第三章 数据的集中趋势和离散程度小结与思考

数据的中心趋势和离散程度数据分析是现代社会中不可或缺的一部分，它帮助我们理解和解释各种现象。

在数据分析中，了解数据的中心趋势和离散程度是非常重要的。

本文将介绍数据的中心趋势和离散程度的概念，并提供几种用于测量的方法。

一、中心趋势中心趋势是一组数据集中的一个值，它代表了数据的平均水平或核心位置。

最常用的中心趋势度量是算术平均数或平均值。

平均数被定义为一组数值之和除以该组数值的数量。

例如，给定一组数值：2, 4, 6, 8, 10，它们的平均数为6。

另一个常用的中心趋势度量是中位数。

中位数是将一组数据按照大小顺序排列后，位于中间位置的值。

如果数据集中有偶数个数值，则中位数为中间两个数值的平均值。

例如，给定一组数值：2, 4, 6, 8，它们的中位数为5。

除了平均数和中位数，还有一种用于测量中心趋势的度量是众数。

众数是数据集中出现频率最高的数字。

如果数据集中存在多个众数，则称为多峰分布。

例如，给定一组数值：2, 2, 4, 6, 8，它们的众数为2。

二、离散程度离散程度描述了数据集中数值的分散程度或散布范围。

如果数据集中的数值都非常接近，那么离散程度很小；如果数值相差很大，那么离散程度很大。

最常用的离散程度度量是方差和标准差。

方差是每个数值与平均数之差的平方的平均值。

标准差是方差的平方根。

方差和标准差越大，表示数据集的离散程度越大。

例如，给定一组数值：2, 4, 6, 8, 10，它们的方差为8，标准差为2.83。

这意味着这组数据的离散程度相对较小。

而如果给定一组数值：2, 2, 4, 6, 20，它们的方差为56，标准差为7.48。

这组数据的离散程度较大。

除了方差和标准差，还有其他一些度量离散程度的方法，例如范围和百分位数。

范围是数据集的最大值和最小值之间的差值。

百分位数是将数据集按大小顺序排列后，某个百分比处的数值。

例如，第75百分位数是将数据集分为四个相等的部分后，处于第三个部分的数值。

总结：在数据分析中，了解数据的中心趋势和离散程度是非常重要的。

《数据的分析》小结（二）教学设计一、教学设计思想通过学生的合作交流总结出本节的知识结构，针对本章的主要内容，设计一组思考题，让学生在独立思考的基础上分组讨论交流，并用自己的语言来表达对问题的理解，以达到梳理知识，理解统计的思想和方法，增强统计意识的目的。

最后通过练习巩固本章的知识点。

二、教学目标知识技能：回顾本章主要内容，说出知识之间的联系；说出各统计量在刻画数据特征方面的优点与局限。

会用计算器计算统计量；发展归纳与概括的能力。

体验数据收集、处理、分析和推断过程，理解抽样方法，体验用样本估计总体的过程数学思考：经历总结与反思的过程，结合具体问题情境表述各统计量的意义，进一步发展建立数据分析观念。

问题解决：初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。

归纳解决实际问题的一般过程积累数学活动的经验。

情感态度：进一步感受知识点之间的联系，感受知识来源于生活又应用于生活。

敢于发表自己的想法、勇于质疑，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成实事求是的科学态度。

三、教学重点和难点重点是分析数据的集中趋势和波动程度，体会样本估计总体的思想。

难点是能灵活运用本章知识点解题。

解决办法：通过阶梯式问题引导学生复习主要知识点，通过练习来巩固这些知识。

四、教学方法讨论法，在总结讨论的基础上，使学生掌握本章的内容。

五、课时安排1课时六、教具学具准备多媒体七、教学过程设计（一）情景导入:教师讲：用《啤酒与尿布》这一成功利用数据分析的经典营销案例，导入新课（教师板书课题）。

学生回顾在《数据的分析》里主要学习了哪些统计量？如何计算？有何异同？（二）问题（教师出示问题并板书；学生细心计算，并说说各统计量的计算方法：）数据2，1，2，4，2，1的平均数是______，中位数是_______，众数是_______，方差是_______.（1）加权平均数：（先让学生举几个生活中的例子，后教师出示案例，学生可分组讨论后交流）：《招工启事》因我公司扩大规模，现需招若干名员工。

第三章 数据的集中趋势与离散程度-----第01课时课题：3.1平均数（1） 目标：1、了解平均数的意义，会计算一组数据的算术平均数，并会用频数计算平均数和选取适当基数计算平均数。

2、在求实际问题的平均数的过程中，体会简化平均数算法的必要性，能灵活地用3种方法求平均数。

3、感受数学来源于实践，又为实践服务这一过程，体验转化的数学思想，养成用数学的良好意识。

重点：计算一组数据的平均数 教学过程：一、基础训练1、数据17，19，16，21，19，22的平均数是＿＿＿＿＿；2、数据2、3、x 、4的平均数是3，则x=________；3、5个数的平均数是14，3个数的平均数是6，则这8个数的平均数是＿＿＿＿＿；4、若两组数x 1，x 2，…，x n 和y 1，y 2，…，y n 的平均数分别为x 和y ，则x 1＋y 1，x 2＋y 2，…，x n ＋y n 的平均数是_________；5、一场突如其来的地震给玉树带来了巨大的灾难！ “一方有难，八方支援”，某校则全班平均捐款为________元；6、强烈某食品厂为加强质量管理，对某天生产的罐头抽查了10个，样本，净重如下（单位：克）342，348，346，340，344，341，343，350，340，342 求样本的平均数。

7、某班有50名学生，数学期中考试成绩90分有9人，84分的有12人，73分的有10人，65分有13人，56分有2人，45分有4人，计算这个班学生的数学期中考试平均成绩（保留到小数点后第一位）161cm ，B 组同学的平均身高约为163cm ，小明一定比小丽矮吗？（二）引入新课，梳理知识题1、2、3、4引入平均数的定义及直接算法，题5、6引入平均数的简便运算，题7是平均数的简单运用，体现平均数的实际意义。

通过学生对问题的回答与板演，教师适时点评、质疑、讨论、归纳，穿插引入新课： 1、平均数的概念和计算方法通常，我们用平均数表示一组数据的“平均水平”，即：这组数据都“接近”这个数。

数据的集中趋势和离散程度内容解读作者：何春华来源：《初中生世界·九年级》2015年第10期数据的集中趋势和离散程度包括两方面内容，一是表示一组数据集中趋势的统计量，有平均数、中位数和众数；二是表示一组数据离散程度（刻画数据的波动大小）的统计量，有极差和方差，今天何老师就带领大家一起走进数据的世界，正确认识“三数”和“两差”.一、平均数1. 算术平均数：数据x1，x2，x3，…，xn的算术平均数为=（x1+x2+…+xn），这是最简单的平均数，平均数反映的是一组数据中各个数据的平均水平，它与这组数据中的每个数据都有关系.例1 （2014·江苏盐城）数据-1，0，1，2，3的平均数是（）.A. -1B. 0C. 1D. 5【解析】直接利用算术平均数公式求解，得=1，故选C.2. 加权平均数：一般地，如果一组数据中共有n个不同的值，记它们分别为x1，x2，…，xn，并且x1有w1个，x2有w2个，……，xn有wn个，则w1，w2，…，wn分别叫作x1，x2，…，xn的权，数值=叫作这n个数值的加权平均数.例2 （2015·浙江湖州）在“争创美丽校园，争做文明学生”示范评比活动中，10位评委给某校的评分情况如下表所示：则这10位评委评分的平均数是_______分.【解析】由于本题中这10位评委给某校的评分情况的“权重”不同，因此本题需用加权平均数公式计算.这10位评委评分的平均数是=89（分）.【点评】算术平均数是加权平均数的特例，加权平均数实质上就是考虑不同权重问题的平均数，当加权平均数中各项的权相等时，就变成了算术平均数.二、中位数把n个数据从小到大排列，相同的数重复进行排列.当n是奇数时，处于正中间位置的数叫作这n个数的中位数；当n是偶数时，处于中间位置的两个数的平均数叫作这n个数的中位数.中位数体现了一组数据中间位置的数据水平，它反映了具有不确定性的研究对象在中等状态下的水平.例3 （2015·山东东营）在一次数学测验中，随机抽取了10份试卷，其成绩如下：85，81，89，81，72，82，77，81，79，83. 则这组数据的中位数为_______.【解析】将这组数据从小到大排列为：72，77，79，81，81，81，82，83，85，89，处于中间位置的第5、6个数据的平均数就是这组数据的中位数，即×（81+81）=81.【点评】由于一组数据的中位数与最大和最小的数据无关，因此，确定一组数据的中位数只需将这组数据从小到大排列（即使相等的数也要全部参加排序），然后根据数据个数的奇偶性确定中位数的值.三、众数一组数据中出现的次数最多的数，叫作这组数据的众数. 众数表现了一组数据的热点，当一组数据中有较多的重复数据时，常用众数来描述这组数据的集中趋势.例4 （2015·江苏扬州）小亮上周每天的睡眠时间为（单位：小时）：8，9，10，7，10，9，9.这组数据的众数是_______.【解析】∵数据中9出现的次数最多，∴这组数据的众数是9.【点评】众数是一组数据“多数水平”的重要数据代表，一组数据的众数有时不止一个，若几个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，则这几个数据都是这组数据的众数.四、极差与方差1. 极差一组数据中最大值与最小值的差叫作极差，它反映了一组数据的变化范围.例5 （2014·四川凉山）某班数学学习小组某次测验成绩（单位：分）如下：63，72，70，49，66，81，53，92，69，则这组数据的极差是（）.A. 47B. 43C. 34D. 29【解析】这班数学学习小组某次检测成绩数据中，最大值是92，最小值是49，所以这组数据的极差是92-49=43.故选B.【点评】极差只跟一组数据中的两个极端数据（最大值、最小值）有关，跟其他数据无关，因此极差只能粗略地反映数据的离散程度.2. 方差为了精确地反映一组数据的离散程度，我们把一组数据中的全部n个数据x1，x2，…，xn的平均数作为基准，计算各数据与的差的平方，这些平方的平均数s2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]就叫作这组数据的方差. 方差可以从整体上反映数据偏离平均数的程度，所以它成了反映研究对象离散程度的数值.例6 （2015·山东莱芜）有一组数据如下：2，3，a，5，6，它们的平均数是4，则这组数据的方差是_______.【解析】数据2，3，a，5，6的平均数是4，所以2+3+a+5+6=20，解得a=4，因此这组数据的方差s2=[（2-4）2+（3-4）2+（4-4）2+（5-4）2+（6-4）2]=2.【点评】计算方差的步骤是先计算该组数据的平均数，然后代入方差公式进行计算.例7 （2015·江苏连云港）某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，选拔赛中每名学生的平均成绩及其方差s2如表所示，如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是（）.A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【解析】从表格中可知乙、丙的平均成绩要比甲、丁高，而乙的方差比丙小，说明乙的成绩比较稳定，所以应选择学生乙，故选B.【点评】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.最后，同学们在学习这部分知识时应注意结合一些具体事例去理解它们，要逐步体会这些知识在实际生活中的应用，而不是仅仅关注一些具体的计算.（作者单位：江苏省海门市实验学校初中部）。

数据的集中趋势和离散程度【知识点1】正确理解平均数、众数和中位数的概念一、平均数：平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势．平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化．例1：有四个数每次取三个数,算出它们的平均数再加上另一个数,用这种方法计算了四次,分别得到以下四个数:86, 92, 100, 106, 那么原4个数的平均数是________ .例2：有几位同学参加语文考试,赵峰的得分如果再提高13分,他们的平均分就达到90分,如果赵峰的得分降低5分,他们的平均分就只得87分,那么这些同学共有________人.例3：有5个数,其平均数为138,按从小到大排列,从小端开始前3个数的平均数为127,从大端开始顺次取出3个数,其平均数为148,则第三个数是_______ .例4：某5个数的平均值为60,若把其中一个数改为80,平均值为70,这个数是________ .例5：A、B、C、D四个数,每次去掉一个数,将其余下的三个数求平均数,这样计算了4次,得到下面4个数.23, 26, 30, 33 A、B、C、D 4个数的平均数是多少例6：有5个抽屉，分别有图书33本、42本、20本、53本和32本，平均每个抽屉里有图书多少本？例7：小明参加了四次数学测验，平均成绩是88分，他想再通过一次数学测验将五次的平均成绩提高到最少90分，那么在下次测验中，至少要得多少分？例8：四个数的平均值是30，若把其中一个改为50，平均值就变为40，这个数原来是多少？例9：有甲、乙、丙三个数，甲数和乙数的平均数是42，甲数和丙数的平均数是46，乙数和丙数的平均数是47，求甲、乙、丙三个数各是多少？例10：某人沿一条长为12千米的路上山，又从原路返回，上山的速度是2千米/小时，下山的速度是6千米/小时。

那么，他在上山和下山的全过程当中的平均速度是多少千米每小时？例11：若不选择教材中的引入问题，也可以替换成更贴近学生学习生活中的实例，下举一例可供借鉴参考。

2023-2024学年苏科版数学九年级上册章节知识讲练知识点01：平均数一般地，如果有n 个数，那么=12+nx x x n++…叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数.“”读作“x 拔”.通常，平均数可以用来表示一组数据的“集中趋势”.细节剖析：平均数的大小与一组数据里的 有关系，其中任一数据的变动都会引起 的变动，所以平均数容易受到 的影响.一组数据的平均数，不仅与这组数据中 的值有关，而且与各个数据的 叫做权.按照这种方法求出的平均数，叫做 .加权平均数的计算公式为：若数据出现次，出现次，出现次……出现次，这12n x ,x ,x ,…x x 1x 1f 2x 2f 3x 3f k x k f组数据的平均数为，则 （其中n=+++…+） “权”越大，对平均数的影响就 .加权平均数的分母恰好为细节剖析：（1）越大，表示的个数越多，“权”就越重，也就越 .（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的知识点02：众数和中位数叫做这组数据的众数.当一组数据中有较多的重复数据时，常用众数来描述细节剖析：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能 （2）众数是一组数据中 据而不是一般地，将一组数据按 排列，如果数据的个数是奇数，那么处于 叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于 叫做这组数据的中位数.当一组数据中 ，通常用中位数来描述这组数据的集中趋势.细节剖析：（1）一组数据的中位数是 的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据知识点03：平均数、中位数与众数的联系与区别联系：平均数、中位数和众数都反映了区别：平均数容易受 的影响；中位数与 有关，个别数据的波动对 没影响；众数主要研究各 ，当一组数据中 出现时，可用众数来描述.在一组存在极端值的数据中，用 作为表示这组数据特征的统计量有时会更贴近实际.x 1f 2f 3f k f k f k x一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•新吴区二模）已知一组数据：2019、2021、2023、2023、2024这组数据的中位数和众数分别是（）A．2022、2023 B．2022、2022 C．2023、2022 D．2023、20232．（2分）（2023•锡山区校级三模）为深入实施《全民科学素质行动规划纲要（2022﹣2035年）》，某校举行了科学素质知识竞赛，进入决赛的学生共有10名，他们的决赛成绩如表所示：则这10名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（）决赛成绩/分100 95 90 85人数/名 1 4 2 3A．92.5，95 B．95，95 C．92.5，93 D．92.5，1003．（2分）（2023•泗洪县二模）已知一组数据：6，3，8，x，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是（）A．6 B．2 C．8 D．74．（2分）（2022秋•太仓市期末）在对某样本进行方差计算时，所用公式为：，则该样本容量为（）A．7 B．14 C．10 D．175．（2分）（2023•秦淮区二模）甲、乙两名同学5次数学成绩如图，他们成绩的方差和的大小关系是（）A．B．C．D．无法确定6．（2分）（2023•淮安区校级二模）超市里五种型号的书包价格分别为50，60，80，90，110（单位：元），降价促销后，每种型号书包价格都降了10元．降价前的五个数据与降价后的五个数据相比，不变的是（）A．众数B．中位数C．方差D．平均数7．（2分）（2023•邗江区二模）众志成城，抗击疫情，救助重灾区．某校某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：100，45，100，40，100，60，155．下面有四个推断：①这7名同学所捐的零花钱的平均数是150；②这7名同学所捐的零花钱的中位数是100；③这7名同学所捐的零花钱的众数是100；④由这7名同学所捐的零花钱的中位数是100，可以推断该校全体同学所捐的零花钱的中位数也一定是100．所有合理推断的序号是（）A．①③B．②③C．②④D．②③④8．（2分）（2023•兴化市一模）第1组数据为：0、0、0、1、1、1，第2组数据为：、，其中m、n是正整数下列结论：①当m＝n时，两组数据的平均数相等；②当m＞n时，第1组数据的平均数小于第2组数据的平均数；③当m＜n时，第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数；④当m＝n 时，第2组数据的方差小于第1组数据的方差．其中正确的是（）A．①②B．①③C．①④D．③④9．（2分）（2023•东海县一模）某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝41．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（）A．平均分不变，方差变大B．平均分不变，方差变小C．平均分和方差都不变D．平均分和方差都改变10．（2分）（2022秋•亭湖区期末）随着网络的发展，在节日期间长辈们往往用抢微信红包的形式发放红包，下表是某班同学们在春节期间所抢的红包金额进行统计的结果表：金额（元）20 30 50 100 200a人数（人） 5 16 10 6 5根据表中提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是（）A．16元，50元B．30元，30元C．30元，40元D．30元，50元二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•工业园区校级模拟）某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳．考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟）：247，253，247，255，263．这五次成绩的中位数是．12．（2分）（2023•宝应县校级三模）小王统计了一周家庭用水量，绘制了如图的统计图，那么这周用水量的众数是．13．（2分）（2023•宿城区校级模拟）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差S2（单位：环 2）如下表所示．根据表中的数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择．甲乙丙丁8 9 9 9s2 314．（2分）（2023•雨花台区校级模拟）上表是某少年足球俱乐部学员的年龄分布，其中一个数据被遮盖了．若这组数据的中位数为13.5岁，则这个俱乐部共有学员人．15．（2分）（2023•邗江区校级模拟）小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣4，9，﹣5，记这组新数据的方差为，则（填“＞”，“＝”或”＜”）16．（2分）（2023•海陵区校级模拟）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力和态度三个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如右表：项目应聘者甲乙丙学历9 8 8能力7 6 8态度 5 8 5公司将学历、能力、态度按20%、m%、n%（n＞20）的比例确定每个人的最终得分，并以此为依据最终丙被录取，则m的取值范围是．17．（2分）（2023•清江浦区校级三模）小云统计了一周家庭用水量，绘制了如图的统计图，那么这周用水量的中位数是．18．（2分）（2023•广陵区校级四模）在对某样本进行方差计算时，计算的公式是：，该样本的样本容量是．19．（2分）（2022•扬州模拟）某次数学测试，某班一个学习小组的六位同学的成绩如下：84、75、75、92、86、99，则这六位同学成绩的中位数是．20．（2分）（2022秋•玄武区期中）超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：测试项目创新能力综合知识语言表达测试成绩（分70 80 90数）将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是分．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•亭湖区校级期末）某校举行了“珍爱生命，预防溺水”主题知识竞赛活动，八（1）、八（2）班各选取五名选手参赛．两班参赛选手成绩依次如下：（单位：分）八（1）班：8，8，7，8，9八（2）班：5，9，7，10，9学校根据两班的成绩绘制了如下不完整的统计表：班级平均数众数中位数八（1）8 b c八（2）a9 9根据以上信息，请解答下面的问题：（1）填空：a＝，b＝，c＝．（2）已知八（1）班比赛成绩的方差是0.4，请你计算八（2）班比赛成绩的方差，并从方差的角度分析哪个班级成绩更稳定．22．（6分）（2023•广陵区校级模拟）气象学上，将某一天及其前后各两天的“日平均气温”的平均数称为“5天滑动平均气温”，由这两种数值可以确定“入夏日”．例如：2021年泰州市从5月8日起，“5天滑动平均气温”首次连续5天大于或等于22℃，其中5月7日的日平均气温是这5天中第一个大于或等于22℃的，则5月7日便是2021年泰州市的“入夏日”．已知我市2022年“入夏日”为图中的某一天，请根据统计图回答问题：（1）求2022年5月27日及其前后各两天的“5天滑动平均气温”；（2）请判断2022年的“入夏日”；（3）某媒体报道：“夏天姗姗来迟，泰州2022年的春天比去年长．”你认为这样的说法正确吗？为什么？（泰州市2021年、2022年的入春时间分别是2月1日和2月27日）23．（8分）（2023•东海县二模）某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查，并将调查问卷和结果描述如表：调查问卷（部分）1．你每周参加家庭劳动时间大约是_____h．如果你每周参加家庭劳动时间不足2h，请回答第2个问题；2．影响你每周参加家庭劳动的主要原因是_____（单选）．A．没时间；B．家长不舍得；C．不喜欢；D．其它中小学生每周参加家庭劳动时间x（h）分为5组：第一组（0≤x＜0.5），第二组（0.5≤x＜1），第三组（1≤x＜1.5），第四组（1.5≤x＜2），第五组（x≥2）．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在第组；（直接写出答案）（2）在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数是；（直接写出答案）（3）该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于2h，请结合上述统计图．对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出一条合理化建议．24．（8分）（2023•南京三模）对小明家去年8月份至今年4月份的月用水量以及当地这9个月的月平均气温进行了统计，得到如所示的统计图表．小明家去年8月份至今年4月份的月用水量统计表月份用水量（吨）8 329 3010 1811 1012 81 52 83 114 13（1）求小明家去年8月份至今年4月份的月平均用水量；（2）据有关部门预计，今年5月份当地平均气温为16℃结合相关信息，估计今年5月份小明家的月用水量，并从两个不同角度说明理由．25．（8分）（2023•启东市二模）某校举行“疫情防控”知识问答竞赛，每班选20名同学参加比赛，根数据答对的题目数量，得分等级分为5分，4分，3分，2分，学校将八年级甲班和乙班的成绩整理并绘制成统计图．（1）请把甲班知识问答成绩统计图补充完整；（2）通过统计得到如表，请求出表中数据a，b的值：a＝，b＝；班级平均数（分）中位数（分）众数（分）甲班a 4 4乙班b（3）根据（2）的结果，你认为甲，乙两班哪个班级成绩更好？写出你的理由．26．（8分）（2023•亭湖区校级三模）为深入学习贯彻党的二十大精神，某校开展了以“学习二十大，永远跟党走，奋进新征程”为主题的知识竞赛．为了解竞赛成绩，抽样调查了八、九年级部分学生的分数，过程如下：收集数据：从该校八、九年级学生中各随机抽取20名学生的分数，其中九年级的分数如下：81 83 84 8586 87 87 88 89 90 92 92 93 95 95 95 99 99 100 100整理、分析数据如下表：分数x80⩽x＜85 85⩽x＜90 90⩽x＜95 95⩽x⩽100 八年级人数 4 6 2 8九年级人数 3 a 4 7年级平均数中位数众数方差八年级91 89 97九年级91 b c根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）样本数据中，八年级甲同学和九年级乙同学的分数都为90分，哪位同学的分数在本年级抽取的分数中从高到低排序更靠前？哪个年级分数较整齐？（说明理由）（3）如果八年级共有400人参赛，求该年级分数不低于95分的学生约有多少人．27．（8分）（2023•海门市二模）气象学上，将某一天及其前后各两天的“日平均气温”的平均数称为“5天滑动平均气温”，由这两种数值可以确定“入夏日”．例如：2021年某地区从5月27日起，“5天滑动平均气温”首次连续5天大于或等于22℃，其中5月26日的“日平均气温”是月27日及其前后各两天中第一个大于或等于22℃的，则5月26日便是2021年该地区的“入夏日”．已知该地区2022年“入夏日”为图中的某一天，请根据统计图回答问题：（1）求2022年5月27日的“5天滑动平均气温”；（2）直接写出2022年的“入夏日”；（3）某人说：“该地区2022年的春天比2021年长．”你认为这样的说法正确吗？为什么？（该地区2021年、2022年的入春日分别是3月23日和3月8日）28．（8分）（2022秋•广陵区校级期末）为了巩固我县创建“省级卫生城市”成果，某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A、B、C、D四个等级，对应的分数依次为100分、90分、80分、70分．学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制如图的统计图：（1）把这一班竞赛成绩统计图补充完整；（2）根据下表填空：a＝；b＝；c＝；平均数（分）中位数（分）众数（分）一班a b90二班80 c（3）请从平均数和中位数或众数中任选两个对这次竞赛成绩的结果进行分析．。

知识点数据的中心趋势与离散程度在数据分析中，了解和解释数据的中心趋势和离散程度是非常重要的。

知识点数据的中心趋势和离散程度是指用来表示一组数据的平均值、中位数和众数等统计指标，以及表达数据分布的方差和标准差等指标。

通过对数据的中心趋势和离散程度的分析，可以更好地理解数据的特点和规律。

一、数据的中心趋势数据的中心趋势是用来描述数据集中值的指标。

常见的中心趋势有平均数、中位数和众数。

1. 平均数（Mean）平均数是指将所有数据求和后除以数据的个数，它代表了数据的均衡状态。

平均数是表征数据总体的重要指标，但受离群值的影响较大，因此在某些情况下需要谨慎使用。

2. 中位数（Median）中位数是将一组数据按照从小到大的顺序排列后，位于中间位置的值，它不受极端值的影响，更能反映数据的中心趋势。

如果数据个数为奇数，则中位数正好是中间的那个值；如果数据个数为偶数，则中位数是中间两个值的平均数。

3. 众数（Mode）众数是指在一组数据中出现次数最多的数值，它可以反映数据的重复程度。

一个数据集可以有一个或多个众数，甚至可以没有众数。

二、数据的离散程度数据的离散程度是用来描述数据分布的指标。

常见的离散程度有极差、方差和标准差。

1. 极差（Range）极差是一组数据的最大值与最小值之差，它可以反映数据的变化范围。

然而，极差只考虑了两个极端值，没有考虑整个数据集的分布情况，因此它的描述能力较弱。

2. 方差（Variance）方差是数据与其平均数之间差异的平方和的平均数，它衡量了数据与平均数的偏离程度。

方差越大，表示数据分布的离散程度越高；方差越小，则表示数据分布越集中。

3. 标准差（Standard Deviation）标准差是方差的非负平方根，它与方差具有相同的度量单位，但更易于理解和解释。

标准差是用来描述数据集中个体差异的指标，标准差越大，表示个体差异越大，离散程度越高。

总结而言，数据的中心趋势和离散程度是用来描述和分析数据的基本统计特征的指标。

数据的集中趋势和离散程度知识点文章一：《啥是数据的集中趋势？》朋友们，咱今天来聊聊数据的集中趋势。

比如说，咱班这次考试的成绩。

要是大部分同学都考了 80 分左右，那 80 分就可能是这个成绩数据的集中趋势。

再比如，咱去菜市场买菜。

一堆苹果，大多数都在半斤左右，那半斤就是这堆苹果重量数据的集中趋势。

像平均数、中位数和众数，都是能帮咱找到数据集中趋势的好帮手。

就拿平均数来说，一家人一个月的水电费，把所有费用加起来除以天数，得到的那个数就是平均数，能大概反映出这家人每天用水电的平均情况。

数据的集中趋势能让咱一下子就明白一堆数据的中心在哪儿，是不是挺有用？文章二：《走进数据的集中趋势》亲爱的小伙伴们，今天咱们来探索一下数据的集中趋势。

想象一下，学校运动会上，大家跑步的时间。

如果很多同学都在2 分钟左右跑完，那 2 分钟差不多就是跑步时间这个数据的集中趋势啦。

还有，大家一起收集树叶，看看树叶的大小。

要是多数树叶的面积都差不多，那这个差不多的大小就是树叶面积数据的集中趋势。

咱举个例子哈，一个班级同学的身高，把所有人的身高加起来除以人数，得到的那个数就是平均身高。

这个平均身高就能让咱知道这个班同学大概的身高水平。

再比如说，一组数字 3、5、5、7、8，这里面 5 出现的次数最多，那 5 就是众数，也是这组数据的集中趋势之一。

所以说，了解数据的集中趋势能帮咱快速抓住重点，是不是很有意思？文章三：《数据的集中趋势，你懂了吗？》朋友们好呀！今天咱们要说的数据的集中趋势，其实不难理解。

比如说，咱们去超市买零食，看各种零食的价格。

要是大部分零食都在 5 块钱左右，那 5 块钱就是这些价格数据的集中趋势。

再比如，咱们统计一个月里每天的气温。

如果有好多天的气温都在 25 度上下，那 25 度就可能是这个气温数据的集中趋势。

就拿咱班同学的零花钱来说吧，把大家的零花钱都加起来，再除以人数，算出来的那个数就是平均零花钱。

通过这个平均零花钱，咱能大概知道同学们零花钱的一般情况。

第三章 数据的集中趋势和离散程度小结与思考一、基础知识：1、平均数：如果有n 个数x 1,x 2,…,x n，那么：=x 叫做这n 个数的 ，简称为 .2、中位数: 一般地,将一组数据按 顺序排列,如果数据的个数是奇数,那么处于 位置的数叫做这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,那么处于 位置的 数的 叫做这组数据的中位数.3、众数：一组数据中出现次数最 的数据叫做这组数据的众数。

4、方差：用一组数据x 1,x 2,…,x n 与它们的平均数x 差的平方的平均数，即s =2 叫做这组数据的方差。

5、极差：一组数据的最 数与最 数的差叫做这组数据的极差。

二、经典例题：例1、在“感恩一日捐”捐赠活动中，某班40位同学捐款金额统计如下，则在这次活动中，该班同学捐款金额的平均数是 元．金额（元） 20 30 36 50 100 学生数（人） 3 7 5 15 10例2、某户家庭今年1－5月的用电量分别是：72，66，52，58，68，这组数据的中位数是（ )A ．52B ．58C ．66D ．68例3、某校六个绿化小组一天植树的棵数如下：10 , 11 , 12 , 13 ,9 , x ．若这组数据的平均数是11，则这组数据的众数是 。

例4、为了筹备班级初中毕业联欢会，班长对全班同学爱吃哪几种水果作了民意调查，那么最终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是（ ）A 、平均数B 、加权平均数C 、中位数D 、众数例5、小明和小刚两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如下表所示，谁的成绩比较稳定？为什么？测试次数 1 2 3 4 5 小明 13 14 13 12 13 小刚 1013161412nx x x n+⋯++21三、巩固练习：1、体育课上测量立定跳远，其中一组六个人的成绩（单位：米）分别是：1.0，1.3，2.2，2.0，1.8，1.6，则这组数据的中位数是 。

2、在50，20，50，30，50，25，35这组数据中，众数和中位数分别是（ ）A ．50，20B ．50，30C ．50，35D ．35，50 3、数据－2，－2，2，2 的中位数及方差分别是（ ）A.－2，－2B.2，2C.0，2D.0，44、已知一组数据为2、0、-1、3、-4，则这组数据的方差为 。

数据的集中趋势和离散程度作者：***来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2020年第06期客觀事物带有各种信息，这些信息的表现形式和载体叫作数据.例如，测量温度、湿度、气压、风力、风向等所产生的各种记录，都是研究气象问题离不开的数据，统计过程主要分为三步：第一步是收集数据;第二步是整理数据，即对收集的原始数据进行整理、加工，从中提取出数据的代表;第三步是分析数据，即通过数据的代表研究数据中蕴涵的规律，从而研究已发生的事或预测将发生的事.一、数据的集中趋势分析数据时，通常关注“一组数据围绕哪个中心数值分布”.这个问题关系到一组数据的平均水平或一般情况，对发现事物的内在规律有重要参考价值，在统计学中，把一组数据向某一中心数值靠拢的情形，称为这组数据的集中趋势，为描述数据的集中趋势，可以选择不同的数据代表.如果从数据取值大小的角度描述，可用平均数作为数据代表：如果从数据排列位置的角度描述，可用中位数作为数据代表;如果从不同数据出现次数的角度描述，可用众数作为数据代表.这三个数据代表从不同角度反映数据的集中趋势，它们各有各的作用，分别适合于不同情况的数据分析.例1 为比较A，B两个玉米品种，将它们分别种植在面积相等的多块试验田中，每块试验田只种一种玉米，下表记录了两种玉米收获后的产量分布情况.表中第一行为单块试验田产量，下面两行分别为A，B两个品种中与第一行产量对应的试验田的块数.根据表中的数据解答下列问题：（1）分别求A，B两种玉米单块试验田产量的平均数，并说明其意义;（2）分别求A.B两种玉米单块试验田产量的中位数，并说明其意义：（3）分别求A，B两种玉米单块试验田产量的众数，并说明其意义.解：（1）从表中可知.A种玉米单块试验田产量（单位：kg）为700，750，800，850，900，950的试验田块数分别为4，20，26，20，18 ，12.通过计算加权平均数，得A种玉米单块试验田产量的平均数为XA=832 kg.同理，B种玉米单块试验田产量的平均数为xB≈ 827 kg.从计算结果可知，在单块试验田平均产量上A比B高5 kg.加权平均数与通常的算术平均数本质相同，即n个数之和除以n的结果，只是加权平均数计算起来更简捷.（2）将A的全部单块试验田产量（共100个）从小到大依次排列，相同的数据重复写，这100个数据中处于正中间位置的是第50个数据800和第51个数据850，这两数的平均数（800+850）÷2=825为A种玉米单块试验田产量的中位数，将B的全部单块试验田产量（共99个）从小到大依次排列，相同的数据重复写，这99个数据中处于正中间位置的是第50个数据850，它为B种玉米单块试验田产量的中位数.从计算结果可知，A的数据中小于825的和大于825的各占50个;B的数据中第50个数据850之前和之后的数据各占49个.这说明825 kg和850 kg可以分别作为A，B两种玉米单块试验田产量的中等水平的代表.中位数可以不是原始数据.排序时既可以从小到大，也可以从大到小，两种排法找出的中位数相同.（3）A的全部数据（共100个）中，出现次数最多的是800 kg（26次），800 kg即这组数据的众数.B的全部数据（共99个）中，出现次数最多的是800 kg（25次）和850 kg （25次），800 kg和850 kg都是这组数据的众数.从计算结果可知，虽然各块试验田中产量不尽相同，但也可能有规律存在，即在一般情形下，A的单块试验田产量是800 kg的可能性较大，B的单块试验田产量是800 kg或850 kg的可能性较大.可以看出，一组数据的众数可能是一个，也可能不止一个.众数是原始数据中的数据.平均数是最常用的一个数据代表，它通常能反映一组数据的平均水平.平均数的计算，要用到原始数据中的每一个数据.因此，一组数据中如有极端值（与多数数据相比过大或过小的个别数据）时，极端值可能对平均数影响较大.这种情形下如仍用平均数作为数据代表，往往与多数数据的大小产生较大偏差，不能恰如其分地反映一组数据的中心数值，这时，选择中位数或众数作为数据代表，或更能客观地反映一组数据的中心数值，例2 下表为某地9月份每天空气中细颗粒物（即PM 2.5）的测定值及相应的天数.（1）分别求表中数据的平均数、中位数和众数.（2）所得的平均数能客观反映该地9月份空气中细颗粒物的含量吗？解：（l）平均数约为34.9 yg/m3，中位数为24μg/m3，众数为24 μg/m3.（2）观察表中数据不难发现，30天中有29天的测定值都不超过25 μg/m3，它们与平均数差距较大;30天中只有1天的测定值360μLg/m3远高过平均数，这可能是由于一次突发事故造成了空气严重污染.显然，因为有360这个极端值，才使得平均数的值很大.如果以平均数34.9 μg/m3作为数据代表，则不能客观反映该地9月份空气中细颗粒物含量的一般状况.而以中位数或众数24μg/m3作为数据代表，则能较好地反映客观实际.二、数据的离散程度“一组数据中各个数据与这组数据的中心数值的偏离程度有多大？”这是数据分析所关注的另一个主要问题，由它能从整体上描述这组数据的聚散状态.在统计学中，把一组数据中各个数据与这组数据的中心数值的偏离程度，称为这组数据的离散程度或离中程度.它反映一组数据大小的波动状态，从而描述了这组数据的稳定性.方差是表示离散程度的常用数据代表，它的计算方法是，先计算一组数据的平均数，再计算各数据与所得平均数之差的平方和，最后用所得平方和除以这组数据的个数，这个结果被用于反映一组数据与平均数的偏离程度，对数据的变化幅度给予了定量的刻画.例3 分别计算例1中A.B两组数据的方差，由所得方差你能看出哪种可能性？解：s2=4 876，s2≈5 061.从两个方差看，B的略大于A的，即B的数据比A的数据的离散程度略高，也即B的数据起伏略大，而A的数据相对来说略为稳定.同学们可能会想：为什么计算方差要用各数据与平均数之差的平方和？如果直接把各数据与平均数之差相加岂不更简单？一般情况下，一组数据中可能有些数据比平均数大，有些数据比平均数小.如果直接用它们减平均数，则这些差会有正有负，如果再把这些差相加，就会出现正负相抵，例如，一组数据为2，2，3，3，4，4，其平均数为3，各数据与平均数之差分别为一1，-1，0，0，1，1.这些差之和为0.但这并不意味着这组数据都是紧靠平均数的.使用各数据与平均数之差的平方和，则利用了平方的非负性，防止做加法时出现正负相抵而隐藏了相关数据对平均数的偏离.方差名称中的“方”正是“平方”的简称.你也许会问：为什么不用差的绝对值，而要用差的平方来分析离散程度呢？直接用绝对值不是也可以避免出现负数吗？不使用绝对值，是因为取绝对值在运算上要考虑差的正负，取差的平方则不需要考虑差的符号，而且只要四则运算即可获得避免正负相抵的效果.所以人们选择用差的平方来计算方差.观察下图，图1中数据的方差应大于图2中数据的方差，这一结论可通过测量距离或运用方差公式计算来证明.。