极坐标与参数方程习题

金材教育 极坐标与参数方程未命名1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =1+sinα （α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin (θ+π4)=2√2.（1（写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程（（2）直线y =x 与C 1交于异于原点的A ,与C 2交于点B ，求线段AB 的长. 【答案】(1)x 2+(y −1)2=1；C 2:x +y =4. (2)|AB |=√2.【解析】分析：（1）利用sin 2α+cos 2α=1，将曲线C 1的参数方程化为普通方程，由{x =ρcosθy =ρsinθ 求出C 2的直角坐标方程；（2）由直线的参数方程的意义，求出线段AB 的长。

详解：（1）C 1:{x =cosαy =1+sinα (α为参数）的普通方程是x 2+(y −1)2=1.∵ρsin (θ+π4)=2√2，整理得√22ρsinθ+√22ρcosθ=2√2，∴C 2的直角坐标方程为x +y =4； 故C 1:x 2+(y −1)2=1；C 2:x +y =4.（2）直线y =x 的极坐标方程为θ=π4，C 1的极坐标方程为ρ=2sinθ， ∴点A (√2,π4),B (2√2,π4)，即ρA =√2,ρB =2√2， 于是|AB |=ρB −ρA =√2.点睛：本题主要考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法等，属于基础题。

考查了推理论证能力，运算求解能力。

2．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）设点，曲线与曲线交于，求的值．【答案】（1）；（2）85。

【解析】试题分析：（1）根据曲线的参数方程，两式相加消去参数，即可得到普通方程；由曲线的极坐标方程得ρ2=41+3sin2θ⇒ρ2+3ρ2sin2θ=4，可化为直角坐标方程；（2）将，代入直角坐标方程，整理后，利用=t1t2即可求解．试题解析：（1）两式相加消去参数t可得曲线的普通方程，由曲线的极坐标方程得ρ2=41+3sin2θ⇒ρ2+3ρ2sin2θ=4，整理可得曲线的直角坐标方程．（2）将代人直角坐标方程得利用韦达定理可得，所以|MA||MB|=考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．3．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为：{x=√55ty=9+2√55t（t为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ.（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C 1与C 2交于A ，B 两点，点P 的坐标为(0,9)，求1|PA |+1|PB |. 【答案】(1)x 2+(y −4)2=16；2x −y +9=0. (2)4√59. 【解析】分析：（1）消元法解出直线C 1的普通方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式解出圆C 2的直角坐标方程（2）将直线C 1的参数方程为代入圆C 2的直角坐标方程并化简整理关于t 的一元二次方程。

1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位.以原点O 为极点.以x 轴正半轴为极轴.已知直线l 的参数方程为1222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点.求弦长||AB .2．已知直线l 经过点1(,1)2P .倾斜角α＝6π.圆C的极坐标方程为)4πρθ=-.(1)写出直线l 的参数方程.并把圆C 的方程化为直角坐标方程；(2)设l 与圆C 相交于两点A 、B.求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==.圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线.求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合.极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合.且两坐标系有相同的长度单位.圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数）.点Q的极坐标为7)4π。

（1）化圆C 的参数方程为极坐标方程；（2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M.N 两点.求当弦MN 的长度为最小时.直线l 的直角坐标方程。

5．在极坐标系中.点M 坐标是)2,3(π.曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点.极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系.斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B .并求||||MB MA ⋅的值． 6．（本小题满分10分） 选修4-4坐标系与参数方程 在直角坐标系中.曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x .(α为参数) M 是曲线1C 上的动点.点P 满足OM 2=.（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点.X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中.射线3πθ=与曲线1C .2C 交于不同于原点的点A,B 求AB7．在平面直角坐标系xOy 中.以O 为极点.x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭.M.N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程.并求M.N 的极坐标；（2）求直线OM 的极坐标方程．8．在直角坐标系中.曲线C 1的参数方程为：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以原点为极点.x 轴的正半轴为极轴.并取与直角坐标系相同的长度单位.建立极坐标系.曲线C 2是极坐标方程为：cos ρθ=. (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若P.Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点.求PQ 的最小值.9．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.直线l的参数方程为1221122x x t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数）.点A的极坐标为4π⎫⎪⎪⎝⎭.设直线l 与圆C 交于点P 、Q . （1）写出圆C 的直角坐标方程；（2）求AP AQ ⋅的值.10．已知动点P .Q 都在曲线C ：2cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩（β为参数）上.对应参数分别为t α=与2t α=（0＜α＜2π）.M 为PQ 的中点。

极坐标参数方程高考练习含答案非常好的练习题公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]极坐标与参数方程高考精练（经典39题）1．在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R πθρ=∈交于,A B两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB .2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α=）作平行于()4R πθρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点.(Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长.3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．4．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t ty ta x ,3⎩⎨⎧=+=.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=.（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值.6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π，半径r=1，P 在圆C 上运动。

（I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。

极坐标与参数方程大题及答案一、极坐标问题1.求解方程$r = 2\\cos(\\theta)$的直角坐标方程。

首先，根据极坐标到直角坐标的转换公式：$$x = r\\cos(\\theta)$$$$y = r\\sin(\\theta)$$将$r = 2\\cos(\\theta)$代入上述两式，得到：$$x = 2\\cos(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = 2\\cos^2(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$2.将直角坐标方程x2+y2−4x=0转换为极坐标方程。

首先，我们可以将直角坐标方程中的x2和y2替换成r2，从而得到：r2+y2−4x=0然后，将直角坐标方程中的x和y替换成$r\\cos(\\theta)$和$r\\sin(\\theta)$，得到：$$r^2 + (r\\sin(\\theta))^2 - 4(r\\cos(\\theta)) = 0$$将上述方程化简，得到极坐标方程为：$$r^2 + r^2\\sin^2(\\theta) - 4r\\cos(\\theta) = 0$$3.将极坐标方程$r = \\sin(\\theta)$转换为直角坐标方程。

使用极坐标到直角坐标的转换公式，将$r = \\sin(\\theta)$代入，得到：$$x = \\sin(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = \\frac{1}{2}\\sin(2\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$二、参数方程问题1.求解方程$\\frac{x + y}{x - y} = 2$的参数方程。

1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB .2．已知直线l 经过点1(,1)2P ，倾斜角α＝6π，圆C的极坐标方程为)4πρθ=-.(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；(2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=．（I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数），点Q的极坐标为7)4π。

（1）化圆C 的参数方程为极坐标方程；（2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。

5．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．6．（本小题满分10分） 选修4-4坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 22cos 2y x ，(α为参数) M 是曲线1C 上的动点，点P 满足2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与曲线1C ，2C 交于不同于原点的点A,B 求AB7．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ⎛⎫-⎪⎝⎭，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；（2）求直线OM 的极坐标方程． 8．在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 2是极坐标方程为：cos ρθ=， (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若P ，Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点，求PQ 的最小值.9．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l的参数方程为1221122x x t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数），点A的极坐标为4π⎫⎪⎪⎝⎭，设直线l 与圆C 交于点P 、Q .（1）写出圆C 的直角坐标方程；（2）求AP AQ ⋅的值.10．已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x ty t =⎧⎨=⎩（β为参数）上，对应参数分别为t α=与2t α=（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点。

极坐标与参数方程单元练习一、选择题1、已知点M 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ D ）。

A. 53，-⎛⎝ ⎫⎭⎪πB. 543，π⎛⎝ ⎫⎭⎪C. 523，-⎛⎝ ⎫⎭⎪πD. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-355π，2、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( D )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3、在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（t1+t2/2)4、曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ D ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线5、实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ B ）A 、27 B 、4 C 、29D 、5 二、填空题1、点()22-，的极坐标为 ( 2 √ 2、若A 33，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-64π，，则|AB|=______5_____，S AOB ∆=____6_______。

（其中O 是极点）3、极点到直线()cos sin ρθθ+=________ _____。

4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-⋅=表示的曲线是_______ _____。

5、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是3π，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。

6.已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线极坐标方程是 . 7.在极坐标系中，曲线)3sin(4πθρ-=一条对称轴的极坐标方程 .8.在极坐标中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点.则|AB|= . 9.已知三点A(5，2π)，B(-8，π611)，C(3，π67)，则ΔABC 形状为 . 10.已知某圆的极坐标方程为：ρ2–42ρcon(θ-π/4)+6=0则：①圆的普通方程 ；②参数方程 ；③圆上所有点（x,y ）中xy 的最大值和最小值分别为 、 .11.直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是 .12.经过点M 0(1，5)且倾斜角为3π的直线，以定点M 0到动 点P 的位移t 为参数的参数方程是 . 且与直线032=--y x 交于M ,则0MM 的长为 .13.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x (t 为参数)所表示的图形是 .14.方程⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)的普通方程是 .与x 轴交点的直角坐标是 15.画出参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==1112t t y t x （t 为参数）所表示的曲线. 16.已知动园：),,(0sin 2cos 222是参数是正常数θθb b a by ax y x ≠=--+，则圆心的轨迹是 . 17.已知过曲线()⎩⎨⎧≤≤==πθθθθ0sin 4cos 3，y x 为参数上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为4π，则P 点坐标是 . 18.直线221x ty t=+⎧⎨=-+⎩ (t 为参数)上对应t=0, t=1两点间的距离是 .19.直线03sin 201cos 20x t y t ⎧=+⎨=-+⎩(t 为参数)的倾斜角是 . 20.设0>r ,那么直线()是常数θθθr y x =+sin cos 与圆()是参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==sin cos r y r x 的位置关系是 . 21.直线()为参数t ty tx ⎩⎨⎧+=--=2322上与点()32，P -距离等于2的点的坐标是 .22.过抛物线y 2=4x 的焦点作倾斜角为的弦，若弦长不超过8，则的取值范围是____.23.若动点(x ,y )在曲线14222=+by x (b >0)上变化，则x 2 + 2y 的最大值为 .三、解答题1、求圆心为C 36，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，半径为3的圆的极坐标方程。

专题：极坐标与参数方程1、已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为14cos 24sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线l 经过定点(3,5)P ，倾斜角为3π. （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||||PA PB 的值.2、在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos C ρθθ=，过点(2,1)P -的直线2cos 45:1sin 45x t l y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 交于,M N 两点.（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）求22||||PM PN +的值.3、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线：23cos 3sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：(cos sin )6ρθθ-=.（1）求曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值；（2）与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点，若||2AB =，求1l 的方程．4、在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（为参数），曲线 2C 的极坐标方程为cos 2sin 40ρθρθ--=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求||PQ 的最小值．5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立的极坐标系中，曲线2C 是圆心为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为1的圆.（1）求曲线1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程；（2）设M 为曲线1C 上的点，N 为曲线2C 上的点，求||MN 的取值范围.6. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），曲线2C ：2220x y y +-=，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，射线():0l θαρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于,A B （均异于原点O ）.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）当02πα<<时，求22||||OA OB +的取值范围.7. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a ，其参数方程为212x a ty t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.（1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与2C 交于,A B 两点，且||2||PA PB =，求实数a 的值.8. 在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )43ρθθ+=，若射线6πθ=，3πθ=，分别与l 交于,A B两点.（1）求||AB ；（2）设点P 是曲线2219y x +=上的动点，求ABP ∆面积的最大值.极坐标与参数方程——练习1.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t ，(t 为参数),椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点，求线段AB 的长.2.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数,t≠0),其中0≤α＜π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ＝2sin θ,C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B ,求|AB |的最大值.3.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.4.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R ).(1)写出C 的极坐标方程,并求l 与C 的交点M,N 的极坐标； (2)设P 是椭圆x 23＋y 2＝1上的动点,求△PMN 面积的最大值.5.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数),曲线C 的极坐标方程为(1＋sin 2θ)ρ2＝2. (1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程.(2)设直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点,若点P 为(1,0),求1|PA |2＋1|PB |2的值.6. 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为325:45x t C y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为sin a ρθ=． （1）若2a =，求圆C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程； （2）设直线l 截圆C 的弦长等于圆Ca 的值．7. 在直角坐标系xOy 中，直线1C ：y =，曲线2C 的参数方程是cos 2sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程和2C 的普通方程； （2）把1C 绕坐标原点沿顺时针方向旋转3π得到直线3C ，3C 与2C 交于A ，B 两点，求||AB ．8.将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.极坐标与参数方程参考答案1.【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得曲线C的普通方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=16；∵直线l经过定点P（3，5），倾斜角为，∴直线l的参数方程为：，t为参数．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2+（2+3）t﹣3=0，设t1、t2是方程的两个根，则t1t2=﹣3，∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=3．2．【解答】解：（1）曲线C：ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；直线l：（t为参数），消去t，可得直线l的普通方程x﹣y﹣3=0；（2）将直线l：代入曲线C的标准方程：y2=2x得：t2﹣4t﹣6=0，∴|PM|2+|PN|2=|t1|2+|t2|2=（t1﹣t2）2+2t1t2=32．3、【解答】（1）直线l ：(cos sin )6ρθθ-=化成普通方程为60x y --=．曲线化成普通方程为22(2)3x y -+=∴圆心(2,0)C 到直线l 的距离为d ==∴曲线C 上点P 到直线l 距离的最大值为（2）设直线1l 的方程为0x y λ-+=， (2,0)C 到直线1l 的距离为d === ∴或∴直线1l 的方程为或4.【解答】（1）由曲线C 1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得，曲线C 1的普通方程得+=1．由ρcos θ﹣ρsin θ﹣4=0得，曲线C 2的直角坐标方程为x ﹣y ﹣4=0…（2）设P （2cos θ，2sin θ），则点P 到曲线C 2的距离为d==，当cos （θ+45°）=1时，d 有最小值0，所以|PQ|的最小值为0.5．【解答】解：（1）消去参数φ可得C1的直角坐标方程为+y2=1，∵曲线C2是圆心为（3，），半径为1的圆曲线C2的圆心的直角坐标为（0，3），∴C2的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=1；（2）设M（2cosφ，sinφ），则|MC2|====，∴﹣1≤sinφ≤1，∴由二次函数可知2≤|MC2|≤4，由题意结合图象可得|MN|的最小值为2﹣1=1，最大值为4+1=5，∴|MN|的取值范围为[1，5]6.【解答】解：（1）∵，∴，由得曲线C1的极坐标方程为，∵x2+y2﹣2y=0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ；（2）由（1）得，|OB|2=ρ2=4sin2α，∴∵，∴1＜1+sin2α＜2，∴，∴|OA|2+|OB|2的取值范围为（2，5）．7．【解答】解：（1）曲线C1参数方程为，∴其普通方程x﹣y﹣a+1=0，由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ﹣ρ=0，∴ρ2cos2θ+4ρcosθ﹣ρ2=0∴x2+4x﹣x2﹣y2=0，即曲线C2的直角坐标方程y2=4x．（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解得要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有根据参数方程的几何意义可知|PA|=2|t1|，|PB|=2|t2|，又由|PA|=2|PB|可得2|t1|=2×2|t2|，即t1=2t2或t1=﹣2t2∴当t1=2t2时，有t1+t2=3t2=，t1t2=2t22=，∴a=＞0，符合题意．当t1=﹣2t2时，有t1+t2=﹣t2=，t1t2=﹣2t22=，∴a=＞0，符合题意．综上所述，实数a的值为或．8．【解答】解：（1）直线，令，解得，∴，令，解得ρ=4，∴又∵，∴，∴|AB|=2．（2）∵直线，曲线，∴=当且仅当，即时，取“=”，∴，∴△ABP面积的最大值为3．极坐标与参数方程——练习参考答案1．【解答】解：由，由②得，代入①并整理得，．由，得，两式平方相加得．联立，解得或．∴|AB|=．2．【解答】解：（1）曲线C2：ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，①C 3：ρ=2cosθ，则ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，②由①②得或，即C2与C3交点的直角坐标为（0，0），（，）；（2）曲线C1的直角坐标方程为y=tanαx，则极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤a＜π．因此A得到极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）．所以|AB|=|2sinα﹣2cosα|=4|sin（α）|，当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．3．【解答】解：（1）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（2）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．4．【解答】解：（1）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的直角坐标方程为y=x，联立方程组，解得或，所以点M，N的极坐标分别为（0，0），（，）．（2）由（1）易得|MN|=因为P是椭圆+y2=1上的点，设P点坐标为（cosθ，sinθ），则P到直线y=x的距离d=，所以S△PMN==≤1，当θ=kπ﹣，k∈Z时，S△PMN取得最大值1．5．【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t得直线l的普通方程为x﹣y﹣=0，曲线C的极坐标方程ρ2+ρ2sin2θ=2，化成直角坐标方程为x2+2y2=2，即+y2=1．（2）将直线l的参数方程代入曲线C：x2+2y2=2，得7t2+4t﹣4=0．设A，B两点在直线l的参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣，t1t2=﹣，∴+=+==．6．【解答】解：（1）当a=2时，ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y﹣8=0 （2）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以：2|3a﹣16|=5|a|，利用平方法解得：a=32或．7．【解答】解：（1）∵直线，∴直线C1的极坐标方程为，∵曲线C2的参数方程是（θ为参数），∴消去参数θ，得曲线C2的普通方程为．（2）∵把C1绕坐标原点沿逆时针方向旋转得到直线C3，∴C3的极坐标方程为，化为直角坐标方程为．圆C2的圆心（，2）到直线C3：的距离：．∴．8．【解答】解：（1）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（2）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+ =0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．。

极坐标与参数方程题型及答案数学选择题：1. 下列哪个极坐标表示点(3, 5)？A. (5, 53.13°)B. (3, 53.13°)C. (5, 37.12°)D. (3, 37.12°)答案：A2. 唯一表示点(-4, 60°)的极坐标是A. (4, 60°)B. (4, 120°)C. (-4, 60°)D. (-4, 240°)答案：C3. 参数方程x = 2cosθ、y = 3sinθ (0 ≤ θ ≤ π/2) 表示的图形是A. 长方形B. 正方形C. 长椭圆D. 圆答案：C4. 必要条件方程x = 1 + cosθ、y = 2 + sinθ （0 ≤ θ ≤ 2π）表示的图形是A. 点B. 圆C. 椭圆D. 双曲线答案：B填空题：1. 将极坐标(4, 240°)转化为直角坐标形式，其对应的坐标为(______, ______)。

答案：(-2, -3.46)2. 给出参数方程x = 2cosθ、y = 5sinθ (0 ≤ θ ≤ π/2) 所表示直线的斜率，其斜率为 _______。

答案：2.5判断题：1. 下列哪些图形可以由参数方程表示？I. 点 II. 圆 III. 双曲线 IV. 三角形A. I、II、IIIB. I、II、IVC. II、III、IVD. I、II、III、IV答案：B2. 唯一表示点(4, 30°)的极坐标是(4, π/6) 。

答案：正确简答题：1. 极坐标系表示的是平面直角坐标系的哪些信息不同？答案：极坐标系表示的是点与极点之间的距离和点与极轴的夹角，而直角坐标系则表示的是点在x、y轴之间的坐标。

2. 怎样将一个极坐标转换为另一个等价的极坐标？答案：若(r, θ)为一个点在极坐标系中的坐标，则其等效于(r, θ + 2kπ) (k 为整数)。

3. 参数方程x = cosθ、y = sinθ 表示的图形是什么？有何特点？答案：参数方程x = cosθ、y = sinθ 表示的是单位圆，其特点是对于任意θ值，点到原点的距离都是1。

专题14坐标系与参数方程一、解答题1．（2019·安徽高考模拟（文））在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数）.以坐标原点为原点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（I）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（II）设点，分别在曲线，上运动，若，两点间距离的最小值为，求实数的值.【答案】（I），；（II）或.【解析】（I）曲线；曲线的极坐标方程为，即，将，代入，得（II）因为曲线的半径，若点，分别在曲线，上运动，，两点间距离的最小值为，即圆的圆心到直线的距离，，解得或.2．（2019·江西高考模拟（文））已知平面直角坐标系，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线过点，且倾斜角为，圆C的极坐标方程为.（1）求圆C的普通方程和直线的参数方程；（2）设直线与圆C交于M、N两点，求的值.【答案】（1）圆的方程：，直线的参数方程为（为参数）（2）【解析】（1）圆的方程：，直线的参数方程为（为参数）（2）将直线的参数方程代入圆的方程，得：3．（2019·辽宁高考模拟（文））选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求圆的极坐标方程；（2）已知射线，若与圆交于点（异于点），与直线交于点，求的最大值.【答案】（1）；（2）3【解析】（1）由圆的参数方程为消去参数，得到圆的普通方程为，即，所以其极坐标方程为，即；（2）由题意，将代入圆的极坐标方程得；将代入线的极坐标方程，得，所以，因为，所以，因此，当，即时，取得最大值3.4．（2019·湖北高考模拟（理））选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的普通方程是，曲线的参数方程是（为参数）。

在以为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程是。

（1）求直线及曲线的极坐标方程；（2）已知直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的最大值。