2010年中考数学二轮复习独家精品——专题五图形与证明

初三数学上册知识点：图形与证明1.1等腰三角形的性质和判定：定理：等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的过也相等(简称“等角对等边”)推论：等边三角形的每个内角都等于60º3个角都相等的三角形是等边三角形1.2直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角过对应相等的两个直角三角形全等(简写为“HL”) 定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定定理：平行四边形的对边相等平行四边形的对角相等平行四边形的对角线互相平分定理：矩形的4个角都是直角矩形的对角线相等定理：菱形的4条边都相等菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角注：菱形的面积S=底·高=1对角线·对角线正方形具有矩形和菱形的所有性质定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形反证法：先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，从而证明了命题的结论一定成立。

定理：对角线相等的平行四边形是矩形有3个角是直角的四边形是矩形定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4边都相等的四边形是菱形推论：有一组邻边相等的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形在证明四边形为正方形时，可以说明它既是矩形又是菱形1.4等腰梯形的性质和判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形定理：等腰梯形同一底上的两底角相等等腰梯形的对角线相等1.5中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半注：梯形的面积公式：S=1(上底+下底)·高=中位线·高。

28．（2010广东中山）如图（1），（2）所示，矩形ABCD 的边长AB=6，BC=4，点F 在DC 上，DF=2．动点M 、N 分别从点D 、B 同时出发，沿射线DA 、线段BA 向点A 的方向运动（点M 可运动到DA 的延长线上），当动点N 运动到点A 时，M 、N 两点同时停止运动．连接FM 、MN 、FN ，当F 、N 、M 不在同一直线时，可得ΔFMN ，过ΔFMN 三边的中点作ΔPQW ．设动点M 、N 的速度都是1个单位/秒，M 、N 运动的时间为x 秒．试解答下列问题：（1）说明ΔFMN ∽ΔQWP ；（2）设0≤x ≤4（即M 从D 到A 运动的时间段）．试问x 为何值时，ΔPQW 为直角三角形？当x 在何范围时，ΔPQW 不为直角三角形？（3）问当x 为何值时，线段MN 最短？求此时MN 的值．．【答案】解：（1）由题意可知P 、W 、Q 分别是ΔFMN 三边的中点，∴PW 是ΔFMN 的中位线，即PW ∥MN∴ΔFMN ∽ΔQWP（2）由题意可得 DM=BN=x ，AN=6-x ，AM=4-x ，由勾股定理分别得 2FM =24x +，2MN =2)4(x -+2)6(x -2FN =2)4(x -+16①当2MN =2FM +2FN 时，2)4(x -+2)6(x -=24x ++2)4(x -+16解得 34=x②当2FN =2FM +2MN 时，2)4(x -+16=24x ++2)4(x -+2)6(x -此方程无实数根③2FM =2MN +2FN 时，24x +=2)4(x -+2)6(x -+2)4(x -+16解得 101=x （不合题意，舍去），42=x综上，当34=x 或4=x 时，ΔPQW 为直角三角形；当0≤x ＜34或34＜x ＜4时，ΔPQW 不为直角三角形（3）①当0≤x ≤4，即M 从D 到A 运动时，只有当x=4时，MN 的值最小，等于2；②当4＜x ≤6时，2MN =2AM +2AN =2)4(-x +2)6(x -=2)5(22+-x当x=5时，2MN 取得最小值2，∴当x=5时，线段MN 最短，MN=2．29．（2010湖南常德）如图9, 已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A (－4，0) 和B (1，0)两点，与y 轴交于C 点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设E 是线段AB 上的动点，作EF //AC 交BC 于F ，连接CE ，当△CEF 的面积是△BEF 面积的2倍时，求E 点的坐标;（3）若P 为抛物线上A 、C 两点间的一个动点，过P 作y 轴的平行线，交AC 于Q ，当P 点运动到什么位置时，线段PQ 的值最大，并求此时P 点的坐标．【答案】解：（1）由二次函数212y x bx c =++与x 轴交于(4,0)A -、(1,0)B 两点可得：221(4)4021102b c b c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪⋅++=⎪⎩，． 解得： 322b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，．故所求二次函数的解析式为213222y x x =+-．（2）∵S △CEF =2 S △BEF , ∴1,2BF CF =1.3BF BC =∵EF //AC , ∴B ,EF BAC BFE BCA ∠=∠∠=∠ ,∴△BEF ～△BAC ,∴1,3BE BF BA BC ==得5,3BE =故E 点的坐标为(23-,0).（3）解法一：由抛物线与y 轴的交点为C ，则C 点的坐标为（0，－2）．若设直线AC 的解析式为y kx b =+，则有20,04b k b -=+⎧⎨=-+⎩． 解得：1,22k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩．故直线AC 的解析式为122y x =-－．若设P 点的坐标为213,222a a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，又Q 点是过点P 所作y 轴的平行线与直线AC 的交点，则Q 点的坐标为（1,2)2a a --．则有：2131[(2)](2)222PQ a a a =-+----＝2122a a--＝()21222a -++ 即当2a =-时，线段PQ 取大值，此时P 点的坐标为（－2，－3）解法二：延长PQ 交x 轴于D 点，则PD AB ⊥．要使线段PQ 最长，则只须△APC 的面积取大值时即可.设P 点坐标为（),00y x ，则有:ACO DPCO S APC ADP S S S =+-V V V 梯形xyO BC A图9＝111()222AD PD PD OC OD OA OC ⋅++⋅-⋅＝()()000001112242222x y y y x --+-+⋅--⨯⨯＝0024y x ---＝20001322422x x x ⎛⎫-+---⎪⎝⎭＝2004xx -- ＝－()22024x ++即02x =-时，△APC 的面积取大值，此时线段PQ 最长，则P 点坐标为（－2，－3）30 ．（2010湖南郴州）如图（1），抛物线42y x x =+-与y 轴交于点A ，E （0，b ）为y 轴上一动点，过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C .（1）求点A 的坐标；（2)当b =0时（如图（2）），ABE V 与ACE V 的面积大小关系如何？当4b >-时，上述关系还成立吗，为什么？ （3）是否存在这样的b ，使得BOC V 是以BC 为斜边的直角三角形，若存在，求出b ；若不存在，说明理由.【答案】（1）将x =0，代入抛物线解析式，得点A 的坐标为（0，－4）（2）当b ＝0时，直线为y x =，由24y x y x x =⎧⎨=+-⎩解得1122x y =⎧⎨=⎩，2222x y =-⎧⎨=-⎩所以B 、C 的坐标分别为（－2，－2），（2，2）14242ABE S =⨯⨯=V ，14242ACE S =⨯⨯=V所以ABE ACE S S =V V （利用同底等高说明面积相等亦可）当4b >-时，仍有ABE ACE S S =V V 成立. 理由如下由24y x b y x x =+⎧⎨=+-⎩，解得11x y b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，22x y b⎧=⎪⎨=⎪⎩所以B 、C 的坐标分别为（－4b +，－4b ++b ），（4b +，4b ++b ），作BF y ⊥轴，CG y ⊥轴，垂足分别为F 、G ，则4BF CG b ==+，而ABE V 和ACE V 是同底的两个三角形，所以ABE ACE S S =V V .（3）存在这样的b .因为90BF CG,BEF CEG,BFE CGE =∠=∠∠=∠=︒所以BEF CEG≅V V所以BE CE =，即E 为BC 的中点所以当OE =CE 时，OBC V 为直角三角形因为44GE b b b b GC =++-=+=所以 24CE b =⋅+，而OE b=所以24b b ⋅+=，解得124,2b b ==-，所以当b ＝4或－2时，ΔOBC 为直角三角形.31．（2010湖南怀化）图9是二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1,-4).（1）求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PABS S ∆∆=45,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.【答案】解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数k m x y ++=2)(的顶点坐标，所以324)1(22--=--=x x x y令,0322=--x x 解之得3,121=-=x x .∴A ，B 两点的坐标分别为A （-1，0），B （3,0）(2) 在二次函数的图象上存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45设),,(y x p 则y y AB S PAB 221=⨯=∆，又8421=-⨯=∆AB S MAB ,图9∴.5,8452±=⨯=y y 即∵二次函数的最小值为-4，∴5=y .当5=y 时，4,2=-=x x 或.故P 点坐标为（-2，5）或（4，5）……………7分（3）如图1，当直线)1(<+=b b x y 经过A 点时，可得.1=b ……………8分当直线)1(<+=b b x y 经过B 点时，可得.3-=b由图可知符合题意的b 的取值范围为13<<-b32．（2010湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A （-1，0），B （0，2），一动点P 沿过B 点且垂直于AB 的射线BM 运动，P 点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM 与x 轴交与点C ．（1）求点C 的坐标．（2）求过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式．（3）若P 点开始运动时，Q 点也同时从C 出发，以P 点相同的速度沿x 轴负方向向点A 运动，t 秒后，以P 、Q 、C 为顶点的三角形为等腰三角形．（点P 到点C 时停止运动，点Q 也同时停止运动）求t 的值． （4）在（2）（3）的条件下，当CQ =CP 时，求直线OP 与抛物线的交点坐标．【答案】（1）点C 的坐标是（4，0）； （2）设过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c （a ≠0），将点A 、B 、C 三点的坐标代入得：020164a b c c a b c =-+⎧⎪=⎨⎪=++⎩解得12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴抛物线的解析式是：y = 12-x 2+32x +2．（3）设P 、Q 的运动时间为t 秒，则BP =t ，CQ =t ．以P 、Q 、C 为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论．①若CQ =PC ，如图所示，则PC = CQ =BP =t ．∴有2t =BC =25，∴t =5．②若PQ =QC ，如图所示，过点Q 作DQ ⊥BC 交CB 于点D ，则有CD =PD ．由△ABC ∽△QDC ，可得出PD =CD =25t ，∴4525t t =-，解得t =40105-．③若PQ =PC ，如图所示，过点P 作PE ⊥AC 交AC 于点E ，则EC =QE =25PC ，∴12t =25（25-t ），解得t =32540-．（4）当CQ =PC 时，由（3）知t =5，∴点P 的坐标是（2，1），∴直线OP 的解析式是：y =12x ，图1因而有12x =12-x 2+32x +2，即x 2-2x -4=0，解得x =1±5，∴直线OP 与抛物线的交点坐标为（1+5，15+）和（1-5，15-）．33．（2010湖北省咸宁）已知二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴两交点的坐标分别为（m ，0），（3m -，0）（0m ≠）．（1）证明243c b =；（2）若该函数图象的对称轴为直线1x =，试求二次函数的最小值．【答案】（1）证明：依题意，m ，3m -是一元二次方程20x bx c +-=的两根．根据一元二次方程根与系数的关系，得(3)m m b +-=-，(3)m m c ⨯-=-．∴2b m =，23c m =．∴224312c b m ==．（2）解：依题意，12b-=，∴2b =-．由（1）得2233(2)344c b ==⨯-=．∴2223(1)4y x x x =--=--．∴二次函数的最小值为4-．34．（2010湖北恩施自治州） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP /C ， 那么是否存在点P ，使四边形POP /C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.【答案】解：（1）将B 、C 两点的坐标代入得⎩⎨⎧-==+33c c b解得：⎩⎨⎧-=-=32c b所以二次函数的表达式为：322--=x x y（2）存在点P ，使四边形POP /C 为菱形．设P 点坐标为（x ，322--x x ），PP /交CO 于E若四边形POP /C 是菱形，则有PC ＝PO ．连结PP /则PE ⊥CO 于E ，∴OE=EC =23∴y =23-．∴322--x x =23-解得1x =2102+，2x =2102-（不合题意，舍去）∴P 点的坐标为（2102+，23-）…………………………8分（3）过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P （x ，322--x x ），易得，直线BC 的解析式为3-=x y则Q 点的坐标为（x ，x －3）.EB QP OE QP OC AB S S S S CPQ BPQ ABC ABPC ⋅+⋅+⋅=++=∆∆∆212121四边形 3)3(2134212⨯+-+⨯⨯=x x =87523232+⎪⎭⎫ ⎝⎛--x当23=x 时，四边形ABPC 的面积最大此时P 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-415,23，四边形ABPC 的面积875的最大值为．35．（2010北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23454122+-++--=m x x mx m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B （2，n ）在这条抛物线上．（1）求B 点的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从O 点出发向A 点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交与点E ，延长PE 到点D ，使得ED =PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧做等等腰直角三角形PCD （当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动）．① 当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；② 若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动）．过Q 点做x 轴的垂线，与直线AB 交与点F ，延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当Q 点运动时，M 点、N点也随之运动）．若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．【答案】解：（1）∵抛物线23454122+-++--=m m x m x m y 经过原点，∴m 2—3m +2=0.解的m 1=1，m 2=2. 由题意知m ≠1. ∴m =2，∴抛物线的解析式为xx y 25412+-=∵点B （2，n ）在抛物线x x y 25412+-=，n=4.∴B 点的坐标为（2，4）（2）①设直线OB 的解析式为y =k 1x求得直线OB 的解析式y =2x∵A 点是抛物线与x 轴的一个交点，可求得A 点的坐标为（10，0），设P 点的坐标为（a ，0），则E 点的坐标为（a ，2a ）．根据题意做等腰直角三角形PCD ，如图1.可求得点C 的坐标为（3a ，2a ），有C 点在抛物线上，得2a =－41x （3a ）2+25x 3a .即49a 2— 211a =0解得 a 1=922，a 2=0（舍去）∴OP =922②依题意作等腰直角三角形QMN .设直线AB 的解析式y =k 2x +b由点A (10 ，0)，点B （2，4），求得直线AB 的解析式为y =－21x +5当P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：第一种情况：CD 与NQ 在同一条直线上，如图2所示，－1 yx O（第24题） 1234 －2 －4 －33 －1－2 －3 －4 4 1 2可证△DPQ为等腰直角三角形．此时QP、OP、AQ的长可依次表示为t、4t、 2t个单位．∴PQ = DP = 4t∴t+4t+2t=10∴t=710第二种情况：PC与MN在同一条直线上，如图3所示．可证△PQM为等腰直角三角形．此时OP、AQ的长依次表示为t、2t个单位，∴OQ = 10 － 2t∵F点在直线AB上∴FQ=t∵MQ=2t∴PQ=MQ=CQ=2t∴t+2t+2t=10∴t=2.第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示，此时OP、AQ的长依次表示为t、2t个单位．∴t+2t=10∴t=310综上，符合题意的值分别为710，2，310．36．（2010云南红河哈尼族彝族自治州）二次函数2xy=的图像如图8所示，请将此图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位.（1）画出经过两次平移后所得到的图像，并写出函数的解析式.（2）求经过两次平移后的图像与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？【答案】解：画图如图所示：依题意得：2)1(2--=xy=2122-+-xx=122--xx∴平移后图像的解析式为：122--xx（2）当y=0时，122--x x =02)1(2=-x 21±=-x 212121+=-=x x ，∴平移后的图像与x 轴交与两点，坐标分别为（21-，0）和（21+，0）由图可知，当x<21-或x>21+时，二次函数2)1(2--=x y 的函数值大于0.37．（2010云南楚雄）已知：如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于两点A (1，0)，B (3，0).与y 轴相较于点C （0，3）．（1）求抛物线的函数关系式； （2）若点D （7,2m ）是抛物线2y ax bx c =++上一点，请求出m 的值，并求处此时△ABD 的面积．【答案】解：（1）由题意可知09303a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以抛物线的函数关系式为243y x x =-+．（2）把D （7,2m ）代人函数解析式243y x x =-+中，得2775()43224m =-⨯+=．所以155(31)244ABD S ∆=⨯-⨯=．38．（2010湖北随州）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O.过抛物线上一点P （x ，y ）向直线54y =作垂线，垂足为M ，连FM （如图）.（1）求字母a ，b ，c 的值；（2）在直线x ＝1上有一点3(1,)4F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形； （3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.【答案】（1）a ＝－1，b ＝2，c ＝031241234O1-2-1-2-xy（2）过P 作直线x=1的垂线，可求P 的纵坐标为14，横坐标为1132+.此时，MP ＝MF ＝PF ＝1，故△MPF 为正三角形.（3）不存在.因为当t ＜54，x ＜1时，PM 与PN 不可能相等，同理，当t ＞54，x ＞1时，PM 与PN 不可能相等.39．（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值； (3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标.【答案】（1）设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c (a ≠0)，则有1640,4,420.a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩解得1,21,4.a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线的解析式y =12x 2+x ﹣4（2）过点M 作MD ⊥x 轴于点D .设M 点的坐标为（m ，n ）.则AD =m +4，MD =﹣n ，n =12m 2＋m －4 .∴S = S △AMD +S 梯形DMBO －S △ABO=12( m +4) (﹣n )＋12(﹣n ＋4) (﹣m ) －12×4×4= ﹣2n -2m -8= ﹣2(12m 2＋m －4) -2m -8= ﹣m 2-4m (－4< m < 0)∴S 最大值 = 4（3）满足题意的Q 点的坐标有四个，分别是：（-4 ，4 ），（4 ，-4），（-2+252－5，（-2－52＋2540．（2010四川乐山）如图(13.1)，抛物线y ＝x2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C(0，2)，连接AC ，若tan ∠OAC ＝2． (1)求抛物线对应的二次函数的解析式； (2)在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使∠APC ＝90°，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图(13.2)所示，连接BC ，M 是线段BC 上(不与B 、C 重合)的一个动点，过点M 作直线l ′∥l ，交抛物线于点N ，连接CN 、BN ，设点M 的横坐标为t ．当t 为何值时，△BCN 的面积最大？最大面积为多少？【答案】解：（1）∵抛物线y=x2＋bx＋c过点C(0,2). ∴x=2又∵tan∠OAC=OCOA=2, ∴OA=1,即A(1,0).又∵点A在抛物线y=x2＋bx＋2上. ∴0=12＋b×1＋2,b=－3∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x2－3x＋2（2）存在过点C作对称轴l的垂线,垂足为D,如图所示,∴x=－332212ba-=-=⨯.∴AE=OE-OA=32-1=12,∵∠APC=90°,∴tan∠PAE= tan∠CPD∴PE CDEA DP=,即12PE322PE=-，解得PE=12或PE=32，∴点P的坐标为（32，12）或（32，32）。

初三第二轮综合复习-《证明二》一、知识点归纳1、一般三角形的性质(1)角与角的关系：三个内角的和等于180°；一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角。

(2)边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。

(3)边与角的大小对应关系：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。

2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。

3、三角形全等的判定方法：（1）一般三角形全等的判定方法：①SSS；②SAS；③ASA；④AAS。

（3）直角三角形全等的判定方法：①SSS；②SAS；③ASA；④AAS；⑤HL。

4、三角形相似的判定方法：（1）一般三角形相似的判定方法：①SSS；②SAS；③AA；（3）直角三角形相似的判定方法：①SSS；②SAS；③AA；④HL。

5、特殊三角形的性质和判定（1）等腰三角形性质：①等腰三角形的两个底角相等；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

（2）等边三角形性质：①具有等腰三角形的所有性质；②等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°判定：①有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）直角三角形性质：①勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；②直角三角形中，若一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

判定：①勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形就是直角三角形。

②若一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

6、线段的垂直平分线的定理及其逆定理：（1）定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

（2）逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

2010年中考数学真题分类汇编(150套)专题十八·二次函数的图象和性质228．2010广东中山如图12所示矩形ABCD的边长AB 6BC 4点F在DC上DF 2．．．．．答案①当时解得②当时此方程无实数根③时解得不合题意舍去综上当或时ΔPQW为直角三角形当0≤x＜或＜x＜4时ΔPQW不为直角三角形3①当0≤x≤4即M从D到A运动时只有当x 4时MN的值最小等于2②当4＜x≤6时当x 5时取得最小值2∴当x 5时线段MN最短MN ．29．2010湖南常德如图已知抛物线与轴交于A －4 和B 10 两点与轴交于C点．求此抛物线的解析式设E是线段AB上的动点作EFAC交BC于F连接CE当△CEF的面积是△BEF 面积的2倍时求E点的坐标若P为抛物线上AC两点间的一个动点过P作轴的平行线交AC于Q当P点运动到什么位置时线段PQ的值最大并求此时P点的坐标．解1由二次函数与轴交于两点可得解得故所求二次函数的解析式为．2∵S△CEF 2 S△BEF ∴∵EFAC ∴∴△BEF～△BAC∴得故E点的坐标为 0 3解法一由抛物线与轴的交点为则点的坐标为0－2．若设直线的解析式为则有解得故直线的解析式为．若设点的坐标为又点是过点所作轴的平行线与直线的交点则点的坐标为．则有＝＝即当时线段取大值此时点的坐标为－2－3解法二延长交轴于点则．要使线段最长则只须△的面积取大值时即可设点坐标为则有＝＝＝＝＝＝－即时△的面积取大值此时线段最长则点坐标为－2－3与y轴交于点AE0b为y轴上一动点过点E的直线与抛物线交于点BC1求点A的坐标2 当b 0时如图2与的面积大小关系如何当时上述关系还成立吗为什么3是否存在这样的b使得是以BC为斜边的直角三角形若存在求出b若不存在说明理由答案1将x 0代入抛物线解析式得点A的坐标为0－42当b＝0时直线为由解得所以BC的坐标分别为－2－222所以利用同底等高说明面积相等亦可当时仍有成立理由如下由解得所以BC的坐标分别为－－bb作轴轴垂足分别为FG则而和是同底的两个三角形所以3存在这样的b因为所以所以即E为BC的中点所以当OE CE时为直角三角形因为所以而所以解得所以当b＝4或－2时ΔOBC为直角三角形31．2010湖南怀化图9是二次函数的图象其顶点坐标为M 1-41求出图象与轴的交点AB的坐标2在二次函数的图象上是否存在点P使若存在求出P点的坐标若不存在请说明理由3将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折图象的其余部分保持不变得到一个新的图象请你结合这个新的图象回答当直线与此图象有两个公共点时的取值范围答案解 1 因为M 1-4 是二次函数的顶点坐标所以令解之得∴AB两点的坐标分别为A-10B302 在二次函数的图象上存在点P使设则又∴∵二次函数的最小值为-4∴当时故P点坐标为-25或457分3如图1当直线经过A点时可得8分当直线经过B点时可得由图可知符合题意的的取值范围为解得∴抛物线的解析式是y x2x2．3设PQ的运动时间为t秒则BP tCQ t．以PQC为顶点的三角形为等腰三角形可分三种情况讨论．①若CQ PC如图所示则PC CQ BP t．∴有2t BC ∴t ．②若PQ QC如图所示过点Q作DQ⊥BC交CB于点D则有CD PD．由△ABC∽△QDC可得出PD CD ∴解得t ．③若PQ PC如图所示过点P作PE⊥AC交AC于点E则EC QE PC∴t -t解得t ．4当CQ PC时由3知t ∴点P的坐标是21∴直线OP的解析式是y x因而有x x2x2即x2-2x-4 0解得x 1±∴直线OP与抛物线的交点坐标为1和1-．33．2010湖北省咸宁已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为00．1证明2若该函数图象的对称轴为直线试求二次函数的最小值．1证明依题意是一元二次方程的两根．根据一元二次方程根与系数的关系得．∴．∴．2解依题意∴．由1得．∴．∴二次函数的最小值为．的图象与x轴交于AB两点 A点在原点的左侧B点的坐标为30与y轴交于C0-3点点P是直线BC下方的抛物线上一动点1求这个二次函数的表达式．2连结POPC并把△POC沿CO翻折得到四边形POPC 那么是否存在点P使四边形POPC为菱形若存在请求出此时点P的坐标若不存在请说明理由．3当点P运动到什么位置时四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积答案解1将BC两点的坐标代入得解得所以二次函数的表达式为2存在点P使四边形POPC为菱形．设P点坐标为xPP交CO于E若四边形POPC是菱形则有PC＝PO．连结PP 则PE⊥CO于E∴OE EC∴．∴解得不合题意舍去∴P点的坐标为8分3过点P作轴的平行线与BC交于点Q与OB交于点F设Px易得直线BC的解析式为则Q点的坐标为xx－3当时四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为四边形ABPC的面积．35．2010北京在平面直角坐标系xOy中抛物线与x轴的交点分别为原点O 和点A点B2n在这条抛物线上．1求B点的坐标2点P在线段OA上从O点出发向A点运动过P点作x轴的垂线与直线OB交与点E延长PE到点D使得ED PE以PD为斜边在PD右侧做等等腰直角三角形PCD 当P点运动时C点D点也随之运动．①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时求OP的长②若P点从O点出发向A点作匀速运动速度为每秒1个单位同时线段OA 上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动速度为每秒2个单位当Q点到达O 点时停止运动P点也同时停止运动．过Q点做x轴的垂线与直线AB交与点F延长QF到点M使得FM QF以QM为斜边在QM的左侧作等腰直角三角形QMN当Q点运动时M点N点也随之运动．若P点运动到t秒时两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上求此刻t的值．解1∵抛物线经过原点∴m23m2 0解的m1 1m2 2由题意知m≠1∴m 2∴抛物线的解析式为∵点B2n在抛物线n 4∴B点的坐标为242①设直线OB的解析式为y k1x求得直线OB的解析式y 2x∵A点是抛物线与x轴的一个交点可求得A点的坐标为100设P点的坐标为a0则E点的坐标为a2a．根据题意做等腰直角三角形PCD如图1可求得点C的坐标为3a2a有C点在抛物线上得2a －x3a2x3a即a2 a 0解得 a1 a2 0舍去∴OP②依题意作等腰直角三角形QMN设直线AB的解析式y k2xb由点A 10 0 点B24求得直线AB的解析式为y －x5当P点运动到t秒时两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上有以下三种情况第一种情况CD与NQ在同一条直线上如图2所示可证△DPQ为等腰直角三角形．此时QPOPAQ的长可依次表示为t 4t 2t个单位．∴PQ DP 4t∴t4t2t 10∴t第二种情况PC与MN在同一条直线上如图3所示．可证△PQM为等腰直角三角形．此时OPAQ的长依次表示为t2t个单位∴OQ 10 － 2t∵F点在直线AB上∴FQ t∵MQ 2t∴PQ MQ CQ 2t∴t2t2t 10∴t 2第三种情况点PQ重合时PDQM在同一条直线上如图4所示此时OPAQ的长依次表示为t2t个单位．∴t2t 10∴t综上符合题意的值分别为2．红河自治州二次函数的图像如图8所示请将此图像向右平移1个单位再向下平移2个单位1画出经过两次平移后所得到的图像并写出函数的解析式2求经过两次平移后的图像与x轴的交点坐标指出当x满足什么条件时函数值大于0解画图如图所示依题意得∴平移后图像的解析式为2当y 0时 0∴平移后的图像与x轴交与两点坐标分别为0和0由图可知当x 时二次函数的函数值大于02010云南楚雄已知如图抛物线与轴相交于两点A 10 B 30 与轴相较于点C03．1求抛物线的函数关系式2若点D是抛物线上一点请求出的值并求处此时△ABD 的面积．答案解1由题意可知解得所以抛物线的函数关系式为．2把D代人函数解析式中得．所以．顶点为C11且过原点O过抛物线上一点Pxy向直线作垂线垂足为M 连FM如图1求字母abc的值2在直线x＝1上有一点求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标并证明此时△PFM为正三角形3对抛物线上任意一点P是否总存在一点N1t使PM＝PN恒成立若存在请求出t值若不存在请说明理由答案1a＝－1b＝2c＝02过P作直线x 1的垂线可求P的纵坐标为横坐标为此时MP＝MF＝PF＝1故△MPF为正三角形3不存在因为当t＜x＜1时PM与PN不可能相等同理当t＞x＞1时PM与PN 不可能相等39．2010河南在平面直角坐标系中已知抛物线经过A 40 B 0一4 C 20 三点1 求抛物线的解析式2 若点M为第三象限内抛物线上一动点点M的横坐标为m△AMB的面积为S 求S关于m的函数关系式并求出S的最大值3 若点P是抛物线上的动点点Q是直线y －x上的动点判断有几个位置能使以点PQB0为顶点的四边形为平行四边形直接写出相应的点Q的坐标答案1设抛物线的解析式为y ax2bxc a≠0 则有解得∴抛物线的解析式y x2x－42过点M作MD⊥x轴于点D设M点的坐标为mn则AD m4MD －nn m2＋m－4∴S S△AMDS梯形DMBO－S△ABOm4 －n ＋－n＋4 －m －×4×4－2n-2m-8－2 m2＋m－4 -2m-8－m2-4m －4 m 0∴S最大值 43满足题意的Q点的坐标有四个分别是-4 4 4 -4-22－-2－2＋40．2010四川乐山如图 131 抛物线y＝x2bxc与x轴交于AB两点与y轴交于点C 02 连接AC若tan∠OAC＝2．1 求抛物线对应的二次函数的解析式2 在抛物线的对称轴l上是否存在点P使∠APC＝90°若存在求出点P的坐标若不存在请说明理由3 如图 132 所示连接BCM是线段BC上不与BC重合的一个动点过点M 作直线l′‖l交抛物线于点N连接CNBN设点M的横坐标为t．当t为何值时△BCN的面积最大最大面积为多少答案解1∵抛物线y x2＋bx＋c过点C 02 ∴x 2又∵tan∠OAC 2 ∴OA 1即A 10又∵点A在抛物线y x2＋bx＋2上∴0 12＋b×1＋2b －3∴抛物线对应的二次函数的解析式为y x2－3x＋22存在过点C作对称轴l的垂线垂足为D如图所示∴x －∴AE OE-OA -1 ∵∠APC 90°∴tan∠PAE tan∠CPD∴即解得PE 或PE∴点P的坐标为或备注可以用勾股定理或相似解答3如图易得直线BC的解析式为y -x＋2∵点M是直线l′和线段BC的交点∴M点的坐标为t-t2 0＜t＜2∴MN -t2- t2－3t＋2 - t2＋2t∴S△BCM S△MNCS△MNB MNtMN 2-tMN t2-t MN - t2＋2t 0＜t＜2∴S△BCN - t2＋2t - t-1 21∴当t 1时S△BCN的最大值为141．2010江苏徐州如图已知二次函数y的图象与y轴交于点A与轴交于BC两点其对称轴与轴交于点D连接AC．1 点A的坐标为点C的坐标为2 线段AC上是否存在点E使得△EDC为等腰三角形若存在求出所有符合条件的点E的坐标若不存在请说明理由3 点P为轴上方的抛物线上动连接PAPC若所得△PAC的面积为S则S取何值时相应的点P有2个三点1求此抛物线的解析式2以OA的中点M为圆心OM长为半径作⊙M在1中的抛物线上是否存在这样的点P过点P作⊙M的切线l 且l与x轴的夹角为30°若存在请求出此时点P的坐标若不存在请说明理由注意本题中的结果可保留根号答案解1设抛物线的解析式为由题意得解得∴抛物线的解析式为2存在抛物线的顶点坐标是作抛物线和⊙M如图⊙M相切于点C连接MC过C作CD⊥ x 轴于D ∵ MC OM 2 ∠CBM 30° CM⊥BC∴∠BCM 90°∠BMC 60° BM 2CM 4 ∴B -2 0 在Rt△CDM中∠DCM ∠CDM - ∠CMD 30°∴D 1 CD ∴ C 1设线的解析式为点BC在上可得∴切线BC的解析式为∵点P为抛物线与切线的交点由解得∴点P的坐标为∵抛物线的对称轴是直线此抛物线⊙M都与直线成轴对称图形于是作切线 l 关于直线的对称直线 l′如图得到BC关于直线的对称点B1C1l′满足题中要求由对称性得到P1P2关于直线的对称点即为所求的点∴这样的点P共有4个43．2010陕西西安如图在平面直角坐标系中抛物线经过A10B30C01三点 1求该抛物线的表达式2点Q在y轴上点P在抛物线上要使以点QPAB为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件的点P的坐标答案解1设该抛物线的表达式为根据题意得解之得∴所求抛物线的表达式为2①当AB为边时只要PQAB且PQ AB 4即可又知点Q在y轴上∴点P的横坐标为4或-4这时将合条件的点P有两个分别记为P1P2而当x 4时此时②当AB为对角线时只要线段PQ与线段AB互相平分即可又知点Q在y轴上且线段AB中点的横坐标为1∴点P的横坐标为2这时符合条件的点P只有一个记为P3而当x 2时y -1此时P32-1综上满足条件的点44．2010四川内江如图抛物线y＝x2―2mx―3m m＞0 与x轴交于AB两点与y轴交于C点1抛物线AB两点2△BCM与△A的面积比不变求出这个比值3抛物线答案解1y＝x2―2mx―3m＝m x2―2x―3 ＝m x－1 2―4m∴抛物线―4m 2分∵抛物线y＝x2―2mx―3m m＞0 与x轴交于AB两点∴当y＝0时mx2―2mx―3m＝0∵m＞0∴x2―2x―3＝0解得x1＝－1x2＝3∴AB两点2y＝―3C的坐标为0－3∴S△ABC＝××－3＝6＝6mMD⊥x轴于D ∴S△BCM＝S△＋SOCMD－S△＝ OC＋DM ·OD－OB·OC＝×2×4m＋3m＋4－＝∴ S△BCMS△A＝1 8分3抛物线CN＝OD＝1①如果△BCM是Rt△且∠BMC＝90°时CM2＋BM2＝BC2 即1＋m2＋4＋16m2＝9＋9m2解得m＝±∵m＞0∴m＝∴存在抛物线y＝x2－x使得△BCM是Rt△ 10分②①如果△BCM是Rt△且∠BCM＝90°时BC2＋CM2＝BM2即9＋9m2＋1＋m2＝4＋16m2解得m＝±1∵m＞0∴m＝1∴存在抛物线y＝x2－x－3使得△BCM是Rt△③如果△BCM是Rt△且∠CBM＝90°时BC2＋BM2＝CM2即9＋9m2＋4＋16m2＝1＋m2整理得m2＝－此方程无解∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在或∵9＋9m2＞1＋m24＋16m2＞1＋m2∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在综上的所述存在抛物线y＝x2－x和y＝x2－x－3使得△BCM是Rt△45．2010广东东莞已知二次函数的图象如图所示它与轴的一个交点坐标为－10与轴的交点坐标为03⑴求出bc的值并写出此时二次函数的解析式⑵根据图象写出函数值y为正数时自变量x的取值范围．答案⑴根据题意得解得所以抛物线的解析式为⑵令解得根据图象可得当函数值y为正数时自变量x的取值范围是－1＜＜3．46．2010 福建三明已知抛物线经过点B20和点C08且它的对称轴是直线 1求抛物线与轴的另一交点A坐标2分2求此抛物线的解析式3分3连结ACBC若点E是线段AB上的一个动点与点A点B不重合过点E作EF‖AC交BC于点F连结CE设AE的长为m△CEF的面积为S求S与m之间的函数关系式4在3的基础上试说明S是否存在最大值若存在请求出S的最大值并求出此时点E的坐标判断此时△BCE的形状若不存在请说明理由答案1∵抛物线的对称轴是直线∴由对称性可得A点的坐标为-60 2分2∵点C08在抛物线的图象上将A-60B20代入表达式得解得∴所求解析式为[也可用] 5分3依题意AE m则BE 8-m∵OA 6OC 8∴AC 10∵EFAC ∴≌过点F作FG⊥AB垂足为G则10分4存在理由如下∴当m 4时S有最大值S最大值 8 12分∵m 4∴点E的坐标为-20为等腰三角形14分47．2010湖北襄樊如图7四边形ABCD是平行四边形AB 4OB 2抛物线过ABC 三点与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA 向点A运动运动到点A停止同时一动点Q从点D出发以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动与点P同时停止．1求抛物线的解析式2若抛物线的对称轴与AB交于点E与x轴交于点F当点P运动时间t为何值时四边形POQE是等腰梯形3当t为何值时以PBO为顶点的三角形与以点QBO为顶点的三角形相似图7答案解得∴所求抛物线的解析式为．2将抛物线的解析式配方得．∴抛物线的对称轴为x 2．∴D80E22F20．欲使四边形POQE为等腰梯形则有OP QE．即BP FQ．∴t 6－3t即t ．3欲使以PBO为顶点的三角形与以点QBO为顶点的三角形相似∵∠PBO ∠BOQ 90°∴有或即PB OQ或OB2 PB·QO．①若PQ在y轴的同侧．当PB OQ时t 8－3t∴t 2．时．②若PQ在y轴的侧．当PB OQ时∴t 4．时．∵t 0．故舍去∴t ．∴当t 2或t 或t 4或t 秒时以PBO为顶点的三角形与以点QBO为顶点的三角形相似．48．2010 山东东营如图已知二次函数的图象与坐标轴交于点A-1 0和点B0-5．1求该二次函数的解析式2已知该函数图象的对称轴上存在一点P使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．答案解1根据题意得2分 3分．4分的图象与x轴的另一个交点坐标C5 05分由于P是对称轴上一点连结AB由于要使△ABP的周长最小只要最小6分由于点A与点C关于对称轴对称连结BC交对称轴于点P则 BPPC BC根据两点之间线段最短可得的最小值为BC因而BC与对称轴的交点P就是所求的点8分设直线BC的解析式为根据题意可得解得所以直线BC的解析式为9分因此直线BC与对称轴的交点坐标是方程组的解解得所求的点P的坐标为2-310分49．2010 四川绵阳如图抛物线y ax2 bx 4与x轴的两个交点分别为A －40B20与y轴交于点C顶点为D．E12为线段BC的中点BC的垂直平分线与x 轴y轴分别交于FG．1求抛物线的函数解析式并写出顶点D的坐标2在直线EF上求一点H使△CDH的周长最小并求出最小周长3若点K在x轴上方的抛物线上运动当K运动到什么位置时△EFK的面积最大并求出最大面积．答案1由题意得解得b －1．所以抛物线的解析式为顶点D的坐标为－1．2设抛物线的对称轴与x轴交于点M．因为EF垂直平分BC即C关于直线EG 的对称点为B连结BD交于EF于一点则这一点为所求点H使DH CH最小即最小为DH CH DH HB BD ．而．∴△CDH的周长最小值为CD DR CH ．设直线BD的解析式为y k1x b则解得 b1 3．所以直线BD的解析式为y x 3．由于BC 2CE BC∕2 Rt△CEG∽△COB得 CE CO CG CB所以 CG 25GO 15．G015．同理可求得直线EF的解析式为y x ．联立直线BD与EF的方程解得使△CDH的周长最小的点H．3设KtxF＜t＜xE．过K作x轴的垂线交EF于N．则 KN yK－yN －t ．所以 S△EFK S△KFN S△KNE KNt 3KN1－t 2KN －t2－3t 5 －t 2 ．即当t －时△EFK的面积最大最大面积为此时K－．50．2010 湖北孝感如图已知二次函数图像的顶点坐标为20直线与二次函数的图像交于AB两点其中点A在y轴上1二次函数的解析式为y 3分2证明点不在1中所求的二次函数的图像上3分3若C为线段AB的中点过C点作轴于E点CE与二次函数的图像交于D点①y轴上存在点K使以KADC为顶点的四边形是平行四边形则K点的坐标是 2分②二次函数的图像上是否存在点P使得若存在求出P点坐标若不存在请说明理由4分答案1解3分2证明设点的图像上则有4分整理得∴原方程无解5分的图象上6分说明由从而判断点不在二次函数图像上的同样给分3解①8分②二次函数的图象上存在点P使得如图过点B作轴于F则BFCEAO又C为AB中点9分设由题意有10分解得11分12分说明在求出得到△POE的边OE上的高为16即点P的纵坐标为16然后由可求出P点坐标2010 江苏镇江运算求解已知二次函数的图象C1与x轴有且只有一个公共点1求C1的顶点坐标2将C1向下平移若干个单位后得抛物线C2如果C2与x轴的一个交点为A30求C2的函数关系式并求C2与x轴的另一个交点坐标3若的取值范围答案1 1分轴有且只有一个公共点∴顶点的纵坐标为0∴C1的顶点坐标为10 2分2设C2的函数关系式为把A30代入上式得∴C2的函数关系式为 3分∵抛物线的对称轴为轴的一个交点为A30由对称性可知它与x轴的另一个交点坐标为10 4分3当的增大而增大当 5分52． 2010江苏苏州本题满分9分如图以A为顶点的抛物线与y轴交于点B．已知AB两点的坐标分别为 30 04 ．1 求抛物线的解析式2 设M mn 是抛物线上的一点 mn为正整数且它位于对称轴的右侧．若以MBOA为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数求点M的坐标3 在 2 的条件下试问对于抛物线对称轴上的任意一点PPA2PB2PM2＞28是否总成立请说明理由．答案53．2010广东广州2112分已知抛物线y＝－x22x＋2．1该抛物线的对称轴是顶点坐标选取适当的数据填入下表并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象x y 若该抛物线上两点Ax1y1Bx2y2的横坐标满足x1＞x2＞1试比较y1与y2的大小答案解x＝113x －1 0 1 2 3 y －1 2 3 2 －1因为在对称轴x＝1右侧y随x的增大而减小又x1＞x2＞1所以y1＜y2ＣCD 平行于轴交抛物线于点D写出D点的坐标并求ADBC的交点E的坐标3 若抛物线的顶点为ＰＰCＰD可设抛物线的解析式为则解得∴抛物线的解析式为4分⑵的坐标为 5分直线的解析式为直线的解析式为由求得交点的坐标为 8分⑶连结交于的坐标为又∵∴且∴四边形是菱形12分55．2010江苏南京7分已知点A11在二次函数图像上1用含的代数式表示2如果该二次函数的图像与轴只有一个交点求这个二次函数的图像的顶点坐标答案56．2010江苏盐城本题满分12分已知函数y ax2x1的图象与x轴只有一个公共点．1求这个函数关系式2如图所示设二次函数y ax2x1图象的顶点为B与y轴的交点为AP为图象上的一点若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B求P点的坐标3在 2 中若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M试探索点M是否在抛物线y ax2x1上若在抛物线上求出M点的坐标若不在请说明理由．答案解1当a 0时y x1图象与x轴只有一个公共点 1分当a≠0时△ 1- 4a 0a 此时图象与x轴只有一个公共点．∴函数的解析式为y x1 或y x2x13分2设P为二次函数图象上的一点过点P作PC⊥x轴于点C．∵是二次函数由1知该函数关系式为y x2x1则顶点为B-20图象与y轴的交点坐标为A014分∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B ∴PB⊥AB 则∠PBC ∠BAO ∴Rt△PCB∽Rt△BOA∴故PC 2BC5分设P点的坐标为 xy ∵∠ABO是锐角∠PBA是直角∴∠PBO是钝角∴x -2 ∴BC -2-xPC -4-2x即y -4-2x P点的坐标为 x-4-2x∵点P在二次函数y x2x1的图象上∴-4-2x x2x16分解之得x1 -2x2 -10∵x -2 ∴x -10∴P点的坐标为 -1016 7分3点M不在抛物线上8分由2知C为圆与x 轴的另一交点连接CMCM与直线PB的交点为Q过点M作x 轴的垂线垂足为D取CD的中点E连接QE则CM⊥PB且CQ MQ∴QE‖MDQE MDQE⊥CE∵CM⊥PBQE⊥CE PC⊥x 轴∴∠QCE ∠EQB ∠CPB∴tan∠QCE tan∠EQB tan∠CPBCE 2QE 2×2BE 4BE又CB 8故BE QE∴Q点的坐标为 -可求得M点的坐标为 11分∵≠∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线上12分其它解法仿此得分57．2010辽宁市如图平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH点H的坐标为－80点N的坐标为－6－4．1画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC并写出顶点ABC的坐标点M的对应点为A 点N的对应点为B 点H的对应点为C2求出过ABC三点的抛物线的表达式3截取CE OF AG m且EFG分别在线段COOAAB上求四边形BEFG的面积S与m 之间的函数关系式并写出自变量m的取值范围面积S是否存在最小值若存在请求出这个最小值若不存在请说明理由4在3的情况下四边形BEFG是否存在邻边相等的情况若存在请直接写出此时m的值并指出相等的邻边若不存在说明理由．1 利用中心对称性质画出梯形OABC． 1分∵ABC三点与MNH分别关于点O中心对称∴A04B64C80 3分写错一个点的坐标扣1分2设过ABC三点的抛物线关系式为∵抛物线过点A04∴．则抛物线关系式为． 4分将B64 C80两点坐标代入关系式得解得所求抛物线关系式为．7分3∵OA 4OC 8∴AF 4－mOE 8－m． 8分∴OAABOCAFAGOE·OFCE·OA0＜＜4 10分∵．∴当时S的取最小值．又∵0＜m＜4∴不存在m值使S的取得最小值． 2分4当时GB GF当时BE BG．14分的抛物线交轴于点交轴于两点点在点的左侧已知点坐标为1求此抛物线的解析式2过点作线段的垂线交抛物线于点如果以点为圆心的圆与直线相切请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系并给出证明3已知点是抛物线上的一个动点且位于两点之间问当点运动到什么位置时的面积最大并求出此时点的坐标和的最大面积答案1解设抛物线为∵抛物线经过点03∴∴∴抛物线为 2 答与⊙相交证明当时∴为20为60∴设⊙与相切于点连接则∵∴又∵∴∴∽∴∴∴6分∵抛物线的对称轴为∴点到的距离为2∴抛物线的对称轴与⊙相交3 解过点作平行于轴的直线交于点求的解析式为设点的坐标为则点的坐标为∴∵∴当时的面积最大为此时点的坐标为359．2010甘肃兰州本题满分11分如图1已知矩形ABCD的顶点A与点O重合ADAB分别在x轴y轴上且AD 2AB 3抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E401当x取何值时该抛物线的最大值是多少2将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动设它们运动的时间为t秒0≤t≤3直线AB与该抛物线的交点为N如图2所示①当时判断点P是否在直线ME上并说明理由②以PNCD为顶点的多边形面积是否可能为5若有可能求出此时N点的坐标若无可能请说明理由．图1 图2答案经过坐标原点O00和点E40故可得c 0b 4所以抛物线的解析式为1分由得当x 2时该抛物线的最大值是4 2分2①点P不在直线ME上已知M点的坐标为 24 E点的坐标为 40设直线ME的关系式为y kxb于是得解得所以直线ME的关系式为y -2x8 3分由已知条件易得当时OA AP 4分∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y -2x8 [来源ZxxkCom] ∴当时点P不在直线ME上 5分②以PNCD为顶点的多边形面积可能为5∵点A在x轴的非负半轴上且N在抛物线上∴ OA AP t∴点PN的坐标分别为 tt t-t 24t 6分∴ AN -t 24t 0≤t≤3∴ AN-AP -t 24 t - t -t 23 t t 3-t ≥0 ∴ PN -t 23 t7分ⅰ当PN 0即t 0或t 3时以点PNCD为顶点的多边形是三角形此三角形的高为AD∴ S DC·AD ×3×2 3ⅱ当PN≠0时以点PNCD为顶点的多边形是四边形∵ PN‖CDAD⊥CD∴ S CDPN ·AD [3 -t 23 t ]×2 -t 23 t38分当-t 23 t3 5时解得t 129分而12都在0≤t≤3范围内故以PNCD为顶点的多边形面积为5综上所述当t 12时以点PNCD为顶点的多边形面积为5当t 1时此时N点的坐标1310分当t 2时此时N点的坐标2411分说明ⅱ中的关系式当t 0和t 3时也适合故在阅卷时没有ⅰ只有ⅱ也可以不扣分60．2010山东青岛已知把Rt△ABC和Rt△DEF按如图1摆放点C与点E重合点BCEF在同一条直线上．∠ACB∠EDF 90°∠DF 45°AC 8 cmBC6 cmEF9 cm．△DEF从图1的位置出发以1 cms的速度沿CB△ABC匀速移在△DEF移的同时点P从△ABC的顶点B出发以2 cms的速度沿BA向点A动△DEF的顶点D移动到AC边上时△DEF停止移．DE与AC相交于点Q连接PQ设动时间为ts0＜t＜45．1当t为何值时点A在线段PQ的垂直平分线上2连接PE设四边形APE的面积为ycm2求y与之间的函数关系式是否存在某一时刻t使面积y最小若存在求出y的最小值若不存在说明理由．3是否存在某一时刻t使PQF三点在同一条直线上若存在求出此时t的值若不存在说明理由．答案解1∵点A在线段PQ的垂直平分线上∴AP AQ∵∠DEF 45°∠ACB 90°∠∠ACB＋∠EQC 180°∴∠EQC 45°∴∠DEF ∠EQC∴CE CQ由题意知CE tBP 2 t。

20XX 年部分省市中考数学试题分类汇编图形的相似与位似1. （20XX 年福建省德化县）如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，如果小“鱼”(a, b)，那么大“鱼”上对( )E 、( 2a , b) D 、(2b, 2a)【关键词】位似中心是原点的坐标之间的关系（若相似比为 则坐标之比同侧为 k 异侧为-k ） 【答案】C2.（ 2010江苏泰州，）一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm 、30cm 、36cm ,要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm 、45cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边.截法有（ ）A.0种B. 1 种C. 2 种D. 3 种 【答案】B【关键词】相似三角形的判定3. （20XX 年宁德市）如图，在 口 ABCD 中，AE = EB AF = 2,贝U FC 等于 ______ .【答案4】5.（2010福建泉州市惠安县）两个相似三角形的面积比是 9:16，则这两个三角形的相似比是（ ）A.9:16B. 3:4C.9: 4D.3:16【关键词】相似三角形的性质 【答案】B6. （20XX 年兰州市）如图，上体育课，甲、乙两名同学分别站在C 、D 的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边, 的影长是 米.【关键词】图形的相似上一个"顶点”的4. （20XX 年台湾省）图（一）表示D 、E 、F 、G 四点在△ABC 三边上的位置，其中 交于H 点。

若 ABC= 一组三角形相似？（A ） △ BDG , △ CEF （C ） △ ABC , △ BDG 【关键词】相似 【答案】BEFC=70 , (B) △ ABC , △ CEF (D) △ FGH , △ ABC 。

DG 与 EFB【答案】6已知甲，乙同学相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，则甲7. （2010辽宁省丹东市）如图，△ ABC与厶ABC是位似图形，且位似比是1: 2，若AB=2cm,则A B cm并在图中画出位似中心O.【关键词】位似【答案】.4 （填空2分，画图1分）& （20XX年安徽省芜湖市）如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD , AB// CD, AB = 2m, CD = 6m，点P至U CD的距离是2.7m，贝U AB与CD间的距离是 _________ m ./ \tZ ----------------------- D筒13世圏【关键词】投影相似三角形【答案】1.89. （2010重庆市）已知△ ABC与厶DEF相似且对应中线的比为2:3，则△ ABC与厶DEF的周长比为_______________ .解析：由相似三角形的对应线段比等于相似比知，△ABC与厶DEF的周长比为2:3答案：2: 3.10. （2010山东德州）如图，小明在A时测得某树的影长为2m, B时又测得该树的影长为8m,若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________ m.第14题图【关键词】三角形相似【答案】411. （2010重庆潼南县）12. △ ABC与厶DEF的相似比为3: 4,则厶ABC与厶DEF的周长第11题图比为____________ .答案：3: 412. （2010重庆市潼南县）△ ABC 与厶DEF 的相似比为 3: 4，则△ ABC 与厶DEF 的周长比答案：3:4.13.. （2010浙江衢州）如图，方格纸中每个小正方形的边长为 〔，△ ABC 和厶DEF的顶点都在方格纸的格点上.（1） 判断△ ABC 和厶DEF 是否相似，并说明理由；（2） P 1 , P 2, P 3, P 4, P 5, D , F 是厶DEF 边上的7个格点，请在这 7个格点中选取 3 个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC 相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由 ）•14. （2010江西）图1所示的遮阳伞，伞炳垂直于水平地面，起示意图如图2•当伞收紧时，点P 与点A 重合；当三慢慢撑开时，动点 P 由A 向B 移动；当点P 到达点B 时，伞张 得最开。

2010年全国各地中考数学压轴题专集一几何证明题第一篇：2010年全国各地中考数学压轴题专集一几何证明题外国语中学中考数学压轴题专集1．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB 的中点．（Ⅰ）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（Ⅱ）若E、F为边OA上的两个动点，且EF＝2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E、F的坐标．2．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；（2）若CE＝2，BD＝BC，求∠BPD的正切值；1（3）若tan∠BPD＝，设CE＝x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式．3B C P B C P B C图1图2（备用）图3（备用）3．已知：如图①，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上．另一等腰△OCA的顶点C在第四象限，OC＝AC，∠C＝120°．现有两动点P，Q分别从A，O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止.（1）求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；（2）在等边△OAB的边上（点A除外）存在点D，使得△OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；（3）如图②，现有∠MCN＝60°，其两边分别与OB，AB交于点M，N，连接MN．将∠MCN绕着C点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M，N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．P5．如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k＞1），且△ABC 的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1．（1）若c＝a1，求证：a＝kc；（2）若c＝a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；（3）若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1，使得k＝2？请说明理由．Ac1C B1C116．如图1，在△ABC中，AB＝BC，且BC≠AC，在△ABC上画一条直线，若这条直线既平．．分△ABC的面积，又平分△ABC的周长，我们称这条线为△ABC的“等分积周线”．（1）请你在图1中用尺规作图作出一条△ABC的“等分积周线”；（2）在图1中过点C能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由；（3）如图2，若AB＝BC＝5cm，AC＝6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要说明确定的方法．C图2 图17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点P以一定的速度沿AC边由A向C运动，点Q以1cm/s的速度沿CB边由C向B运动，设P、Q同时运动，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．（1）若点P以3cm/s的速度运动4①当PQ∥AB时，求t的值；②在①的条件下，试判断以PQ为直径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由．（2）若点P以1cm/s的速度运动，在整个运动过程中，以PQ为直径的圆能否与直线AB相切？若能，请求出运动时间t；若不能，请说明理由．A备用B8．如图1、2是两个相似比为1 :2的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．（1）在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E、F，如图4．求证：AE ＋BF ＝EF ；（2）若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD 延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE ＋BF ＝EF 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；D A B A D图2 图3 图1A D B A F图4 图5（3）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由． D ；FC9．（河南省）222222B B（1）操作发现·如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF＝DF，你同意吗？说明理由．（2）问题解决保持（1）中的条件不变，若DC＝2DF，求（3）类比探究保持（1）中的条件不变，若DC＝n·DF，求AD的值． ABAD的值； AB第二篇：中考数学几何证明压轴题AB1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.(1)求证：DC=BC;(2)E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠DCBEC=135°时，求sin∠BFE的值.2、已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD 的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．F3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．A(B(E)图13－1 图13－2图13－31.[解析]（1）过A作DC的垂线AM交DC于M,则AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以DM=(2)等腰三角形.证明：因为DE=DF,∠EDC=∠FBC,DC=BC.所以，△DEC≌△BFC 2=1.即DC=BC.2所以，CE=CF,∠ECD=∠BCF.所以，∠ECF=∠BCF+∠BCE=∠ECD+∠BCE=∠BCD=90︒即△ECF是等腰直角三角形.（3）设BE=k,则CE=CF=2k，所以EF=.因为∠BEC=135︒，又∠CEF=45︒，所以∠BEF=90︒.所以BF==3k 所以sin∠BFE=k1=.3k32.[解析]（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ．∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝11AB，CF＝CD ． 22 ∴AE＝CF∴△ADE≌△CBF ．（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形 AGBD是矩形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC ．∵AG∥BD，∴四边形 AGBD 是平行四边形．∵四边形 BEDF 是菱形，∴DE＝BE ．∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE ．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．∴∠2＋∠3＝90°．即∠ADB＝90°．∴四边形AGBD是矩形 3[解析]（1）BM=FN．证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．又∵∠BOM=∠FON，∴ △OBM≌△OFN ．∴ BM=FN．（2）BM=FN仍然成立．（3）证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．∴∠MBO=∠NFO=135°．又∵∠MOB=∠NOF，∴ △OBM≌△OFN ．∴ BM=FN．第三篇：中考数学几何证明题中考数学几何证明题在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.(1)在图1中证明CE=CF;(2)若∠ABC=90°，G是EF的中点(如图2)，直接写出∠BDG的度数;第一个问我会，求第二个问。

（23）图形与证明（1）了解证明的含义〖考试内容〗定义、命题、逆命题、定理.定理的证明.反证法.〖考试要求〗：①理解证明的必要性.②通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件（题设）和结论.③结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立.④理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的.⑤通过实例，体会反证法的含义.⑥掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要求步步有据.（2）掌握证明的依据〖考试内容〗一条直线截两条平行直线所得的同位角相等.两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行.若两个三角形的两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等.两个三角形的两角及其夹边分别相等，则这两个三角形全等.两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等.全等三角形的对应边、对应角分别相等.〖考试要求〗运用以上6条“基本事实”作为证明的依据.（3）利用（2）中的基本事实证明下列命题〖考试内容〗平行线的性质定理（内错角相等、同旁内角互补）和判定定理（内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行）.三角形的内角和定理及推论（三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角）.直角三角形全等的判定定理.角平分线性质定理及逆定理；三角形的三条角平分线交于一点（内心）.垂直平分线性质定理及逆定理；三角形的三边的垂直平分线交干一点（外心）.三角形中位线定理.等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理.平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理.〖考试要求〗①会利用（2）中的基本事实证明上述命题.②会利用上述定理证明新的命题.③练习和考试中与证明有关的题目难度，应与上述所列的命题的论证难度相当.④通过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值.A〖考点复习〗D [例1]如图，已知AD∥BC，AD=CB，求证：△DAC≌△BCA.（说明：证明过程中要求写出每步的证明依据）B C图3AB CD[例2]已知：如图，∠1=∠2，BD=BC.求证：∠3=∠4.ADCB 3 41 2[例3]如图，四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD 于O ，(1)图中有多少对全等的三角形？请把它们写出来。

2010年中考数学试题分类汇编：第一单元 图形的认识与证明 测试题二座号_______姓名______________分数________一、选择题（每小题2分，共52分）1．（2010内蒙呼和浩特）8点30分时，钟表的时针与分针的夹角为 °．2．（2009年黄石市）如图，1502110AB CD ∠=∠=∥，°，°，则3∠= ．3．（2009年吉林省）将一张矩形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC = ___________度． 4．（2010江西）如图，一根直立于水平地面上的木杆AB 在灯光下形成影子，当木杆绕A 按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB 垂直于地面时的硬长为AC （假定AC ＞AB ），影长的最大值为m ，最小值为n ，那么下列结论：①m ＞AC ;②m =AC ;③n =AB ;④ 影子的长度先增大后减小．其中，正确的结论的序号是 ． 5．（2010湖南娄底）如图6，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，若∠BOD =100°，则∠AOE =_____.6．（2010福建宁德）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果 ∠1=35°，那么∠2是_______°．7．（2010山东日照）如图，C 岛在A 岛的北偏东50o方向，C 岛在B 岛的北偏西40o方向，则从C 岛看A ，B 两岛的视角∠ACB 等于 ． 8．（2010山东烟台）将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2=_____________。

9．（2010浙江杭州）如图, 已知∠1 =∠2 =∠3 = 62°，则4∠= .10．（2010湖北十堰）如图，直线l 1∥l 2被直线l 3所截，∠1=∠2=35°，∠P =90°， 则∠3= .11．（2010云南曲靖）如图，AB//CD ，AC⊥BC，垂足为C ，若∠A=400，则∠BCD= 度。