基于牛顿迭代法的分形图像研究
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中 图分类 号 ：ＴＰ３９１．４１
文献 标 志码 ：Ａ
文章 编号 ：１００６—４７１０（２０１６）０２—０２４７—０６
Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｔｈｅ ｆｒａｃｔａｌ ｉｍ ａｇｅ ｏｆ Ｎｅｗｔｏｎ－Ｒａｐｈｓｏｎ ｍ ｅｔｈｏｄ Ｒ ＥＮ Ｌｕ． Ｈ Ｕ Ａ Ｎ Ｇ Ｙｉｎｇｗ ｅｉ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｐｒｉｎｔｉｎｇ，Ｐａｃｋａｇｉｎｇ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ｄｉｇｉｔａｌ Ｍ ｅｄｉａ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， Ｘ ｉ’ａｎ Ｕ ｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔ ｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， Ｘｉ’ａｎ ７１００４８，Ｃｈｉｎａ）
分形 ［１］，通常 被定 义 为“一 个粗 糙 或零碎 的几何 形状 ，可 以分 成 数个 部 分 ，且 每 一 部 分 都 （至少 近 似 地 ）是整 体 缩 小 后 的形 状 ”。即 分 形 具 有 自相 似 特 征 ，可利 用计 算 机 迭 代 来 生 成 。牛 顿 迭 代 法作 为计 算机 迭代 的主要 方 法 之 一 ，绘 制 的分 形 图像 结 构 具 有对 称性 且 有一 定 规 律 可 循 ，图像 像 素 点 色 彩 和 迭 代 次数 相对 应 。相 比于 实 数 迭 代 分 形集 ，在 二 维 平 面 上 ，牛顿 迭代 法 生 成 的 复迭 代 分 形 集 结 构 更 加 复 杂 ，色彩 更 加 丰富 ，包 含 更 多 信 息 ，也 具 有 更 强 的 防 伪 特征 Ｉ２。］。本文 利 用 牛 顿 迭代 法 绘 制基 于 复 迭 代 公式 －厂（Ｚ）一Ｚ”一１（其 中 Ｚ为复 平面 上 的点 ， 为 实 数 且 ≥２）的广 义 Ｊｕｌｉａ集 ，研 究 实 数 对 图像 结 构 的影 响 ，迭 代参 数 及 迭 代参 数 与运 算 符 的组 合 方 式 对 图像 色 彩 的影 响 ，为 实 现分 形 图像 的个 性 化 和 多 样 化设 计 提供 参考 。
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｆｒａｃｔａｌ ｉｍａｇｅ ｉｓ ｍ ａｐｐｅｄ ｔｈｒｏｕｇｈ Ｎｅｗｔｏｎ—Ｒａｐｈｓｏｎ ｍ ｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ ｇｒａｐｈｉｃ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｎｄ ｏｐｅｒａｔｉｏｎａｌ ｒｕｌｅｓ ａｒｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ ｔｈｅ ｃｏｌｏｒｉｎｇ ｓｃｈｅｍｅ． Ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｒａｃｔａｌ ｉｍａｇｅ ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｘ ｐｌａｎｅ ａｒｅ ｓｔｕｄｉｅｄ， ａｎｄ ａ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｎｅｗ ｃｏｌｏｒｉｎｇ ｓｃｈｅｍ ｅｓ ａｒｅ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．Ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈａｔ ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｘ ｐｌａｎｅ，ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ｆｒａｃｔａｌ ｉｍ ａｇｅｓ ｈａｖｅ １ａｗｓ ｔｏ ｆｏｌｌｏｗ ａｎｄ ｃｏｌｏｒｓ ｏｆ｛ｒａｃｔａｌ ｉｍａｇｅｓ ａｒｅ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｔｏ ｅｓｔｉｍ ａｔｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｎｅｗｔｏｎ—Ｒａｐｈｓｏｎ ｍ ｅｔｈｏｄ；ｆｒａｃｔａｌ ｉｍａｇｅ；ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｆｅａｔｕｒｅ；ｃｏｌｏｒｉｎｇ ｓｃｈｅｍｅ
摘 要 ：通 过 调 用牛 顿迭代 法绘 制 分形 图像 ，利 用绘 图参数 和 运算 法则 构造 着 色方个新 的 着 色方 案 ，发 现 复 平 面 分 形 图像 结构 有 规 律 可循 ，图像 色彩 难 以
揣 测 。
关 键 词 ：牛 顿迭 代 法 ；分形 图像 ；结构 特征 ；着 色方案
牛顿迭 代法 绘制 复平 面分 形 图像 的流程 如 图 １所 示 。首先 设 置 迭 代 方 程 ，然 后 在 复平 面上 选 择 一 点 Ｚ。作为 迭代 初始 点 ，再进 行 着 色 处 理 ，最 终 生 成 分形 图像 。
具 体过 程［６ 如下 。 设 显示 器 的分 辨 率 为 Ａ×Ｂ 点 ，可 显 示 的 颜 色 为 ｋ＋１种 ，分 别用 ０，１，２，… ，ｋ表 示 。 １）设置 迭代 方程 厂（Ｚ）一 一 １中 的取值 ；
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西 安 理 工 大 学 学 报 （２０１６）第 ３２卷 第 ２期
西 安 理 工 大学 学 报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｘｉ’ａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（２Ｏ１６）Ｖｏ１．３２ Ｎｏ．２
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基 于 牛 顿 迭 代 法 的分 形 图像 研 究
任 露 ，黄 颖 为
（西 安 理 工 大 学 印刷 包 装 与 数 字 媒 体 学 院 ，陕 西 西安 ７１００４８）
ｚ） 一
（２）
此 时 （ｚ）的零点 也 是 的超 吸 引 不 动点 。当 ｌ ＺＩ较大 时 ， （Ｚ）～ Ｚ（１一 ｌ／ｎ）， 为 ｆ（ｚ）的 阶 ，ＣｘＤ 是 －厂（ｚ）的斥性 点 ，则 记 Ａ（ｃＵ）一 ｛Ｚ。： （ ）一 ），其 中 Ａ（ｃｏ）表 示 零 点 的吸 引 域 ，即在 牛顿 迭 代 法 下 收敛 于 叫的初始 点集 。
收 稿 Ｅｔ期 ：２０１５ ０６ ０２ 作 者 简 介 ：任 露 ，女 ，硕 士生 ，研 究 方 向为 印刷 质 量控 制 与 防 伪 。Ｅ－ｍａｉｌ：ｒｅｎｌｕ—ｌｅｎｋａ＠ １６３．ｃｏｒ ｎ 通 讯 作 者 ：黄 颖 为 ，女 ，教 授 ，研 究 方 向为 印刷 质 量控 制 与 防 伪 。Ｅ—ｍａｉｌ：ｈｕａｎｇｙｗ１２＠ １６３．ｃｏｒ ｎ
ｌ 牛 顿 迭 代 法 绘 制 复 平 面 分 形 图像
根据 牛 顿 迭代 法 ＿４ 求解 复 平 面 方 程 厂（ｚ）一０， 厂（Ｚ）的牛顿 迭 代 函数为 ：
） 一 ｚ 一
（１）
若 一０，给 出的 （ｚ）不 动 点则 是 厂（ｚ）的
零 点 。若 ｆ （ｚ）≠０，对式 （１）求导 ：
