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第1课时 用公式法求解一元二次方程第1课时 用公式法求解一元二次方程教案北师大版九年级上册数学 第

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2.3 用公式法求解一元二次方程
第1课时用公式法求解一元二次方程
教学内容
1．一元二次方程求根公式的推导过程；
2．公式法的概念；
3．利用公式法解一元二次方程．
教学目标
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
重难点关键
1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．
2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52
（老师点评）（1）移项，得：6x2-7x=-1
二次项系数化为1，得：x2-7
6
x=-
1
6
配方，得：x2-7
6
x+（
7
12
）2=-
1
6
+（
7
12
）2
（x-
7
12
）2=
25
144
x-
7
12
=±
5
12
x1=
5
12
+
7
12
=
75
12
+
=1
x2=-
5
12
+
7
12
=
75
12
-
=
1
6
（2）略
总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．
（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
二、探索新知
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1=
24
2
b b ac
a
-+-
，
x 2=242b b ac a
--- 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c •也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：ax 2+bx=-c
二次项系数化为1，得x 2+
b a x=-
c a
配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a
）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0
∴2244b ac a
-≥0 直接开平方，得：x+2b a
=±242b ac a - 即x=242b b ac a
-±- ∴x 1=242b b ac a -+-，x 2=242b b ac a
--- 由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入
式子x=242b b ac a
-±-就得到方程的根． （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例1．用公式法解下列方程．
（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2
（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．
解：（1）a=2，b=-4，c=-1
b 2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0
x=(4)24426262242
--±±±==⨯ ∴x 1=
262+，x 2=262-
（2）将方程化为一般形式
3x 2-5x-2=0
a=3，b=-5，c=-2
b 2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0
x=(5)4957236
--±±=⨯ x 1=2，x 2=-13
（3）将方程化为一般形式
3x 2-11x+9=0
a=3，b=-11，c=9
b 2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0
∴x=(11)131113236
--±±=⨯ ∴x 1=
11136+，x 2=11136- （3）a=4，b=-3，c=1
b 2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0
因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根．
三、巩固练习
教材P 43 随堂练习
四、应用拓展
例．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．
（2）要使它为一元一次方程，必须满足:
①211(1)(2)0m m m ⎧+=⎨++-≠⎩或②21020
m m ⎧+=⎨-≠⎩或③1020m m +=⎧⎨-≠⎩ 解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2
m 2=1 m=±1
当m=1时，m+1=1+1=2≠0
当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）
∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0
a=2，b=-1，c=-1
b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
x=(1)913224
--±±=⨯
x1=，x2=-1 2
因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=-1
2
．
（2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0 因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
所以m=0满足题意．
②当m2+1=0，m不存在．
③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0
所以m=-1也满足题意．
当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，
解得：x=-1
当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-1 3
因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-•1时，
其一元一次方程的根为x=-1
3
．
五、归纳小结
本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程；
（2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程；
（4）初步了解一元二次方程根的情况．
六、布置作业
1．教材P43习题2.5 1、2
2．选用作业设计:
一、选择题
1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（）．
A．x=
36
2
-±
B．x=
36
2
±
C．x=
323
2
-±
D．x=
323
2
±
2．方程2x2+43x+62=0的根是（）．
A．x1=2，x2=3；B．x1=6，x2=2；C．x1=22，x2=2；D．x1=x2=-6
3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，则m2-n2的值是（）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
二、填空题
1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，条件是________．
2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．
3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值是_____．
三、综合提高题
1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．
2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=-b
a
，x1·x2=
c
a
；（2）•
求代数式a （x 13+x 23）+b （x 12+x 22）+c （x 1+x 2）的值．
3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，•那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过部分还要按每千瓦时100
A 元收费． （1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A 表示）
（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况 月份 用电量（千瓦时） 交电费总金额（元）
3
80 25 4 45 10
根据上表数据，求电厂规定的A 值为多少？。

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初中数学_用公式法求解一元二次方程教学设计学情分析教材分析课后反思精选全文

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可编辑修改精选全文完整版九年级上第二章一元二次方程３．用公式法求解一元二次方程（一）教学活动教学步骤师生活动设计意图活动一：创设情境导入新课【课堂引入】多媒体出示问题：1、我们把__ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2称为二次项，bx称为一次项，c称为常数项，a称为二次项系数，b称为一次项系数．2、把下列方程化为一般形式，并填表方程 a b c处理方式：教师用多媒体出示问题，引导学生阅读后填空，然后让学生说一说用配方法解方程的步骤．针对学生的基本学情，从一元二次方程的基本概念引入，复习abc的取值，并回忆归纳总结配方法解一元二次方程的一般步骤，为下面的学习做好铺垫.活动二：实践探究交流新知活动内容2：(多媒体出示)教师：提出问题：用配方法一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．学生在演算纸上自主推导，并针对自己推导过程中遇见的问题在小范围内自由研讨．最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式．解：移项，得ax2＋bx＝－c.二次项系数化为1，得x2＋ba x＝－ca.配方，得x2＋ba x＋⎝⎛⎭⎫b2a2＝－ca＋⎝⎛⎭⎫b2a2，即⎝⎛⎭⎫x＋b2a2＝b2－4ac4a2.(提示：这时能不能开方解方程？为什么？进而引导学生讨论b2－4ac的值对解方程的影响)当b2－4ac＞0时，直接开平方，得x＋b2a＝±b2－4ac2a，即x＝－b±b2－4ac2a，∴x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根．把握求根公式的关键是掌握公式的推导过程，掌握推导过程的关键是掌握配方法．让学生自主探索一元二次方程的求根公式，一方面可以巩固配方法，另一方面对配方后开方需要满足的条件先由学生独立判断，再经过教师引导，学生将会印象深刻，有助于理解求根公式．只有亲身经历公式的推导过程，才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识．才能在集体交流的时候，有感而发．处理方式：例题教师板演，练习学生到黑板上板演。

2.3 用公式法求解一元二次方程教案

2.3 用公式法求解一元二次方程教案


二、教学任务分析 公式法实际上是配方法的一般化和程式化， 然后再利用总结出来的用公式法 解一元二次方程的步骤能更加便利地求解一元二次方程。 所以本节课首先要对上 节课配方法的运算熟练， 在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式， 最后，用公式法解一元二次方程。
三、教学目标： 1.引导学生能够正确的推导出一元二次方程的求根公式，总结用公式法解一 元二次方程的步骤，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。 2. 通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，并能够根据方程的系 数，判断出方程的根的情况，培养学生观察和总结的能力，提高学生的综合运算 能力。 3.通过在探求公式和总结过程中进一步发展学生合作交流的意识和数学语 言表达能力。
b b 2 4ac a 2ab bLeabharlann 2 4ac x a 2a3
x
b b 2 4ac 2a
问题 4：如果 b2-4ac<0 时，会出现什么问题？（方程无解） 问题 5：如果 b2-4ac=0 呢？（方程有两个相等的实数根）
板书重要结论 1： 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)，当 b2-4ac≥0 时，它的根是：
∴
即：x1=9,
x2=-2
x
40 1 2 4 2
1
即：x1=x2=2 (3)x2-2x+3=0 解：a=1,b=-2,c=3 ∵b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8﹤0 ∴方程无解
4
3.提出问题： b2-4ac 的值对方程根的情况有什么影响呢？ 当 b2-4ac﹥0 时， 方程的根的情况又如何呢? （方程有两个不相等的实数根） 当 b2-4ac=0 时，方程的根的情况如何呢？（方程有两个相等的实数根） 当 b2-4ac﹤0 时，方程的根的情况又如何呢? （方程没有实数根） 因为一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由 b2-4ac 的值决定着， 所以 我们将 b2-4ac 叫做一元二次方程的根的判别式 板书重要结论 2： 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 当 b2-4ac﹥0 时，方程有两个不相等的实数根 当 b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根 当 b2-4ac﹤0 时，方程没有实数根 由此可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可由 b2-4ac 来判定， 我们把 b2-4ac 叫做一元二次方程 x2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字 母“△”来表示。 活动目的： 由学生亲身经历公式的推导过程，只有学生经历了这一过程，他们才能发现 问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识.在集体交流的时候，才能有感而 发。
用公式法求解一元二次方程第一课时

用公式法求解一元二次方程第一课时

用公式法求解一元二次方程 (第一课时)望远中学 穆林英【教材分析】本节课是北师大版九年级数学上册第二章《一元二次方程》的内容， 本章是一元一次方程、二元一次方程(组)等内容的深入和发展，也是以后学习方程、不等式以及函数等数学知识的基础。

本节内容是在配方法的基础上建立起来的解方程的另一种解法，而且是通法。

所以应充分利用配方法来推导公式，让知识自然生长出来，从而培养学生的探索精神,掌握用求根公式解一元二次方程，培养学生由特殊到一般的解题思想。

另外学生在《实数》一章中，学习了被开方数的非负性，并掌握了开平方运算，为这节课理解求根公式的应用条件奠定了基础。

【教学目标】1、一元二次方程求根公式的推导 ，利用公式法解一元二次方程；2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力；3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物主义观点。

【教学重、难点】1.重点：掌握求根公式并会用公式法解熟练地一元二次方程。

2.难点：一元二次方程求根公式法的推导。

【教学法设计】采用微课和导学案相结合—变被动学习为主动学习，让学生参与整个问题的发生和解决过程，有意识的让学生学会自主学习，合作交流。

【导学案使用说明及学法指导】1. 看课本 P41-43页内容，明确本节课学习内容，用红笔勾画出疑惑点。

2. 观看微课解惑，并完成导学案“自主预习”部分的内容。

3. 认真思考，归纳方法规律，课堂积极分享见解。

4. 每组练习分A 、B 、C 三级，由易到难，学生可根据学习情况自主选择。

观看微课 练习提高阅读课本 归纳方法【教学过程】 一、自主预习（一）旧知回眸，温故知新1、用配方法解方程：2、把下列方程整理成一元二次方程的一般形式， x x7322=+ 并说出二次项系数、一次项系数和常数项.（1）(x+1）(3x-1)=1 该方程整理成一般形式为———————————这里a=—————— b=—————— c =——————(2)2323x x +=该方程整理成一般形式为———————————这里a=—————— b=—————— c =——————< 设计意图 > 复习用配方法解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的,归纳总结配方法解一元二次方程的一般步骤，为下面的学习做好铺垫.通过化一元二次方程的一般形式为运用公式法解一元二次方程做铺垫。

用公式法求解一元二次方程教学设计

用公式法求解一元二次方程教学设计

第二章一元二次方程３．用公式法求解一元二次方程（一）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.学生活动经验基础：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力.二、教学任务分析公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。

所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。

其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。

为此，本节课的教学目标是：①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。

②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。

④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力三、教学过程分析本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：探究新知；第三环节：巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。

第一环节；回忆巩固活动内容：①用配方法解下列方程：(1)2x 2+3=7x (2)3x 2+2x+1=0全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算②由学生总结用配方法解方程的一般方法:第一题： 2x2+3=7x解：将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0两边都除以一次项系数:2 023272=+-x x配方:加上再减去一次项系数一半的平方 0231649)47(2722=+-+-x x即: 01625)47(2=--x1625)47(2=-x两边开平方取“±” 得：4547±=-x 4547±=x写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=21第二题： 3x2+2x+1=0解：两边都除以一次项系数:3 031322=++x x配方:加上再减去一次项系数一半的平方 02391)31(3222=+-++x x即: 01825)31(2=++x1825)31(2-=+x ∵01825<-∴原方程无解活动目的：（1）进一步夯实用配方法解方程的一般步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动：没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。