第三章 远期与期货定价

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案例3.3 无收益资产远期合约的远期价格期限结构
2007年8月31日，美元3个月期与6个月期的无风险年利 率分别为3.99%与4.17%。某支不付红利的股票3个月远期 合约的价格为20美元，该股票6月份的远期价格应为多少？ 根据题意，有： F=20，r=3.99%,r*=4.17%,T-t=0.25,T*-t=0.5 则根据式（3.3），该股票6月期远期价格应为： F*=Fer*(T*-t)-r(T-t)=20*e0.0417*0.5-0.03forward price）：指使一个远期合约价值
为零的交割价格。
☆例1： 一个交割价格（K）为10元、交易数量为100单位、距离到期日还 有一年（T-t）的远期合约，如果标的资产当前的市场价格（S）为15 元，市场无风险连续复利率（r）为10%，则对于多头来说，该远期 合约的价值就为（15-10*e-10%*1）*100=595元。对于空头来说，该远 期合约价值就为-595元。
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组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券； 在组合B中，由于标的证券的现金收益刚好可以用来 偿还负债的本息，因此在T时刻，该组合的价值也等于一 单位标的证券。 因此，在t时刻，这两个组合的价值应相等，即 f+Ke-r(T-t)=S-I f=S-I-Ke-r(T-t) （3.4） 式（3.4）表明，支付已知现金收益资产的远期合约多 头价值等于标的证券现货价格扣除现金收益现值后的余额 与交割价格现值之差。
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三、基本的假设与符号
1.3.1基本的假设 （1）没有交易费用与税收； （2）市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出 资金； （3）远期合约没有违约风险； （4）允许现货卖空； （5）市场上不存在套利机会； （6）期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。

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1.3.2 基本符号 T：远期和期货合约的到期时间，单位为年； t：现在的时间，单位为年； S：远期（期货）标的资产在时间t时的价格； ST：远期（期货）标的资产在时间T时的价格； K：远期合约中的交割价格； f：远期合约多头在t时刻的价值，即t时刻的远期价值； F：t时刻的远期合约和期货合约中的理论远期价格和理 论期货价格； r：T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率。
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二、远期价格与期货价格的关系


Cox, Ingersoll and Ross(1981)曾证明： （1）当无风险利率恒定且对所有到期日都相同时，交 割日相同的远期价格和期货价格应相等。 （2）当利率变化无法预测时，远期价格和期货价格就 不相等。 The relationship between forward prices and future prices. Journal of Financial Economics, 1981(12): 321-346. 总之，远期价格与期货价格的定价思想在本质上是相同的， 其差别主要体现在交易机制与交易费用的差异上。因此， 在大多数情况下，可以合理的假定远期价格与期货价格相 等，并都用F来表示。
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二、支付已知现金收益资产的远期价格
根据远期价格的定义，可从式（3.4）中求 得： F=（S-I）er(T-t) （3.5） 这就是支付已知现金收益资产的现货-远期 平价公式。式（3.5）表明，支付已知现金收 益资产的远期价格等于标的证券现货价格与已 知现金收益现值差额的终值。
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案例3.5 支付已知现金收益资产的期货价格
K
标的资产价 格
(a) 远期多头的 到期盈亏
(b) 远期空头的 到期盈亏
图3.1 远期与期货多头（空头）的盈亏状况
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远期价值（forward value）：远期合约本身的价值
（多头或空头购买或出售合约本身给他们带来的价值）。
☆例1：
一个交割价格（K）为10元、交易数量为100单位、 距离到期日还有一年（T-t）的远期合约，如果标的资产当 前的市场价格（S）为15元，市场无风险连续复利率（r） 为10%，则对于多头来说，该远期合约的价值就为（1510*e-10%*1）*100=595元。对于空头来说，该远期合约价 值就为-595元。
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二、无收益资产的现货-远期平价定理

由于远期价格F就是使远期合约价值f为零的交割 价格K，即当f=0时，K=F。据此可令式（3.1）中 的f=0，则： F= Se-r（T－t） （3.2） 这就是无收益资产的现货-远期平价定理 （spot-forward parity theorem），或称现货-期货 （spot-futures parity theorem）平价定理。式（3.2） 表明，对于无收益资产而言，远期价格等于其标 的资产现货价格以无风险利率计算的终值。
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案例3.6 S&P500股指期货定价
2007年9月20日，美元3个月期无风险年利率为 3.77%，S&P500指数预期红利收益率为1.66%。当 S&P500指数为1518.75点时，2007年12月到期的 S&P500指数期货SPZ7相应的理论价格应为多少？ 由于S&P500指数期货总在到期月的第三个星 期五到期，故此2007年9月20日距SPZ7期货到期 时间为3个月，根据式（3.7），SPZ7理论价格应 为： F=Se(r-q)(T-t) =1518.75*e(3.77%-1.66%)*0.25=1526.78。
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案例3.4 支付已知现金收益资产远期合约的价值
2007年8月31日，美元6个月期与1年期的无风险年利率 分别为4.17%与4.11%。市场上一种10年期国债现货价格为 990美元，该证券一年期远期合约的交割价格为1001美元， 该债券在6个月和12个月后都将收到60美元的利息，且第 二次付息日在远期合约交割日之前，求该合约的价值。 根据已知条件，可以先算出该债券已知现金收益的现 值： I=60*e-4.71%*0.5 +60*e-4.11%*1 =116.35美元 根据式（3.4），可算出该远期合约多头的价值为： f=S-I-Ke-r(T-t)=990-116.35-1001*e-4.11%*1=-87.04美元。 相应地，该合约空头的远期价值为87.04美元。
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案例3.2 无收益资产远期合约的远期价格
2007年8月31日，美元3个月期的无风险年利 率为3.99%，市场上正在交割一个期限为3个月的 股票远期合约，标的股票不支付红利且当时市价 为40美元。那么根据式（3.2），这份远期合约的 合理交割价格为： F=40*e3.99%*0.25=40.40美元。
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三、远期价格的期限结构

远期价格的期限结构描述的是同一标的资产不同期限远期 价格之间的关系。设F为在T时刻交割的远期价格，F*为在 T*时刻交割的远期价格，r为T时刻到期的无风险利率，r* 为T*时刻到期的无风险利率。对无收益资产而言，从式 （3.2）可知： F=Ser(T-t) F*=Ser*(T*-t) 两式相除消掉S后： F*=Fe r*(T*-t)-r(T-t) (3.3)
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为了给无收益资产的远期合约定价，构建如下两 个投资组合： （1）组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke -r（T－t）的现金； （2）组合B：一单位标的资产。

组 合 A
远期 合约
现金
组 合 B
标的资产
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在组合A中，Ke-r（T－t）的现金以无风险利率投资，投 资期为（T－t）。到T时刻，其金额将达到K。这是因为： Ke-r（T－t）er（T－t） =K。 在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来一 单位标的资产。这样，在T时刻，两种组合都等于一单位 标的资产。根据无套利原则：终值相等，则其现值一定相 等，这两种组合在t时刻的价值必须相等。 即： f+ Ke-r（T－t）=S f=S－Ke-r（T－t） （3.1） 该公式表明，无收益资产远期合约多头的价值等于标 的资产现货价格与交割价格现值的差额。
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组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。 组合B由于获得的红利收入全部都再投资于该 证券，拥有的证券数量随着红利的不断发放而增 加，所以在时刻T，正好拥有一单位标的证券。 因此，在t时刻两者的价值也应该相等，即： f+Ke-r(T-t) =Se-q(T-t) f=Se-q(T-t) –Ke-r(T-t) (3.6) 式（3.6）表明，支付已知红利率资产的远期 合约多头价值等于Se-q(T-t) 与交割价格现值之差。
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第四节 支付已知收益率资产远期合约的定价
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支付已知收益率的标的资产：是指在远期合约到
期前将产生与该资产现货价格成一定比率收益的资产。
一、支付已知收益率资产的远期价值 为了给支付已知收益率资产的远期定价，可 以构建如下两个组合： （1）组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 Ke-r(T-t)的现金； （2）组合B：e-q(T-t)单位证券并且所有收入都再投 资于该证券，其中q为该资产按连续复利计算的已 知收益率。
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二、支付已知收益率资产的远期价格
根据远期价格的定义，可根据式（3.6）算出 支付已知收益率资产的远期价格： F=Se(r-q)(T-t) (3.7) 这就是支付已知红利率资产的现货-远期平价 公式。式（3.7）表明，支付已知收益率资产的远 期价格等于按无风险利率与已知收益率之差计算 的现货价格在T时刻的终值。
定义远期价格为F，上述例子中的远期价格就 是使得（15-F*e-10%*1）*100=0的F，计算可得 F=16.58元。
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★总结： 总之，与传统理解的价值与价格的相互关系 不同，远期价值是远期合约本身的价值，而远 期价格则是理论上使远期价值等于零的那个未 来的交割价格。
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☆期货的价值与期货的价格
假设黄金现价为每盎司733美元，其存储成本 为每年每盎司2美元，一年后支付，美元一年期无 风险利率为4%。则一年期黄金期货的理论价格为： F=（S-I）er(T-t) =（733-I）*e4%*1 其中，I=-2*e-4%*1 =-1.92，故： F=（733+1.92）*e4%*1 =764.91美元/盎司