10.30数学数形结合

数形结合将数学与形结合起来解决问题数学和几何形状是两个看似截然不同的领域，但事实上它们之间存在着紧密的联系。

通过将数学与形状相结合，我们能够更好地解决一些实际问题。

本文将讨论数形结合的概念，并通过一些实例来说明它的应用。

一、数形结合的概念数形结合是指将数学和几何形状相结合，通过应用数学原理来解决与形状相关的问题。

数学是一门抽象的学科，通过符号和符号间的关系进行推导和计算；而几何形状则是具体的、可视化的，通过形状和空间的关系得出结论。

数形结合的理念是将抽象的数学概念和具体的图形形状相连接，通过建立模型、抽象问题和利用具体形状的特性来解决实际问题。

这种方法的优势在于能够借助图形的直观性来帮助我们理解和解决问题，同时也能够利用数学原理进行精确的计算和推导。

二、数形结合的应用1. 面积计算通过数形结合，我们可以利用几何形状的特性来计算各种形状的面积。

以正方形为例，我们可以通过数学公式A = a^2来计算一个正方形的面积，其中a代表正方形的边长。

同样地，通过数学公式A = πr^2，我们可以计算出一个圆的面积，其中r代表圆的半径。

通过数学公式的运用，我们可以更快、更准确地计算出各种形状的面积。

2. 图形构建数形结合还可以应用于图形的构建。

通过数学公式和几何原理，我们可以精确地画出各种形状的图形。

以角度为例，通过运用三角函数的概念，我们可以计算出任意角度的正弦、余弦和正切值，并通过这些数值来绘制各种角度的图形。

数学的准确性和形状的可视化相结合，使得图形的构建更加便捷和精确。

3. 几何推理数形结合还可以应用于几何推理。

通过将几何形状和数学原理相结合，我们可以进行严密的几何论证。

以平行四边形为例，我们可以通过运用数学原理证明其性质：对边平行、对角线相等。

通过这种推理，我们能够更好地理解几何形状的性质，并应用于解决更复杂的问题。

三、数形结合的意义数形结合的意义在于将抽象的数学概念与具体的形状相结合，帮助我们更好地理解和解决问题。

“数形结合思想”解析（一）“数形结合”思想的内涵诠释“数形结合”的本质是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来进行思考，使“数”与“形”各展其长，优势互补，实现抽象思维与形象思维的结合，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化，起到优化解题途径的目的。

“数形结合”一词正式出现在华罗庚先生于1964年1月撰写的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的科普小册子中，书中有一首小词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。

数无形时少直觉，形少数时难入微。

数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首小词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质。

“数形结合”是一种重要的数学思想，也是一种智慧的数学方法。

我们在研究抽象的“数”的时候，往往要借助于直观的“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。

通过“数”与“形”的结合，我们对事物、规律的把握就能既容易又细微、深刻。

（二）“数形结合思想”在教学中的作用。

数形结合的方法具有双向性：借助“形”的生动和直观性认识“数”，即以“形”为手段，“数”为目的；或借助于“数”精确和规范地阐明“形”的属性，此时，“数”是手段。

1.以“形”助“数”。

“形”的广义性以及小学生数学学习中直观形象思维的主导地位决定了大部分数学知识学习需要“形”的支撑。

a.数学概念的建立借助“形”的直观。

由于概念的抽象与概括性，教学时要向学生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。

如在数小棒、搭多边形中认识整数，在等分图形中认识分（小）数；利用交集图理解公因数与公倍数等等。

同样，运算的概念（如“除法”、“余数”）、数学术语（如“平均分”、“大于”）等等都需要“形”的参与。

b.数学性质的探索依赖“形”的操作。

数学性质是关于规律性的知识，应该让学生自主探索发现，而形的操作有助于发现规律。

如教学“3的倍数的特征”可作如下设计：让学生用9根小棒摆出三位数，判断是否是3的倍数；8根、6根呢？操作中学生发现，组成的三位数是否是3的倍数只与小棒的根数有关，而与摆的方式无关，根数就是各数位上数的和。

【下载后获高清完整版-优质文档】高中数学：数形结合全总结一、数形结合的三个原则一、等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．首先，由代数式、方程、不等式构造函数时一要注意变量(包括自变量和因变量)的取值范围。

二、双向性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，直观的几何说明不能代替严谨的代数推理.另一方面，仅用直观分析，有时反倒使问题变得复杂，比如在二次曲线中的最值问题，有时使用三角换元，反倒简单轻松.三、简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，确定好主元；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线(直线中含有参数)与定二次曲线．二、数形结合的应用一、利用数轴、韦恩图求集合利用数形结合的思想解决集合问题，常用的方法有数轴法、韦恩图法等。

当所给问题的数量关系比较复杂，不好找线索时，用韦恩图法能达到事半功倍的效果。

二、数形结合在解析几何中的应用解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的.构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：（一）与斜率有关的问题三、数形结合在函数中的应用（一）利用数形结合解决与方程的根有关的问题【点拨】数形结合可用于解决方程的根的问题，准确合理地作出满足题意的图象是解决这类问题的前提.（二）利用数形结合解决函数的单调性问题（三）利用数形结合解决比较数值大小的问题（四）函数的最值问题（五）利用数形结合解决抽象函数问题四、运用数形结合思想解不等式（一）解不等式（二）求参数的取值范围五、运用数形结合思想解决三角函数问题纵观近三年的高考试题，巧妙地运用数形结合的思想方法来解决一些问题，可以简化计算，节省时间，提高考试效率，起到事半功倍的效果.六、借助向量的图象解决几何问题利用向量可以解决线段相等，直线垂直，立体几何中空间角（异面直线的角、线面角、二面角）和空间距离（点线距、线线距、线面距、面面距），利用空间向量解决立体几何问题，将抽象的逻辑论证转化为代数计算，以数助形，大大降低了空间想象能力，是数形结合的深化。

想学好高中数学，就要学会数形结合！数形结合六大应用及例题详解数形结合是数学中的一种非常重要的思想方法，它包含了“以形助数”和“以数辅形”两个方面。

一、什么是数形结合？1、借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系。

例如应用函数的图象来直观的说明函数的性质；2、借助于数的精确性和规范性来阐明形的某些属性。

如应用曲线的方程来精确的阐明曲线的几何性质。

概括的说，就是在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系与转化二、数形结合应用的三个原则1、等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞。

有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应。

2、双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数进行几何分析容易出错。

3、简单性原则不要为了“数形结合”而数形结合。

具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与二次曲线。

三、如何运用数形结合思想解答数学题1、要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；2、要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；3、要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；4、精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。

很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这些几何意义，往往能收到事半功倍的效果。

数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。

如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。

四、应用方式和例题详解（一）数形结合思想在解决方程的根、不等式解集问题中的应用解析：方法说明：（1）用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解得个数是一种重要的思想方法，其根本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解得个数。

数形结合是一种数学思想方法，它通过将抽象的数学语言与直观的图形相结合，使问题变得更加清晰易懂。

在高中数学中，数形结合方法的应用非常广泛，包括函数、方程、不等式、三角函数、向量、解析几何等方面。

首先，我们来了解一下数形结合方法的定义。

数形结合方法是指将数学语言和图形相结合，通过直观的图形来帮助解决抽象的数学问题。

这种方法的核心思想是将抽象的数学语言转化为直观的图形，从而更好地理解问题。

接下来，我们来探讨数形结合方法在高中数学中的应用。

1. 函数函数是高中数学中的重要概念之一。

通过数形结合方法，我们可以将函数图像与函数解析式相结合，从而更好地理解函数的性质和特点。

例如，在研究函数的单调性时，我们可以画出函数的图像，通过观察图像来了解函数的单调性。

2. 方程方程是高中数学中的另一个重要概念。

通过数形结合方法，我们可以将方程的解转化为函数的图像，从而更好地理解方程的解。

例如，在求解一元二次方程时，我们可以画出根的判别式与根的关系图像，从而更好地理解方程的解。

3. 不等式不等式是高中数学中的另一个重要概念。

通过数形结合方法，我们可以将不等式的解转化为函数的图像，从而更好地理解不等式的性质和特点。

例如，在研究不等式的单调性时，我们可以画出函数的图像，通过观察图像来了解不等式的单调性。

4. 三角函数三角函数是高中数学中的另一个重要概念。

通过数形结合方法，我们可以将三角函数的图像与三角函数的解析式相结合，从而更好地理解三角函数的性质和特点。

例如，在研究三角函数的周期性时，我们可以画出三角函数的图像，通过观察图像来了解三角函数的周期性。

5. 向量向量是高中数学中的另一个重要概念。

通过数形结合方法，我们可以将向量的坐标与向量的长度、方向相结合，从而更好地理解向量的性质和特点。

例如，在研究向量的加法、减法时，我们可以画出向量的图像，通过观察图像来了解向量的加法、减法。

6. 解析几何解析几何是高中数学中的另一个重要概念。

数形结合解和差问题
数形结合解和差问题是一种常见的数学解题方法，通过将数学问题与几何图形相结合，可以更直观地理解和解决问题。

这种方法常用于解决关于几何图形的周长、面积、体积等问题。

对于解和差问题，我们需要先理解什么是和、差以及和差问题的应用。

和指的是将两个或多个数值相加，差指的是将两个数值相减。

而和差问题则是在给定数值之间进行加减运算，并得到具体结果。

举个例子来说明数形结合解和差问题的应用。

假设有一个长方形，它的长度是5cm，宽度是3cm。

那么我们可以根据这个长方形的几何图形得到周长和面积。

我们可以利用长方形的定义知道周长等于长加宽的两倍，即周长为2(5+3)=16cm。

这里我们就是先进行了数学的和操作，然后再结合几何图形得到了周长的具体数值。

我们可以利用长方形的定义知道面积等于长乘以宽，即面积为
5×3=15cm²。

同样，我们先进行了数学的乘法运算，然后再结合几何图形得到了面积的具体数值。

这个例子展示了数形结合解和差问题的应用。

通过将几何图形的特征结合数学运算，我们可以更直观地理解周长和面积的概念，并解决相关的数学问题。

数形结合解和差问题是一种有效的数学解题方法。

通过将几何图形与数学运算相结合，可以更直观地理解和解决各种数学问题。

这种方法不仅能增加问题的可视化程度，也可以提高解题效率。

数形结合的思想方法(1)---讲解篇一、知识要点概述数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。

因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。

在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。

二、解题方法指导1．转换数与形的三条途径：①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。

②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。

③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。

数形结合思想1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线方程来精确地阐明曲线几何性质．2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：（1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．（2）双方性原则．既进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．（3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想解决的问题常有以下几种：（1）构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；（2）构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；（3）构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；（4）构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；（5）构建立体几何模型研究代数问题；（6）构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；（7）构建方程模型，求根的个数；（8）研究图形的形状、位置关系、性质等．4．数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点（1）集合的运算及Ve nn图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线；（5）对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；（6）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点、顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用．5．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解；（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证专题一 在集合方面的应用例题1 有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数、理、化 小组的人数分别为28，25，15，同时参加数、理 小组的8人，同时参加数、化 小组的6人，同时参加理、化 小组的7人，问：同时参加数、理、化 小组的有多少人？【解析】我们可用圆A 、B 、C 分别表示参加数理化小组的人数（如图），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数,用n 表示集合的元素，则有48)()()()()()()(=+---++C B A n C B n C A n B A n C n B n A n 即：48)(768152528=+---++C B A n∴1)(=C B A n ，即同时参加数理化小组的有1人．例题2 已知集合{}{})(,3|,31|R a a x a x B x x A ∈<<=<<-=（1）B A ⊆，求a 的范围. ⑵若A B ⊆，求a 的范围．【解析】先在数轴上表示出集合A 的范围，要使B A ⊆，由包含于的关系可知集合B 应该覆盖集合A ，从而有:⎩⎨⎧≥-≤331a a ,这时a 值不可能存在（图①）要使A B ⊆，当a >0时集合A 应该覆盖集合B ,应有成立1330a a a ≥-⎧⎪≤⎨⎪>⎩，01a <≤即。

数学中的数形结合一、数学概念在数学概念中的数形结合，就是借助于直观形象模型去理解抽象的数学语言或数量关系，即用有形的数学教具、数学模型和数学概念、定义、规律等数学知识有机结合，帮助学生感知、生成、深化概念。

1.图形演示，理解概念图形演示是理解概念的最常用的方法，借助丰富的感性材料联系具体形象的模型演示出数学概念最抽象的最本质的属性，从而丰富了学生的感性认知，更为理解数学概念。

如“求一个数的几倍是多少”，学生最不易理解的是“倍”的概念，如何把“倍”的数学概念深入浅出地教授给学生，使他们能对“倍”有个深刻的印象，用图形演示的方法是最简单又最有效的方法。

可以利用多媒体技术在第一行排出3根一组的红色小木棒，再在第二行排出3根一组的蓝色的小木棒，第二行一共排4组蓝色小木棒。

结合演示，让学生观察比较两行小木棒的数量特征，再启发学生小组合作讨论和交流，使学生清晰地认识到：红色小木棒是1个3根，蓝色小木棒是4个3根；把一个3根当作一份，则红色小木棒是1份，而蓝色小木棒就有4份。

用数学语言：把红色小木棒当作1倍，蓝色小木棒的根数就是红色小木棒的4倍。

这样，从演示中让学生看到从“个数”到“份数”，再引出倍数，很快就触及了概念的本质。

2.借形设问，形成过程在概念教学中要借助学生熟知的能够触摸和直接感知的有形物体或图形，设置一些步步深入的诱导性问题，从感知到认识的思维过程，再引导学生通过观察、比较、分析、概括逐步形成新的概念。

有助于加强学生理解与运用概念，同时激发学生的数学思维。

如，教学“体积”概念。

教师可以借助形象物体设问，引导学生分析比较。

首先观察物体，初步感知。

让学生观察教室门和黑板并说出谁大谁小，再出示两个边长分别为2厘米和5厘米的正方形纸板用同样的方法，这样建立了学生对物体大小的初步感性认识。

接着出示两个同样的玻璃杯都裝有半杯水A、B：在B杯中慢慢加入小石子，学生可以观察到，随着小石子投入的增多，杯中的水位不断上升。