人教版数学七年级下册-第二课时：5.1.2 垂线 教学设计

垂线教课目的1.认识垂直观点；2.能说出垂线的性质“经过一点；能画出已知直线的一条垂线，而且只好画出一条垂线”；3.会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线．要点：两直线相互垂直的相关性质．难点：过直线上（外）一点作已知直线的垂线．教课过程【教课备注】一、创建情境，引入课题生活中的垂线二、目标导学,探究新知目标导学1：垂直的定义活动 1 在订交线的模型中 ,固定木条 a,转动木条 b，当 b 的地点变化时， a、b 所成的角α也会发生变化 .当α =90 °时 ,a 与 b 垂直 .当α ≠ 90°时 ,a 与 b 不垂直，叫斜交 .1.垂直定义：当两条直线订交所成的四个角中，有一个角是直角 (90° )时，这两条直线相互垂直，此中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。

（说明）从垂直的定义可知，判断两条直线相互垂直的要点：只需找到两条直线订交时四个交角中有一个角是直角。

2.垂直的表示：用“⊥”和直线字母表示垂直比如、如图，a、 b 相互垂直 , 垂足为 O，则记为： a⊥ b 或 b⊥ a, 若要重申垂足，则记为：a⊥ b, 垂足为 O.或 a⊥ b 于 O.实质应用：平时生活中 ,两条直线相互垂直的情况很常有 ,说出图中的一些相互垂直的线条 .你能再举出其余例子吗 ?【教课提示】指引学生经过木条的转动过程得出垂线的定义。

试一试：1、下边四种判断两条直线垂直的方法，正确的有（）个（ 1）两条直线订交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线相互垂直（2）两条直线订交，只需有一组邻补角相等，则这两条直线相互垂直（3）两条直线订交，所成的四个角相等，这两条直线相互垂直（4）两条直线订交，有一组对顶角互补，则这两条直线相互垂直（A）4（B）3（C）2（D）12.如图，已知ＡＯＢ为向来线，∠ＡＯＤ：∠ＢＯＤ＝３：１，ＯＤ均分∠ＣＯＢ，（１）求∠ＡＯＣ的度数；（２）判断ＡＢ与ＯＣ的地点关系．目标导学2：垂线的书写形式当直线 AB 与 CD 订交于 O 点，∠ AOD=90 °时， AB ⊥CD ，垂足为 O．书写形式1：由于∠AOD=90°（已知）因此 AB ⊥ CD（垂直的定义）反之，若直线 AB 与 CD 垂直，垂足为 O，那么，∠ AOD=90 °书写形式2：．如图．直线AB 、CD 订交于点O， OE⊥ AB 于 O， OB 均分∠DOF ，∠DOE=50 °，求∠ AOC 、∠ EOF、∠ COF 的度数．垂线的定义【教课提示】对垂线观点进行小结。

人教版七年级下册5.1.2垂线课程设计一、课程概述本次课程的主要内容是垂线的概念、性质和应用，难点在于如何深入理解垂线的相关概念和掌握应用技巧。

通过本次课程的学习，旨在使学生掌握垂线的概念、基本性质以及应用技巧，以及对线段的垂直关系有深入的理解，为后续课程的学习打下坚实的基础。

二、教学目标1.了解垂线的概念及性质；2.掌握垂线的应用技巧；3.能够在平面内判断线段间的垂直关系；4.培养学生发现问题和解决问题的能力；5.培养学生合作学习的能力，提高团队精神。

三、教学内容1. 垂线的概念1.定义：在平面直线上，向另一条不同的平面直线引下的线段称为这条平面直线与另外一条平面直线的垂线。

2.性质：垂线所在的直线与另一条直线相互垂直。

2. 垂线的应用技巧1.构造垂线：给定一线段AB，以B为圆心，AB的长度为半径作一个圆，交线段AB于点C，直线AC即为AB的垂线。

2.利用垂线求线段长度：在平面上，若AD是BC的垂线（D在BC上），则BC的长度等于AB的长度加上AC的长度。

3. 线段的垂直关系1.定义：若线段AB和CD相互垂直，则称它们是相互垂直的线段，简称互垂线段。

2.性质：互垂线段的长度积相等，即AB×CD=AC×BD。

四、教学步骤1. 导入新课1.利用黑板或幻灯片展示垂线的概念及性质。

2.提问与学生互动，了解学生对垂线的基本概念的掌握情况。

2. 新课讲解1.介绍如何构造垂线。

2.带领学生完成练习，练习中分组合作。

3.教师引导学生结合实例说明垂线的应用技巧。

3. 实践练习1.通过课堂实践解决推广、钻研、精选等教学环节的问题。

2.家庭作业环节。

4. 课程回顾1.对本次课程所学知识进行复盘和概述。

2.学生评价环节：请学生发表自己对本节课的感想和体悟。

3.讲师总结环节：总结本节课程的优缺点和改进方向。

五、教学设备和材料1.教师用书：《人教版》七年级下册数学教材。

2.学生用书：《人教版》七年级下册数学教材。

《5.12垂线》【教学设计主题】探究垂线。

促进学生在活动中积极参与教学，彼此互助，共同完成学习任务的有效性和实效性。

开发开放式课堂，放飞课堂，让课堂焕发生命的活力，开展生命性课堂，集中体现构建高效课堂理念。

【教案设计理念】高效课堂首先“立人”，高效课堂文化的核心是“开放”，高效课堂要达到的目标是：学会，会学，乐学，创学；立足学会，激发兴趣，培养能力，形成智慧。

1、采用合作探究的教学，让学生参与问题探究的实践过程，获得科学研究的初步体验，培养团结合作、探索创新的品质。

逐步形成共同发展和个体发展的共同学习活动。

2、体现以学生为主体的教育观念，让学生成为学习的主人，让学生在合作交流探究中发现问题，探究问题，进而获得结论。

从而使学生主体的个性得以充分表现，能力得以有效地培养。

3、尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题，从而达到培养学生的创新精神与实践能力。

4、使学生学会分享与合作，形成知识共享。

在参与讨论的过程中，培养学生合作意识和能力，使学生学会交流和分享他人的成果，使互助合作，与人沟通能力得到锻炼。

5、采用开放式的教学过程，让学生在自由，宽松、愉悦的课堂气氛中完成本节课的学习。

【教学内容分析】本节课选自新课标人教版数学七年级下册第五章第一节第二小节《垂线》第一课时，本节是学生在七年级初步认识空间图形，感受相交线之后的另一种位置关系的认识，是相交线有关知识的延伸和拓展，初步向学生参透由一般到特殊的思想。

其学习方式和研究方法，对今后认识图形、形成空间观念起到奠基的作用，特别是对今后要学习的三角形、平行四边形和圆都有举足轻重的作用，在物理的领域也不可缺少的重要的知识储备。

一、教学目标：今天的教育观“学为至上”。

为捍卫“学”的神圣，满足学生“学”的需求，培养学生“学”的能力，制定了如下教学目标：1、知识与技能（1）了解垂线的概念。

（2）知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线，并会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。

人教版七年级下册第五章 5.1.2 垂线教课方案垂线【教课目的】1.知识与能力：（1）使学生掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等观点，理解垂线的性质，掌握过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（2）会用三角板或量角器过一点画一条直线的垂线．2.过程与方法：经历察看、剖析、归纳、阐述的学习过程，培育学生逻辑思想能力以及推理能力，进一步训练学生的作图能力3.感情、态度与价值观：经过创建情境，激发学生学习兴趣，给学生创建成功的时机，体验成功的快乐【教课要点】使学生掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等观点，理解垂线的性质【教课难点】用垂线定义判断两条直线能否垂直及垂线的画法【教课方法】创建情境－－主体研究－－应用提升【教课过程】一、创建情境，研究垂线的观点活动 1：两条直线订交形成4个角，在订交线模型中若固定木条a，旋转木条b，当b的地点发生变化时， a、 b 所成的角也会随之变化，学生察看：当所成的角是 90°时，我们说这两条直线相互垂直教师和学生归纳：若两条直线订交成 90°角，则称这两条直线相互垂直，当两条直线相互垂直时，此中一条直线就是另一条直线的垂线AC ODADOCB B如图，直线 AB 与直线 CD 订交于点 O，若∠ AOD=90 °，则称为 AB 与 CD 垂直，记作 AB⊥ CD，交点 O叫作垂足注意：垂直是两个图形的地点关系，而垂线是一个图形二、创建情境，指引学生研究垂线的画法活动 2：如图（1）现有一条已知直线AB，分别过直线外一点C和直线上一点D，作AB的垂线，你能有几种方法？（2）经过上述方法作出的垂线有几条？从中你能发现什么结论？CDA B学生活动设计：学生独立思虑，着手操作，自主研究。

经过思虑、操作发现，关于问题（ 1）能够有以下几种方法来画垂线①用胸怀法，用量角器②用三角板，如图C CD DA B A B③用折纸法，对折直线AB ，使折痕两旁的部分重合，且折痕过点C(点 D) 折痕所在的直线就是切合条件的直线关于问题（ 2）学生经过上述作图，不难发现，只好作一条，于是获得垂线的性质教师活动设计：指引学生进行研究，实时纠正学生的不正确的几何语言为规范的符号语言，同时在学生归纳的基础长进行归纳垂线的性质经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，且只好画一条垂线即：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直[活动 3]稳固练习画一条线段或一条射线的垂线，怎样画？CC CA AB ABB（ 1）（ 2）（ 3）学生活动设计：学生思虑、议论，沟通，特别是第（2）、（ 3）个问题，让学生经过察看发现，作已知线段、射线的垂线其实就是经过已知点作已知线段、射线所在的直线的垂线，只需理解这一点，作垂线的问题就迎刃而解教师活动设计：在学生议论过程中，适合的指引学生怎样作线段的垂线，特别是（2）（ 3）需要将其延伸或反向延伸，才能作出垂线，从而归纳出垂线的性质三、问题引申，研究点到直线的距离问题，培育学生的应意图识，以及研究精神[活动 4]问题：在浇灌时需要把河AB 中的水引到 C 处，怎样挖渠能使渠道最短？CA B学生研究：学生能够自主研究，先在直线AB 上任取一些点，连结此点和C，能够发现CD 最短，此时CD⊥ AB,于是找到挖渠方案（或经过教师的电脑演示，发现当CD与 AB垂直时，距离最短）CA D B教师活动：合时的给出观点：（1）垂线段：垂线上一点到垂足的距离（2）点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度〔解答〕过 C 作 AB 的垂线，垂足为 D ，则线段CD 就是挖渠路线[活动 5] 从上述研究过程中你能发现什么结论？学生归纳：连结直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂线段最短即：垂线段最短教师活动：纠正学生在总结归纳时语言的简短性与正确性[活动 6]问题：学校要测出一块三角形空地的面积，以便计算绿化成本，此刻已经丈量出 AC ＝ 5 cm，还要丈量出哪些量，才能计算三角形的面积？BC A学生活动设计：学生独立思虑，自主研究，依据三角形的面积公式不难发现只需丈量出点B到线段 AC 的距离即可计算三角形的面积，于是能够作出点 B 到 AC 的垂线段 BD ，再丈量BD 的长度即可BC A D教师活动设计：在学生活动的过程中，若出现思想上的困难能够合时的进行指引、启迪，经过这个问题的解决，使学生进一步理解点到直线的距离的观点，让学生体验在生活中数学的作用，加强学生的应意图识〔解答〕略四、拓展创新、应用提升，培育学生的逻辑思想能力问题 1：如图，直线AB 、CD 订交于点O， OE⊥ AB，且∠ DOE=3∠COE,求∠ AOD的度数ECA O BD学生活动设计：由 OE⊥AB 能够知∠ BOE=90°，于是∠ AOC+∠ COE=90°，又∠ DOE=3∠ COE，且∠ DOE＋∠ COE＝180°，于是 3∠ COE＋∠ COE＝ 180°，从而∠ COE＝ 45°，所以∠ AOC＝ 90°－ 45°＝45°，从而获得∠ AOD＝ 135°教师活动设计：在学生思虑或表述过程中实时提示学生用规范的语言进行表述，以此训练学生的逻辑推理能力，同时观察学生的几何直观〔解答〕由于∠DOE=3∠ COE，且∠ DOE＋∠ COE＝180°所以 3∠ COE＋∠ COE＝ 180°所以∠ COE＝ 45°由于 OE⊥ AB所以∠ BOE=90°所以∠ BOC＝ 135°又∠ BOC=∠AOD所以∠ AOD＝ 135°问题 2：如图，一辆汽车在直线形公路 AB上由 A 地开往 B 地， M、 N是分别位于公路双侧的乡村（1）设汽车行驶到公路 AB 上点 P 地点时，距离乡村 M近来；行驶到 Q 点时，距离乡村 N 近来，请在图中的公路 AB 上分别画出点 P 和点 Q的地点（2）当汽车从 A 出发向 B 行驶时，在公路 AB的哪一段距离 M、 N两乡村都愈来愈近？在哪一段路上距离乡村 N愈来愈近，而离 M愈来愈远？MA BN学生活动设计：学生独立思虑，在必需时能够进行适合的议论，经过思虑或议论能够发现关于问题（1）当汽车距离 M近来时，相当于过 M作直线 AB 的垂线，垂足就是 P 点，同理，过 N 点直线 AB 的垂线，垂足就是 Q的地点；关于问题（ 2）能够经过图形察看发现，当处于 AP 路段时距离两村距离愈来愈近，在处于 PQ路段时距离 M愈来愈远、距离 N 愈来愈近MA P QB N教师活动设计：本问题的解决，再一次让学生领会（1）数学与生活的亲密练习（2）学生的作图能力的训练（3）垂线段最短的知识（4）两点之间距离的定义（5）解决实质问题的能力所以在学生研究时期，要赐予充足的空间和时间，借此让学生的主体性充足发挥，教师仅起到指引者的作用五、小结与作业小结：1．垂线的定义2．垂线的性质（ 2 个）3．垂线性质的应用4．[作业]略。

《垂线》教案学习目标：1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。

2．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。

3．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。

学习重点：垂线的定义及性质。

学习难点：垂线的画法学具准备：相交线模型，三角尺，量角器学习过程：一、学前准备1、预习疑难：。

2、填空：①如果∠α与∠ β互为余角，∠ α＝37°，那么∠ β＝。

②已知∠ 1 与∠ 2 互为余角，∠ 1 与∠ 3 互为余角，那么∠ 2 与∠ 3 的关系是。

二、探索与思考（一）垂线的定义C1、观察思考：转动相交线模型，观察两条直线所成的夹角的变化。

当夹角变化到°时，就是我们今天要研究的两条直线垂直。

A O B2、定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是时，这两条直线就互相垂直。

其中一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫D做。

3、符号表示：①如果直线 AB、CD互相垂直，记作AB⊥ CD，垂足为 O。

② 由两条直线垂直，可知四个角为直角。

记为∵AB⊥CD（已知）∴∠ AOD＝ 90°（垂直定义）由两条直线交角为直角，可知两条直线互相垂直。

记为∵∠AOD＝90°（已知）∴ AB⊥ CD（垂直定义）4、总结：①垂直是相交。

是相交的一种特殊情况。

②垂直是一种相互关系，即a⊥ b，同时 b⊥ a③ 当提到线段与线段，线段与射线，射线与射线，射线与直线的垂直情况时，是指它们所在的直线互相垂直。

5、生活中的垂直关系：日常生活中，两条直线互相垂直很常见，你能举出几个例子吗？（二）垂线的性质一1、垂线的画法有两种：利用或者。

2、探究：完成教材 4 页探究问题。

3、垂线性质：。

4、对应练习：教材 5 页练习 1、 2（在书上完成）（一）垂线的性质二1、思考：在灌溉时，要把河中的水引到农田2、探究：上面思考问题可以转化为数学问题：P 处，如何挖渠能使渠道最短？“已知直线 l 和直线外一点P，连接点P 到直线 l 上各点 O，A1，A2，A3，其中 PO⊥ l（我们称 PO 为点 P 到直线 l 的垂线段）。

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《5.1.2 相交线》教学建议
教学建议：
本节课内容不仅是让学生会画垂线，理解垂线的特征，还引导学生会判断、检验两条直线是否互相垂直，体会垂线在生活中的应用，培养学生观察能力、动手操作能力和学以致用的习惯。

在引入新课时如果出示一个由几组互相平行和互相垂直的线段组成的图形。

让学生充分发挥自己的想象力，以此来激发学生的参与兴趣。

感受由垂直、平行线组成图形的规矩之美，从而产生亲近数学的情感。

基于此先让学生随意画一条直线，经过直线上任意点画一条或多条垂线，他们画出了不同方位直线的不同侧的垂线，初步体会用作图工具三角尺画出的垂线比较规范；然后由课件演示过直线上的一点画已知直线的垂线的画法，同步介绍作图步骤。

然后放手让学生画过直线外的一点画已知直线的垂线。

学生通过动口交流、动手操作、合作学习，积极主动地投人到垂线画法的探索过程中去，有利于培养学生操作技能的形成和实践能力的培养。

5.1.2 垂线教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级下册（以下统称“教材”）第五章“相交线与平行线”5.1.2垂线，内容包括：垂线的有关概念、性质及画法、垂线段和点到直线的距离的概念.2.内容解析垂线是平面几何所要研究的基本内容之一.垂线的概念、画法和性质是重要的基础知识，是进一步学习平面直角坐标系、三角形的高、切线的性质和判定、以及空间里的垂直关系等知识的基础，与其他数学知识一样，它在现实生活中有着广泛的应用.垂线的概念和性质，蕴含着“从一般到特殊”的认识规律，是培养学生思维能力的重要内容之一.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：垂直定义、垂直性质的理解与运用.二、目标和目标解析1.目标（1）理解垂线的有关概念、性质及画法；（2）知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用其解决问题.2.目标解析认识垂线，理解“互相垂直”和“垂足”的含义;会用三角板或量角器过一点画一条直线(或射线、线段)的垂线:3.知道垂线的性质:过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；培养学生的观察、理解能力，几何语言能力，画图能力，抽象思维能力；培养学生动手操作能力和创造精神，运用知识解决实际问题能力，形成垂线的空间观念；培养学生辩证唯物主义思想及勇于探索的精神；培养学生的合作精神，进行集体观念的教育.三、教学问题诊断分析七年级学生是第三学段低年级的学生，他们在课堂中思维活跃，有想法就会举手发言甚至是抢答，探索真理的欲望比较强.因此，我们要营造轻松、和谐的课堂气氛，充分激活学生的探索欲望，让学生在教师创设的情境中充满好奇地学，留给学生足够的自主活动、相互交流的空间，让学生在观察中不断发现数学问题、在实践中领悟数学思想、在评价中逐步形成数学价值观.七年级学生由于年龄较小，他们虽然对新事物容易产生兴趣，但这种兴趣并不稳定，上课时注意力也不易持久，容易分散，因而在教学中不断激发他们的兴趣，吸引他们的注意力至关重要。

教学设计一、创设问题情境，导入新课活动1在相交线的模型（如图）中，固定木条a，转动木条b．问题：（1）在相交直线所形成的四个角中，按照两个角的关系分类，•有哪两种类型的角？（2）两条直线所夹角中，如果按照角的大小分类，又有哪几种？（老师在提出问题的过程中，要继续固定木条a，缓缓在转动木条b，也可让学生亲自操作）设计意图：教师要引导学生将实际问题转化为数学问题．•实践是检验真理的唯五标准，在数学的学习上也是这样．几何是在实践中产生的学科，它的定理也是在大量的实际问题的需要中产生的．因此，还几何的本来面貌，让学生把自己的手动起来，凡是能自己动手探索的几何问题，就一定让学生做．学生讨论。

师：在转动木条b的过程中，当转动到木条b和木条a•有一个角是直角的位置时，其余三个角的大小如何？为什么？分组讨论。

师：我们不难发现，这种位置是两条直线的一种非常特殊的情况．它在生活、生产实际中应用比较广，例如书本相邻两条边所在的直线．你还能举一些生活中的实例吗？生：红十字中的夹角．生：十字路口、围棋棋盘上纵横交错的线的夹角，……师：我们今天就来研究这种特殊情况（板书课题）．二、垂线的有关概念多媒体演示（在感性认识的基础上，引导学生得到关于垂线的一些概念）．1．定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，•就说这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．2．符号：“⊥”读作“垂直于”如图，AB⊥CD于O•，•含义：直线AB与直线CD垂直，垂足是O．3．对垂直定义的理解：（1）在垂直的定义中，强调只有一个角是直角就可以了，•不必说四个角都是直角，因为其他三个直角都可推出来．（2）两条直线互相垂直，指两条直线而言，因此，说到垂线，•一定是两条直线的位置关系．（3）定义具有双重性，既是垂直的判定定理，也是垂直的性质定理．•在具体应用时，要注意书写格式，如图，因为AB⊥CD于O（已知），所以∠1=90°（垂直的定义或垂直性质）；因为∠1=90°（已知），所以AB⊥CD于O（垂直的定义或垂直判定）．三、通过实践活动，引导学生发现垂线的第一个性质活动2问题：（1）用三角尺和量角器画已知直线L的垂线，这样的垂线能画出几条？（2）经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？（3）经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？（学生在独立思考的基础上以小组为单位探究每个问题，通过动手操作体会垂直的定义，并由此得出垂直的第一个性质．教师可到某一小组参与活动，倾听学生的交流，并帮助指导学生完成任务，得出垂线的性质及过一点画已知直线垂线的画法和理由．如果有可能的话，还可以让学生板演）师：在图（1）中，过点A，作直线BD的垂线，在图（2）中，过A点分别作BD和DE的垂线．（1） （2）（教师可在学生画出垂线的基础上，总结出用三角板画垂线的基本方法，强调用两条直角边“一贴”：贴住已知直线，“一靠”：靠住已知点再画直线）． 师：过A 点还能作出别的垂线吗？师生共析： ①过A 点作BD 或DE 的垂线有一条； ②过A 点作BD 或DE 的垂线只有一条．在此基础上，又引导学生概括出：垂线的第一个性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注：①“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指“唯一”．②“过一点”的点在直线外，或在直线上都可以． 四、应用举例，变式练习 【例1】（1）画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线．如图（1），请你过点P 画出线段AB 或射线AB 的垂线．（2）如图（2），过A 点AB ，BC 和CA 的垂线．（1） （2） 练习1，如图（1），∠B=90°，过B 作AB 、BC 、CA 的垂线． 练习2，如图（2），过B 作AC 的垂线，过A 作BC 的垂线，过C 作AB 的垂线．练习3，如图（3），过P 作AB 、BC 、CD 和DA 的垂线．（教师讲完例题和练习后，对过已知点，作已知线段的垂线问题加以总结，重点是：有时需要对线段加以延长，作延长线的垂线）． 五、课时小结师生共同总结出本节课所学的内容． 1．理解垂线的意义；2．根据垂线的意义，过一点画一条直线的垂线；3．•理解垂线的第一性质：过一点（直线上或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直EDBA5．1．2 垂线（一）一、两条直线相交的一般与特殊情况二、垂线的定义1．定义2．表示方法三、垂线的第一性质四、例题与练习题五、小结。

5.1.2 垂线-人教版七年级数学下册教案课程目标1.通过本课程的学习，学生能够理解垂线的概念和性质，掌握垂线的画法和判定方法。

2.学生能够在解决实际问题时，利用垂线问题解决相关的几何性质。

教学重点1.垂线的概念和性质。

2.垂线的画法和判定方法。

教学难点应用垂线问题解决相关的几何性质。

教学准备1.教师准备教材和讲义。

2.学生准备笔记本和铅笔。

教学过程与方法一、导入（5分钟）1.教师介绍垂线的概念，引导学生回忆上一课的内容。

2.引出本节课的主要内容，即垂线的画法和判定方法。

二、讲授（35分钟）1.教师向学生介绍垂线画法，注重在板书上讲解垂线的绘制方法及其性质。

2.教师向学生演示垂线的判定方法，并引导学生一起做练习。

3.教师与学生共同探讨几何图形中常见的垂线问题，并引导学生反思垂线的应用场景。

三、练习（30分钟）1.分为小组开展小组讨论，讨论垂线的应用场景，并完成老师提供的练习题目。

2.教师对每位学生的讨论和答题进行点评，帮助学生更好地理解本课程内容。

四、总结与归纳（10分钟）1.教师及时总结本节课的重难点，并引导学生发言讨论。

2.教师通过板书展现垂线问题解决几何性质的应用，引导学生对本节内容进行归纳总结。

课后作业1.完成相关习题。

2.查阅相关资料，深入了解垂线的应用场景。

教学反思本节课通过引导学生探索垂线绘制方法和判定规则，有效提高了学生的创造力和动手实践能力。

同时，对于垂线问题解决相关几何性质的应用，教师通过多种手段进行引导，有效拓展了学生的思维深度和广度。

为了更好地满足不同学生的学习训练需求，下一步可以考虑通过编制不同难度级别的习题来给予学生精细化的训练和指导。

一、预习导学（甲）（乙）这是两幅草坪的图案。

在绿色的草坪上，画着两条交叉的道路。

你觉得甲图、乙图那幅更漂亮、更匀称。

这是什么原因？演示自制教具，这两条相交线有没有特殊位置？什么情况下它们的位置特殊？图甲是两条直线相交的一种特殊情况，它在生活、生产实际中应用比较广，你有没有见过？例如：书本相邻的两条边、窗户框相邻的两边、红十字等，因此今天我们就来研究这种特殊情况二、新课探究（一）垂线的定义直线a不动，当直线b转到什么位置时，两条直线互相垂直？转动木条b时，它和不动的木条a互相垂直的位置有几个？当a、b相交有一个角是直角时，其他三个角呢？垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。

建筑工人在砌墙时，常用铅垂线来检查所砌的墙面是否和地面（水平面）垂直。

（二）符号表示“⊥”读作“垂直于”如AB⊥CD垂足为O，含义：直线AB与直线CD垂直，垂足是O你能说出由什么条件能知道AB与CD互相垂直吗？∵∠BOC=90º(已知)∴AB⊥CD (垂直的定义)其它三个角中的一个角等于90º,能不能得到AB⊥CD 呢?反过来,如果AB⊥CD,那么可得到什么结论?(填空)∵AB⊥CD于O (已知)∴________________(垂直的定义)（三）垂线的画法（1）已知直线l，有多少条直线与已知直线l垂直？（2）点与直线的位置关系有几种？如图2中，过点A画直线BD的垂线B ·A DAD 图1 B在学生画出垂线的基础上，教师总结出用三角板画垂线的基本方法强调用两条直角边“一贴”：贴住已知直线，“一靠”：靠住已知点再画线并引导学生思考：这样画出的为何是已知直线的垂线?（四）发现垂线的性质在学生熟练地画出各条垂线之后，1、过A点作BD的垂线有没有？2、过A点作BD的垂线有几条？在此基础上，又引导学生概括出：垂线的第一个性质公理：过一点有且只有一条直线与注：①“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指（五）垂线的第二个性质1、量跳远的成绩时有人想多量点，都采取了什么手段？为什麽？2、用刻度尺量一量下列垂线段OP与线段PA、PB、PC的大小PA B O C（1）什么是垂线段？直线外一点与直线上各点连结的所有的线段中，垂线段最短六、点到直线的距离要把水渠的水引到水池C，为了节省人力物力财力，请你十分钟小测1、下列说法是否正确：两条直线相交，有一条角是直角，则两条直线互相垂直。

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解垂线的基本概念。垂线是与直线相交，且与直线之间的夹角为90度的直线。垂线在几何图形中具有重要作用，可以帮助我们解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析墙角线的例子，了解垂线在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-对于垂线性质的应用，可以设计一些实际问题的例题，如测量距离、判断角度等，让学生通过解决具体问题来理解垂线的性质。
-在讲解过直线外一点作已知直线的垂线时，可以采用动手操作、动态演示等方法，让学生直观地感受垂线的唯一性。
-对于垂线的判定方法，可以通过典型例题和变式练习，训练学生运用不同方法判断直线之间的垂直关系，提高其识别和解决问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-垂线的定义及其与直线的垂直关系：使学生掌握垂线的概念，理解垂线与被垂直的直线之间的夹角为90度，能够准确判断两条直线是否垂直。
-垂线的性质：培养学生熟练运用垂线的性质，如过直线外一点作已知直线的垂线唯一存在，两条直线相交成直角则互相垂直等。
-垂线的判定：使学生掌的性质、同位角相等等方法。
-过直线外一点作已知直线的垂线：在操作过程中，学生可能难以理解为什么只有一条直线与已知直线垂直，如何准确作出这条垂线。
-识别并运用垂线的判定方法：学生在面对复杂的几何图形时，可能无法准确判断两条直线是否垂直，需要掌握多种判定方法，如同位角相等、垂直的定义等。
举例：针对难点内容，可以通过以下方法帮助学生突破：
举例：讲解垂线定义时，可以通过实际生活中的例子（如墙角的线、桌面与地面的交线）来说明垂线的概念，让学生理解垂线在实际中的运用。
2.教学难点
-理解并应用垂线的性质：学生对垂线性质的掌握往往停留在表面，难以在实际问题中灵活应用。需要通过具体例题和练习，帮助学生深入理解垂线的性质，并能够运用到解题过程中。

5.1 相交线5.1.2 垂线(第二课时)教学反思教学目标1.理解垂线段的概念.2.掌握垂线段最短的性质.3.体会点到直线的距离的意义，并会度量或计算点到直线的距离.4.学会用本节知识理解生活中的一些现象及解决生活中的一些实际问题.教学重难点重点：“垂线段最短”的性质，点到直线的距离的概念及其简单应用.难点：对点到直线的距离的概念的理解，垂线段的画法.课前准备多媒体课件、模型教学过程导入新课教师：同学们上节课，我们研究了垂直、垂线、垂线的性质，请分别回答它们各自的定义或内容是什么？学生积极回答，教师给予肯定和表扬.教师：今天这节课我们继续深入学习，研究垂线的性质及点到直线的距离.(板书课题：5.1.2垂线(第二课时))探究新知探究点一：垂线段最短教师：同学们来看下面一个问题，出示教材图5.1-8(如图1所示)，提出问题：要把河中的水引到农田P处，如何挖渠使渠道最短？图1教师：要完美地解决这个问题，我们首先来看第一个问题：如果把上述实际问题抽象成几何图形的话，你们能否画出来？教师引导，学生上台板演，结果如图2所示.图2教师：我们来看第二个问题：在直线上有无数个点，试着取几个点与点P相连(如图3所示)，猜想在P点与直线l上的点连接的线段中，哪条线段最短？这时直线l上的点的位置在什么地方？图3学生发言，指出当点P与直线l上的点的连线与直线l垂直时，点P到直线l的距离最短.也就是，过点P作l的垂线，点P与垂足之间的线段即为最短路线.教师：如果我们规定：当PO⊥直线l时，线段PO是直线l的垂线段，你们能用一句话总结你们观察得出的结论吗？学生展示，教师引导学生总结.设计意图首先引领学生回忆旧知识，加深学生对上节课所学知识的理解，为新知识的学习奠定基础.探究点二：垂线的性质2连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.教师：“垂线段最短”在日常生活中广泛应用，你们还能举出几个例子吗？学生回答，教师给予肯定和表扬.教师：我们学习了垂线段，认识了垂线，这两种图形的区别与联系是什么？学生独立思考后，小组交流，代表发言.垂线段是一条线段，而垂线是一条直线；垂线段是垂线上的一部分.设计意图通过设计分层问题，将实际问题转化成数学问题，结合图形直观演示.使学生对垂线的性质2有初步的认识，从而得出“垂线段最短”这一性质.探究点三：点到直线的距离教师：在以前我们学习了两个点之间的距离，你们知道怎样才能得到两个点之间的距离吗？学生：测量连接两个点的线段的长度.教师：两个点之间的距离是测量两点之间线段的长度，那确定一个点到一条直线的距离，应该测量什么？学生独立思考，小组讨论，展示答案，教师引导得出结论：确定点到直线的距离，应该测量点到直线垂线段的长度.教师：现在你们知道什么是点到直线的距离了吗？学生回答，教师板书：点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度.教师强调：点到直线的距离是长度，而非垂线段.设计意图类比两点间的距离给出点到直线的距离，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，是一个数量，在教学中注意强调距离是数量，而不能说成垂线段是距离.新知应用例1 如图4所示，∠C＝90°.(1)分别指出点A到直线BC，点B到直线AC的距离是哪些线段的长度.(2)AC AB(填“＞”“＜”或“＝”)，依据是.(3)AC+BC＝AB(填“＞”“＜”或“＝”)，依据是.解：(1)AC，BC.(2)＜垂线段最短.(3)＞两点之间，线段最短.例2 (1)如图5所示，小刚准备从C处牵牛到河边AB处饮水，作出小刚(2)如图6所示，小刚从C处牵牛到河边AB处饮水，并且必须先到点D处观察河水水质情况，然后再去牵牛饮水，作出小刚行走的最短路线(不考虑其他因素)，并作出必要说明.师生活动学生先独立思考，教师组织学生交流并适度进行引导评价.7所示.(2)如图8所示，由C处到D处和由D处到C处，依据：两点之间线段最短；由C处到河边，依据：垂线段最短.设计意图通过例题进一步了解垂线段最短和两点之间线段最短的区别.例3 如图9所示，∠BCA＝90°，BC＝3，AC＝4，AB＝5，点P是线段AB上一个动点，点P在运动过程中，PC长度随之发生变化.你能确定PC长度的最大值与最小值吗？师生活动学生先独立分析，再小组交流，教师巡视指导. 解：如图10所示.(1)当点P 运动到与点A 重合时，PC ＝AC ＝4，∴ PC 长度的最大值为4. (2)当点P 运动到CP ⊥AB 时，PC 的长度最小. ∵ S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CP ， ∴ AC ·BC ＝AB ·CP ，∴ 3×4＝5·CP ， ∴ PC ＝125，∴ PC 长度的最小值为125.设计意图通过解决生活中的实际问题，加深学生对垂线段最短的理解.借助“动点”运动问题(课本习题的变式)，不仅加深学生对知识的理解，而且渗透了“等积法”这一解题方法.课堂练习(见导学案“当堂达标”)参考答案1.C2.B3.C4.B5.4.8 66.4 10 6.(1)略 (2)略 (3)PM (4)PM ＜OP. 理由：垂线段最短.7.解：(1)如图11所示，连接AC ，BD 交于点H ，则H 为蓄水池的位置.(2)作HG ⊥EF ，如图11所示，沿线段HG 把河水引入蓄水池，开渠最短.理由：过直线外一点与直线上的各点的所有线段中，垂线段最短.(见导学案“课后提升”)参考答案1.A2.解：∵ AC ⊥BC ，∴ AC ＜m. ∵ AD ⊥CD ，∴ AC ＞n ，∴n＜AC＜m.课堂小结1.本节课主要学习了垂线的性质“垂线段最短”和点到直线的距离.2.注意垂线段、垂线概念之间的区别和联系.布置作业教材第8，9页习题5.1第6，10题板书设计。

《5.1.2 垂线》教学设计教材分析：本课学习是在相交线、对顶角等知识的基础上，进一步研究两条直线相交的特殊情况——垂直，学习垂线的概念和性质，点到直线的距离等知识，是进一步学习空间里的垂直关系，研究三角形、四边形等平面图形以及平面直角坐标系等知识的基础．教学目标：【知识与技能目标】理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线. 【过程与方法目标】掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.【情感态度与价值观目标】掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理.教学重难点：【教学重点】垂线的定义及性质.【教学难点】垂线的画法.课前准备：多媒体：PPT课件、电子白板教学过程：一、创设问题情境，研究垂直1.学生观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边, 方格纸的横线和竖线……,思考这些给大家什么印象?在学生回答之后,教师指出:“垂直”两个字对大家并不陌生, 但是垂直的意义,垂线有什么性质,我们不一定都了解,这可是我们要学习的内容.2.教师出示相交线的模型,演示模型,学生观察思考:固定木条a,转动木条,ABCD O 当b 的位置变化时,a 、b 所成的角a 是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a 、b 所成的四个角有什么特殊关系?教师在组织学生交流中,应学生明白:当b 的位置变化时,角a 从锐角变为钝角,其中∠a是直角是特殊情况.其特殊之处还在于:当∠a 是直角时,它的邻补角,对顶角都是直角,即a 、b 所成的四个角都是直角,都相等.3.师生共同给出垂直定义.提问：当∠a 是直角时，直线a 、b 所成的四个角都是什么角？此时直线a 、b 有什么位置关系？直线a 、b 相交吗？学生回答：四个角都是直角，直线a 、b 互相垂直 提问：直线a 、b 相交吗？ 学生回答：直线a 、b 相交提问：你能说出垂直和相交的联系吗？ 学生回答：垂直是相交的一种特殊情形。

提问：垂直是相交的如何特殊的情形呢？学生回答：垂直是两条直线相交构成的角是90°的情况归纳概念：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，就说这两条直线垂直。

人教版数学七年级下册教学设计5.1.2《垂线》一. 教材分析《垂线》这一节的内容是七年级下册人教版数学教材中的一个重要部分。

它主要介绍了垂线的定义、性质以及垂线段的概念。

学生通过学习这一节内容，应该能够理解垂线的含义，掌握垂线的性质，并能够运用垂线段的知识解决实际问题。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的几何知识，对线段、直线等基本概念有了初步的理解。

但是，他们对垂线的认识可能还比较模糊，对垂线段的运用也还不够熟练。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生从实际情境中发现垂线，理解垂线的性质，并通过大量的练习来巩固所学知识。

三. 教学目标1.知识与技能：理解垂线的定义，掌握垂线的性质，能够运用垂线段的知识解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间观念和几何思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。

四. 教学重难点1.教学重点：垂线的定义，垂线的性质。

2.教学难点：垂线段的运用，对垂线概念的理解。

五. 教学方法采用问题驱动法、情境教学法、合作学习法等。

通过引导学生观察实际情境中的垂线，让学生在操作中体验和理解垂线的性质，通过合作学习，提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.教具准备：直尺、三角板、多媒体课件等。

2.学具准备：每人一副直尺、三角板，一组学生一台计算器。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的垂线实例，如墙角、衣架、雨滴等，引导学生发现生活中的垂线，并提问：“什么是垂线？”让学生初步感知垂线的概念。

呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，展示一些垂线的基本性质，如从一点到直线的垂线有且只有一条，垂线段是最短的等。

同时，让学生在纸上画出一条直线，并尝试画出它的垂线，从而加深对垂线概念的理解。

操练（15分钟）教师给出一些实际问题，如在平面直角坐标系中，找出一点P到x轴的垂线段的长度。

让学生独立完成，并在小组内交流解题过程。

人教版数学七年级下册《5-1-2垂线》教学设计一. 教材分析《5-1-2垂线》是人教版数学七年级下册的教学内容，本节课主要介绍垂线的定义、性质及应用。

教材通过生活中的实例引入垂线的概念，使学生感受数学与生活的联系，培养学生的应用意识。

教材内容安排合理，由浅入深，有利于学生掌握垂线的相关知识。

二. 学情分析七年级的学生已具备一定的空间想象能力和逻辑思维能力，但对垂线的认识可能仅限于生活中的直观感受。

因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生从具体的生活实例中抽象出垂线的概念，培养学生运用数学语言表达现实世界的能力。

三. 教学目标1.了解垂线的定义，掌握垂线的性质。

2.能运用垂线的知识解决生活中的实际问题。

3.培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和合作交流能力。

四. 教学重难点1.重难点：垂线的定义及其性质。

2.难点：如何引导学生从具体实例中抽象出垂线的概念，以及运用垂线知识解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生从生活中发现垂线的现象，激发学生的学习兴趣。

2.运用合作交流法，让学生在小组内讨论垂线的性质，培养学生的团队协作能力。

3.运用讲授法，讲解垂线的定义和性质，确保学生掌握基础知识。

4.运用实践操作法，让学生动手画垂线，提高学生的动手能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作包含生活实例、图形展示、问题引导的教学课件。

2.教学道具：准备一些垂线模型或图片，以便于学生直观地理解垂线。

3.练习题：准备一些有关垂线的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如电线杆、楼房等，引导学生发现垂线的现象，激发学生的学习兴趣。

提问：你们在生活中还见过哪些垂线？2.呈现（10分钟）展示垂线的图片，引导学生观察并描述垂线的特点。

进而给出垂线的定义：在同一平面内，从一点到直线的垂线，叫做垂线。

3.操练（10分钟）让学生在纸上画出一条直线，然后从一点画出一条垂线。

引导学生运用垂线的性质，判断垂线是否垂直于直线。