5.1.2垂线(第二课时)

《垂线》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本次《垂线》的作业设计，使学生能够：1. 理解垂线的概念及其在几何图形中的基本应用；2. 掌握垂线的画法及其在实际问题中的应用；3. 培养学生在解决几何问题时的逻辑思维能力和空间想象力。

二、作业内容作业内容主要围绕垂线的基本概念和性质，以及在具体问题中的应用展开。

具体包括：1. 基础知识练习：要求学生复习垂线的定义、性质和垂线的画法，通过填空题、选择题等形式进行练习。

2. 理解性题目：设计一些涉及垂线在几何图形中的应用问题，如求证两线段垂直、利用垂线求解角度等。

3. 实践操作题：要求学生利用直尺和圆规等工具，实际操作画出垂线，并解决一些与垂线有关的实际问题。

4. 拓展延伸题：设计一些涉及垂线与平行线、三角形等知识点结合的问题，培养学生综合运用知识的能力。

三、作业要求1. 学生需认真审题，明确题目要求，按照题目给出的条件和要求进行作答。

2. 基础题目需熟练掌握，理解性题目需深入思考，实践操作题需动手操作并记录过程。

3. 拓展延伸题需综合运用所学知识，进行深度思考和探究。

4. 作业需整洁、规范，解题过程需清晰明了。

四、作业评价1. 评价标准：根据学生对垂线概念的理解程度、题目解答的正确性、解题过程的规范性以及实践操作的准确性进行评价。

2. 评价方式：教师批改作业时，需对每道题目进行仔细审阅，给出评分和评语。

同时，可采取学生互评的方式，让学生互相学习、互相进步。

3. 反馈方式：将作业中的典型问题及错误进行归纳整理，通过课堂讲解、小组讨论等方式进行反馈和纠正。

对优秀作业进行展示和表扬，激励学生积极参与。

五、作业反馈1. 教师需对学生在作业中出现的错误进行及时纠正，并指导学生进行反思和总结。

2. 对学生的疑惑和问题进行解答和指导，帮助学生解决学习中的困难。

3. 根据作业情况，调整教学进度和教学方法，更好地满足学生的学习需求。

4. 对学生的作业情况进行总结和分析，为后续教学提供参考和依据。

垂线教案2教学目标1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力.2.了解垂直概念,能说出垂线的性质"经过一点,能画出已知直线的一条垂线, 并且只能画出一条垂线",会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.教学重点两条直线互相垂直的概念、性质和画法.教学过程一、创设问题情境,研究垂直等有关概念1.学生观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边, 方格纸的横线和竖线……,思考这些给大家什么印象?在学生回答之后,教师指出:"垂直"两个字对大家并不陌生, 但是垂直的意义,垂线有什么性质,我们不一定都了解,这可是我们要学习的内容.2.教师出示相交线的模型,演示模型,学生观察思考:固定木条a,转动木条, 当b的位置变化时,a、b所成的角a是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a、b所成的四个角有什么特殊关系?教师在组织学生交流中,应学生明白:当b的位置变化时,角a从锐角变为钝角,其中∠a是直角是特殊情况.其特殊之处还在于:当∠a是直角时,它的邻补角,对顶角都是直角,即a、b所成的四个角都是直角,都相等.3.师生共同给出垂直定义.师生分清"互相垂直"与"垂线"的区别与联系:"互相垂直"指两条直线的位置关系;"垂线"是指其中一条直线对另一条直线的命名。

如果说两条直线"互相垂直"时,其中一条必定是另一条的"垂线", 如果一条直线是另一条直线的"垂线",则它们必定"互相垂直"。

4.垂直的表示法.垂直用符号"⊥"来表示,结合课本图5.1-5说明"直线AB垂直于直线CD, 垂足为O",则记为AB⊥CD,垂足为O,并在图中任意一个角处作上直角记号,如图.5.简单应用(1)学生观察课本P6图5.1-6中的一些互相垂直的线条, 并再举出生活中其他实例.(2)判断以下两条直线是否垂直:①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角;②两条直线相交所成的四个角相等;③两条直线相交,有一组邻补角相等;④两条直线相交,对顶角互补.二、画图实践,探究垂线的性质1.学生用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.(1)已知直线L(教师在黑板上画一条直线L),画出直线L的垂线.待学生上黑板画出L的垂线后,教师追问学生:还能画出L的垂线吗?能画几条?通过师生交流, 使学生明确直线L的垂线有无数多条,即存在,但有不确定性.教师再问:怎样才能确定直线L的垂线位置?在学生道出:在直线L上取一点A,过点A画L的垂线,并且动手画出图形.教师板书学生的结论:经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)经过直线L外一点B画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条?从中你又得出什么结论?教师板书学生的结论:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.教师让学生通过画图操作所得两条结论合并成一条,并板书:垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2.变式训练,巩固垂线的概念和画法,如图根据下列语句画图:(1)过点P画射线MN的垂线,Q为垂足;(2)过点P画射线BN的垂线,交射线BN反向延长线于Q点;(3)过点P画线段AB的垂线,交线AB延长线于Q点.学生画完图后,教师归结:画一条射线或线段的垂线, 就是画它们所在直线的垂线.三、小结本节学习了互相垂直、垂线等概念, 还学习了过一点画已知直线的垂线的画法,并得出垂线一条性质,你能说出相关的内容吗?四、作业1.课本P7练习,P9.3,4,5,9.2.选用课时作业设计.一、判断题.1.两条直线互相垂直,则所有的邻补角都相等.( )2.一条直线不可能与两条相交直线都垂直.( )3.两条直线相交所成的四个角中,如果有三个角相等,那么这两条直线互为垂直.( )二、填空题.1.如图1,OA⊥OB,OD⊥OC,O为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD=________.2.如图2,AO⊥BO,O为垂足,直线CD过点O,且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD=________.3.如图3,直线AB、CD相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE 与直线AB的位置关系是_________.三、解答题.1.已知钝角∠AOB,点D在射线OB上.(1)画直线DE⊥OB;(2)画直线DF⊥OA,垂足为F.2.已知:如图,直线AB,垂线OC交于点O,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.试判断OD 与OE的位置关系.3.你能用折纸方法过一点作已知直线的垂线吗?作业答案:一、1.× 2.∨ 3.∨二、1.145°2.60°3. 互相垂直三、1.略 2.互相垂直 3.可以.将已知直线折叠使折线过这个已知点,那么这条折线是已知直线的垂线,因为折线把平角分成两个相等的角,所以每个角为90°.5.1.2垂线(第2课时)垂线(二)教学目标1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力。

5．1.2 垂线(第2课时)教学目标一、基本目标【知识与技能】1．了解垂直的概念．2．理解垂线的性质：经过一点，能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线．3．会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线．【过程与方法】通过探索、猜测，进一步体会推理的必要性，发展学生初步推理能力．【情感态度与价值观】通过观察、实验、归纳、类比、推断，体验数学活动的趣味性，感受推理过程的严谨以及结论的确定性．二、重难点目标【教学重点】垂直的概念、性质和画法．【教学难点】两条直线互相垂直的性质和画法．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P3～P6的内容，完成下面练习．【3 min反馈】(一)垂线1．当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角(90°)时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.垂直用“⊥”表示，如a、b互相垂直，则记为：a⊥b或b⊥a.2．下面四种判定两条直线垂直的方法，正确的有①②③④.①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直；②两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直；③两条直线相交，所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直；④两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直．3．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．(二)垂线段4．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．即：垂线段最短.5．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.6．如图所示，点A到直线l的距离是(A)A．线段AD的长度B．线段AE的长度C．线段AB的长度D．线段AC的长度环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】(1)如图1，过点P画AB的垂线；(2)如图2，过点P分别画OA、OB的垂线；(3)如图3，过点A画BC的垂线．【互动探索】(引发学生思考)理解画垂线的步骤，根据画垂线的步骤求解．【解答】如图所示．【互动总结】(学生总结，老师点评)垂线的画法需要三步完成：一落：让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合；二移：沿直线移动三角板，使其另一直角边经过所给的点；三画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线．【例2】如图所示是一条河的示意图，C是河边AB外一点．现欲用水管从河边AB将水引到C处，请在图上画出应该如何铺设水管能让路线最短，并说明理由．【互动探索】(引发学生思考)根据垂线的性质可得，即过点C作CE⊥AB，再根据“垂线段最短”可得CE最短．【解答】如图所示，沿CE铺设水管能让路线最短．因为垂线段最短．【互动总结】(学生总结，老师点评)在利用垂线的性质解决生活中最近、最短距离的问题时，要依据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”来解决．活动2巩固练习(学生独学)1．如图，直线a、b相交于点A，点B在直线a上，过点B作直线b的垂线，垂足为点C，若∠1＝50°，则∠2的度数为(A)A．40°B．50°C．60°D．140°2．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是(C)A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．两点确定一条直线3．如图，点A为直线BC外一点，AC⊥BC，垂足为点C，AC＝3，点P是直线BC上的动点，则线段AP的长不可能是(A)A．2B．3C．4D．54．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，能表示点到直线的距离的线段有5条．活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如图，已知直线AB、CD相交于点O，且OE⊥AB.(1)过点O画直线MN⊥CD；(2)若点F是(1)中所画直线MN上任意一点(O点除外)，若∠AOC＝35°，求∠EOF的度数．【互动探索】(1)根据题意画出直线MN即可；(2)当点F在射线OM上时，根据垂直定义求出∠EOF＝∠BOD，根据对顶角求出∠BOD＝∠AOC，即可求出答案；当点F在射线ON上时，求出∠AOM的度数，根据对顶角求出∠BON的度数，求出∠EOB＋∠BON即可．【解答】(1)如图所示．(2)①当点F在射线OM上时．因为OE⊥AB，MN⊥CD，所以∠EOB＝∠MOD＝90°，所以∠MOE＋∠EOD＝90°，∠EOD＋∠BOD＝90°，所以∠EOF＝∠BOD＝∠AOC＝35°.②当点F在射线ON上时，如图中点F′.因为MN⊥CD，所以∠MOC＝90°＝∠AOC＋∠AOM，所以∠AOM ＝90°－∠AOC ＝55°， 所以∠BON ＝∠AOM ＝55°，所以∠EOF ′＝∠EOB ＋∠BON ＝90°＋55°＝145°， 即∠EOF 的度数是35°或145°.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了垂线的作法、角的计算、对顶角、垂线等知识点的应用，关键是根据这些性质求出∠EOM 和∠AOM 的度数，题目较好，难度不大，注意分类讨论思想的运用．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)垂线⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫定义作法⎩⎪⎨⎪⎧一落二移三画性质：垂线段最短求最短距离 练习设计请完成本课时对应练习！。

5.1 相交线5.1.2 垂线(第二课时)教学反思教学目标1.理解垂线段的概念.2.掌握垂线段最短的性质.3.体会点到直线的距离的意义，并会度量或计算点到直线的距离.4.学会用本节知识理解生活中的一些现象及解决生活中的一些实际问题.教学重难点重点：“垂线段最短”的性质，点到直线的距离的概念及其简单应用.难点：对点到直线的距离的概念的理解，垂线段的画法.课前准备多媒体课件、模型教学过程导入新课教师：同学们上节课，我们研究了垂直、垂线、垂线的性质，请分别回答它们各自的定义或内容是什么？学生积极回答，教师给予肯定和表扬.教师：今天这节课我们继续深入学习，研究垂线的性质及点到直线的距离.(板书课题：5.1.2垂线(第二课时))探究新知探究点一：垂线段最短教师：同学们来看下面一个问题，出示教材图5.1-8(如图1所示)，提出问题：要把河中的水引到农田P处，如何挖渠使渠道最短？图1教师：要完美地解决这个问题，我们首先来看第一个问题：如果把上述实际问题抽象成几何图形的话，你们能否画出来？教师引导，学生上台板演，结果如图2所示.图2教师：我们来看第二个问题：在直线上有无数个点，试着取几个点与点P相连(如图3所示)，猜想在P点与直线l上的点连接的线段中，哪条线段最短？这时直线l上的点的位置在什么地方？图3学生发言，指出当点P与直线l上的点的连线与直线l垂直时，点P到直线l的距离最短.也就是，过点P作l的垂线，点P与垂足之间的线段即为最短路线.教师：如果我们规定：当PO⊥直线l时，线段PO是直线l的垂线段，你们能用一句话总结你们观察得出的结论吗？学生展示，教师引导学生总结.设计意图首先引领学生回忆旧知识，加深学生对上节课所学知识的理解，为新知识的学习奠定基础.探究点二：垂线的性质2连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.教师：“垂线段最短”在日常生活中广泛应用，你们还能举出几个例子吗？学生回答，教师给予肯定和表扬.教师：我们学习了垂线段，认识了垂线，这两种图形的区别与联系是什么？学生独立思考后，小组交流，代表发言.垂线段是一条线段，而垂线是一条直线；垂线段是垂线上的一部分.设计意图通过设计分层问题，将实际问题转化成数学问题，结合图形直观演示.使学生对垂线的性质2有初步的认识，从而得出“垂线段最短”这一性质.探究点三：点到直线的距离教师：在以前我们学习了两个点之间的距离，你们知道怎样才能得到两个点之间的距离吗？学生：测量连接两个点的线段的长度.教师：两个点之间的距离是测量两点之间线段的长度，那确定一个点到一条直线的距离，应该测量什么？学生独立思考，小组讨论，展示答案，教师引导得出结论：确定点到直线的距离，应该测量点到直线垂线段的长度.教师：现在你们知道什么是点到直线的距离了吗？学生回答，教师板书：点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度.教师强调：点到直线的距离是长度，而非垂线段.设计意图类比两点间的距离给出点到直线的距离，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，是一个数量，在教学中注意强调距离是数量，而不能说成垂线段是距离.新知应用例1 如图4所示，∠C＝90°.(1)分别指出点A到直线BC，点B到直线AC的距离是哪些线段的长度.(2)AC AB(填“＞”“＜”或“＝”)，依据是.(3)AC+BC＝AB(填“＞”“＜”或“＝”)，依据是.解：(1)AC，BC.(2)＜垂线段最短.(3)＞两点之间，线段最短.例2 (1)如图5所示，小刚准备从C处牵牛到河边AB处饮水，作出小刚(2)如图6所示，小刚从C处牵牛到河边AB处饮水，并且必须先到点D处观察河水水质情况，然后再去牵牛饮水，作出小刚行走的最短路线(不考虑其他因素)，并作出必要说明.师生活动学生先独立思考，教师组织学生交流并适度进行引导评价.7所示.(2)如图8所示，由C处到D处和由D处到C处，依据：两点之间线段最短；由C处到河边，依据：垂线段最短.设计意图通过例题进一步了解垂线段最短和两点之间线段最短的区别.例3 如图9所示，∠BCA＝90°，BC＝3，AC＝4，AB＝5，点P是线段AB上一个动点，点P在运动过程中，PC长度随之发生变化.你能确定PC长度的最大值与最小值吗？师生活动学生先独立分析，再小组交流，教师巡视指导. 解：如图10所示.(1)当点P 运动到与点A 重合时，PC ＝AC ＝4，∴ PC 长度的最大值为4. (2)当点P 运动到CP ⊥AB 时，PC 的长度最小. ∵ S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CP ， ∴ AC ·BC ＝AB ·CP ，∴ 3×4＝5·CP ， ∴ PC ＝125，∴ PC 长度的最小值为125.设计意图通过解决生活中的实际问题，加深学生对垂线段最短的理解.借助“动点”运动问题(课本习题的变式)，不仅加深学生对知识的理解，而且渗透了“等积法”这一解题方法.课堂练习(见导学案“当堂达标”)参考答案1.C2.B3.C4.B5.4.8 66.4 10 6.(1)略 (2)略 (3)PM (4)PM ＜OP. 理由：垂线段最短.7.解：(1)如图11所示，连接AC ，BD 交于点H ，则H 为蓄水池的位置.(2)作HG ⊥EF ，如图11所示，沿线段HG 把河水引入蓄水池，开渠最短.理由：过直线外一点与直线上的各点的所有线段中，垂线段最短.(见导学案“课后提升”)参考答案1.A2.解：∵ AC ⊥BC ，∴ AC ＜m. ∵ AD ⊥CD ，∴ AC ＞n ，∴n＜AC＜m.课堂小结1.本节课主要学习了垂线的性质“垂线段最短”和点到直线的距离.2.注意垂线段、垂线概念之间的区别和联系.布置作业教材第8，9页习题5.1第6，10题板书设计。