高考数学 专题5 平面向量 35 平面向量的线性运算及基本定理 理

专题六 平面向量6.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示考点一 平面向量的概念及线性运算1.(2022全国乙文,3,5分)已知向量a =(2,1),b =(-2,4),则|a -b |= ( )A.2B.3C.4D.5答案D 由题意知a -b =(4,-3),所以|a -b |=√42+(−3)2=5,故选D .2.(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD =2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.3m -2nB.-2m +3nC.3m +2nD.2m +3n答案B 由题意可知,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =m -n ,又BD =2DA ,所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(m -n ),所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n -2(m -n )=3n -2m ,故选B .3.(2015课标Ⅰ理,7,5分)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗ -43AC ⃗⃗⃗⃗ C.AD⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗ -13AC ⃗⃗⃗⃗ 答案 A AD⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +43BC ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +43(AC ⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗ )=-13AB ⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗ .故选A. 4.(2014课标Ⅰ文,6,5分)设D,E,F 分别为△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点,则EB ⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗ B.12AD ⃗⃗⃗⃗ C.BC ⃗⃗⃗⃗ D.12BC⃗⃗⃗⃗ 答案 A 设AB⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗ =b,则EB ⃗⃗⃗⃗ =-12b+a,FC ⃗⃗⃗⃗ =-12a+b,从而EB ⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =(−12b +a )+(−12a +b )=12(a+b)=AD ⃗⃗⃗⃗ ,故选A.5.(2015课标Ⅱ理,13,5分)设向量a ,b 不平行,向量λa +b 与a +2b 平行,则实数λ= . 答案12解析 由于a ,b 不平行,所以可以以a ,b 作为一组基底,于是λa +b 与a +2b 平行等价于λ1=12,即λ=12.6.(2015北京理,13,5分)在△ABC 中,点M,N 满足AM⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗ .若MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗ ,则x = ,y = .答案12;-16解析 由AM⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗ 知M 为AC 上靠近C 的三等分点,由BN ⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗ 知N 为BC 的中点,作出草图如下:则有AN⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ ),所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗ -AM ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ )-23·AC ⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗ -16AC ⃗⃗⃗⃗ , 又因为MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗ ,所以x=12,y=-16. 7.(2013江苏,10,5分)设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗ (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 . 答案12解析 DE ⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗ )=-16AB ⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗ , ∵DE⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗ ,∴λ1=-16,λ2=23,故λ1+λ2=12. 考点二 平面向量的基本定理及坐标运算1.(2015课标Ⅰ文,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3),则向量BC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)答案 A 根据题意得AB ⃗⃗⃗⃗ =(3,1),∴BC ⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗ -AB⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A. 2.(2014北京文,3,5分)已知向量a =(2,4),b =(-1,1),则2a -b =( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)答案 A 由a =(2,4)知2a =(4,8),所以2a -b =(4,8)-(-1,1)=(5,7).故选A. 3.(2014广东文,3,5分)已知向量a =(1,2),b =(3,1),则b -a =( ) A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3) 答案 B b -a =(3,1)-(1,2)=(2,-1).故答案为B.4.(2014福建理,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a =(3,2)表示出来的是( )A.e 1=(0,0),e 2=(1,2)B.e 1=(-1,2),e 2=(5,-2)C.e 1=(3,5),e 2=(6,10)D.e 1=(2,-3),e 2=(-2,3) 答案 B 设a=k 1e 1+k 2e 2,A 选项,∵(3,2)=(k 2,2k 2),∴{k 2=3,2k 2=2,无解.B 选项,∵(3,2)=(-k 1+5k 2,2k 1-2k 2), ∴{−k 1+5k 2=3,2k 1−2k 2=2,解之得{k 1=2,k 2=1. 故B 中的e 1,e 2可把a 表示出来. 同理,C 、D 选项同A 选项,无解.5.(2021全国乙文,13,5分)已知向量a =(2,5),b =(λ,4),若a ∥b ,则λ= .答案85解题指导:利用“若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b ⇔x 1y 2=x 2y 1”解题.解析由已知a ∥b 得2×4=5λ,∴λ=85.解题关键:记准两平面向量共线的充要条件是解这类问题的关键.6.(2017山东文,11,5分)已知向量a =(2,6),b =(-1,λ).若a ∥b ,则λ= . 答案 -3解析 本题考查向量平行的条件. ∵a=(2,6),b =(-1,λ),a ∥b , ∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.7.(2016课标Ⅱ文,13,5分)已知向量a =(m,4),b =(3,-2),且a ∥b ,则m= . 答案 -6解析 因为a ∥b ,所以m 3=4−2,解得m=-6. 易错警示 容易把两个向量平行与垂直的条件混淆. 评析 本题考查了两个向量平行的充要条件.8.(2014陕西,13,5分)设0<θ<π2,向量a =(sin 2θ,cos θ),b =(cos θ,1),若a ∥b ,则tan θ= . 答案12解析∵a∥b,∴sin 2θ×1-cos2θ=0,∴2sin θcos θ-cos2θ=0,∵0<θ<π2,∴cos θ>0,∴2sin θ=cos θ,∴tan θ=1 2 .。

§5.1平面向量的概念及线性运算考试要求 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有的量叫做向量，向量的大小称为向量的．(2)零向量：长度为的向量，记作．(3)单位向量：长度等于长度的向量．(4)平行向量：方向相同或的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量．(5)相等向量：长度相等且方向的向量．(6)相反向量：长度相等且方向的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝；结合律：(a＋b)＋c＝________减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝，当λ>0时，λa的方向λ(μa)＝；与a 的方向 ； 当λ<0时，λa 的方向与a 的方向 ； 当λ＝0时，λa ＝(λ＋μ)a ＝ ；λ(a ＋b )＝3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 . 常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF →＝12(OA →＋OB →)．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB→＋AC →)．4．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．( ) (2)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .( )(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．( ) 教材改编题1．(多选)下列命题正确的是( ) A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．零向量的长度等于0C ．若a ，b 都为非零向量，则使a |a |＋b|b |＝0成立的条件是a 与b 反向共线D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c2．下列各式化简结果正确的是( ) A.AB →＋AC →＝BC →B.AM →＋MB →＋BO →＋OM →＝AM →C.AB →＋BC →－AC →＝0D.AB →－AD →－DC →＝BC →3．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.题型一 平面向量的基本概念例1 (1)(多选)下列说法中正确的是( ) A ．单位向量都相等B ．任一向量与它的相反向量不相等C ．若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等，与方向无关D ．若a 与b 是相反向量，则|a |＝|b |(2)(2023·福州模拟)如图，在正△ABC 中，D ，E ，F 均为所在边的中点，则以下向量和FC →相等的是( )A.EF →B.FB →C.DF →D.ED →听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 平行向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． (4)a|a |是与a 同方向的单位向量． 跟踪训练1 (1)(多选)下列命题中正确的是( ) A ．向量AB →的长度与向量BA →的长度相等B ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反C ．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同D ．两个终点相同的向量，一定是共线向量(2)如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与BC →相等的向量为( )A.BA →B.CD →C.AD →D.OD → 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量加、减法的几何意义例2 (2022·济南模拟)已知单位向量e 1，e 2，…，e 2 023，则|e 1＋e 2＋…＋e 2 023|的最大值是________，最小值是________．听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点2 向量的线性运算例3 (2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA .记CA →＝m ，CD →＝n ，则CB →等于( ) A ．3m －2n B ．－2m ＋3n C ．3m ＋2nD ．2m ＋3n听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点3 根据向量线性运算求参数例4 (2023·大连模拟)在△ABC 中，AD →＝2DB →，AE →＝2EC →，P 为线段DE 上的动点，若AP →＝λAB →＋μAC →，λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( ) A ．1 B.23 C.32D ．2听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义． (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练2 (1)五角星是指有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗．如图，在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是( )A.CH →＋ID →＝0 B.AB →∥FE → C.AF →＋FG →＝2HG →D.AF →＝AB →＋AJ →(2)P 是△ABC 所在平面上一点，满足P A →＋PB →＋PC →＝2AB →，△ABC 的面积是S 1，△P AB 的面积是S 2，则( ) A ．S 1＝4S 2 B ．S 1＝3S 2 C ．S 1＝2S 2D ．S 1＝S 2(3)在△ABC 中，P 是BC 上一点，若BP →＝2PC →，AP →＝λAB →＋μAC →，则2λ＋μ＝________. 题型三 共线定理及其应用例5 已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据． (2)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(3)若OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.跟踪训练3 (1)若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN →＝a －2b ，PN →＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则k 等于( ) A ．－1 B ．1 C.32D ．2(2)如图，△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 满足AN →＝23AB →，AM 与CN 交于点D ，AD →＝λAM →，则λ等于( )A.23B.34C.45D.56。

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题5平面向量35平面向量的线性运算及基本定理 文①（—7）6 a =- 42a :②7（ a + b ） — 8b = 7a + 15b ； ③a — 2b + a + 2b = 2a ;④4（2 a + b ） = 8a + 4b .2 • （2015 •贵州遵义一模 ）在厶ABC 中，已知 D 是AB 边上一点，若 A D ^ 2D B &上3入 CB 贝 y x = ______ .1 23 • （2015 •云南昆明质检）如图，在△ ABC 中，AN= 3NC, P 是BN 上的一点，若 AP ^ m AB+ 9 AC,则实数仆 ____________4.若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①丨a |>| b | •，②a // b ;③丨a |>0 ;④丨b | =± 1,其中正确的是 _________5 . (2015 •课标全国 I)已知点A (0,1) ,B (3,2)，向量A C = ( — 4, —3)，则向量 BC =6 •已知点 6是厶ABC 的重心，贝H GM GB+ SC= _______________________________ . 7. （2015 •青海西宁质检）已知△ ABC 的三个顶点 A, B, C 及平面内一点 P 满足PA + P B + PC=AB 则点P 与厶ABC 的关系为 __________ .8. 在△ ABC 中，O 是BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB AC 于不同的两点 M N,若AB= x AM AC = y AN,贝U x + y = _______ .9. 设向量m= 2a — 3b , n = 4a — 2b , p =3a + 2b ,若用 m , n 表示p ,贝U p = .10.O A如图，平面内有三个向量OA O B O C其中O A与OB勺夹角为120° , O A与6C勺夹角为30° , 且I 6A = | O B| = 1 , |OC = 2护，若O G= X O A+ 口亦入，口€ R)，贝卩入+ 口的值为1 211. 设D, E 分别是△ ABC的边AB BC 上的点，AD= 2AB BE= -BQ 若DE= X i AB+ X2AC2 3(X 1, X 2 为实数)，贝y X 1+ X 2 = ________________ .12. 已知A(2,3),耳4 , - 3)，点P在线段AB的延长线上，且| AP| = ||PB，则点P坐标为113. 已知a, b是两个不共线的向量，它们的起点相同，且a, t b, 3( a+ b) ( t € R)这三个3向量的终点在一条直线上，则t的值为 _________ .14.给定两个长度为1的平面向量色和6B,它们的夹角为120°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若OC= x OA+ y OB其中x, y € R,贝U x + y的最大值是 ____________ .答案解析211 3 2・3 3.9 4.③ 5.（—7，—4）6.07. P是AC边的一个三等分点解析•/ PA+P B+ PC= AB,••• PA+ PB+ PC= P B-P A••• PC= —2PA=2AP,8. 2解析因为MON三点共线，所以存在常数X (入工0,且入工―1),使得MO= X O N即AO>A M^X(AN-A Q, 所以AC>-^Ai\^-^ AN1 +入 1 +入又O是BC的中点，1A1A x A y A 所以AO= 2AB+ 2AOqA* 2A Nx 1_A A 2 1+入'又AM AN不共线，所以y 入2= 1 +入，即x + y = 2.7 139--4m+^n恨12 . (8 , - 15)解析设P(x, y), 因为I Ap = ||函, 又P在线段AB的延长线上，3所以(x—2, y —3) = |(x —4, y+ 3),3x—2 = 2 x —4 ,即3y—3=2 y+3,x = 8,所以故P(8 , —15).y = —15.113. §解析所以1 ［入1+入+1+入1,故AP=-如图所示，QA= tb , 1 T T=3(a + b ), OC = a . OB AC = OG~ OA = a — t b ,=O G -O B = f a -!b , B C••• A B C 三点共线，a , b 不共线,• A C 与 BC 共线， 2 13 - 3 1 1=—t ，•t = 2.14. 2 解析以O 为坐标原点, OA 所在的直线为x 轴,的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系，O A1 Ht/3 则可知 A (1,0) , B ( -f ,芬),设 C (cos2n a , Sin a )( a € [0 ,3 ]), 3(cos a ,sin a ) = x (1,0)则由 OC= x OA + y OB 得+ y (-拝)，J3得 x = cos a + 〒sin3 y =竽sin a ,所以 x + y = cos a +3sinna = 2sin( a +石),n所以当a =3时，x + y取得最大值2.。

平面向量的线性运算在数学中，平面向量是向量的一种，它在平面内具有长度和方向，可以用有向线段表示。

平面向量之间可以进行线性运算，包括加法和数乘。

本文将详细介绍平面向量的线性运算及其性质。

一、平面向量的定义平面向量是指具有大小和方向的向量，它们通常用加粗的小写字母表示，如a、a等。

平面向量可以用有向线段表示，线段的起点表示向量的起点，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。

二、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

设有两个平面向量a和a，它们的加法定义为：a + a = a + a这意味着向量的加法满足交换律，顺序不影响结果。

加法的几何解释为将两个向量的起点相连，然后将它们的箭头相连，新向量的起点与第一个向量的起点相同，终点与第二个向量的终点相同。

三、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。

设有一个平面向量a和一个实数a，它们的数乘定义为：aa = aa数乘有以下性质：1. 数乘满足结合律：(aa)a = a(aa)，其中a和a为实数。

2. 数乘满足分配律：(a + a)a = aa + aa，其中a和a为实数。

3. 数乘满足分配律：a(a + a) = aa + aa，其中a为实数，a和a为平面向量。

四、线性组合线性组合是指将一组向量与一组实数相乘并求和得到一个新的向量。

设有a个平面向量a₁、a₂、...、aa和a个实数a₁、a₂、...、aa，它们的线性组合定义为：a₁a₁ + a₂a₂ + ... + aaaa线性组合是向量加法和数乘的联合运算，这个概念在线性代数中具有重要的应用。

五、线性运算的性质1. 交换律：向量加法满足交换律，即a + a = a + a。

2. 结合律：向量加法满足结合律，即(a + a) + a = a + (a + a)，其中a、a和a为平面向量。

3. 分配律：向量加法和数乘满足分配律，即a(a + a) = aa + aa，(a + a)a = aa + aa，其中a、a为实数，a和a为平面向量。