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第三章 远期与期货定价

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第3章 远期与期货定价 (参考1)

第3章 远期与期货定价 (参考1)
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二、三个基本定价模型 （一）不支付收益证券远期（期货）合约的合 理价格及套利 不支付收益证券包括不支付红利的股票和 贴现债券等。短期利率期货的定价和套利 即适用于以下的方法。 最容易定价的远期合约就是基于不支付收 益证券的远期合约。
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1、定价
（1）持有成本理论下合理价格的确定
0时刻 6个月 12个月 1.借入美元： $900 6个月期$38.24贷 1861.76贷款的本利和: 款的本利和: 861.76 e0.1×1=$952.39 其中： $38.24以9%的年利率借入 $40 6个月 $861.76以10%的年利率借 入1年 2.购买一份债券现货：-$900 3.卖空一年期的债券期货 合计：0
套利
0时刻 T时刻
1.卖空现货：S0 2.按年利率r进行期限为T投资：- S0 3.购买远期合约：0
合计：0
1.投资得本利和 ：S0erT 2.交割远期合约，支付：F0* 3.再用期货交割中所得的证券冲 抵原来的现货空头部位。
合计：
S0 e rT F0
*
16
例：期限为3个月的股票远期合约的价格为39美元。3个月后 到期的无风险年利率为5%，股票当前价格为40美元，不付红 利。 r(T t) 0.053 / 12 40e 40.50 39 ①判断： Se 期货价格被低估 ②套利：
0时刻 T时刻
1.以利率5%借40美元T年：40 2.购买证券现货：- 40 3.卖出远期合约：0
合计：0
1.购买的现货交割到期的远期合约， 得价款：43 2.归还借款本利和：-40.5
合计：43-40.50=$2.50
15
（2）如果F0*<F0。即说明远期合约价格相对于现货价 格被低估，应该买进远期合约，卖出现货。

期货期权入门第三章远期和期货合约的价格

期货期权入门第三章远期和期货合约的价格
13
例：考虑购买一份4个月的远期合约，标的资产是从今 天开始一年后到期的贴现债券。债券的当前价格是 930美元（因为远期合约交割时，此债券据到期日还 有8个月的时间，所以将此债券看成8个月的贴现债 券）。计算远期合约交割价格。 解：我们假定4个月期的无缝隙那年利率（连续复利） 为6%，因为贴现债券不提供收益。用公式来计算远期 价格为F=SerT=930e0.06*4/12=948.79美元这就是今天 议定的远期合约交割价格。
三、远期价格和期货价格相等吗
远期价格和期货价格相等吗
当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变的时候，两个交割日相同 的远期合约和期货合约有同样的价格。有效期仅为几个月的远期期货合 约与期货合约价格之间的理论差异在大多数情况下是小得可以忽略不计 的。但实际上有很多可以引起两者价格差异的因素是没有考虑在内，包 括税收、交易成本和保证金。由于交易所和结算所的存在，期货合约对 方违约的风险要小于远期合约对方违约的风险，而且，有些时候期货合 约的流动性要比远期合约好得多。但尽管这样，在本书的 大多数情况 下，我们还是可以假定远期和期货价格相等。
861.76e 0.11 952.39
该策略的净盈利为：40美元+930美元-952.39美元=17.61美元
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①判断： (900 40e0.091/ 2 40e0.11 )e0.11 (900 38.24)e0.11 40 912.39 905
远期合约价格被低估，应该买进远期合约，卖出现货。 ②套利：卖空债券现货，得价款900美元，其中38.24美元做6个月的无风险投资，
期价位高时借入此股票（实际交易是买入看跌的合约）卖出，
再到股价跌到一定程度时买进，以现价还给卖方，产生的差价
就是利润。

[金融工程][第03章][远期与期货定价]

[金融工程][第03章][远期与期货定价]

基本假设
1. 没有交易费用和税收。 没有交易费用和税收。 2．市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出 ． 资金。 资金。 3．远期合约没有违约风险。 ．远期合约没有违约风险。 4．允许现货卖空。 ．允许现货卖空。 5．当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活 ．当套利机会出现时， 从而使套利机会消失， 动，从而使套利机会消失，我们得到的理论价格就 是在没有套利机会下的均衡价格。 是在没有套利机会下的均衡价格。 6．期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。 ．期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。 这意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的 多头和空头地位。 多头和空头地位。
例3.2 假设一年期的贴现债券价格为$960，3 个月期无风 假设一年期的贴现债券价格为 ， 险年利率为5%， 险年利率为 ，则3 个月期的该债券远期合约的交 割价格应为多少? 割价格应为多少
远期价格的期限结构
远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价格之 间的关系。 间的关系。 F= Se− r (T −t )
无套利定价法
第二节无收益资产远期合约的定价
构建两种投资组合， 令其终值相等，则其现值 一定相等；否则就可进行 套利，即卖出现值较高的 投资组合，买入现值较低 的投资组合，并持有到期 末，套利者就可赚取无风 险收益。
5
无收益资产的远期价值
无收益资产是指在到期日前不产生现金流的资产， 无收益资产是指在到期日前不产生现金流的资产，如贴 现债券。 现债券。 构建组合： 构建组合： 组合A： 组合 ：一份远期合约多头加上一笔数额为 的现金（无风险投资） Ke − r (T −t ) 的现金（无风险投资） 组合B：一单位标的资产。 组合 ：一单位标的资产。 远期合约到期时， 远期合约到期时，两种组合都等于一单位标的资产 ， 因此现值必须相等。 因此现值必须相等。 − r (T −t ) Ke − r (T −t ) f+ Ke =S f=S－ － 两种理解： 两种理解： 无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价 格与交割价格现值的差额。 格与交割价格现值的差额。 一单位无收益资产远期合约多头可由一单位标的资产 ) 无风险负债组成。 多头和 Ke − r (T −t无风险负债组成。

(金融工程)第三章远期与期货定价

(金融工程)第三章远期与期货定价
5
例：考虑一个3个月期的无股息股票的远期合约，假定当前 股票的价格为40美元，3个月期的无风险利率为5%。
如果假定远期价格相对较高，为43美元。套利者能以5% 的利率借入40美元，并利用借贷的资金购买一只股票，并同 时卖出一份远期合约，3个月后偿还贷款的现金为：
40e0.05×3/12=40.05美元
当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期 价格。
－ 这是因为当标的资产价格上升时，期货价格通常也会随
之升高，期货合约的多头将因每日结算制而立即获利，并可按高于 平均利率的利率将所获利润进行再投资。而当标的资产价格下跌时， 期货合约的多头将因每日结算制而立即亏损，但是可按低于平均利 率的利率从市场上融资以补充保证金。相比之下，远期合约的多头 将不会因利率的变动而受到上述影响。在此情况下，期货多头比远 期多头更具吸引力，期货价格自然就大于远期价格。
12
F：t时刻的远期合约和期货合约中的理论远期价格和理 论期货价格，在本书中如无特别注明，我们分别简称为 远期价格和期货价格。 r：T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率 （年利率），在本书中，如无特别说明，利率均为连续 复利的年利率。
13
14
本章所用的定价方法为无套利定价法。 基本思路为：构建两种投资组合，令 其终值相等，则其现值一定相等；否 则就可进行套利，即卖出现值较高的 投资组合，买入现值较低的投资组合， 并持有到期末，套利者就可赚取无风 险收益。众多套利者这样做的结果， 将使较高现值的投资组合价格下降， 而较低现值的投资组合价格上升，直 至套利机会消失，此时两种组合的现 值相等。这样，我们就可根据两种组 合现值相等的关系求出远期价格。
无风险年利率分别为4.17%与4.11％。市场上一 种十年期国债现货价格为990美元，该证券一年 期远期合约的交割价格为1001美元，该债券在6 个月和12个月后都将收到60美元的利息，且第二 次付息日在远期合约交割日之前，求该合约的价 值。

金融工程3-远期与期货定价

金融工程3-远期与期货定价
风险管理的研究
随着市场的复杂性和风险的增加，风险管理成为研究的重点，如何有效地管理和控制风 险是当前研究的热点问题。
交易策略的研究
在交易过程中，如何制定有效的交易策略以提高投资回报是交易者关注的问题，学者们 正在研究更加科学和实用的交易策略。
感谢您的观看
THANKS
03
远期与期货的比较与联系
远期与期货的相似之处
基础资产
远期和期货合约都涉及某种基 础资产，如股票、外汇或商品
。
交割方式
两者通常都涉及在未来某一特 定日期交割基础资产。
价格变动
远期和期货价格都受到基础资 产价格变动的影响。
保证金制度
为了降低违约风险，两者都实 行保证金制度。
远期与期货的不同之处
标准化程度
期货合约的标的物可以是商品、金融 工具等，也可以是其他金融衍生品。
期货合约通常在交易所进行交易，具 有高流动性和低交易成本的特点。
期货合约的定价原理
无套利定价原则
期货合约的价格应与其标的物的价格变动趋势一 致，否则存在套利机会。
持有成本模型
期货合约的价格等于标的物的现货价格加上持有 成本（存储费用、资金成本等）。
动态调整
根据市场走势和投资目标，可以 灵活地买入或卖出远期或期货合 约，动态调整投资组合的风险和 收益。
远期与期货的实际交易案例
大豆远期合约交易
大豆种植者和加工商通过购买大豆远期合约，锁定未来大豆的采购和销售价格，规避价格 波动风险。
黄金期货交易
黄金期货合约在市场上交易活跃，投资者可以通过购买黄金期货合约，获得赚取收益的机 会，同时也可以对冲通货膨胀和货币贬值的风险。
远期合约的交易对手是确定的， 因为买卖双方在合约签订时已 经确定了对方的身份。

3-远期与期货定价

3-远期与期货定价
财政金融学院 陈修6谦
Hunan Business University
现货-远期平价定理
远期价格：
– （F）就是使合约价值（f）为零的交割价格 （K）
– F=Ser（T－t）
无收益资产的现货-远期平价定理：对于 无收益资产而言，远期价格等于其标的 资产现货价格的终值。
财政金融学院 陈修7谦
Hunan Business University
由于使用的是I的现值，所以支付一次和多次 现金收益的处理方法相同。
财政金融学院 陈修谦
Hunan Business University
支付已知现金收益资产的现货－远期平价公式
支付已知现金收益资产的现货-远期平价公 式。
–根据F的定义，我们可从上式求得： F=(S-I)er（T－t）
–公式的理解：支付已知现金收益资产的远期价 格等于标的证券现货价格与已知现金收益现值 差额的终值。
远期合约到期时，两种组合都等于一单位 标的资产 ，因此现值必须相等。
f+ Ke-r（T－t）=S f=S－Ke-r（T－t）
两种理解：
–无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产 现货价格与交割价格现值的差额。
– 一单位无收益资产远期合约多头可由一单位标 的资产多头和Ke-r（T－t）无风险负债组成。
财政金融学院 陈修13谦
Hunan Business University
支付已知现金收益资产的远期价值
构建组合：
–组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke-r（T－t） 的现金;
–组合B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限 为从现在到现金收益派发日 、本金为I 的负债。
远期合约到期时，两种组合都等于一单位 标的资产：

远期与期货定价


*
证：设T时标的资产价格为ST，考虑两个组合 组合A（关于远期） 金额G0投资无风险资产+买入exp(rT)个远期合约 A在时刻T价值 G0exp(rT)+（ST-G0）exp(rT) =STexp(rT)， 组合B（关于期货） 金额F0投资无风险资产+在持有期每一天各买入一定的期货合约，使第i天末持有的期货合约达到exp(ri)个（逐步买进，到T天持有量与远期合约数相等）。 。
*
基本的假设与符号
3.1.4
为简便，本章分析是建立在如下假设前提下的： 1．没有交易费用和税收。 2．市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。 3．远期合约没有违约风险。 4．允许现货卖空。 5．当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套利机会消失，我们得到的理论价格就是在没有套利机会下的均衡价格。 6．期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。这意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头或空头地位。
*
三、远期交易的损益曲线 在远期交易时应该取远期价格作为交割价格，使 合约双方都处于公平合理，这时合约双方的成本都是0。所以在交易远期合约时双方都不必向对方支付任何费用，即远期交易具有0成本性。 但是合约一经签订，由于标的价格的变化，可使其中一方获利，而另一方造成损失。 如果标的价格上升，则多方获得利益而空方受到损失；如果标的价格下跌，则空方获得利益而多方受到损失。
现货-远期平价定理
远期价格公式： F=Ser（T－t） 因为远期价格是合约价值为0的交割价格。所以令远期合约价值等于0，远期价格F等于交割价格K。由此，远期价格为：F=Ser（T－t） 现货-远期平价定理（现货-期货平价定理）：无收益资产的远期价格等于其标的资产现货价格的终值。
3、可用远期价格公式F=Ser（T-t）确定远期合约的交割价格。否则就会出现无风险套利。 （1）若K>F=Ser（T-t），即交割价格大于现货价格的终值。交割价定高了， 套利思路：以S价格买入标的，持有空头远期合约 t时刻 组合A：①按无风险利率r借入S现金，期限为T-t，期末本息为Se r（T-t）；②用S购买一单位标的资产；③同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为K。 t时A价值=0 T时刻 可将一单位标的资产用于交割换来K金额，并归还借款本息Se r（T-t），所以 A的价值=K-Ser（T-t） 这是无风险利润。

第三章 远期与期货定价


支付已知收益率的资产II
两种理解：
支付已知收益率的资产III
因此支付已知收益率资产的远期价格为
案例3.6
2007年9月20日，美元3个月期无风险年利率为 3.77%，S&P500指数预期红利收益率为1.66%。 当S&P500指数为1518.75点时，2007年12月到 期的S&P500指数期货SPZ7相应的理论价格应为 多少？
由于S&P500指数期货总在到期月的第三个星期 五到期，故此剩余期限为3个月，SPZ Carry）
=保存成本+利息成本−标的资产在合约期限内 的收益
例子：
不支付红利的股票，没有保存成本和收益，所 以持有成本就是利息成本r
股票指数的持有成本是r − q 外币的持有成本是 r − rf
持有成本III
远期和期货定价中的持有成本（c）概念：
非完全市场上的定价公式I
存在交易成本：
假定每一笔交易的费率为Y，那么不存在套利 机会的远期价格就不再是确定的值，而是一个 区间：
的远期价值。 F： t时刻的理论远期价格和理论期货价格. r： T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的
无风险利率（年利率）。
定价思路
设计两个投资组合A和B ，使得A是被复制品，B 是A的复制品。
在无套利均衡状态下，A 和B将时时刻刻保持相同 的现金流。根据A组合和 B组合时时刻刻保持相同 现金流的关系获得远期价 格。
无收益资产的远期价值I
无收益资产是指在远期到期前不产生现金 流的资产，如贴现债券。
构建组合：
无收益资产的远期价值II
远期合约到期时，两种组合都等于一单位 标的资产，因此现值必须相等。
无收益资产的远期价值III

第三章远期与期货定价


17
案例3.1
2007年8月31日，美元6个月期的无风 险年利率为4.17%。市场上正在交易一 份标的证券为一年期贴现债券、剩余 期限为6个月的远期合约多头，其交割 价格为970美元，该债券的现价为960 美元。请问对于该远期合约的多头和 空头来说，远期价值分别是多少？
第三章远期与期货定价
18
案例3.1
远期价值f指远期合约本身的价值，是远期 合约能为交易者带来的价值。在规定的交 易期限内远期价值会变化。
第三章远期与期货定价
5
在规定交割价格时遵从的原则是，应使远期合约 的价值为零，即远期价格=交割价格，否则会出现 套利机会。即K=F(t，T)
在交易双方签署远期合约时，若交割价格等于远 期理论价格，则此时远期合约价值为零。但随着 时间推移，远期合约的理论价格F会随着相关因素 的变化而改变，而原有远期合约的交割价格K不 变，因此，原有远期合约的价值f就不可能再为零 了。
无收益资产是指在远期到期前不产生 现金流的资产，如贴现债券。
构建组合：
第三章远期与期货定价
13
无收益资产的远期价值II
远期合约到期时，两种组合都等于一 单位标的资产，因此现值必须相等。
第三章远期与期货定价
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无收益资产的远期价值III
两种理解：
无收益资产远期合约多头的价值等于标 的资产现货价格与交割价格现值的差额 。
第三章远期与期货定价
45
同一时刻远期（期货）价格与标的 资产现货价格的关系
无套利条件下同一时刻金融远期价格与标的资 产现货价格的关系必须满足
第三章远期与期货定价
46
同一时刻远期（期货）价格与标的 资产现货价格的关系
同一时刻的两者价格高低取决于持有成本 即期货与现货价格谁高谁低，取决于持有成 本的高低，在远期到期日，远期价格将收敛 于标的资产的现货价格。

[金融工程][第03章][远期与期货定价]


一单位无收益资产远期合约多头可由一单位标的资产
6
多头和 KerT t无 风险负债组成。
现货-远期平价定理
远期价格：
（F）就是使合约价值（f）为零的交割价格（K）
F= SerT t 无收益资产的现货-远期平价定理：对于无收益资产
而言，远期价格等于其标的资产现货价格的终值。
反证法
运用无套利原理对无收益资产的现货-远期平价定 理的反证 F> SerT t ？ F< SerT t ？
24
非完全市场上的定价公式
存在交易成本：
假定每一笔交易的费率为Y，那么不存在套利机会的远期价 格就不再是确定的值，而是一个区间：
S 1Y er(T t) , S 1 Y er(T t)
借贷存在利差
如果用 表rb示借入利率，用 表rl示借出利率，对非银行的机
构和个人，一般是 rb 。rl 这时远期和期货的价格区间为：
26
第七节 远期（期货）价格与标的资产现货 价格的关系
同一时刻的两者价格高低取决于持有成本 在远期（期货）到期日，远期（期货）价格将收敛
于标的资产的现货价格 标的资产的现货价格对同一时刻的远期（期货）价
格起着重要的制约关系 价格的领先滞后关系
27
当前远期（期货）价格与标的资产预 期的未来现货价格的关系
反证法
F>(S-I) erT t F<(S-I) erT t
15
例3.4
假设6 个月期和12 个月期的无风险年利率分别为 9%和10%，而一种十年期债券现货价格为990 元， 该证券一年期远期合约的交割价格为1001 元，该 债券在6 个月和12 个月后都将收到$60 的利息，且 第二次付息日在远期合约交割日之前，求该合约的 价值。
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案例3.3 无收益资产远期合约的远期价格期限结构
2007年8月31日，美元3个月期与6个月期的无风险年利 率分别为3.99%与4.17%。某支不付红利的股票3个月远期 合约的价格为20美元，该股票6月份的远期价格应为多少？ 根据题意，有： F=20，r=3.99%,r*=4.17%,T-t=0.25,T*-t=0.5 则根据式（3.3），该股票6月期远期价格应为： F*=Fer*(T*-t)-r(T-t)=20*e0.0417*0.5-0.03forward price）：指使一个远期合约价值
为零的交割价格。
☆例1： 一个交割价格（K）为10元、交易数量为100单位、距离到期日还 有一年（T-t）的远期合约，如果标的资产当前的市场价格（S）为15 元，市场无风险连续复利率（r）为10%，则对于多头来说，该远期 合约的价值就为（15-10*e-10%*1）*100=595元。对于空头来说，该远 期合约价值就为-595元。
21
组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券； 在组合B中，由于标的证券的现金收益刚好可以用来 偿还负债的本息，因此在T时刻，该组合的价值也等于一 单位标的证券。 因此，在t时刻，这两个组合的价值应相等，即 f+Ke-r(T-t)=S-I f=S-I-Ke-r(T-t) （3.4） 式（3.4）表明，支付已知现金收益资产的远期合约多 头价值等于标的证券现货价格扣除现金收益现值后的余额 与交割价格现值之差。
8
三、基本的假设与符号
1.3.1基本的假设 （1）没有交易费用与税收； （2）市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出 资金； （3）远期合约没有违约风险； （4）允许现货卖空； （5）市场上不存在套利机会； （6）期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。

9
1.3.2 基本符号 T：远期和期货合约的到期时间，单位为年； t：现在的时间，单位为年； S：远期（期货）标的资产在时间t时的价格； ST：远期（期货）标的资产在时间T时的价格； K：远期合约中的交割价格； f：远期合约多头在t时刻的价值，即t时刻的远期价值； F：t时刻的远期合约和期货合约中的理论远期价格和理 论期货价格； r：T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率。
7
二、远期价格与期货价格的关系


Cox, Ingersoll and Ross(1981)曾证明： （1）当无风险利率恒定且对所有到期日都相同时，交 割日相同的远期价格和期货价格应相等。 （2）当利率变化无法预测时，远期价格和期货价格就 不相等。 The relationship between forward prices and future prices. Journal of Financial Economics, 1981(12): 321-346. 总之，远期价格与期货价格的定价思想在本质上是相同的， 其差别主要体现在交易机制与交易费用的差异上。因此， 在大多数情况下，可以合理的假定远期价格与期货价格相 等，并都用F来表示。
23
二、支付已知现金收益资产的远期价格
根据远期价格的定义，可从式（3.4）中求 得： F=（S-I）er(T-t) （3.5） 这就是支付已知现金收益资产的现货-远期 平价公式。式（3.5）表明，支付已知现金收 益资产的远期价格等于标的证券现货价格与已 知现金收益现值差额的终值。
24
案例3.5 支付已知现金收益资产的期货价格
K
标的资产价 格
(a) 远期多头的 到期盈亏
(b) 远期空头的 到期盈亏
图3.1 远期与期货多头（空头）的盈亏状况
3

远期价值（forward value）：远期合约本身的价值
（多头或空头购买或出售合约本身给他们带来的价值）。
☆例1：
一个交割价格（K）为10元、交易数量为100单位、 距离到期日还有一年（T-t）的远期合约，如果标的资产当 前的市场价格（S）为15元，市场无风险连续复利率（r） 为10%，则对于多头来说，该远期合约的价值就为（1510*e-10%*1）*100=595元。对于空头来说，该远期合约价 值就为-595元。
14
二、无收益资产的现货-远期平价定理

由于远期价格F就是使远期合约价值f为零的交割 价格K，即当f=0时，K=F。据此可令式（3.1）中 的f=0，则： F= Se-r（T－t） （3.2） 这就是无收益资产的现货-远期平价定理 （spot-forward parity theorem），或称现货-期货 （spot-futures parity theorem）平价定理。式（3.2） 表明，对于无收益资产而言，远期价格等于其标 的资产现货价格以无风险利率计算的终值。
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案例3.6 S&P500股指期货定价
2007年9月20日，美元3个月期无风险年利率为 3.77%，S&P500指数预期红利收益率为1.66%。当 S&P500指数为1518.75点时，2007年12月到期的 S&P500指数期货SPZ7相应的理论价格应为多少？ 由于S&P500指数期货总在到期月的第三个星 期五到期，故此2007年9月20日距SPZ7期货到期 时间为3个月，根据式（3.7），SPZ7理论价格应 为： F=Se(r-q)(T-t) =1518.75*e(3.77%-1.66%)*0.25=1526.78。
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案例3.4 支付已知现金收益资产远期合约的价值
2007年8月31日，美元6个月期与1年期的无风险年利率 分别为4.17%与4.11%。市场上一种10年期国债现货价格为 990美元，该证券一年期远期合约的交割价格为1001美元， 该债券在6个月和12个月后都将收到60美元的利息，且第 二次付息日在远期合约交割日之前，求该合约的价值。 根据已知条件，可以先算出该债券已知现金收益的现 值： I=60*e-4.71%*0.5 +60*e-4.11%*1 =116.35美元 根据式（3.4），可算出该远期合约多头的价值为： f=S-I-Ke-r(T-t)=990-116.35-1001*e-4.11%*1=-87.04美元。 相应地，该合约空头的远期价值为87.04美元。
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案例3.2 无收益资产远期合约的远期价格
2007年8月31日，美元3个月期的无风险年利 率为3.99%，市场上正在交割一个期限为3个月的 股票远期合约，标的股票不支付红利且当时市价 为40美元。那么根据式（3.2），这份远期合约的 合理交割价格为： F=40*e3.99%*0.25=40.40美元。
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三、远期价格的期限结构

远期价格的期限结构描述的是同一标的资产不同期限远期 价格之间的关系。设F为在T时刻交割的远期价格，F*为在 T*时刻交割的远期价格，r为T时刻到期的无风险利率，r* 为T*时刻到期的无风险利率。对无收益资产而言，从式 （3.2）可知： F=Ser(T-t) F*=Ser*(T*-t) 两式相除消掉S后： F*=Fe r*(T*-t)-r(T-t) (3.3)
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为了给无收益资产的远期合约定价，构建如下两 个投资组合： （1）组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke -r（T－t）的现金； （2）组合B：一单位标的资产。

组 合 A
远期 合约
现金
组 合 B
标的资产
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在组合A中，Ke-r（T－t）的现金以无风险利率投资，投 资期为（T－t）。到T时刻，其金额将达到K。这是因为： Ke-r（T－t）er（T－t） =K。 在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来一 单位标的资产。这样，在T时刻，两种组合都等于一单位 标的资产。根据无套利原则：终值相等，则其现值一定相 等，这两种组合在t时刻的价值必须相等。 即： f+ Ke-r（T－t）=S f=S－Ke-r（T－t） （3.1） 该公式表明，无收益资产远期合约多头的价值等于标 的资产现货价格与交割价格现值的差额。
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组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。 组合B由于获得的红利收入全部都再投资于该 证券，拥有的证券数量随着红利的不断发放而增 加，所以在时刻T，正好拥有一单位标的证券。 因此，在t时刻两者的价值也应该相等，即： f+Ke-r(T-t) =Se-q(T-t) f=Se-q(T-t) –Ke-r(T-t) (3.6) 式（3.6）表明，支付已知红利率资产的远期 合约多头价值等于Se-q(T-t) 与交割价格现值之差。
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第四节 支付已知收益率资产远期合约的定价
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支付已知收益率的标的资产：是指在远期合约到
期前将产生与该资产现货价格成一定比率收益的资产。
一、支付已知收益率资产的远期价值 为了给支付已知收益率资产的远期定价，可 以构建如下两个组合： （1）组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke-r(T-t)的现金； （2）组合B：e-q(T-t)单位证券并且所有收入都再投 资于该证券，其中q为该资产按连续复利计算的已 知收益率。
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二、支付已知收益率资产的远期价格
根据远期价格的定义，可根据式（3.6）算出 支付已知收益率资产的远期价格： F=Se(r-q)(T-t) (3.7) 这就是支付已知红利率资产的现货-远期平价 公式。式（3.7）表明，支付已知收益率资产的远 期价格等于按无风险利率与已知收益率之差计算 的现货价格在T时刻的终值。
定义远期价格为F，上述例子中的远期价格就 是使得（15-F*e-10%*1）*100=0的F，计算可得 F=16.58元。
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★总结： 总之，与传统理解的价值与价格的相互关系 不同，远期价值是远期合约本身的价值，而远 期价格则是理论上使远期价值等于零的那个未 来的交割价格。
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☆期货的价值与期货的价格
假设黄金现价为每盎司733美元，其存储成本 为每年每盎司2美元，一年后支付，美元一年期无 风险利率为4%。则一年期黄金期货的理论价格为： F=（S-I）er(T-t) =（733-I）*e4%*1 其中，I=-2*e-4%*1 =-1.92，故： F=（733+1.92）*e4%*1 =764.91美元/盎司