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高一指数对数必考知识点一、指数的基本概念及性质指数是数学中常见的一种表示方法，它可以用来表示一个数被乘若干次的情况。
高一阶段，学生需要掌握指数的基本概念及性质，包括：1. 指数的定义：指数是表示一个数被乘若干次的方式，通常以一个较小的数字作为底数，上标数字表示指数。
2. 底数和指数的含义：底数表示被乘的数，指数表示乘了几次。
3. 指数运算法则：a. 指数相加：当底数相同时，指数相加等于底数不变，指数相加。
b. 指数相减：当底数相同时，指数相减等于底数不变，指数相减。
c. 指数乘法：指数乘法规则是同底数相乘，指数相加。
d. 指数除法：指数除法规则是同底数相除，指数相减。
e. 乘方的乘方：乘方的乘方是将底数相同的多个乘方进行乘法运算，底数不变，指数相乘。
二、对数的基本概念及性质对数是指数的逆运算，它可以用来表示一个数是以什么底数为指数得到的。
在高一阶段，学生需要了解对数的基本概念及性质，包括：1. 对数的定义：对数是指数的逆运算，即求解指数方程 a^x = b 时，x 称为以 a 为底 b 的对数，记作 log_a(b)。
2. 底数、真数和对数的含义：在对数运算中，以 a 为底数，b为真数，x 为对数。
3. 常用对数与自然对数：常用对数是以 10 为底数的对数，自然对数是以常数 e (约等于 2.71828) 为底数的对数。
4. 对数运算法则：a. 对数相加：log_a(b * c) = log_a(b) + log_a(c)。
b. 对数相减：log_a(b / c) = log_a(b) - log_a(c)。
c. 对数乘法：log_a(b^c) = c * log_a(b)。
d. 对数除法：log_a(b^c) = log_a(b) / c。
e. 换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)，其中 a、b、c 均为正数且a ≠ 1。
三、指数与对数的应用指数与对数在生活中和其他学科中有着广泛的应用，高一阶段学生需要了解一些常见的应用情况，包括：1. 科学计数法：科学计数法是一种常见的使用指数表示极大数或极小数的方法，它能够简化数字的表达和计算。
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b .（2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log aNM=log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象O x y y = l o g x a >x<a11( )底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+基础例题题型1（对数的计算）1．求下列各式的值． （1）355log ＋212log 1505log －145log ； （2）log 2125×log 318×log 519.练习题 1．计算：lg 12－lg 58＋lg12.5－log 89·log 278；2.log 535＋212log －log 5150－log 514； 3.log 2125×log 318×log 519.4. 3991log log 4log 32+-． 5. 4lg 2lg 5lg 22+-221(6).log 24lg log lg 2log 32+-- 7.2lg 2lg3111lg 0.36lg823+++例2．已知实数x 、y 、z 满足3x ＝4y ＝6z＞1. (1)求证：2x ＋1y＝2z ； (2)试比较3x 、4y 、6z 的大小．练习题．已知log 189＝a ，18b＝5，用a 、b 表示log 3645.题型二：（对数函数定义域值域问题）例1．已知函数()22log 1xf x x -=-的定义域为集合A ，关于x 的不等式22a a x --<的解集为B ，若A B ⊆，求实数a 的取值范围．2．设函数22log (22)y ax x =-+定义域为A ． （1）若A R =，求实数a 的取值范围；（2）若22log (22)2ax x -+>在[1,2]x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围．练习题1．已知函数()()2lg 21f x ax x =++（1）若()f x 的定义域是R ,求实数a 的取值范围及()f x 的值域； （2）若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围及()f x 的定义域2 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.题型三（奇偶性及其单调性）例题1．已知定义域为R 的函数f(x)为奇函数，且满足f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式； (2)求f(12log 24)的值．2. 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间.3.已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.4．已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-. （Ⅰ）求函数()y f x =的定义域； （Ⅱ）判断函数()y f x =的奇偶性；（Ⅲ）若(2)()f m f m -<，求m 的取值范围.练习题1．已知函数f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)(a ＞0，a≠1) (1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)当a ＞1时，求使f(x)＞0的x 的取值范围2．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，(0)0f =，当0x >时，12()log f x x =.（1）求函数()f x 的解析式； （2）解不等式2(1)2f x ->-；3．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≤时，12()log (1)f x x =-+．（Ⅰ）求(0)f ，(1)f ； （Ⅱ）求函数()f x 的表达式；（Ⅲ）若(1)1f a -<-，求a 的取值范围．题型4（函数图像问题）例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是1 1 1 11 1 1xxxx y yy yOO OO ABC D2.求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.3．设f(x)＝|lg x|，a ，b 为实数，且0＜a ＜b. (1)求方程f(x)＝1的解； (2)若a ，b 满足f(a)＝f(b)＝2f 2a b +⎛⎫⎪⎝⎭， 求证：a·b＝1，2a b+＞1.练习题：1．已知0>a 且1≠a ，函数)1(log )(+=x x f a ，xx g a-=11log )(，记)()(2)(x g x f x F +=（1）求函数)(x F 的定义域及其零点；（2）若关于x 的方程2()2350F x m m -++=在区间)1,0[内仅有一解，求实数m 的取值范围.2．已知函数f(x)＝log 4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g(x)＝log 44•23x a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．3.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于题型五：函数方程1方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________.2.已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为4．已知函数1,0)((log )(≠>-=a a x ax x f a 为常数）. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若2a =，[]1,9x ∈,求函数()f x 的值域； （Ⅲ）若函数()f x y a =的图像恒在直线21y x =-+的上方，求实数a 的取值范围.5．已知函数221log log (28).242x xy x =⋅⋅≤≤ （Ⅰ）令x t 2log =，求y 关于t 的函数关系式及t 的取值范围； （Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的x 的值.6.设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小.注：资料可能无法思考和涵盖全面，最好仔细浏览后下载使用，感谢您的关注！。
指数与对数解题的技巧与常见题型指数与对数是数学中常见的概念与运算方式，它们在很多领域中都有重要的应用。
掌握指数与对数的解题技巧以及常见的题型，对于我们提高数学能力和解决实际问题都非常重要。
本文将介绍一些关于指数与对数解题的技巧和常见题型，并探讨如何有效地解决它们。
一、指数解题的技巧1. 同底数幂相乘的性质当指数相同且底数相等的幂相乘时，可以将底数保持不变，将指数相加。
例如，对于2³ × 2²，可以合并为2^(3+2)=2^5。
2. 同底数幂相除的性质当指数相同且底数相等的幂相除时，可以将底数保持不变，将指数相减。
例如，对于2⁵ ÷ 2³，可以合并为2^(5-3)=2^2。
3. 幂的幂的性质当一个幂的指数是另一个幂时，可以将指数相乘。
例如，对于(2²)³，可以合并为2^(2×3)=2^6。
4. 幂的0次方性质任何数的0次方都等于1。
例如，对于5^0，结果是1。
二、对数解题的技巧1. 对数的定义对数是指一个数以某个底数为指数时得到的幂。
例如，log₃9=2，表示3的二次幂等于9。
2. 对数运算的性质（1）对数乘法性质：logₐ(mn) =logₐm + logₐn。
例如，log₂4 +log₂8 = log₂(4×8) = log₂32。
（2）对数除法性质：logₐ(m/n) = logₐm - logₐn。
例如，log₄16 -log₄4 = log₄(16/4) = log₄4。
（3）对数的指数性质：logₐmⁿ = nlogₐm。
例如，log₄16² = 2log₄16。
（4）换底公式：logₐm = logₓm / logₓa，其中a、m和x为正数且a≠1且x≠1。
例如，log₂25 = log₅25 / log₅₂。
三、常见题型与解题方法1. 计算指数已知底数和指数，计算幂的值。
应用指数的定义和运算性质，将底数和指数进行合理的分解或合并，然后进行计算。
对数及对数式运算5大常考题型总结【知识点梳理 1.对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． (2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log Na ，读作以a 为底N 的对数；①常用对数：以10为底，记为lg N ； ①自然对数：以e 为底，记为ln N ； (3) 对数的性质和运算法则：①特殊对数：1log 0a =；log 1aa =；其中0a >且1a ≠①对数恒等式：log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >) ①对数换底公式：log log log c a cb b a= 如：252log 7lg7ln7log 7=log 5lg5ln7==． (4)对数的运算法则：①外和内乘原理：log ()log log a a a MN M N =+； ①外差内除原理：log log log aa a MM N N=-； ①提公次方法：log log (m n a a nb b m m=，)n R ∈； ①指中有对，没心没肺：log a b a b =和log b a a b = 如：433log 81log 34==，2log 525=． (5)换底公式和对数运算的一些方法：①常用换底：log log log c a c b b a= 如：252log 7lg7ln7log 7=log 5lg5ln7==． ①倒数原理：1log log a b b a =如：321log 2log 3=． ①约分法则：log log log a b a b c c ⋅= 如： 232log 3log 4log 4=2⋅=；35157log 15log 7log 5log 31⋅⋅⋅=．①归一法则：()2lg 2+lg51lg 2lg5+lg 2+lg5=lg 2lg5+lg 2+lg5=lg5+lg 21=⇒⋅=．【题型目录】 题型一：对数的定义 题型二: 指数对数的互化 题型三: 对数的运算求值题型四：换底公式的应用 题型五：对数式的应用题 【典型例题】 题型一：对数的定义【例1】（2021·全国高一课前预习）在()()31log 32a b a -=-中，实数a 的取值范围为______. 【答案】1223,,3332⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】由题意，要使式子()()31log 32a b a -=-有意义，则满足310311320a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得1233a <<或2332a <<，即实数a 的取值范围为1223,,3332⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1223,,3332⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【题型专练】1．（2022江苏省江阴市第一中学高一期中）使式子(31)log (3)x x --有意义的x 的取值范围是（ ） A ．3x > B ．3x <C ．133x <<D ．133x <<且23x ≠【答案】D【分析】对数函数中，底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式，求出x 的取值范围.【详解】由题意得：31031130x x x ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得：133x <<且23x ≠.故选：D2.（2022全国·高一课时练习）若()()1log 1k k +-有意义，则实数k 的取值范围是______. 【答案】()()1,00,1-【分析】结合对数性质建立不等关系，即可求解.【详解】若()()1log 1k k +-有意义，则满足101110k k k +>⎧⎪+≠⎨⎪->⎩，解得()()1,00,1k ∈-⋃.故答案为：()()1,00,1-题型二: 指数对数的互化【例1】（2022全国高一专题练习）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.（1）53=125； （2）4-2=116； （3）log 3127=-3. 【答案】（1）log 5125=3；（2）41log 216=-；（3）31327-= 【解析】（1）①53=125，①log 5125=3.（2）①21416-=，①41log 216=-. （3）①31log 327=-，①31327-=【题型专练】1.（2022全国高一课前预习）把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．（1）3128-=； （2）17ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（3）1lg31000=-． 【答案】（1）21log 38=-；（2）17log b a =；（3）31101000-=．【解析】（1）由3128-=可得21log 38=-； （2）由17ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭得17log b a =；（3）由1lg 31000=-可得31101000-= 2.（2022全国高一课时练习）指数式和对数式互相转化：（1）4e a =⇒____________．（2）31327-=⇒____________． （3）21log 416=-⇒____________．（4）2log 83=⇒____________． 【答案】ln 4a = 31log 327=- 41216-= 328= 【解析】log (0,1,0)ba a Nb N a a N =⇔=>≠>.故答案为：ln 4a =，31log 327=-，41216-=，328=. 题型三: 对数的运算求值【例1】（2022·浙江·高考真题）已知825,log 3ab ==，则34a b -=（ ）A ．25B ．5C ．259 D ．53【答案】C【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为25a =，821log 3log 33b ==，即323b =，所以()()22323232452544392a a a bb b -====． 故选：C.【例2】（2022陕西·长安一中高一期中）设函数()()211log 2,12,1x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨≥⎪⎩，则2(2)(log 6)f f -⋅=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【分析】根据给定分段函数直接计算即可得解【详解】函数()()211log 2,12,1x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨≥⎪⎩，则2(2)1log 43f -=+=，2log 62(log 6)223f =÷=，所以2(2)(log 6)9f f -⋅=. 故选：C【例3】（2022全国高一专题练习）计算：（1）659log 25log 3log 6⋅⋅=_________． （2）()()24525log 5log 0.2log 2log 0.5++=_________． （3）235111log log log 2589⋅⋅=_________． （4）()24892log 3log 9log 27log 3log 32n n n ++++⋅__________．（5）6log 2323)+-=__________． 【答案】114 12- 5212【解析】（1）原式226565365331log 5log 3log 62log 5log 3log 6log 5log 3log 62=⋅⋅=⋅⨯=⋅⋅lg5lg3lg 61lg 6lg5lg3=⋅⋅= （2）原式22552511log 5log log 2log log 5log 252⎛=++= ⎝25111log 5log 2224=⨯= （3）原式232235235log 5log 2log 32log 5(3)log 2(2)log 3---=⋅⋅=-⨯-⨯-23512log 5log 2log 312=-⋅⋅=-（4）原式()23223522223log 3log 3log 3log 3log 2n n n =++++⋅()22522222335log 3log 3log 3log 3log 2log 35lo 2g 22nn n =++++⋅=⨯= （5）26662log (2323)log (2323)log 61+-=+-==所以原式12故答案为：1，14，12-，52，12【例4】（2022·全国·高一课时练习）已知()122021log 5a x x x ⋅⋅⋅=，则222122021log log log a a a x x x ++⋅⋅⋅+=______．【答案】10【分析】由同底数对数加法公式以及log log ba a Nb N =，可得答案.【详解】因为()122021log 5a x x x ⋅⋅⋅=，所以222122021log log log a a a x x x ++⋅⋅⋅+()()222122021122021log 2log 10a a x x x x x x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=．故答案为：10.【例5】（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学高二期末（文））计算：0ln 221.1e 0.5lg 252lg 2-+-++=__________ 【答案】1【分析】根据指数的运算以及对数的运算性质即可求出． 【详解】原式＝()1242lg5lg2121+-++=-+=． 故答案为：1．【例6】（2021·江苏省沭阳高级中学高一期中）已知0x >，0y >，且lg 2lg8lg 2x y+=，则x y +的最小值为___________. 【答案】526+【分析】由lg 2lg8lg 2x y +=可得31x y +=，则()21213x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭化简后利用基本不等式可求得答案【详解】因为lg 2lg8lg 2x y +=，所以3lg(28)lg 2lg 2x y x y +⋅==， 所以31x y +=， 因为0x >，0y >，所以()21213x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭623y x x y=+++ 652526y xx y≥+⋅=+， 当且仅当6y xx y =，即3662,3x y -=-=时取等号，， 所以21x y +的最小值为526+，故答案为：526+ 【题型专练】1.(2020全国卷①)设3log 42a =，则4a -=（ ） A ．116B ．19C ．18D ．16【答案】B【详解】因24log 4log 33==a a ，所以9342==a ，故11449a a -== 2.（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））若()()231log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()()016f f +=_________.【答案】5【分析】根据给定的分段函数，直接代值计算作答.【详解】因函数()()231log (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，所以()()020163log 16145f f +=+=+=.故答案为：53.（2022长沙市明德中学高一开学考试）计算：2log 321lg252log ln1162+++=______ 【答案】12-【解析】原式()1lg 211lg5340lg5lg 212222=+-++=+-=-.故答案为：12- 4.（2022·江苏·高一）计算()32log 2lg 2lg 2lg5lg53-++-=___________ 【答案】12【分析】利用对数运算及指数式与对数式互化计算作答【详解】()332log 2log 2111lg 2lg 2lg5lg53lg 2(lg 2lg5)lg5(3)lg 2lg522--++-=++-=+-=.故答案为：126.（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））设函数()()2log 4,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨>⎩，则()()24log 5f f -+=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【分析】根据给定的分段函数，判断自变量取值区间，再代入计算作答.【详解】因23252<<，则22log 53<<，而()()2log 4,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨>⎩，所以()()2log 5224log 5log (44)2358f f -+=++=+=.故选：D7.（2022江苏高二课时练习）若0a >，0b >，()lg lg lg 2a b a b +=+，则2a b +的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】A【详解】因()lg lg lg 2a b a b +=+，所以()b a ab 2lg lg +=，所以b a ab 2+=，所以12=+abba ，即 121=+ab ，所以()9522212241222=+⋅≥+++=⎪⎭⎫⎝⎛++=+a b b a a b b a b a b a b a 8.（2022全国高一课时练习）计算:22log 4log 1323lg 3log 2lg 5+-⋅-=________．【答案】4【解析】原式0lg 243lg 3lg 541lg 2lg 54lg 3=+-⋅-=+--=． 故答案为：4.9.（2022全国高一课时练习）计算：(()22222lg5lg 2lg 21+-+____.【答案】1【解析】原式)()222lg5lg 22lg 21=-+)()22lg 2lg5lg 21=+-2lg 21= 212=-1= ，故答案为：1 .题型四：换底公式的应用【例1】（2022·全国·高一课时练习）已知53a =，32b =，则5log 10ab -=（ ） A ．1 B ．2 C ．5 D ．4【答案】A【分析】先求得,a b ，然后结合对数运算求得正确答案. 【详解】①53a =，32b =，①5log 3a =，3log 2b =， 5553log 10log 10log 3log 2ab -=-⨯=5555555log 2log 10log 3log 10log 2log 51log 3-⨯=-==． 故选：A【例2】（2022全国高一课时练习）设25a b m ==，且112a b+=，则m =（ ）A 10B ．10C ．20D ．100【答案】A【解析】由25a b m ==，可得2log a m =，5log b m =， 由换底公式得1log 2m a =，1log 5m b=， 所以11log 2log 5log 102m m m a b+=+==，又因为0m >，可得10m = 故选：A.【例3】（2022·全国·高一课时练习）已知lg 2a =，lg3b =，则36log 5=（ ） A ．221a b a +- B ．12aa b-+ C ．22a a b -+ D ．122a a b -+ 【答案】D【分析】利用对数的运算法则及性质进行运算可得答案． 【详解】因为lg 2a =，lg3b =，所以()36lg 51lg 21log 5lg 362lg 2lg 322aa b--===++． 故选：D.【例4】（2022·天津·高考真题）化简()()48392log 3log 3log 2log 2++的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】B【分析】根据对数的性质可求代数式的值.【详解】原式2233111(2log 3log 3)(log 2log 2)232=⨯++2343log 3log 2232=⨯=， 故选：B【例5】（2021·江苏·高一专题练习）若实数a 、b 、c 满足2540320152019a b c ===，则下列式子正确的是A ．122a b c +=B ．221a b c +=C ．112a b c +=D ．212a b c+=【答案】A【分析】由指数式化对数式，然后利用换底公式得出20191log 52a =，20151log 403b =，20191log 2015c=，利用对数的运算性质和20155403=⨯可得出122a b c+=成立.【详解】由已知，得 2540320152019a b c ===，得 52log 2019a =， 403log 2019b =，22log 015019c =，所以21log 52a =，20191log 403b =，20191log 2015c=，而54032015⨯=，则201920192019log 5log 403log 2015+=， 所以1112a b c +=，即 122a b c+=. 故选A. 【题型专练】1．（2022湖南·长沙麓山国际实验学校高一开学考试）已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d =，则下列等式一定成立的是（ ） A ．d ac = B ．a cd = C ．c ab = D ．d a c =+【答案】B【分析】根据对数运算法则，以及指对互化，即可判断选项. 【详解】5log ,lg b a b c ==，两式相除得55log ,log 10lg b a a b c c ==，又5510,log 10dd =∴=，所以a d cd a c=⇒=. 故选：B.2.（2022湖北黄石·高一期中）已知1a b >>，若5log log ,2b a a b b a a b +==，则2+a b =___________.【答案】8【分析】利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解． 【详解】解：由5log log 2a b b a +=，且log log 1a b b a ⋅= 所以log ,log a b b a 是方程25102x x -+=的两根， 解得log 2b a =或1log 2b a =， 又1a b >>，所以log 2b a =，即2a b =，又b a a b = 从而22b a b b a b =⇒=，且2a b =，则2b =，4a =． 所以28a b +=. 故答案为：8.3.（2021·上海高一专题练习）已知3log 2m =，用含m 的式子表示32log 18=_________. 【答案】25m m+ 【解析】3333325333log 18log 2log 9log 222log 18log 32log 25log 25m m +++====.故答案为：25m m+ 4．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））若23a b m ==，且112a b+=，则m =_____________． 【答案】6【分析】由23a b m ==，可得2log a m =，3log b m =，0m >，从而利用换底公式及对数的运算性质即可求解.【详解】解：因为23a b m ==，所以2log a m =，3log b m =，0m >，又112a b+=， 所以()2311log 2log 3log 232log lo 1g 1m m m a b m m+=+=+=⨯=， 所以26m =，所以6m =， 故答案为：6.5.（2022·全国·高一单元测试）把满足()231log 3log 4log 2n n +⨯⨯⋅⋅⋅⨯+，*n ∈N 为整数的n 叫作“贺数”，则在区间()1,50内所有“贺数”的个数是______． 【答案】4【分析】利用换底公式计算可得()()2312log 3log 4log 2log 2n n n +⨯⨯⋅⋅⋅⨯+=+，即可判断.【详解】解：因为()231log 3log 4log 2n n +⨯⨯⋅⋅⋅⨯+()()()()2lg 2lg 2lg3lg 4log 2lg 2lg3lg 1lg 2n n n n =++⨯⨯⋅⋅⋅⨯==++， 又2log 42=，2log 83=，2log 164=，2log 325=，2log 646=，……， 所以当24n +=，8，16，32时，()2log 2n +为整数， 所以在区间()1,50内“贺数”的个数是4． 故答案为：46.若b a ,均为不等于1的正数，且满足b a b a nm821,22==⎪⎭⎫⎝⎛=，且,则=+221n m .【答案】3【详解】因2ma 2log am =，因212nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以22221log log b b n -==，所以=+221n m b ab a b b a a 222222log log log 2log 22log 12log 2log 21=-=-=-+，因为b a 8=，所以38log log 22==ba题型五：对数式的应用题【例1】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足12125lg 2Em m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(12)k E k =，．已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A ．10.110B ．10.1C ．lg10.1D ．10.110-【答案】A【详解】设太阳的星等为126.7m =-，对应的亮度为1E ，天狼星的星等为2 1.45m =-，对应的亮度为2E ， 则由12125lg 2E m m E -=得1251.4526.7lg 2E E -+=，即125lg25.252E E =，所以12lg 10.1E E =，所以10.11210E E =【例2】(2020•全国Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公 布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t (t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()1t K I t e --=+，其中K 为最大确诊病例数．当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln193≈)（ ） A ．60B ．63C ．66D ．69【答案】C 【详解】由题意知0.23(*53)0.951t K K e --=+，所以0.23(*53)10.951t e --=+，即()0.23*5311002010.959519t e--+===，所以()0.23*53119t e--=，所以()0.23*531ln ln 19t e--=，即()0.23*533t --=-，所以3*53130.23t --=≈-，所以*66t ≈ 【例3】(2021•全国甲卷文)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5＋lg V ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(√1010≈1.259)( ) A ．1.5 B ．1.2 C ．0.8 D ．0.6【答案】C【详解】由题意知5lg 4.9V +=，所以lg 0.1V =-，即0.11101011100.81.2591010V -===≈≈ 【例4】（2022·全国·模拟预测）地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．里氏震级()M 是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波的最大振幅的对数值来表示的．里氏震级的计算公式为0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，2021年7月28日发生在美国阿拉斯加半岛以南91公里处的8.2级地震的最大振幅约是2021年8月4日发生在日本本州近岸5.3级地震的最大振幅的（ ）倍（精确到1）．（参考数据：0.410 2.512≈，0.510 3.162≈， 2.810631≈） A ．794 B ．631C ．316D ．251【答案】A【分析】将阿拉斯加半岛的震幅1A 和日本本州近岸5.3级地震的震幅2A 表示成指数形式，作商即可. 【详解】由题意00lg lg lgAM A A A =-=，即10M A A =，则010M A A =⋅； 当8.2M =时，地震的最大振幅8.21010A A =⋅，当 5.3M =时，地震的最大振幅 5.32010A A =⋅，所以8.22.90.40.5201 5.3201010101010 2.5123.16210079410A A A A ⋅===⨯⨯≈⨯⨯≈⋅， 即12794A A ≈； 故选：A ．【例5】（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）一热水放在常温环境下经过t 分钟后的温度T 将合公式：()012tha a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，其中a T 是环境温度，0T 为热水的初始温度，h 称为半衰期．一杯85①的热水，放置在25①的房间中，如果热水降温到55①，需要10分钟，则一杯100①的热水放置在25①的房间中，欲降温到55①，大约需要多少分钟?（ ）（lg 20.3010,lg30.4771≈≈） A ．11.3 B ．13.2 C ．15.6 D ．17.1【答案】B【分析】依题意求出半衰期h ，再把h 的值代入利用换底公式计算，即可求出结果．【详解】解：根据题意，1015525()(8525)2h-=-，即10121()2h =，解得10h =，1015525(10025)2t⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，即101225t⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以122lg22lg 2120.301015log 1.3221105lg 20.3010lg2t -⨯-====≈--，所以13.2t ≈； 故选：B 【题型专练】1.（2022·吉林一中高二阶段练习（理））深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00G GL L D =，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下（不含0.1）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg 20.3010≈）（ ） A ．128 B ．130 C ．132 D ．134【答案】B【分析】由已知可得45D =，再由184)0.55(0.1G⨯<，结合指对数关系及对数函数的性质求解即可.【详解】由题设，18180.50.4D =，则45D =，所以184)0.55(0.1G ⨯<，即45118lg 518(1lg 2)18log 129.75lg 52lg 213lg 2G ->==≈--， 所以所需的训练迭代轮数至少为130次. 故选：B2.（2022·内蒙古包头·二模（理））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为k E ()1,2k =．已知星A 的星等是 3.5-，星B 的星等是 1.5-，则星A 与星B 的亮度的比值为（ ） A ．4510 B ．4510-C ．5410D ．5410-【答案】A【分析】根据题意，运用代入法，结合对数与指数的互化公式进行求解即可. 【详解】因为12125lg 2E m m E -=，星A 的星等是 3.5-，星B 的星等是 1.5-，所以41115222541.5( 3.5)lg lg 1025E E E E E E ---=⇒=⇒=， 故选：A3.（2022福建省安溪第一中学高一月考）某种类型的细胞按如下规律分裂：每经过1小时，有约占总数12的细胞分裂一次，分裂细胞由1个细胞分裂成2个细胞，现有100个细胞按上述规律分裂，要使细胞总数超过1010个，需至少经过（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．44小时B ．45小时C ．46小时D ．47小时【答案】C【详解】设x 小时后，细胞总数为y ，则x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=23100，令101023100>⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅x ，可得81023>⎪⎭⎫ ⎝⎛x，两边取对数可得3lg82x >，又因176.02lg 3lg 23lg =-=，所以45.45176.08≈>x 4.（2022河北高一期末）地震学家里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测振仪衡量地震能量等级，其计算公式0lg lg M A A =-，M 表示里氏震级，A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测振仪距实际震中的距离造成的偏差)，计算7.8级地震的最大振幅是4.5级地震的最大振幅的倍数 (答案精确到个位，参考数据：lg398 2.6≈，lg1995 3.3≈，lg 7.80.89≈，lg30.48≈)A ．1995B ．398C ．89D ．48【答案】A【详解】设7.8级地震的最大振幅是1A ，4.5级地震的最大振幅2A ，依题意得：01lg lg 8.7A A -=，02lg lg 5.4A A -=，两式相减得则由11223.3lg lg lgA A A A =-=，又因lg1995 3.3≈，所以121995A A = 5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。
指数函数与对数函数例题和知识点总结一、指数函数的定义与性质指数函数的一般形式为$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。
其中，底数$a$决定了函数的性质。
当$a ＞ 1$时，函数单调递增；当$0 ＜ a ＜ 1$时，函数单调递减。
指数函数的定义域为$R$，值域为$（0, ＋＼infty)＄。
例如，函数$y ＝ 2^x$是一个底数为$2$（大于$1$）的指数函数，它在$R$上单调递增。
二、对数函数的定义与性质对数函数是指数函数的反函数，一般形式为$y ＝＼log_a x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。
其中，对数的底数$a$同样决定了函数的性质。
当$a ＞ 1$时，函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递增；当$0 ＜ a ＜1$时，函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递减。
对数函数的定义域为$（0, ＋＼infty)＄，值域为$R$。
例如，函数$y ＝＼log_2 x$是一个底数为$2$（大于$1$）的对数函数，它在$（0, ＋＼infty)＄上单调递增。
三、指数函数与对数函数的图象指数函数$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）的图象特点：当$a ＞ 1$时，图象过点$（0, 1)＄，从左到右逐渐上升；当$0 ＜ a ＜ 1$时，图象过点$（0, 1)＄，从左到右逐渐下降。
对数函数$y ＝＼log_a x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）的图象特点：当$a ＞ 1$时，图象过点$（1, 0)＄，从左到右逐渐上升；当$0 ＜ a ＜ 1$时，图象过点$（1, 0)＄，从左到右逐渐下降。
四、指数运算与对数运算的性质指数运算性质：1、＄a^m ＼times a^n ＝ a^｛m ＋ n}＄2、＄＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＄3、＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄4、＄a^0 ＝ 1$（＄a ≠ 0$）对数运算性质：1、＄＼log_a （MN) ＝＼log_a M ＋＼log_a N$2、＄＼log_a ＼frac{M}｛N} ＝＼log_a M ＼log_a N$3、＄＼log_a M^n ＝ n ＼log_a M$4、＄＼log_a a ＝ 1$5、＄＼log_a 1 ＝ 0$五、例题分析例 1：比较大小比较$2^｛03}＄和$03^2$的大小。
指数函数与对数函数总结与练习一、指数的性质（一）整数指数幂n 1．整数指数幂概念：a =a ⋅Λ⋅a (n ∈N )a 0=1(a ≠0)1⋅4a 243*n 个aa-n=1a ≠0,n ∈N *)n(a 2．整数指数幂的运算性质：（1）a m ⋅a n =a m +n (m ,n ∈Z )（2）a （3）(ab )=a ⋅b n n n ()mn=a mn(m ,n ∈Z )(n ∈Z )其中a ÷a =a ⋅a m n m -n =a m -n a n ⎛a ⎫-1nn -n ， ⎪=(a ⋅b)=a ⋅b =n ．b ⎝b ⎭n 3．a 的n 次方根的概念即：若x n 一般地，如果一个数的n 次方等于a n >1,n ∈N )，那么这个数叫做a 的n 次方根，=a ，则x 叫做a 的n 次方根，(n >1,n ∈N )**(说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ；若a >0则n a >0，若a <o 则n a <0；②若n 是偶数，且a >0则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作：-n a ；（例如：8的平方根±8=±2216的4次方根±416=±2）③若n 是偶数，且a <0则n a 没意义，即负数没有偶次方根；④Θ0=0n >1,n ∈N nn (*)∴n 0=0；⑤式子a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。
∴(a )nn=a ．．4．a 的n 次方根的性质一般地，若n 是奇数，则n a n =a ；若n 是偶数，则n a n =a =⎨5．例题分析：例1．求下列各式的值：（1）3-8⎧a⎩-aa ≥0a <0．(3)（2）(-10)*2（3）4(3-π)（4）4例2．已知a <b <0,n >1,n ∈N ，化简：n (a -b )+n (a +b )．n n （二）分数指数幂1051231．分数指数幂：5a =a =a102(a >0)3a =a =a124(a >0)即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）a 3()kn=akn 对分数指数幂也适用，442255⨯3⨯4⎛2⎫⎛⎫2532例如：若a >0，则 a 3⎪=a 3=a ， a 4⎪=a 4=a ，∴a =a 3⎝⎭⎝⎭a =a ．545即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。
高考数学中的指数方程与对数方程求解总结高考数学是每一位学生都必须面对的难点，其中涉及到的指数方程和对数方程是数学考试中难度比较大的题型。
在学习中，我们需要针对这两种题型进行深入学习和总结，以便在考试中能够顺利应对。
本文将就指数方程和对数方程为切入点，进行探究和总结。
一、指数方程1.1 指数方程的定义和基本性质首先，我们来谈谈指数方程的定义和基本性质。
指数方程就是含有未知数 x 的指数式，并要求等式左右两边的底数相等，即 a^x = b^x （a > 0，b > 0，a ≠ 1，b ≠ 1），其中 a 与 b 为底数。
指数方程的基本性质就是可以把指数相同的项合并，然后再移项化简，最后用对数化幂就可以求出未知数的解。
1.2 指数方程的解法指数方程的解法包括以下几种方法：（1）两边取对数法：将指数式转化为对数式，然后通过对数的各种性质来求解。
比如：a^x = b^x，取对数得 loga a^x = logab^x，化为 x loga a = x loga b，移项得 x(loga a - loga b) = 0，所以 x = 0 或 loga a = loga b，求得 x = loga b / loga a。
（2）等比数列法：把指数方程化为等比数列的形式，然后求出等比数列的通项公式。
比如：a^x = b^(x-2)，化为 a^x / (b^x-2) = 1，令 t = a / b^2，则化为 t^(x-2) / (1-t^x) = 1，变为等比数列，得t^(x-2)、1、1……，通项公式为：t^(x-2) = 1 / t^(x-3)，得 x = 5/3。
（3）对数法：利用指数的对数定义，把指数方程转化为对数方程，从而求解。
比如：a^(x+2) = 2(a^x)，变为 loga a^(x+2) = loga (2a^x)，得 (x+2) loga a = loga 2 + x loga a，即 x = loga 2 / (loga a - 1)。
指数与对数的计算知识点总结1、引言指数与对数是数学中重要的概念和运算方法，广泛应用于科学、工程、金融等领域。
掌握指数与对数的计算知识点对于解决实际问题和提高数学能力具有重要意义。
本文将对指数与对数的运算规则和常见应用进行总结和归纳。
2、指数运算2.1 指数的定义在数学中，指数是表示某个数的幂次方的表达方式。
例如a的n次方可以表示为a^n，其中a为底数，n为指数。
2.2 指数的运算规则（1）底数相同，指数相加：a^m * a^n = a^(m+n)（2）指数相同，底数相乘：a^m * b^m = (ab)^m（3）指数相同，底数相除：a^m / b^m = (a/b)^m（4）指数相减，底数相除：a^m / a^n = a^(m-n)（5）指数为0，结果为1：a^0 = 1（6）指数为1，结果为自身：a^1 = a3、对数运算3.1 对数的定义对数是指数的逆运算，描述了一个数用什么指数幂可以得到另一个数。
例如log_a(x) = y，表示a的y次方等于x。
3.2 常见的对数类型（1）自然对数：底数为常数e的对数，记作ln(x)，其中e约等于2.71828。
（2）常用对数：底数为10的对数，记作log(x)。
（3）二进制对数：底数为2的对数，常用于计算机科学中。
（4）其他底数的对数：根据实际需求，可以使用任意底数的对数。
3.3 对数的运算规则（1）对数与指数的关系：log_a(a^x) = x，即对数和指数可以互相抵消。
（2）对数的乘法：log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)（3）对数的除法：log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)（4）对数的幂运算：log_a(x^y) = y * log_a(x)4、指数和对数的应用4.1 科学计数法科学计数法是一种使用指数表示大数或小数的表示方法，常用于表示较大或较小的物理量、天文距离、化学反应等。
例如，1光年约等于9.461×10^15米。
指数函数与对数函数题型总结题型一：定义域的求解一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围，求函数的定义域需要从这几个方面入手： 1、分母不为零2、偶次根式的被开方数非负。
3、对数中的真数部分大于0。
4、指数、对数的底数大于0，且不等于15、y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
6、0x 中x 0≠【2019江苏理4】函数276y x x =+-的定义域是_____. 【答案】[－1,7]【解析】由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤解得17x -≤≤，故函数的定义域为[－1,7]. 【2018•江苏理5】函数f(x) =1log 2-x 的定义域为________. 【答案】【解析】解：,即。
【2017年山东理1】设函数y=4-x 2的定义域为A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=( ) A.（1,2） B.(1,2] C.（-2,1） D.[-2,1)【答案】D 【解析】由4-x 2≥0得-2≤x≤2，由1-x ＞0得x ＜1，故A∩B={x|-2≤x≤2}∩{x|-2≤x ＜1}.故选D. 【2016江苏理5】函数y=的定义域是 ．【答案】 [﹣3，1]【解析】解：由3﹣2x ﹣x 2≥0得：x 2+2x ﹣3≤0，解得：x ∈[﹣3，1]， 【2014山东理3】函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为（ ）A.)210(，B.)2(∞+，C.),2()210(+∞ ， D.)2[]210(∞+，， 【答案】 C 【解析】根据函数解析式有意义的条件建立不等式求解.()22log 10x ->，2log 1x ∴>或2log 1x ∴<-，2x ∴> 或102x ∴<<. 【2014江西理】函数f （x ）=ln （x 2﹣x ）的定义域为（ ） A ．（0，1）B ．[0，1]C ．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，0]∪[1，+∞） 【答案】 C 【解析】要使函数有意义，则x 2﹣x ＞0，即x ＞1或x ＜0， 故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞）， 【2013重庆文3】函数21log 2y x =(-)的定义域是( )．A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞) 【答案】C【解析】由题知220,log 20,x x ->⎧⎨(-)≠⎩解得2,21,x x >⎧⎨-≠⎩即2,3.x x >⎧⎨≠⎩所以该函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选C ．【2013大纲全国理4】已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．A ．(－1,1)B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．(－1,0) D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜12-.故选B. 【2013安徽文11】函数21ln 11y x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭的定义域为__________． 【答案】(0,1]【解析】由2110,10xx ⎧+>⎪⎨⎪-≥⎩⇒10,11x x x <->⎧⎨-≤≤⎩或⇒0＜x ≤1. ∴该函数的定义域为(0,1]． 【2013山东文5】函数f (x )＝1123xx -++的定义域为( )． A ．(－3,0] B ．(－3,1] C ．(－∞，－3)∪(－3,0] D ．(－∞，－3)∪(－3,1]【答案】 A 【解析】由题可知12030x x ⎧-≥⎨+>⎩⇒213x x ⎧≤⎨>-⎩⇒0,3,x x ≤⎧⎨>-⎩ ∴定义域为(－3,0]．【2013江西理2】函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( )．A ．(0,1)B ． [0,1)C ．(0,1]D ．[0,1] 【答案】B【解析】要使函数有意义，需0,10,x x ≥⎧⎨->⎩解得0≤x ＜1，即所求定义域为[0,1)．故选B.【2013大纲全国理4】已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )．A ．(－1,1)B ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭ C ．(－1,0) D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】 B 【解析】由题意知－1＜2x ＋1＜0，则－1＜x ＜12-.故选B. 【2012山东文3】函数21()4ln(1)f x x x =+-+的定义域为 （ ）.A.[2,0)(0,2]- B.(1,0)(0,2]- C.[2,2]- D.(1,2]-【答案】B 【解析】要使得函数有意义,应满足210111040x x x x ⎧+>⎪+≠⇒-<<⎨⎪-⎩或02x<.【2012江西理】下列函数中，与函数y=定义域相同的函数为（ ）A ．y=B ．y=C ．y=xe xD ．y=【答案】 D 【解析】∵函数y=的定义域为{x ∈R|x ≠0}，∴对于A ，其定义域为{x|x ≠k π}（k ∈Z ），故A 不满足； 对于B ，其定义域为{x|x ＞0}，故B 不满足； 对于C ，其定义域为{x|x ∈R}，故C 不满足； 对于D ，其定义域为{x|x ≠0}，故D 满足； 综上所述，与函数y=定义域相同的函数为：y=．【2012江苏省理】函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ． 【答案】 (0 6⎤⎦，。
指数对数比大小及各种题型总结题型一：定义域的求解定义域是函数$y=f(x)$中的自变量$x$的范围，求函数的定义域需要从以下几个方面入手：1.分母不为零；2.偶次根式的被开方数非负；3.对数中的真数部分大于$0$；4.指数、对数的底数大于$0$，且不等于$1$；5.$y=\tan x$中$x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}$；$y=\cot x$中$x\neq k\pi$等等；6.其他限制条件。
例如：2019江苏理4】函数$y=7+6x-x^2$的定义域是$[-1,7]$。
解析】由已知得$7+6x-x^2\geq 0$，即$x^2-6x-7\leq 0$，解得$-1\leq x\leq 7$，故函数的定义域为$[-1,7]$。
题型二：求解方程求解指数函数和对数函数的方程，需要注意以下几个步骤：1.化为同底；2.取对数；3.解方程。
例如：2018江苏理5】函数$f(x)=\log_2(x-1)$的定义域为$[1,+\infty)$，则方程$f(x-2)+f(3-x)=1$的解集为________。
解析】由已知得$x-2>1$，$3-x>1$，即$x\in (1,5)$。
将$f(x-2)$和$f(3-x)$化为同底，得$\log_2(x-3)+\log_2(4-x)=1$，即$(x-3)(4-x)=2$，解得$x=1$或$x=7$，但$x\notin [1,5]$，故方程无解。
题型三：求解不等式求解指数函数和对数函数的不等式，需要注意以下几个步骤：1.化为同底；2.取对数；3.解不等式。
例如：2014山东理3】函数$f(x)=\frac{1}{\log_2 x-1}-2$的定义域为$(\frac{1}{2},+\infty)$，则不等式$f(x)\geq 0$的解集为________。
解析】由已知得$\log_2 x-1>\frac{1}{2}$，即$x>\sqrt{2}$。
指数和对数是数学中常见的概念，用于表示和比较不同数值的大小。
以下是指数和对数比较大小的专题总结：
1. 指数的性质：
- 正指数：当底数大于1时，指数越大，结果越大。
- 负指数：当底数大于1时，指数越小，结果越小。
- 零指数：任何非零数的零指数都等于1。
2. 对数的性质：
- 对数是指数的逆运算，将指数问题转化为求解底数的问题。
- 对数可以用来比较不同数值的大小。
- 当底数大于1时，对数越大，结果越大。
- 当底数在0到1之间时，对数越大，结果越小。
3. 指数和对数的关系：
- 指数和对数是互为逆运算的关系，可以相互转化。
- 对数函数可以表示为指数函数的反函数。
4. 比较大小的方法：
- 通过计算指数和对数，可以比较不同数值的大小。
- 如果两个数的指数或对数相等，可以通过比较底数来判断大小。
- 比较指数时，可以利用指数的性质来判断大小。
- 比较对数时，可以利用对数的性质来判断大小。
以上就是指数对数比较大小专题总结。
高中数学-指数函数对数函数知识点指数函数、对数函数知识点知识点内容：1.整数和有理指数幂的运算：当a≠0时，aⁿ×aᵐ=aⁿ⁺ᵐ；aⁿ÷aᵐ=aⁿ⁻ᵐ；(aⁿ)ᵐ=aⁿᵐ2.指数函数y=aᵐ⁄ⁿ(a＞0.m，n∈N*,且n＞1)的性质：①解析式：y=aᵐ⁄ⁿ(a＞0.且a≠1)②图象：过点(0,1)，在a＞1时，在R上是增函数，在0＜a＜1时，在R上是减函数③单调性：在定义域R上当a＞1时，在R上是增函数当0＜a＜1时，在R上是减函数④极值：在R上无极值(最大、最小值)⑤奇偶性：非奇非偶函数典型题：1.把0.9017x=0.5化为对数式为log0.9017(0.5)=x2.把lgx=0.35化为指数式为x=10⁰.³⁵3.计算：2×6⁴³=6⁴⁴⁹4.求解：(2+1)⁻¹+(2-1)⁻²sin45°=0.5915.指数函数y=aᵐ⁄ⁿ(a＞0.m，n∈N*,且n＞1)的图象过点(3,π)，求f(0)、f(1)、f(-3)的值f(0)=a⁰⁄ⁿ=1f(1)=aᵐ⁄ⁿ=a³⁄ⁿf(-3)=a⁻⁹⁄ⁿ6.求下列函数的定义域：① y=2-x²，定义域为R② y=1⁄(4x-5)-2，定义域为R-{5⁄4}7.比较下列各组数的大小：① 1.2<2.5<1.2+0.5，0.4-0.1<0.4-0.2② 0.3=0.4=0.4=0.3，<2112③ (2³)²<(3²)³<(2²)³8.求函数y=(x²-6x+17)⁄2的最大值，最大值为159.函数y=(a-2)x在(-∞,+∞)上是减函数，则a的取值范围为a＞310.函数y=(a²-1)x在(-∞,+∞)上是减函数，则a的取值范围为|a|＞1x其中a为底数，x为真数，y为对数。
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.（2）指数式与对数式的关系：a b=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a（MN）=log a M+log a N.②log aMN=log a M－log a N.③logaM n=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）④对数换底公式：logbN= l oglogaaNb（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y=log a x（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值的。
但是，根据对数定义:log a a=1；如果a=1或=0那么log a a就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n=nlogaM如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log(-2)4^(-2)就不等于(-2)*log(-2)4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象yyy =l ogxa>(1)a1O1xOxy =l o g a x (<a <1) 0底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R.③过点（1，0），即当x=1时，y=0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题题型1（对数的计算） 1．求下列各式的值． （1）35 log ＋25log2－1 21 50log － 514 log ；（2）log5 2 1 25 ×lo g 3 1 8 ×lo g 5 1 9. 练习题1．计算：lg 1 2 －lg5 8 ＋lg12.5－log 89·log 278；3.log535＋21log2－log51502 －log514；3.log2125×log318×log519.1loglog4log3 4.399222．5.lg5lg2lg41(6).log24lglog27lg2log33222 7.2lg2lg3111lg0.36lg823例2．已知实数x、y、z满足3x＝4y＝6z＞1.(1)求证：2x＋1y＝2z；(2)试比较3x、4y、6z的大小．练习题．已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645.题型二：（对数函数定义域值域问题）例1．已知函数fxlog22xx1aax的定义域为集合A，关于x的不等式22 的解集为B，若AB，求实数a的取值范围．2．设函数2ylog(ax2x2)定义域为A．2（1）若AR，求实数a的取值范围；（2）若2log(ax2x2)2在x[1,2]上恒成立，求实数a的取值范围．2练习题1．已知函数2 fxlgax2x1（1）若fx的定义域是R,求实数a的取值范围及fx的值域；（2）若fx的值域是R，求实数a的取值范围及fx的定义域2求函数y=2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.题型三（奇偶性及性） 例题1．已知定义域为R 的函数f (x )为奇函数足f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)＝2x －1.(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式； (2)求f(1 log24)的值． 2 4.已知f （x ）=l o g 1［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域.3 5.已知y =l o g a （3－a x ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的围.4．已知函数f(x)lg(2x)lg(2x).（Ⅰ）求函数yf(x)的定义域；（Ⅱ）判断函数yf(x)的奇偶性；（Ⅲ）若f(m2)f(m)，求m的取值范围.练习题1．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a＞0，a≠1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围2．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)0，当x0时，1f(x)logx.2 （1）求函数f(x)的解析式；（2）解不等式2f(x1)2；3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x0时，1f(x)log(x1)．2 （Ⅰ）求f(0)，f(1)；（Ⅱ）求函数f(x)的表达式；（Ⅲ）若f(a1)1，求a的取值范围．题型4（函数图像问题）例题1.函数f（x）=|log2x|的图象是yy111x-11xOOAByy111x1xOOCD6.求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.f(x)＝|lgx|，a，b为实数，且0＜a＜b.(1)求方程f(x)＝1的解；(2)若a，b满足f(a)＝f(b)＝2fa b2，求证：a·b＝1，a b2 ＞1.练习题：1．已知a0且a1，函数f(x)log(x1)a，1g(x)log a，记F(x)2f(x)g(x)1x（1）求函数F(x)的定义域及其零点；（2）若关于x的方程2 F2．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log44xa?237.函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝－2，那么a等于题型五：函数方程1方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___________________.5.已知函数f（x）= 1()2x,x4,则f（2+log23）的值为f(x1),x4,4．已知函数f(x)log a(axx)(a0,a1为常数）. （Ⅰ）求函数f(x)的定义域；（Ⅱ）若a2，x1,9,求函数f(x)的值域；（Ⅲ）若函数f(x)ya的图像恒在直线y2x1的上方，求实数a的取值范围.1xxyloglog(2x8).5．已知函数22242（Ⅰ）令tlog2x，求y关于t的函数关系式及t的取值范围；（Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的x的值.8.设函数f（x）=lg（1－x），g（x）=lg（1+x），在f（x）和g（x）的公共定义域内比较|f（x）|与|g（x）|的大小.您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。
指数与对数知识点总结一、指数（一）指数的定义指数是数学中的一个重要概念，表示一个数自乘若干次的形式。
一般地，对于正整数 n，aⁿ表示 n 个 a 相乘，即aⁿ ＝ a × a ×× a（n 个 a）。
（二）指数的运算性质1、 aᵐ×aⁿ ＝ aᵐ⁺ⁿ（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）例如：2³×2²＝ 2³⁺²＝ 2⁵＝ 322、（aᵐ）ⁿ ＝ aᵐⁿ （幂的乘方，底数不变，指数相乘）比如：（2³）²＝ 2³×²＝ 2⁶＝ 643、（ab）ⁿ ＝aⁿbⁿ （积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）例如：（2×3）²＝ 2²×3²＝ 4×9 ＝ 364、 aᵐ÷aⁿ ＝ aᵐ⁻ⁿ（a ≠ 0，m ＞ n，同底数幂相除，底数不变，指数相减）比如：2⁵÷2³＝ 2⁵⁻³＝ 2²＝ 4（三）指数函数1、定义：一般地，函数 y ＝aˣ（a ＞ 0 且a ≠ 1）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R。
2、图像特征：当 a ＞ 1 时，函数图像单调递增，过点（0，1）。
当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数图像单调递减，过点（0，1）。
（四）指数方程形如aˣ ＝ b 的方程，其解法通常是将其转化为对数形式求解。
二、对数（一）对数的定义如果aˣ ＝ N（a ＞ 0 且a ≠ 1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x ＝logₐN，其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
（二）对数的运算性质1、logₐ(MN) ＝logₐM ＋logₐN （正数积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和）例如：log₂(4×8) ＝ log₂4 ＋ log₂8 ＝ 2 ＋ 3 ＝ 52、logₐ(M/N) ＝logₐM logₐN （正数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数）比如：log₃(9/3) ＝ log₃9 log₃3 ＝ 2 1 ＝ 13、logₐMⁿ ＝nlogₐM （幂的对数等于幂指数乘以底数的对数）例如：log₅2⁵＝ 5log₅2（三）换底公式logₐb ＝logₑb ／logₑa （其中 e 为自然对数的底数，约等于 2718）（四）常用对数与自然对数1、常用对数：以 10 为底的对数叫做常用对数，简记为 lgN。
人教版高中数学第四章指数函数与对数函数考点总结单选题1、设函数f(x)=ln|2x +1|−ln|2x −1|，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B ．是奇函数，且在(−12,12)单调递减C ．是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D ．是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减 答案：D分析：根据奇偶性的定义可判断出f (x )为奇函数，排除AC ；当x ∈(−12,12)时，利用函数单调性的性质可判断出f (x )单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，利用复合函数单调性可判断出f (x )单调递减，从而得到结果.由f (x )=ln |2x +1|−ln |2x −1|得f (x )定义域为{x |x ≠±12}，关于坐标原点对称， 又f (−x )=ln |1−2x |−ln |−2x −1|=ln |2x −1|−ln |2x +1|=−f (x )， ∴f (x )为定义域上的奇函数，可排除AC ；当x ∈(−12,12)时，f (x )=ln (2x +1)−ln (1−2x )，∵y =ln (2x +1)在(−12,12)上单调递增，y =ln (1−2x )在(−12,12)上单调递减， ∴f (x )在(−12,12)上单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，f (x )=ln (−2x −1)−ln (1−2x )=ln 2x+12x−1=ln (1+22x−1)， ∵μ=1+22x−1在(−∞,−12)上单调递减，f (μ)=lnμ在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：f (x )在(−∞,−12)上单调递减，D 正确.故选：D.小提示：本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据f(−x)与f(x)的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.2、已知函数f(x)={x−2,x∈(−∞,0) lnx,x∈(0,1)−x2+4x−3,x∈[1,+∞)，若函数g(x)=f(x)−m恰有两个零点，则实数m不可能．．．是（）A．−1B．0C．1D．2答案：D解析：依题意画出函数图象，函数g(x)=f(x)−m的零点，转化为函数y=f(x)与函数y=m的交点，数形结合即可求出参数m的取值范围；解：因为f(x)={x−2,x∈(−∞,0) lnx,x∈(0,1)−x2+4x−3,x∈[1,+∞)，画出函数图象如下所示，函数g(x)=f(x)−m的有两个零点，即方程g(x)=f(x)−m=0有两个实数根，即f(x)=m，即函数y= f(x)与函数y=m有两个交点，由函数图象可得m≤0或m=1，故选：D小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．3、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，由声强级得95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I1I2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍.故选：B.4、函数f(x)=2x−1x的零点所在的区间可能是（）A ．(1,+∞)B ．(12，1)C ．(13，12)D ．(14，13)答案：B分析：结合函数的单调性，利用零点存在定理求解.因为f(1)=2−11=1>0,f(12)=√2−2<0,f(13)=√23−3<0f(14)=√24−4<0， 所以f(12)⋅f(1)<0，又函数f(x)图象连续且在(0,+∞)单调递增， 所以函数f(x)的零点所在的区间是(12，1)， 故选：B ．小提示：本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用，属于基础题. 5、已知函数f(x)=3|x|+x 2+2，则f(2x −1)>f(3−x)的解集为（ ） A ．(−∞,43)B ．(43,+∞)C ．(−2,43)D ．(−∞,−2)∪(43,+∞) 答案：D分析：根据函数奇偶性可得f(x)为偶函数，根据解析式直接判断函数在[0,+∞)上的单调性，则可结合奇偶性与单调性解不等式得解集.解：因为f(x)=3|x|+x 2+2，则x ∈R所以f(−x)=3|−x|+(−x)2+2=3|x|+x 2+2=f(x)，则f(x)为偶函数，当x ⩾0时，f(x)=3x +x 2+2，又y =3x ，y =x 2+2在[0,+∞)上均为增函数，所以f(x)在[0,+∞)上为增函数，所以f(2x −1)>f(3−x)，即|2x −1|>|3−x|，解得x <−2或x >43， 所以f(2x −1)>f(3−x)的解集为(−∞,−2)∪(43,+∞).故选：D.6、已知实数a,b∈(1,+∞)，且log2a+log b3=log2b+log a2，则（）A．a<√b<b B．√b<a<b C．b<√a<a D．√a<b<a答案：B分析：对log2a−log a2<log2b−log b2，利用换底公式等价变形，得log2a−1log2a <log2b−1log2b，结合y=x−1x 的单调性判断b<a，同理利用换底公式得log2a−1log2a<log3b−1log3b，即log2a>log3b，再根据对数运算性质得log2a>log2√b，结合y=log2x单调性，a>√b，继而得解.由log2a+log b3=log2b+log a2，变形可知log2a−log a2<log2b−log b2，利用换底公式等价变形，得log2a−1log2a <log2b−1log2b，由函数f(x)=x−1x在(0,+∞)上单调递增知，log2a<log2b，即a<b，排除C，D；其次，因为log2b>log3b，得log2a+log b3>log3b+log a2，即log2a−log a2>log3b−log b3，同样利用f(x)=x−1x的单调性知，log2a>log3b，又因为log3b=log√3√b>log2√b，得log2a>log2√b，即a>√b，所以√b<a<b.故选：B.7、基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天答案：B分析：根据题意可得I (t )=e rt =e 0.38t ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天，根据e 0.38(t+t 1)=2e 0.38t ，解得t 1即可得结果. 因为R 0=3.28，T =6，R 0=1+rT ，所以r =3.28−16=0.38，所以I (t )=e rt =e 0.38t ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天， 则e 0.38(t+t 1)=2e 0.38t ，所以e 0.38t 1=2，所以0.38t 1=ln2， 所以t 1=ln20.38≈0.690.38≈1.8天. 故选：B.小提示：本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.8、已知对数式log (a+1)24−a（a ∈Z ）有意义，则a 的取值范围为（ ）A ．(−1,4)B ．(−1,0)∪(0,4)C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3} 答案：C分析：由对数的真数大于0，底数大于0且不等于1列出不等式组，然后求解即可. 由题意可知:{a +1>0a +1≠124−a >0 ⇔{a >−1a ≠0a <4 ，解之得:−1<a <4且a ≠0.∵a ∈Z ，∴a 的取值范围为{1,2,3}. 故选：C.9、已知函数y =a x 、y =b x 、y =c x 、y =d x 的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（ ）A．b+d>a+c B．b+d<a+c C．a+d>b+c D．a+d<b+c 答案：B分析：如图，作出直线x=1,得到c>d>1>a>b，即得解.如图，作出直线x=1,得到c>d>1>a>b，所以b+d<a+c.故选：B10、若n<m<0，则√m2+2mn+n2−√m2−2mn+n2等于（）A．2m B．2n C．−2m D．−2n答案：C分析：根据根式的计算公式，结合参数范围，即可求得结果.原式=|m +n|−|m −n|，∵n <m <0，∴m +n <0，m −n >0， ∴原式=−(m +n)−(m −n)=−2m ． 故选：C小提示：本题考查根式的化简求值，属简单题，注意参数范围即可. 多选题11、已知函数f (x )=2x −12x +1，则下列说法正确的是（ ）A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为减函数C ．f (x )有且只有一个零点D ．f (x )的值域为[−1,1) 答案：AC分析：化简函数解析式，分析函数的奇偶性，单调性，值域，零点即可求解. ∵f (x )=2x −12x +1,x ∈R ,=1−22x +1 ∴f(−x)=2−x −12−x +1=1−2x 1+2x=−f(x),故f (x )为奇函数，又∵f (x )=2x −12x +1=1−22x +1，∴f(x)在R 上单调递增，∵2x >0，∴2x +1>1，∴0<22x +1<2，∴−2<−22x +1<0，∴−1<f(x)<1，即函数值域为(−1,1)令f (x )=2x −12x +1=0，即2x =1，解得x =0，故函数有且只有一个零点0. 综上可知，AC 正确，BD 错误.12、已知函数f(x)=log a x（a>0，且a≠1）的图象经过点(9,2)，则下列说法正确的是（）A．a=2B．函数f(x)为增函数C．若x>3，则f(x)>1D．若0<x1<x2，则f(x1)+f(x2)2>f(x1+x22)答案：BC分析：根据题意可得log a9=2，从而求出f(x)=log3x，即可根据对数的运算性质，对数函数的性质，基本不等式判断各选项的真假．由题意知，log a9=2，解得a=3，所以f(x)=log3x，所以函数f(x)为增函数，故A错误，B正确；当x>3时，f(x)=log3x>log33=1，所以f(x)>1，故C正确；因为f(x1)+f(x2)2=log3x1+log3x22=log3√x1x2，f(x1+x22)=log3x1+x22，又0<x1<x2，所以√x1x2<x1+x22，所以log3√x1x2<log3x1+x22，即f(x1)+f(x2)2<f(x1+x22)，故D错误．故选：BC．13、已知函数f(x)=2x−12x+1，下面说法正确的有（）A．f(x)的图象关于y轴对称B．f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的值域为(−1,1)D．∀x1,x2∈R，且x1≠x2，f(x1)−f(x2)x1−x2<0恒成立答案：BC解析：判断f(x)的奇偶性即可判断选项AB，求f(x)的值域可判断C，证明f(x)的单调性可判断选项D，即可得f(x)=2x −12x +1的定义域为R 关于原点对称,f(−x)=2−x −12−x +1=(2−x −1)2x (2−x +1)2x=1−2x 1+2x=−f(x)，所以f (x )是奇函数，图象关于原点对称，故选项A 不正确，选项B 正确；f(x)=2x −12x +1=2x +1−22x +1=1−22x +1，因为2x >0，所以2x +1>1，所以0<12x +1<1，−2<−22x +1<0，所以−1<1−22x +1<1，可得f(x)的值域为(−1,1)，故选项C 正确； 设任意的x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=1−22x 1+1−(1−22x 2+1)=22x 2+1−22x 1+1=2(2x 1−2x 2)(2x 1+1)(2x 2+1)， 因为2x 1+1>0，2x 2+1>0，2x 1−2x 2<0，所以2(2x 1−2x 2)(2x 1+1)(2x 2+1)<0，即f(x 1)−f(x 2)<0，所以f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0，故选项D 不正确；故选：BC小提示：方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法 （1）取值：设x 1,x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2；（2）作差变形：即作差，即作差f(x 1)−f(x 2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差f(x 1)−f(x 2)的符号； （4）下结论：判断，根据定义作出结论. 即取值---作差----变形----定号----下结论.14、设函数f (x )={|x 2+3x |,x ≤1log 2x,x >1，若函数f (x )+m =0有五个零点，则实数m 可取（ ）A ．−3B ．1C ．−12D ．−2答案：CD分析：函数f (x )+m =0有五个零点等价于y =f(x)与y =−m 有五个不同的交点，作出f(x)图像，利用图像求解即可函数f (x )+m =0有五个零点等价于y =f(x)与y =−m 有五个不同的交点，作出f(x)图像可知，当x =−32时，f (−32)=|(−32)2+3×(−32)|=94若y =f(x)与y =−m 有五个不同的交点，则−m ∈(0,94)，∴m ∈(−94,0)，故选：CD ．15、为了得到函数y =ln (ex)的图象，可将函数y =ln x 的图象（）A ．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e 倍B ．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1eC ．向上平移一个单位长度D ．向下平移一个单位长度答案：BC分析：根据函数图像变换求得结果.解：由题意函数y =lnx 的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1e ，可得到函数y =ln (ex)的图象，则A 错误，B 正确；因为y =ln (ex)=ln x +1，则将函数y =ln x 的图象向上平移一个单位可得到函数y =ln (ex)的图象，则C 正确，D 错误.故选：BC.双空题16、已知函数f(x)={−x 2−2x +4,x ≤1log 12x,x >1，则f(f(2))=_____________，函数f(x)的单调递减区间是_______． 答案： 5 (−1,+∞)##[−1,+∞)分析：根据分段函数依次计算即可得f(f(2))的值；分段求出函数f(x)的单调区间即可得解.因函数f(x)={−x 2−2x +4,x ≤1log 12x,x >1，则f(2)=log 122=−1，所以f(f(2))=f(−1)=5； 当x ≤1时，f(x)=−x 2−2x +4在(−∞,−1)上单调递增，在(−1,1]上单调递减，f(1)=1，当x >1时，f(x)=log 12x 在(1,+∞)上单调递减，且log 121=0<1， 所以函数f(x)的单调递减区间是(−1,+∞).所以答案是：5；(−1,+∞)17、设函数f(x)={e x −1,x ≤0−x 2+x,x >0，则f(f(−ln2))=_______；当 x ∈(−∞,m] 时，函数f (x )的值域为 (−1,14] ，则m 的取值范围是____________.答案： e −12−1； 12≤m <1+√52分析：第一空：根据x 范围，代入对应函数解析式求值即可；第二空：先求出f (x )在R 上的值域，结合图象即可求出m 的取值范围.第一空：由题意知：f(−ln2)=e −ln2−1=−12，f(f(−ln2))=f(−12)=e −12−1；第二空：当x ≤0时，f (x )=e x −1在(−∞,0]上为增函数，值域为(−1,0]；当x >0时，f (x )=−x 2+x =−(x −12)2+14，值域为(−∞,14]，画出图象如下：令−x 2+x =−1，解得x =1±√52，由图象可知，要使函数f (x ) 的值域为 (−1,14]，有12≤m <1+√52. 所以答案是：e −12−1；12≤m <1+√52.18、某辆汽车以xkm/ℎ的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x ≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为15(x −k +4500x )L ，其中k 为常数.若汽车以120km/ℎ的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L ，则k =_____，欲使每小时的油耗不超过．．．9L ，则速度x 的取值范围为_______． 答案： 100 [60,100]分析：把x =120代入15(x −k +4500x )=11.5，求得k ，再解不等式15(x −k +4500x )≤9，注意定义域． 由题意，当x =120时，15(x −k +4500x )=11.5，所以k =100． 由15(x −100+4500x )⩽9，得x 2−145x +4500≤0，所以45≤x ≤100．又因为60≤x ≤120，所以60≤x ≤100．故答案为100；[60,100]．小提示：本题考查函数的应用题．解题关键是列出函数解析式，再根据函数的性质求解．1 ．求解已知函数模型解决实际问题的关注点．(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．2 ．利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．解答题19、溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为pH=−lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；(2)已知胃酸中氢离子的浓度为[H+]=2.5×10−2摩尔/升，计算胃酸的pH.（精确到0.001）（参考数据：lg2≈0.301）答案：(1)溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强(2)1.602分析：（1）根据复合函数的单调性判断说明；（2）由已知公式计算．(1).根据对数的运算性质，有pH=−lg[H+]=lg[H+]−1=lg1[H+]减小，在(0,+∞)上，随着[H+]的增大，1[H+]相应地，lg1也减小，即pH减小，[H+]所以，随着[H+]的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强.(2)当[H+]=2.5×10−2时，pH=−lg2.5×10−2=2lg2+1≈1.602.20、已知函数f(x)=ln(2x2+ax+3).（1）若f(x)是定义在R上的偶函数，求a的值及f(x)的值域；（2）若f(x)在区间[−3,1]上是减函数，求a的取值范围.答案：（1）a=0，[ln3,+∞)；（2）a∈(−5,−4]解析：（1）根据偶函数的定义，求出a=0，得f(x)=ln(2x2+3)，验证定义域是否关于原点对称，求出真数的范围，再由对数函数的单调性，即可求出值域；（2）u(x)=2x2+ax+3,g(u)=lnu，由条件可得，u(x)=2x2+ax+3在[−3,1]上是减函数，且u(x)>0在[−3,1]上恒成立，根据二次函数的单调性，得出参数a的不等式，即可求解.解：（1）因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)=f(−x)，所以ln(2x2+ax+3)=ln(2x2−ax+3)，故a=0，此时，f(x)=ln(2x2+3)，定义域为R，符合题意.令t=2x2+3，则t⩾3，所以lnt⩾ln3，故f(x)的值域为[ln3,+∞).（2）设u(x)=2x2+ax+3,g(u)=lnu.因为f(x)在[−3,1]上是减函数，所以u(x)=2x2+ax+3在[−3,1]上是减函数，且u(x)>0在[−3,1]上恒成立，故{−a4⩾1,u(x)min=u(1)=5+a>0,解得−5<a≤−4，即a∈(−5,−4].小提示：本题考查函数的性质，涉及到函数的奇偶性、单调性、值域，研究函数的性质要注意定义域，属于中档题.。
指数式与对数式的互化知识点总结
指数式与对数式的关系：
（1）对数由指数而来。
对数式是由指数式而来的，两式底数相同，对数中的真数N就是指数中的幂的值N，而对数值是指数式中的幂指数。
（2）在指数式中，若已知a，N的值，求幂指数的值，便是对数运算。
（3）在互化过程中应注意各自的位置及表示方式。
（4）对数式与指数式的关系及相应各数的名称如下：
式子名称aN指数式底数指数幂对数式底数对数真数高中数学指数式与对数式的互化知识点总结（二）典型例题
如图，已知直线l过点A(0，4)，交函数y=2x的图象于点C，交x 轴于点B，若AC：CB=2：3，则点B的横坐标为_____．(结果精确到0.01，参考数据lg2=0.3010，lg3=0.4771)答案：3.16
解析:设点B为（a，0），由于点A（0，4）以及AC：CB=2：3，可得点C的坐标，再代入函数y=2x的解析式，解出即可．
解：设点B为（a，0），由已知直线l过点A（0，4），
且直线AB交函数y=2x的图象于点C，AC：CB=2：3，
则点C的坐标为
，由于点C在函数y=2x的图象上，则，
即得=2+log23-log25=
又由lg2=0.3010，lg3=0.4771，则a≈3.16．
故答案为 3.16．。
第八节指数式、对数式的运算❖基础知识1.指数与指数运算(1)根式的性质①(na)n＝a(a使na有意义)．②当n是奇数时，na n＝a；当n是偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.(2)分数指数幂的意义分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键．①a mn＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．②a -mn＝1amn＝1na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(3)有理数指数幂的运算性质①a r·a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；②a ra s＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；③(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；④(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．(1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算．(2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂．2．对数的概念及运算性质一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么，数b就叫做以a 为底N的对数，记作：log a N＝b.指数、对数之间的关系(1)对数的性质①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1. (2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a (N n )＝n log a N (n ∈R)．❖ 常用结论1．换底公式的变形(1)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝1log b a(a ，b 均大于0且不等于1)； (2)log am b n ＝nm log a b (a ，b 均大于0且不等于1，m ≠0，n ∈R)；(3)log N M ＝log a M log a N ＝log b Mlog b N (a ，b ，N 均大于0且不等于1，M >0)．2．换底公式的推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0)． 3．对数恒等式alog a N＝N (a >0且a ≠1，N >0)．考点一 指数幂的化简与求值[典例] 化简下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫2 350＋2－2·⎝⎛⎭⎫2 14-12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·⎝⎛⎭⎫－3a -12b －1÷(4a 23·b －3)12. [解] (1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615. (2)原式＝－52a -16b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a -16b －3÷(a 13b -32)＝－54a -12·b -32＝－54·1ab 3＝ －5ab 4ab 2.[解题技法] 指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里面的，没有括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数． [题组训练]1．若实数a >0，则下列等式成立的是( )A ．(－2)－2＝4 B ．2a －3＝12a 3C ．(－2)0＝－1D ．(a-14)4＝1a解析：选D 对于A ，(－2)－2＝14，故A 错误；对于B ，2a －3＝2a 3，故B 错误；对于C ，(－2)0＝1，故C 错误；对于D ，(a -14)4＝1a，故D 正确．2．化简4a 23·b-13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a -13b 23的结果为( ) A ．－2a3bB ．－8abC ．－6a bD ．－6ab解析：选C 原式＝－6a⎛⎫-- ⎪⎝⎭2133b--1233＝－6ab －1＝－6a b.3．计算：－⎝⎛⎭⎫32－2＋⎝⎛⎭⎫－278-23＋(0.002)-12＝________.解析：原式＝－⎝⎛⎭⎫232＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－323-23＋⎝⎛⎭⎫1500-12＝－49＋49＋105＝10 5.答案：10 5考点二 对数式的化简与求值[典例] 计算下列各式：(1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40；(2)log 23·log 38＋(3)log 34.[解] (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg54lg 54＝1.(2)原式＝lg 3lg 2·3lg 2lg 3＋3log 4312＝3＋3log 32＝3＋2＝5.[题组训练]1．(log 29)·(log 34)＝( )A ．14B ．12C ．2D ．4解析：选D 法一：原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4.法二：原式＝2log 23·log 24log 23＝2×2＝4.2．计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100-12＝________. 解析：原式＝lg ⎝⎛⎭⎫14×125×10012＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20. 答案：－203．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝log 2(x 2＋a )且f (3)＝1，∴1＝log 2(9＋a )， ∴9＋a ＝2，∴a ＝－7. 答案：－7 4．计算：log 5[421log 102－(33)23－77log 2]＝________.解析：原式＝log 5[22log 10－(332)23－2]＝log 5(10－3－2)＝log 55＝1.答案：1[课时跟踪检测]1．设1x＝log 23，则3x －3－x 的值为( )A.83 B.32C.52D.73解析：选B 由1x ＝log 23，得3x ＝2，∴3x －3－x ＝2－12＝32.2．化简⎝⎛⎭⎫2a 23b 12(－6a 12b 13)÷⎝⎛⎭⎫－3a 16b 56的结果为( )A ．－4aB ．4aC ．11aD ．4ab解析：选B 原式＝[2×(－6)÷(－3)]a+-211326b+-115236＝4ab 0＝4a .3．(log 29)(log 32)＋log a 54＋log a ⎝⎛⎭⎫45a (a >0，且a ≠1)的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B 原式＝(2log 23)(log 32)＋log a ⎝⎛⎭⎫54×45a ＝2×1＋log a a ＝3. 4．设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A ．a 12B ．a 56C ．a 76D ．a 32解析：选Ca 2a ·3a 2＝a 2a ·a23＝a 2a53＝a 2a56＝a52-6＝a 76.5．如果2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q (a >0，且a ≠1)，那么PQ的值为( )A.14 B ．4 C ．1D ．4或1解析：选B 由2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q ，得log a (P －2Q )2＝log a (P Q )．由对数运算性质得(P －2Q )2＝P Q ，即P 2－5P Q ＋4Q 2＝0，所以P ＝Q (舍去)或P ＝4Q ，解得PQ＝4.6．若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于( )A ．1B ．0或18C.18D ．log 23解析：选D 由题意知lg2＋lg(2x ＋5)＝2lg(2x ＋1)，由对数的运算性质得2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，即(2x )2－9＝0,2x ＝3，x ＝log 23.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 3 12的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D ∵log 3 12<0，由题意得f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 3 12＝f (log 21)＋331-log 2＋1＝f (0)＋33log 2＋1＝30＋1＋2＋1＝5.8．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20D ．100解析：选A 由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10.因为1a ＋1b ＝2，所以log m 10＝2.所以m 2＝10，所以m ＝10. 9．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 解析：由4a ＝2，得a ＝12，又因为lg x ＝a ＝12，所以x ＝1012＝10. 答案：10 10．计算：9591log 2-＝________.解析：9591log 2-＝912×959log -＝3×15＝35.答案：3511．化简：(a 23·b －1)-12·a-12·b136a ·b 5＝________.解析：原式＝a-13·b 12·a -12·b13a 16·b56＝a---111326·b+-115236＝1a. 答案：1a12．已知指数函数y ＝f (x )，对数函数y ＝g (x )和幂函数y ＝h (x )的图象都过点P ⎝⎛⎭⎫12，2，如果f (x 1)＝g (x 2)＝h (x 3)＝4，那么x 1＋x 2＋x 3＝________.解析：令f (x )＝a x(a >0,且a ≠1)，g (x )＝log b x(b>0,且b ≠1)，h (x )＝x c，则f ⎝⎛⎭⎫12＝a 12＝2，g ⎝⎛⎭⎫12＝log b 12＝－log b 2＝2，h ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12c ＝2，∴a ＝4，b ＝22，c ＝－1，∴f (x 1)＝4x 1＝4⇒x 1＝1，同理，x 2＝14，x 3＝14.∴x 1＋x 2＋x 3＝32.答案：3213．化简下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋⎝⎛⎭⎫210272-3－3π0＋3748；(2)3a 72·a －3÷3a －3·a －1；(3)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27.解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋10.12＋⎝⎛⎭⎫6427-23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (2)原式＝3a 72·a3-2÷3a-32·a-12＝3a 72÷3a-12＝a 76÷a-16＝a 86＝a 43.(3)法一：原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝⎝⎛⎭⎫1＋45＋910－12lg 3(4－3)lg 3＝115.法二：原式＝lg (3×925×27⨯1325×3-12)lg 8127＝lg 3115lg 3＝115.。
第八节指数式、对数式的运算❖基础知识1.指数与指数运算(1)根式的性质①(na)n＝a(a使na有意义)．②当n是奇数时，na n＝a；当n是偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.(2)分数指数幂的意义分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键．①a mn＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．②a -mn＝1amn＝1na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(3)有理数指数幂的运算性质①a r·a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；②a ra s＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；③(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；④(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．(1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算．(2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂．2．对数的概念及运算性质一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么，数b就叫做以a 为底N的对数，记作：log a N＝b.指数、对数之间的关系(1)对数的性质①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1. (2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a (N n )＝n log a N (n ∈R)．❖ 常用结论1．换底公式的变形(1)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝1log b a(a ，b 均大于0且不等于1)； (2)log am b n ＝nm log a b (a ，b 均大于0且不等于1，m ≠0，n ∈R)；(3)log N M ＝log a M log a N ＝log b Mlog b N (a ，b ，N 均大于0且不等于1，M >0)．2．换底公式的推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0)． 3．对数恒等式alog a N＝N (a >0且a ≠1，N >0)．考点一 指数幂的化简与求值[典例] 化简下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫2 350＋2－2·⎝⎛⎭⎫2 14-12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·⎝⎛⎭⎫－3a -12b －1÷(4a 23·b －3)12. [解] (1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615. (2)原式＝－52a -16b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a -16b －3÷(a 13b -32)＝－54a -12·b -32＝－54·1ab 3＝ －5ab 4ab 2.[解题技法] 指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里面的，没有括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数． [题组训练]1．若实数a >0，则下列等式成立的是( )A ．(－2)－2＝4 B ．2a －3＝12a 3C ．(－2)0＝－1D ．(a-14)4＝1a解析：选D 对于A ，(－2)－2＝14，故A 错误；对于B ，2a －3＝2a 3，故B 错误；对于C ，(－2)0＝1，故C 错误；对于D ，(a -14)4＝1a，故D 正确．2．化简4a 23·b-13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a -13b 23的结果为( ) A ．－2a3bB ．－8abC ．－6a bD ．－6ab解析：选C 原式＝－6a⎛⎫-- ⎪⎝⎭2133b--1233＝－6ab －1＝－6a b.3．计算：－⎝⎛⎭⎫32－2＋⎝⎛⎭⎫－278-23＋(0.002)-12＝________.解析：原式＝－⎝⎛⎭⎫232＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－323-23＋⎝⎛⎭⎫1500-12＝－49＋49＋105＝10 5.答案：10 5考点二 对数式的化简与求值[典例] 计算下列各式：(1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40；(2)log 23·log 38＋(3)log 34.[解] (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg54lg 54＝1.(2)原式＝lg 3lg 2·3lg 2lg 3＋3log 4312＝3＋3log 32＝3＋2＝5.[题组训练]1．(log 29)·(log 34)＝( )A ．14B ．12C ．2D ．4解析：选D 法一：原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4.法二：原式＝2log 23·log 24log 23＝2×2＝4.2．计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100-12＝________. 解析：原式＝lg ⎝⎛⎭⎫14×125×10012＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20. 答案：－203．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝log 2(x 2＋a )且f (3)＝1，∴1＝log 2(9＋a )， ∴9＋a ＝2，∴a ＝－7. 答案：－7 4．计算：log 5[421log 102－(33)23－77log 2]＝________.解析：原式＝log 5[22log 10－(332)23－2]＝log 5(10－3－2)＝log 55＝1.答案：1[课时跟踪检测]1．设1x＝log 23，则3x －3－x 的值为( )A.83 B.32C.52D.73解析：选B 由1x ＝log 23，得3x ＝2，∴3x －3－x ＝2－12＝32.2．化简⎝⎛⎭⎫2a 23b 12(－6a 12b 13)÷⎝⎛⎭⎫－3a 16b 56的结果为( )A ．－4aB ．4aC ．11aD ．4ab解析：选B 原式＝[2×(－6)÷(－3)]a+-211326b+-115236＝4ab 0＝4a .3．(log 29)(log 32)＋log a 54＋log a ⎝⎛⎭⎫45a (a >0，且a ≠1)的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B 原式＝(2log 23)(log 32)＋log a ⎝⎛⎭⎫54×45a ＝2×1＋log a a ＝3. 4．设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A ．a 12B ．a 56C ．a 76D ．a 32解析：选Ca 2a ·3a 2＝a 2a ·a23＝a 2a53＝a 2a56＝a52-6＝a 76.5．如果2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q (a >0，且a ≠1)，那么PQ的值为( )A.14 B ．4 C ．1D ．4或1解析：选B 由2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q ，得log a (P －2Q )2＝log a (P Q )．由对数运算性质得(P －2Q )2＝P Q ，即P 2－5P Q ＋4Q 2＝0，所以P ＝Q (舍去)或P ＝4Q ，解得PQ＝4.6．若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于( )A ．1B ．0或18C.18D ．log 23解析：选D 由题意知lg2＋lg(2x ＋5)＝2lg(2x ＋1)，由对数的运算性质得2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，即(2x )2－9＝0,2x ＝3，x ＝log 23.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 3 12的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D ∵log 3 12<0，由题意得f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 3 12＝f (log 21)＋331-log 2＋1＝f (0)＋33log 2＋1＝30＋1＋2＋1＝5.8．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10 B ．10 C ．20D ．100解析：选A 由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10.因为1a ＋1b ＝2，所以log m 10＝2.所以m 2＝10，所以m ＝10. 9．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 解析：由4a ＝2，得a ＝12，又因为lg x ＝a ＝12，所以x ＝1012＝10. 答案：10 10．计算：9591log 2-＝________.解析：9591log 2-＝912×959log -＝3×15＝35.答案：3511．化简：(a 23·b －1)-12·a-12·b136a ·b 5＝________.解析：原式＝a-13·b 12·a -12·b13a 16·b56＝a---111326·b+-115236＝1a. 答案：1a12．已知指数函数y ＝f (x )，对数函数y ＝g (x )和幂函数y ＝h (x )的图象都过点P ⎝⎛⎭⎫12，2，如果f (x 1)＝g (x 2)＝h (x 3)＝4，那么x 1＋x 2＋x 3＝________.解析：令f (x )＝a x(a >0,且a ≠1)，g (x )＝log b x(b>0,且b ≠1)，h (x )＝x c，则f ⎝⎛⎭⎫12＝a 12＝2，g ⎝⎛⎭⎫12＝log b 12＝－log b 2＝2，h ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12c ＝2，∴a ＝4，b ＝22，c ＝－1，∴f (x 1)＝4x 1＝4⇒x 1＝1，同理，x 2＝14，x 3＝14.∴x 1＋x 2＋x 3＝32.答案：3213．化简下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋⎝⎛⎭⎫210272-3－3π0＋3748；(2)3a 72·a －3÷3a －3·a －1；(3)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27.解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋10.12＋⎝⎛⎭⎫6427-23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (2)原式＝3a 72·a3-2÷3a-32·a-12＝3a 72÷3a-12＝a 76÷a-16＝a 86＝a 43.(3)法一：原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝⎝⎛⎭⎫1＋45＋910－12lg 3(4－3)lg 3＝115.法二：原式＝lg (3×925×27⨯1325×3-12)lg 8127＝lg 3115lg 3＝115.。
