第二十四讲 分解质因数-小学奥数

分解质因数知识精讲1.质因数和分解质因数每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就是这个合数的质因数。

如30=2×3×5，2，3，5就是30的质因数。

把一个合数分解成若干个质数相乘的形式，这个过程就叫作分解质因数。

2.分解质因数的方法（1）分解法不断把这个合数分解成一个质数和另一个数相乘的形式，一直到最后都是质数为止，以把24分解质因数为例。

242 × 122 × 62 × 3上面第一步是把合数24分解成2×12，接着再把12分解成2×6，再把6分解成2×3，最后整理可得：24=2×2×2×3。

（2）短除法短除法是指不按一般的除法竖式格式书写，而是在被除数的左边写除数、在被除数的下面直接写出商的方法。

用短除法分解质因数时，从最小的质数除起，如果得到的商是质数，就把除数和商写成相乘的形式；如果得到的商是合数，就继续除，直到所得商是质数为止，最后把所有除数和最后的商写成连乘的形式。

如： 2 242 122 63因此，24=2×2×2×3。

易错易误点1.质因数分解不完全分解质因数时，容易出现分解的最后结果中仍有合数的情况。

如将36分解质因数的结果写成36=2×3×6。

这里，6是合数，不是质数，这是错误的，最后结果必须分解为全是质数的形式。

因此需要继续将6分解质因数，最后得到的结果应该是36=2×2×3×3。

2.用短除法分解质因数时除数不是质数如： 4 482 122 63所以48=4×2×2×3。

这里错在第一个除数4不是质数，所以这个分解质因数的结果是错误的，正确结果应该是48=2×2×2×2×3。

典型例题例1 请把56分解质因数。

解析：可以用分解法进行，即用分解的形式把56一步一步用整数乘法分解，直到全部分解为质数相乘的形式为止。

质数、合数和分解质因数【知能大展台】一个自然数，如果只有1和它本身这两个约数，这样的数叫做质数（或素数）一个自然数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。

1既不是质数，也不是合数。

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

【试金石】例1：三个质数的和是80，这三个质数的积最大是多少？【分析】由于三个数的和是偶数，所以这三个数中必有一个是偶数，在质数中只有2是偶数，所以三个数中一定有2。

另外两个质数的和是78，要使乘积尽可能的大，那么这两个质数的差值应尽可能的小。

显然，和是78的两个质数中，以41和37的差最小，即这两个数的积最大。

【解答】80=2+37+412×37×41=3034答：这三个质数的积最大是3034。

【智力加油站】【针对性训练】三个质数的和是62，这三个质数的积最大是多少？【试金石】例2：班主任李老师带领五年（一）班同学去植树，学生按人数恰好平均分成三组，已知李老师与学生共种了312棵树，老师与学生、每人种的树一样多，并且不超过10棵。

这个班共有学生多少人？每人种树多少棵？【分析】种树总数=每人种树棵数×师生总人数即：312=每人种树棵数×（1+学生人数）由于学生人数是3的倍数，再加上李老师一人，则师生总人数被3除余1。

因此先将312分解质因数312=2×2×2×3×13，然后按题意进行组合使之成为两数之积。

【解答】312=2×2×2×3×13若312=24×13，13为师生总人数，则每人种树24棵，与题意不相符。

若312=6×52，52为师生总人数，则每人种树6棵。

答：这个班共有学生51人，每人种6棵。

【智力加油站】【针对性训练】小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比座位号大6，小青买的电影票是几排几座？【试金石】例3在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872．那么原来的乘积是多少?【分析】1872=2×2×2×2×3×3×13=口口×口口，其中某个口为8，验证只有：1872=48×39，1872=78×24满足．【解答】当为1872=48×39时，小马虎错把5看成8，也就是错把45看成48，所以正确的乘积应该是45×39=1755．当为1872=78×24时，小马虎错把5看成8，也就是错把75看成78，所以正确的乘积应该是75×24=1800．答：原来的积为1755或1800．【智力加油站】【针对性训练】在下面算式的框内，各填入一个数字，使算式成立。

分解质因数的方法分解质因数是数学中一个非常重要的概念，它能够帮助我们理解数的性质，解决数的因数分解问题。

在学习分解质因数的方法之前，我们首先需要了解什么是质因数。

质因数是指一个大于1的自然数，如果它除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，那么我们就称这个数为质数。

而一个大于1的自然数，如果它可以被分解为几个质数的乘积，那么我们就称这个数的因数为质因数。

因此，分解质因数的方法就是将一个数分解为几个质数的乘积。

接下来，我们来看看分解质因数的具体方法。

首先，我们可以通过试除法来分解质因数。

试除法是一种简单而有效的方法，它的步骤如下：1. 选择一个质数作为除数，从最小的质数2开始尝试，逐渐增大；2. 用选定的质数去除给定的数，如果能整除，则继续用商去除，直到商为1为止；3. 将所得的所有商和选定的质数作为因数，即为原数的质因数分解。

举个例子，我们来分解质因数，48。

首先，我们用最小的质数2去除48，得到商24，再用2去除24，得到商12，再用2去除12，得到商6，再用2去除6，得到商3，再用3去除3，得到商1。

因此，48的质因数分解为22223。

除了试除法外，我们还可以通过分解质因数的定理来进行质因数分解。

分解质因数的定理是指任何一个大于1的自然数，都可以写成几个质数的乘积。

这个定理的具体步骤如下：1. 选择一个大于1的自然数；2. 找出这个数的最小质因数；3. 将这个数除以最小质因数得到的商作为新的数，重复步骤2，直到商为1为止；4. 将所有找到的质因数乘在一起，即为原数的质因数分解。

举个例子，我们来分解质因数，75。

首先，75的最小质因数是3，将75除以3得到25，再将25除以5得到5，再将5除以5得到1。

因此，75的质因数分解为355。

除了试除法和分解质因数的定理外，我们还可以通过树状图的方法来进行质因数分解。

树状图的方法是将一个数分解为质数的乘积，通过画树状图的方式来展示分解的过程，这种方法可以更直观地展现质因数分解的过程。

第24讲分解质因数（二）一、专题简析：许多题目,特别是一些竞赛题,初看起来很玄妙,但它们都与乘积有关,对于这类题目,我们可以用分解质因数的方法求解。

因此,掌握并灵活应用分解质因数的知识,能解答许多一般方法不能解答的与积有关的应用题。

二、精讲精练例题1 三个质数的和是80,这三个数的积最大可以是多少？练习一1、有三个质数,它们的乘积是1001,这三个质数各是多少？2、张明是个初中生,有一次,他参加数学竞赛后,所得的名次、分数和他的岁数三者的积是2910。

求张明的成绩、名次和年龄分别是多少？例题2 长方形的面积是375平方米,已知它的宽比长少10米,长和宽的和是多少米？练习二1、237除以一个两位数,所得的余数是6,请写出适合于这个条件的所有两位数。

2、有4个孩子,恰好一个比一个大1岁,4人的年龄积是3024,这4个孩子中最大的几岁？例题3某班同学在班主任老师带领下去种树,学生恰好平均分成三组,如果师生每人种树一样多,一共种了1073棵,那么,平均每人种了多少棵？练习三1、一个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数。

已知这个长方体的体积是9240立方厘米,那么,这个长方体的表面积是多少？2、老师用216元买一种钢笔若干支,如果每支钢笔便宜1元钱,那么他就能多买3支。

每支钢笔原价多少元？例题4 把186155和187221约分。

练习四请用上面的方法把下面的几个分数约分。

6946 117143 323247 253161例题5 小明用2.16元买了一种画片若干张,如果每张画片的价钱便宜1分钱,那么他还能多买3张。

小明买了多少张画片？练习五1、求2310的约数中,除它本身以外最大的约数是多少？2、自然数a乘以2376,所得的积正好是自然数b的平方,求a最小是多少？三、课后作业1、写出若干个连续的自然数,使它们的积是15120。

2、有一块长方形的场地,它是由319块1平方分米的水泥方砖铺成的,求这块长方形场地的周长。