南京农业大学微积分第一学期

金善宝实验班（经济管理类）一、实验班介绍南京农业大学金善宝实验班（经济管理方向）是在原经济管理强化班近二十年办班经验的基础上，为探索新的经济管理类优秀人才培养方式和管理模式而设置的一种创新性教学实验班。

实验班（经济管理方向）每年从新生中择优选拔，以“3＋1＋2”的本硕贯通培养模式（“1”为本科与研究生过渡阶段，修读部分研究生课程，同时完成本科学业），在遵循教育规律，坚持德、智、体全面发展的基础上，依托南京农业大学农业经济管理和土地资源管理两个国家级重点学科在科学研究和人才培养方面的优势和条件，对拔尖人才配以优质的教学资源进行重点培养，实行小班授课因材施教，使他们尽快成材，鼓励个性发展和特长发挥。

实验班（经济管理方向）在培养方式、课程设置、管理模式等方面充分体现科学性和创新性。

二、培养目标以国家战略需求为导向，培养具备三农情怀和国际视野，系统掌握经济管理等多学科理论和相关农林科学知识，具有深厚理论功能和研究能力，具备远大研究志向，德、智、体、美、劳全面发展，能够胜任在一流大学和高层次研究机构、政府组织和企事业单位从事研究和管理工作的拔尖创新人才。

三、毕业要求及实现矩阵实验班（经济管理方向）本着“宽口径，厚基础，精外语，重能力”的原则，把学生的培养目标定位为：具有较扎实的经济管理理论功底和广博文化知识，熟悉经济管理某一领域的专业知识，并能运用所学经济管理理论，分析和解决我国经济建设中所遇到的实际问题；具备较熟练地使用一门外语进行跨文化交流的能力。

毕业生应获得以下几方面的知识和能力：1．热爱祖国，身心健康，有社会责任感，有职业道德，有进取创新意识，有合作精神，有国际视野，有不断学习的兴趣和能力；2．具备较为深厚的经济管理理论基础，掌握现代微观经济学、宏观经济学、计量经济学、管理学的基本知识和基础技能，具备对国家经济宏观、中观、微观各层面现象进行理论分析的基本能力；3．具有相关的农业科学基础知识和广博的社会文化知识，以及从事现代经济学研究扎实的数理分析基础；4．掌握农业经济理论与政策、土地经济理论与政策、农业项目管理和企业管理知识，具备较强的分析和解决农林经济管理（土地资源管理）实际问题、独立开展科研工作的能力；5．掌握文献检索、资料查询的基本方法，了解本学科的理论前沿和发展动态；6．能独立进行社会经济调查，基本掌握调查、统计、计量模型等方法；7．了解并理解政府的经济政策和相关法律，熟悉国家的农业（土地）政策、法规和经济管理制度，具有国际视野，对经济运行状况能进行分析、预测和提出政策建议；8．具有创新创业精神，具备自主学习能力和提出问题、分析问题和解决问题的能力；9．具有计算机应用和信息处理的基本能力，有较好的语言和文字表达能力，有运用会计、统计方法分析、解决实际问题的能力；10．掌握一门外语，具有较强的听、说、读、写“四会”能力，能较熟练地使用外语进行跨文化交流。

《微积分》课程教学大纲适用专业:广告专业执笔人：陈美霞审定人：鲍远圣系负责人：张从军南京财经大学应用数学系《微积分》课程教学大纲课程代码：120019/120020英文名：Calculus课程类别：文化技能课适用专业：广告专业前置课：初等数学后置课：线性代数、概率论与数理统计、数学建模学分：7学分课时：129课时主讲教师：王小灵等选定教材：[1]龚德恩等.《经济数学基础（第一分册微积分）》[M]，成都:四川人民出版社，2004.（04级使用）；[2]张从军、王育全、李辉、刘玉华. 微积分[M].上海:复旦大学出版社，2005.（05级使用）.课程概述：微积分是研究变量及其变化规律的科学，它具有丰富的内容和深刻的思想。

它为研究事物的发展变化提供了基本的数学基础和框架。

微积分在各种实际问题中有着广泛的应用。

《微积分》课程是高等财经院校中广告专业的一门重要的公共基础课，是后继专业基础课和专业课程的基础。

本课程以函数为主要研究对象，以极限分析为基本方法，系统地介绍了微积分的基本理论与基本方法，同时着重介绍了微积分在实际问题尤其在经济问题中的应用。

教学目的：通过本课程的学习，使学生系统掌握微积分的基本理论和基本方法。

培养学生具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及综合运用所学知识进行分析、解决实际问题的能力，为进一步学习其它数学课程和专业课程打好基础。

教学方法：教学过程宜采用以章为主的单元组织教学法，以课堂讲授为主，结合多媒体教学软件辅助教学，教学中应强调理论与实际并重，各章应安排一定课时的习题课，课后教师需安排时间集中对学生辅导答疑，学生必须完成一定量的作业。

本大纲中少数内容在现行中学教学中已有要求，对此应本着复习、深化、提高的要求组织教学。

本课程应配备习题册等教学辅助用书。

本课程可根据需要安排课堂讨论与数学实验上机操作。

各章教学要求及教学要点第一章函数课时分配：5课时教学要求：本章要求掌握函数的概念；了解函数的几何特性并掌握各几何特性的图形特征；了解反函数的概念并会求反函数；理解复合函数的概念并掌握将复合函数分解为简单函数的方法；理解基本初等函数的概念并熟练掌握基本初等函数的定义域、值域和基本性质；理解初等函数的概念；了解分段函数的概念；掌握常见的经济函数。

南农函授入学考试大纲《微积分》部分一、参考书普通高等教育面向21世纪“十一五”、“十五”规划教材《高等数学》，王凯捷主编，高等教育出版社二、考试大纲微积分内容主要包括：一元函数与多元函数的概念、性质，一元函数的极限及其计算；一元函数的导数、微分的概念及计算；导数与微分的应用；一元函数的不定积分、定积分、广义积分的概念、性质及其计算；定积分的应用；多元函数部分主要是二元函数的偏导数的概念及其计算，二元函数的重积分概念及计算；二重积分的简单应用；一阶、二阶常微分方程的求解以及微分方程的应用。

要求考生掌握微积分的基础知识和基本理论，具有较高的计算能力和独立分析解决有关数学问题的能力。

1．函数、极限与连续掌握函数的极限与连续的概念，掌握求数列极限、函数极限的常用方法与技巧；理解无穷小量与无穷大量的概念与性质，能够讨论函数的连续性及间断点分类2．导数与微分掌握导数与微分的概念、性质、求导法则，会求一元显函数、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数或微分3．微分中值定理与导数的应用掌握两个微分中值定理，掌握用洛必达法则求极限的方法；能够利用导数讨论函数的单调性、凹凸性，求函数的极值、最大（小）值4．不定积分与定积分掌握不定积分与定积分的概念、性质及计算方法5．定积分的应用掌握定积分在几何上的应用，会用定积分求平面图形的面积及旋转体的体积6．微分方程掌握可分离变量的一阶微分方程、一阶线性微分方程、二阶可降阶的微分方程、二阶常系数的线性微分方程的求解，了解微分方程的简单应用7．多元函数及其微积分掌握多元函数的概念、性质；多元函数的偏导数及其计算；了解多元函数微分学的一些简单应用8．二重积分掌握二元函数的重积分及其计算，了解二重积分的简单应用《线性代数》部分一、参考书普通高等教育面向21世纪“十一五”、“十五”规划教材《线性代数》，张良云主编，高等教育出版社二、考试大纲线性代数内容主要包括：行列式概念、性质及其计算；矩阵的概念、运算及性质；向量组的线性相关、线性无关的概念、性质及判别方法；n元线性方程组的解的讨论及求解方法；矩阵的特征值、特征向量的概念、性质及其计算，实对称矩阵的对角化及二次型的化简；二次型的正定。

生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。

－－泰戈尔南京农业大学农学院数学（农学门类联考）2008化学（农学门类联考）2008植物生理学与生物化学（农学门类联考）2008高等数学2004——2008化学2000——2008（注：2003年试卷为单考试卷）生物化学2000——2008植物生理学2000，2002——2008农业生态学2004——2005，2007遗传学2002——2007（注：2003年有两种）作物育种学2004植物保护学院数学（农学门类联考）2008化学（农学门类联考）2008植物生理学与生物化学（农学门类联考）2008高等数学2004——2008化学2000——2008（注：2003年试卷为单考试卷）生物化学2000——2008分析化学2002——2008普通生态学2004——2008植物病理学2002物理化学2003资源与环境科学学院数学（农学门类联考）2008化学（农学门类联考）2008植物生理学与生物化学（农学门类联考）2008高等数学2004——2008化学2000——2008（注：2003年试卷为单考试卷）普通生态学2004——2008环境化学2002，2004——2008微生物学2002——2008（注：2003年有两种）环境学概论2008环境科学导论2004——2008土壤学2003——2008植物生理学2000，2002——2008农业生态学2004——2005，2007地理信息系统2004——2008土壤农化分析2004园艺学院数学（农学门类联考）2008化学（农学门类联考）2008植物生理学与生物化学（农学门类联考）2008化学2000——2008（注：2003年试卷为单考试卷）生物化学2000——2008园林规划设计2004——2008园林植物学2007——2008园林史2004——2006植物生理学2000，2002——2008高等数学2004——2008遗传学2002——2007（注：2003年有两种）中药学专业基础综合2007——2008作物育种学2004动物科技学院数学（农学门类联考）2008化学（农学门类联考）2008动物生理学与生物化学（农学门类联考）2008植物生理学与生物化学（农学门类联考）2008高等数学2004——2008化学2000——2008（注：2003年试卷为单考试卷）植物生理学2000，2002——2008农业生态学2004——2005，2007动物生物化学2003——2008动物生理生化2004——2007动物生理学2002——2004动物学2003——2004动物遗传学2003普通生态学2004——2008政治（单）2004——2005经济管理学院西方经济学2003——2008管理学基础2004——2005农业概论2004动物医学院数学（农学门类联考）2008化学（农学门类联考）2008动物生理学与生物化学（农学门类联考）2008化学2000——2008（注：2003年试卷为单考试卷）动物生理生化2004——2007动物生理学2002——2004动物学2003——2004动物遗传学2003动物生物化学2003——2008食品科技学院生物化学2000——2008微生物学2002——2008（注：2003年有两种）食品工程原理2004公共管理学院土地经济学2004——2008政治学2004——2008公共行政学2004行政管理学2006——2008管理学概论2005——2007管理学基础2004——2005资源与环境经济学2005——2008高等数学2004——2008地理信息系统2004——2008教育学2006——2008社会保障学2008社会保障学科基础2008人文学院哲学基础2004——2008邓小平理论和“三个代表”重要思想概论2007——2008 现代思想政治教育研究2007——2008马克思主义哲学2008管理学概论2005——2007社会学理论2004——2008社会学研究方法2004——2008经济法学2007——2008法理学2007——2008中国通史2004——2008古代汉语2004——2008科学技术史2004——2005科学技术简史2008历史学专业基础（全国统考试卷）2007——2008理学院高等数学2004——2008信号与系统2007——2008物理学2004——2006电子技术2004，2006高等代数2004——2008数学分析2004——2008有机化学2003——2005，2007——2008无机及分析化学2006，2008无机化学2004分析化学2002——2008生物物理学2004概率统计2004环境化学2002，2004——2008物理化学2003工学院工程材料与机械制造基础2008理论力学2004，2006——2008电工技术2007——2008电路2001，2003——2004，2006——2008自动控制原理2007电子技术2004，2006材料力学2006——2008汽车理论2007——2008环境科学导论2004——2008微机原理与应用2007——2008渔业学院数学（农学门类联考）2008化学（农学门类联考）2008高等数学2004——2008化学2000——2008（注：2003年试卷为单考试卷）动物生物化学2003——2008水生生物学2004——2008信息科学技术学院数据结构与操作系统2007——2008信息检索2004——2008文献分类编目2004——2008文献信息学2004——2008外国语学院二外德语2004——2008二外法语2005——2008二外日语2004——2008二外俄语2004——2007基础英语2004——2008英汉互译2004——2008英语二外2004——2008日语读解与写作2004，2006——2008日语专业基础综合2004——2006，2008生命科学学院化学2000——2008（注：2003年试卷为单考试卷）生物化学2000——2008高等数学2004——2008植物生理学2000，2002——2008微生物学2002——2008（注：2003年有两种）植物学2002——2004动物生理生化2004——2007动物生理学2002——2004动物学2003——2004动物遗传学2003动物生物化学2003——2008遗传学2002——2007（注：2003年有两种）分子生物学2004细胞生物学1997，2002——2004单考试卷日语（单）2004英语（单）2004——2005政治（单）2004——2005。

南京农业大学高等数学教材高等数学是一门重要的基础课程，对于南京农业大学数学专业的学生来说，学好高等数学是打好数学基础的关键。

因此，在南京农业大学开设的高等数学教材应该具备以下特点和要求：一、全面覆盖高等数学的知识点南京农业大学的高等数学教材应当全面覆盖高等数学的各个知识点。

高等数学是一门广泛而丰富的学科，涵盖了微积分、线性代数、概率统计等多个方面的内容，因此，在教材编写中需要将各个知识点有机地整合在一起，使得学生可以系统地学习和掌握高等数学的各个领域。

二、简洁明了的理论解析南京农业大学的高等数学教材应该以简洁明了的理论解析为主导，使得学生能够清晰地理解数学概念和原理。

对于一门抽象的学科来说，理论解析是学习过程中重要的指导工具。

因此，在教材中，应该用简练的语言将数学概念解释清楚，并配以恰当的例题和解答，帮助学生更好地理解和掌握高等数学的理论基础。

三、大量的例题和习题南京农业大学的高等数学教材应该提供充足的例题和习题，以帮助学生巩固所学知识。

通过大量的例题，学生可以更好地理解问题的解题思路和步骤，培养数学思维和解决问题的能力。

同时，教材中的习题也应该既具有一定难度，又能够适应学生的学习进度，帮助学生更加深入地理解和应用高等数学的知识。

四、与实际应用结合南京农业大学的高等数学教材应该注重将理论知识与实际应用相结合，打破数学知识的抽象性。

数学是一门应用广泛的学科，通过将理论知识应用到实际问题的解决中，可以使学生更好地理解数学的应用价值和意义。

因此，在教材编写中，可以适当加入一些实际问题和案例分析，引导学生将数学知识应用到实际情境中，提高学生的学习积极性和兴趣。

总之，南京农业大学的高等数学教材应该全面、系统地覆盖高等数学的各个知识点，具备简洁明了的理论解析，提供丰富的例题和习题，并与实际应用相结合。

只有如此，才能帮助学生在高等数学学习中取得良好的效果，打下坚实的数学基础，为将来的学习和研究奠定基础。

2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 2010 年 6 月10日 使用班级教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日姓 名 班 级 学 号,一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分）1.2ln()d x x x =⎰ . 2.cos d d xx =⎰ .3.312d x x --=⎰.4.函数22x y z e+=的全微分d z = .5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 .二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分）1.设()1xf e x '=+，则()f x = ( ). /(A) 1ln x C ++ (B) ln x x C +(C) 22x x C++ (D) ln x x x C -+2.设2d 11xk x +∞=+⎰，则k = ( ).(A) 2π(B) 22π(C) 2 (D) 24π3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（ ）.(A)z z ab x y ∂∂=∂∂ (B) z z x y ∂∂=∂∂ (C)z z ba x y ∂∂=∂∂ (D) z z xy ∂∂=-∂∂ 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0y f x y '=成立，则（ ） ；(A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（ ）．(A) 211(1)nn n ∞=-∑(B)1(1)nn ∞=-∑(C) 13(1)2nnn n ∞=-∑ (D) 11(1)nn n ∞=-∑三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 】 1.2d x x e x ⎰2.40⎰四、计算（共3小题，每题6分，共计18分）1.设arctany z x =，求2,.z z z x y x y ∂∂∂∂∂∂∂， 2.设函数vz u =，而222,23u x y v x y =+=+，求,z zx y ∂∂∂∂.3.设方程xyz =确定隐函数(,)z f x y =，求,.z z x y ∂∂∂∂五、计算二重积分sin d d Dxx y x ⎰⎰其中D 是由三条直线0,,1y y x x ===所围成的闭区域.(本题10分) 六、（共2小题，每题8分，共计16分）1.判别正项级数12nn n∞=∑的收敛性．、2. 求幂级数1(1)2nnn x n ∞=-⋅∑收敛区间（不考虑端点的收敛性）.七、求抛物线22y x =与直线4y x =-所围成的图形的面积（本题10分）八、设102()101x x x f x x e ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩，求2(1)d f x x-⎰.（本题6分）徐州工程学院试卷2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B试卷类型 期末B 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟命 题 人 杨淑娥 2010 年 6 月10日 使用班级 09财本、会本、信管等 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日姓 名 班 级 学 号,一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分）1. 2cos d 2x x ⎰ .2.22d dt d x txe x =⎰ .3.212d x x -=⎰.4.函数z =的全微分d z = . ：5.微分方程11d d 0x y y x +=的通解为 .二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设(ln )1f x x '=+，则()f x = ( ).(A) xx e C ++ (B)212x e x C ++(C) 21ln (ln )2x x C ++ (D) 212x x e e C++2.下列广义积分发散的是 ( ).(A)1+∞⎰ (B) 1d xx +∞⎰(C)21d x x +∞⎰(D)1+∞⎰3. 设22()z f x y =+，且f 可微，则z z yx x y ∂∂-=∂∂ .(A) 2z (B) z (C) x y + (D) 0:4.函数32(,)6121f x y y x x y =-+-+的极大值点为（ ） (A) (1,2) (B) (2,1) (C) (3,2)- (D) (3,2)-- 5.下列级数绝对收敛的是（ ）． (A)1(1)nn ∞=-∑ (B)11(1)nn n ∞=-∑ (C)1(1)nn n∞=-∑ (D)311(1)nn n ∞=-∑三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1.sin d x x x⎰^2.0x⎰四、计算（共3小题，每题6分，共计18分）1.设z =，求2,.z z z x y x y ∂∂∂∂∂∂∂，2. 设函数2ln z u v =，而,32u xy v x y ==-，求,z zx y ∂∂∂∂.3.设方程22220x y z xyz ++-=确定隐函数(,)z f x y =，求,.z z x y ∂∂∂∂五、计算二重积分2d d Dx y x y ⎰⎰，其中D 是由三条直线0,0x y ==与221x y +=所围成的位于第一象限的图形.(本题10分)六、（共2小题，每题8分，共计16分）1. 判别正项级数11(21)!n n ∞=+∑的收敛性．2. 求幂级数21(2)n n x n ∞=-∑收敛区间（不考虑端点的收敛性）.七、求由曲线y x =与2y x =所围成的平面图形的面积. （本题10分））八、设210()0xx x f x e x ⎧+<=⎨≥⎩，求31(2)d f x x -⎰.（本题6分）徐州工程学院试卷2010 — 2011 学年第 二 学期 课程名称 微积分 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 张娅 2011 年 5 月 20日 使用班级教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日姓 名 班 级 学 号一、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共计15 分） 1. 函数()ln z y x =-+的定义域为 。

金善宝实验班（动物生产类——动物生产方向）一、专业介绍动物科学是以生物学为基础，研究高等经济动物遗传变异、生长发育、生育繁殖、消化代谢等生命基本规律的科学。

它的基本任务是在认识和掌握上述规律的基础上，为人类提供质优量多的动物产品和满足人们生活水平日益提高的多种需求。

南京农业大学动物科技学院是国内最早设立的一个畜牧兽医高等教育单位，办学历史悠久，前身为中央大学与金陵大学农学院，源于1917年南京高等师范农科，迄今已培养动物科学专业本科生4000余人。

动物科学专业2006年入选江苏省特色专业，2008年入选国家特色专业，2012年入选江苏省重点专业，2014年入选国家首批卓越农林人才计划，2019年入选国家级一流本科专业建设点。

2018年本专业依托的畜牧学科获批江苏省“十三五”优势学科。

拥有“畜牧学”一级学科博士点与硕士点，形成了本硕博一体化的人才培养体系。

动物科学专业拥有优质的师资队伍，建有国家级实验教学中心、国家农科教合作基地等实践教学平台，坚持学-研-产紧密协同办学特色，探索课程教学与科研训练、与社会实践、与产业实训的“三结合”，提高学生创新创业能力，坚持“厚德博学、笃行兴牧”培养卓越人才，涌现出王栋教授、任继周院士、刘守仁院士、谢成侠教授、陈效华教授等为代表的著名学者与学科带头人和王平川、金立志、吴培均等一批产业领军人物。

金善宝实验班（动物生产类动物生产方向）每年面向全校从新生中择优选拔，按照“3+X”的本硕博贯通培养模式开展教育教学工作。

在第7学期，被确定为本硕连读的学生可直接进入研究生阶段学习。

二、培养目标面向国家和经济社会发展需求，培养能适应社会主义现代化经济建设需要，具有热爱动物科学专业基本素养，具备系统的动物科学专业基础理论知识与基本技能、了解畜牧业生产与畜牧学学科前沿和发展趋势、能够综合应用动物遗传繁育、动物营养调控、动物生产、动物行为与福利、现代生物技术等专业知识与技能，能在动物科学相关的大专院校及科研院所从事教学与科研工作的拔尖创新型畜牧行业专门人才。

一元微积分与数学分析—T aylor展开和近似计算梅加强南京大学数学系在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?阿基米德(前287年–前212年)利用穷竭法得到圆周率的近似值22/7.在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?阿基米德(前287年–前212年)利用穷竭法得到圆周率的近似值22/7.刘徽(约公元225年–公元295年)提出了“割圆术”:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?阿基米德(前287年–前212年)利用穷竭法得到圆周率的近似值22/7.刘徽(约公元225年–公元295年)提出了“割圆术”:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”利用割圆术,刘徽算出圆周率的近似值3.14.阿基米德和刘徽图1:阿基米德图2:刘徽达到精确的程度.于是他进一步精益钻研,去探求更精确的数值,最终得出3.1415926<π<3.1415927.于是他进一步精益钻研,去探求更精确的数值,最终得出3.1415926<π<3.1415927.祖冲之还采用了两个分数值的圆周率,一个是355/113≈3.1415927,这一个数比较精密,所以祖冲之称它为“密率”.另一个是22/7≈3.14,这一个数比较粗疏,所以祖冲之称它祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?微积分发明出来以后人们很快发现可以用来计算圆周率的近似值.祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?微积分发明出来以后人们很快发现可以用来计算圆周率的近似值.我们用T aylor展开来计算π.回顾arctan x的Maclaurin展开arctan x=x−x33+x55−x77+···,x∈[−1,1].取x=1,左边等于π/4.不过,右边收敛得很慢,还不能直接用于π的计算.祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?微积分发明出来以后人们很快发现可以用来计算圆周率的近似值.我们用T aylor展开来计算π.回顾arctan x的Maclaurin展开arctan x=x−x33+x55−x77+···,x∈[−1,1].取x=1,左边等于π/4.不过,右边收敛得很慢,还不能直接用于π的计算.注意到当|x|比较小的时候,右边收敛速度就比较快了.基本的想法就是用若干个注意到tan(u+v)=tan u+tan v 1−tan u tan v,当u=arctan(1/5)时,就有tan(2u)=2/51−(1/5)2=5/12,tan(4u)=10/121−(5/12)2=120/119.因此tan4u−π/4=120/119−11+120/119=1/239,注意到tan(u+v)=tan u+tan v 1−tan u tan v,当u=arctan(1/5)时,就有tan(2u)=2/51−(1/5)2=5/12,tan(4u)=10/121−(5/12)2=120/119.因此tan4u−π/4=120/119−11+120/119=1/239,这就得到等式π4=4arctan15−arctan1239.(1)它可以改写为如下的Machin公式π=16∞n=0(−1)n(2n+1)52n+1−4∞n=0(−1)n(2n+1)2392n+1,(2)这个公式已经可用于实际的计算了.它可以改写为如下的Machin公式π=16∞n=0(−1)n(2n+1)52n+1−4∞n=0(−1)n(2n+1)2392n+1,(2)这个公式已经可用于实际的计算了.1706年,Machin用这个公式将π计算到了小数点后100位.类似地,我们可以得到等式2arctan110=arctan15+arctan1515,从而有π=32arctan 110−4arctan 1239−16arctan1515=32 110−131103+151105−171107+191109−11111011 +δ1−4 1239−1312393 −δ2−16 1515−1315153−δ3,从而有π=32arctan 110−4arctan 1239−16arctan1515=32 110−131103+151105−171107+191109−11111011 +δ1−4 1239−1312393 −δ2−16 1515−1315153−δ3,其中3213×10−13−3215×10−15<δ1<3213×10−13,因此0.24×10−12<δ1<0.25×10−12.同理,1.02×10−12<δ2<1.03×10−12,0.08×10−12<δ3<0.09×10−12,因此−0.88×10−12<δ1−δ2−δ3<−0.85×10−12.同理,1.02×10−12<δ2<1.03×10−12,0.08×10−12<δ3<0.09×10−12,因此−0.88×10−12<δ1−δ2−δ3<−0.85×10−12.另一方面,π≈32 110−131103+151105−171107+191109−11111011−4 1239−1312393 −16 1515−1315153=3.14159265359066...总之得到3.14159265358978<π<3.14159265358982,近似值精确到了小数点后第12位.如何更快地精确计算π是一个很有意思的数学问题.1914年,印度天才数学家Ramanujan得到了一系列公式,其中一个为1π=2√29801∞k=0(4k)!(k!)444k1103+26390k994k,(3)这个公式的每一项可提供π的大约8位有效数字.如何更快地精确计算π是一个很有意思的数学问题.1914年,印度天才数学家Ramanujan得到了一系列公式,其中一个为1π=2√29801∞k=0(4k)!(k!)444k1103+26390k994k,(3)这个公式的每一项可提供π的大约8位有效数字. 1989年,Chudnovsky兄弟发表了公式1π=12∞k=0(−1)k(6k)!(3k!)(k!)313591409+545140134k6403203k+3/2,(4)这个公式的每一项可提供π的大约15位有效数字.另一方面,1995年,Bailey,Borwein和Plouffe发现了下面的公式π=∞k=048k+1−28k+4−18k+5−18k+6116k,(5)他们利用这个公式证明了,在2进制下可以直接计算π的第n位小数而无需知道其前n−1位小数的值.另一方面,1995年,Bailey,Borwein和Plouffe发现了下面的公式π=∞k=048k+1−28k+4−18k+5−18k+6116k,(5)他们利用这个公式证明了,在2进制下可以直接计算π的第n位小数而无需知道其前n−1位小数的值.人们利用已经发现的这些算法可以在计算机上进行π的快速高精度计算,这也成为了检验计算机运行速度的初步手段.。