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同济大学线性代数教案第二章方阵的行列式线性代数教学教案第二章方阵的行列式授课序号01121212()12(1)n n np p p p p np p p p a a a τ-∑L L L称为由2n 个元素(,1,2,,)ij a i j n =L 构成的n 阶行列式，记为111212122212n n n n n nna a a a a a D a a a =L LM M O M L，即：1212121112121222()1212(1)n n nn n p p p n p p np p p p n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑L L L LL M M O M L.其中12np p p ∑L 表示对所有的n 阶全排列12n p p p L 求和,数(),1,2,,ij a i j n =L 称为行列式的(),i j 元素，其中第一个下标i 称为元素ij a 的行标，第二个下标j 称为元素ij a 的列标. 方阵A 的行列式: 记矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭L LM M O M L A ，则行列式通常也称为方阵A 的行列式，记为A . 有时为了表明行列式是由元素ij a 构成的，也简记为det()ij a =A 、ij n na ⨯或ij na .二阶行列式:1212121112()12112212212122(1)p p p p p p a a a a a a a a a a τ=-=-∑.三阶行列式: 123123123111213()212223123313233(1)p p p p p p p p p a a a A a a a a a a a a a τ==-∑112233132132122331132231122133112332=++---a a a a a a a a a a a a a a a a a a .二、三阶行列式也可借助于对角线法则来记忆：11122122a a a a授课序号02授课序号03授课序号04精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除。
行列式的性质及求解方法行列式是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域，例如矩阵求逆、线性方程组的解法、空间向量的叉积等。
在本文中，我们将探讨行列式的性质及其求解方法。
一、行列式的定义及性质1.1 行列式的定义对于一个$n$阶方阵$A=[a_{ij}]$，定义它的行列式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\sum_{\sigma \in S_n}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)}a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdotsa_{n\sigma(n)}$$其中，$\sigma$是$n$个元素的全排列，$S_n$表示$n$个元素的置换群，$\mathrm{sgn}(\sigma)$表示$\sigma$的符号，即$(-1)^k$，其中$k$为$\sigma$的逆序数。
1.2 行列式的性质- 行列式的值不变性行列式的值只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列变换或线性组合无关。
- 互换矩阵的两行或两列，行列式变号将矩阵的两行（列）互换，则该行列式的值取相反数。
- 矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，行列式的值乘以$k$将矩阵的某一行（列）乘以一个数$k$，则该行列式的值乘以$k$。
- 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式不变将矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
- 方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$二、行列式的求解方法2.1 按定义计算法按照上述定义，计算行列式涉及到全排列的遍历与逆序数的计算，这种方法虽然理论上可行，但计算量较大，不适用于较大的矩阵。
