导、化、探——数学解题教学的三重境界

数学课堂的三重境界探幽凡事都有境界之分,为人、为事、为学问均不例外. 著名学者冯友兰曾经将人生划分为四种境界,即自然境界、功利境界、道德境界、天地境界. 近代学者王国维认为:“古今之成大事业、大学问者,必经三种境界. ”并以三句诗加以形容:“昨夜西风凋敝树,独上高楼,望尽天涯路”,此为第一境界;“衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴”,此为第二境界;“众里寻他千百度,蓦然回首,那人却在灯火阑珊处”,此为最终境界. 依此观照,境界倒确乎为华夏文化的精髓之一了. 其主张对宇宙、对人生、对事物须入乎其内,出乎其外,所见、所思、所为应达到超越,必然走向自由的地步.凭三尺讲台、一方空间的数学课堂,能否区分境界的高低呢?能的,只不过划分的标准会见仁见智. 笔者不揣浅陋,尝试做一番探讨.其一为“效率境界”. 我们常常会用“扎实”“实在”“高效”等词来评判这类课堂教学. 追求效率的数学课堂教学在我国有其历史渊源. “文化大革命”结束后,国家急需培养出大量又红又专的人才. 教育系统拨乱反正,对中小学数学的教学内容和教学方法都进行了深刻的反思. 1978年国家颁布的教学大纲明确提出要加强“双基”(即基础知识和基本技能)的训练. 从那时起,“双基”在中国教师的头脑里就打上了深深的烙印. 通过一代一代人教学经验的传递,其教学方法、教学流程、教学手段都得到延续. 其教学的主要特征是:强调教师的讲授要准、要细,重视学生对知识的正确理解,加强解题技巧训练,训练学生解题的熟练程度. 显然,这是一种效率至上的教学,关注的是课堂中“投入与产出的效益比”. 所以,其教学方法的设计,往往将材料划分成一系列连续的小单元,采用小步子教学,一步一回头,不断地强化学生正确的行为,修正错误的理解和认识,整个系列由浅入深、由简到繁. 这种小步骤进行呈现明显的及时反馈、自定学习步调的教学方式,显然与行为主义心理学家斯金纳“程序教学法”的四个要素是相一致的. “效率境界”的课堂,表现为快节奏、大容量,带有浓厚的功利主义倾向,在这样的课堂里,学生习得的是“枯燥的”“专深的”数学知识,但学生的主体未得到解放,学生的数学素养不能得到全面的、和谐的提升.其二为“质量境界”. 这类课堂我们往往会用“精致”“巧妙”“行云流水”等词来形容. 若从技术层面上分析,这一境界的数学课堂教学,则更多显现为认知心理学的研究成果对数学教学实践的影响. 一是强调学习过程中学生主体能动作用的发挥. 认知心理学认为:学习活动的有效性,不仅依赖于主体对所学材料的识别、加工和理解,同样依赖于主体对自身学习活动的自我意识、自我评价和自我调控,更包括了主体对于自身结构的改善和重组. 学生的数学学习是学生经历“同化”或“顺应”后,自身心理结构发生变化的过程,故而学习主体在这一过程中发挥着至关重要的作用. 二是重视迁移. 所谓迁移,是指—种学习对后—种学习的影响. 奥苏伯尔在有意义的学习研究中,强调认知结构是知识学习发生迁移的主要媒体. 为此,他认为,教学时要设计适当的“先行组织者”,它要比学习任务本身具有较高的抽象、概括和综合水平,并能清晰地与认知结构中原有的观念和新的学习内容相关联,使之在学习者已知的与需要知道的两者之间架设一座桥梁,促使其更有效地学习新材料. 与之相呼应,在国内数学界,“为迁移而教”的口号一度被广大教师奉为圭臬,显然是把“迁移”在数学教学中的作用推向了极至. 三是突出学习的过程性,倡导让学生成为积极的探究者;强调利用发现活动激发学生的好奇心;诱导直觉思维,鼓励创新. 布鲁纳认为,编码系统不仅能够接受信息和组织信息,而且能够超越一定的信息,即产生创造性的行为. 这样便把创新性思想观念的产生与学习者已有的知识、观念和知识的结构形式关联起来. 四是受奥苏伯尔关于成就动机内驱力说的影响,加强了对学习兴趣的培养,关注学习者的“心向”;受加涅的认知策略理论的影响,注重学习方法的指导等等. 由于加强了对学习心理的研究,“质量境界”的数学课堂在教学设计上表现出的明显特征是“精雕细刻”,巧妙的迁移、精到的讲解、精致的练习设计、对教学流程细腻地加工和处理,都使这一境界的课堂教学愈加趋于科学化、精致化、审美化. “质量境界”的课堂,虽呈现出局部设计的细腻与精致,但缺乏整体观照的大气;虽然可以顺利达成一节课的认知与能力培养目标,但难以顾及“全人发展”这一更长远的教学目标. 特别是,教师越是追求教学精致的同时,也越是消解了学生对于真实问题模糊性的忍受力.其三我们不妨称之为“生态境界”. 我们会用“像呼吸一样自然”、“像拉家常一样轻松”等语句来描述对这类课堂教学的感受. 这样的课堂教学,它超越了对某一节课具体内容短期目标的设定,而是着眼于学生长期发展和可持续发展. 生态境界的课堂首先意味着是“生命的课堂”,尊重生命自主性、多样性和差异性,使得每一个学生在课堂中都是可以自由呼吸的. 这种自由体现在他们有权知道为什么要学习这些知识,他们有权发表对知识理解的任何看法,他们有权对教师的教学和自己的学习作出评价. 学生在这样的课堂里所体验到的,就是佐藤学说的“润泽的课堂”,就是叶澜说的“焕发出生命活力”的课堂. 生态境界的课堂还意味着是“和谐的课堂”,这不仅表现为课堂内人际关系的和谐,还意味着科学、文化、审美协调发展的和谐;“思维场”、“情感场”、“交往场”平衡的和谐;知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观相统一的和谐;教学方法、教学手段与教学内容相匹配的和谐;课堂生态空间环境与课堂教学环境的和谐等等. 和谐超越了以往强调某个单一指标的局限,实现了元素分析向各元素间整合的跨越,这无疑开辟了一条数学课堂研究的新视角. 再者,生态境界的课堂还是“发展的课堂”,可持续发展思想是人们对“人类中心主义”的思维方式和传统的依赖大量消耗资源、牺牲环境为代价换取经济增长方式进行反思的结果. 在数学课堂教学中,学生的可持续发展依赖于学生数学兴趣的培养和学生基本数学素养的形成,倡导以更多的机会来发展学生自我学习的态度和能力,让个体获得可持续发展的能力,即终生学习的能力,从而大大提高个体对外界环境的适应能力.“生态境界”的课堂显然已超越了我们当下对数学课堂的一般认知,由于教育体制、文化传承、师资素质等多方面的因素的制约,真正意义上的数学生态课堂的创建,无疑还需我们付出长期而艰巨的努力. 笔者所以提出以上的三重境界,就是希望我们能在心中点亮一盏明灯,才不会在前进的道路上迷失方向,因为,时代呼唤着我们,奔赴“生态境界”的数学课堂应尽早启程!。

新一轮课改，课程标准制定组确定了数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析六条学科核心素养，从思维视角的各个层面，体现了数学教学应该关注的抽象能力、图形感知、推理能力、运算能力等等发展过程，也预示着数学教学需要从纯粹的解题教学转向数学素养的教学，从问题的解决中去提升学生的数学能力。

一线教师应尽可能地在学科教学中渗透学科核心素养，本文以直观想象素养为例，谈一谈数学教学中的渗透直观想象素养的三层境界。

一、形———直面感官想象的能力新课程标准对于直观想象的水平认知分三个层次，第一是建立简单的图形和实物关系，体会图形和数量的关系。

这一水平层次是引导学生在有图形结构的前提下，能获取图形和数量关系，属于直观想象素养培养的第一层次境界，就是对于形的理解、形的绘制、形的思考，也可以称之为“识图解题”。

案例1：空间几何中最小角定理和二面角最大值性质（2018年浙江8）已知四棱锥S -ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S-AB-C 的平面角为θ3，则（）。

A.θ1≤θ2≤θ3 B.θ3≤θ2≤θ1C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1分析：本题考查空间几何中的线线角、线面角、二面角，在同一个几何体中将三种角置于其中，统一考查。

本题的解法多样，对于未知思维直观的学生来说，基本是以特殊取值或运算进行求解。

（1）∠SEO 即是SE 与平面ABCD 所成的角θ2，BC 是平面ABCD 内的一条线，由线面角的最小角特征可知：θ2≤θ1；（2）如图1，取AB 中点M ，则∠SMO 即是二面角S-AB-C 的平面角θ3，OM ≤OE ，tan θ3=SO OM ≥SO OE=tan θ2，所以有θ2≤θ3；（3）如图2，过点O 作AB 的平行线PQ ，过点E 作BC 的平行线，交PQ 于点N ，易证∠SEN 即是θ1，由，SN ≥SO ，EN =MO ，而tan θ3=SO OM ≤SN EN=tan θ1，可知θ1≤θ3，故选D 。

教师教学的三重境界李烈教学质量监控是当前的热点话题，同行朋友一起聚会，大家都会提到目前各地愈演愈烈的考试和学业质量抽测的问题。

一位朋友曾却抛开考试和质量抽测，向我们娓娓道来她在教研中遇到的一则案例。

那是一节初三数学课《二次函数(区间取值)的最值问题》。

评课的时候，与会者认真探讨和比较了从表达式、图形以及数形结合三种途径来理解本课最值问题背后的数学原理和具体方法，大家都倍感有收获。

然而就在结束时，授课老师提出一个问题。

她说，其实掌握这个知识点有个窍门，就是不管什么原理、方法，只要直接将三个特殊值(即区间的两个端点值和顶点横坐标值)带到表达式中，求出并比较三个函数值，大的就是最大值，小的就是最小值……这样做，学生不需要去理解、比较、掌握数学原理和各具体方法，不需要那么麻烦就能百分之百做对，既简捷又省力，还能答对、得分，多好啊……朋友讲这个案例，大概是想说明质量抽测的意义如果被曲解或误用为是只重分数的考试，那么带给日常教学的负面影响有多可怕。

听故事的我，却在一刹那，仿佛看到的是流水线传输带上生产出的一批又一批光洁美丽的瓷娃娃，然碰撞之下，却很快化成了一地碎片——不过是脆弱、易碎的空心玩偶!这大概就是很多教师课堂教学的真实写照。

而不少教师还自诩这样的教学背后蕴含的是自己对知识理解进行浓缩加工后的“精华”，这种“窍门”化教学正体现了自己的教学智慧……可惜，这样的精华却不是教学的“精华”，这样的窍门训练很多时候恰恰背离了教学规律，何谈教学智慧呢?在我看来，教学有三层境界。

境界一，教知识内容。

处于这一境界的教师，首先是要教得正确，确保科学性；其次是教得生动有趣，激发学生感性的学习兴趣。

境界二，以知识学习为平台教学科方法论。

处于这一境界的教师，其教学特点在于，每节课必以学科的学习方法培养为重要的教学目标；教师在教学时，其心中所储备和蕴含的早已超越了所教授的知识本身，而以鲜明的方法论意识为先。

这类教师不仅懂学科的内容知识，对学科的发展史及学科的方法论更是耳熟能详，使学科的内容知识之间相互印证，建立系统的、整体的学科知识观。