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1Ch01概论2Ch02插值方法3Ch03数值积分4Ch04方程求根的迭代法5Ch05线性方程组的迭代法6Ch06线性方程组的直接法7Ch07常微分方程的差分法高斯消元法矩阵分解法追赶法在工程技术、自然科学和社会科学中，经常遇到的许多问题最终都可归结为解线性方程组，如电学中网络问题、用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，工程中的三次样条函数的插值问题，经济运行中的投入产出问题以及大地测量、机械与建筑结构的设计计算问题等等，都归结为求解线性方程组或非线性方程组的数学问题。
因此线性方程组的求解对于实际问题是极其重要的。
实际问题中的线性方程组分类：•按系数矩阵中零元素的个数(稠密线性方程组和稀疏线性方程组)；•按未知量的个数(高阶线性方程组和低阶线性方程组)；•按系数矩阵的形状(对称正定方程组、三角形方程组和三对角方程组)；一般形式的n阶线性方程组为：a11x1+a12x2+···+a1n x n=b1 a21x1+a22x2+···+a2n x n=b2···a n1x1+a n2x2+···+a nn x n=b n写成矩阵形式为：Ax=b其中A=a11a12 (1)a21a22 (2)............a n1a n2···a nn,x=x1x2...x n,b=b1b2...b n当系数矩阵A非奇异(即det(A)=0)时，方程组有惟一解。
线性方程组的直接解法一般包括：•Gauss消元法1Gauss消元法；2Gauss列主元消元法；•矩阵分解法1杜利特尔(Doolittle)分解；2克劳特(Crout)分解；3乔累斯基(Cholesky)分解；•追赶法高斯消元法将原方程组的增广矩阵通过初等变换，即：¯A=(A,b)=⇒(A(1),b(1))=⇒···=⇒(A(n),b(n))其中A n为上三角矩阵。
第五章 线性代数方程组的数值解法线性方程求解问题是科学研究和工程计算中最常见的问题。
如电学中的网络问题、工程力学中求解连续力学体（微分方程）问题的差分方法、有限元法、边界元法及函数的样条插值、最小二乘拟合等，都包含了解线性方程组问题。
因此，线性方程组的解法在数值计算中占有极其重要的地位。
对于n 阶线性方程组=Ax b ，若det()0≠A ，则方程组有惟一解。
由克莱姆（Cramer ）法则，其解为det() (1,2,,)det()i i A x i n A ==,其中i A 为用向量b 代替A 中第i 列向量所得矩阵。
每个n 阶行列式共有!n 项，每项都有n 个因子，所以计算一个n 阶行列式需做(1)!n n -⨯次乘法，我们共需要计算1n +个行列式，要计算出i x ，还要做n 次除法，因此用Cramer 法则求解要做2(1)!n n n -⨯+次乘除法（不计加减法），计算量十分惊人。
如30n =时，就需作约352.3810⨯次乘法。
可见Cramer 法则在理论上是绝对正确的，但当n 较大时，在实际计算中却是不可行的。
因此寻求有效的数值计算方法就成为非常必要的课题。
线性方程组的类型很多，若按其系数矩阵阶数的高低和含零元素多少，大致可分为两类：一类是低阶稠密线性方程组，即系数矩阵阶数不高，含零元素很少。
另一类是高阶稀疏线性方程组，即系数矩阵阶数高，零元素占绝对优势（比如占70%以上）。
线性方程组的数值解法也可分为两大类：直接法和迭代法。
直接法是在没有舍入误差的情况下，通过有限步运算可以得到方程组精确解的方法。
但是，在实际计算时，由于初始数据变为机器数而产生的误差以及计算过程中所产生的舍入误差等都要对解的精确度产生影响，因此直接法实际上也只能算出方程真解的近似值。
常用的有效算法是Gauss 消去法和矩阵的三角分解法。
迭代法是用某种极限过程去逼近准确解的方法。
如对任意给定的初始近似解向量(0)x ，按照某种方法逐步生成近似解序列(0)(1)(),,,,,k x x x使极限()*lim k k →∞=x x 为方程组的解。
数值计算与MATLAB1《数值计算与MATLAB 》第5章求解线性代数方程组的直接法§0 引言§1 线性代数方程组求解概论§2 恰定线性方程组求解§3 矩阵的三角分解§4 MATLAB实现《数值计算与MATLAB 》引言大量的科技与工程实际问题，常常归结为解线性代数方程组，有关线性方程组解的存在性和唯一性在“线性代数”理论中已经作过详细介绍，本章的主要任务是讨论系数行列式不为零的n阶非齐次线性方程组Ax=b的两类主要求解方法：直接法（精确法）和迭代法。
《数值计算与MATLAB 》5.1 线性代数方程组求解概论线性代数方程组的矩阵表示Ax=b⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111《数值计算与MATLAB 》线性代数方程组解的性质AS≡b解的判别及其结构Ax=0：有非零解——系数矩阵的秩R(A)<n。
若R(A)=n，则方程组只有零解。
Ax=b：分三种类型：当R(A)=R(B)=n时，称方程组为恰定方程组，这时它有唯一解向量；当R(A)=R(B)<n时，称方程组为欠定方程组，这时它有无穷多解向量；当R(A)<R(B)时，称方程组为超定方程组或矛盾方程组，即保留方程个数大于未知量个数，一般意义下无解，但可求出其最小二乘解。
《数值计算与MATLAB 》5.2 恰定线性代数方程组求解克莱姆法则对于恰定方程组Ax=b，即满足R(A)=R(B)=n 的方程组求解，可用克莱姆（Cramer）法则得出唯一解。
利用Cramer法则求解所需乘除运算量为：N=(n+1)!(n-1)+n=n!(n2-1)+nAΔhhxdet《数值计算与MATLAB 》高斯消去法（消元法）消元过程回代过程顺序高斯消去法（Gauss－Jordan）列主元素消去法主元素消去法全主元素消去法《数值计算与MATLAB 》5.3 矩阵的三角分解高斯消去法和三角矩阵消元过程：实质上就是用一系列行初等变换，即P n-1P n-2...P1Ax= P n-1P n-2 (1)使方程组等价地变换成一个三角形回代过程：就是先求出，然后逐个由下往上进行回代，求得方程组的解。
