D1_1行列式

关于行列式的一般定义和计算方法n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211=∑-nn n j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2 N 阶行列式是N ! 项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.§行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。

即nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211=nnn n n n a a a a a a a a a 212221212111；行列式对行满足的性质对列也同样满足。

性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.如: D=dc b a =ad-bc , b a dc =bc-ad= -D以r i 表第i 行，C j 表第j 列。

交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。

性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值322311332112312213a a a a a a a a a ---322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1等于零。

性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。

（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。

03. 行列式的展开法则 一、按一行(列)展开法则定义3.1 (,)i j 元素或(,)i j 位置的余子式ij M 、代数余子式(1)i j ij ij A M +=- 例3.1 3111112121313111112121313||ij a a M a M a M a A a A a A =-+=++. 定理3.1 1)按一行展开法则 1122||(1,2,,)A i i i i in in a A a A a A i n =+++= ； 2)按一列展开法则 1122||(1,2,,)A j j j j nj nj a A a A a A j n =+++= . 按第一行的展开公式就是n 阶行列式(2)n ≥的降阶定义. 例3.2 计算下列n 阶行列式1)xy x yyx； 2)111111121n n----； 3)121111n n na a xD a xa x---=-.解 1)按1c 展开得原式1111111(1)(1)n n n n n n n xA yA xxy y x y -+-+=+=+-=+-. 2)原式121(1)(12)2n n nn n c c c c n n n A c -++++++++=按展开. 3)法1 按1r 展开得()112112121223121211(,,,)(,,)(,,).()n n n n n n n n n n n n n n n D a a a a x D a a a x a x D a a a x a x a x a D a a --------=+=++==++++=法2 在n D 中，元素(21)i a i n ≤≤-的余子式为11111(1)11i n i i x x M x x x x-----==---.将n D 按1c 展开得11211211(1)ni n n n i i n n i D a M a x a x a x a +---==-=++++∑ .法3 1121212112121101,1,,210i i nn n n n n n na a x a r xr D i n n a x a x a a x a x a x a --------+-+=-+++-++++12121n n n n a x a x a x a ---=++++ . ()11111(1)(1)(1)1n n n n n A M ++-=-=--=法4 按n r 展开得111212121.n n n nn n n n n n n n n n D a A xA a xD a a x xD a x a x a x a ------=+=+=++==++++定理3.2 当i j ≠时， 11220i j i j in jn a A a A a A +++= ；11220i j i j ni nj a A a A a A +++= . 注 1122||A i j i j in jn ij a A a A a A +++= δ， 1122||A i j i j ni nj ij a A a A a A +++= δ，其中1,;0,ij i j i j=⎧=⎨≠⎩当当δ为克罗内克(Kronecker )符号.例3.3 1)二元(实)函数1,;(,)0,.x y f x y x y =⎧=⎨≠⎩当当 显然(,)xy f x y =δ.2)diag(1,1,,1)[]ij n n ⨯= δ.例3.4 设四阶行列式1212211220211234D =. 1)求代数余子式12A ； 2)求1121314123A A A A +++； 3)求41424344A A A A +++.行列式的完全展开定义、公理化定义、降阶定义可以互相推证. 以降阶定义为原始定义做理论推导时，可以引入仿克罗内克符号1,;0,.ij i j i j <⎧=⎨>⎩当当ρ 例3.5 1)若正整数i j ≠，则1.ij ji +=ρρ2)仿克罗内克符号有缺项定位功能. 在序列124567,,,,,a a a a a a 中，(17,3)i a i i ≤≤≠位于第3i i -ρ位. 在序列12467,,,,a a a a a中，(17,3,5)i a i i ≤≤≠位于第35i i i --ρρ位.3)仿克罗内克符号有描述逆序功能.s t j j 构成逆序01s t t s j j j j ⇔=⇔=ρρ，121()t sn j j s t nj j j ≤<≤=∑τρ.例3.6 n 阶范德蒙(Vandermonde )矩阵1[]i j n n a -⨯的行列式122131121(,,,)()()()(,,)().n n n j i i j nV a a a a a a a a a V a a a a ≤<≤=---=-∏例3.7 填空11112345_____49162582764125----=----.例3.8 设0abcd ≠，求证222211(,,,)11a a bcd b b acdV a b c d c c abd d d abc=-.例3.9 计算n 阶三对角行列式111n a b ab a b ab D a b aba b++=++ .二、按多行(列)展开法则定义3.2 矩阵A m n ⨯的k l ⨯子矩阵1212A k l i i i j j j ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 及其余子阵，k 阶子方阵、k 阶子式；n 阶方阵或其行列式中k 阶子式的n k -阶余子式M 、代数余子式1212()()(1)k k i i i j j j A M +++++++=- ，k 阶(顺序)主子阵、k 阶(顺序)主子式. 主子式的代数余子式就是余子式.例3.10 设55[]A ij a ⨯=.1)25135A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个23⨯子矩阵，13424A ⎛⎫⎪⎝⎭为其余子阵；2)1325A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个2阶子方阵，1325A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个2阶子式，245134A ⎛⎫⎪⎝⎭为对应余子式，而对应代数余子式为(13)(25)245245(1)134134A A +++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3)235235A ⎛⎫ ⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子阵，235235A ⎛⎫⎪⎝⎭是A 的一个3阶主子式，其代数余子式就是余子式1414A ⎛⎫⎪⎝⎭，是A 的一个2阶主子式；4)A 共有五个顺序主子阵(式).定理3.3 按多行(列)展开法则——拉普拉斯(Laplace )定理1122C C ||A k k nnN A N A N A =+++ .例3.11 计算四阶行列式1234500112365112D -=--.例3.12 计算六阶行列式111000234000310161111101112411243161139D =---.例3.13 计算六阶行列式120000350000635475124583240064270034D -=-.例3.14 计算叉形行列式1)11211n n n nna b a b D c d c d =；2)112111nn n nna b a b D e c d c d +=.。

矩阵论基础1.4⾏列式的性质第四节⾏列式的性质⾏列式有如下7条性质n阶⾏列式：，若把D的⾏变为列得到新⾏列式如下，⾏列式D T (或D′)称为⾏列式D的转置⾏列式.注意:转置⾏列式也可以看作以主对⾓线为轴,⾏列式翻转180°的结果.性质1 ⾏列式D=D T证明: ,应⽤数学归纳法,当n=2时,结论显然成⽴,即假设n-1时结论成⽴,即n-1阶⾏列式与它的转置⾏列式相等,将n阶⾏列式D按第⼀⾏展开,有将n阶⾏列式D T按第⼀列展开,有所以n阶⾏列式D=D T由⾏列式的性质1可以看出,⾏列式的⾏和列的地位相同,⾏所具有的性质对于列也成⽴,反之亦然.性质2 若⾏列式中有某⼀⾏(或列)为零,则这个⾏列式的值等于零.说明:把⾏列式按此⾏(或列)展开即可.性质3 ⾏列式中任何两⾏(或两列)互换位置, ⾏列式的值变号.证明: ,第⼀⾏与第三⾏互换位置后,⾏列式变为将D按第⼀⾏展开,得将D1按第三⾏展开,得此性质对于n阶⾏列式也成⽴.推论: 如果⾏列式有两⾏(列)完全相同, 则此⾏列式等于零.说明:交换这两⾏(列)⾏列式D化为D1,由性质2知,-D=D1,由于交换的两⾏(列)相同,故D=D1,因此,-D=D,D=0性质4 ⾏列式的某⼀⾏(列)中所有的元素都乘以同⼀数λ, 等于⽤数λ乘此⾏列式.反之, ⾏列式的某⼀⾏(列)中所有的元素有公因数,则可以把这个公因数从⾏列式中提出来,即说明:上⾯两个⾏列式若按第i⾏展开,结果是相同的.推论:⾏列式中如果有两⾏(列)元素对应成⽐例, 则此⾏列式等于零.性质5 若⾏列式的某⼀⾏(列)的每个元素都是两个数之和, 例如第i⾏的元素都是两数之和: 即,则D等于下列两个⾏列式之和:.说明:记三个⾏列式为D,D1,D2,则性质6 把⾏列式的某⼀⾏(列)的各元素乘以同⼀数然后加到另⼀⾏(列)对应的元素上去, ⾏列式不变. 即.说明:性质5和性质4可得性质6,这个性质在⾏列式的计算中⾮常重要.性质7 ⾏列式每⼀⾏(或列)的每个元素与另⼀⾏(或列)对应元素的代数余⼦式的乘积的和等于零,即说明: n阶⾏列式按第j⾏展开,于是得下⾯结论 , 或在处理和计算⾏列式时,常⽤上述7条性质,为了表达简洁,引⼊下列记号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)例如,例9 计算⾏列式解:利⽤⾏列式的性质,把D化为相等的上(下)三⾓⾏列式,再写出结果,这是计算⾏列式的常⽤⽅法.说明:(1)利⽤性质6,先把a11下⾯的所有元素化为零;(2) 再把a22下⾯的所有元素化为零;(3)重复操作,直到化为三⾓⾏列式为⽌;(4)对于列也可以采⽤同样的处理⽅法,化为其它类型的三⾓⾏列式,再求值.求⾏列式的值时,常⽤的⽅法还有按某⾏(列)展开,达到降阶的⽬的,从⽽化简⾏列式,直到求出结果为⽌.例10 计算⾏列式解:要善于⽤两种⽅法求⾏列式的值:1.化为三⾓⾏列式(四种结果)2.按某⼀⾏(列)展开(选零较多的⾏(列)).例11 计算⾏列式解:因第⼀列与第三列对应元素成⽐例,所以D=0.例12 计算⾏列式解:例13 计算⾏列式解:D1中每⾏提出公因⼦(-1),得所以D1=0D2按第⼀⾏展开,得例14 计算⾏列式解:同理可得例15 计算三阶Vandermonde⾏列式解:同理可得n阶Vandermonde⾏列式例16 计算（m+n）阶零块⾏列式解：记，对|A|作若⼲次r i+λr j操作，化为下三⾓⾏列式，设为对|B|作若⼲次c i+λc j操作，化为下三⾓⾏列式，设为把对|A|的操作全部施于D的前n⾏，再把对|B|的操作全部施于D的后m列，得同理可知以下三个零块⾏列式的值（1）（2）注：（3）说明：1.(2)中⾏列式D可化为下三⾓⾏列式,利⽤前⾯的结论,可推得2. 四种结果要牢记.。

一阶行列式计算摘要：一、行列式的概念与性质1.行列式的定义2.行列式的性质二、一阶行列式的计算方法1.按第一行展开2.按第一列展开3.主对角线法则4.余子式与代数余子式三、一阶行列式的应用1.线性方程组的解2.矩阵的逆正文：一、行列式的概念与性质行列式是一个数学概念，用于描述线性方程组解的情况。

行列式是由方阵中元素按照一定规则组合而成的一个标量值。

它具有以下几个性质：1.行列式与它的转置行列式互为相反数。

2.互换行列式的两行（或两列），行列式的值变为原来的相反数。

3.行列式的某一行（或列）乘以一个常数k，行列式的值也要乘以k。

4.行列式的某一行（或列）加上另一行（或列）的k 倍，行列式的值不变。

二、一阶行列式的计算方法1.按第一行展开：一阶行列式等于第一行的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和。

2.按第一列展开：一阶行列式等于第一列的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和。

3.主对角线法则：当行列式中某个元素为0 时，可以跳过这个元素所在的行和列，继续计算其他元素的值。

4.余子式与代数余子式：行列式中每个元素都可以表示为其所对应的代数余子式与主对角线上元素的乘积之和。

三、一阶行列式的应用1.线性方程组的解：一阶行列式可以用来判断线性方程组是否有唯一解、无解或无穷多解。

当行列式的值为0 时，方程组无解；当行列式的值为正数时，方程组有唯一解；当行列式的值为负数时，方程组有无穷多解。

2.矩阵的逆：如果一个矩阵的一阶行列式不为0，那么这个矩阵可逆，且其逆矩阵可以通过计算行列式来得到。