分式单元知识总结(二)

分式数学知识点归纳总结一、分式的定义和基本性质1. 分式是由分子和分母组成的数，分子和分母都是整数，并且分母不为零。

2. 分式可以表示有理数，有理数包括整数和分数。

3. 分式可以看作是代数式的特殊形式，其中分母不为零。

4. 分式的分子和分母可以约分，即分子和分母同时除以一个相同的非零数。

5. 分式可以相加、相减、相乘和相除，也可以化简和合并。

6. 分式的大小比较可以用分式的加减乘除性质进行比较。

二、分式的化简和合并1. 化简分式：化简分式是指对分式的分子和分母进行约分，使分数的值保持不变的基础上，得到最简分数。

2. 合并分式：合并分式是指将两个分式相加或者相减，得到一个最简分式。

三、分式的加减乘除性质1. 分式的加法性质：分式相加时，首先要找到它们的公分母，然后将分子相加，分母保持不变。

2. 分式的减法性质：分式相减时，首先要找到它们的公分母，然后将分子相减，分母保持不变。

3. 分式的乘法性质：分式相乘时，分子相乘，分母相乘。

4. 分式的除法性质：分式相除时，将除数分子分母互换，再将所得的分式作为乘数分式进行运算。

四、分式的大小比较1. 分式的大小比较：分式大小的比较可以用分式的加减乘除性质进行比较。

对于两个分式a/b和c/d来说，若a/b<c/d，则ad<bc；若a/b>c/d，则ad>bc。

2. 分式的大小比较练习：比较分式大小时，可以将分式通分进行比较，也可以将分式转化为小数进行比较。

五、分式方程的解法1. 分式方程的定义：分式方程是含有分式的代数方程。

2. 分式方程的解法：对于分式方程的解法，首先要通过分式的化简和合并，将分式方程化为最简分式方程，然后可以通过分式方程的乘法性质和除法性质进行求解。

六、分式在实际应用中的问题求解1. 分式在应用问题中的运用：分式在实际生活中有着广泛的应用，包括比例、百分数、利率、比率、工程问题等。

2. 分式应用问题求解：在实际应用问题中，我们可以将问题中的条件转化为分式形式，然后通过分式的运算法则进行求解。

一、选择题1．使分式21x x -有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≠1 B ．x ≠0C ．x ≠±1D ．x 为任意实数C 解析：C【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得x 的取值范围．【详解】由题意，得x 2−1≠0，解得：x≠±1，故选：C ．【点睛】此题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 2．已知分式24x x +的值是正数，那么x 的取值范围是（ ） A ．x ＞0B ．x ＞-4C ．x ≠0D ．x ＞-4且x ≠0D解析：D【分析】 若24x x+的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x ＋4＞0，且x≠0，因而能求出x 的取值范围．【详解】 解：∵24x x +＞0， ∴x ＋4＞0，x≠0，∴x ＞−4且x≠0．故选：D ．【点睛】 本题考查分式值的正负性问题，若对于分式a b（b≠0）＞0时，说明分子分母同号；分式a b（b≠0）＜0时，分子分母异号，也考查了解一元一次不等式． 3．关于x 的一元一次不等式组31,224x m x x x⎧-≤+⎪⎨⎪-≤⎩的解集为4x ≤，且关于y 的分式方程13122my y y y--+=--有整数解，则符合条件的所有整数m 的和为（ ） A ．9B ．10C ．13D ．14A解析：A【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出m 的范围，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有整数解确定出整数m 的值，进而求出之和即可．【详解】 解：31224x m x x x ⎧-≤+⎪⎨⎪-≤⎩①②，解①得x≤2m+2，解②得x≤4，∵不等式组31224x m x x x⎧-≤+⎪⎨⎪-≤⎩的解集为4x ≤，∴2m+2≥4，∴m≥1．13122my y y y--+=--， 两边都乘以y-2，得my-1+y-2=3y ， ∴32y m =-， ∵m≥1，分式方程13122my y y y --+=--有整数解， ∴m=1，3，5，∵y-2≠0，∴y≠2， ∴322m ≠-， ∴m≠72， ∴m=1，3，5，符合题意，1+3+5=9．故选A ．【点睛】此题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 4．2020年新冠肺炎疫情影响全球，各国感染人数持续攀升，医用口罩供不应求，很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来，重庆某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．设乙厂房每天生产x 箱口罩．根据题意可列方程为（ ）A ．6000600052x x-= B ．6000600052x x -= C ．6000600052x x -=+ D ．6000600052x x -=+ A 解析：A【分析】 设乙厂房每天生产x 箱口罩，则甲厂房每天生产2x 箱口罩，根据两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天列分式方程．【详解】 设乙厂房每天生产x 箱口罩，则甲厂房每天生产2x 箱口罩， 根据题意得：6000600052x x-=， 故选：A ．【点睛】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系从而列出方程是解题的关键． 5．世界上数小的开花结果植物是激大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花架，质做只有0.000000076克，0.000000076用科学记数法表示正确的是（ ） A ．-60.7610⨯B ．-77.610⨯C ．-87.610⨯D ．-97.610⨯ C 解析：C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】0.000000076=87.610-⨯，故选：C【点睛】此题考查了科学记数法，注意n 的值的确定方法，当原数小于1时，n 是负整数，n 等于原数左数第一个非零数字前0的个数，按此方法即可正确求解6．如果a ，b ，c ，d 是正数，且满足a +b +c +d =2，11a b c b c d ++++++11a c d a b d+++++=4，那么d a a b c b c d ++++++b c a c d a b d+++++的值为（ ）A ．1B ．12C ．0D ．4D 解析：D【分析】根据a +b +c +d =2，11114a b c b c d b c d b c d +++=++++++++，将所求式子变形便可求出．【详解】∵a +b +c +d =2，11114a b c b c d b c d b c d +++=++++++++， ∴d a b c a b c b c d a c d a b d+++++++++++ =2()2()2()2()a b c b c d a c d a b d a b c b c d a c d a b d-++-++-++-+++++++++++++ =2a b c ++﹣1+2b c d ++﹣1+2a c d ++﹣1+2a b d ++﹣1 =2×（1111a b c b c d a c d a b d+++++++++++）﹣4 =2×4﹣4=8﹣4=4，故选：D ．【点睛】 本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．7．若x 2y 5=，则x y y +的值为（ ） A ．25 B ．72 C ．57 D ．75D 解析：D【分析】 根据同分母分式的加法逆运算得到x y x y y y y +=+，将x 2y 5=代入计算即可． 【详解】解：∵x 2y 5=， ∴x y x y 2y y y 5+=+=+175=， 故选：D ．【点睛】此题考查同分母分式的加减法，已知式子的值求分式的值．8．22()-n b a（n 为正整数）的值是（ ） A ．222+nn b aB ．42n n b aC ．212+-n n b aD ．42-n n b aB 解析：B【分析】根据分式的乘方计算法则解答．【详解】 2422()-=nn n b b a a． 故选：B ．【点睛】此题考查分式的乘方计算法则：等于分子、分母分别乘方，熟记法则是解题的关键．9．如果关于x 的不等式组0243(2)x m x x -⎧>⎪⎨⎪-<-⎩的解集为1x >，且关于x 的分式方程1322x m x x -+=--有非负整数解，则符合条件的所有m 的取值之和为（ ） A ．8-B ．7-C ．15D ．15- B解析：B【分析】解出不等式组，求出不等式组的解集，确定m 的取值范围，再解出分式方程，找到分式方程的非负整数解，进而求出m 的值即可．【详解】 解：0243(2)x m x x -⎧>⎪⎨⎪-<-⎩①②，解不等式①得：x m >，解不等式②得：1x >，不等式组的解集为1x >，∴1m ；1322x m x x -+=-- 方程两边同时乘以()2x -得：()132x m x --=-； 解得：52m x +=， ∴25m x =-，1m ，∴251x -≤，∴3x ≤，分式方程有非负整数解且20x -≠，∴x 的值为：0，1，3，此时对应的m 的值为：5-，3-，1，∴符合条件的所有m 的取值之和为：()5317-+-+=-．故选：B ．【点睛】本题考查了分式方程的解以及不等式的解集，求得m 的取值范围以及求出分式方程的解是解题的关键．10．当1x 0-<<时， 1x -，0x ，2x 的大小顺序是（ ）A ．102x x x -<<B ．012x x x -<<C ．021x x x -<<D ．120x x x -<< D 解析：D【分析】 根据负整数指数幂的运算法则可得110x x-=<，根据非零数的零次幂可得0x 1=，根据平方的结果可得20x 1<<，从而可得结果．【详解】解：∵1x 0-<<，∴20x 1<<，0x 1=，11x0x-=<， ∴120x x x -<<．故选：D ．【点睛】本题主要考查了代数式的大小比较，需结合幂的运算法则进行求解． 二、填空题11．科学家使用冷冻显微术测定细菌蛋白结构的分辨率达到0.22纳米，也就是0.00000000022米．将0.00000000022用科学记数法表示为__________．2×10-10【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示一般形式为a×10−n 与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【详解】解解析：2×10-10【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.00000000022＝2.2×10−10，故答案为：2.2×10−10．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．12．某班在“世界读书日”当天开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍，则第一组的人数为_________人．6【分析】先设第一组有x 人则第二组人数是15x 人根据题意可得等量关系：第一组同学共带图书24本÷第一组的人数-第二组同学共带图书27本÷第二组的人数=1根据等量关系列出方程即可【详解】解：设第一组有解析：6【分析】先设第一组有x 人，则第二组人数是1.5x 人，根据题意可得等量关系：第一组同学共带图书24本÷第一组的人数-第二组同学共带图书27本÷第二组的人数=1，根据等量关系列出方程即可．【详解】解：设第一组有x 人． 根据题意，得242711.5x x-=, 解得x=6．经检验，x=6是原方程的解，且符合题意．答：第一组有6人，故答案为6．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，不要忘记检验． 13．211a a a-+=+_________．【分析】先通分再分母不变分子相减即可求解【详解】故答案为：【点睛】本题考查了分式加减运算的法则熟记法则是解题的关键 解析：11a + 【分析】先通分，再分母不变，分子相减即可求解.【详解】222222211(1)11111111(1)(1)11a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +--+=--=-=-==+++++++-++-故答案为：11a + 【点睛】 本题考查了分式加减运算的法则，熟记法则是解题的关键．14．223(3)a b -＝______，22()a b ---＝______．【分析】（1）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可；（2）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可【详解】；【点睛】本 解析：6627a b 42a b【分析】（1）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算，然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可；（2）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算，然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可.【详解】()632266627327a a b a b b --==； 422422()a a b a b b----==. 【点睛】 本题考查了负整数指数幂，利用了积的乘方等于乘方的积，单项式的乘法，负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．15．101()()2π-+-=______，011(3.14)2--++＝______．【分析】根据零指数幂和负整数指数幂等知识点进行解答幂的负指数运算先把底数化成其倒数然后将负整指数幂当成正的进行计算任何非0数的0次幂等于1【详解】2+1=3；【点睛】本题是考查含有零指数幂和负整数指 解析：12【分析】根据零指数幂和负整数指数幂等知识点进行解答，幂的负指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整指数幂当成正的进行计算．任何非0数的0次幂等于1．【详解】101()()2π-+-=2+1=3； 011(3.14)2--++1112=-++12=【点睛】本题是考查含有零指数幂和负整数指数幂的运算．根据零指数幂和负整数指数幂等知识点进行解答即可.16．下列计算：①3100.0001-=；②()00.00011=；③()()352x x x --÷-=-；④22133a a-=；⑤()()321m m m m a a a -÷=-．其中运算正确的有______．（填序号即可）②⑤【分析】根据负整数指数幂零指数幂同底数幂的除法法则进行计算逐个判断即可【详解】解：；故①计算错误；；②计算正确；；故③计算错误；；故④计算错误故⑤计算正确故答案为：②⑤【点睛】本题考查同底数幂的解析：②⑤．【分析】根据负整数指数幂、零指数幂、同底数幂的除法法则进行计算，逐个判断即可．【详解】 解：3110=0.0011000-=；故①计算错误； ()00.00011=；②计算正确； ()()22352()1x x x x x --=-÷=-=-；故③计算错误； 2233a a-=；故④计算错误 ()()333221(1)=(1)mm m m m m m m a a a a a a -÷=-⨯÷=--，故⑤计算正确 故答案为：②⑤．【点睛】本题考查同底数幂的除法，积的乘方以及零指数幂，负整数指数幂的计算，掌握运算法则正确计算是解题关键．17．关于x 的方程53244x mx x x++=--无解，则m =________．3或【分析】分式方程无解即化成整式方程时无解或者求得的x 能令最简公分母为0据此进行解答【详解】解：方程两边都乘以（x-4）得整理得：当时即m=3方程无解；当时∵分式方程无解∴x-4=0∴x=4∴解得解析：3或174． 【分析】分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x 能令最简公分母为0，据此进行解答．【详解】解：方程两边都乘以（x-4）得，5(3)2(4)x mx x -+=-，整理，得：(3)5m x -=-当30m -=时，即m=3，方程无解；当30m -≠时，53x m =-， ∵分式方程无解，∴x-4=0，∴x=4， ∴543m =-， 解得，174m =． 故答案为：3或174． 【点睛】 本题考查了分式方程的解，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．18．计算：201(1)2|2π-⎛⎫++-= ⎪⎝⎭_____．【分析】先利用零次幂绝对值负整数次幂化简然后再计算即可【详解】解：故答案为：【点睛】本题主要考查了零次幂绝对值负整数次幂以及实数的运算灵活应用相关知识点成为解答本题的关键解析：1--【分析】先利用零次幂、绝对值、负整数次幂化简，然后再计算即可．【详解】解：201(1)|2|2π-⎛⎫++- ⎪⎝⎭124=+1=-．故答案为：1-【点睛】本题主要考查了零次幂、绝对值、负整数次幂以及实数的运算，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．19．若关于x 的分式方程232x m x +=-的解是正数，则实数m 的取值范围是_________且m-4【分析】先解方程求出x=m+6根据该方程的解是正数且x-20列得计算即可【详解】2x+m=3（x-2）x=m+6∵该方程的解是正数且x-20∴解得且x-4故答案为：且m-4【点睛】此题考查分解析：6m >-且m ≠-4【分析】先解方程求出x=m+6，根据该方程的解是正数，且x-2≠0列得60620m m +>⎧⎨+-≠⎩，计算即可. 【详解】232x m x +=- 2x+m=3（x-2）x=m+6，∵该方程的解是正数，且x-2≠0，∴60620m m +>⎧⎨+-≠⎩， 解得6m >-且x ≠-4，故答案为：6m >-且m ≠-4.【点睛】此题考查分式的解的情况求字母的取值范围，解题中注意不要忽略分式的分母不等于零的情况.20．计算3224423y x x y⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭的结果是________．【分析】先算乘方再算乘除即可得到答案【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查分式的化简求值属于基础题 解析：26y x- 【分析】先算乘方，再算乘除即可得到答案．【详解】 解：3224423y x x y⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭ 6234483y x x y=-⋅ 26y x=-． 故答案为：26y x-．本题考查分式的化简求值，属于基础题．三、解答题21．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为30元，用80元购进甲种玩具的件数与用70元购进乙种玩具的件数相同．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共50件，其中甲种玩具不低于22件，商场决定此次进货的总资金不超过750元，求商场共有几种进货方案？解析：（1）甲，乙两种玩具分别是16元/件，14元/件；（2）4种【分析】（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（30﹣x）元/件，然后根据用80元购进甲种玩具的件数与用70元购进乙种玩具的件数相同列分式方程求解，注意结果要检验；（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（50﹣y）件，然后利用甲种玩具不低于22件，商场决定此次进货的总资金不超过750元列不等式求解，从而确定y的取值【详解】解：（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（30﹣x）元/件依题意得：80x＝7030x解得：x＝16，经检验x＝16是原方程的解．∴30﹣x＝14.甲，乙两种玩具分别是16元/件，14元/件；（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（50﹣y）件，依题意得： 16y＋14（50－y）≤750，解得：y≤25，又∵y≥22∴22≤y≤25因为y为非负整数，∴y取22，23，24， 25共有4种方案．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式组．22．某高速公路有300km的路段需要维修，拟安排甲、乙两个工程队合作完成．已知甲队每天维修公路的长度是乙队每天维修公路长度的2倍，并且在各自独立完成长度为48km 公路的维修时，甲队比乙队少用6天．（1）求甲乙两工程队每天能完成维修公路的长度分别是多少km？（2）两个工程队合作15天后乙队另有任务，余下工程由甲队完成，请你用所学过的知识判断能否在规定的30天工期完成并写出求解过程．解析：（1）甲、乙工程队每天能完成维修公路的长度分别是8km和4km；（2）能，理由【分析】（1）设乙工程队每天能完成维修公路的长度是xkm ．由甲队每天维修公路的长度是乙队每天维修公路长度的2倍，可得甲队每天维修公路的长度为2xkm ，根据等量关系各自独立完成长度为48km 公路的维修时，甲队比乙队少用6天．列方程484862x x -=，解方程及检验即可；（2）求出甲乙两队合作15天的工作量，求出余下的工作量，最后利用公式余下的工作量除以甲的工作效率求出余下的时间，比较合作时间15天+甲作余下工作时间与30天的大小即可．【详解】解：()1设乙工程队每天能完成维修公路的长度是xkm ， 依题意得484862x x-=， 解得：4x =，经检验：4x =是原方程的解．则甲工程队每天能完成维修公路的长度是()24=8km ⨯．答：甲、乙工程队每天能完成维修公路的长度分别是8km 和4km ．()()2154+8=180km ⨯，300-180=120km ，1208=15÷天，15+15=30（天），所以能在规定工期内完成．【点睛】本题考查工程问题列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题的方法，以及工作量，工作时间，和工作效率之间关系，抓住由甲队每天维修公路的长度是乙队每天维修公路长度的2倍设未知数，各自独立完成长度为48km 公路的维修时，甲队比乙队少用6天．构造方程，注意分式方程要验根．23．计算：（1）222221538x y y x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭． （2）2222324424x x x x x x x ⎛⎫-+-÷ ⎪-+--⎝⎭． 解析：（1）256y ；（2）3x - 【分析】（1）先算乘方，再算乘法即可；（2）根据分式混合运算的法则进行计算即可.（1）原式224241598x y y x=⋅256y =； （2）()()()()22322222x x x x x x x ⎡⎤-+=-÷⎢⎥-+--⎢⎥⎣⎦ 31222x x x x ⎛⎫=-÷ ⎪---⎝⎭()3232x x x x -=⨯-=-- 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.24．解答下列各题：（1）计算：()()()2233221x x x x x -⋅++--+（2）计算：()()()33323452232183a b cac a b a c -⋅÷-÷ （3）解分式方程：11222x x x++=-- 解析：（1）5x -；（2）19b ；（3）23x =【分析】 （1）首先利用同底数幂的乘法法则、平方差公式、完全平方公式计算，然后合并同类项求出答案；（2）先算积的乘方、幂的乘方，再从左到右计算同底数幂的乘法除法求出答案；（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：（1）()()()2233221x x x x x -⋅++--+=223421x x x x +----=5x -；（2）()()()33323452232183a b cac a b a c -⋅÷-÷ =()()963345662721827a b c ac a b a c -⋅÷-÷=()()10664566541827a b c a b a c -÷-÷=()6666327a bc a c ÷ =19b ； （3）解分式方程：11222x x x++=-- 去分母得：1+2（x-2）=-（1+x ），去括号合并得，2x-3=-1-x ，移项合并得，3x=2， 解得：23x =， 经检验23x =是分式方程的解． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．也考查了解分式方程，去分母转化为整式方程是关键．25．列方程解应用题为了提高学生的身体素质，落实教育部门“在校学生每天体育锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校开展了“阳光体育天天跑活动”，初中男生、女生分别进行1000米和800米的计时跑步．在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少56秒，求这名女生跑完800米所用时间是多少秒．解析：这名女生跑完800米所用时间是224秒【分析】设这名女生跑完800米所用时间x 秒，由题意可得关于x 的分式方程，解分式方程并经过检验即可得到问题答案．【详解】解：设这名女生跑完800米所用时间x 秒，则这名男生跑完1000米所用时间(56)x +秒， 根据题意，得800100056x x =+． 解得：224=x ．经检验，224=x 是所列方程的解，并且符合实际问题的意义．答：这名女生跑完800米所用时间是224秒.【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题目中的数量关系正确地列出分式方程并求解是解题关键．26．先化简，再求值：22121124x x x x -+⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，其中3x =． 解析：21x x +-；52【分析】 先计算括号内的运算，然后计算除法，把分式进行化简得到最简分式，再把3x =代入计算，即可得到答案．【详解】解：原式=()()()22212211x x x x x x x +--+⨯=---； 当3x =时，原式=522331=-+． 【点睛】 本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则进行计算． 27．观察下列等式：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯． 将以上三个等式左、右两边分别相加得：1111111131122334223344++=-+-+-=⨯⨯⨯ （1）若n 为正整数，猜想并填空：1(1)n n =+______． （2）计算111111223344520202021+++++⨯⨯⨯⨯⨯的结果为______． （3）解分式方程：11122(2)(3)(3)(4)1x x x x x x ++=------． 解析：（1）111n n -+；（2）20202021；（3）7x =． 【分析】 （1）观察已知等式可得：连续整数乘积的倒数等于较小数的倒数与较大数的倒数的差，据此可得111(1)1n n n n =-++； （2）利用所得规律列出算式1111111223320202021-+-+++-，再两两相消即可得112021-，计算后可得结果； （3）由所得规律对分式方程进行整理，可变形为111112232431x x x x x x +-+-=------，最终化简为1241x x =--，求解此方程即可． 【详解】 解：（1）∵111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯， ∴当n 为正整数时，111(1)1n n n n =-++． 故答案为：111n n -+．（2）111111223344520202021+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 111111112233420202021=-+-+-+- 112021=- 20202021=． 故答案为：20202021． （3）原方程变形为：111112232431x x x x x x +-+-=------， ∴1241x x =--， 去分母，得：12(4)x x -=-，解得7x =， 经检验，7x =是原方程的解．【点睛】本题考查了数字的变化规律及解分式方程，解题的关键是理解题意，找出数字的变化规律，并准确运用所得规律求解分式方程．28．计算（1）2152224-⨯+÷； （2）()()30201821 3.14413π-⎛⎫-⨯---+- ⎪⎝⎭； （3）()2222322xy x y x y xy ⎡⎤---⎣⎦； （4）()()()3323231333x x x x ⎛⎫-+--⋅ ⎪⎝⎭． 解析：（1）5；（2）-42；（3）222xy x y +；（4）67x ．【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可；（2）根据负指数整数幂、零指数幂、绝对值的意义及乘方，计算即可；（3）去括号，然后合并同类项即可；（4）根据积的乘方、幂的乘方运算法则计算即可．【详解】解：（1）2152224-⨯+÷=115522-+=； （2）()()30201821 3.14413π-⎛⎫-⨯---+- ⎪⎝⎭=271161-⨯-+ =2716142--+=-；（3）()2222322xy x y x y xy ⎡⎤---⎣⎦ =22223242xy x y x y xy +-- =222xy x y +； （4）()()()3323231333xx x x ⎛⎫-+--⋅ ⎪⎝⎭ =6633192727x x x x -+-⋅ =67x ．【点睛】 本题主要考查有理数的混合运算、整式的混合运算，解题的关键是熟练运用运算法则．。

《分式》知识点回顾及考点透视一、知识总览本章主要学习分式的概念，分式的基本性质，分式的约分、通分，分式的运算（包括乘除、乘方、加减运算），分式方程等内容，分式是两个整式相除的结果，且除式中含有字母，它类似于小学学过的分数，分式的内容在初中数学中占有重要地位，特别是利用分式方程解决实际问题，是重要的应用数学模型，在中考中，有关分式的内容所占比例较大，应重视本章知识的学习．二、考点解读考点1：分式的意义例1．（1）（2006年南平市）当x 时，分式11+x 有意义． 分析：要使分式有意义，只要分母不为0即可当x ≠-1时，分式11+x 有意义． （2）（2006年浙江省义乌市）已知分式11+-x x 的值是零，那么x 的值是（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ． 1±分析：讨论分式的值为零需要同时考虑两点：（1）分子为零；（2）分母不为零，当x=1时，分子等于零，分母不为0，所以，当x=1时，原分式的值等于零，故应选C ． 评注：在分式的定义中，各地中考主要考查分式A B在什么情况下有意义、无意义和值为0的问题。

当B ≠0时，分式A B 有意义；当B=0时，分式A B无意义；当A=0且B ≠0时，分式A B 的值为0 考点2：分式的变形例2．（2006年山西省）下列各式与x y x y-+相等的是（ ） （A ）()5()5x y x y -+++（B ）22x y x y -+（C ）222()()x y x y x y -≠-（D ）2222x y x y-+ 解析：正确理解分式的基本性质是分式变形的前提，本例选项（C ）为原分式的分子、分母都乘以同一个不等于0的整式（x-y ）所得，故分式的值不变．考点3：分式的化简分式的约分与通分是进行分式化简的基础，特别是在化简过程中的运算顺序、符号、运算律的应用等也必须注意的一个重要方面例2．（2006年临安市）化简：x －1x ÷(x －1x). 分析：本题要先解决括号里面的，然后再进行计算解：原式x x x x 112-÷-=)1)(1(1-+⨯-=x x x x x 11+=x 评注:分式的乘除法运算，就是将除法转化为乘法再进行约分即可．考点4：分式的求值例4．（2006年常德市）先化简代数式：22121111x x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值．分析：本题先要将复杂的分式进行化简，然后再取一个你喜欢的值代入（但你取的值必须使分式有意义）．解：化简得：21x +，取x=0时，原式=1；评注：本题化简的结果是一个整式，如果不注意的话，学生很容易选1或-1代入，这是不行的，因为它们不能使分式有意义．考点5：解分式方程例5．（2006年陕西省）解分式方程：22322=--+x x x 分析：解分式方程的关键是去分母转化为整式方程解：)4(2)2(3)2(22-=+--x x x x ，82634222-=---x x x x ， 27-=-x 72=x ，经检验：72=x 是原方程的解，∴原方程的解为72=x 点评：解分式方程能考查学生的运算能力、合情推理等综合能力，解分式方程要注意检验，否则容易产生增根而致误！考点6：分式方程的应用例6．(2006年长春市)A 城市每立方米水的水费是B 城市的1.25倍，同样交水费20元，在B 城市比在A 城市可多用2立方米水，那么A 、B 两城市每立方米水的水费各是多少元？分析：本题只要抓住两城市的水相差2立方米的等量关系列方程即可解：设B 城市每立方米水的水费为x 元，则A 城市为1.25x 元,25.120220xx =- 解得x = 2经检验x = 2是原方程的解。

分式知识点总结及复习汇总一、分式的定义和性质：分式是形如$\frac{a}{b}$的数，其中$a$为分子，$b$为分母，$a$和$b$都为整数且$b \neq 0$。

分式可以表示一个数，也可以表示一个运算过程。

分式可以进行四则运算，包括加减乘除。

分式的相反数：$\frac{a}{b}$的相反数为$-\frac{a}{b}$。

分式的倒数：$\frac{a}{b}$的倒数为$\frac{b}{a}$，其中$a、b$不为零。

分式的化简：将分式化简为最简分式，即分子和分母的最大公约数为1的形式。

二、分式的运算法则：1.加法：两个分式相加，分母相同，分子相加。

2.减法：两个分式相减，分母相同，分子相减。

3.乘法：两个分式相乘，分子相乘，分母相乘。

4.除法：一个分式除以另一个分式，被除数乘以除数的倒数。

三、分式的化简方法：1.求最大公约数：分式的分子和分母同时除以它们的最大公约数。

2.因式分解：将分式的分子和分母进行因式分解，然后约去相同的因式。

四、分式与整式的相互转化：1.分式转化为整式：将分式中的分子除以分母，得到的结果为整数。

2.整式转化为分式：将一个整数写成分子，分母为1的形式。

五、分式的应用：1.比例问题：可以利用分式来表示两个比例的关系。

2.部分与整体的关系：可以用分式表示部分与整体的关系。

3.商业问题：例如打折、利润等问题，可以用分式来表示计算。

4.几何问题：例如面积、体积等问题，可以用分式来表示计算。

六、分式的简化步骤：1.因式分解。

2.分子、分母约去最大公约数。

3.整理化简结果。

七、分式的应用举例：1.甲乙两人分别在一段时间内完成一件工作，甲用时5小时完成，乙用时8小时完成，那么甲乙两人一起完成这件工作需要多少小时？解：甲和乙一起完成工作的效率是每小时$\frac{1}{5}$和$\frac{1}{8}$，所以他们一起完成工作的效率是$\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\frac{13}{40}$。

分 式一、知识总结（一）分式及其性质1、分式（1）定义：一般的，如果a ，b 表示两个整式，并且b 中含有字母，那么式子ba 叫做分式；其中a 叫做分式的分子，b 叫做分式的分母。

（2）有理式：整式和分式统称为有理式。

（3）分式=0⇔分子=0，且分母≠0 （分式有意义，则分母≠0）（4）最简分式：分子和分母没有公因式的分式。

2、分式的性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变即：mb m a m b m a b ÷÷=⋅⋅=a （a ，b ，m 都是整式，且0m ≠） 分式的性质是分式化简和运算的依据。

3、约分：把一个式子的分子分母的公因式约去叫做约分。

注：约分的结果应为最简分式或整式。

约分的方法：1）若分子、分母均为单项式：先找分子、分母系数的最大公约数， 再找相同字母最低次幂；2）若分子、分母有多项式：先把多项式因式分解，再找分子、分母的公因式。

（二）分式运算1、分式的乘除1）分式乘法法则：两分式相乘，用分子的积做分子，分母的积做分母；即：bdac d c b =⨯a 2）分式除法法则：两分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；即：bcad c d b a d c b =⨯=÷a3）分式乘方法则：分式的乘方就是分子分母分别乘方。

即：n n n b a b =⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，()n n ab b 1a -=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 2、分式的加减1）同分母分式加减：分母不变分子相加减；即：bc a b c b ±=±a ()0b ≠ 2）异分母分式加减：先通分，变为同分母的分式相加减，即：bdbc ad bd bc bd ad d c b ±=±=±a ()0b ≠d（三）分式方程1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2、解法：1）基本思路：分式方程−−→−转化整式方程 2）转化方法：方程两边都乘以各个分式最简公分母，约去分母。

数学八年级下册分式知识点总结数学八年级下册分式知识点总结精选2篇（一）数学八年级下册分式的知识点总结包括：1. 分式的定义：分式是由分子和分母组成的有理数表达式，分子和分母都是整数。

2. 分数的运算：加减乘除四则运算的规则同整数的运算规则。

3. 分式化简：将分子和分母的公因式约去，将分数化简为最简形式。

4. 分数的乘除法：乘法时，分子乘以分子，分母乘以分母。

除法时，乘以倒数，即分子乘以分母的倒数。

5. 分式的加减法：分式加减法也要找到分母的最小公倍数，然后分子相加减，分母不变。

6. 分式的混合运算：先进行分数的乘除法运算，再进行分数的加减法运算。

7. 分式方程的解：分式方程的解与分式的定义域有关，需要注意排除分母为零的情况。

8. 分式不等式的解：将分数不等式转化为分母为正数的不等式，根据分母正负的不同确定解的范围。

9. 分式的应用：分式在实际问题中的应用包括比例、速度、利润等方面。

数学八年级下册分式知识点总结精选2篇（二）第一章的主要知识点如下：1.数的性质：正数、负数、零，以及它们在数轴上的表示和比较大小；绝对值的概念和计算方法。

2.整数的四则运算：加法、减法、乘法和除法的进一步应用和拓展，包括负数的运算规律。

3.乘方：乘方的定义和表示方法；乘方的运算法则，如乘方的乘法法则、乘方的除法法则等。

4.科学记数法：科学记数法的概念和表示方法；科学记数法的运算、比较大小等基本操作。

5.约数和倍数：约数的概念和判断方法；最大公约数和最小公倍数的求解方法。

6.有理数的概念和表示：有理数的基本性质，如有理数的加法、减法、乘法和除法规律。

这些知识点涵盖了数轴、计算方法、运算法则和数的运算特性等方面，是数学八年级上册的基础知识点。

分式知识点总结及复习分式是数学中一个重要的概念，也是许多人在学习数学时感到困惑的内容之一。

本文将对分式的基本概念、运算法则以及应用进行总结与复习，帮助读者更好地理解和掌握分式知识。

一、基本概念分式由分子和分母两部分组成，分子表示分数的被除数，分母表示分数的除数。

分数的值可以是整数、小数或者其他分数。

下面是分式的基本概念：1. 真分数：分子小于分母的分数称为真分数，例如1/2、3/4等。

2. 假分数：分子大于或等于分母的分数称为假分数，例如5/2、7/3等。

3. 常分数：分子为0的分数称为常分数，其值为0。

二、分式的四则运算分式的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。

下面是各种运算的规则和注意事项：1. 加法与减法：- 分式加减法的前提是分母相同，如果分母不同，则需要找到它们的最小公倍数来进行通分。

- 计算分子时，加法取分子相加，减法取分子相减。

- 结果的分子不一定能被整除，可能需要进行约分。

2. 乘法：- 分式乘法直接将分子相乘，分母相乘。

- 结果的分子和分母都需要化简，即约分。

3. 除法：- 分式除法可以转化为乘法求逆的问题，即将被除数的分子和除数的分母互换位置，然后进行乘法运算。

- 运算结束后需化简结果。

三、分式的应用分式在实际问题中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 比例问题：当我们需要比较两个量的大小、计算比例或者解决比例问题时，常常会使用到分式。

2. 混合运算：在一些复杂的算术题中，可能会出现含有分式的运算，我们需要根据题目要求进行正确的计算和化简。

3. 高等数学中的应用：在微积分、线性代数等高等数学中，分式经常用于表示函数、方程组等，是一种重要的数学工具。

四、分式知识点的复习为了更好地巩固分式的知识，建议读者可以通过以下方法进行复习：1. 多做练习题：选择一些分数相关的练习题，分情况进行分类练习，逐步提高解题能力。

2. 总结归纳：将每个知识点进行总结和分类，形成自己的知识框架，并根据实际问题进行思考和应用。

初中数学分式知识点归纳分式是初中数学中的一个重要内容，分式的概念和运算在解决实际问题中有着广泛的应用。

在这篇文章中，我将对初中数学中常见的分式知识点进行归纳，帮助学生更好地理解和掌握分式。

一、分式的定义和基本性质分式可以表示为a/b的形式，其中a称为分子，b称为分母。

分式的值可以为整数、小数或无理数。

在分式中，分子和分母都可以是整数、代数式或其他形式。

1.1 分式的定义分式是用一个数的算式表示另一个数。

1.2 分式的基本性质（1）两个分数相等的充要条件是分子与分母分别相等。

（2）分子分母的积是一个确定的数，即a/b * b/a = 1。

（3）一个分数乘以或除以一个非零数，其值不变，即a/b * c = ac/b，a/b ÷ c = a/b * 1/c。

（4）分子分母同时乘（或除）以同一个非零数，不改变分数的值，即a/b = a * c /b * c，a/b = a ÷ c /b ÷ c。

二、分式的基本运算分式的运算包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算，下面将逐一介绍这些运算的具体方法。

2.1 分式的加法和减法（1）同分母的分式相加（减）：保持分母不变，分子相加（减），结果的分子写在分数线上，分母不变。

（2）异分母的分式相加（减）：找到它们的公倍数作为新的分母，然后将分子按照原来的分母和新分母的比例相加（减），得到的结果即为最简分数，如果需要化简，在得到的结果上进行约分。

2.2 分式的乘法分式的乘法中，将两个分式的分子相乘作为新的分子，分母相乘作为新的分母，并将结果化简为最简分数。

2.3 分式的除法分式的除法可以转化为分式的乘法，即将除号转化为乘号，同时将除数的分子与被除数的分母相乘作为新的分子，将除数的分母与被除数的分子相乘作为新的分母，并将结果化简为最简分数。

三、分式的化简和分式方程的解法化简分式的目的是将分式转化为最简分数的形式，使得分子和分母互质。

化简分式的方法包括约分和转换为连分数等。

分式复习知识点总结一、分式的定义分式是指由一个整数或多项式作为分子，一个非零整数或多项式作为分母组成的表达式。

通常表示为a/b，其中a为分子，b为分母，a和b分别为整数或多项式，且b ≠ 0。

分式可以表示有理数，它可以是一个整数、分数或带分数。

二、分式的性质1. 分式的值可以是正数、负数或零，取决于分子和分母的符号。

2. 分式的分子和分母都可以约分，约分后的分式与原分式等值。

3. 分式中的分母不能为0，因为0不能做除数。

4. 分式可以化简为最简形式，即分子和分母没有公因数。

5. 分式可以进行加、减、乘、除以及简单化简等运算。

三、分式的简化对于分式a/b，若a和b有公因数，可以进行约分，使分子和分母互素，即没有公因数。

对于多项式分式，可以进行因式分解，将分子和分母都化为最简形式。

四、分式的运算1. 分式的加法和减法若a/b和c/d是两个分式，且b≠0，d≠0，则a/b + c/d = (ad+bc)/bda/b - c/d = (ad-bc)/bd2. 分式的乘法若a/b和c/d是两个分式，且b≠0，d≠0，则a/b × c/d = ac/bd3. 分式的除法若a/b和c/d是两个分式，且b≠0，c≠0，则a/b ÷ c/d = ad/bc4. 分式的混合运算先将分式化为最简形式，然后进行运算。

五、解分式方程分式方程指含有未知数的分式等式，解分式方程的关键是通分，将分式方程转化为多项式方程，然后求解。

六、分式的应用分式在实际生活中有着广泛的应用，例如在工程、物理、经济等领域都有着重要的作用。

在经济学中，分式可以用来表示利润、成本、收入等比例关系；在物理学中，分式可以用来表示速度、加速度、密度等物理量的关系；在工程学中，分式可以用来表示材料的混合比例、工程测量中的比例关系等。

在学习分式的过程中，要善于把分数化简成最简式，掌握有理数的运算法则，灵活运用有理数的基本性质，加强分数的认识和运用，掌握有理数的相关知识，对于解决有理数问题能够运用有理数的性质和基本运算规律。

考点卡片1．分式的定义（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是AB的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．（5）分式是一种表达形式，如x+1x+2是分式，如果形式都不是AB的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1=1y仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．2．分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．3．分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．4．分式的值分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．5．约分（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．6．分式的乘除法（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．（5）规律方法总结：①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．7．分式的加减法（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．：说明：①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．8．分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”．2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．9．零指数幂零指数幂：a0=1（a≠0）由a m÷a m=1，a m÷a m=a m﹣m=a0可推出a0=1（a≠0）注意：00≠1．10．解一元一次方程（1）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．（3）在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x=c．使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想．将ax=b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a 为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．11．分式方程的解求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．12．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．13．分式方程的增根（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．14．分式方程的应用1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间等等．列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．15．一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．。

分式知识点归纳总结一、基本概念1. 分式的定义分式是由分子和分母组成的表达式，分子和分母都是整式。

通常写作a/b的形式，其中a为分子，b为分母，b不为0。

例如：3/4，7x/5y等都是分式。

2. 分式的分类根据分子和分母的形式，分式可以分为以下几类：a) 真分式：分子的次数小于分母的次数，例如：2/3。

b) 假分式：分子的次数大于或等于分母的次数，例如：x^2+1/x。

c) 反比例函数：分子和分母中都含有变量，例如：x/y。

3. 分式的性质a) 若分子和分母互换位置，分式的值不变，这就是分式的对称性质。

b) 分式的值只有在分母不为0时才有定义，即分式的定义域是除了分母为0的所有实数。

二、分式的化简1. 分子分母的最小公因式分式的化简首先要找出分子分母的最小公因式，然后进行约分。

例如：将分式6x^2y/9xy化简为2x/3。

2. 分式的通分当分母不同时，可以通过通分将分母变为相同的多项式，从而进行比较、运算。

例如：将1/2+2/3进行通分，得到3/6+4/6=7/6。

3. 整式转化为分式可以将整式转化为分式，只需将分子为整式，分母为1的形式即可。

例如：将5x^2+3x+1转化为分式为(5x^2+3x+1)/1。

三、分式的运算1. 分式的加减法分式的加减法需要先进行通分，然后对分子进行加减，最后合并分子。

例如：(2/3)+(3/4)，首先通分为8/12+9/12=17/12。

2. 分式的乘法分式的乘法是将分子乘以分子，分母乘以分母，然后进行约分。

例如：(2/3)*(3/4)=6/12=1/2。

3. 分式的除法分式的除法需要将除号改为乘以被除数的倒数，然后进行乘法运算。

例如：(3/4)÷(2/3)=(3/4)*(3/2)=9/8。

四、分式的应用1. 分式的实际问题在实际问题中，分式常用于解决各种比例、速度、浓度等问题，可以帮助我们解决生活中的实际问题。

2. 分式与方程分式的化简与运算经常用于解决各种方程，需要将方程中的分式进行合并、化简、求值等操作。

分式部分知识点总结
一、分式的基本概念
1. 分子与分母：
分式中的上半部分称为分子，下半部分称为分母。

2. 真分式与假分式：
当分子的绝对值小于分母的绝对值时,该分式为真分式；反之,该分式为假分式。

二、分式的化简
1. 化简方法：
（1）约分：将分式的分子与分母同时除以它们的公因式；
（2）乘除通分：通分后将分子与分母同时乘以同一个非零数。

2. 化简应用：
（1）分式的加减；
（2）解方程。

三、分式的性质
1. 分式的倒数：
分式a/b的倒数是b/a，其中a≠0.
2. 分式的乘法：
分式的乘法是将分子与分子相乘，分母与分母相乘。

3. 分式的除法：
分式的除法等于将被除数乘以除数的倒数。

4. 分式的加法和减法：
分式的加法和减法是先通分，再按照通分后的分子的运算规则进行加减。

四、分式方程
1. 基本步骤：
（1）去掉分母；
（2）解得方程的解；
（3）检验所得解是否符合原方程。

五、分式的应用
1. 分式在商业中的应用；
2. 分式在工程中的应用；
3. 分式在科学中的应用。

六、分式的计算
1. 分式的加减：将分母通分后再按照通分后的分子的运算规则进行加减；
2. 分式的乘法：将分子与分子相乘，分母与分母相乘；
3. 分式的除法：将被除数乘以除数的倒数。

分式知识点总结初二1. 分式的定义分式是用分数形式表示的代数式，它是一个分子和一个分母组成的表达式。

分数的分母不能为0。

2. 分式的简化对于分式进行简化是分式运算中的一项基本操作。

分式简化就是使分子和分母的公约数尽可能地消去，使分子和分母没有公因数。

分式简化的方法，就是找到分子与分母的最大公约数，并将分子与分母同时除以最大公约数。

3. 分式的乘法分式的乘法是指将一个分式乘以另一个分式的运算。

对于分式的乘法，它的运算规则是将两个分式的分子相乘，分母相乘，然后进行约分。

即(a/b)×(c/d)=(a×c)/(b×d)4. 分式的除法分式的除法是指将一个分式除以另一个分式的运算。

对于分式的除法，它的运算规则是将两个分式的乘数作为除数，然后再将第一个分式的分子与第二个分式的分母相乘，分母与分子相乘，得到的新分式即为所求结果。

即(a/b)÷(c/d) = (a×d)/(b×c)5. 分式的加法和减法分式的加法和减法是分式运算中的两个基本操作。

分式的加法和减法需要先将两个分式的分母化为相同数，然后再将分子相加或相减，得到新的分式。

这两种运算较为复杂，需要学生灵活掌握。

6. 分式的运算法则a. 分式乘除法的规则是：分式的乘法就是把分子相乘作为新分子，分母相乘作为新分母；分式的除法就是把除数倒过来，再进行乘法运算。

b. 分式的加减法的规则是：分式的加减法要先把两个分式化为公分母的分式，然后再将分子相加或相减作为新的分子。

7. 分式的乘方与除方分式的乘方与除方是分式运算的两种特殊形式。

对于分式的乘方，即是将分子和分母分别进行乘方运算；对于分式的除方，即是将分子和分母分别进行除法运算。

8. 分式的应用分式在代数中有广泛的应用，特别是在方程式的求解、数学建模等方面的应用比较多。

在日常生活中，也有很多实际问题都可以用分式来进行表达和解决，比如分配问题、比值问题等。

分式知识点总结及复习一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。

其中 A 叫做分子，B 叫做分母。

需要注意的是：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。

例如：1/x 是分式，而 1/2 不是分式，因为分母 2 不含有字母。

二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为零。

即：对于分式 A/B，B ≠ 0 时，分式有意义。

例如：对于分式 2/（x 1)，当x 1 ≠ 0，即 x ≠ 1 时，这个分式有意义。

三、分式值为零的条件分式值为零的条件是分子为零且分母不为零。

即：对于分式 A/B，当 A ＝ 0 且B ≠ 0 时，分式的值为零。

例如：若分式(x 2)／（x ＋ 2)的值为零，则 x 2 ＝ 0 且 x ＋2 ≠ 0，解得 x ＝ 2。

四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。

用式子表示为：A/B ＝ A×C/B×C，A/B ＝ A÷C/B÷C（C ≠ 0）例如：化简分式 2x/（3y)，分子分母同时除以 x，得到 2/（3y/x)。

五、约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。

约分的关键是确定分式中分子和分母的公因式。

确定公因式的方法：（1）系数取分子和分母系数的最大公约数；（2）字母取分子和分母共有的字母；（3）相同字母的指数取次数最低的。

例如：对分式 6x²y/9xy²进行约分，分子分母的公因式为 3xy，约分后得到 2x/3y 。

六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做通分。

通分的关键是确定几个分式的最简公分母。

确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的。

分式章节知识点总结一、分式的定义分式是指两个整数或者多项式，中间用横线隔开的表达形式，例如a/b（a、b为整数，b不等于0），a称为分子，b称为分母。

二、分式的类型1. 简单分式：分子、分母都是整数的分式。

例如3/4、5/6等。

2. 复合分式：分子或分母中包含有代数式的分式。

例如2/(x+1)、(x-1)/(x+2)等。

3. 多项式分式：分子或分母中包含有多项式的分式。

例如(x^2+3)/(x-4)、2x/(x^2+1)等。

三、分式的性质1. 分式的值：分式的值是指分子除以分母的结果，也可以看作带有未知数的一种式子。

2. 分式的约分：分式可以进行约分，即将分子和分母同时除以一个数，得到一个新的分式，值不变。

3. 分式的通分：分式可以进行通分，即寻找一个公共分母，使得分式的分母相同，然后进行运算。

四、分式的运算1. 分式的加减法：分式的加减法是将分式化成相同分母的形式，然后分别对分子进行加减运算，最后将结果化简。

2. 分式的乘法：分式的乘法是将分子分别相乘，分母分别相乘，然后化简得到最简分式。

3. 分式的除法：分式的除法是将除数的分子、分母对调位置，再乘上被除数的倒数，然后化简得到最简分式。

五、分式的应用1. 分式在方程中的应用：分式通常出现在方程的解中，需要对分式进行加减和乘除等运算，找到未知数的值。

2. 分式在不等式中的应用：分式在不等式的求解中应用广泛，通过对分式进行化简和变形，找到不等式的解集。

3. 分式在函数中的应用：分式常常用来表示函数的定义域、值域和零点等性质，在函数的运算和变形中起着重要作用。

分式作为代数中重要的一部分，需要掌握其定义、类型、性质和运算方法，灵活运用于方程、不等式和函数等各种问题的求解中。

同时，分式的深入研究还可以延伸到多项式、变量和函数的理论及实际应用中，是代数学习中的重要内容之一。

分式考点归纳总结分式是数学中一种重要的数书形式，广泛应用于各个领域，如代数、几何、物理等。

在解题过程中，掌握了分式的性质和运算法则，能够更加灵活地处理各种数学问题。

本文将对常见的分式考点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握分式的相关知识。

一、分式的基本概念和性质在学习分式之前，我们首先需要了解分式的基本概念和性质。

分式的基本形式为a/b，其中a是分子，b是分母，a和b都是整数。

需要注意的是，分母b不能为零，否则分式无意义。

分式可以表示两个整数之间的比值，也可以表示一个数在另一个数中的比例关系。

分式的性质包括：1. 分式的大小比较：当分母相同时，分子越大，分式越大；当分母相同时，分母越大，分式越小。

2. 分式的约分与通分：可以将分子和分母的公约数约去，得到分式的最简形式；将分式的分母约分为相同的数，得到通分分式。

3. 分式的倒数：将分式的分子和分母交换位置，得到分式的倒数。

4. 分式的加减乘除：分式的加减可以通过通分转化为同一分母的分式进行运算；分式的乘除可以通过分子相乘、分母相乘的方式进行运算。

二、分式的运算法则在运算分式的过程中，需要严格遵守一定的运算法则，才能得到正确的结果。

下面我们将对分式的加减乘除四种运算法则进行详细介绍：1. 分式的加法对于两个分式a/b和c/d的加法运算，可以按照以下步骤进行：（1）将两个分式的分母进行通分，得到通分分母。

（2）将两个分式的分子相加，得到通分后的分子。

（3）将得到的通分分子和通分分母组合起来，得到最终的结果。

2. 分式的减法对于两个分式a/b和c/d的减法运算，可以按照以下步骤进行：（1）将两个分式的分母进行通分，得到通分分母。

（2）将两个分式的分子相减，得到通分后的分子。

（3）将得到的通分分子和通分分母组合起来，得到最终的结果。

3. 分式的乘法对于两个分式a/b和c/d的乘法运算，可以按照以下步骤进行：（1）将两个分式的分子相乘，得到乘积的分子。

分式单元知识总结（二）题型发散发散1 选择题 把正确答案的代号填入题中的括号内．（1）分式ax b ，bx c 3-，35cx a 的最简公分母是（ ） （A ）35cx （B ）abcx 15 （C ）515abcx - （D ）315abcx （2）下列各式的约分运算中，正确的是（ ）（A ）339x x x = （B ）b a c b c a =++ （C ）0=++ba b a （D ）1=++ba b a （3）将分式)1)(1(1+--x x ，)2)(1(2++x x ，)1)(2(3-+-x x 通分，下列变形中正确的是（ ）（A ）)2)(1)(1(2)1)(1(1++-+=+--x x x x x x （B ）)2)(1)(1(12)2)(1(2++--=++x x x x x x （C ）)2)(1)(1(33)1)(2(3++-+-=-+-x x x x x x （D ）以上答案都不正确（4）若311=-yx ，则y xy x y xy x ----2232的值是（ ） （A ）21 （B ）32 （C ）59 （D ）4 （5）已知x:2=y ：3=z ：0.5，则z y x z y x +--+23的值是（ ） （A ）71 （B ）7 （C ）3 （D ）31解 (1)用直接法．求最简公分母，先求几个分式的分母的最低公倍式，几个分式分母的最低公倍式是：331553abcx cx b a =⋅⋅⋅⨯．故本题应选(D)．(2)用排除法．选项(A)中，3636339x x xx x x x ≠=⋅=；； 选项(B)中，b ac b c a ≠++，如532523≠++； 选项(C)中，01≠=++b a b a ，因此可排除(A)、(B)、(C)， 故本题应选(D)．(3)用直接法．选项(A)中，)2)(1)(1()2()1)(1(1++-+-=+--x x x x x x ，错； 选项(B)中，)2)(1)(1(22)2)(1(2++--=++x x x x x x ，错；选项(C)正确． 故本题应选(C)．(4)用直接法．∵ 311=-yx ，∴ 311-=-x y ， 将分式的分子和分母都除以xy ，得.59233)3(221131121212322232=----⨯=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=----=----x y x y x y x y y xy x y xy x 故本题应选(C)．(5)用直接法．从题设入手，设5.0:3:2:z y x k ===(可设k=1)，则x=2k,y=3k,z=0.5k ．∴7232215.03225.033223==+-⨯-⨯+=+--+k k k k k k k k z y x z y x ． 故本题应选(B)．发散2填空题(1)已知分式12122+--x x x ， 当x___________时，分式无意义；当x___________时，分式有意义；当x___________时，分式的值为零；当x=0时，分式的值为_________．(2)把下面分式的分子、分母的各项系数都化为整数． ①_________04.03.05.001.0=+-a b a ； ②=-+y x y x 41314131_________________． (3)把下面分式化为最简分式=-+--2222444yxy x x y __________________． (4)已知5922=-+b a b a ，则a ：b=_______________． 解(1)∵原式2)1()1)(1(--+=x x x 当x=1时，0)1(2=-x ，分式无意义；当x ≠1时，分式有意义；当x=-1时，分子(x+1)(x-1)=0，分母0)1(2≠-x ，故分式值为零； 当x=0时，1101012122-=+-=+--x x x ． (2)①运用分式的基本性质，将分式的分子、分母都乘以100，得原式=43050+-a b a . ②运用分式的基本性质，将分式的分子、分母都乘以12，得原式yx y x 3434-+=．（3）分别将分式的分子、分母因式分解，得y x y x y x y x y x y xy x y x 22)2()2)(2()44()4(22222-+=--+=+----=原式． （4）原式两边乘以(2a-b)得 )2(592b a b a -=+， 进一步整理，得 b b a a 592518--=-． ∴ b a 519513-=-． ∴ a ：b=19：13．发散3 计算132111223+++-+--+-x x x x x x x x ． 分析 先将假分式化为真分式与整式之和，再进行加减运算．解 132111223+++-+--+-x x x x x x x x .12)1)(1(2)1)(1()1()1(2111212)2(1122-+-=-+--=-+-++-=+++--+--+=x x x x x x x x x x x x x x 发散4 计算⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡--÷++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111111232232x x x x x x x x x ． 分析 本题是分式的四则混合运算问题．应先乘除后加减，有括号的先做括号内的计算．解 1211112232323--÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⨯++⨯---=x x x x x x x x x x x 原式 .x x x x x x )x x (x )x )(x ()x x )(x (x )x )(x (x 121122111111111222=--⋅--=--⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⨯-+++-⨯-+-=解散发散发散1 计算.15814865552222++++-++++x x x x x x x x 分析1 将分式655522++++x x x x 化成65112++-x x ，15814822++++x x x x 可化为158112++-x x ． 解法1 ⎪⎭⎫ ⎝⎛++--++-=158********x x x x 原式 .)5)(3)(2(3)5)(3)(2()5(2)3)(2(1)5)(3(1651158122+++-=++++-+=++-++=++-++=x x x x x x x x x x x x x x x x 分析2 将分式655522++++x x x x 化成65112++-x x ，再对15814822++++x x x x 进行通分． 解法2 1581486511222++++-++-=x x x x x x 原式 .)5)(3)(2(3)5)(2)(5)(3()3(3)165)(158()158(6565115816511581481222222222+++-=+++++-=++++++-++=++-++=++-++++-=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 发散2 计算)4)(3(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1++++++++++x x x x x x x x 解法1 采用两两相加的方法．⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=41213121111x x x x x x 原式.)4(4)4)(2()2(4)4)(2()4(2)4)(2(2)2(2)4)(2(2431)2(211+=+++=++++=++++=+++++⋅+++++⋅+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解法2 用拆项的方法计算．⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=413131212111111x x x x x x x x 原式 .)4(4)4(4411+=+-+=+-=x x x x x x x x变形发散发散1 已知a+b+c=0，求3111111+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a c c a b c b a 的值． 解法1 由a+b+c=0，得a+b=-c ，b+c=-a ，a+c=-b ．∴ 3++++++=ac a b c b c a b c b a 原式 .033=+---=++++++=a a c cb b ac b c b a b c a 解法2 ∵ a+b+c=0，∴ 111++++++++=abbc ac ac bc ab bc ac ab 原式.0))(()()()(=++++=++++++++=++++++++=abc c b a ca bc ab abcab bc ac c ac bc ab b bc ac ab a abab bc ac ac ac bc ab bc bc ac ab 发散2 已知0111=+--b a b a ，求33⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛b a a b 的值． 解 ∵0111=+--ba b a ∴ 1=+-+b b a a b a ，即1=-b a a b ． ∴ 542±=⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-±=+b a a b b a a b b a a b ∴ 33⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a a b 原式 .52)35(53222±=-±=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b a a b b a a b b a b a a b a b b a a b 发散3 计算1123----a a a a ． 解 本题把多项式看做是分母为1的式子．即 1)1(123++--=a a a a 原式 .1)1)(1(23-++--=a a a a a 这里逆用立方差公式，111)1(33-=---=a a a a 原式．纵横发散发散1 请你先化简，再选取一个使原式有意义，而你又喜爱的数代入求值．112223+----x x x x x x ．（2002年江西省中考试题） 解 1)1)(1()1()1(2++----=x x x x x x x 原式=.121-=+-x x x （0≠x 且1±≠x ）令x=2得 3122=-⨯=原式．发散2 计算ab ba ab b b a a +÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-22．解 b a abb a b b a a +⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=22原式.))((22ab b a abb a b a b a ba abb a b a =+⨯-+-=+⨯--=发散3 化简.221323322+-++÷+++a a a a a aa（2002年苏州市中考试题）解 2231)2)(1()3(+-++⨯+++=a a a a a a a 原式.22222+-=+-+=a a a a a综合发散发散1 已知b a b a +=+111，求分式b aa b+的值．解 ∵ b a b a +=+111亦即 ab b a =+2)(，∴ 122-=-=+=+abab ab b a b a a b ． 发散2 已知a+b+c=0，abc=8，求证：0111<++c b a ． 证明 ∵ a+b+c=0， ∴0)(2=++c b a ，即 0222222=+++++ac bc ab c b a ．∴ )(21222c b a ac bc ab ++-=++ 又∴abcc b a abc ab ac bc c b a 2)(111222++-=++=++ ∵ abc=8，a 、b 、c 均不能为零，∴0222>++c b a ，故0111<++c b a ．4．分式方程【典型例题】1．解方程14145=-+--xx x ． 解 方程两边同乘以x-4，去分母得5-x-1=x-4．解此整式方程，得 x=4．经检验，当x=4时，分母x-4=0．故x=4是增根，原方程无解．2．解方程xx x x x x x 225121212223+=+++++． 分析 解分式方程的关键是去分母将分式方程转化为整式方程，为此首先要将各个能因式分解的多项式先做因式分解，然后再取最简公分母，解 原方程可化为)1(25)1(1)1(122+=+++x x x x x ， 方程两边都乘以2)1(2+x x ，约去分母，得解这个整式方程，得x=-1．检验：当x=-1时，0)11)(1(2)1(222=+--=+x x x ，原方程无解．3．解方程45342312++-++=++-++x x x x x x x x 分析 由分式的化简与计算可知，如果一个分式的分子的次数高于或等于分母的次数，那么就可以将分式化成整式部分与分式部分的和，我们可采用此法先化简一个分式.解 原方程可化为411311211111+--++=+--++x x x x 41312111+-+=+-+x x x x )4)(3()3()4()2)(1()1()2(+++-+=+++-+x x x x x x x x )4)(3(1)2)(1(1++=++x x x x 1272322++=++x x x x解这个整式方程，得 25-=x ． 经检验知25-=x 是原方程的根． 4．有一分数，分子加1，分母减1就变成32；以分母与分子的差为分子，分母与分子的和为分母，所得的分数为52，求原分数． 解 设原分数为yx ，依题意，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+.52,3211y x x y y x解得⎩⎨⎧==.7,3y x 经检验⎩⎨⎧==.7,3y x 是方程组的解．∴ 原分数为73．纵横发散发散1 解方程221253=-+---xx x x ． 解 方程两边同乘以x-2，约去分母，得)2(2)1()53(-=++-x x x ，解这个方程，得 x=0．检验：当x=0时，0202≠-=-x ．所以0是原方程的根．发散2 解方程21232+--=-+x x x x x x ． 解 原方程变形为21)1)(2(3+--=-+x x x x x x ， 方程两边同乘以)1)(2(-+x x ，约去分母，得)1()2(3--+=x x x x ，解这个整式方程，得x=1．检验：当x=1时0)11)(21()1)(2(=-+=-+x x 所以，1是增根，原方程无解． 解题指导 解分式方程的一般步骤：(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；(2)解这个整式方程；(3)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．转化发散发散题 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++-=--+.322,6133y x y x y x y x分析 用换元法将分式方程组转化为整式方程组．解 令u y x =+，v yx =-1，则原方程组转化为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-.3221,61331v u v u 即⎩⎨⎧=+-=-.64,1182v u v u解得 ⎪⎩⎪⎨⎧==.v u 214 即 ⎩⎨⎧=-=+.2,4y x y x解得 ⎩⎨⎧==.1,3y x ∵y x ≠，∴⎩⎨⎧==1,3y x 是原方程组的解．解法发散发散1 一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别用2a 次、a 次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180吨；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270吨．(1)乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍；(2)现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元?(按每运1吨付运费20元计算)．解法1 设这批货物共有T 吨，甲车每次运甲t 吨，乙车每次运乙t 吨．（1）∵T t a =⋅甲2，T t a =⋅乙， ∴2:1:=乙甲t t ，即乙车每次运货量是甲车的2倍；(2)由题意列方程乙甲t T t T 270270180180-=-， ∵ 甲乙t t 2=， ∴甲甲t T t T 2270270180180-=- ∵ 0≠甲t ∴135270180180-=-T T 解方程得 T=540．∵ 甲车运180吨，丙车运540-180=360(吨)∴ 丙车每次运货量也是甲车的2倍．∴ 甲车车主应得运费21602051540=⨯⨯(元) 乙、丙车主各得运费43202052540=⨯⨯(元) 答：(1)乙车每次运货量是甲车每次运货量的2倍；(2)应付甲车车主运费2160元，付乙、丙两车主运费各4320元．解法2 (1)同解法1．(2)设甲车每次运甲t 吨，乙车每次运甲t 2吨，丙车每次运丙t 吨，则丙甲丙甲t t t t ⋅+=⋅+2270270180180， 以甲丙t t 为未知数，解方程得2=甲丙t t ，以下同解法1.解法3 (1)同解法1．（2）设甲车每次运货量是丙车每次运货量的n 倍，乙车每次运货量是丙边每次运货量的2n 倍，则n n 2270270180180+=+解得 21=n ． ∴ 这批货物共有180+180×2=540吨．以下同解法1发散2 已知)()()(y x c z x b z y a +=+=+，a ，b ，c 全不为零．求证：)()()(b a c y x a c b x z c b a z y --=--=--． 分析1 将求证式变形后利用合分比定理证明．证明1 由题设，得cy x b x z a z y 111+=+=+ 由合分比定理，得ab y xc a x z b c z y 111111--=--=--， 即 ba y x ab ac x z ac c b z y cb --=--=--)()()(． 对上式除以abc ，得)()()(b a c y x a c b x z c b a z y --=--=-- 分析2 把条件等式中各式之值设为常数k ，变形后分别求出a ，b ，c 的表达式，代入求证式中各分式计算．证明2 令k y x c x z b z y a =+=+=+)()()(，∴ z y k a +=，xz k b +=，y x k c +=． ∴ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-=--y x k x z k z y k z y c b a z y )(,))()(())()(()(22k y x x z z y y x x z z y z y k zy +++=+++--=同理 2))()(()(ky x x z z y a c b x z +++=-- ∴)()()(a c b x z c b a z y b a c y x --=--=--． 综合发散发散1 解方程64534275--+--=--+--x x x x x x x x ． 分析 将方程中的每个分式化为1减去真分式之差，再去分母化分式方程为整式方程． 解 将原方程变形为621521421721-++-+=-++-+x x x x ， ∴ 41615171---=---x x x x ． 去分母，整理得 3512241022+-=+-x x x x ． ∴ 211=x ． 经检验，211=x 是原方程的根． 发散2 甲乙两个工人同时从工厂出发去52km 远的工地做工，甲乘开往工地的机动三轮车，乙先乘公共汽车到距离工地4km 处的车站下来，下车后继续步行前进，结果两人同时到达工地．已知汽车速度比机动三轮车每小时快8km ，乙步行速度比汽车每小时慢26km ．求汽车和机动三轮车的速度．解法1 设汽车的速度为xkm ／h ，根据题意得852264452-=-+-x x x ． 解方程得 x-8=24，x=32．经检验x=32是方程的根．答：汽车速度为32km ／h ，机动三轮车的速度为24km ／h ，解法2 设汽车速度为xkm ／h ，机动三轮车速度为ykm ／h ． 根据题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-.52264452,8y x x y x 解方程得⎩⎨⎧==.24,32y x 经检验⎩⎨⎧==24,32y x 是方程组的解．答：汽车速度为32km/h ，机动三轮车的速度为h km /24．发散3 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动．已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树?解 设甲班每小时种x 棵树，则乙班每小时种(x+2)棵树． 根据题意，有26660+=x x ，x x 6612060=+ ∴x=20．经检验：x=20是原方程的解.∴x+2=22．答：甲班每小时种20棵树，乙班每小时种22棵树．发散4 A ，B 两地相距80km ，一辆公共汽车从A 地出发，开往B 地，2h 后又从A 地同方向开出一辆小汽车，小汽车的速度是公共汽车的3倍，结果小汽车比公共汽车早40min 到达B 地，求两种车的速度．解 设公共汽车的速度为xkm ／h ，则小汽车速度为3xkm ／h ．根据题意有 xx 3806040280=-- 解方程，得 x=20经检验x=20是所列方程的解.∴ 3x=60．答：公共汽车速度为20km ／h ，小汽车速度为60km ／h ．【知识整合网络】【学习方法指导】一、转化的思想方法学习新的知识，其中一部分是建立在已学知识、方法上的．本章中解分式方程时，把方程两边都乘以最简公分母，把分式方程转化成整式方程去解，这也是一种解题方法．在分式的除法运算中，把除法转化成乘法做，即把除号改变为乘号，再把除式的分子与分母交换位置，进行乘法运算．二、探究的思想方法本章中对分式方程及a=bc 型的关系进行探究．例如：在关于x 的方程ax=1中，当a=_____________时，方程有惟一的解；当a=_____________时，此方程无解．在解此方程时，方程两边要同时除以a ，因为字母a ，可代表正数、零、负数，若a ≠0，这个方程的解就为ax 1，若a=0，这个方程就没有解．三、常用的数学方法本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等．分解因式是进行分式运算和解分式方程的关键．通分、约分、去分母时一般都需要先分解因式，分解因式熟练与否，直接影响分式加减乘除运算及解分式方程的速度和准确性．【中考信息传递】纵观近几年的全国各省、市的中考试题中，分式部分常见题型主要有两大类：1．有关分式的概念与性质，如分式有意义或分式的值为零的条件，常以填空题、选择题形式出现．2．分式的运算及化简求值，如括号内是加减，括号外是乘除的分式混合运算，以计算题居多，值得指出的是，分式的中考题难度不大，但涉及所学习的基础知识较多，解题方法灵活多变，容易产生符号和运算方面的错误．因此，本章考点题目“易做又易错”，既是“送分题”，又是“丢分题”．展望未来，本章考试一如既往，仍以分式的基本性质和混合运算为命题热点．但应注意掌握含字母系数的一元一次方程和可化为一元一次方程的分式方程的解法及应用．【中考名题赏析】纵横发散发散 1 先化简，再求值244412222+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+-a a a a a a a a ，其中a 满足：0122=-+a a（2002年山西省中考试题）解 42)2(1)2(22-+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+-=a a a a a a a 原式 .2142)2(422a a a a a a a +=-+⋅+-=当a 满足0122=-+a a 时，122=+a a ，∴ 111==原式. 发散2 已知22-=，22+=b ，求222222232ba ab a b ab a b a b a --÷+++的值． 解 先化简，再求值．ab b a a b a b a b a b a b a =--+⨯++=)())(()()(22原式． 当22-=a ，22+=b 时，2)22)(22(=+-=原式．综合发散发散题 为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程．如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工，就要超过6个月才能完成．现在由甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成．问原来规定修好这条公路需多长时间?解 设原来规定修好这条公路需x 个月． 根据题意，得161)4(6114=+⋅-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x 或164=++x x x ． 当0≠x ，6-≠x 时，去分母，原方程化为)6()6(42+=++x x x x ，即2x=24，∴x=12．答：原来规定修好这条公路需12个月．。