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旋转型相似三角形应用的分析方法∠BAD=∠CAE，∠ACB=∠AED=> △ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE=> AB•AE=AC•AD在几何问题中，出现了由一点发出的四条两两交成等角的成比例线段时，就要应用旋转型相似三角形进行证明，找相似三角形的方法是将由这个公共端点发出的四条两两交成等角的成比例线段两两组成相似三角形，也就是将成比例的四条线段的端点两两连结得到相似三角形，且可以得到两对旋转型相似三角形。
由于由同一点发出的四条线段，总有顺序关系，而1、4和2、3组成的三角形是不相似的，所以必定是两种可能：即1、2和3、4组成相似三角形；1、3和2、4组成相似三角形，也就相应地得到这两对同时出现的旋转型相似三角形。
在几何问题中，出现了由一点发出的四条两两交成等角的成比例线段会出现一种特殊情况，就是其中的两条相乘线段重叠在角平分线上时，仍然要应用旋转型相似三角形进行证明，找相似三角形的方法也仍然是将由这个公共端点发出的四条两两交成等角的成比例线段两两组成相似三角形。
例1，已知：⊙O与⊙O'相交于A、B，⊙O的弦AC交⊙O'于D，⊙O'的弦AE交⊙O于F，连结BC、BD、BE、BF．求证：BC•BE=BD•BF分析1：本题要证明的结论BC•BE=BD•BF是线段之间的比例关系，所以首先进行描图，搞清楚比例线段之间的位置关系，经过描图可以发现这是由同一点B发出的四条成比例线段，同时通过观察可以判断它们是两两交成等角的，从而可应用旋转型相似三角形进行证明，根据由B发出的四条成比例线段BC、BD、BF、BE两两组成相似三角形的方法，如选取BC、BD组成△BCD，那么BF、BE就应组成△BFE，如选取BC、BD组成△BCD，那么BF、BE就应组成△BFE，问题也就成为应证△BCD 和△BFE相似，由条件A、C、B、F四点共圆，且A、F、E成一直线，所以∠BCD=∠BFE，根据同样的道理，由A、D、B、E四点共圆， A、D、C成一直线，又可得∠BDC=∠BEF，所以△BCD和△BFE相似就可以证明，分析就可以完成。
相似三角形题型及解法归纳讲义A 字形，A ’形，8字形，蝴蝶形，双垂直,旋转形双垂直结论:射影定理： ①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项⑴△ACD ∽△CDB →AD:CD=CD:BD →CD 2=AD •BD⑵△ACD ∽△ABC →AC:AB=AD:AC →AC 2=AD •AB⑶△CDB ∽△ABC →BC:AC=BD:BC →BC 2=BD •AB结论：⑵÷⑶得AC 2:BC 2=AD:BD结论：面积法得AB •CD=AC •BC →比例式证明等积式(比例式)策略一、直接法：找同一三角形两条边 转变：等号同侧两边同一三角形 三点定形法二、间接法： ⑴ 3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换；⑵制造条件 ①添加平行线——制造“A ”字型、“8”字型②先证其它三角形相似——制造边、角条件相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比相似终极策略：遇等积，化比例，同侧三点找相似；四共线，无等边，射影平行用等比；四共线，有等边，必有一条可转换；两共线，上下比，过端平行条件边。
彼相似，我角等，两边成比边代换。
①∠ABC=∠ADE ．求证：AB ·AE=AC ·AD②△ABC 中，AB=AC ，△DEF 是等边三角形 ,求证：BD•CN=BM•CE ． E A B D E AB C B A D ECFEDABC③等边三角形ABC中，P为BC上任一点，AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点。
求证：BP•PC=BM•CN☞有射影，或平行，等比传递我看行斜边上面作高线，比例中项一大片①在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E为AC的中点，求证：AB•AF=AC•DF②ABCD③梯形ABCD中，AD求证：DE2=BE·CE.☞两共线，上下比，过端平行条件边。
数学模型——旋转规律探究实验中学张九菊一、知识回顾：模型教学是一种行之有效的方法，模型的得出：1.需要经历大量的做题；2.对做过的同类型的题进行研究、归纳，最后才有模型的产生。
我们一起回顾以前学习过的模型。
（一）、平分平等腰成：即角平分线遇到平行线，则图中产生的新图形是等腰三角形。
灵活应运：角平分线、平行线和等腰三角形，任意两个做条件，第三个作结论，组成的命题都是真命题。
（二）、一线三等角，必产生两个三角形相似。
常见的背景图有正三角形和正方形。
看到直角常常要构造一线三等角如下图：（三）、旋转：特征是等线段共端点。
常见的背景图：等边三角形和正方形。
（四）、由公共顶点的两个相似图形，一个图形绕公共顶点旋转的过程中，必产生从公共顶点出发的两个新三角形相似。
这一模型是中考22题的高频考题，本节课我们一起研究这一内容。
二、规律探究（一）奠定基础：结合已知条件，从中你知道哪些知识？（给出特殊图形：等边三角形、等腰直角三角形、和一般的等腰三角形。
目的是帮助学生复习特殊图形的基本性质，但对于一般的等腰三角形不一定相似，要想相似必须加上一组对应角相等。
）（二）、深入探究：①、②BE 、CF 的数量关系。
教法：此内容简单，学生独立完成自己的猜想和证明。
并类比完成等腰直角三角形的猜想和证明。
教法：师生共同完成对于一般三角形蕴含的规律。
即当∠BAC=∠EDF ，两个三角形经过平移①、②BE 、CF 的数量关系。
结论发现：有公共顶点的两个相似图形，一个图形绕公共顶点旋转的过程中，一定产生从公共顶点出发的另两个三角形相似。
三、学以致用 1.（2015.河南第22题.）如图，在Rt △ABC 中,∠ABC=900 中， BC=2AB=8，点D 、E 分别是边AC 、BC 的中点。
.将△CED 绕点C 顺时针旋转的过程中，的大小有无变化，请结合图形证明。
.当△CED 旋转至A 、D 、E 共线时，直接写出线段BE 的长2.（1）正方形ABCD 即等腰在Rt △AEF 中有公共顶点A ，∠EAF=900, 连接BE 、DF 将Rt △AEF 绕点A 旋转，在旋转过程中，BE 、DF 具有怎样的 数量和位置关系？直接写出你的结论。
初中数学善观察巧旋转 妙解题学法指导沈岳夫旋转是几何图形运动中的重要变换，随着课程改革的进一步深入，利用旋转知识进行有关计算或证明的题目很多，尤其是题目中没有涉及到旋转等文字，使不少学生在解答时无从着手，找不到解题的途径，但如果能根据题目特征加以观察，通过旋转，找到解题的突破口，那么问题就简单化了，现采撷部分试题加以归纳，供参考。
一. 通过旋转，解答角度问题例1. 如图1，P 是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10。
求∠APB 的度数。
图1解析：先将部分已知条件集中到一个三角形中，再研究这个三角形与所求的关系。
将△PAC 绕点A 逆时针旋转60°后，得到△FAB ，连接PF （如图2），则BF=PC=10，FA=PA=6，∠FAP=60°。
∴△FAP 是等边三角形，FP=PA=6。
在△PBF 中，222222BF 1068PF PB ==+=+ ∴∠BPF=90°∴∠APB=∠APF+∠FPB=60°+90°=150°图2二. 通过旋转，计算线段长度问题例2. 如图3，P 是正△ABC 内一点，PA=2，32PB =，PC=4，求BC 的长。
图3解析：此题乍一看似乎无从着手，但只要运用旋转的方法来解题，就显得十分容易。
将△BPA 绕点B 逆时针旋转60°，则BA 与BC 重合（如图4），BP=BM ，PA=MC ，连接MP 。
则△MBP 是正三角形，即2MC ,4PC ,32MP ===， 由222222PC 42)32(MC MP ==+=+， 故∠CMP=90°，因为PC 21MC =， 所以∠MPC=30°， 又因为∠MPB=60°， 故∠CPB=90°，得72PC PB BC 22=+=图4例3. 如图5，在梯形ABCD 中，AD//BC （BC>AD ），∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，若AE=10。
相似三角形中的旋转问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
在数学中，我们经常会遇到相似三角形。
其中一个常见的问题是旋转问题，即给定一个相似三角形，我们如何通过旋转来得到另一个相似三角形。
让我们回顾一下相似三角形的定义。
两个三角形是相似的，如果它们的对应角相等，并且对应边的比例相等。
在相似三角形中，每对角是相等的，而对应边的比例可以用来描述它们之间的关系。
在这种情况下，我们可以发现通过旋转可以得到另一个相似三角形。
在旋转问题中，我们关注的是如何通过旋转一个三角形来得到另一个相似的三角形。
在数学中，旋转是一个常见的变换方式，我们可以通过将一个图形绕着一个点进行旋转来改变它的位置和方向。
在三角形的情况下，我们可以通过旋转来改变三角形的位置，但是并不改变其形状和大小。
举个例子，假设我们有两个相似三角形ABC和DEF，其中对应角分别为∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F。
我们可以通过旋转三角形ABC 来得到另一个相似的三角形DEF。
具体的步骤是首先选择一个固定的旋转中心，然后将三角形ABC绕着这个中心旋转一个角度，得到新的三角形ABC'。
由于三角形ABC和DEF是相似的，它们的对应边的比例相等，因此通过旋转我们可以得到相似的三角形DEF。
在实际问题中，旋转问题可以帮助我们更好地理解相似三角形之间的关系。
通过旋转，我们可以找到相似三角形之间的对应关系，进而解决一些实际问题。
在建筑工程中，我们可能需要通过旋转来调整建筑物的位置和朝向，而在图形设计中，我们也可以通过旋转来创造出不同的视觉效果。
相似三角形中的旋转问题是数学中一个重要且有趣的问题。
通过旋转，我们可以更深入地理解相似三角形之间的关系，并且应用到实际问题中。
希望通过这篇文章，能够帮助大家更好地理解相似三角形的旋转问题，同时也能够启发更多关于数学和几何的思考。
愿大家在学习数学的过程中能够充满乐趣！第二篇示例：相似三角形中的旋转问题是几何学中一个重要的概念，它涉及到了旋转对于包含在一对相似三角形之间的变换。
暑假专题——相似三角形重点、难点：1. 通过探索两个三角形相似的识别方法，加强合情推理能力的培养，感受发现的乐趣，逐步掌握说理的基本方法。
2. 通过相似三角形性质复习，丰富与角、面积等相关的知识方法，开阔研究角、面积等问题的视野。
【知识纵横】 1. 相似三角形对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形（similar triangles ）。
议一议：（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？ （3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？ 2. 相似比相似三角形对应边的比叫做相似比。
说明：相似比要注意顺序：如△ABC ∽△A'B'C'的相似比k A B A B 1=''，而△A'B'C'∽△ABC 的相似比k A B A B2=''，这时k k 121=。
3. 相似三角形的识别（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
【典型例题】例1. 如图，∠1＝∠2＝∠3，图中相似三角形有（ ）对。
A D E3 B C 2 1例2. 如图，已知：△ABC 、△DEF ，其中∠A ＝50°，∠B ＝60°，∠C ＝70°，∠D ＝40°，∠E ＝60°，∠F ＝80°，能否分别将两个三角形分割成两个小三角形，使△ABC 所分成的每个三角形与△DEF 所分成的每个三角形分别对应相似？如果可能，请设计一种分割方案；若不能，说明理由。
B EA C D F例3. （2004·广东省）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连结CF交AD于点E。
从旋转型全等三角形到旋转型相似三角形旋转型全等三角形AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=> △ABC≌△ADE，∠ABD=∠ACE，∠ADB=∠AEC；将△ABC绕三角形的顶点A旋转一个角度成为△ADE，这两个三角形就是一对旋转型全等三角形。
而由AB=AD，这是两条具有公共端点的相等线段，所以它们可以组成一个等腰三角形，同样，由AC=AE，它们也可以组成一个等腰三角形，而这两个等腰三角形的顶角是相等的，所以这两个等腰三角形一定相似，而由∠ABD=∠ACE 和∠ADB=∠AEC，如果延长BD与CE相交，则可得两个圆内接四边形。
所以，一对绕三角形的顶点旋转得到的旋转型全等三角形的基本图形中，一定同时出现一对相似的等腰三角形和两个圆内接四边形。
由于这是旋转型全等三角形的基本图形的本质属性，所以只有在整体上进行教学，才能将这个基本图形的特征、性质、应用条件和应用方法讲清楚。
然而，按照通常的教学进度，在进行全等三角形的教学时，显然还不可能进行相似三角形和圆周角这两部分内容的教学，而在进行相似三角形和圆周角的教学时，又不可能再回过来进行全等三角形的教学，也就是本质上是完整的内容被割裂开来进行教学了，所以老师就很难讲清楚，讲清楚问题的本质，将清楚思想方法的规律性，这也就是旋转型全等三角形在教学中出现的困难所在。
解决的方法：一是在进行旋转型全等三角形的教学时，可适当地进行拓展，让学生较早地接触、知道并形成一定的概念、性质，到进入相似三角形和圆周角的教学时再进行强化；二是在进行旋转型全等三角形的教学时，如果没有拓展的话，则可在进入相似三角形和圆周角的教学时，尤其是在总复习阶段可安排专题性的教学。
在进行全等三角形的教学时，由于在相似的等腰三角形中，有两类特殊的等腰三角形，它们是必定相似的，这就是等边三角形和等腰直角三角形，所以在给出等边三角形或等腰直角三角形的条件时，就可以实质上出现相似的等腰三角形而又可以避免出现相似三角形的概念，成为旋转型全等三角形的可实施的教学内容。
于是，就可以发现只要出现两个具有公共顶点的等边三角形或等腰直角三角形（半个正方形）时，就一定得到一对旋转型全等三角形。
旋转型全等三角形应用的第一种情况是出现了由一点发出的两组交成等角的相等线段，应用的方法是将这两组相等线段两两组成旋转型全等三角形。
旋转型全等三角形应用的第二种情况是出现了两个具有公共顶点的等边三角形，应用的方法是将由这个公共顶点发出的两组相等线段（等边三角形的边）两两组成旋转型全等三角形。
旋转型全等三角形应用的第三种情况是出现了两个具有公共顶点的正方形或具有公共直角顶点的等腰直角三角形，应用的方法是将由这个公共顶点发出的两组相等线段（正方形的边）两两组成旋转型全等三角形。
例1，已知：△ABC中，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，以AC为边在△ABC 外作等边△A CE，连结BE、CD．求证：CD=BE分析：在本题的条件中，出现了两个以A为公共顶点的等边△ABD和等边△ACE，从而就必定出现一对旋转型全等三角形，根据由公共顶点A发出的两组相等线段AD、AB和AC、AE两两组成全等三角形的方法，可找到这一对全等三角形应是△ADC和△ABE，全等的条件是AD=AB，AC=AE，它们的夹角∠DAC 和∠BAE都等于旋转角60°加上公共部分∠BAC，因此CD=BE就可以证明。
例2，已知：△ABC中，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，以AC为边在△ABC外作等边△ACE，CD、BE相交于F，连结AF．求证：AF平分∠DFE分析1：本题的条件中，出现了两个以A为公共顶点的等边△ABD和等边△ACE，从而就必定出现一对旋转型全等三角形，根据由公共顶点A发出的两组相等线段AD、AB和AC、AE两两组成全等三角形的方法，就可找到这对全等三角形应是△ADC和△ABE，全等的条件是AD=AB，AC=AE，它们的夹角∠DAC 和∠BAE都等于旋转角60°加上公共部分∠BAC，在证明了△ADC和△ABE是一对旋转型全等三角形以后，由于在旋转型全等三角形的基本图形中，必定同时出现两个圆内接四边形，所以就可由△ADC≌△ABE，推得∠ADF=∠ABF，从而又可进一步推得A、D、B、F四点共圆，就可得∠AFD=∠ABD=60°，而由B、F、E成一直线，又可证得∠AFE=∠ADB=60°，所以结论可以证明。
分析2：由于许多学校在进行全等三角形的教学时，尚未进行圆周角和圆内接四边形的教学，有关圆内接四边形额基本图形的性质还不能用，所以就要讨论其它的可能性。
本题在证明了△ADC和△ABE是一对旋转型全等三角形以后，由于结论中出现的AF可以看作是△ADC中的一条线段，所以当△ADC绕点A旋转60°到达△ABE的位置时，AF也应随△ADC的旋转而绕点A旋转60°到达△ABE中的对应位置，如果F点落到了G点上，则必有BG=DF，所以应在BE上截取BG=DF，并连结AG，那就可得△ADF和△ABG也是一对旋转型全等三角形，全等的条件是AD=AB，∠ADF=∠ABG和DF=BG，就可得∠AFD=∠AGB，AF=AG，而这是两条具有公共端点的相等线段，它们可以组成一个等腰三角形，应用等腰三角形的性质，又可得∠AFG=∠AGB，从而也就可以证明∠AFD=∠AFG。
由于△ADF和△ABG也是一对旋转角为60°的旋转型全等三角形，所以可证明△AFG也是一个等边三角形，而且也是以A为公共顶点，所以每两个等边三角形就可以组成一对旋转型全等三角形，这样图形中出现的旋转型全等三角形就有三对，根据同样的方法可以找到第三对旋转型全等三角形是△AFC和△AGE，所以FC=GE，从而可进一步证明FA+FB+FC=BE，则可用同样的方法找到另外两对旋转型全等三角形，从而可证明CD=BE=AF，且可证明它们交于一点G，这是一个非常重要的点，过这个点的三条连线将一个周角分成6个相等的角，也就是60°角，同时，这个点有一个重要性质就是它到三个顶点的距离和，即GA+GB+GC=BE是两个确定点之间的一条线段，所以它是三角形内到三角形的三个顶点的距离和为最小的点，也就是在△ABC内任取一点P，有GA+GB+GC≤PA+PB+PC，等号在P点与G点重合时成立。
由于GA+GB+GC=BE，所以问题就是要证BE≤PA+PB+PC，由于GA、GB、GC依次接起来等于BE，所以PA、PB、PC也要依次接起来，而要证BE≤PA+PB+PC，所以接起来的结果必定是过B、E两点的一条折线，由于在将GA接到GB上时，是应用了一个等边△AGH接过去的，所以在一般的位置上也应用同样的方法接过去，也就是以PA为边作等边△APQ，但这个等边三角形一作出，就出现了等边△APQ和等边△ACE是两个以A为公共顶点的等边三角形，从而就必定出现一对旋转型全等三角形，根据由公共顶点A发出的两组相等线段AP、AQ和AC、AE两两组成全等三角形的方法，就可找到这对全等三角形应是△APC和△AQE，全等的条件是AP=AQ，AC=AE，它们的夹角∠PAC和∠QAE都等于旋转角60°减去公共部分∠QAC，所以PC=QE，因为BE≤BP+PQ+QE=PA+PB+PC，所以分析可以完成。
例3，已知：C是AB上的一点，以AC为边作等边△ACD，以BC为边向AD所在的一侧作等边△BCE，AE、CD相交于F，BD、CE相交于G．求证：CF=CG分析1：本题条件中给出△ACD、△BCE都是等边三角形，且它们具有公共顶点C，所以想到要应用旋转型全等三角形进行证明，根据由公共顶点C发出的两组相等线段是CA、CD和CE、CB两两组成的全等三角形的方法，就可找到这对全等三角形应是△ACE和△DCB，全等的条件是CA=CD，CE=CB，它们的夹角都等于旋转角60°加上公共部分∠ACE（也是60°），也就是都等于120°，在证明了△ACE和△DCB全等以后，就可得∠EAC=∠BDC，由于本题要证的结论是CF=CG，这也是两条具有公共端点相等线段，所以可组成一个等腰三角形，又因为A、C、B成一直线，从而又可得∠DCE=60°，所以△CFG不仅是等腰三角形，而且是一个等边三角形（这个等边三角形尚未出现，但在分析中可以想到），而这个等边三角形与等边△ACD或等边△BCE又都有一个公共顶点C，从而又可分别出现一对旋转型全等三角形，如果由公共顶点C发出的两组相等线段选取CA、CD和CF、CG，则这对全等三角形就是△ACF和△DCG，在讨论全等条件时，CF和CG相等是结论，不能用，这样就可以取AC=DC，∠ACF=∠DCG=60°，还需要的一个条件就可以取由△ACE≌△DCB后得到的∠CAF=∠CDG，所以结论就可以证明。
如果由公共顶点C发出的两组相等线段选取CE、CB和CF、CG，则全等三角形就是△ECF和△BCG，也可用类似的方法完成分析。
分析2：本题要证明CF=CG，而由条件△ACD和△BCE都是等边三角形，所以∠ACD=∠ABE=60°，由于这两个角是CD、BE被AB所截得到的一组同位角，所以可应用与同位角有关的平行线的基本图形的性质进行证明，也就可得CD∥BE，这样结论中出现的线段CF 就成为△ABE内一条边BE的平行线段，所以就可以应用由三角形内一条边的平行线段得到的平行线型相似三角形进行证明，于是，由CF∥BE，可得△ACF∽△ABE，CF/BE=AC/AB，CF=(AC•BE)/AB=(AC•BE)/(AC+BC)，又因为BE=BC，所以CF=(AC•BC)/(AC+BC)，根据同样的道理还可得△BCG∽△BAD，CG/AD=BC/AB，也可证得CF=(AC•BC)/(AC+BC)，从而也可以完成分析。
例4，已知：菱形ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别是BC、CD边上的动点，∠AEF=60°，求证：AB=CE+CF分析1：本题要证明AB=CE+CF，就是要证明CD=CE+CF，也就是要证明DF=CE，由于已知四边形ABCD是菱形，就可以转化为三角形的问题进行讨论，转化的方法是添加对角线，于是联结AC，就可得△ACD是一个等边三角形，由条件∠AEF=60°，观察图形，可以发现△EAF也是一个等边三角形（当然这还是一个要证明的结论），这样就出现了两个以A为公共顶点的等边三角形，所以一定得到一对旋转型全等三角形，找这对全等三角形的方法是：将由公共顶点A发出的两组相等线段AE、AF；AC、AD两两组成全等三角形，所以联结AF，就可以找到这对全等三角形应是△AEC和△AFD，全等的条件是AC=AD，∠ACE=∠ADF=60°, 所以还要证明一个性质，由于CE=DF是要证明的结论，不能用，证明AE=AF，即使证了也不能证明这两个三角形全等，所以第三个条件只能是证明对应角相等，由于一对旋转型全等三角形，必定同时出现一对相似的等腰三角形和两个圆内接四边形，所以由条件∠AEF=60°和∠ACD=60°,就可得A、E、C、F四点共圆，再由C、F、D成一直线，就可推得∠AEC=∠AFD，也就可以完成分析。
