2020版高考数学一轮复习课后限时集训48范围最值问题含解析理2

课后限时集训(四十九)　双曲线(建议用时：40分钟)A 组　基础达标一、选择题1．(2019·福州模拟)已知双曲线E ：mx 2－y 2＝1的两顶点间的距离为4，则E 的渐近线方程为( )A ．y ＝± B ．y ＝±x4x2C ．y ＝±2xD ．y ＝±4xB [因为E ：mx 2－y 2＝1的两顶点间的距离为4，所以m ＝，所以E 的方程为－y 2＝1，所以E14x 24的渐近线方程为y ＝±，故选B.]x22．(2015·全国卷Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，x 22若·＜0，则y 0的取值范围是( )MF 1→ MF 2→A.B.(－33，33)(－36，36)C. D.(－223，223)(－233，233)A [由题意知a ＝，b ＝1，c ＝，∴F 1(－，0)，F 2(，0)，∴＝(－－x 0，－y 0)，2333MF 1→3＝(－x 0，－y 0)．MF 2→3∵·<0，∴(－－x 0)(－x 0)＋y <0，MF 1→ MF 2→3320即x －3＋y <0.2020∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴－y ＝1，即x ＝2＋2y ，∴2＋2y －3＋y <0，∴－<y 0<.x 2220202020203333故选A.]3．(2019·云南模拟)P 为双曲线C ：－＝1(a ＞0)上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右x 2a 2y 29焦点，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．6 B ．9C ．18D ．36D [不妨设点P 在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，两边平方，整理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝4a 2＋2|PF 1||PF 2|.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝，即＝，解得|PF 1||PF 2|＝36，故选D.]|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|4a 2＋2|PF 1||PF 2|－4 a 2＋9 2|PF 1||PF 2|124．已知双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线的夹角θ满足sin θ＝，焦点到渐近线x 2a 2y 2b 245的距离为1，则该双曲线的焦距为( )A. B.或5525C.或2D ．2555C [因为双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线的夹角θ满足sin θ＝，所以tan θ＝x 2a 2y 2b 245，不妨设双曲线经过第一、三象限的渐近线的倾斜角为α，则θ＝2α或θ＝π－2α，tan 43θ＝±tan 2α＝±＝，得tan α＝2或，所以＝2或.设右焦点为(c,0)，其中2tan α1－tan 2α4312b a 12一条渐近线方程为y ＝x ，则焦点到渐近线的距离d ＝＝b ＝1，又b 2＝c 2－a 2＝1，解得c ＝b a |bc |a 2＋b 2或，所以双曲线的焦距为或2.]525555．(2019·惠州一调)已知F 1和F 2分别是双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，A 和B 是x 2a 2y 2b2以坐标原点O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A.B.－13＋123C.＋1D ．23C [由题意知|F 1F 2|＝2c ，∵△F 2AB 是等边三角形，∴∠AF 2F 1＝30°.连接AF 1，∴|AF 1|＝c ，|AF 2|＝c ，∴a ＝，33c －c2∴e ＝＝＋1.故选C.]c a36．已知双曲线C ：－＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切x 2a 2y 2b2的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为( )A. B.525C.D ．22C [易知双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，则点F (c,0)到渐近线的距离为＝＝b ，即b a|bc |a 2＋b2bcc圆F 的半径为b .令x ＝c ，则y ＝±b ＝±，由题意，得b ＝，即a ＝b ，所以双曲线c 2a 2－1b 2a b 2a 的离心率e ＝＝，故选C.]1＋b 2a227．已知F 1，F 2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲x 25y 24线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( )A.＋4B.－43737C.－2D.＋2375375C [由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝，37∴|AP |＋|AF 2|的最小值为|AP |＋|AF 1|－2a ＝－2.]375二、填空题8.如图，F 1，F 2是双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的x 2a 2y 2b2直线l 与C 的左、右两个分支分别交于点B ，A .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为________．　[∵△ABF 2为等边三角形，7∴|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|，∠F 1AF 2＝60°.由双曲线的定义，得|AF 1|－|AF 2|＝2a ，∴|BF 1|＝2a .又|BF 2|－|BF 1|＝2a ，∴|BF 2|＝4a ，∴|AF 2|＝4a ，|AF 1|＝6a .在△AF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 2|·|AF 1|cos 60°，∴(2c )2＝(6a )2＋(4a )2－2×4a ×6a ×，化简得c 2＝7a 2，12∴e ＝＝＝.]c a c 2a279．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，x 227y 23615则此双曲线的标准方程是________．－＝1　[椭圆＋＝1的焦点坐标为(0，±3)．y 24x 25x 227y 236设双曲线的标准方程为－＝1(a ＞0，b ＞0)，y 2a 2x 2b2由双曲线的定义得2a ＝|－| 15－0 2＋ 4－3 2 15－0 2＋ 4＋3 2＝4，故a ＝2，b 2＝32－22＝5，故所求双曲线的标准方程为－＝1.]y 24x 2510．(2019·武汉模拟)已知双曲线x 2－＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上y 23一点，则·的最小值为________．PA 1→ PF 2→－2　[由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y )(x ≥1)，则＝(－1－x ，－y )，＝(2－x ，－y )，·＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝PA 1→ PF 2→ PA 1→ PF 2→4x 2－x －5.因为x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝，所以当x ＝1时，·取得最18PA 1→ PF 2→小值－2.]B 组　能力提升1．已知双曲线C ：－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支相x 23交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△PF 1Q 的周长为( )A ．4 B.31433C ．5D.31633D [由双曲线方程得a 2＝3，b 2＝1，所以c 2＝a 2＋b 2＝4，所以c ＝2，所以右焦点F 2(2,0)，因为x P ＝2且PQ 过点F 2，所以PQ ⊥x 轴，如图，由此得Error!⇒|PF 1|＋|PF 2|＝，833所以△PF 1Q 的周长为2(|PF 1|＋|PF 2|)＝.故选D.]16332．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：－＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，O 是坐标x 2a 2y 2b2原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝|OP |，则C 的离心率为( )6A. B ．25C.D.32C [不妨设一条渐近线的方程为y ＝x ，则F 2到y ＝x 的距离d ＝＝b ，在Rt△F 2PO 中，|F 2O |ba b a|bc |a 2＋b 2＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝a .又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt△F 2PO 中，根据余弦定6理得cos∠POF 1＝＝－cos∠POF 2＝－，即3a 2＋c 2－(a )2＝0，得3a 2＝c 2，a 2＋c 2－ 6a 22aca c 6所以e ＝＝.]ca33．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：－＝1的左、右焦点，若F 2关于渐近线的对称点恰落在x 2a 2y 2b2以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为________．2　[由题意，得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，一条渐近线方程为y ＝x ，则F 2到渐近线的距离为＝b .babc b 2＋a 2设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于点A ，则|MF 2|＝2b ，A 为F 2M 的中点．又O 是F 1F 2的中点，∴OA ∥F 1M ，∴∠F 1MF 2为直角，∴△MF 1F 2为直角三角形，∴由勾股定理，得4c 2＝c 2＋4b 2，∴3c 2＝4(c 2－a 2)，∴c 2＝4a 2，∴c ＝2a ，∴e ＝2.]4．已知点A (a,0)，点P 是双曲线C ：－y 2＝1右支上任意一点，若|PA |的最小值为3，则a ＝x 24________.－1或5　[设P (x ，y )(x ≥0)，2则|PA |2＝(x －a )2＋y 2＝(x －a )2＋＝2＋a 2－1.(x 24－1)54(x －45a )15a ≥时，取x ＝a ，得|PA |2的最小值为a 2－1＝9，所以a ＝5；5245152a ＜时，这个关于x 的二次函数在x ∈[2，＋∞)上单调递增，52取x ＝2，得|PA |最小值为＝|2－a |＝3，所以a ＝－1. 2－a 2＋02综上，得a ＝－1或5.]2。

课后限时集训(八)　指数与指数函数(建议用时：60分钟)A 组　基础达标一、选择题1．设a ＞0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是( )a 2a ·3a 2A ．a B ．a 12 56C ．aD ．a 7632C [＝＝Error!＝Error!＝a 2－＝a .故选C.]a 2a ·3a 2a 2a ·a 56 762．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞aA [由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图像可知0.40.2＞0.40.6，即b ＞c .因为a ＝20.2＞1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b.综上，a ＞b ＞c .]3．函数y ＝(0＜a ＜1)的图像的大致形状是( )xa x|x | A B C DD [函数的定义域为{x |x ≠0}，所以y ＝＝Error!当x ＞0时，函数是指数函数，其底数0＜a ＜xa x|x |1，所以函数递减；当x ＜0时，函数图像与指数函数y ＝a x (x ＜0)的图像关于x 轴对称，函数递增，所以应选D.]4．若2x 2＋1≤x －2，则函数y ＝2x 的值域是( )(14)A. B.[18，2)[18，2]C. D ．[2，＋∞)(－∞，18]B [因2x 2＋1≤x －2＝24－2x ，则x 2＋1≤4－2x ，即x 2＋2x －3≤0，所以－3≤x ≤1，所以(14)18≤y ≤2.]5．若存在正数x 使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)D [不等式2x (x －a )＜1可变形为x －a ＜x.在同一平面直角坐标系中作出直线y ＝x －a 与y (12)＝x 的图像．由题意知，在(0，＋∞)内， 直线有一部分在y ＝x (12)(12)图像的下方．由图可知，－a ＜1，所以a ＞－1.]二、填空题6．计算：－×0＋8×－Error!＝________.(32)13(－76)14 422　[原式＝Error!×1＋2×2－Error!＝2.](23)34 14 (23)7．已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)．若f (x )在[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．(－∞，4]　[令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间上递增，在区间上递[m 2，＋∞)(－∞，m 2]减．而y ＝2t 在R 上递增，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上递增，则有≤2，即m ≤4，m2所以m 的取值范围是(－∞，4]．]8．(2019·西安八校联考)设函数f (x )＝Error!则满足f (x )＋f (x －1)＞1的x 的取值范围是________．(0，＋∞)　[画出函数f (x )的大致图像如图，易知函数f (x )在(－∞，＋∞)上递增．又x ＞x －1，且x －(x －1)＝1，f (0)＝1，所以要使f (x )＋f (x －1)＞1成立，则结合函数f (x )的图像知只需x －1＞－1，解得x ＞0.故所求x 的取值范围是(0，＋∞)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a ＞0，a ≠1)的图像经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )的表达式；(2)若不等式x ＋x－m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．(1a )(1b )[解]　(1)因为f (x )的图像过A (1,6)，B (3,24)，所以Error!所以a 2＝4，又a ＞0，所以a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则x ∈(－∞，1]时，x ＋x －m ≥0恒成立，即m ≤x ＋x 在(－∞，1](12)(13)(12)(13)上恒成立．又因为y ＝x 与y ＝x 均为减函数，所以y ＝x ＋x 也是减函数，(12)(13)(12)(13)所以当x ＝1时，y ＝x ＋x有最小值.所以m ≤.(12)(13)5656即m 的取值范围是.(－∞，56]10．已知函数f (x )＝－＋3(－1≤x ≤2)．14x λ2x －1(1)若λ＝，求函数f (x )的值域；32(2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值．[解]　(1)f (x )＝－＋314x λ2x －1＝2x －2λ·x ＋3(－1≤x ≤2)．(12)(12)设t ＝x ，(12)得g (t )＝t 2－2λt ＋3.(14≤t ≤2)当λ＝时，g (t )＝t 2－3t ＋332＝2＋.(t －32)34(14≤t ≤2)所以g (t )max ＝g ＝，(14)3716g (t )min ＝g ＝.(32)34所以f (x )max ＝，f (x )min ＝，371634故函数f (x )的值域为.[34，3716](2)由(1)得g (t )＝t 2－2λt ＋3＝(t －λ)2＋3－λ2，(14≤t ≤2)①当λ≤时，g (t )min ＝g ＝－＋，14(14)λ24916令－＋＝1，得λ＝＞，不符合，舍去；λ2491633814②当＜λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2＋3，14令－λ2＋3＝1，得λ＝；2(λ＝－2＜14，不符合，舍去)③当λ＞2时，g (t )min ＝g (2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝＜2，不符合，舍去．32综上所述，实数λ的值为.2B 组　能力提升1．设函数f (x )＝x (e x ＋e －x )，则f (x )( )A ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数A [∵f (－x )＝－x (e －x ＋e x )＝－[x (e －x ＋e x )]＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．任取x 2＞x 1＞0，则e x 2－e x 1＞0，e x 2＋x 1＞1，e x 2＋e －x 2－(e x 1＋e －x 1)＝(e x 1－e x 1)＞0，(1－1e x 1＋x 2)f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上递增，故选A.]2．设函数f (x )＝Error!则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A. B ．[0,1][23，1]C. D ．[1，＋∞)[23，＋∞)C [令f (a )＝t ，则f (t )＝2t .当t ＜1时，3t －1＝2t ，令g (t )＝3t －1－2t ，则g ′(t )＝3－2t ln 2，当t ＜1时，g ′(t )＞0，g (t )在(－∞，1)上递增，即g (t )＜g (1)＝0，则方程3t －1＝2t 无解．当t ≥1时，2t ＝2t 成立，由f (a )≥1，即当a ＜1时，3a －1≥1，解得≤a ＜1；或a ≥1时，2a ≥1，23解得a ≥1.综上可得a 的取值范围是a ≥.]233．若32＋2x －3x 2＋x＞2＋2x －x 2＋x ，则x 的取值范围是________．(14)(14)(－1,2)　[∵32＋2x －3x 2＋x＞2＋2x －x 2＋x ，(14)(14)∴32＋2x －2＋2x ＞3x 2＋x －x 2＋x，(*)(14)(14)观察知，不等式两边结构相同，故构造函数F (t )＝3t －t ，则F (t )为R 上的增函数，而(*)(14)式可以写成，F (2＋2x )＞F (x 2＋x )，根据F (x )递增，得2＋2x ＞x 2＋x ，即x 2－x －2＜0，解得x ∈(－1,2)．]4．已知定义域为R 的函数f (x )＝是奇函数．－2x ＋b 2x ＋1＋a(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)＜0.[解]　(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即＝0，解得b ＝1，－1＋b 2＋a所以f (x )＝.－2x ＋12x ＋1＋a又由f (1)＝－f (－1)知＝－，解得a ＝2.－2＋14＋a －12＋11＋a(2)由(1)知f (x )＝＝－＋.－2x ＋12x ＋1＋21212x ＋1由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数)．又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．所以t 2－2t ＞－2t 2＋1，即3t 2－2t －1＞0.解得t ＞1或t ＜－，所以该不等式的解集为13.{tt ＞1或t ＜－13}。

综合检测二(标准卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集为R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2－x x >0，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |0<x ≤1}B ．{x |0<x <1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |0<x <2} 答案 C解析 由集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2－x x >0，可知0<x <2； 因为B ＝{x |x ≥1}，所以A ∩B ＝{}x |1≤x <2，故选C.2．若复数z 满足(1＋2i)z ＝1－i ，则复数z 为( )A.15＋35i B ．－15＋35i C.15－35i D ．－15－35i 答案 D解析 ∵(1＋2i)z ＝1－i ，∴z ＝1－i 1＋2i ＝(1－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－1－3i 5＝－15－35i ，故选D. 3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，，则z ＝2x －y 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．2答案 B 解析 绘制不等式组表示的可行域(阴影部分包含边界)，结合目标函数可得，目标函数在点A (－1,0) 处取得最小值z ＝2x －y ＝－2.4.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14 答案 A解析 由题可知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2PA →，所以OP →＝OB →＋23B A →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23O A →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13，故选A. 5．(2x ＋x )4的展开式中x 3的系数是( )A ．6B ．12C ．24D ．48答案 C解析 (2x ＋x )4的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 4(2x )4－k (x )k ＝C k 424－k 42k x －，令4－k 2＝3解得k ＝2，故x 3的系数为C 2422＝24，故选C.6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 值为( )A ．15B ．37C ．83D ．177答案 B解析 执行程序，可得S ＝0，i ＝1，不符合，返回循环；。

课时作业48 利用向量求空间角1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( B )A.12B.23C.33D.22解析：以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设棱长为1，则A 1(0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，D (0,1,0)，∴A 1D →＝(0,1，－1)，A 1E →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，－12，设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )．则有⎩⎨⎧A 1D →·n 1＝0，A 1E →·n 1＝0，即⎩⎨⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2， ∴n 1＝(1,2,2)．∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)，∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23，即所成的锐二面角的余弦值为23.2．(2019·大同模拟)设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD的距离是( D )A.32B.22C.223D.233解析：如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y轴，z 轴，建立坐标系，则D (0,0,0)，D 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，B (2,2,0)，D 1A 1→＝(2,0,0)，DB →＝(2,2,0)，DA 1→＝(2,0,2)，设平面A 1BD 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2z ＝0，2x ＋2y ＝0， 令z ＝1，得n ＝(－1,1,1)．∴D 1到平面A 1BD 的距离d ＝|D 1A 1→·n ||n |＝23＝233.3．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( A )A.334 B.233 C.324 D.32解析：由正方体的性质及题意可得，正方体共顶点的三条棱所在直线与平面α所成的角均相等．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，易知棱AB ，AD ，AA 1所在直线与平面A 1BD 所成的角均相等，所以α∥平面A 1BD ，当平面α趋近点A 时，截面图形的面积趋近于0；当平面α经过正方体的中心O 时，截面图形为正六边形，其边长为22，截面图形的面积为6×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝334；当平面α趋近于C 1时，截面图形的面积趋近于0，所以截面图形面积的最大值为334，故选A.4．已知三棱锥P -ABC 的所有顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，AC 为球O 的直径．当三棱锥P -ABC 的体积最大时，二面角P -AB -C 的大小为θ，则sin θ等于( C )A.23B.53C.63D.73解析：如图，设球O 的半径为R ，由4πR 2＝16π，得R ＝2，设点P 到平面ABC 的距离为d ， 则0＜d ≤2，因为AC 为球的直径， 所以AB 2＋BC 2＝AC 2＝16，则V 三棱锥P -ABC ＝16AB ·BC ·d ≤16·AB 2＋BC 22·2＝83，当且仅当AB ＝BC ＝22，d ＝2时，V 三棱锥P -ABC 取得最大值， 此时平面P AC ⊥平面ABC ，连接PO ，因为PO ⊥AC ，平面P AC ∩平面ABC ＝AC ，PO ⊂平面P AC ， 所以PO ⊥平面ABC ，过点P 作PD ⊥AB 于D ， 连接OD ，因为AB ⊥PO ，AB ⊥PD ，PO ∩PD ＝P ， 所以AB ⊥平面POD ，则AB ⊥OD ， 所以∠PDO 为二面角P -AB -C 的平面角，因为OD ＝12BC ＝2，所以PD ＝PO 2＋OD 2＝6， 则sin θ＝sin ∠PDO ＝PO PD ＝63，故选C.5．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1和正方形ADD 1A 1的中心，则EF 和CD 所成的角的大小是 45° .解析：以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，－12，DC →＝(0,1,0)，∴cos 〈EF →，DC →〉＝EF →·DC →|EF →||DC →|＝－22，∴〈EF →，DC →〉＝135°，∴异面直线EF 和CD 所成的角的大小是45°.6．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为 25 .解析：建立空间直角坐标系如图所示．设AB ＝1，则AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫12，0，0. 设M (0，y,1)(0≤y ≤1)，则EM →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，y ，1.∵θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，∴cos θ＝|AF →·EM →||AF →||EM →| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋12y 1＋14·14＋y 2＋1＝2(1－y )5·4y 2＋5. 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2(1－y )4y 2＋52＝1－8y ＋14y 2＋5. 令8y ＋1＝t ，1≤t ≤9， 则8y ＋14y 2＋5＝16t ＋81t －2≥15， 当且仅当t ＝1时取等号．∴cos θ＝2(1－y )5·4y 2＋5≤15×25＝25，当且仅当y ＝0时取等号． 7．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D -AE -C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E -ACD 的体积． 解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB .又因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直． 如图，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴的正方向，|AP →|为单位长，建立空间直角坐标系A -xyz ，则D (0，3，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12.设B (m,0,0)(m ＞0)，则C (m ，3，0)，AC →＝(m ，3，0)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎨⎧n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎨⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ，－1，3. 又n 2＝(1,0,0)为平面DAE 的法向量， 由题设得|cos 〈n 1，n 2〉|＝12， 即33＋4m 2＝12，解得m ＝32.因为E 为PD 的中点， 所以三棱锥E -ACD 的高为12.三棱锥E -ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38.8．(2019·江西六校联考)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ABD ＝90°，EB ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，AB ＝2，EB ＝3，EF ＝1，BC ＝13，且M 是BD 的中点．(1)求证：EM ∥平面ADF ；(2)求二面角A -FD -B 的余弦值的大小．解：(1)证法一：取AD 的中点N ，连接MN ，NF .在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以MN ∥AB ，MN ＝12AB ， 又因为EF ∥AB ，EF ＝12AB ， 所以MN ∥EF 且MN ＝EF .所以四边形MNFE 为平行四边形，所以EM ∥FN ， 又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ，故EM ∥平面ADF .证法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB ⊥BD ，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B -xyz.由已知可得EM →＝⎝⎛⎭⎪⎫32，0，－3，AD →＝(3，－2,0)，AF →＝(0，－1，3)，设平面ADF 的法向量是n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎨⎧n ·AD →＝0，n ·AF →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝0，－y ＋3z ＝0，令y ＝3，则n ＝(2,3，3)． 又因为EM →·n ＝0，所以EM →⊥n ， 又EM ⊄平面ADF ，故EM ∥平面ADF .(2)由(1)中证法二可知平面ADF 的一个法向量是n ＝(2,3，3)． 易得平面BFD 的一个法向量是m ＝(0，－3，1)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－34， 又二面角A -FD -B 为锐角，故二面角A -FD -B 的余弦值大小为34.9．(2019·河南郑州一模)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△DAB ≌△DCB ，E 为线段BD 上的一点，且EB ＝ED ＝EC ＝BC ，连接CE 并延长交AD 于F .(1)若G 为PD 的中点，求证：平面P AD ⊥平面CGF ；(2)若BC ＝2，P A ＝3，求平面BCP 与平面DCP 所成锐二面角的余弦值． 解：(1)证明：在△BCD 中，EB ＝ED ＝EC ＝BC ， 故∠BCD ＝π2，∠CBE ＝∠CEB ＝π3， 连接AE ，∵△DAB ≌△DCB ，∴△EAB ≌△ECB ，从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3，AE ＝CE ＝DE . ∴∠AEF ＝∠FED ＝π3. 故EF ⊥AD ，AF ＝FD . 又PG ＝GD ，∴FG ∥P A .又P A ⊥平面ABCD ，故GF ⊥平面ABCD ， ∴GF ⊥AD ，又GF ∩EF ＝F ，故AD ⊥平面CFG . 又AD ⊂平面P AD ， ∴平面P AD ⊥平面CGF .(2)以点A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (3，3，0)，D (0，23，0)，P (0,0,3)． 故BC →＝(1，3，0)，CP →＝(－3，－3，3)，CD →＝(－3，3，0)． 设平面BCP 的一个法向量为n 1＝(1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3y 1＝0，－3－3y 1＋3z 1＝0，解得⎩⎨⎧y 1＝－33，z 1＝23，即n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－33，23.设平面DCP 的一个法向量为n 2＝(1，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧－3＋3y 2＝0，－3－3y 2＋3z 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝3，z 2＝2，即n 2＝(1，3，2)．从而平面BCP 与平面DCP 所成锐二面角的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝43169×8＝24.10．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面P AB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M -AB -D 的余弦值．解：(1)取P A 的中点F ，连接EF ，BF . 因为E 是PD 的中点， 所以EF ∥AD ，EF ＝12AD .由∠BAD ＝∠ABC ＝90°得BC ∥AD ， 又BC ＝12AD ，所以EF 綊BC ， 四边形BCEF 是平行四边形，CE ∥BF ，又BF ⊂平面P AB ，CE ⊄平面P AB ，故CE ∥平面P AB .(2)由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴正方向，|AB →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,1，3)，PC →＝(1,0，－3)，AB →＝(1,0,0)．设M (x ，y ，z )(0＜x ＜1)，则BM →＝(x －1，y ，z )，PM →＝(x ，y －1，z －3)．因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°， 而n ＝(0,0,1)是底面ABCD 的法向量， 所以|cos 〈BM →，n 〉|＝sin 45°， |z |(x －1)2＋y 2＋z 2＝22， 即(x －1)2＋y 2－z 2＝0.①又M 在棱PC 上，设PM →＝λPC →， 则x ＝λ，y ＝1，z ＝3－3λ.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22，y ＝1，z ＝－62(舍去)，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22，y ＝1，z ＝62.所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，62，从而AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，62.设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量，则⎩⎨⎧m ·AM →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧(2－2)x 0＋2y 0＋6z 0＝0，x 0＝0，所以可取m ＝(0，－6，2)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝105.易知所求二面角为锐角．因此二面角M -AB -D 的余弦值为105.11．如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD＝12AD，E为棱AD的中点，异面直线P A与CD所成的角为90°.(1)在平面P AB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线P A与平面PCE所成角的正弦值．解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．如图，延长AB，DC，相交于点M(M∈平面P AB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED.所以四边形BCDE是平行四边形，从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)解法一：由已知，CD⊥P A，CD⊥AD，P A∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角．所以∠PDA＝45°.设BC＝1，则在Rt△P AD中，P A＝AD＝2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知P A ⊥平面ABCD ，又CE ⊂平面ABCD ，从而P A ⊥CE . 于是CE ⊥平面P AH . 所以平面PCE ⊥平面P AH .过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE . 所以∠APH 是P A 与平面PCE 所成的角． 在Rt △AEH 中，∠AEH ＝45°，AE ＝1， 所以AH ＝22.在Rt △P AH 中，PH ＝P A 2＋AH 2＝322，所以sin ∠APH ＝AH PH ＝13.解法二：由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面P AD . 于是CD ⊥PD .从而∠PDA 是二面角P -CD -A 的平面角． 所以∠PDA ＝45°.由P A ⊥AB ，可得P A ⊥平面ABCD . 设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD →，AP →的方向分别为x 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，C (2,1,0)，E (1,0,0)， 所以PE →＝(1,0，－2)，EC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0,2)．设平面PCE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0， 设x ＝2，解得n ＝(2，－2,1)． 设直线P A 与平面PCE 所成角为α， 则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋(－2)2＋12＝13.所以直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值为13.12．(2019·江西南昌二中月考)如图，在等腰梯形ABCD 中，∠ABC ＝60°，CD ＝2，AB ＝4，点E 为AB 的中点，现将该梯形中的三角形EBC 沿线段EC 折起，形成四棱锥B -AECD .(1)在四棱锥B -AECD 中，求证：AD ⊥BD ；(2)若平面BEC 与平面AECD 所成二面角的平面角为120°，求直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值．解：(1)证明：由三角形BEC 沿线段EC 折起前，∠ABC ＝60°，CD ＝2，AB ＝4，点E 为AB 的中点，得三角形BEC 沿线段EC 折起后，四边形AECD 为菱形，边长为2，∠DAE ＝60°，如图，取EC 的中点F ，连接DF ，BF ，DE ，∵△BEC 和△DEC 均为正三角形， ∴EC ⊥BF ，EC ⊥DF , 又BF ∩DF ＝F ，∴EC ⊥平面BFD ，∵AD ∥EC ，∴AD ⊥平面BFD ， ∵BD ⊂平面BFD ，∴AD ⊥BD .(2)以F 为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，由EC ⊥平面BFD ，知z 轴在平面BFD 内， ∵BF ⊥EC ，DF ⊥EC ，∴∠BFD 为平面BEC 与平面AECD 所成二面角的平面角， ∴∠BFD ＝120°，∴∠BFz ＝30°，又∵BF ＝3，∴点B 的横坐标为－32，点B 的竖坐标为32. 因D (3，0,0)，E (0,1,0)，A (3，2,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－32，0，32，故AE →＝(－3，－1,0)，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332，0，－32，AD →＝(0，－2，0)．设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧BD →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332，0，－32·(x ，y ，z )＝0，AD →·n ＝(0，－2，0)·(x ，y ，z )＝0，得⎩⎨⎧332x －32z ＝0，－2y ＝0，令x ＝1，得y ＝0，z ＝3，∴平面ABD 的一个法向量为n ＝(1,0，3)， ∴cos 〈AE →，n 〉＝AE →·n|AE →||n |＝(－3，－1，0)·(1，0，3)2×2＝－34，∵直线AE 与平面ABD 所成角为锐角， ∴直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值为34.。

课后限时集训(四十六)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( ) A.14 B ．－14C ．4D ．－4B [由y ＝ax 2，变形得x 2＝1a y ＝2×12a y ，∴p ＝12a .又抛物线的准线方程是y ＝1，∴－14a ＝1，解得a ＝－14.]2．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离比它到直线x ＝－5的距离小1，则点M 的轨迹方程是( )A ．x ＝－4B ．x ＝4C ．y 2＝8xD ．y 2＝16xD [依题意可知点M 到点F 的距离等于点M 到直线x ＝－4的距离，因此点M 的轨迹是抛物线，且顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，p ＝8，∴点M 的轨迹的方程为y 2＝16x ，故选D.]3．已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．3 B ．4C ．6D ．86 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝16，又p ＝4，所以x 1＋x 2＝12，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝6.]4．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为4，则抛物线的方程是( )A ．y ＝4x 2B ．y ＝12x 2C ．y 2＝6xD ．y 2＝12xD [设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，则准线方程为x ＝－p 2，由题知1＋p2＝4，∴p ＝6，∴抛物线方程为y 2＝12x ，故选D.]5．(2019·湖北荆州模拟)从抛物线y 2＝4x 在第一象限内的一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝9，设抛物线的焦点为F ，则直线PF 的斜率为( )A.627 B.1827C.427 D.227C [设P (x 0，y 0)，由抛物线y 2＝4x ，可知其焦点F 的坐标为(1,0)，故|PM |＝x 0＋1＝9，解得x 0＝8，故P 点坐标为(8,42)，所以k PF ＝0－421－8＝427.]二、填空题6．(2019·泰安期末)若抛物线x 2＝4y 上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到x 轴的距离是________．9 [根据题意，抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，点A 到准线的距离为10，故点A 到x 轴的距离是9.]7．(2019·营口期末)直线y ＝k (x －1)与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，若|AB |＝163，则k ＝________.±3 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线AB 经过抛物线y 2＝4x 的焦点，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163，所以x 1＋x 2＝103.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k x －得到k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝103，所以k ＝± 3.]8．(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．(1,0)[由题知直线l 的方程为x ＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2a )(a >0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4a ＝4，即a ＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．]三、解答题9．(2019·襄阳模拟)已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，M (0,4)，动点P 到点F 的距离与到直线y ＝－14的距离相等．(1)求点P 的轨迹方程；(2)是否存在定直线y ＝a ，使得以PM 为直径的圆与直线y ＝a 的相交弦长为定值？若存在，求出定直线方程，若不存在，请说明理由．[解] (1)设P (x ，y )，由题意得x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －142＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋14，化简得y ＝x 2.∴点P 的轨迹方程为x 2＝y .(2)假设存在定直线y ＝a ，使得以PM 为直径的圆与直线y ＝a 的相交弦长为定值，设P (t ，t 2)，则以PM 为直径的圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －t 2＋422＝t 2＋t 2－24，∴以PM 为直径的圆与直线y ＝a 的相交弦长为l ＝2t 2＋t 2－24－⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋42－a 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫a －154t 2－a 2＋4a 若a 为常数，则对于任意实数y ，l 为定值的条件是a －154＝0，即a ＝154时，l ＝152.∴存在定直线y ＝154，以PM 为直径的圆与直线y ＝154的相交弦长为定值．10．如图，已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为∠AGB 的平分线． [解] (1)由抛物线定义可得|AF |＝2＋p2＝3，解得p ＝2.∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：∵点A (2，m )在抛物线E 上，∴m 2＝4×2，解得m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)，由A (2,22)，F (1,0)， ∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)， 由⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或12，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1,0)，∴k GA ＝223，k GB ＝－223，∴k GA ＋k GB ＝0， ∴∠AGF ＝∠BGF . ∴GF 为∠AGB 的平分线．B 组 能力提升1．(2019·鸡西模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l .设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则m ＋|PC |的最小值为( )A ．5 B.41C.41－2 D ．4B [由题意得，圆C 的圆心坐标为(－3，－4)，抛物线的焦点为F (2,0)．根据抛物线的定义，得m ＋|PC |＝|PF |＋|PC |≥|FC |＝41.]2．(2019·长春模拟)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF ||BF |的值等于( )A.13B.23C.34D.43A [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2120°＝8p 3，所以x 1＋x 2＝5p3.又x 1x 2＝p24，可得x 2＝32p ，x 1＝p 6，则|AF ||BF |＝p 6＋p232p ＋p 2＝13.故选A.] 3．(2019·山东枣庄期末)已知抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线C 2：x 23－y 2b2＝1(b ＞0)的一个焦点重合，若点F 到双曲线C 2的一条渐近线的距离为1，则C 1的焦点F 到其准线的距离为________．4 [根据题意，双曲线的一个焦点为(b 2＋3，0)，它到一条渐近线y ＝b3x 的距离为|b b 2＋3|b 2＋3＝b ＝1，所以焦点F (2,0)，所以抛物线方程为y 2＝8x ，其准线方程为x ＝－2，故C 1的焦点F 到其准线的距离为4.]4．(2019·江西吉安模拟)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)与圆C 2：x 2＋y 2＝5的两个交点之间的距离为4.(1)求p 的值；(2)设过抛物线C 1的焦点F 且斜率为k 的直线与抛物线交于A ，B 两点，与圆C 2交于C ，D 两点，当k ∈[0,1]时，求|AB |·|CD |的取值范围．[解] (1)由题意知，交点坐标为(－2,1)，(2,1)，代入抛物线C 1：x 2＝2py ，解得p ＝2. (2)由(1)知，抛物线C 1方程为x 2＝4y ，故抛物线C 1的焦点F (0,1)．设直线方程为y ＝kx ＋1，与抛物线C 1：x 2＝4y 联立化简得x 2－4kx －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，∴|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·k2－－＝4(1＋k 2)．∵圆心C 2到直线y ＝kx ＋1的距离为d ＝11＋k2，∴|CD |＝25－d 2＝25－11＋k2＝25k 2＋41＋k2.∴|AB |·|CD |＝4(1＋k 2)×25k 2＋41＋k2＝8＋k2k 2＋＝85k 4＋9k 2＋4.又k ∈[0,1]，∴|AB |·|CD |的取值范围为[16,242]．。

集合的概念与运算1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝(A)A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}A∩B＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}．2．(2016·山东卷)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∪B)＝(A)A．{2,6} B．{3,6}C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}因为A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，所以A∪B＝{1,3,4,5}．又U＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U(A∪B)＝{2,6}．3．(2018·武汉调研测试)已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax＝1}，若N M，则实数a 的取值集合为(D)A．{1} B．{－1,1}C．{1,0} D．{1，－1,0}M＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，又N M，N＝{x|ax＝1}，则N＝{－1}，{1}，∅满足条件，所以a＝1，－1,0，即实数a的取值集合为{1，－1,0}．4．(2018·佛山一模)已知全集U＝R，集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|x2－2x＞0}，则图中阴影部分表示的集合为(A)A．{0,1,2} B．{1,2}C．{3,4} D．{0,3,4}因为B＝{x|x2－2x＞0}＝{x|x＞2或x＜0}，所以∁U B＝{x|0≤x≤2}，所以图中阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{0,1,2}．5．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则集合M 中的元素个数为(B)A ．3B ．4C ．5D ．6M ＝{5,6,7,8}，所以M 中的元素个数为4.6．(2017·江苏卷)已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为 1 .因为A ∩B ＝{1}，A ＝{1,2}，所以1∈B 且2∉B .若a ＝1，则a 2＋3＝4，符合题意． 又a 2＋3≥3≠1，故a ＝1.7．已知集合A ＝{y |y ＝1x}，B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B ＝ (0，＋∞) .A ＝{y |y ＝1x}＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，B ＝{y |y ＝x 2}＝[0，＋∞)，所以A ∩B ＝(0，＋∞)．8．设集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，则A ∩Z ＝ {0,1,2,3} ，A ∩Z 的所有子集的个数为 16 .A ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}，所以A ∩Z ＝{0,1,2,3}，A ∩Z 的子集个数有24＝16个．9．(2017·山东卷)设集合M ＝{x ||x －1|<1}，N ＝{x |x <2}，则 M ∩N ＝(C) A ．(－1,1) B ．(－1,2) C ．(0,2) D ．(1,2)因为M ＝{x |0<x <2}，N ＝{x |x <2}，所以M ∩N ＝{x |0<x <2}∩{x |x <2}＝{x |0<x <2}．10．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是(B)A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)由x －x 2>0，得0<x <1，所以A ＝(0,1)，由x 2－cx <0，得0<x <c ，所以B ＝(0，c )， 因为A ⊆B ，所以c ≥1.11．已知M ＝{x |－2≤x ≤5}，N ＝{x |a ＋1≤x ≤2a －1}． (1)若a ＝3，则M ∪(∁R N )＝ R .(2)若N ⊆M ，则实数a 的取值范围为 (－∞，3] .(1)当a ＝3时，N ＝{x |4≤x ≤5}，所以∁R N ＝{x |x <4或x >5}． 所以M ∪(∁R N )＝R .(2)①当2a －1<a ＋1，即a <2时，N ＝∅， 此时满足N ⊆M .②当2a －1≥a ＋1，即a ≥2时，N ≠∅，由N ⊆M ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a －1≤5，所以2≤a ≤3.综上，实数a 的取值范围为(－∞，3]．12．(2018·黄石月考)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 人．设全集U 为某班30人，集合A 为喜爱篮球运动的15人，集合B 为喜爱乒乓球运动的10人，如图．设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15－x )人，只喜爱乒乓球的有(10－x )人，由此可得(15－x )＋(10－x )＋x ＋8＝30，解得x ＝3.所以15－x ＝12，即所求人数为12人．命题及其关系、充分条件与必要条件1．(2018·深圳市第二次调研)设A ，B 是两个集合，则“x ∈A ”是“x ∈A ∩B ”的(B)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件因为x ∈A ∩B ⇒x ∈A 且x ∈B ⇒x ∈A .但x ∈A ≠> x ∈A ∩B .所以“x ∈A ”是“x ∈A ∩B ”的必要不充分条件． 2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题为(C)A ．若α≠π4，则tan α≠1 B．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4将条件和结论分别否定后作为结论和条件即得到逆否命题．3．(2018·天津卷)设x ∈R ，则“x 3>8”是“|x |>2”的(A) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件由x 3>8⇒x >2⇒|x |>2，反之不成立，故“x 3>8”是“|x |>2”的充分而不必要条件．4．(2018·广东肇庆一模)原命题：设a ，b ，c ∈R ，若“a >b ”，则“ac 2>bc 2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有(C)A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个因为当c ＝0时，由a >b ≠> ac 2>bc 2，所以原命题为假，从而逆否命题为假．又ac 2>bc 2⇒a >b ，所以逆命题为真，从而否命题为真． 故真命题共有2个．5．(2018·湖北新联考四模)若“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是(D)A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1,1]“x >2m 2－3”是“－1<x <4”的必要不充分条件，所以(－1,4) (2m 2－3，＋∞)，所以2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1.6．命题“若a >b ，则2a>2b－1”的否命题为 若a ≤b ，则2a≤2b－1 .7．(2018·北京卷)能说明“若a ＞b ，则1a ＜1b”为假命题的一组a ，b 的值依次为 1，－1(答案不唯一) .只要保证a 为正b 为负即可满足要求．当a ＞0＞b 时，1a ＞0＞1b.只要取满足上述条件的a ，b 值即可，如a ＝1，b ＝－1(答案不唯一)．8．f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围为 (3，＋∞) .依题意P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}＝{x |f (x ＋t )<2}＝{x |f (x ＋t )<f (2)}，Q ＝{x |f (x )<－4}＝{x |f (x )<f (－1)}， f (x )是R 上的增函数，所以P ＝{x |x <2－t }，Q ＝{x |x <－1}， 要使“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件， 需2－t <－1，解得t >3，所以实数t 的取值范围是(3，＋∞)．9．(2016·天津卷)设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y |”的(C) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件(1)分别判断x >y ⇒x >|y |与x >|y |⇒x >y 是否成立，从而得到答案．当x ＝1，y ＝－2时，x >y ，但x >|y |不成立； 若x >|y |，因为|y |≥y ，所以x >y .所以“x >y ”是“x >|y |”的必要而不充分条件．10．(2017·浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4 ＋S 6＞2S 5”的(C)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(方法一)因为数列{a n }是公差为d 的等差数列， 所以S 4＝4a 1＋6d ，S 5＝5a 1＋10d ，S 6＝6a 1＋15d ， 所以S 4＋S 6＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d . 若d >0，则21d >20d,10a 1＋21d >10a 1＋20d ， 即S 4＋S 6>2S 5.若S 4＋S 6>2S 5，则10a 1＋21d >10a 1＋20d ，即21d >20d ， 所以d >0.所以“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充分必要条件． (方法二)因为S 4＋S 6>2S 5S 4＋S 4＋a 5＋a 6>2(S 4＋a 5a 6>a 5a 5＋d >a 5d >0，所以“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充分必要条件．11．(2018·武汉调研测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，条件p ：a ≤b ＋c 2，条件q ：A ≤B ＋C 2，那么条件p 是条件q 成立的(A)A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件条件q ：A ≤B ＋C2A ≤π－A 2A ≤π3. 条件p ：a ≤b ＋c2⇒cos A ＝b 2＋c 2－a22bc≥b 2＋c 2－b ＋c222bc＝3b 2＋3c 2－2bc 8bc ≥12⇒0<A ≤π3.所以p ⇒q ，但q p .如∠A ＝60°，a ＝3，b ＝1，c ＝2，不能得到a ≤b ＋c2.所以p 是q 的充分而不必要条件．12．(2018·江西赣中南五校二模)“a >0”是“函数y ＝ax 2＋x ＋1在(0，＋∞)上单调递增”的 充分不必要 条件．当a >0时，y ＝a (x ＋12a )2＋1－14a ，在(－12a，＋∞)上单调递增，因此在(0，＋∞)上单调递增，故充分性成立．当a ＝0时，y ＝x ＋1，在R 上单调递增，因此在(0，＋∞)上单调递增．故必要性不成立．综上，“a >0”是“函数y ＝ax 2＋x ＋1在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．若p 是真命题，q 是假命题，则(D) A ．p ∧q 是真命题 B ．p ∨q 是假命题 C ．﹁p 是真命题 D ．﹁q 是真命题由“且”命题一假则假，“或”命题一真则真，命题与命题的否定真假相反，得A 、B 、C 都是错误的，故选D.2．(2018·河北五校高三联考)已知命题p ：“a >b ”是“2a>2b”的充要条件；q ：∃x ∈R ，|x ＋1|≤x ，则(D)A ．﹁p ∨q 为真命题B ．p ∧q 为真命题C ．p ∧﹁q 为假命题D ．p ∨q 为真命题对于p ：因为a >b ⇒2a>2b，反之，2a>2b⇒a >b ，所以“a >b ”是“2a >2b”的充要条件，即p 是真命题．对于q ：|x ＋1|≤x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ＋1≤x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，－x －1≤x .解得x ∈∅，即不等式无实数解，所以q 是假命题． 所以p ∨q 为真命题．3．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是(A) A ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1 C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1 D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1修改原命题中的两个地方即可得其否定，∃改为∀，否定结论，即ln x ≠x －1，故选A.4．(2018·三亚校级期中)命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是(C) A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 B ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≥0 C ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0 D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>05．(2018·湖南省六校联考) 下列各组命题中，满足“p ∨q ”为真、“p ∧q ”为假、“﹁q ”为真的是(B)A ．p ：0＝∅；q ：0∈∅B ．p ：x >2是x >1成立的充分不必要条件；q ：∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0C ．p ：a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)；q ：不等式|x |>x 的解集是(－∞，0)D ．p ：y ＝1x在定义域内是增函数；q ：f (x )＝e x ＋e －x是偶函数由题意可知，满足“p ∨q ”为真、“p ∧q ”为假、“﹁q ”为真，可知p 为真、q为假．A 中，p 、q 都为假；B 中，p 为真，q 为假；C 中，p 、q 都为真；D 中，p 为假、q 为真．故选B.6．(2017·湖北武汉2月调研)命题“y ＝f (x )(x ∈M )是奇函数”的否定是(D) A ．∃x ∈M ，f (－x )＝－f (x ) B ．∀x ∈M ，f (－x )≠－f (x ) C ．∀x ∈M ，f (－x )＝－f (x ) D ．∃x ∈M ，f (－x )≠－f (x )命题“y ＝f (x )(x ∈M )是奇函数”的否定是∃x ∈M ，f (－x )≠－f (x )． 7．已知命题p ：“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20<0”，则﹁p 为 ∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0 _. 8．若x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为 1 .由题意，原命题等价于tan x ≤m 在区间[0，π4]上恒成立，即y ＝tan x 在[0，π4]上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在[0，π4]上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.9．(2018·湖南长郡中学联考)已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0，命题q ：∀x ∈(0，π2)，tan x >sin x ，则下列命题为真命题的个数是(B)①p ∨q ；②p ∨(﹁q )；③(﹁p )∧q ；④p ∧(﹁q )． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个因为幂函数y ＝x α，当α<0时在(0，＋∞)上递减， 由x 0<0,2<3，得2x 0>3x 0，所以p 为假命题．因为对于x ∈(0，π2)，sin x <x <tan x ，所以q 为真命题．所以①为真，②为假，③为真，④为假． 即真命题的个数是2.10．(2018·兰州模拟)已知下列四个命题：p 1：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l ⊥α； p 2：若f (x )＝2x －2－x ，则x ∈R ，f (－x )＝－f (x )； p 3：若f (x )＝x ＋1x ＋1，则∃x 0∈(0，＋∞)，f (x 0)＝1；p 4：在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin B .其中真命题的个数是(B) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4平面的斜线l 可以和平面内无数条平行直线垂直，p 1为假命题．因为f (－x )＝2－x－2x＝－f (x )，所以p 2为真命题． 因为f (x )＝x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1 ≥2x ＋1x ＋1－1＝1， 取等号的条件为x ＋1＝1x ＋1，得到x ＝－，＋∞)，所以当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>1，不存在x 0∈(0，＋∞)，满足f (x 0)＝1，所以p 3为假命题．在△ABC 中，A >B ⇒a >b ⇒sin A >sin B ，所以p 4为真命题． 故p 2和p 4为真命题，真命题的个数为2.11．若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”的否定为真命题，则实数a 的取值范围为 [－2,2] .(方法一)由题意，命题“对任意实数x ，都有x 2＋ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝a 2－4×1×1≤0，解得－2≤a ≤2.(方法二)若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1<0”是真命题， 则Δ＝a 2－4×1×1>0，解得a >2或a <－2.故所求的实数a 的取值范围是取其补集，即[－2,2]． 12．(2018·华南师大附中模拟)设有两个命题：p ：关于x 的不等式a x >1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}；q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是 (0，12]∪(1，＋∞) .p ：“关于x 的不等式a x>1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}”为真⇒0<a <1.q ：“函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ”为真⇒ax 2－x ＋a >0恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0⇒a >12.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p ，q 一真一假．⎩⎪⎨⎪⎧ p 真，q 假⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a ≤12⇒0<a ≤12.⎩⎪⎨⎪⎧p 假，q 真⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >12⇒a >1.所以实数a 的取值范围是(0，12]∪(1，＋∞)．函数及其表示1．函数y ＝x ·ln(1－x )的定义域为(B) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，解得0≤x <1.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ， x ≤1，11－x， x >1， 则f [f (－2)]的值为(C)A.12B.15 C ．－15 D ．－12因为f (－2)＝(－2)2－(－2)＝6，所以f [f (－2)]＝f (6)＝11－6＝－15. 3．若函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是(B)A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)因为f (x )的定义域为[0,2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1.4．(2018·黑龙江模拟) 设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的解析式为(C) A ．3x －1 B ．3x ＋1 C ．2x －1 D ．2x ＋1g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3，即g (x ＋2)＝2x ＋3，令x ＋2＝t ，所以x ＝t －2， 所以2x ＋3＝2(t －2)＋3＝2t －1， 所以g (x )＝2x －1.5．已知函数f (x )在[－1,2]上的图象如下图所示，则函数f (x )的解析式为f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， －1≤x ≤0，－12x ， 0＜x ≤2 .由图可知，图象是由两条直线的一段构成，故可采用待定系数法求出其表示式．当－1≤x ≤0时，设y ＝k 1x ＋b 1，将(－1,0)，(0,1)代入得k 1＝1，b 1＝1，所以y ＝x ＋1， 当0<x ≤2时，设y ＝k 2x ＋b 2，将(0,0)，(2，－1)代入得k 2＝－12，b 2＝0，所以y ＝－12x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， －1≤x ≤0，－12x ， 0＜x ≤2.6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ， x >1，若f [f (56)]＝4，则b 等于 12.因为56<1，所以f (56)＝3×56－b ＝52－b .若52－b <1，即b >32时， f (52－b )＝3(52－b )－b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不满足b >32，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32时， f (52－b )＝2(52－b )＝5－2b ＝4，解得b ＝12，满足b ≤32.故b ＝12.7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤－1，x 2， －1<x <2，－2x ＋8， x ≥2.(1)求f (3)，f [f (－2)]，f (a )(a >0)的值；(2)画出f (x )的图象，并求出满足条件f (x )>3的x 的值．(1)因为3>2，所以f (3)＝－2×3＋8＝2.因为－2<－1，所以f (－2)＝2－ 2. 又－1<2－2<2，所以f [f (－2)]＝f (2－2)＝(2－2)2＝6－4 2. 又a >0，当0<a <2时，f (a )＝a 2； 当a ≥2时，f (a )＝－2a ＋8.综上所述，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2， 0<a <2，－2a ＋8， a ≥2.(2)f (x )的图象如图所示．当x ≤－1时，f (x )＝x ＋2≤1，此时无解；当－1<x <2时，由x 2＝3，解得x ＝±3， 因为x ＝－3<－1，故舍去；当x ≥2时，由－2x ＋8＝3，解得x ＝52.由图知，不等式f (x )>3的解为(3，52)．8．(2018·湖北武汉调研)已知函数f (x )满足f (1x )＋1xf (－x )＝2x (x ≠0)，则f (－2)＝(C)A ．－72 B.92C.72 D ．－92令x ＝2，可得f (12)＋12f (－2)＝4，①令x ＝－12，可得f (－2)－2f (12)＝－1，②联立①②解得f (－2)＝72.9．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， x ≤0，2x， x >0，则满足f (x )＋f (x －12)>1的x的取值范围是 (－14，＋∞) .由题意知，可对不等式分x ≤0,0＜x ≤12，x ＞12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12＞1，解得x ＞－14，所以－14＜x ≤0.当0＜x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12＞1，显然成立．当x ＞12时，原不等式为2x＋2x －12＞1，显然成立．综上可知，x 的取值范围是(－14，＋∞)．10．函数f (x )＝－a2x 2＋－a x ＋6.(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的定义域为[－2,1]，求实数a 的值．(1)因为对于x ∈R ，(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0恒成立，所以①当a ＝1时，原不等式变为6≥0，此时x ∈R . ②当a ＝－1时，原不等式变为6x ＋6≥0，此时x R .③若a ≠±1时，则⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，Δ≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2>0，－a 2－－a2，解得－511≤a <1，所以实数a 的取值范围为[－511，1]． (2)因为f (x )的定义域为[－2,1]，所以不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2,1]， 所以x ＝－2，x ＝1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2<0，－2＋1＝－－a 1－a 2，－2×1＝61－a2，解得a ＝2.函数的值域与最值1．已知函数f (x )的值域为[－2,3]，则函数f (x －2)的值域为(D) A ．[－4,1] B ．[0,5]C ．[－4,1]∪[0,5]D ．[－2,3]函数y ＝f (x －2)的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移2个单位而得到的，其值域不变．2．函数y ＝16－4x的值域是(C) A ．[0，＋∞) B．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)因为16－4x≥0，且4x>0，所以0≤16－4x<16，所以0≤16－4x<4.3．已知函数f (x )＝e x－1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为(B)A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)f (a )的值域为(－1，＋∞)，由－b 2＋4b －3>－1，解得2－2<b <2＋ 2.4．(2018·重庆期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，x <1，1－ln x ， x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是(C)A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，54]D ．[54，＋∞)当x ≥1时，f (x )＝1－ln x ≤1.由于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，x <1，1－ln x ， x ≥1的值域为R ，且当x <1时，f (x )＝x 2＋x ＋a ≥a －12＋14＝a －14，所以a －14≤1，解得a ≤54.5．函数y ＝x 2x 2＋1(x ∈R )的值域为 [0,1) .y ＝x 2x 2＋1＝x 2＋1－1x 2＋1＝1－1x 2＋1.因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1，所以0≤y <1. 6．若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的取值范围为 (－∞，－3] .只需要在x ∈(0,1]时，(x 2－4x )min ≥m 即可．而当x ＝1时，(x 2－4x )min ＝－3，所以m ≤－3. 7．求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1x －3； (2)y ＝2x ＋4x －1； (3)y ＝|x ＋1|＋x －2.(1)y ＝x －3＋4x －3＝1＋4x －3，因为4x －3≠0，所以y ≠1， 即所求函数的值域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． (2)因为函数的定义域为{x |x ≥1}，又函数是增函数，所以函数的值域为[2，＋∞)． (3)y ＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1， x ≥2，3， －1≤x ＜2，1－2x ， x ＜－1.画出函数的图象，由图象观察可知，所求函数的值域为[3，＋∞)．8．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M的值为(A) A.22B. 2 C ．2 2 D ．2由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋3≥0，得定义域为[－3,1]，y ≥0，所以y 2＝4＋2x ＋－x ＝4＋2－x ＋2＋4，当x ＝－3或x ＝1，(y 2)min ＝4，所以y min ＝2； 当x ＝－1时，(y 2)max ＝8，所以y max ＝2 2. 即m ＝2，M ＝22，所以mM ＝22. 9．已知函数f (x )满足2f (x )－f (1x )＝3x2，则f (x )的最小值为 2 2 .由2f (x )－f (1x )＝3x2， ①令①式中的x 变为1x，可得2f (1x)－f (x )＝3x 2， ②由①②可解得f (x )＝2x2＋x 2，由于x 2>0，由基本不等式可得f (x )＝2x 2＋x 2≥22x2·x 2＝2 2.当x 2＝2时取等号，因此，其最小值为2 2. 10．已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)．(1)若f (x )在[m ，n ]上的值域是[m ，n ]，求a 的取值范围，并求相应的m ，n 的值； (2)若f (x )≤2x 在(0，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．(1)因为f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．那么当x ∈[m ，n ]时，y ∈[m ，n ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧fm ＝m ，fn ＝n .即m ，n 是方程1a －1x＝x 相异的两实根，由1a －1x ＝x ，得x 2－1ax ＋1＝0，由题设知：⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1a>0，m ·n ＝1＞0，Δ＝1a 2－4＞0.所以0＜a ＜12.此时，m ＝1－1－4a 22a ，n ＝1＋1－4a22a .(2)若1a －1x≤2x 在(0，＋∞)上恒成立．那么a ≥12x ＋1x恒成立．令g (x )＝12x ＋1x(x ＞0)．所以g (x )≤122x ·1x＝24. 故a ≥24.函数的单调性1．(2018·西城区期末)下列四个函数中，定义域为R 的单调递减函数是(D) A ．y ＝－x 2B ．y ＝log 0.5xC ．y ＝1xD ．y ＝(12)xy ＝－x 2在R 上没有单调性，排除A ；y ＝log 0.5x 的定义域不是R ，排除B ；y ＝1x的定义域不是R ，排除C ；y ＝(12)x的定义域为R ，且在R 上单调递减，故选D.2．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是(A) A ．(－∞，1] B ．(－∞，－1] C ．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.3．已知f (x )是R 上的减函数，则满足f (|1x|)<f (1)的实数x 的取值范围是(C)A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)因为f (x )是R 上的减函数，所以f (|1x |)<f1x|>1，所以0<|x |<1，所以x∈(－1,0)∪(0,1)．4．(2018·城关区期中)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ， x ＜1，log a x ， x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是(C)A ．(0,1)B ．(0，13)C ．[17，13)D ．[17，1)因为f (x )＝log a x (x ≥1)是减函数，所以0＜a <1，且f (1)＝0.因为f (x )＝(3a －1)x ＋4a (x <1)为减函数， 所以3a －1<0，所以a <13，又因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ，x ＜1，log a x ， x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，所以f (x )在(－∞，1]上的最小值大于或等于f (x )在[1，＋∞)上的最大值．所以(3a －1)×1＋4a ≥0，所以a ≥17，故a ∈[17，13)．5．函数f (x )＝log 2(4x －x 2)的单调递减区间是 [2,4) .因为4x －x 2>0，所以0<x <4，又y ＝log 2t 为增函数，所求函数f (x )的递减区间为t ＝4x －x 2(0<x <4)的递减区间是[2,4)．6．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为 (－3，－1)∪(3，＋∞) .由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >a ＋3，a 2－a >0，a ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3>0，a >1或a <0，a >－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a >3或a <－1，a >1或a <0，a >－3，所以a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)． 7．已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1.(1)判断f (x )在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．(1)函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，证明如下：任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2x 1＋x 2＋，因为x 1－x 2<0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 所以函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知， 函数f (x )在[1,4]上是增函数， 故f (x )max ＝f (4)＝95，f (x )min ＝f (1)＝32.8．(2017·山东卷)若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是(A)A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x(方法一)若f (x )具有性质M ，则[e x f (x )]′＝e x[f (x )＋f ′(x )]>0在f (x )的定义域上恒成立，即f (x )＋f ′(x )>0在f (x )的定义域上恒成立．对于选项A ，f (x )＋f ′(x )＝2－x－2－xln 2＝2－x(1－ln 2)>0，符合题意． 经验证，选项B ，C ，D 均不符合题意．故选A.(方法二)对于A ，e x f (x )＝(e 2)x ，因为e 2>1，所以e xf (x )为增函数．9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x >0，0， x ＝0，－1， x <0，g (x )＝x 2·f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是(B)A ．[0，＋∞)B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．(－1,1)由条件知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x >1，0， x ＝1，－x 2， x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．10．(2018·安徽皖江名校联考题改编)已知定义在(－2,2)上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )>f (2a －2)．(1)求实数a 的取值范围；(2)求函数g (x )＝log a (x 2－x －6)的单调区间．(1)因为定义在(－2,2)上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，所以f (x )在(－2,2)上单调递增， 又f (a 2－a )>f (2a －2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－2<a 2－a <2，－2<2a －2<2，2a －2<a 2－a ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <2，0<a <2，a <1或a >2.所以0<a <1.即a 的取值范围为(0,1)．(2)g (x )＝log a (x 2－x －6)可以看作由y ＝log a u 与u ＝x 2－x －6的复合函数． 由u ＝x 2－x －6>0，得x <－2或x >3.因为u ＝x 2－x －6在(－∞，－2)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数， 因为0<a <1，所以y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，所以y ＝log a (x 2－x －6)的单调递增区间为(－∞，－2)，单调递减区间为(3，＋∞)．函数的奇偶性与周期性1．(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x－(13)x ，则f (x )(B)A ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数因为函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝3－x －(13)－x ＝(13)x －3x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数．因为函数y ＝(13)x在R 上是减函数，所以函数y ＝－(13)x在R 上是增函数．又因为y ＝3x在R 上是增函数，所以函数f (x )＝3x－(13)x 在R 上是增函数．2．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论正确的是(C)A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数因为f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )， 所以f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )， 所以f (x )g (x )为奇函数．|f (－x )|g (－x )＝|f (x )|g (x )， 所以|f (x )|g (x )为偶函数．f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|为奇函数． |f (－x )g (－x )|＝|f (x )g (x )|， 所以|f (x )g (x )|为偶函数．3．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)设f (x )是周期为4的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－92)＝(A)A ．－34B ．－14C.14D.34f (－92)＝f (－92＋4)＝f (－12)＝－f (12)＝－12(1＋12)＝－34.4．(2018·天津一模)已知偶函数f (x )对于任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在区间[0,2]上是递增的，则f (－6.5)，f (－1)，f (0)的大小关系为(A)A ．f (0)<f (－6.5)<f (－1)B ．f (－6.5)<f (0)<f (－1)C ．f (－1)<f (－6.5)<f (0)D ．f (－1)<f (0)<f (－6.5)由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )， 故函数f (x )是周期为2的函数． 又f (x )为偶函数，所以f (－6.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)，f (－1)＝f (1)， 因为f (x )在区间[0,2]上是递增的， 所以f (0)<f (0.5)<f (1)， 即f (0)<f (－6.5)<f (－1)．5．(2017·山东卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x，则f (919)＝ 6 .因为f (x ＋4)＝f (x －2)，所以f [(x ＋2)＋4]＝f [(x ＋2)－2]，即f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )是周期为6的周期函数， 所以f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)． 又f (x )是定义在R 上的偶函数， 所以f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.6．已知奇函数f (x )在定义域[－10,10]上是减函数，且f (m －1)＋f (2m －1)>0，则实数m 的取值范围为 [－92，23) .由f (m －1)＋f (2m －1)>0f (m －1)>－f (2m －1)，因为f (x )为奇函数，所以－f (x )＝f (－x )， 所以f (m －1)>f (1－2m )， 又f (x )在[－10,10]上是减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－10≤m －1≤10，－10≤2m －1≤10，m －1<1－2m ，解得－92≤m <23.7．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)…＋f (2019)的值．(1)证明：因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． 所以f (x )是周期为4的周期函数．(2)因为x ∈[2,4]，所以－x ∈[－4，－2]，所以4－x ∈[0,2]， 所以f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8， 又f (x )是周期为4的奇函数， 所以f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝－f (4－x )，所以f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)因为f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1， 又f (x )是周期为4的周期函数，所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2016)＋f (2017)＋f (2018)＋f (2019)＝0，所以f (0)＋f (1)＋f (2)…＋f (2019)＝0.8．(2016·山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f (x ＋12)＝f (x －12)，则f (6)＝(D)A ．－2B ．－1C ．0D ．2由题意知，当x ＞12时，f (x ＋12)＝f (x －12)，则当x ＞0时，f (x ＋1)＝f (x )． 又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， 所以f (6)＝f (1)＝－f (－1)． 又当x ＜0时，f (x )＝x 3－1，所以f (－1)＝－2，所以f (6)＝2.故选D.9．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝ －2 .(方法一)令g (x )＝ln(1＋x 2－x )，则f (x )＝g (x )＋1，因为1＋x 2－x >|x |－x ≥0，所以g (x )的定义域为R ， 因为g (－x )＝ln(1＋x 2＋x )＝ln 11＋x 2－x＝－g (x )， 所以g (x )为奇函数，所以f (a )＝g (a )＋1＝4，所以g (a )＝3，所以f (－a )＝g (－a )＋1＝－g (a )＋1＝－3＋1＝－2.(方法二)因为f (x )＋f (－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2，所以f (a )＋f (－a )＝2，所以f (－a )＝－2.10．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－x 2＋ax . (1)若a ＝－2，求函数f (x )的解析式； (2)若函数f (x )为R 上的单调减函数，①求a 的取值范围；②若对任意实数m ，f (m －1)＋f (m 2＋t )<0恒成立，求实数t 的取值范围．(1)当x <0时，－x >0，又因为f (x )为奇函数，且a ＝－2， 所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝x 2－2x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x <0，－x 2－2x ， x ≥0.(2)①当a ≤0时，对称轴x ＝a2≤0，所以f (x )＝－x 2＋ax 在[0，＋∞)上单调递减， 由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同， 所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，又在(－∞，0)上f (x )>0，在(0，＋∞)上f (x )<0， 所以当a ≤0时，f (x )为R 上的单调减函数．当a >0时，f (x )在(0，a 2)上单调递增，在(a2，＋∞)上单调递减，不合题意．所以函数f (x )为单调减函数时，a 的取值范围为(－∞，0]． ②因为f (m －1)＋f (m 2＋t )<0， 所以f (m －1)<－f (m 2＋t )，又因为f (x )是奇函数，所以f (m －1)<f (－t －m 2)， 因为f (x )为R 上的减函数， 所以m －1>－t －m 2恒成立，所以t >－m 2－m ＋1＝－(m ＋12)2＋54对任意实数m 恒成立，所以t >54.即t 的取值范围为(54，＋∞)．二次函数1．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(C)A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)函数f (x )的最小值是f (－b2a)＝f (x 0)，等价于x ∈R ，f (x )≥f (x 0)，所以C 错误．2．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254，－4]，则m 的取值范围是(D)A ．[0,4]B ．[32，4]C ．[32，＋∞) D．[32，3]二次函数的对称轴为x ＝32，且f (32)＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，结合图象可知m ∈[32，3]．3．(2018·双桥区校级月考)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是(D)(方法一)对于A 选项，因为a <0，－b2a<0，所以b <0，又因为abc >0，所以c >0，由图知f (0)＝c <0，矛盾，故A 错．对于B 选项，因为a <0，－b2a>0，所以b >0，又因为abc >0，所以c <0，由图知f (0)＝c >0，矛盾，故B 错．对于C 选项，因为a >0，－b2a<0，所以b >0，又因为abc >0，所以c >0，由图知f (0)＝c <0，矛盾，故C 错．故排除A ，B ，C ，选D.(方法二)当a >0时，b ，c 同号，C ，D 两图中c <0，故b <0， 所以－b2a>0，选D.4．(2018·皖北联考)已知二次函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]上有最大值2，则a 的值为(D)A ．2B ．－1或－3C ．2或－3D ．－1或2因为f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，所以f (x )的图象是开口向下，对称轴是x ＝a 的抛物线，(1)当a <0时，对称轴x ＝a 在区间[0,1]的左边，f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )max ＝f (0)＝1－a ＝2，解得a ＝－1. (2)当0≤a ≤1时，对称轴x ＝a ∈[0,1]，f (x )在[0，a ]上单调递增，在[a,1]上单调递减，所以f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1＝2，无解．(3)当a >1时，对称轴x ＝a 在区间[0,1]的右边，f (x )在[0,1]上单调递增， 所以f (x )max ＝f (1)＝a ＝2，有a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.5．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为 34 .由x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，得x ＝1－2y ≥0，所以0≤y ≤12，设t ＝2x ＋3y 2，把x ＝1－2y 代入，得t ＝2－4y ＋3y 2＝3(y －23)2＋23.因为t ＝f (y )在[0，12]上单调递减，所以当y ＝12时，t 取最小值，t min ＝34.6．设f (x )＝x 2－2ax ＋1.(1)若x ∈R 时恒有f (x )≥0，则a 的取值范围是 [－1,1] ；(2)若f (x )在[－1，＋∞)上递增，则a 的取值范围是 (－∞，－1] ； (3)若f (x )的递增区间是[1，＋∞)，则a 的值是 1 .(1)由Δ≤0，得4a 2－4≤0，所以a ∈[－1,1]．(2)a ≤－1.(3)由对称轴x ＝1知a ＝1.7．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．(1)因为f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)， 所以f (x )在[1，a ]上是减函数， 又定义域和值域均为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f＝a ，fa ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2.(2)因为f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，所以a ≥2. 又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1， 所以f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2， 因为对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4， 因为f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3.又a ≥2，所以2≤a ≤3. 故实数a 的取值范围为[2,3]．8．(2017·浙江卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m (B)A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关(方法一)设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .所以M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．(方法二)由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关．9．(2018·重庆模拟)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是 (－22，0) .作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧fm ，fm ＋，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，m ＋2＋m m ＋－1<0，解得－22<m <0.10．已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减，所以f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x ，图象开口向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]内，所以f (x )在[0，1a ]上递减，在[1a，1]上递增，所以f (x )min ＝f (1a )＝1a －2a ＝－1a.②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，所以f (x )在[0,1]上递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，所以f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2， a <1，－1a， a ≥1.指数与指数函数1. 若函数f (x )＝12x ＋1， 则该函数在(－∞，＋∞)上是(A)A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值f (x )在R 上单调递减，又2x＋1>1，所以0<f (x )<1，无最大值也无最小值．2．若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为(C)A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x＋12－x －a ＝－2x＋12x －a ，化简可得a ＝1， 则2x＋12x －1＞3，即2x＋12x －1－3＞0，即2x＋1－x－2x－1＞0，故不等式可化为2x－22x －1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x ＜1，故选C.3．函数y ＝|2x－1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是(C) A ．(－1，＋∞) B．(－∞，1) C ．(－1,1) D ．(0,2)由于函数y ＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.4．已知函数f (x )＝|2x－1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是(D)A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a<2c D ．2a ＋2c<2作出函数y ＝|2x－1|的图象，如下图．因为a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知， 0<f (a )<1，a <0，c >0，所以0<2a<1. 所以f (a )＝|2a－1|＝1－2a<1，。

课后限时集训(五)(建议用时：40分钟) A 组 基础达标一、选择题1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |C [函数f (x )＝－1x ＋1的递增区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故在(0，＋∞)上是增函数，故选C ．]2．(2019·湖北八校联考)设函数f (x )＝2xx －2在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m 2M＝( )A ．23B ．38C ．32D ．83D [f (x )＝2x x －2＝x －＋4x －2＝2＋4x －2，则函数f (x )在[3,4]上是减函数，从而f (x )max ＝f (3)＝2＋43－2＝6， f (x )min ＝f (4)＝2＋44－2＝4， 即M ＝6，m ＝4，所以m 2M ＝166＝83，故选D.]3．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的递减区间是( ) A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞C ．⎝⎛⎦⎥⎤－1，32 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 D [要使函数有意义需4＋3x －x 2＞0， 解得－1＜x ＜4，∴定义域为(－1,4)．令t ＝4＋3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254.则t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32上递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4上递减的， 又y ＝ln t 在⎝⎛⎦⎥⎤0，254上递增的，∴f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4.]4．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0 C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0 D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0B [函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在区间(1，＋∞)上是增函数，且f (2)＝log 22＋11－2＝0，从而f (x 1)＜0，f (x 2)＞0，故选B.]5．(2019·三门峡模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜2，x 2，x ≥2，若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)B [易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜2，x 2，x ≥2是定义域R 上是增加的．∵f (a ＋1)≥f (2a －1)，∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2. 故实数a 的取值范围是(－∞，2]，故选B.] 二、填空题6．(2019·上饶模拟)函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上的最大值是________．32 [法一：易知y ＝－x ，y ＝1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上递减的，∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上递减的，∴f (x )max ＝f (－2)＝32.法二：函数f (x )＝－x ＋1x 的导数为f ′(x )＝－1－1x2.易知f ′(x )＜0，可得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上递减的， 所以f (x )max ＝2－12＝32.]7．(2019·长春模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________．(－∞，1] [因为函数f (x )在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.] 8．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )＞f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为________．(－3，－1)∪(3，＋∞) [由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＞0，a ＋3＞0，a 2－a ＞a ＋3，解得－3＜a ＜－1或a ＞3，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1；因为x ∈[－5,5]，所以x ＝1时，f (x )取最小值1；x ＝－5时，f (x )取最大值37.(2)f (x )的对称轴为x ＝－a .因为f (x )在[－5,5]上是单调函数，所以－a ≤－5，或－a ≥5，所以实数a 的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上是增加的；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上是减少的，求a 的取值范围． [解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在(－∞，－2)上是增加的． (2)f (x )＝xx －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋ax －a，当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数， 又f (x )在(1，＋∞)上是减少的，∴0＜a ≤1，故实数a 的取值范围是(0,1]．B 组 能力提升1．(2019·唐山模拟)函数y ＝2－xx ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(－1,2)C ．[1,2)D ．[－1,2)D [函数y ＝2－x x ＋1＝3－x －1x ＋1＝3x ＋1－1，在x ∈(－1，＋∞)时，函数y 是减函数，在x＝2时，y ＝0；根据题意x ∈(m ，n ]时，y 的最小值为0，∴m 的取值范围是－1≤m ＜2.故选D.]2．若函数f (x )＝|2x ＋a |的递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.－6 [f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ≥－a2，－2x －a ，x ＜－a2.∵函数的递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a2，＋∞， ∴－a2＝3，∴a ＝－6.]3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞1，0，x ＝1，－1，x ＜1，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．[0,2) [g (x )＝x 2f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞2，0，x ＝2，－x 2，x ＜2，当x ＜2时，g (x )＝－x 2，因此g (x )的递减区间为[0,2)．] 4．已知函数f (x )＝2x －a x的定义域为(0,1](a 为实数)． (1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0,1]上的最大值及最小值，并求出当函数f (x )取得最值时x 的值．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1x，任取1≥x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x 1x 2. 因为1≥x 1＞x 2＞0， 所以x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0.所以f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )在(0,1]上递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，所以f (x )的值域为(－∞，1]．(2)当a ≥0时，y ＝f (x )在(0,1]上递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ；当a ＜0时，f (x )＝2x ＋－ax，当－a2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f (x )在(0,1]上递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当－a2＜1，即a ∈(－2,0)时，y ＝f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤0，－a 2上递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a2，1上递增，无最大值，当x ＝－a2时取得最小值2－2a .。

课后限时集训(四十九）两条直线的位置关系建议用时：40分钟一、选择题1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是(）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不能确定C[直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－错误!,则k1≠k2，且k1k2≠－1.故选C.]2．已知过点A(－2，m）和B（m，4)的直线为l1，直线2x ＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为（）A．－10 B．－2C．0 D．8A[因为l1∥l2，所以k AB＝错误!＝－2。

解得m＝－8。

又因为l2⊥l3，所以－错误!×（－2)＝－1，解得n＝－2，所以m＋n＝－10。

］3．经过两直线l1：2x－3y＋2＝0与l2:3x－4y－2＝0的交点，且平行于直线4x－2y＋7＝0的直线方程是()A．x－2y＋9＝0 B．4x－2y＋9＝0C．2x－y－18＝0 D．x＋2y＋18＝0C[由错误!解得错误!所以直线l1，l2的交点坐标是（14,10)．设与直线4x－2y＋7＝0平行的直线l的方程为4x－2y＋C＝0(C≠7)．因为直线l过直线l1与l2的交点(14,10），所以C＝－36.所以直线l的方程为4x－2y－36＝0，即2x－y－18＝0。

故选C。

] 4．若直线l1：x＋3y＋m＝0（m〉0）与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为错误!，则m＝（）A．7 B．错误!C．14 D．17B[直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为10，所以｜2m＋3|4＋36＝错误!,求得m＝错误!.］5．一只虫子从点(0，0）出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A（1，1)，则虫子爬行的最短路程是(）A。

错误!B．2C．3 D．4B［点(0,0）关于直线l：x－y＋1＝0的对称点为(－1，1），则最短路程为错误!＝2。

课后限时集训(四) 函数及其表示(建议用时：40分钟) A 组 基础达标一、选择题1．下面各组函数中为相同函数的是( ) A ．f (x )＝x －12，g (x )＝x －1B ．f (x )＝x －1，g (t )＝t －1C ．f (x )＝x 2－1，g (x )＝x ＋1·x －1D ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2xB [∵x －12＝|x －1|，∴A 中f (x )≠g (x )；B 正确；C 、D 选项中两函数的定义域不同，故选B.] 2．函数f (x )＝3x －1log 22x ＋1的定义域为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤18，14B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0.14C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ D [由题意得log 2(2x )＋1＞0，解得x ＞14.所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.故选D.] 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞1，2＋36x ，x ≤1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．3B ．4C ．－3D ．38C [由题意知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋3612＝8，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (8)＝log 128＝－3.故选C.]4．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝( ) A ．2 B ．0 C ．1D ．－1A [令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2，② 联立①②得f (1)＝2.]5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C [要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，ln 1≤1－2a ＋3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a ≥－1，所以－1≤a ＜12.故选C.]6．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)D [当x ≤0时，函数f (x )＝2－x是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0，故选D.]7．(2019·济南模拟)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( ) A ．－32B ．－34C ．－32或－34D.32或－34B [当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B.]二、填空题8．已知f (2x)＝x ＋3.若f (a )＝5，则a ＝________. 4 [令t ＝2x ，则t ＞0，且x ＝log 2 t ， ∴f (t )＝3＋log 2 t ， 即f (x )＝3＋log 2 x ，x ＞0.则有log 2 a ＋3＝5，解之得a ＝4.]9.若函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0－12x ，0≤x ≤2 [由题图可知，当－1≤x ＜0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－12x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0，－12x ，0≤x ≤2.]10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥0，log 2x 2＋3，x ＜0，若f (a )＝3，则实数a ＝________.－5 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，2－a ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 2a 2＋3＝3，解得a ＝－ 5.]B 组 能力提升1．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f 2x ＋1log 2x ＋1的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0 D ．(－1,0)D [因为函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，所以－1≤2x －1≤1，要使函数f 2x ＋1log 2x ＋1有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ＜0，故选D.]2．(2018·厦门二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2－1，x ≤1，ln x ，x ＞1，若f (x )≥f (1)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)A [由题意可知，函数f (x )的最小值为f (1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥11－a 2－1≤ln 1，解得1≤a ≤2，选A.]3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.－x x ＋12[当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12f (1＋x )＝－xx ＋12.]4．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是________(填序号)．①③ [对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.]。

课时作业53 椭圆1．已知三点P (5,2)，F 1(－6,0)，F 2(6,0)，那么以F 1，F 2为焦点且经过点P 的椭圆的短轴长为( B )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：因为点P (5,2)在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 2|＝5，|PF 1|＝55，所以2a ＝65，即a ＝35，c ＝6，则b ＝3，故椭圆的短轴长为6，故选B.2．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( B )A.514 B ．513 C.49D ．59 解析：由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2. 设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2， ∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2， ∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133， ∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B.3．已知点P 是椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心，若S △MPF 1＝λS △MF 1F 2－S △MPF 2成立，则λ的值为( D )A.32 B ．12 C.22D ．2解析：设内切圆的半径为r ，因为S △MPF 1＝λS △MF 1F 2－S △MPF 2， 所以S △MPF 1＋S △MPF 2＝λS △MF 1F 2； 由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ， 所以ar ＝λcr ，c ＝a 2－b 2， 所以λ＝aa 2－b2＝2. 4．(2019·安徽宣城一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM →·NF →＝0，则椭圆的离心率为( D )A.32 B ．2－12C.3－12D ．5－12解析：由题意知，M (－a,0)，N (0，b )，F (c,0)， ∴NM →＝(－a ，－b )，NF →＝(c ，－b )． ∵NM →·NF →＝0，∴－ac ＋b 2＝0，即b 2＝ac . 又知b 2＝a 2－c 2，∴a 2－c 2＝ac . ∴e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12或e ＝－5－12(舍)． ∴椭圆的离心率为5－12，故选D.5．(2019·湖北重点中学联考)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1内切圆的半径为( D )A.43 B ．1 C.45D ．34解析：法一：不妨设A 点在B 点上方，由题意知，F 2(1,0)，将F 2的横坐标代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中， 可得A 点纵坐标为32，故|AB |＝3，所以内切圆半径r ＝2S C ＝68＝34(其中S 为△ABF 1的面积，C 为△ABF 1的周长)，故选D.法二：由椭圆的通径公式得|AB |＝2b 2a ＝3，则S △ABF 1＝12×2×3＝3，又易得△ABF 1的周长C ＝4a ＝8，则由S △ABF 1＝12C ·r 可得r ＝34.故选D.6．(2019·豫南九校联考)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( A )A.55 B ．105 C.255D ．2105解析：不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)，与直线l 的方程联立得⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，y ＝x ＋3，消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，由题意易知Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0，解得a ≥5， 所以e ＝c a ＝1a ≤55， 所以e 的最大值为55.故选A.7．(2019·河北衡水中学模拟)设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为 －5 .解析：由椭圆的方程可知F 2(3,0)， 由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －|PF 2|，∴|PM |－|PF 1|＝|PM |－(2a －|PF 2|)＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ， 当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号， 又|MF 2|＝(6－3)2＋(4－0)2＝5,2a ＝10， ∴|PM |－|PF 1|≥5－10＝－5， 即|PM |－|PF 1|的最小值为－5.8．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 22 .解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，① x 22a 2＋y 22b 2＝1.②①、②两式相减并整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.结合已知条件得，－12＝－b 2a 2×22， ∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22.9．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，S △PF 1F 2＝33，则b ＝ 3 .解析：由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 又∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°＝|F 1F 2|2， 所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|＝4c 2， 所以3|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以|PF 1||PF 2|＝43b 2，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝12×43b 2×32＝33b 2＝33，所以b ＝3.10．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1|·|PF 2|的最大值的取值范围是[2b 2,3b 2]，椭圆M 的离心率为e ，则e －1e 的最小值是 －22 .解析：由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2， ∴2b 2≤a 2≤3b 2，即2a 2－2c 2≤a 2≤3a 2－3c 2， ∴12≤c 2a 2≤23，即22≤e ≤63. 令f (x )＝x －1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63上是增函数，∴当e ＝22时，e －1e 取得最小值22－2＝－22.11．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1 得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)＞0，即k 2＞34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积 S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t ＞0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2， 即k ＝±72时等号成立，且满足Δ＞0， 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y ＝72x －2或y ＝－72x －2.12．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解：(1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2， 可得离心率c a ＝32. (2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 解法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2. ②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0.易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12.因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝ 52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.13．设F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，P 是C 上的点，圆x 2＋y 2＝a29与线段PF 交于A ，B 两点，若A ，B 是线段PF 的两个三等分点，则椭圆C 的离心率为( D )A.33 B ．53 C.104D ．175解析：如图所示，设线段AB 的中点为D ，连接OD ，OA ，设椭圆C 的左、右焦点分别为F ，F 1， 连接PF 1.设|OD |＝t ，因为点A ，B 是线段PF 的两个三等分点， 所以点D 为线段PF 的中点，所以OD ∥PF 1，且|PF 1|＝2t ，PF 1⊥PF . 因为|PF |＝3|AB |＝6|AD |＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－t 2， 根据椭圆的定义，得|PF |＋|PF 1|＝2a ，∴6⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－t 2＋2t ＝2a ， 解得t ＝a5或t ＝0(舍去)． 所以|PF |＝8a 5，|PF 1|＝2a5.在Rt △PFF 1中，|PF |2＋|PF 1|2＝|FF 1|2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 52＝(2c )2，得c 2a 2＝1725， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝175.14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ，则该椭圆离心率的取值范围为( D )A ．(0，2－1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，22D ．(2－1,1)解析：在△MF 1F 2中，|MF 2|sin ∠MF 1F 2＝|MF 1|sin ∠MF 2F 1，而sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c ， ∴|MF 2||MF 1|＝sin ∠MF 1F 2sin ∠MF 2F 1＝a c .①又M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a .②由①②得，|MF 1|＝2ac a ＋c ，|MF 2|＝2a 2a ＋c .显然|MF 2|＞|MF 1|， ∴a －c ＜|MF 2|＜a ＋c ，即a －c ＜2a 2a ＋c＜a ＋c ， 整理得c 2＋2ac －a 2＞0，∴e 2＋2e －1＞0，又0＜e ＜1，∴2－1＜e ＜1，故选D.15．过椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的动点M 作圆x 2＋y 2＝b 22的两条切线，切点分别为P 和Q ，直线PQ 与x 轴和y 轴的交点分别为E 和F ，则△EOF 面积的最小值是 b 34a .解析：设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则直线MP 和MQ 的方程分别为x 1x ＋y 1y ＝b 22，x 2x ＋y 2y ＝b 22.因为点M 在MP 和MQ 上，所以有x 1x 0＋y 1y 0＝b 22，x 2x 0＋y 2y 0＝b 22，则P ，Q 两点的坐标满足方程x 0x ＋y 0y ＝b 22，所以直线PQ 的方程为x 0x ＋y 0y ＝b 22，可得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22x 0，0和F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 22y 0， 所以S △EOF ＝12·|OE ||OF |＝b 48|x 0y 0|， 因为b 2y 20＋a 2x 20＝a 2b 2，b 2y 20＋a 2x 20≥2ab |x 0y 0|，所以|x 0y 0|≤ab 2，所以S △EOF ＝b 48|x 0y 0|≥b 34a ， 当且仅当b 2y 20＝a 2x 20＝a 2b 22时取“＝”，故△EOF 面积的最小值为b 34a .16．(2019·山东济宁一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a ＞2)，直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)与椭圆C 相交于A ，B 两点，点D 为AB 的中点．(1)若直线l 与直线OD (O 为坐标原点)的斜率之积为－12，求椭圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，y 轴上是否存在定点M ，使得当k 变化时，总有∠AMO ＝∠BMO (O 为坐标原点)？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由⎩⎨⎧ x 2a 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1(k ≠0)得(4＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx －3a 2＝0，显然Δ＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－2a 2k 4＋a 2k 2，x 1x 2＝－3a 24＋a 2k 2，∴x 0＝－a 2k 4＋a 2k 2，y 0＝－a 2k 24＋a 2k 2＋1＝44＋a 2k 2，∴k ·y 0x 0＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a 2k ＝－12，∴a 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)假设存在定点M 符合题意，且设M (0，m )，由∠AMO ＝∠BMO 得k AM ＋k BM ＝0.∴y 1－m x 1＋y 2－mx 2＝0.即y 1x 2＋y 2x 1－m (x 1＋x 2)＝0，∴2kx 1x 2＋x 1＋x 2－m (x 1＋x 2)＝0.由(1)知x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2，∴－12k 1＋2k 2－4k 1＋2k 2＋4mk1＋2k 2＝0，∴－16k＋4mk1＋2k2＝0，即4k(－4＋m)1＋2k2＝0，∵k≠0，∴－4＋m＝0，∴m＝4. ∴存在定点M(0,4)，使得∠AMO＝∠BMO.。