论．(2)应用勾股定理时应分清直角边与斜边．在一些Rt△ABC中，斜边未必是c.(3)应用勾股定理进行计算时，若没有明确直角边与斜边，应分类讨论．例1“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为()A．3B．4C．5D．6解析：观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积－4个直角三角形的面积，利用已知(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．因为(a＋b)2＝21，所以a2＋2ab＋b2＝21，因为大正方形的面积为13，2ab＝21－13＝8，所以小正方形的面积为13－8＝5.故选C.答案：C易错点没有明确直角边和斜边用勾股定理时，若题目没有指明谁是斜边，应按未知边是斜边或是直角边两种情况分类讨论．例2在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，求AB2.解：当AB 为斜边时，AB 2＝AC 2＋BC 2＝225；当AB 为直角边时，AB 2＝BC 2－AC 2＝63.所以AB 2为225或63.注意：此题易错误地认为AB 2＝225.原因是没有分清AB 边是直角边还是斜边，只是模糊地记住了勾股定理的原形，而没有注意到题目中并没有给出明确的条件．因此，对于此类问题我们应该分情况讨论．2 一定是直角三角形吗知识点一 勾股定理的逆定理精练版P3如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．(此判别条件也称为勾股定理的逆定理) 利用三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是不是直角三角形，把数与形有效地统一起来，体现了数形结合的数学思想．温馨提示：(1)在判别一个三角形是不是直角三角形时，a 2＋b 2是否等于c 2需通过计算说明，不能直接写成a 2＋b 2＝c 2.(2)验证一个三角形是不是直角三角形的方法是：当(较小边长)2＋(较大边长)2＝(最大边长)2时，此三角形为直角三角形；否则，此三角形不是直角三角形．例1 判断由线段a ，b ，c 组成的三角形是否为直角三角形． (1)a ＝4，b ＝5，c ＝6； (2)a ∶b ∶c ＝3∶4∶5.解：(1)因为a 2＋b 2＝42＋52＝41，c 2＝36，a 2＋b 2≠c 2，所以由线段a ，b ，c 组成的三角形不是直角三角形． (2)设a ＝3k ，b ＝4k ，c ＝5k (k ≠0)． 因为a 2＋b 2＝(3k )2＋(4k )2＝25k 2， c 2＝(5k )2＝25k 2， 所以a 2＋b 2＝c 2，所以由线段a ，b ，c 组成的三角形是直角三角形． 知识点二 勾股数精练版P3满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数，称为勾股数．常见的勾股数有：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15；⑦9，40，41.勾股数有无数组．一组勾股数中，各数的相同整数倍得到一组新的勾股数，如：3，4，5是勾股数，9，12，15也是勾股数．温馨提示：勾股数必须都是正整数，如：0.3，0.4，0.5，尽管有0.32＋0.42＝0.52成立，但它们都是小数，因而不是勾股数．例2 判断下列各组数是不是勾股数：(1)3，4，7；(2)5，12，13；(3)13，14，15；(4)3，－4，5.解析：判断的时候，要紧扣两个条件：(1)是否符合a 2＋b 2＝c 2，即两个较小数的平方和是否等于最大数的平方；(2)它们是不是正整数．解：(1)因为32＋42≠72，所以3，4，7不是勾股数．(2)因为52＋122＝132，所以5，12，13是勾股数．(3)中的各数都不是正整数，所以这组数不是勾股数．(4)虽然32＋(－4)2＝52，但－4不是正整数，所以这组数不是勾股数．注意：判断勾股数的方法步骤：(1)确定三个数是正整数；(2)确定出最大数；(3)计算较小两数的平方和是否等于最大数的平方．易错点运用边的关系识别直角三角形时，忽视最大边，从而造成判断错误运用直角三角形的判别条件判断一个三角形是否为直角三角形时，首先要确定最长边，不能盲目地计算或想当然地认为某一边为最长边．例3已知三角形的三边长分别是m2－1，2m，m2＋1(m为大于1的自然数)，试判断这个三角形的形状．解：因为(m2－1)2＋(2m)2＝m4－2m2＋1＋4m2＝m4＋2m2＋1，(m2＋1)2＝m4＋2m2＋1，所以(m2－1)2＋(2m)2＝(m2＋1)2，所以此三角形为直角三角形．注意：此题易认为2m为最大边，得到(m2－1)2＋(m2＋1)2≠(2m)2，从而得出三角形不是直角三角形的错误结论．在做此类题时，一定要找准最大边．3勾股定理的应用知识点一确定几何体上的最短路线精练版P5柱体和长方体的展开图是一个长方形．求柱体或长方体上两点之间最短距离，需要把柱体或长方体展开成平面图形，依据两点之间线段最短，以最短路线为边构造成直角三角形，再利用勾股定理求解．例1有一个圆柱形油罐，如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，问梯子最短需要多长？(已知油罐的底面周长是12m，高AB是5m)解：将圆柱形油罐的侧面沿AB剪开展成一个平面图形，如图所示，沿AB′建梯子最节省材料(两点之间，线段最短)．由已知得AB＝5m，BB′＝12m.在Rt△ABB′中，AB′2＝AB2＋BB′2＝52＋122＝132(m2)，所以AB′＝13m.因此所建的梯子最短需要13m.注意：由于梯子要绕着曲面建，因此最短路线应将曲面展成平面后，再依据“两点之间，线段最短”来确定．知识点二利用勾股定理解决生活中的长度问题精练版P5由勾股定理的知识，可以解决与直角三角形相关的一些实际问题．在解决实际问题时，应具体问题具体分析，将生活中的问题转化为数学问题，利用勾股定理加以解决．勾股定理的逆定理主要用来说明一个三角形为直角三角形．在实际问题中，有些线段的求解、角的求解在很大程度上转化为在直角三角形内求解．因此，熟练地判断一个三角形是否为直角三角形是首先要解决的问题．例2小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．解析：根据题意寻找出绳子长度与旗杆高度之间的关系，设未知数，利用勾股定理构造方程．解方程求得结论．解：设旗杆高x米，则绳长(x＋1)米．依题意，得x2＋52＝(x＋1)2，解得x＝12.即旗杆的高度为12米．易错点将长方体展开时，忽视展开方式不唯一对长方体来说，由于一般情况下，长、宽、高不相等，则展开得到的距离也不相同，故对此问题应把可能出现的情况考虑全，分别计算，经过比较求出最短距离．例3有一个长方体纸盒，如图所示，小明所在数学小组研究由长方体的底面A点到长方体中与A点相对的B点的最短距离，若长方体的底面长为12，宽为9，高为5，请帮助该小组求出由A点到B点的最短距离．(参考数据：21.592≈466，19.242≈370，18.442≈340)解：将四边形ACDF与四边形DCEB展开在同一平面，如图(1)所示．在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2＝AE2＋BE2＝(12＋9)2＋52＝466；同理，由图(2)，得AB2＝AC2＋BC2＝122＋(9＋5)2＝340；由图(3)，得AB2＝AD2＋BD2＝(12＋5)2＋92＝370.因为340＜370＜466，所以最短距离为图(2)所示线段AB的长度，AB≈18.44.注意：解决长方体相对顶点表面最短距离问题，要全面考虑，先将所有路线都找出来，避免出现漏解，再通过计算找到最短路线．章末知识汇总类型一勾股定理与面积的综合应用例1已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰直角三角形ACD，再以△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰直角三角形ADE，…，依此类推，第7个等腰直角三角形的面积是________，第n个等腰直角三角形的面积为________．解析：要求等腰直角三角形的面积，只需求腰长的平方即可．S1＝12·AB·BC＝12，由勾股定理得，AC2＝AB2＋BC2＝2，AD2＝AC2＋DC2＝2＋2＝4，AE2＝AD2＋DE2＝4＋4＝8，所以S2＝12·AC2＝1，S3＝12·AD2＝2，S4＝12·AE2＝4.由此可得S7＝25＝32，S n＝2n－2.答案：322n－2注意：等腰直角三角形的面积是腰长平方的一半，利用整体代换解决．整体代换是数学一种重要方法．类型二直角三角形判定方法的实际应用例2如图所示，点A是一个半径为400m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C两个村庄，现要在B，C 两村庄之间修一条长为1000m的笔直公路将两村连通，经测量得AB＝600m，AC＝800m，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算说明．解：因为AC2＋AB2＝8002＋6002＝10002＝BC2，所以△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°.过点A作AD⊥BC，垂足为D.如图所示．因为S△ABC＝12×AB×AC＝12×AD×BC，所以AD＝AB×ACBC＝600×8001000＝480(m)．因为480m＞400m，所以此公路不会穿过该森林公园．注意：(1)根据“垂线段最短”只需计算最短距离．(2)求直角三角形斜边上的高经常用“等面积法”．类型三利用勾股定理解决实际生活中的最值问题例3如图，A，B两个小镇在河流l的同侧，到河的距离分别为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流l上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？解：如图所示，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交CD于点M，点M即为所求．连接AM，则MA＋MB最小．作A′E⊥BD交BD的延长线于点E.在直角三角形A′BE中，A′E＝30千米，BE＝BD＋DE＝BD＋AC＝40千米，由勾股定理A′B2＝A′E2＋BE2＝302＋402，所以A′B＝50千米．所以MA＋MB＝A′M＋BM＝A′B＝50千米，修管道的费用为50×3＝150(万元)．注意：(1)解决实际问题时，应将实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型．(2)费用最少即要求管道最短，问题便转化为“在直线CD同侧有两点A，B，试在CD上找一点M，使MA＋MB最小”．探究中要把握问题的实质，注意问题的转化．第二章实数1认识无理数知识点一非有理数的存在精练版P9整数和分数统称为有理数．随着研究的深入，人们发现了不是有理数的数，比如面积为5的正方形的边长，设该正方形的边长为x，则x2＝5，这里x既不是整数，也不是分数，也就是说没有一个有理数的平方是5，现实生活中存在着大量的不是有理数的数．例1以下各正方形的边长不是有理数的是()A．面积为49的正方形B．面积为916的正方形C．面积为8的正方形D．面积为1.21的正方形解析：可设边长为a(a＞0)，由A项得a2＝49，49＝72，所以a＝7；由B项得a2＝916，而916＝⎝⎛⎭⎫342，所以a＝34；由D项得a2＝1.21，而1.21＝1.12，所以a＝1.1；由C项得a2＝8，8不能写成一个整数或分数的平方．答案：C知识点二估计数值的大小精练版P9用x表示正方形的边长，若x2＝2，则x既不是整数，也不是分数，我们可以用无限逼近的方法估计x的值，从而求出x的近似值．方法：因为1＜2＜4，所以1＜x＜2，即x的整数位是1.又因为1.42＝1.96，1.52＝2.25.而2在1.42与1.52之间，所以x的十分位上的数是4，用同样的方法可以确定其他数位上的数．例2已知直角三角形的两直角边长分别是9cm和5cm，斜边长是x cm.(1)估计x在哪两个整数之间．(2)如果把x的结果精确到十分位，估计x的值．如果精确到百分位呢？用计算器验证你的估计值．解析：此题首先根据勾股定理求出x2，再看x2的值介于哪两个完全平方数之间，其他数位依次类推．解：根据条件，得x2＝92＋52＝106.(1)因为100＜106＜121，所以100＜x2＜121，所以10＜x＜11，即x在整数10和11之间．(2)因为10.292＝105.8841，10.302＝106.09，所以10.292＜106＜10.302，所以精确到十分位时，x≈10.3.又因为10.2952＝105.987025，10.2962＝106.007616，所以10.2952＜106＜10.2962，所以10.2952＜x2＜10.2962，所以精确到百分位时，x≈10.30.注意：本题采用了无限逼近的方法，即将x的范围逐渐缩小，使得x2越来越接近某个数，渗透了用有理数近似地表示无理数的思想．知识点三无理数的概念精练版P9无限不循环小数称为无理数．例如，圆周率π＝3.14159265…是一个无限不循环小数，因此它是一个无理数．再如，0.989889888988889…(相邻两个9之间8的个数逐次加1)也是无理数．温馨提示：(1)无理数是一种与有理数不同的数，要区分“无限不循环小数”与“无限循环小数”的差别，前者不能化为分数，后者可以化为分数．事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．(2)小数的分类：小数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫有限小数无限循环小数有理数无限不循环小数——无理数例3 227，0.2·03·，－π7，2.3131131113，－0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)中无理数的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：－π7，－0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无理数，227，0.2·03·，2.3131131113是有理数．答案：A注意：π是无限不循环小数，是无理数，－π7不是分数，是一个无理数．易错点 错把π当成有理数，把无限循环小数当成无理数 π是无理数，无理数除以非零有理数仍是无理数，无限循环小数为有理数，区别有理数与无理数时，应注意观察所给的数据． 例4 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0．1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，－119180，345.202·，π2.解：有理数：－119180，345.202·；无理数：0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，π2.注意：学生很容易把π2看成有理数，以为它是分数，事实上，它是一个无理数．也很容易把345.202·看成无理数，错误原因是对无理数的概念认识不清，误以为无限小数都是无理数，事实上，只有无限小数中的无限不循环小数才是无理数．2 平方根知识点一 算术平方根的概念与性质精练版P11定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为a ，读作“根号a ”．温馨提示：(1)特别地，我们规定0的算术平方根是0，即0＝0.(2)负数没有算术平方根，也就是说，当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数．(3)a (a ≥0)是一个非负数．例1 求下列各数的算术平方根：(1)400；(2)2536；(3)13.解析：因为求一个非负数的算术平方根的运算与正数的平方运算是互逆的，所以我们可以借助平方运算来求这些数的算术平方根．解：(1)因为202＝400，所以400的算术平方根是20. (2)因为⎝⎛⎭⎫562＝2536，所以2536的算术平方根是56. (3)13的算术平方根是13.注意：(1)在求a 的算术平方根时，若a 是有理数的平方，a 的算术平方根就不带根号；若a 不是有理数的平方，a 的算术平方根就带有根号，如13.(2)由于求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算，所以熟记常用完全平方数对求一个数的算术平方根有着事半功倍的效果．知识点二 平方根的概念与性质精练版P111．定义：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根)． 2．性质：一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．温馨提示：一个正数a 必有两个平方根，一个是a 的算术平方根a ，另一个是－a ，它们互为相反数，这两个平方根合起来可以记作±a ，读作“正、负根号a ”．例2 判断下列各数是否有平方根．若有，求出其平方根；若没有，请说明理由． (1)169；(2)(－1)2；(3)(－1)3.解析：根据平方根的性质判断一个数是否有平方根；根据平方根的定义可直接化简求值． 解：(1)因为169＞0，所以169有平方根．因为(±13)2＝169，所以169的平方根是±13，即±169＝±13. (2)因为(－1)2＝1＞0，所以(－1)2有平方根．因为(±1)2＝1，所以1的平方根是±1，即±（－1）2＝±1. (3)因为(－1)3＝－1＜0，所以(－1)3没有平方根．注意：判断一个数有没有平方根，就是确定该数的性质符号(是正数、负数或零)． 知识点三 开平方精练版P11定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数．温馨提示：(1)开平方时，被开方数a 必须是非负数．(2)平方根是数，是开平方的结果；而开平方是一种运算，是求平方根的过程．(3)平方和开平方的关系是它们互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确．例3 (1)(16)2等于多少？(2)⎝⎛⎭⎫9252等于多少？ (3)5.52等于多少？ (4)（－2）2等于多少？解析：从算术平方根的定义出发，可直接推出结果． 解：(1)(16)2＝42＝16.(2)⎝⎛⎭⎫9252＝⎝⎛⎭⎫352＝925. (3)5.52＝30.25＝5.5. (4)（－2）2＝4＝2.P111.a 2＝|a |，即当a ≥0时，a 2＝a ，当a ＜0时，a 2＝－a . 2．(a )2＝a (a ≥0)．温馨提示：(1)a 的取值范围不同，公式(1)中a 的取值可以是正数，可以是负数，也可以是0，而公式(2)中a 的取值是非负数．(2)运算顺序不同，公式(1)中a 先平方再开平方，而公式(2)中a 先开平方再平方． 例4 求下列各式的值：(1)(7)2；(2)（－7）2；(3)（2－x ）2(x ＞2)． 解析：对于a 2与(a )2(a ≥0)这两种形式要注意区分． 解：(1)(7)2＝7.(2)（－7）2＝|－7|＝7.(3)因为x ＞2，所以 2－x ＜0，所以（2－x ）2＝|2－x |＝－(2－x )＝x －2. 注意：运用a 2＝|a |化简时，一定要先判断出a 的符号，然后才能化简．易错点 不完全理解题意而出错若“算术平方根”和“平方根”两个概念出现在一个题中，或在同一题中两次出现同一概念，应注意进行两步运算．如：求16的平方根时，先要计算16＝4，再求4的平方根．例536的算术平方根是________．解析：36＝6，6的算术平方根是6，所以36的算术平方根是6. 答案：6注意：本题易将36的算术平方根误认为是36的算术平方根，而得到错误答案6.本题实际上是求6的算术平方根．3 立方根知识点一 立方根的概念与性质精练版P131．立方根的概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3＝a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根或三次方根，例如：53＝125，则5是125的立方根．2．表示方法：数a的立方根用符号3a表示，读作“三次根号a”，其中a叫做被开方数，3是根指数．注意根指数“3”不能省略．3．立方根的性质：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根是0.例1下列说法正确的是()A．64的立方根是2B．125216的立方根是±56C．(－1)2的立方根是－1D．－3是27的立方根解析：因为64＝8，所以64的立方根是2，故A选项正确．任何数只有一个立方根，排除B选项．正数的立方根为正数，故排除C，D选项．答案：A知识点二开立方精练版P131．定义：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算．2．重要公式：①(3a)3＝3a3＝a；②3－a＝－3a.运用这两个公式求负数的立方根时，可先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可，即三次根号内的负号可以移到根号外面．例如：3－125＝－3125＝－5.例2求下列各数的立方根：(1)30.064；(2)3－27.解：(1)30.064＝30.43＝0.4.(2)3－27＝3（－3）3＝－3.知识点三立方根与平方根的区别与联系精练版P131．区别：(1)平方根的根指数是2，能省略，立方根的根指数是3，不能省略．(2)平方根只有对非负数才有意义，而立方根对任何数都有意义，且每个数都只有一个立方根．(3)正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个．2．联系：(1)都与相应的乘方运算互为逆运算．(2)都可归结为非负数的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究，即3－a＝－3a.例3一个数的平方等于64，则这个数的立方根是________．解析：因为(±8)2＝64，所以这个数为±8，3±8＝±2.答案：±2易错点错把3a的立方根当成a的立方根做开方运算时要认准被开方数，如求81的立方根，被开方数是81，而不是81.例4364的立方根是________．解析：因为364＝4，所以364的立方根是34.答案：34注意：本题容易把364的立方根误以为是64的立方根，从而得错解为4，解题时应先求出364＝4，再求4的立方根．4估算知识点一估算法确定无理数的大小精练版P171．估算是现实生活中一种常用的解决问题的方法．很多情况下需要去估算无理数的近似值，估算无理数经常用到“夹逼法”，即通过平方运算或立方运算，通过两边无限逼近，逐渐夹逼，确定其所在范围．2．“精确到”与“误差小于”的意义的区别：如精确到1m，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m，答案在其值左右1m都符合题意，答案不唯一．一般情况下，误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位．例1870≈40正确吗？说明你的理由．解：因为402＝1600＞870，所以40＞870，且差别太大，所以870≈40不正确．知识点二比较两个无理数的大小的方法精练版P171．估算法：用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，在比较大小时，一般先采用分析的方法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较．例2比较10－34与14的大小．解：因为3＜10＜4，所以0＜10－3＜1，所以0＜10－34＜14.2．求差法：若a－b＞0，则a＞b；若a－b＜0，则a＜b.对于上例：因为10－34－14＝10－44＜0(因为3＜10＜4)，所以10－34＜14.3．平方法(或立方法)：当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：若a＞b≥0，则a＞b；若a＞b，则3a＞3b.例3比较26和33的大小．解：因为(26)2＝24，(33)2＝27，所以26＜33.易错点比较两个含根号的无理数的大小时，误认为只比较被开方数的大小比较两个含根号的无理数的大小，可以先确定它们的整数部分，进行比较，若无法比较，则再估计十分位后比较，直到得出结论为止．也可将两数同时平方，比较平方后的数的大小即可得出结果．例4 比较大小：27与72.解：因为2＜7＜3，所以4＜27＜6.因为72＞7，所以27＜72. [或(27)2＝28，(72)2＝98，28＜98，即27＜72]注意：解本题时易认为被开方数7大于2，而得到错误的答案27＞72，因为2＜7＜3，1＜2＜2，所以27＜6，72＞7，即27＜72.因此比较两个无理数的大小时要比较它们结果的大小，不能仅比较被开方数的大小．另外本题中2与7，7与2之间是乘积的关系．5 用计算器开方知识点一 利用计算器开方精练版P18 利用计算器开方按键顺序：用计算器开方⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧开平方⎩⎪⎨⎪⎧先按“□”键 再输入被开方数再按“＝”键最后按“S ⇔D ”键开立方⎩⎨⎧先按“SHIFT ”键再按“□”键再输入被开方数最后按“＝”键例1 用计算器求下列各式的值(结果精确到千分位)．(1)3.1；(2)35. 解：(1)按键顺序：□3·1＝S ⇔D ，显示1.760681…因为结果精确到千分位，所以答案为1.761. (2)按键顺序：SHIFT □5＝，显示1.709976…因为结果精确到千分位，所以答案为1.710. 知识点二 利用计算器进行较复杂的计算精练版P18此类问题要注意根号下相乘除(或相加减)的按键顺序，切记“π”值的按键顺序． 例2 求5×6－π的值．解：按照教材中型号的计算器的按键顺序为□5×6⊳－SHIFT ×10x ＝，则5×6－π的值显示的结果为2.335632921.注意：使用计算器进行混合运算时，在运算过程中，要按照算式的书写顺序从左到右按键输入算式，不同的计算器按键顺序有所不同，如有的计算器按照□（5×6）－SHIFT EXP ＝的按键顺序显示2.335632921，按此方法按键要注意该加括号时加括号．易错点 在求和、差、积、商的算术平方根或立方根时易出错在用计算器求和、差、积、商的算术平方根或立方根时，要注意按键顺序，在不同型号的计算器中按键顺序有所不同，有的要注意括号的作用，按键时要加括号．例3 用计算器求7＋1的值．(精确到千分位) 解：按键：□（7＋1）＝S ⇔D ，显示2.828427125，精确到千分位是2.828.注意：在求“和、差、积、商”的算术平方根、立方根时，特别容易出现错误，不同型号的计算器使用时按键顺序不同，有的容易漏掉括号等导致答案错误．6 实 数知识点一 实数的概念及分类精练版P19 1．实数的概念：有理数和无理数统称为实数．2.实数的分类⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧按定义分⎩⎪⎨⎪⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数0负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧正分数负分数有限小数和无限循环小数无理数→无限不循环小数按大小分⎩⎪⎨⎪⎧正实数⎩⎪⎨⎪⎧正有理数⎩⎪⎨⎪⎧正整数正分数正无理数零负实数⎩⎪⎨⎪⎧负有理数⎩⎪⎨⎪⎧负整数负分数负无理数例1 有一个数值转换器，原理如图，当输入的x 为64时，输出的y 是( )A ．8B ．8C ．64D ．3解析：输入64，则输出64＝8，8是有理数，第二次输入8.输出8，8是无理数．故选B .。

专项分类训练〔一〕〔汉字与词语〕时间：分钟总分为：分、汉字1 •请给如下加点的字注音。

〔 6分〕虹霓〔 〕 贮蓄 〔 〕 搭讪〔 〕荒豕〔 〕 腹部〔 〕 蜕化〔〕铁骑〔 〕烽燧 〔〕 蕴藉（）篡集（）教导 〔 〕妖冶〔 〕《论语》〔 〕卑鄙 〔 〕 歃血〔〕惩罚〔 〕 狡黠 〔 〕 萧瑟〔〕 绯红〔 〕 炽热〔 〕 拂拂〔 〕俯瞰〔〕无羁〔 〕 瑰丽〔 〕 簇拥〔〕矗起〔〕 饱饫〔 〕 醒豁〔 〕 飒飒 〔 〕 驰骋〔〕横旦〔 〕 消翳〔〕四隅〔 〕无餍〔〕 惊骇〔 〕 甲胄〔〕复拟 〔 〕怄气〔〕婆娑 〔〕纸篓〔〕粗犷 〔 〕 摩挲〔 〕羌笛〔〕锦衾〔〕粗犷〔〕飒然〔 〕散入〔〕狐裘〔〕 膂力〔 〕恣情〔: 〕叨扰〔〕长髯〔〕 敕令（ )缱绻〔〕 〔 〕逶迤〔 〕〔 〕褶皱〔〕〔 : 〕 喑哑〔〕〔 〕岑参〔 〕〔〕影影绰绰〔丨所向披靡. 〔〕纵横捭阖〔〕 流水潺潺（)援弓缴而射〔〕 顺手攫来〕 潜心入肺〔〕风掣红旗 〔 〕捉襟见肘〔〕引吭咼歌 〔〕2 •根据拼音写汉字y 。

帖静mi 涟y ij i绊富sh up do xi copi e h cnsh i 好l eng 头 1in 惜干bi e尘z 1饱y u 毛p 1m i men机yu印精p 1X 1zh 1息肃m u 天qi eng sh□光X 1 微P a 跚温x U nji eng然不同s 1无忌d cn shm然泪下不可e止心无旁w u众目ku i ku i陈腔1 cn调明眸善1 c破f U沉舟目不xi a接l 1 l 1可数3 •辨析如下多音字并组词。

〔〕〔〕度一—〔〕和-—〔〕〔〕、词语4•找出下面四字词语中的错别字并改改〔画出并改正〕_____晃然大悟 ______ 全神惯注______ 回光反照________ 焦燥不安______ 莽莽沧沧明眸善莱人赃具获煞有戒事当人不让苦心孤旨哀鸿片野哀声叹气安如盘石按步就班按图索冀按营扎寨暗度陈仓暗然神伤暗习水战敖敖待哺白璧微暇百无聊懒搬门弄斧板上走丸拌脚石饱经苍桑暴燥如雷暴诊天物卑恭屈膝蔽帚自珍筚路篮缕鞭僻入里编篡辞典变本加利变换莫测别出机抒别出心才兵慌马乱禀公办事病入膏盲并行不背不辨黍麦不嗤下问不动生色不泛其人不分轩至不寒而粟不记其数不径而走不堪之论不可明状不可思义不适时机不修边辐布署工作残绝人寰此系膺品惨酷无情苍海一粟草管人命斛筹交织层峦迭嶂插科打浑缠绵悱侧长嘘短叹超群绝纶撒销处分陈词烂调趁心如意成绩蜚然承前起后痴心忘想驰聘疆场耻之以鼻赤博上阵叱诧风云重蹈复辙出类拔粹出奇至胜触膝谈心揣揣不安鸠占雀巢穿流不息吹毛求庇唇焦口躁戳发难数打躬作楫大相径廷大学肆业大言不馋大义禀然大有稗益待价而估惮精竭虑得降望蜀调以轻心定期会悟读书扎记读职有罪短小精干断璧颓桓掇句成文多多亦善恶意咀咒耳儒目染耳题面命尔愚我诈富丽堂黄无以纶比无用讳言翻复无常反响意见方兴未止防碍交通防微杜暂飞扬拔扈分廷抗礼纷至踏来奋笔急书愤发图强愤起直追丰功伟迹封妻阴子蜂涌而来锋芒必露风驰电制风光奇旎风糜一时风声鹤戾风雨如海凤毛鳞角敷演塞责斧底抽薪付庸风雅负偶顽抗改弦更章甘败下风甘冒不讳感人肺俯钢柔相济5.解释下面词语惆怅： ________________________________________________________________________面面相觑： __________________________________________________________________________怨天尤人： __________________________________________________________________________所向披靡： __________________________________________________________________________栩栩如生： __________________________________________________________________________捉襟见肘： __________________________________________________________________________风和日丽： __________________________________________________________________________肆无忌惮： __________________________________________________________________________引吭高歌： __________________________________________________________________________漫不经心： __________________________________________________________________________广阔无垠： __________________________________________________________________________不求甚解： __________________________________________________________________________正襟危坐： __________________________________________________________________________心无旁骛： __________________________________________________________________________不约而同： __________________________________________________________________________一丝不苟： __________________________________________________________________________虚怀假如谷： __________________________________________________________________________迥然不同： __________________________________________________________________________微不足道： __________________________________________________________________________石破天惊： __________________________________________________________________________斗志昂扬： __________________________________________________________________________惊涛骇浪： __________________________________________________________________________四、词语辨析与选择6.依次填入如下句子横线处的词语最恰当的一项为哪一项〔〕（3分）〔1）那_____ 的光柱又向前移动了，带着一种肃穆的欢悦，向上飞似的拥出了一轮朝日。

专项训练一字音、字形和词语1.下列加点字的注音全都正确的一项是()A.晶莹．(yíng)赋．闲(fù)蹒跚．(shān)栅．栏(zhà)B.摄．取(niè)兴．味(xìng)虬．枝(qiú)蔓．延(màn)C.洗涤．(dí)凋．谢(diāo)享．受(xiǎng)辟．邪(pì)D.擦拭．(shì)记载．(zǎi)残．损(cán)绢．本(juān)2.下列加点字的注音全都正确的一项是()A.秀颀．(qí)黝．黑(yòu)畸．形(qí)一丝不苟．(gǒu)B.酷．似(kù)恶劣．(liè)窒．息(zhì)屏息敛．声(liǎn)C.隧．道(suì)悄．然(qiāo)由衷．(zhōng)摧枯拉朽．(xiǔ)D.濒．临(bīng)镌．刻(juān)匿．名(nì)恹．恹欲睡(yān)3.下列加点字的注音全都正确的一项是()A.绯．红(fēi)倔．强(juè)颁．发(bān)坦荡如砥．(dǐ)B.苔．痕(tái)佃．农(tián)要挟．(xié)惨绝人寰．(yuán)C.丘壑．(hè)骤．雨(zhòu)脸颊．(jiá)藏污纳垢．(gòu)D.酒肆．(sì)冗．长(róng)斟酌．(zhuó)意趣盎．然(àng)4.下列加点字的注音全都正确的一项是()A.匀称．(chèng)仲．裁(zhòng)颓．唐(tuí)自出心裁．(cái)B.轩．榭(xuān)沉檀．(tán)遏．制(è)春寒料峭．(qiào)C.岔．道(chà)田畴．(chóu)遒劲．(jìn)初来乍．到(zhà)D.镂．空(lòu)诘．责(jí)纤．维(xiān)摩肩接踵．(zhǒng)5.下列词语中,没有错别字的一项是()A.题跋凌空凛冽眼花潦乱B.监视操纵顾忌震聋发聩C.馈退坠毁婆娑惮精竭虑D.黏土遗嘱跳蚤白手起家6.下列词语中,没有错别字的一项是()A.愚钝辍学照像馆抑扬顿挫B.茸毛蒙昧解剖学鹤立鸡群C.滞留教悔赤裸裸广袤无垠D.侏儒藉贯荧光屏连绵不断7.下列词语中,有错别字的一项是()A.车辙交卸游逛器宇轩昂B.倦怠桥墩星辰张目结舌C.牛犊私塾深渊俯仰生姿D.缰绳开垦吆喝为富不人8.下列词语中,没有错别字的一项是()A.点缀篡改懒洋洋重峦叠障B.掩映寂寞中轴线百折不挠C.蔷薇挖掘密匝匝井然有绪D.暄嚣休憩刹那间就地取材9.下列词语中,没有错别字的一项是()A.泄气狼籍因地制宜络绎不绝B.翰林吹嘘诚惶诚恐长途跋涉C.踌躇琐屑无动于中沉鳞竞跃D.锤炼竹竿油光可鉴粗制烂造10.根据拼音写出相应的词语。

语文综合练习题1、下列加点的字注音有误的一组是（）A、穹庐qiïng 局促jú狐裘qiú羌笛qiāngB、敕勒chì前瞻zhān 锦衾qín 迁徙xǐC、前眺tiào 俯首fǔ阑干lán 羞涩sâD、瞭望liáo 渺小miǎo 风掣châ逶迤wēi2、下列加点的字注音有误的一项是（）A、鸿鹄hú流杵chǔ恐吓hâ消遣qiǎnB、弓缴jiǎo 炫耀xuàn 嗜好shì狡黠xiáC、辟若pì潜逃qiǎn 勉强qiǎng 懈怠xiēD、九轫rân 庞大páng 余暇xiá尴尬gāngà3、下列加点的字注音有误的一组是（）A、熹微xī徘徊páihuái 揩汗jiē羁绊jīB、淅沥xīlì徜徉chángyáng 抠进kōu 隘口àiC、静谧mì咆哮páoxiào 扼守â擎天qíngD、摇曳yâ龌龊wōchuî斫折zhuï噤声jìn4、下列词语加点字注音没有错误的一项是（）A、悄怆（chuàng）俶尔（shū）翕忽（xī）楔形文字（qì）B、棱角（lãng）雕镂（lǒu）比拟（nì）了不相属（zhǔ）C、微泮（pàn）羸马（lãi）租赁（lìn）珠翠罗绮（qǐ）D、迢遥（tiáo）溯洄（shuî）哗然（huà）玲珑剔透（tì）5．下列加线的字注音有误的一项是（）A、俯瞰kàn 萧瑟sâ无稽jī横亘gânB、弥漫mí晨曦xī炽热zhì雀屏píngC、饱饫yù消翳yì醒豁huî四隅yúD、无餍yàn 溟濛míng 天穹qiïng 魅力mâi6、下列加点字的读音全正确的一项是（）A. 迸射（bìng）逶迤(yí) 改弦易辙(xián ) 肆无忌惮(dàn)B. 冻馁(něi) 龌龊(wî) 明眸善睐(mïu ) 引吭高歌(háng)C. 商贾(gǔ) 揩汗（kāi）悬崖勒马(lēi) 如法炮制(páo)D .模样(mú) 瞭望(liáo) 所向披靡(mǐ) 惊鸿一瞥(piē)7．下列加点的字注音有误的一项是（）A、触摸chù平庸yōng 魅力mâi 不啻chìB、捻成niǎn 胆怯qù涵义hán 充溢yìC、无聊liáo 潜入qián 蹒跚pán 揪住jiūD、谨慎shân 戳破chuō踉跄liàng 怜悯mǐn9．下列加点的字注音全都正确的一项是（）A．风掣（chè）粗犷（kuàng）逶迤（wéi）飒然而至（sà）B．迁徙（xǐ）荒冢（zhǒng）膂力（lǚ）抓心挠肝（náo）C．商贾（jiǎ）辐射（fǔ）富庶（shù）纵横捭阖（bǎi）D．瞭望（liáo）缱绻（juǎn）烽燧（suí）玉辇华盖（niǎn）10、根据注音提示，写出下面的汉字光听着窗外夜色中的时紧时疏的雨声，便心满意足地贮满了诗。

八上复习词语总汇萧瑟弥漫绯红晨曦雄浑俯瞰簇拥瑰丽无羁炽烈饱馀无魇劲烈朝旭雾霭祈祷蜿蜒飒飒横亘消翳驰骋层累诞语黯淡安谧攫来酝酿模样婆娑粗犷憧憬纤细缥缈隔膜无垠矗起玛瑙惊骇淖尔物什骐骥倒行侥幸纯粹闪烁消耗废墟个案蒙昧猥琐萎缩丝缕谨慎涵义渺小搓捻主宰戳破蹒跚打量不啻障碍发蒙揾地踉跄冻馁揪住绕弯擦拭揉搓蹭倒拖拽磕绊掩蔽推搡纳罕蜣螂甲胄蛰刺炮制擒住颟顸抚摩深挚殆尽抖擞咀嚼褒贬晦涩贿赂潋滟皱缬篁竹佩环堪坻参差披拂清洌清冽寂寥瀑布无聊合拢弥漫崩裂倒塌干瘪摄影盘踞棱角几绺乱溅鞠躬倏地襟袖蔚蓝捧挹窈窕伽蓝几席缙绅笏板微岚趺坐茗饮飙风烟霾蹴起飓风辟易接踵镞镞磅礴龙湫神龛赭山僦赁毛坯鳞鬣羸马舛事遄往罔殆对弈教诲鸿鹄铁杵谚语诅咒干没书笺惩罚歃血誓言过瘾慰劳嗜好譬如余暇消遣震慑挑剔庋藏动辄懈怠辩驳梗概狡黠遏制涨红尴尬撅嘴愚鲁悲怆瞳孔簇立面颊处境万仞羌笛侯骑燕然狐裘锦衾琵琶掣动恣情搭讪逶迤轩辕褶皱喑哑商贾婀娜彪悍剽悍贫瘠深邃脊梁窒息窟窿菩萨紫檀书斋徜徉静谧西泠依稀咆哮龌龊憩息步履淡泊逼仄喧嚣熨帖涟漪羁绊蹒跚滂沱如椽琐屑羯鼓漩涡扼守霎时麻痹隘口憬悟征蓬穹庐俶尔平庸雅致怄气烽燧膂力荒冢瞥过噤声历历可数莽莽苍苍梦寐以求大相径庭左顾右盼居高临下竭尽全力欺世盗名喋喋不休牙牙学语似是而非热泪盈眶莫名其妙酣畅淋漓不堪回首坦荡如砥相濡以沫高屋建瓴获益匪浅川流不息见异思迁悄怆幽邃蒙络摇缀万马奔腾魂飞魄散振聋发聩陈词滥调别无二致明眸善睐运筹帷幄礼尚往来再接再厉草菅人命含辛茹苦徇私舞弊不悱不发一暴十寒温故知新不耻下问左右逢源掘井十轫物极必反婉转陈词潸然泪下丑态毕露人赃俱获摇尾乞怜书香世家心无旁骛正襟危坐虚怀若谷一丝不苟汗牛塞屋落落大满惴惴不安众目睽睽饥肠辘辘煞有介事一诺千金废寝忘食形而上学捉襟见肘肆无忌惮与生俱来引吭高歌怨天尤人所向披靡一筹莫展魂牵梦萦流连忘返色彩斑斓惊涛骇浪顾影自怜改弦易辙浮光掠影艰苦卓绝挑拨离间侃侃而谈惟妙惟肖喧嚣怒诟接踵而至变幻莫定潜心入肺纵横捭阖文学常识现代文部分1、《日出》刘白羽，现代著名作家。

部编版八年级新教材上册字词整理专项练习17年新八年级上册字词（分单元）专项练题第一部分：给下列加点的字注音。

第一单元溃退(kuì tuì) 荻港(dí gǎng) 签订(qiān dìng) 泄气(xiè qì) 歼灭(jiān miè) 敦煌(dūn huáng) 颁发(bān fā) 仲裁(zhòng cái) 拨款(bō kuǎn) 挪威(nuó wēi) 遗嘱(yí zhǔ) 凌空(líng kōng) 绷直(bēng zhí) 气氛(qì fēn) 酷似(kù sì) 渤海(bóhǎi) 桅杆(yí gān) 凛冽(lǐnliè) 着舰(zhuó jiàn) 浩瀚(hào hàn) 舰载(jiàn zài) 丧生(sāng shēng) 娴熟(xián shú) 舰艉(jiàn wěi) 湛蓝(zhàn lán) 默契(mò qì) 咆哮(páo xiào) 轨迹(guǐ jì) 映衬(yìng chèn) 镌刻(juān kè) 一刹那(yī chà nà) 摧拉朽(cuī lā xiǔ) 锐不可当(ruì bù kě dāng) 屏息敛声(píng xī liǎn shēn g) 翘首而望(qiáo shǒu ér wàng) 悄然不惊(qiǎo rán bù jīng) 震耳欲聋(zhèn ěr yù lóng) 殚精竭虑(dān jīng jié lǜ) 眼花缭乱(yǎn huā liáo luàn)第二单元绯红(fēi hóng) 发髻(fà jì) 标致(biāo zhì) 芦荟(lú huì) 脱漏(tuō lòu) 落第(luò dì) 畸形(jī xíng) 邮差(yóu chāi) 拆开(chāi kāi) 斥责(chì zé) 匿名(nì míng) 诘责(jí zé) 托辞(tuō cí) 佃农(tiánnóng) 溺死(nì sǐ) 榨油(zhà yóu) 妯娌(zhóu lì) 和睦(hé mù) 高粱(gāo liáng) 威胁(wēi xié) 衙门(yá mén) 差役(chāi yì) 横蛮(héng mán) 慰勉(wèi miǎn) 周济(zhōu jì) 胡髭(hú zī) 长髯(cháng rán) 黝黑(yǒu hēi) 鬈发(quán fà) 肖像(xiào xiàng) 帐篷(zhàng péng) 粗糙(cū cāo) 凹陷(āo xiàn) 脸颊(liǎn jiá) 崎岖(qí qū) 粗鄙(cū bǐ) 滞留(zhì liú) 禁锢(jìn gù) 昧昧(mèi mèi) 酒肆(jiǔ sì) 侏儒(zhū rú) 尴尬(gān gà) 犀利(xī lì) 锃亮(zèng liàng) 甲胄(jiǎ zhòu) 粲然(càn rán) 炽热(chì rè) 沥青(lì qīng) 窒息(zhì xī) 吹嘘(chuī xū) 酸渍(suān zì) 咽喉(yān hóu) 残渣(cán zhā) 踱着(dúo zhe) 轮廓(lúnkuò) 摘取(xié qǔ) 芋梗(yù gěng) 解剖(jiě pōu) 油光可鉴(yóuguāng kě jiàn) 杳无消息(yǎo wú xiāo xī) 抑扬顿挫(yì yáng dùn cuò) 深恶痛疾(shēn wù tòng jí) 粗制滥造(cū zhì làn zào) 藏污纳垢(cáng wū nà gòu) 鹤立鸡群(hè lì jī qún) 正襟危坐(zhèng jīnwēi zuò) 颔首低眉(hàn shǒu dī méi) 诚惶诚恐(chéng huángchéng kǒng) 热泪涟涟(lián lián) 黯然失色(àn rán shī sè) 意趣盎然(àng rán) 直戳要害(zhí chuō yào hài) 刀剑入鞘(dāo jiàn rù qiào) 骤雨猝至(zhòu yǔ cù zhì)第三单元XXX(jué wáng xiàn) 飞漱(fēi shù) 藻荇(zǎo xìng) 缥碧(piǎo bì) 轩邈(xuān miǎo) 泪沾裳(zhàn shang) 徙倚(xǐ yǐ) 驱犊(qū dú)征蓬(zhēng péng) 燕然(yàn rán) 逢候骑(féng hòu jì) 啄春泥(zhuóchūn ní) 白沙堤(bái shā dī) 不见曦(yǐ) 月素湍(sù tuān) 绿潭清荣峻(lǜ tán qīng róng jùn) 茂属(mào shǔ) 引凄异(yǐn qī yì) 沉鳞(chén lín) 竞跃(jìng yuè) 夕日欲颓(xī rì yù tuí)魁退地港前订间，灭敦黄板发重裁，款遗主令空蹦直气分苦，似波涛澎湃威XXX舰载生熟。

亥•( 3- 惊瞥. 誉.赞劫.(缀.(制给.曦〜晨)物X17 八年级上册字词训练（一）姓名：得分:1.下列词语加点的字的注音全都正确的一项是（）A.横渡（heng）歼灭（qian）B.锐不可当（dang）要塞（sa i）C.阻遏（ji6）鄂（e）D.绥靖（suT）荻港（df）2.请给下列加点的字注音。

星宿（）区域（）Iffl （）乡要奉（）管精（）击溃（）芜（）湖豫晞（）阻谩（）遇（）退歼（,）灭绥靖（）（）3.下列解释词语有误的一项是（）A.锐不可当:锋利无比，不可抵挡。

B.也已：已经。

C.溃退：散乱，败退。

D.督战：帮助作战。

4.给下面加点字注音。

竹筒（）理（）船疟（）子寒噤（）首（）往上蹿（）IX（）歪飒观（）泅（）疟（）疾转弯坏（）角提（）防5.下列注音及汉字全对的一项是（）A.匍匐(pu fu) 瓦砾（le）拂晓（fu）B.覆(fu)盖腋（ye）窝烛芯（xin）C.地窖(gao) 颤（chan）微微屏障(ping)D.鞠弓(gong) 耸（sEJng）立烧灼(zhuo)6.下列加点字的解释不完全正确的一项是（）A.瓦斯（小石，碎石）枝条（细长的树枝）B.省副其实（名称）精疲力竭（尽）C.肃穆（严肃安静）目晴（看）D.永垂不朽（东西的一头向下）拂晓（天快亮的时候）7.把下列成语补充完整。

眼花（）乱不可（）状( ）然无存富丽堂（）丰功伟（) ( ）—无二8.识记下列词语，给加点字注音。

箱箧（）壬去琅（）（）神殿（) 恍（）若脂（）粉9.下列加点字的注音正确的一项是（）A.纳瞥(cui) 杀» (lu)B.蜿蜒(wan yan) 恍惚(hudng hu)C.荒谬（niu）肃穆（mWD.同腹（pao）赤裸裸（Iu6）10.下列没有错别字的一项是（)A.制栽丝绒B.精彩飘撒C.笼罩鬼鬼崇崇D.屹立张慌失措八年级上册字词训练（二）1.下列词语加点的字的注音全都正确的一项是（）A.絮说（xu）骇（hai）B.悚（song） JJl （j i）C.霹（pT）雳憎（zen）恶D.阿长（chdng）懿（y i））（2）朴素而有古代的风八年级上册字词训练（三）1.给下列加点的字注音。

第一至第三单元重点字词专题汇编复习一、给加点的字注上拼音 萧瑟． 弥．漫 绯．红 精辟． 晨曦． 炽．热 肃穆．瞬．息 天穹． 曙．光 瑰．丽 簇．拥 矗．立 惋．惜 酣．睡 隙．缝 万仞． 恍．然大悟 饱饫． 无魇． 醒豁． 横亘． 飒飒．． 祈祷．． 层．累 四隅． 驰骋． 溟濛．．蜿蜒．． 海句．力士 无垠． 消翳． 开拓． 厚毳．砌．墙 罗布淖．尔 混沌． 缥缈．． 逆．转 嵌．入 嗅．着 诞．语 震撼． 安谧． 攫．取 黯．淡 垭．口 雾霭．瘴．气 瞅． 喷薄． 酝酿．． 寂．寞 怄．气 婆娑．．漩涡．． 懊．悔 悄．然 汩汩．． 嬉．戏 霓裳．． 纤纤．．粗犷． 自省． 变幻．莫定 憧憬．． 尘埃． 皱纹．．衣摆． 敞．开 闪耀． 侦．探 玩耍． 一栋． 胡扯．魅．力 了．无 频．率 倒．行逆施 废墟． 侥．幸 平庸． 纯粹． 载．体 刻骨铭．心 畏畏缩．．缩 谨慎．． 不屑．渺．小 怜悯． 顷．刻 竭．尽 胆怯． 戳．破 感慨．蹒跚．． 召唤． 诞．生 充溢． 恩赐． 不啻． 喋喋．．不休 轮廓． 揾． 譬．如 崭．新 埃．着 抖擞．． 絮．絮叨．叨 酣．畅淋漓 气馁． 明眸． 不堪．回首 夭．折 佐．证 踉跄．． 过誉． 愚．蠢 掠．取 揪．住 啐． 浏．览 拽．拉 蹭．到 推搡． 娱．乐 汗流浃．背 褒．扬 分道扬镳． 挣．扎 土坷．垃 铁铲． 孤寡． 仓．皇 蜣螂．． 甲胄．螫．刺 袭．击 绷．紧 孵．育 逃遁． 扫帚．． 厄．运耗．尽 堡垒．． 俘虏．． 诧．异 陷阱．． 擒．住 束缚． 消耗殆．尽 攫．住 厌倦． 宛．如 如法炮．制 颟頇．．腻．烦 讪．笑 指．教 瑟．瑟 软瘫． 诅咒．． 丰腴．掸帚．． 篁．竹 清冽． 为坻． 为屿． 参差．．披拂 怡．然 俶．尔 翕．忽 犬牙差．互 悄．怆幽邃． 龚．古 奉壹． 宗玄． 无聊． 肌．肤 合拢． 抚摸．． 淹没．． 魂飞魄．散 陈腔滥．调 惊诧． 鑲． 踞． 翼．翅 一绺． 倏．地 攀．登 天穹． 襟袖．．之间 妄．想 着．实 皱缬． 尘滓． 蕴蓄．． 秦淮．河 挹． 掬． 明眸．善睞．刹．那 提．心吊胆 巍峨．． 鳞鬣． 窈窕．． 缙绅．．几．席 微岚． 趺．坐 茗．饮 侑． 筵．中人 喧嚣．怒诟． 了不相属． 羸．马 飚．风 着．重裘． 砾．砾 微泮． 命舛． 府邸． 餬．口 烟霾． 嗜．好 颠倒．．遄．急 接踵．而至 巨擘． 一蹴．而就 镞．镞 飓．风 辟．易 磅礴．． 炮碎．龙湫． 龛． 赭．色 干瘪．魅．力 窒．息 无羁．． 俯瞰．． 迸色．． 黛．色 玛瑙．． 浮礁． 胆怯． 捻．碎 泪腺． 下颚． 拭．去 蚱蜢．． 豌．豆 储．存 褒．扬 抡．开 喘．气 耳膜．泅．者 溯洄． 瞩．目 惊魂摄．魄 逊．色 景慕．． 咫．尺迢．遥 哗．然 浑浊．． 疲倦．． 夸耀． 覆．盖 潺潺．．溟溟．． 澎拜．． 循．环 滋润．． 水囊． 狭窄．． 涓涓．．侵蚀． 玲珑剔．透 嵯．峨 挖掘．． 毛坯． 镌．刻失调．警惕．楔．形倒塌．凄．凉吞噬．沿袭．崇拜．．二、解释下列词语的意思魅力：蹒跚：弥漫：瞬息：敏锐：惋惜：无羁：瑰丽：簇拥：黛色：万仞：酣睡：饱饫：无魇：醒豁：溟濛：祈祷：驰骋：无垠：横亘：黯淡：雾霭：安谧：辉煌：经意：喷薄：酝酿：衣摆：死寂：怄气：陈列：闲游：了无：纯粹:汩汩：缥缈：怜悯：蹒跚：婆娑: 玲珑剔透：全神贯注：巧夺天工：星罗棋布：触目惊心：变幻莫定：慌慌张张：晕头晕脑：霓裳羽衣：光彩夺目：回光返照: 莽莽苍苍：生机勃勃：花花绿绿：倒行逆施：刻骨铭心：畏畏缩缩：左顾右盼：义无反顾：无与伦比：历历可数:恍然大悟：纹丝不动居高临下：货真价实：喋喋不休：絮絮叨叨：莫名其妙：酣畅淋漓：不堪回首：郁郁葱葱：座无虚席：欺世盗名：狂奔疾走：汗流浃背：分道扬镳：多情善感：自以为是：难以置信：竭尽全力：尽善尽美：如法炮制：计穷智竭：反败为胜：小心翼翼：精疲力竭：死于非命：畅畅快快：摇摇欲倒：大失所望：别无二致：脱口而出：震耳欲聋：灰飞烟灭：魂飞魄散：千篇一律：陈腔滥调：汪汪一碧：襟袖之间：明眸善睐：惊恐万状：提心吊胆：夜以继日：惊魂摄魄：惊涛骇浪：千姿百态：斑驳陆离：神工鬼斧：。

第一章勾股定理1探索勾股定理第1课时勾股定理知识点一认识勾股定理精练版P1我们可以通过求网格中大正方形的面积来探索勾股定理．在求正方形网格中大正方形的面积时，一般采用数格子和图形割补两种方法：数格子时，直接数出大正方形内部所包含的完整的小方格的个数，将不足一个方格的部分进行适当拼凑，拼出若干个完整的小方格，将它们相加即可；图形割补时，通常是将图形分割成几个格点三角形和几个网格正方形，再将所分割成的各三角形和网格正方形的面积求出来相加即可．勾股定理的定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.例1如图①，在直角三角形外部作出3个正方形．(1)正方形A中含有________个小方格，即A的面积是________；(2)正方形B中含有________个小方格，即B的面积是________；(3)正方形C中含有________个小方格，即C的面积是________；(4)如果用S A，S B，S C分别表示正方形A，B，C的面积，那么它们之间的关系是：______________；(5)如图②中是否仍然存在着这样的关系？解析：通过观察、拼凑可以直接得出图中A，B，C三个正方形的面积及它们之间的关系，再按照同样的方法计算图②中几个正方形的面积，发现同样满足这个关系．解：(1)1616(2)99(3)2525(4)S A＋S B＝S C(5)图②中，S A′＝1，S B′＝9，S C′＝10，所以仍然有S A′＋S B′＝S C′.知识点二勾股定理的简单应用精练版P11．已知直角三角形的两边求第三边．2．已知直角三角形的一边，确定另两边的关系．3．证明线段的平方关系．例2如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了________米的路，却踩伤了花草．解析：根据勾股定理求得AB的长，再进一步求得少走的路的米数，即(AC＋BC)－AB.在Rt△ABC中，AB2＝BC2＋AC2，AC＝3米，BC＝4米，则AB＝AC2＋BC2＝5米，所以他们仅仅少走了AC＋BC－AB＝4米．答案：4第2课时勾股定理的验证及其应用知识点一勾股定理的验证精练版P2勾股定理的证明方法较多，中外数学史上关于勾股定理的证明一般是用拼图法来验证的．一般步骤如下：拼出图形→找出图形面积的表达式→建立等量关系→恒等变形→推导出勾股定理．如图(1)．因为S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，所以(a＋b)2＝4×12ab＋c2，所以a2＋b2＝c2.如图(2)．因为S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，所以c2＝4×12ab＋(b－a)2，所以c2＝a2＋b2.如图(3)．因为S梯形＝2S小三角形＋S大三角形，所以12(a＋b)(a＋b)＝2×12ab＋12c2，整理，得a2＋b2＝c2.知识点二勾股定理的应用精练版P21．勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的关系．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，则斜边AB称为弦，较短直角边BC称为勾，较长直角边AC称为股，BC2＋AC2＝AB2.这就是勾股定理．2．应用勾股定理时要注意：(1)勾股定理成立的前提条件是“直角三角形”，在锐角三角形和钝角三角形中不存在这一结论．(2)应用勾股定理时应分清直角边与斜边．在一些Rt△ABC中，斜边未必是c.(3)应用勾股定理进行计算时，若没有明确直角边与斜边，应分类讨论．例1“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为()A．3B．4C．5D．6解析：观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积－4个直角三角形的面积，利用已知(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．因为(a＋b)2＝21，所以a2＋2ab ＋b2＝21，因为大正方形的面积为13，2ab＝21－13＝8，所以小正方形的面积为13－8＝5.故选C.答案：C易错点没有明确直角边和斜边用勾股定理时，若题目没有指明谁是斜边，应按未知边是斜边或是直角边两种情况分类讨论．例2在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，求AB2.解：当AB为斜边时，AB2＝AC2＋BC2＝225；当AB为直角边时，AB2＝BC2－AC2＝63.所以AB2为225或63.注意：此题易错误地认为AB2＝225.原因是没有分清AB边是直角边还是斜边，只是模糊地记住了勾股定理的原形，而没有注意到题目中并没有给出明确的条件．因此，对于此类问题我们应该分情况讨论．2一定是直角三角形吗知识点一勾股定理的逆定理精练版P3如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．(此判别条件也称为勾股定理的逆定理)利用三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是不是直角三角形，把数与形有效地统一起来，体现了数形结合的数学思想．温馨提示：(1)在判别一个三角形是不是直角三角形时，a2＋b2是否等于c2需通过计算说明，不能直接写成a2＋b2＝c2.(2)验证一个三角形是不是直角三角形的方法是：当(较小边长)2＋(较大边长)2＝(最大边长)2时，此三角形为直角三角形；否则，此三角形不是直角三角形．例1判断由线段a，b，c组成的三角形是否为直角三角形．(1)a＝4，b＝5，c＝6；(2)a∶b∶c＝3∶4∶5.解：(1)因为a2＋b2＝42＋52＝41，c2＝36，a2＋b2≠c2，所以由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形．(2)设a＝3k，b＝4k，c＝5k(k≠0)．因为a2＋b2＝(3k)2＋(4k)2＝25k2，c2＝(5k)2＝25k2，所以a2＋b2＝c2，所以由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形．知识点二 勾股数精练版P3满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数，称为勾股数．常见的勾股数有：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15；⑦9，40，41.勾股数有无数组．一组勾股数中，各数的相同整数倍得到一组新的勾股数，如：3，4，5是勾股数，9，12，15也是勾股数．温馨提示：勾股数必须都是正整数，如：0.3，0.4，0.5，尽管有0.32＋0.42＝0.52成立，但它们都是小数，因而不是勾股数．例2 判断下列各组数是不是勾股数：(1)3，4，7；(2)5，12，13；(3)13，14，15；(4)3，－4，5. 解析：判断的时候，要紧扣两个条件：(1)是否符合a 2＋b 2＝c 2，即两个较小数的平方和是否等于最大数的平方；(2)它们是不是正整数．解：(1)因为32＋42≠72，所以3，4，7不是勾股数．(2)因为52＋122＝132，所以5，12，13是勾股数．(3)中的各数都不是正整数，所以这组数不是勾股数．(4)虽然32＋(－4)2＝52，但－4不是正整数，所以这组数不是勾股数．注意：判断勾股数的方法步骤：(1)确定三个数是正整数；(2)确定出最大数；(3)计算较小两数的平方和是否等于最大数的平方．易错点 运用边的关系识别直角三角形时，忽视最大边，从而造成判断错误运用直角三角形的判别条件判断一个三角形是否为直角三角形时，首先要确定最长边，不能盲目地计算或想当然地认为某一边为最长边．例3 已知三角形的三边长分别是m 2－1，2m ，m 2＋1(m 为大于1的自然数)，试判断这个三角形的形状．解：因为(m 2－1)2＋(2m )2＝m 4－2m 2＋1＋4m 2＝m 4＋2m 2＋1，(m 2＋1)2＝m 4＋2m 2＋1，所以(m 2－1)2＋(2m )2＝(m 2＋1)2，所以此三角形为直角三角形．注意：此题易认为2m为最大边，得到(m2－1)2＋(m2＋1)2≠(2m)2，从而得出三角形不是直角三角形的错误结论．在做此类题时，一定要找准最大边．3勾股定理的应用知识点一确定几何体上的最短路线精练版P5柱体和长方体的展开图是一个长方形．求柱体或长方体上两点之间最短距离，需要把柱体或长方体展开成平面图形，依据两点之间线段最短，以最短路线为边构造成直角三角形，再利用勾股定理求解．例1有一个圆柱形油罐，如图所示，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，问梯子最短需要多长？(已知油罐的底面周长是12m，高AB是5m)解：将圆柱形油罐的侧面沿AB剪开展成一个平面图形，如图所示，沿AB′建梯子最节省材料(两点之间，线段最短)．由已知得AB＝5m，BB′＝12m.在Rt△ABB′中，AB′2＝AB2＋BB′2＝52＋122＝132(m2)，所以AB′＝13m.因此所建的梯子最短需要13m.注意：由于梯子要绕着曲面建，因此最短路线应将曲面展成平面后，再依据“两点之间，线段最短”来确定．知识点二利用勾股定理解决生活中的长度问题精练版P5由勾股定理的知识，可以解决与直角三角形相关的一些实际问题．在解决实际问题时，应具体问题具体分析，将生活中的问题转化为数学问题，利用勾股定理加以解决．勾股定理的逆定理主要用来说明一个三角形为直角三角形．在实际问题中，有些线段的求解、角的求解在很大程度上转化为在直角三角形内求解．因此，熟练地判断一个三角形是否为直角三角形是首先要解决的问题．例2小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．解析：根据题意寻找出绳子长度与旗杆高度之间的关系，设未知数，利用勾股定理构造方程．解方程求得结论．解：设旗杆高x米，则绳长(x＋1)米．依题意，得x2＋52＝(x＋1)2，解得x＝12.即旗杆的高度为12米．易错点将长方体展开时，忽视展开方式不唯一对长方体来说，由于一般情况下，长、宽、高不相等，则展开得到的距离也不相同，故对此问题应把可能出现的情况考虑全，分别计算，经过比较求出最短距离．例3有一个长方体纸盒，如图所示，小明所在数学小组研究由长方体的底面A点到长方体中与A点相对的B点的最短距离，若长方体的底面长为12，宽为9，高为5，请帮助该小组求出由A点到B点的最短距离．(参考数据：21.592≈466，19.242≈370，18.442≈340)解：将四边形ACDF与四边形DCEB展开在同一平面，如图(1)所示．在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2＝AE2＋BE2＝(12＋9)2＋52＝466；同理，由图(2)，得AB2＝AC2＋BC2＝122＋(9＋5)2＝340；由图(3)，得AB2＝AD2＋BD2＝(12＋5)2＋92＝370.因为340＜370＜466，所以最短距离为图(2)所示线段AB的长度，AB≈18.44.注意：解决长方体相对顶点表面最短距离问题，要全面考虑，先将所有路线都找出来，避免出现漏解，再通过计算找到最短路线．章末知识汇总类型一勾股定理与面积的综合应用例1已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰直角三角形ACD，再以△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰直角三角形ADE，…，依此类推，第7个等腰直角三角形的面积是________，第n个等腰直角三角形的面积为________．解析：要求等腰直角三角形的面积，只需求腰长的平方即可．S1＝12·AB·BC＝12，由勾股定理得，AC2＝AB2＋BC2＝2，AD2＝AC2＋DC2＝2＋2＝4，AE2＝AD2＋DE2＝4＋4＝8，所以S2＝12·AC2＝1，S3＝12·AD2＝2，S4＝12·AE2＝4.由此可得S7＝25＝32，S n＝2n－2.答案：322n－2注意：等腰直角三角形的面积是腰长平方的一半，利用整体代换解决．整体代换是数学一种重要方法．类型二直角三角形判定方法的实际应用例2如图所示，点A是一个半径为400m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C两个村庄，现要在B，C两村庄之间修一条长为1000m的笔直公路将两村连通，经测量得AB＝600m，AC＝800m，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算说明．解：因为AC2＋AB2＝8002＋6002＝10002＝BC2，所以△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°. 过点A作AD⊥BC，垂足为D.如图所示．因为S△ABC＝12×AB×AC＝12×AD×BC，所以AD＝AB×ACBC＝600×8001000＝480(m)．因为480m＞400m，所以此公路不会穿过该森林公园．注意：(1)根据“垂线段最短”只需计算最短距离．(2)求直角三角形斜边上的高经常用“等面积法”．类型三利用勾股定理解决实际生活中的最值问题例3如图，A，B两个小镇在河流l的同侧，到河的距离分别为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD ＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流l上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？解：如图所示，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交CD于点M，点M即为所求．连接AM，则MA＋MB最小．作A′E⊥BD交BD的延长线于点E.在直角三角形A′BE中，A′E＝30千米，BE＝BD＋DE＝BD＋AC＝40千米，由勾股定理A′B2＝A′E2＋BE2＝302＋402，所以A′B＝50千米．所以MA＋MB＝A′M＋BM＝A′B＝50千米，修管道的费用为50×3＝150(万元)．注意：(1)解决实际问题时，应将实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型．(2)费用最少即要求管道最短，问题便转化为“在直线CD同侧有两点A，B，试在CD上找一点M，使MA＋MB最小”．探究中要把握问题的实质，注意问题的转化．第二章实数1认识无理数知识点一非有理数的存在精练版P9整数和分数统称为有理数．随着研究的深入，人们发现了不是有理数的数，比如面积为5的正方形的边长，设该正方形的边长为x，则x2＝5，这里x既不是整数，也不是分数，也就是说没有一个有理数的平方是5，现实生活中存在着大量的不是有理数的数．例1以下各正方形的边长不是有理数的是()A．面积为49的正方形B．面积为916的正方形C．面积为8的正方形D．面积为1.21的正方形解析：可设边长为a(a＞0)，由A项得a2＝49，49＝72，所以a＝7；由B项得a2＝916，而916＝⎝⎛⎭⎫342，所以a＝34；由D项得a2＝1.21，而1.21＝1.12，所以a＝1.1；由C项得a2＝8，8不能写成一个整数或分数的平方．答案：C知识点二估计数值的大小精练版P9用x表示正方形的边长，若x2＝2，则x既不是整数，也不是分数，我们可以用无限逼近的方法估计x 的值，从而求出x的近似值．方法：因为1＜2＜4，所以1＜x＜2，即x的整数位是1.又因为1.42＝1.96，1.52＝2.25.而2在1.42与1.52之间，所以x的十分位上的数是4，用同样的方法可以确定其他数位上的数．例2已知直角三角形的两直角边长分别是9cm和5cm，斜边长是x cm.(1)估计x在哪两个整数之间．(2)如果把x的结果精确到十分位，估计x的值．如果精确到百分位呢？用计算器验证你的估计值．解析：此题首先根据勾股定理求出x2，再看x2的值介于哪两个完全平方数之间，其他数位依次类推．解：根据条件，得x2＝92＋52＝106.(1)因为100＜106＜121，所以100＜x2＜121，所以10＜x＜11，即x在整数10和11之间．(2)因为10.292＝105.8841，10.302＝106.09，所以10.292＜106＜10.302，所以精确到十分位时，x≈10.3.又因为10.2952＝105.987025，10.2962＝106.007616，所以10.2952＜106＜10.2962，所以10.2952＜x2＜10.2962，所以精确到百分位时，x≈10.30.注意：本题采用了无限逼近的方法，即将x的范围逐渐缩小，使得x2越来越接近某个数，渗透了用有理数近似地表示无理数的思想．知识点三无理数的概念精练版P9无限不循环小数称为无理数．例如，圆周率π＝3.14159265…是一个无限不循环小数，因此它是一个无理数．再如，0.989889888988889…(相邻两个9之间8的个数逐次加1)也是无理数．温馨提示：(1)无理数是一种与有理数不同的数，要区分“无限不循环小数”与“无限循环小数”的差别，前者不能化为分数，后者可以化为分数．事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．(2)小数的分类：小数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎬⎫有限小数无限循环小数有理数无限不循环小数——无理数例3 227，0.2·03·，－π7，2.3131131113，－0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)中无理数的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：－π7，－0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无理数，227，0.2·003·，2.3131131113是有理数．答案：A注意：π是无限不循环小数，是无理数，－π7不是分数，是一个无理数．易错点 错把π当成有理数，把无限循环小数当成无理数 π是无理数，无理数除以非零有理数仍是无理数，无限循环小数为有理数，区别有理数与无理数时，应注意观察所给的数据． 例4 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0．1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，－119180，345.202·，π2.解：有理数：－119180，345.202·；无理数：0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，π2.注意：学生很容易把π2看成有理数，以为它是分数，事实上，它是一个无理数．也很容易把345.202·看成无理数，错误原因是对无理数的概念认识不清，误以为无限小数都是无理数，事实上，只有无限小数中的无限不循环小数才是无理数．2 平方根知识点一 算术平方根的概念与性质精练版P11定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为a ，读作“根号a ”．温馨提示：(1)特别地，我们规定0的算术平方根是0，即0＝0.(2)负数没有算术平方根，也就是说，当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数．(3)a (a ≥0)是一个非负数．例1 求下列各数的算术平方根：(1)400；(2)2536；(3)13.解析：因为求一个非负数的算术平方根的运算与正数的平方运算是互逆的，所以我们可以借助平方运算来求这些数的算术平方根．解：(1)因为202＝400，所以400的算术平方根是20. (2)因为⎝⎛⎭⎫562＝2536，所以2536的算术平方根是56. (3)13的算术平方根是13.注意：(1)在求a 的算术平方根时，若a 是有理数的平方，a 的算术平方根就不带根号；若a 不是有理数的平方，a 的算术平方根就带有根号，如13.(2)由于求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算，所以熟记常用完全平方数对求一个数的算术平方根有着事半功倍的效果．知识点二 平方根的概念与性质精练版P111．定义：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根)．2．性质：一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．温馨提示：一个正数a 必有两个平方根，一个是a 的算术平方根a ，另一个是－a ，它们互为相反数，这两个平方根合起来可以记作±a ，读作“正、负根号a ”．例2 判断下列各数是否有平方根．若有，求出其平方根；若没有，请说明理由．解析：根据平方根的性质判断一个数是否有平方根；根据平方根的定义可直接化简求值．解：(1)因为169＞0，所以169有平方根．因为(±13)2＝169，所以169的平方根是±13，即±169＝±13.(2)因为(－1)2＝1＞0，所以(－1)2有平方根．因为(±1)2＝1，所以1的平方根是±1，即±（－1）2＝±1.(3)因为(－1)3＝－1＜0，所以(－1)3没有平方根．注意：判断一个数有没有平方根，就是确定该数的性质符号(是正数、负数或零)．知识点三开平方精练版P11定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数．温馨提示：(1)开平方时，被开方数a必须是非负数．(2)平方根是数，是开平方的结果；而开平方是一种运算，是求平方根的过程．(3)平方和开平方的关系是它们互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确．例3(1)(16)2等于多少？(2)⎝⎛⎭⎫9252等于多少？(3)5.52等于多少？(4)（－2）2等于多少？解析：从算术平方根的定义出发，可直接推出结果．解：(1)(16)2＝42＝16.(2)⎝⎛⎭⎫9252＝⎝⎛⎭⎫352＝925.(3)5.52＝30.25＝5.5.(4)（－2）2＝4＝2.P111.a2＝|a|，即当a≥0时，a2＝a，当a＜0时，a2＝－a.2．(a)2＝a(a≥0)．温馨提示：(1)a的取值范围不同，公式(1)中a的取值可以是正数，可以是负数，也可以是0，而公式(2)中a的取值是非负数．(2)运算顺序不同，公式(1)中a先平方再开平方，而公式(2)中a先开平方再平方．例4求下列各式的值：(1)(7)2；(2)（－7）2；(3)（2－x）2(x＞2)．解析：对于a2与(a)2(a≥0)这两种形式要注意区分．解：(1)(7)2＝7.(3)因为x＞2，所以2－x＜0，所以（2－x）2＝|2－x|＝－(2－x)＝x－2.注意：运用a2＝|a|化简时，一定要先判断出a的符号，然后才能化简．易错点不完全理解题意而出错若“算术平方根”和“平方根”两个概念出现在一个题中，或在同一题中两次出现同一概念，应注意进行两步运算．如：求16的平方根时，先要计算16＝4，再求4的平方根．例536的算术平方根是________．解析：36＝6，6的算术平方根是6，所以36的算术平方根是6.答案：6注意：本题易将36的算术平方根误认为是36的算术平方根，而得到错误答案6.本题实际上是求6的算术平方根．3立方根知识点一立方根的概念与性质精练版P131．立方根的概念：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x就叫做a的立方根或三次方根，例如：53＝125，则5是125的立方根．2．表示方法：数a的立方根用符号3a表示，读作“三次根号a”，其中a叫做被开方数，3是根指数．注意根指数“3”不能省略．3．立方根的性质：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根是0.例1下列说法正确的是()A．64的立方根是2B．125216的立方根是±56C．(－1)2的立方根是－1D．－3是27的立方根解析：因为64＝8，所以64的立方根是2，故A选项正确．任何数只有一个立方根，排除B选项．正数的立方根为正数，故排除C，D选项．答案：A知识点二开立方精练版P131．定义：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算．2．重要公式：①(3a0)3＝3a3＝a；②3－a＝－3a.运用这两个公式求负数的立方根时，可先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可，即三次根号内的负号可以移到根号外面．例如：3－125＝－3125＝－5.例2求下列各数的立方根：(1)30.064；(2)3－27.解：(1)30.064＝30.43＝0.4.(2)3－27＝3（－3）3＝－3.知识点三立方根与平方根的区别与联系精练版P131．区别：(1)平方根的根指数是2，能省略，立方根的根指数是3，不能省略．(2)平方根只有对非负数才有意义，而立方根对任何数都有意义，且每个数都只有一个立方根．(3)正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个．2．联系：(1)都与相应的乘方运算互为逆运算．(2)都可归结为非负数的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究，即3－a＝－3a.例3一个数的平方等于64，则这个数的立方根是________．解析：因为(±8)2＝64，所以这个数为±8，3±8＝±2.答案：±2易错点错把3a的立方根当成a的立方根做开方运算时要认准被开方数，如求81的立方根，被开方数是81，而不是81.例4364的立方根是________．解析：因为364＝4，所以364的立方根是34.答案：3 4注意：本题容易把364的立方根误以为是64的立方根，从而得错解为4，解题时应先求出364＝4，再求4的立方根．4估算知识点一估算法确定无理数的大小精练版P171．估算是现实生活中一种常用的解决问题的方法．很多情况下需要去估算无理数的近似值，估算无理数经常用到“夹逼法”，即通过平方运算或立方运算，通过两边无限逼近，逐渐夹逼，确定其所在范围．于1m，答案在其值左右1m都符合题意，答案不唯一．一般情况下，误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位．例1870≈40正确吗？说明你的理由．解：因为402＝1600＞870，所以40＞870，且差别太大，所以870≈40不正确．知识点二比较两个无理数的大小的方法精练版P171．估算法：用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，在比较大小时，一般先采用分析的方法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较．例2比较10－34与14的大小．解：因为3＜10＜4，所以0＜10－3＜1，所以0＜10－34＜14.2．求差法：若a－b＞0，则a＞b；若a－b＜0，则a＜b.对于上例：因为10－34－14＝10－44＜0(因为3＜10＜4)，所以10－34＜14.3．平方法(或立方法)：当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：若a＞b≥0，则a＞b；若a＞b，则3a＞3b.例3比较26和33的大小．解：因为(26)2＝24，(33)2＝27，所以26＜33.易错点比较两个含根号的无理数的大小时，误认为只比较被开方数的大小比较两个含根号的无理数的大小，可以先确定它们的整数部分，进行比较，若无法比较，则再估计十分位后比较，直到得出结论为止．也可将两数同时平方，比较平方后的数的大小即可得出结果．例4比较大小：27与72.解：因为2＜7＜3，所以4＜27＜6.因为72＞7，所以27＜72.[或(27)2＝28，(72)2＝98，28＜98，即27＜72]注意：解本题时易认为被开方数7大于2，而得到错误的答案27＞72，因为2＜7＜3，1＜2＜2，所以27＜6，72＞7，即27＜72.因此比较两个无理数的大小时要比较它们结果的大小，不能仅比较被开方数的大小．另外本题中2与7，7与2之间是乘积的关系．5 用计算器开方知识点一 利用计算器开方精练版P18 利用计算器开方按键顺序：用计算器开方⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧开平方⎩⎪⎨⎪⎧先按“□”键 再输入被开方数再按“＝”键最后按“S ⇔D ”键开立方⎩⎨⎧先按“SHIFT ”键再按“□”键再输入被开方数最后按“＝”键例1 用计算器求下列各式的值(结果精确到千分位)． (1)3.1；(2)35. 解：(1)按键顺序：□3·1＝S ⇔D ，显示1.760681…因为结果精确到千分位，所以答案为1.761. (2)按键顺序：SHIFT □5＝，显示1.709976…因为结果精确到千分位，所以答案为1.710. 知识点二 利用计算器进行较复杂的计算精练版P18此类问题要注意根号下相乘除(或相加减)的按键顺序，切记“π”值的按键顺序． 例2 求5×6－π的值．解：按照教材中型号的计算器的按键顺序为□5×6⊳－SHIFT×10x＝，则5×6－π的值显示的结果为2.335632921.注意：使用计算器进行混合运算时，在运算过程中，要按照算式的书写顺序从左到右按键输入算式，不同的计算器按键顺序有所不同，如有的计算器按照□（5×6）－SHIFT EXP＝的按键顺序显示2.335632921，按此方法按键要注意该加括号时加括号．易错点在求和、差、积、商的算术平方根或立方根时易出错在用计算器求和、差、积、商的算术平方根或立方根时，要注意按键顺序，在不同型号的计算器中按键顺序有所不同，有的要注意括号的作用，按键时要加括号．例3用计算器求7＋1的值．(精确到千分位)解：按键：□（7＋1）＝S⇔D，显示2.828427125，精确到千分位是2.828.注意：在求“和、差、积、商”的算术平方根、立方根时，特别容易出现错误，不同型号的计算器使用时按键顺序不同，有的容易漏掉括号等导致答案错误．6实数。