函数的周期性与函数的图象(最全解析版)

周期函数如果现在是早上9点钟，问你：24小时以后是几点钟？你会毫不犹豫地回答：还是早上9点钟．因为你很清楚，0点、1点、2点、3点……23点，每隔24小时就重复出现一次．如果今天是星期一，问你：7天以后是星期几？你也会回答：还是星期一．因为你很清楚，星期一、星期二……星期天，每隔7天就重复出现一次．相同的间隔而重复出现的现象称为周期现象，如“24小时1天”、“7天1星期”、“365天1年”就是我们所熟悉的周期现象．自然界中有很多周期现象，如日出日落、月圆月缺、四季交替，等等．正弦函数、余弦函数是否有这样的周期性呢？1．周期函数(1)周期函数条件①对于函数f(x)，存在一个__非零__常数T②当x取定义域内的每一个值时，都有__f(x＋T)＝f(x)__结论函数f(x)叫做__周期函数__，__非零常数T__叫做这个函数的__周期__(2)最小正周期条件周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的__正数__结论这个最小__正数__叫做f(x)的最小正周期2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y＝sin x y＝cos x周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π__2π__奇偶性__奇函数____偶函数__[知识点拨]1.对周期函数的两点说明(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．(2)在周期函数y＝f(x)中，若x∈D，则x＋nT∈D(x∈Z)．从而要求周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界．2．对函数最小正周期的两点说明(1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x 要加上的那个最小正数，这个正数是对x 而言的，如y ＝sin2x 的最小正周期是π，因为y ＝sin(2x ＋2π)＝sin [2(x ＋π)]，即π是使函数值重复出现的自变量x 加上的最小正数，π是对x 而言的，而非2x ．(2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f (x )＝c ，任意一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期．3．正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形． 预习自测1．函数f (x )＝－2sin(πx ＋π3)的最小正周期为( D )A ．6B ．2πC ．πD ．22．下列函数中，周期为π2的是( D )A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝cos(－4x ) 3．设函数f (x )＝sin(2x －π2)，x ∈R ，则f (x )是( B )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数4．若f (x )(x ∈R )为奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝__0__．命题方向1 ⇨三角函数的周期 典例1 求下列函数的周期． (1)y ＝sin 12x ；(2)y ＝2sin(x 3－π6)．[思路分析] 可以根据周期函数的定义求解，也可以用公式T ＝2π|ω|直接求解．[解析] 解法1：(1)令u ＝12x ，则y ＝sin u 是周期函数，且周期为2π．∴sin(12x ＋2π)＝sin 12x ，即sin[12(x ＋4π)]＝sin 12x ．∴y ＝sin 12x 的周期是4π．(2)∵2sin(x 3－π6＋2π)＝2sin(x 3－π6)，∴2sin[13(x ＋6π)－π6]＝2sin(x 3－π6)，∴y ＝2sin(x 3－π6)的周期是6π．解法2：(1)∵ω＝12，∴T ＝2π12＝4π．(2)∵ω＝13，∴T ＝2π13＝6π．『规律总结』 求三角函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意实数x 都满足f (x ＋T )＝f (x )的非零常数T .该方法主要适用于抽象函数．(2)公式法：对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，可利用T ＝2π|ω|来求．(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法．〔跟踪练习1〕求下列函数的最小正周期． (1)y ＝sin(3x ＋π3)；(2)y ＝|cos(2x ＋π6)|；(3)y ＝sin(2πx －π4)．[解析] (1)∵ω＝3，T ＝2π3．(2)∵函数y ＝cos(2x ＋π6)的最小正周期为π，而函数y ＝|cos(2x ＋π6)|的图象是将函数y ＝cos(2x ＋π6)的图象在x 轴下方的部分对折到x 轴上方，并且保留在x 轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期为T ＝π2．(3)∵ω＝2π，∴T ＝2π2π＝π2．命题方向2 ⇨三角函数奇偶性的判断 典例2 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝|sin x |＋cos x ； (2)f (x )＝sin(3x 4＋3π2)；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x．[思路分析] 先求函数的定义域，判断函数定义域是否关于原点对称，再判断f (－x )与f (x )的关系，最终确定奇偶性．[解析] (1)函数的定义域为R ．∵f (－x )＝|sin(－x )|＋cos(－x )＝|sin x |＋cos x ＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．(2)f (x )＝sin(3x 4＋3π2)＝－cos 3x4，x ∈R ．∵f (－x )＝－cos(－3x 4)＝－cos 3x4＝f (x )，∴函数f (x )＝sin(3x 4＋3π2)是偶函数．(3)函数应满足1＋sin x ≠0，则函数f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x 的定义域为{x ∈R |x ≠2k π＋3π2，k ∈Z }．显然定义域不关于原点对称，故函数f (x )＝1＋sin x －cos 2x1＋sin x 为非奇非偶函数．『规律总结』 1.判断函数奇偶性的常用方法：(1)定义法，即从f (－x )的解析式中拼凑出f (x )的解析式，再看f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是否成立．(2)图象法，即作出函数的图象，由图象的对称性确定其奇偶性． (3)验证法，即验证f (－x )＋f (x )＝0或f (－x )－f (x )＝0(或f (－x )f (x )＝±1)是否成立．此法通常用于函数是非奇非偶的情形．2．判断函数奇偶性时，必须先判断其定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f (－x )是否等于－f (x )或f (x )，进而再判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数是非奇非偶数．〔跟踪练习2〕判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x cos(π＋x )；(2)f (x )＝sin(cos x )．[解析] (1)函数f (x )的定义域为R ， ∵f (x )＝x ·cos(π＋x )＝－x ·cos x ，∴f (－x )＝－(－x )·cos(－x )＝x ·cos x ＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．(2)函数f (x )的定义域为R ．∵f (－x )＝sin [cos(－x )]＝sin(cos x )＝f (x )． ∴f (x )为偶函数．三角函数奇偶性与周期性的综合运用典例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，求f (5π3)的值．[思路分析] 利用周期性与奇偶性将5π3化到[0，π2]内再求值．[解析] ∵f (x )的最小正周期为π，∴f (5π3)＝f (2π3＋π)＝f (2π3)＝f (π－π3)＝f (－π3)．又f (x )是偶函数．∴f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32．『规律总结』 1.解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解即可．2．如果一个函数是周期函数，若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数在一个周期上的特征，加以推广便可以得到该函数在其它义域内的有关性质．〔跟踪练习3〕若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f (π3)＝1，求f (－5π6)的值．[解析] ∵f (x )为以π2为周期的奇函数∴f (－56π)＝－f (56π)＝－f (π2＋π3)＝－f (π3)＝－1．不清楚f (x ＋T )表达的意义典例4 利用定义求f (x )＝sin(2x －π6)的最小正周期．[错解] ∵f (x ＋2π)＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋2π)－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋4π＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝f (x )， ∴T ＝2π是f (x )的最小正周期．[错因分析] 错解中求的不是最小正周期．对于y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，其周期为2πω． [正解] 令z ＝2x －π6，∵x ∈R ，∴z ∈R ．又∵y ＝sin z 的周期是2π， z ＋2π＝⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2π＝2(x ＋π)－π6， ∴f (x ＋π)＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋π)－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2π＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝f (x )． ∴T ＝π．[点评] 最小正周期是指使函数重复出现的自变量x 要加上的最小正数，是对x 而言，而不是对ωx 而言．〔跟踪练习4〕对于函数y ＝sin x ，x ∈R 有sin(π6＋2π3)＝sin π6，能否说2π3是它的周期？[解析] 不能．周期必须对定义域内的每一个值都有f (x ＋T )＝f (x )． 课堂检测1．下列是定义在R 上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( D )2．函数y ＝sin2x 是( A ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的偶函数D ．周期为π2的奇函数3．若函数f (x )＝cos(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期是2，则ω的值为( B )A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π4．函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝2，则f (6)＝__2__． [解析] f (6)＝f (4＋2)＝f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＝2．5．设f (x )是以1为一个周期的奇函数，且当x ∈(－12，0)时，f (x )＝4x －1，求f (－318)的值．[解析] ∵f (x )的周期为1，f (－318)＝f (－4＋18)＝f (18)．又当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1， ∴f (－18)＝4×(－18)－1＝－32，又∵f (x )是奇函数，∴f (－18)＝－f (18)，∴f (18)＝32.故f (－318)＝32．A 级 基础巩固一、选择题1．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图象是( B )[解析] 由已知，得f (x )是周期为2的偶函数，故选B ． 2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－x 2＋π4的最小正周期为( C ) A ．π B ．2π C ．4πD ．π23．函数f (x )＝7sin(2x 3＋15π2)是( A )A ．周期为3π的偶函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为3π的奇函数D ．周期为4π3的偶函数4．函数y ＝|cos x |的最小正周期是( C ) A ．π4B ．π2C ．πD ．2π5．下列说法中正确的是( A )A ．当x ＝π2时，sin(x ＋π6)≠sin x ，所以π6不是f (x )＝sin x 的周期B ．当x ＝5π12时，sin(x ＋π6)＝sin x ，所以π6是f (x )＝sin x 的一个周期C ．因为sin(π－x )＝sin x ，所以π是y ＝sin x 的一个周期D ．因为cos(π2－x )＝sin x ，所以π2是y ＝cos x 的一个周期6．若函数y ＝2sin ωx (ω>0)的图象与直线y ＋2＝0的两个相邻公共点之间的距离为2π3，则ω的值为( A )A ．3B ．32C ．23D ．13[解析] 函数y ＝2sin ωx 的最小值是－2，该函数的图象与直线y ＋2＝0的两个相邻公共点之间的距离恰好是一个周期，故由2πω＝2π3，得ω＝3．二、填空题7．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的周期为π，则ω＝__2__．8．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为6的奇函数，且f (1)＝1，则f (5)＝__－1__． [解析] 由于函数f (x )是定义在R 上的周期为6的奇函数，则f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝－f (1)．又f (1)＝1，则f (5)＝－1． 三、解答题9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)f (x )＝1，求证：f (x )是周期函数． [证明] ∵f (x ＋2)＝1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )．∴函数f (x )是周期函数，4是一个周期．10．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ．(1)求当x ∈[－π，0]时，f (x )的解析式； (2)画出函数f (x )在[－π，π]上的简图； (3)求当f (x )≥12时x 的取值范围．[解析] (1)∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )． ∵当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，∴当x ∈[－π2，0]时，f (x )＝f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ．又∵当x ∈[－π，－π2]时，x ＋π∈[0，π2]，f (x )的周期为π，∴f (x )＝f (π＋x )＝sin(π＋x )＝－sin x ．∴当x ∈[－π，0]时，f (x )＝－sin x ． (2)如右图．(3)∵在[0，π]内，当f (x )＝12时，x ＝π6或5π6，∴在[0，π]内，f (x )≥12时，x ∈[π6，5π6]．又∵f (x )的周期为π，∴当f (x )≥12时，x ∈[k π＋π6，k π＋5π6]，k ∈Z ．B 级 素养提升一、选择题1．函数y ＝cos(k 4x ＋π3)(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( D )A ．10B ．11C ．12D ．13[解析] T ＝2πk 4＝8πk ≤2，∴k ≥4π又k ∈N *∴k 最小为13，故选D ．2．函数y ＝⎪⎪⎪⎪7sin ⎝⎛⎭⎫3x －π5的周期是( C ) A ．2π B ．π C ．π3D ．π6[解析] T ＝12·2π3＝π3．3．函数y ＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期为( A ) A ．π2B ．πC ．2πD ．4π[解析] ∵⎪⎪⎪⎪sin (x ＋π2)＋⎪⎪⎪⎪cos (x ＋π2)＝|sin x |＋|cos x |.∴原函数的最小正周期为π2． 4．函数f (x )＝4sin(23x ＋15π2)是( A )A ．周期为3π的偶函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为43π的奇函数D ．周期为43π的偶函数[解析] f (x )＝4sin(23x ＋15π2)＝4sin(23x ＋32π)＝－4cos 23x ，∴T ＝3π，且满足f (－x )＝f (x )，故选A ．二、填空题5．若函数f (x )是以π2为周期的偶函数，且f (π3)＝1，则f (－17π6)＝__1__．[解析] ∵f (x )的周期为π2，且为偶函数，∴f (－17π6)＝f (－3π＋π6)＝f (－6×π2＋π6)＝f (π6)＝f (π2－π2)＝f (－π3)＝f (π3)＝1．6．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋π6)，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．若f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95，则sin α的值为 ±45． [解析] ∵f (x )的最小正周期为π2，ω>0，∴ω＝2ππ2＝4.∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6． 由f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π6＝3cos α＝95， ∴cos α＝35．∴sin α＝±1－cos 2α＝±45．三、解答题7．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |．(1)画出函数的简图；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期． [解析] (1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，0，x ∈[2k π－π，2k π)(k ∈Z ).11 函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π．8．已知f (x )是以π为周期的偶函数，且x ∈[0，π2]时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈[52π，3π]时f (x )的解析式．[解析] x ∈[52π，3π]时， 3π－x ∈[0，π2]， 因为x ∈[0，π2]时，f (x )＝1－sin x ， 所以f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x ．又f (x )是以π为周期的偶函数，所以f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈[52π，3π]． C 级 能力拔高定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,4]时，f (x )＝x －2，则有下面三个式子：①f (sin 12)<f (cos 12)；②f (sin π3)<f (cos π3)；③f (sin1)<f (cos1)．其中一定成立的是__②③__(填序号)．。

初中高中数学七大函数的性质图像1.一次函数(包括正比例函数)最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。

定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R值域：R奇偶性：无周期性：无平面直角坐标系解析式(下简称解析式):①ax+by+c=0[一般式]②y=kx+b[斜截式]（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）③y-y1=k(x-x1)[点斜式]（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）⑤x/a-y/b=0[截距式]（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）解析式表达局限性：①所需条件较多（3个）；②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；④参数较多，计算过于烦琐；⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。

倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。

设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。

2.二次函数：题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。

定义域：R值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0，图象与x轴交于两点：（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ＜0，图象与x轴无交点；②y=a(x-h)^2+t[配方式]此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；3.反比例函数在平面直角坐标系上的图象为双曲线。

专题05函数周期性问题一、结论已知定义在R 上的函数()f x ,若对任意x R ,总存在非零常数T ,使得()()f x T f x ,则称()f x 是周期函数,T 为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果()()f x a f x (0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a (2)如果1()()f x a f x(0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a .(3)如果1()()f x a f x(0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a .(4)如果()()f x a f x c (0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a .(5)如果()()f x a f x b (0,0a b ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期||T a b .(6)如果()()()f x f x a f x a (0a ),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期6T a .二、典型例题1．（2021·全国·高考真题）已知函数 f x 的定义域为R ， 2f x 为偶函数， 21f x 为奇函数，则（）A ．102fB ． 10f C ． 20f D ． 40f 【答案】B 【解析】因为函数 2f x 为偶函数，则 22f x f x ，可得 31f x f x ，因为函数 21f x 为奇函数，则 1221f x f x ，所以， 11f x f x ，所以， 311f x f x f x ，即 4f x f x ，故函数 f x 是以4为周期的周期函数，因为函数 21F x f x 为奇函数，则 010F f ，故 110f f ，其它三个选项未知.故选：B.解法二：因为函数(2)f x 为偶函数，所以其图象关于0x 对称，则函数()f x 的图象关于直线2x 对称；所以()(4)(1)f x f x ；又函数(21)f x 为奇函数，所以其关于(0,0)对称；121(21)(2+1)=(2)()2f x f x f x f x 横坐标向右平移个单位横坐标伸长为原来2倍（）通过图象平移伸缩变换，可以得到(2)f x 关于1(,0)2对称，进而()f x 关于(1,0)对称；可得：()(2)(2)f x f x ；综合（1）（2）可得(4)(2)(2)()f x f x f x f x ；利用结论()()f x a f x 的周期为2T a ,故本题中()f x 的周期为4T 利用()(2)(2)f x f x 可得13(34)(1)2(1)0(1)0f f f f f f 【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，对称性的综合问题，其中求解周期的常用结论需直接记忆，可直接使用，本文中的6个周期结论直接记忆，可快速求周期.对称性问题：①轴对称问题：()f x 关于x a 对称，可得到如下结论中任意一个：()()()(2)()(2)f a x f a x f x f a x f x f a x；②点对称问题：()f x 关于(,0)a 对称，可得到如下结论中任意一个：()()()(2)()(2)f a x f a x f x f a x f x f a x；2．（2021·全国·高考真题（理））设函数 f x 的定义域为R ， 1f x 为奇函数， 2f x 为偶函数，当 1,2x 时，2()f x ax b ．若 036f f ，则92f（）A ．94B ．32C ．74D ．52【答案】D 【解析】令1x ，由①得： 024f f a b ，由②得： 31f f a b ，因为 036f f ，所以 462a b a b a ，令0x ，由①得： 11102f f f b ，所以 222f x x ．因为 1f x 是奇函数，所以 1f x 图象关于(0,0)对称，1(1)()f x f x 横坐标向右平移个单位所以()f x 关于(1,0)对称，得：()(2)(1)f x f x因为 2f x 是偶函数，所以 2f x 图象关于0x 对称；22()f x f x 横坐标向右平移个单位，所以()f x 关于2x 对称，得：()(4)(2)f x f x ；综合（1）（2）得到：(4)(2)(2)()f x f x f x f x 得到4T 所以9122f f，再利用()(2)(1)f x f x 令12x 代入：135(()222f f 故选：D．【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，对称性的综合问题，其中求解周期的常用结论需直接记忆，可直接使用，本文中的6个周期结论直接记忆，可快速求周期.三、针对训练举一反三1．（2008·湖北·高考真题（文））已知()f x 在R 上是奇函数，且(4)()f x f x ，当(0,2)x 时，2()2f x x ，则(7)f A ．-2B ．2C ．-98D ．98【答案】A 【详解】∵(4)()f x f x ，∴()f x 是以4为周期的周期函数，由于()f x 为奇函数，∴(7)74211f f f f ，而 12f ，即(7)2f .故选：A ．2．（2021·全国·模拟预测（文））已知定义在R 上的偶函数 f x ，对x R ，有(6)()(3)f x f x f 成立，当03x 时，()26f x x ，则 2021f （）A ．0B ．2C ．4D ．2【答案】C 【详解】依题意对x R ，有(6)()(3)f x f x f 成立，令3x ，则 33323f f f f ，所以 30f ，故 6f x f x ，所以 f x 是周期为6的周期函数，故 202163371112164f f f f .故选：C3．（2021·江西·三模（理））已知函数 f x 的图象关于原点对称，且满足 0(3)1f x f x ，且当)4(2x ，时，12()log (1)f x x m ，若(2021)1(1)2f f ，则m （）A ．43B ．34C ．43D ．34【答案】C 【详解】因为函数 f x 的图象关于原点对称，所以()f x 为奇函数，因为 133f x f x f x ，故函数 f x 的周期为4，则 20211f f ；而 11f f ，所以由(2021)1(1)2f f 可得1(1)3f ；而121(1)(3)log (31)3f f m，解得43m .故选：C .4．（2021·四川·石室中学模拟预测（理））已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(4)()(2)f x f x f ，当(0,2)x 时，2()231 f x x x ，则函数()y f x 在[4,4] 上零点的个数为（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】D 【详解】解：因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0f ．因为(4)()(2)f x f x f ，令2x ，得(24)(2)(2)f f f ，即(2)(2)(2)f f f ，所以(2)0f ．又因为()f x 为奇函数，所以(2)(2)0f f ，所以(4)()(2)()f x f x f f x ，所以()f x 是以4为周期的周期函数．根据周期性及奇函数的性质画出函数()y f x 在[4,4] 上的图象，如图．由图可知，函数()y f x 在[4,4] 上有零点-4，-3.5，-3，-2，-1，-0.5，0，0.5，1，2，3，3.5，4，共13个零点．故选：D5．（2021·广西玉林·模拟预测（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x ，且当(0,3)x ，()e x f x x ，则下面结论正确的是（）A ．19(ln 3)(e)2f f fB ．19(e)(ln 3)2f f fC ．19(e)(ln 3)2f f fD ．19(ln 3)(e)2f f f【答案】A 【详解】由(6)(33)()()f x f x f x f x ，知()f x 是周期函数，且周期为6，∴192f551222f f ，∵e 2 ，∴1ln32 ，∴51ln 32e 32，又()(1)e x f x x ，易知()f x 在(0,3)内单调递增，所以19(ln 3)(e)2f f f.故选：A ．6．（2021·黑龙江·佳木斯一中三模（理））已知 y f x 为奇函数且对任意x R ， 2f x f x ，若当 0,1x 时， 2log a f x x ，则 2021f （）A ．1B ．0C ．1D ．2【答案】C 【详解】解：因为 y f x 为奇函数，即 f x f x ，因为对任意x R ， 2f x f x f x ，所以 4f x f x ，当 0,1x 时， 2log a f x x ，所以 20log 0f a ，所以1a ，则 22021505411log 21 f f f .故选：C.7．（2021·浙江·瑞安中学模拟预测）已知函数 f x 是定义在R 上的奇函数，满足 2f x f x ，且当 0,1x 时， 2log 1f x x ，则函数 3y f x x 的零点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【详解】由 2f x f x 可得()f x 关于1x 对称，由函数 f x 是定义在R 上的奇函数，所以 2()(2)(2)f x f x f x f x f x ，所以()f x 的周期为4，把函数 3y f x x 的零点问题即 30y f x x 的解，即函数()y f x 和3y x 的图像交点问题，根据()f x 的性质可得如图所得图形，结合3y x 的图像，由图像可得共有3个交点，故共有3个零点，故选：B.8．（2021·陕西·模拟预测（文））已知定义在R 上的奇函数 f x 满足 2f x f x ．当12x 时， 2log 7f x x ，则 2021f （）A ．3B ．3C ．5D ．5【答案】A 【详解】由条件可知， f x f x ，且 2f x f x ，即 2f x f x ，即 2f x f x ，那么 42f x f x f x ，所以函数 f x 是周期为4的函数，22021505411log 83f f f .故选：A9．（2021·全国·模拟预测）已知 f x 是定义在R 上的偶函数，且x R ，40f x f x ．若 136f f ，则 21f ______．【答案】3 【详解】由 40f x f x 可得 310f f ，又 136f f ，所以 33f ．由 40f x f x 可得 44f x f x f x ，故 8f x f x ，故 f x 的一个周期为8，则 21333f f f ．故答案为：3 .10．（2021·陕西·二模（理））已知定义在R 上的奇函数()y f x 满足(8)()0f x f x ，且(5)5f ，则(2019)(2024)f f ___________.【答案】5因为(8)()0f x f x ，所以(8)()f x f x ，所以(16)(8)()f x f x f x ，所以函数()y f x 是以16为周期的周期函数.又在(8)()0f x f x 中，令0x 得(8)(0)0f f ，且奇函数()y f x 是定义在R 上的函数，所以(0)0f ，故(8)0f ，所以(2024)(161268)(8)0f f f .又在(8)()0f x f x 中，令3x ，得(5)(3)0f f ，得(5)(3)(3)5f f f ，则(2019)(161263)(3)5f f f ，所以(2019)(2024)5f f .故答案为：5。

考点12 函数的图象【命题解读】 关于函数图象的考查： （1）函数图象的辨识与变换。

（2）函数图象的应用问题，运用函数图象理解和研究函数的性质，数形结合思想分析与解决问题的能力。

【基础知识回顾】 1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换y ＝f (x )的图象――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； y ＝f (x )的图象――――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象；y ＝f (x )的图象――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象――――――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象. (3)伸缩变换y ＝f (x )―――――――――――――――――→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a （a >0）倍y ＝f (ax ).y ＝f (x )―――――――――――――――――→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A (A >0)倍y ＝Af (x ). (4)翻折变换y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象. [常用结论与微点提醒] 1.记住几个重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称. (2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称.(3)若函数y ＝f (x )对定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.2.图象的左右平移仅仅是相对于．．．x ．而言，如果x 的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.3.图象的上下平移仅仅是相对于．．．y ．而言的，利用“上减下加”进行.1、（2020届山东省泰安市高三上期末）函数()3ln xf x x=的部分图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】()()()33ln ln ,x xf x f x f x x x=-==--， ()f x 为奇函数，排除B当1x >时，()3ln 0xf x x=>恒成立，排除CD 故答案选A2、.(2020·深圳调研)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )【答案】 C【解析】 由函数f (x )的图象知a >1，－1<b <0. ∴g (x )＝a x ＋b 在R 上是增函数，且g (0)＝1＋b >0. 因此选项C 满足要求.3、已知函数f(x)＝log a x(0＜a ＜1)，则函数y ＝f(|x|＋1)的图象大致为( )A B C D【答案】A【解析】 先作出函数f(x)＝log a x(0＜a ＜1)的图象，当x>0时，y ＝f(|x|＋1)＝f(x ＋1)，其图象由函数f(x)的图象向左平移1个单位得到，又函数y ＝f(|x|＋1)为偶函数，∴再将函数y ＝f(x ＋1)(x>0)的图象关于y 轴对称翻折到y 轴左边，得到x ＜0时的图象．故选A .4、定义：在平面直角坐标系xOy 中，若存在常数(0)ϕϕ>，使得函数()y f x =的图象向右平移ϕ个单位长度后，恰与函数()y g x =的图象重合，则称函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”．下列四个选项中，函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”的是( ) A ．f 2()x x =，2()21g x x x =-+ B ．f ()sin x = x ，()cos g x = xC ．f ()x ln = x ，()g x ln =2x D ．f 1()()3x x =，1()2()3x g x =【答案】ABD【解析】由2()f x x =，2()(1)g x x =-知，()f x 向右移动一个单位可得到()g x ，故选项A 正确； 由3()sin ,()cos sin()2f x xg x x x π===-知，()f x 向右移动32π个单位可得到()g x ，故选项B 正确；由1(),()()22f x lnxg x ln x lnx ln ===-知，()f x 项下移动2ln 个单位可得到()g x ，故选项C 不正确； 由31321211()()11133()(),()2()()13331()23x xx log x x log f x g x -=====知，()f x 向右移动3log 2个单位可得到()g x ，故选项D 正确； 故选：ABD ．5、已知函数f (x )＝|x |(x －a )，a ＞0.(1)作出函数f (x )的图象； (2)写出函数f (x )的单调区间；(3)当x ∈[0，1]时，由图象写出f (x )的最小值．【解析】(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －a ），x ≥0，－x （x －a ），x ＜0，其图象如图所示． (2)由图知，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞；单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2.(3)由图象知，当a2＞1，即a ＞2时，f (x )min ＝f (1)＝1－a ；当0＜a2≤1，即0＜a ≤2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a 24.综上，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a 24，0＜a ≤2，1－a ，a ＞2.考向一 作函数的图象例1、作出下列函数的图象： (1)(1)y ＝2－2x ；(2)y ＝log 13 [3(x ＋2)]； (3)y ＝|log 12(－x )|. 【解析】：(1)作函数y ＝2x 的图象关于x 轴对称的图象得到y ＝－2x 的图象，再将图象向上平移2个单位，可得y ＝2－2x 的图象．如图1；(2)因为y ＝log 13[3(x ＋2)]＝－log 3[3(x ＋2)]＝－log 3(x ＋2)－1.所以可以先将函数y ＝log 3x 的图象向左平移2个单位，可得y ＝log 3(x ＋2)的图象，再作图象关于x 轴对称的图象，得y ＝－log 3(x ＋2)的图象，最后将图象向下平移1个单位，得y ＝－log 3(x ＋2)－1的图象， 即为y ＝log 13[3(x ＋2)]的图象．如图2；(3)作y ＝log 12x 的图象关于y 轴对称的图象，得y ＝log 12(－x )的图象，再把x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，可得到y ＝|log 12(－x )|的图象．如图3.变式1、分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2； (3)y ＝x 2－2|x |－1; (4)y ＝x ＋2x －1．【解析】(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x x ≥1，－lg x 0<x <1图象如图①．(2)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图②．(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 x ≥0x 2＋2x －1x <0．图象如图③．(4)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝x ＋2x －1的图象，如图④．变式2、作出下列函数的图象：(1)y ＝12x⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1； (4)y ＝x 2－2|x|－1. 【解析】(1)作出y ＝12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象，保留y ＝的图象中x ≥0的部分，加上y ＝的图象中x>0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝的图象，如图①实线部分．①②(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即得函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②.(3)∵y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图③.(4)∵y ＝22x 21,021,0x x x x x ⎧--⎪⎨+-⎪⎩≥，＜，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，如图④.③ ④方法总结：1.作函数图象的一般步骤为： (1)确定函数的定义域． (2)化简函数解析式．12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭12x⎛⎫ ⎪⎝⎭12x⎛⎫⎪⎝⎭(3)讨论函数的性质(如函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、极限等)以及图象上的特殊点(如极值点、与坐标轴的交点、间断点等)、线(如对称轴、渐近线等)． (4)选择描点法或图象变换法作出相应的函数图象．2．采用图象变换法时，变换后的函数图象要标出特殊的线(如渐近线)和特殊的点，以显示图象的主要特征，处理这类问题的关键是找出基本函数，将函数的解析式分解为只有单一变换的函数链，然后依次进行单一变换，最终得到所要的函数图象．考向二 图象的辨识例2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）函数ln ()xf x x x=-的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，||||()()()ln x ln x f x x x f x x x--=--=--=--，则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，D ， 当0x >且0x →，()f x →+∞，排除C . 故选：A.变式1、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）函数(ln cos 2y x x =⋅的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由于0x ，所以()f x 的定义域为R ，因为()ln(cos(2)f x x x -=-+⋅-)cos 2x x =⋅1)cos2x x -=⋅)cos2x x =-⋅ ()f x =-所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除A ，B因为ln cos 0222f πππ⎛⎛⎫ =+⋅= ⎪ ⎝⎭⎝，()ln(cos ln(1f ππππ=+⋅=-<-，333ln cos 0222f πππ⎛⎛⎫ =+⋅= ⎪ ⎝⎭⎝ 所以排除C 故选：D变式2、（2020·浙江学军中学高三3月月考）函数f (x )=2sin cos x xx x++在[—π，π]的图象大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】 由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 变式3、（2020届山东省九校高三上学期联考）若函数()y f x =的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可以为（ ）A ．()22x xxf x -=+B ．()22x xxf x -=-C ．()22x xf x x-+=D ．()22x xf x x--=【答案】C 【解析】对四个选项解析式分析发现B ，D 两个均为偶函数，图象关于y 轴对称，与题不符，故排除；极限思想分析，0,222,022x xx xxx +--→+→→+，A 错误； 220,222,x xxxx x-+-+→+→→+∞，C 符合题意.故选：C变式4、（2020届山东省潍坊市高三上期末）函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则()()y f x g x =⋅的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由图象可知()y f x =的图象关于y 轴对称，是偶函数，()y g x =的图象关于原点对称，是奇函数，并且定义域{}0x x ≠，()()y f x g x ∴=⋅的定义域是{}0x x ≠，并且是奇函数，排除B ，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，()0g x <，()()0f x g x ∴⋅<，排除C,D. 满足条件的只有A. 故选：A方法总结：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项考向三 函数图象的应用例3、（2020·全国高三专题练习（文））函数()()22log ,1,1,1,x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．(),4-∞B ．(],4-∞C ．()2,4-D ．(]2,4- 【答案】A【解析】令()2g x x m =-+,画出()f x 与()g x 的图象,平移直线,当直线经过()1,2时只有一个交点,此时4m =,向右平移,不再符合条件,故4m <故选：A变式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知31log 3a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133log b b =，131log 3cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】C【解析】 在同一直角坐标系内，作出函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log y x =，3x y =，13log y x =的图象如下： 因为31log 3a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133log b b =，131log 3cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以a 是13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =交点的横坐标；b 是3x y =与13log y x =交点的横坐标；c 是13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与13log y x =交点的横坐标；由图象可得：b c a <<.故选：C.变式2、函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________.【答案】2【解析】f (x )＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，函数f (x )的零点个数可转化为函数y 1＝sin 2x 与y 2＝x 2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y 1＝sin 2x 与y 2＝x 2的图象如图所示：由图可知两函数图象有2个交点，则f (x )的零点个数为2.变式3、已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0．(1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围．【解析】 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4．(2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －4＝x －22－4，x ≥4，－x x －4＝－x －22＋4，x <4.f (x )的图象如图所示：(3)f (x )的减区间是[2,4]．(4)从f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．方法总结： 函数的图象在解题中有着十分广泛的应用，常见的有：研究函数的性质，解不等式，求函数的零点等．(1)利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应法则．(2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标；不等式f (x )<g (x )的解集是函数f (x )的图象位于g (x )图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想．1、（2020天津3）函数241x y x =+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【思路导引】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象．【解析】由函数的解析式可得：()()241x f x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误． 故选A ． 2、（2019全国Ⅲ理7）函数在的图象大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】 因为，所以是上的奇函数，因此排除C ，又，因此排除A ，D ．故选B ． 3、(2018全国卷Ⅱ)函数2()--=x xe ef x x的图象大致为【答案】B3222x x x y -=+[]6,6-332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++()f x []6,6-1182(4)721f =>+【解析】当0<x 时，因为0--<x xe e ，所以此时2()0--=<x xe ef x x ，故排除A ．D ；又1(1)2=->f e e ，故排除C ，选B ．4、(2018全国卷Ⅰ)设函数2,0()1,0-⎧=⎨>⎩≤x x f x x ，则满足(1)(2)+<f x f x 的x 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞【答案】D【解析】当0x ≤时，函数()2x f x -=是减函数，则()(0)1f x f =≥，作出()f x 的大致图象如图所示，结合图象可知，要使(1)(2)+<f x f x ，则需102021x x x x +<⎧⎪<⎨⎪<+⎩或1020x x +⎧⎨<⎩≥，所以0x <，故选D ．5、(2015安徽)函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c <【答案】C 【解析】∵2()()ax b f x x c +=+的图象与,x y 轴分别交于,N M ，且点M 的纵坐标与点N 的横坐标均为正，∴0b x a =->，20b y c=>，故0,0a b <>，又函数图象间断的横坐标为正，∴0c ->，故0c ．6、已知函数222,0()||,0x x x f x log x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩，若1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则下列结论正确的是( )A ．121x x +=-B ．341x x =C ．412x <<D ．123401x x x x <<【答案】BCD【解析】由函数222,0()||,0x x x f x log x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩，作出其函数图象：由图可知，122x x +=-，121x -<<-；当1y =时，2|log |1x =，有1,22x =； 所以341122x x <<<<； 由34()()f x f x =有2324|log ||log |x x =，即2324log log 0x x +=； 所以341x x =；则2123412111(2)(1)1(0,1)x x x x x x x x x ==--=-++∈； 故选：BCD ．。