人教版高中数学全套试题5.3

5.3诱导公式（精讲）诱导公式公式终边关系图示公式公式二角π＋α与角α的终边关于原点对称sin (π＋α)＝－sin αcos (π＋α)＝－cos αtan (π＋α)＝tan α公式三角－α与角α的终边关于x 轴对称sin (－α)＝－sin αcos (－α)＝cos αtan (－α)＝－tan α公式四角π－α与角α的终边关于y 轴对称sin (π－α)＝sin αcos (π－α)＝－cos αtan (π－α)＝－tan α公式五sin()cos 2cos()sin 2π-α=απ-α=α公式六sin()cos 2cos()sin 2π+α=απ+α=-α记忆口诀：可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：①“变”与“不变”是针对互余关系的函数名而言的，正弦变余弦、余弦变正弦．②“奇”“偶”是对k·π2±α(k∈Z)中的整数k来讲的．③“象限”指k·π2±α(k∈Z)中，将α看成锐角时，k·π2±α(k∈Z)所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四一．利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式一或三来转化.(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角.(3)“小化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.二．三角函数式化简的常用方法(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式.②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.三．诱导公式综合应用要“三看”一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．二看函数名称：一般是弦切互化．三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形，平方和差、立方和差公式．考点一给角求值问题【例1】（2023·广东肇庆）求下列各式的值．(1)sin1470︒；(2)9πcos4；(3)11πtan6⎛⎫- ⎪⎝⎭．（4）43sin6π⎛⎫-⎪⎝⎭；（5）()()cos120sin150tan855︒︒︒--+.【答案】(1)12(2)24）12；（5）34-【解析】（1）()1sin1470sin 436030sin302︒=⨯︒+︒=︒=．（2）9πππcos cos 2πcos 444⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（3）11πππtan tan 2πtan 666⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）43sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭7sin 66ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭7sin sin sin 666ππππ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭1=2.（5）原式()()()cos 18060sin 18030tan 1352360︒︒︒︒︒︒=--⋅-++⨯()cos60sin 30tan135︒︒︒=--+()cos60sin30tan 18045︒︒︒︒=+-cos60sin 30tan 45︒︒︒=-1131224=⨯-=-.【一隅三反】1．（2023秋·新疆塔城）sin 240︒的值是（）A．BC ．12-D ．12【答案】A【解析】()sin 240sin 18060sin 602︒=︒+︒=-︒=-.故选：A.2．（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知角θ的终边经过点(1,2)P ，则()sin ππcos cos 2θθθ-=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（）A ．13-B ．13C ．23-D ．23【答案】D【解析】由三角函数的定义可得tan 2θ=，则()sin πsin tan 2πsin cos tan 13cos cos 2θθθθθθθθ-===++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.故选：D3．（2023春·海南省直辖县级单位·高一校考期中）.求下列各值.(1)πsin 6⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)πcos 4⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)7πtan 6⎛⎫- ⎪⎝⎭；(4)7πsin 4⎛⎫- ⎪⎝⎭(5)47cos π6；(6)7πsin 3⎛⎫- ⎪⎝⎭；(7)()tan 855-︒．【答案】(1)12-；(2)2；(3)(4)2【解析】（1）ππ1sin sin 662⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭；（2）ππcos cos 442⎛⎫-== ⎪⎝⎭；（3）7πππtan tan πtan 666⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）7πππsin sin 2πsin 4442⎛⎫⎛⎫-=--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（5）47ππcos πcos 8πcos 6662⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．（6）7π7πππsin sin sin 2πsin 3333⎛⎫⎛⎫-=-=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（7）())tan 855tan855tan(2360135tan135-︒=-︒=-⨯︒+︒=-︒()tan 18045tan451=-︒-︒=︒=．考点二化简求值问题【例2】（2023秋·高一课时练习）已知α的终边与单位圆交于点P m ⎛ ⎝⎭，且α为第二象限角，试求()πsin 23πsin πsin 12ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭的值．【答案】36-【解析】由题意得22(14m +=，解得2116m =，因为α为第二象限角，可得0m <，所以14m =-，所以1sin ,cos 4αα=-，所以()π1sin cos 243πsin cos 1sin πsin 12αααααα⎛⎫- ⎪-⎝⎭==--++⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）已知4cos 5α=-，且α为第三象限角．求()()()()()7πsin 5πcos tan π2tan 19πsin f αααααα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----的值．【答案】35-【解析】()()()sin sin tan 3sin tan sin 5f ααααααα-===--.2．（2023秋·高一课时练习）已知1cos 3α=-，且α为第二象限角,tan β=()()πsin cos 3sin sin 2cos πcos 3sin sin αβαβαβαβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+--的值为（）A．－411B．－11C．11D【答案】C 【解析】因为1cos 3α=-，且α为第二象限角，所以sin 3α=，则()()πsin cos 3sin sin 2cos πcos 3sin sin αβαβαβαβ⎛⎫++ ⎪⎝⎭+--sin cos 3cos sin =cos cos 3sin sin αβαβαβαβ+--sin 3cos tan =cos 3sin tan ααβααβ+--13311⎛⎫-⨯ ⎪=故选:C.3．（2023春·陕西西安）已知函数()22x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图像过定点P ，且角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边过点P ，则()211π9πcos sin 22sin πααα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--等于（）A ．23-B ．23C ．32D ．32-【答案】A 【解析】()()()222ππππ11π9πcos 6πsin 4πcos sin cos sin 222222sin πsin π+sin πααααααααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦==--⎡⎤-+⎣⎦又因为ππcos cos sin 22ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，sin os π2c αα⎛⎫= ⎪+⎝⎭，()22sin πsin αα+=，故原式=2sin cos 1sin tan αααα-⋅=-;又()22x f x a -=+过定点()2,3P ,所以3tan 2α=，代入原式得原式=12tan 3α-=-.故选：A考点三给值(或式)求值问题【例3-1】（2023秋·高一课时练习）已知1sin(π)3α-=，则sin(2021π)α-的值为（）A ．3B ．3-C ．13D ．13-【答案】D【解析】由sin()sin παα-=，可得1sin 3α=，则1sin(2021π)sin[(π)2020π]sin(π)sin 3αααα-=--=-=-=-.故选：D.【例3-2】（2023春·四川眉山·高一校考阶段练习）若πcos 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=13，则πsin 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于（）A ．79-B ．3C ．79D ．13【答案】D 【解析】ππππ1sin sin cos 32663ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D.【例3-3】（2023秋·浙江嘉兴）已知πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且ππ,44α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．BCD 【答案】D【解析】因为ππ,44α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以ππ5π,61212α⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，又πsin 063α⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，所以ππππsin sin cos 3266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知π2cos 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于（）A ．23B ．23-C D ．【答案】B【解析】因为2πππ2cos()cos π()cos()3333ααα⎡⎤-=-+=-+=-⎢⎥⎣⎦.故选：B.2．（2023秋·山东德州）已知2π3sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7πcos 6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于．【答案】35-/0.6-【解析】7πππππ2π3cos cos(π)cos()sin()sin()6662635x x x x x ⎛⎫+=++=-+=-++=-+=- ⎪⎝⎭.故答案为：35-3．（2023春·上海嘉定·高一校考期中）已知π1cos 64x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25ππcos cos 63x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为；【答案】1116【解析】π1cos 64x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，5πππ1cos cos cos 6664x x x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ππππcos cos sin 3266x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，222πππ115cos sin 1cos 13661616x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，25ππ11511cos cos 6341616x x ⎛⎫⎛⎫∴-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1116.考点四利用诱导公式证明恒等式【例4】（2022·高一课时练习）求证：()()()3tan 2cos cos 62133tan sin cos 22ααααααπ⎛⎫π--π- ⎪⎝⎭=ππ⎛⎫⎛⎫π-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】证明见解析【解析】证明：左边()()()tan cos cos 2tan sin cos 22αααααα⎡π⎤⎛⎫---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎡π⎤⎡π⎤⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()()()tan sin cos tan cos sin αααααα--=--1==右边，所以原式成立．【一隅三反】1．（2023云南）求证：()()()cos 6sin 2tan 2tan 33cos sin 22πθπθπθθππθθ+---=-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】证明见解析【解析】证明：左边=()()cos sin tan cos sin tan tan sin (cos )sin cos θθθθθθθθθθθ--==---=右边所以原等式成立2．（2023·高一课时练习）求证：()()()()()11sin 2cos cos cos 22tan 9cos sin 3sin sin 2πππαπααααππαπαπαα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎛⎫----+ ⎪⎝⎭．【答案】证明见解析.【解析】左边=()()()()sin cos sin sin cos sin sin cos αααααααα-⋅----⋅⋅⋅=–tan α=右边，∴等式成立．3．（2023·全国·高一假期作业）求证：232sin()cos()12212sin ()ππθθπθ-+--+＝tan(9)1tan()1πθπθ+++-．【答案】证明见解析【解析】左边()()22222222sin()sin 12sin cos sin cos 2sin cos 1212sin 12sin sin cos 2sin πθθθθθθθθθθθθθ+----+--===--+-()()()2sin cos sin cos cos sin cos sin sin cos θθθθθθθθθθ-++==+--.右边sin 1tan()1tan 1sin cos cos sin tan()1tan 1sin cos 1cos θπθθθθθθπθθθθθ+++++====+----.∴左边＝右边，故原等式成立．4．（2023北京）（1）求证：tan(2)sin(2)cos(6)tan 33sin(22παπαπααππαα----=-++；（2）设8tan()7m πα+=，求证1513sin()3cos()37720221sin()cos()77m m ππααππαα++-+=+--+.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）左边=tan()sin()cos()sin[2()]cos[2()]22αααπππαπα-------22(tan)(sin)cos sin sincos sinsin[()]cos[()]sin()cos()2222αααααππππαααααα--===--------sin tancosααα=-=-=右边，所以原等式成立.（2）方法1：左边=88sin[()]3cos[()3]7788sin[4()]cos[2(77πππααππππαπα++++--+-++=888sin()3cos()tan()3777888sin()cos()tan()1777πππαααπππααα-+-+++=-+-+++=31mm++=右边，所以原等式成立.方法2：由8tan()7mπα+=，得tan()7mπα+=，所以，等式左边=sin[2()]3cos[()2]77sin[2()]cos[2()]77πππααπππππαππα++++-+-+-+++=sin()3cos()77sin()cos()77ππααππαα++++++=tan()3371tan()17mmπαπα+++=+++=右边，等式成立.。

第59讲 平面与平面的平行和垂直一、选择题1．下列命题正确的是（ ）（A ）平行于同一直线的两个平面平行 （B ）平行于同一个平面的两个平面重合（C ）垂直于同一直线的两个平面平行 （D ）与同一直线成等角的两个平面平行 [答案]C[解析]A 中两个平面可能相交，B 中两个平面还可能平行，D 中两个平面可能相交2．αβ、是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定//αβ的是( )(A)αβγ、都垂直于平面; (B)αβ内不共线的三点到的距离相等; (C),//,//l m l m αββ是内的直线，且;(D),//,//,//,//l m l m l m ααββ是两条异面直线，且.[答案]D[解析]根据两个平面平行的判定即得3．将正方形ABCD 沿对角线折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 中点，则异面直线AE 、BC 所成角的正切值为（ ）(A). 2(B).22(C). 2 (D). 21[答案]A [解析]略4．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α,m ⊂β.给出四个命题：（1）若α∥β,则l ⊥m ;(2)若l ⊥m ,则α∥β;(3)若α⊥β,则l ∥m ;(4)若l ∥m ,则α⊥β,其中正确的命题个数( )（A ）4 （B ）1 （C ）3 （D ）2 [解析]（1）（4）正确 [答案]D5．在下列命题中，假命题是（ ）（A ）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥β （B ）若平面α内任一直线平行于平面β，则α∥β（C ）若平面α⊥平面β，任取直线l α，则必有l ⊥β（D ）若平面α∥平面β，任取直线l α，则必有l ∥β [答案]C[解析]A 中直线l ⊥β，l α，所以α⊥β，A 为真命题.B 中，在α内取两相交直线，则此二直线平行于β，则α∥β，B 为真命题.D 为两平面平行的性质，为真命题.C 为假命题，l 只有在垂直交线时才有l ⊥β，否则l 不垂直β.故选C.6．已知三条直线m 、n 、l ，三个平面α、β、γ.下面四个命题中，正确的是（ ）（A ）⇒⎭⎬⎫⊥⊥γβγαα∥β（B ）⇒⎭⎬⎫⊥m l m β//l ⊥β（C ）⇒⎭⎬⎫γγ////n m m ∥n（D ）⇒⎭⎬⎫⊥⊥γγn m m ∥n [答案] D[解析] 垂直于同一平面的两直线必平行，因此选D.判断元素之间的位置关系问题，也可以从元素之间所有关系分析入手，再否定若干选项.如A ，因为α、β有两种位置关系，在α与β相交情况下，仍有α⊥r ，β⊥r .因此，α∥β是错误的.7．已知a 、b 为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面，且a ⊥α, b ⊥β，则下列命题中的假命题．．．是（ ） （A ）若a ∥b ，则α∥β（B ）若α⊥β，则a ⊥b（C ）若a 、b 相交，则α、β相交 （D ）若α、β相交，则a 、b 相交 [答案]D[解析]①∵a ∥b ，a ⊥α，∴b ⊥α，又∵b ⊥β，∴α∥β②∵a ⊥α，α⊥β ∴a ∥β或a ∈β 又∵b ⊥β ∴b ⊥a ③若α∥β，则a ∥b④若α、β相交，则a 、b 可能相交也可能异面，显然D 不对.8．已知直线l ⊥平面α，直线m 平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β其中正确的两个命题是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）②④ （D ）①③[答案]D[解析]①是正确的，l⊥α，α∥β，则l⊥β，又mβ，所以l⊥m；③也是正确的，l⊥α，m∥l，则m⊥α，又mβ，所以α⊥β；②中，l与m可能相交或异面；④中，α与β可能相交，只有①和③正确9．设a，b，c表示三条直线, β、γ表示两个平面, 则下列命题中逆命题不．．．．成立．．的是 ( )（A）已知,⊥则γ∥βcβcγ⊥若,（B）已知β⊂b, c是a在β内的射影, 若b⊥c, 则a⊥b （C）已知γb,γ⊂c, 若c∥γ, 则c∥b⊄（D）已知β⊥β⊂⊥则γbγb, 若,[答案]D[解析]逆命题为已知βbγ⊥错⊂β，则,⊥b, 若γ10．在下列命题中，真命题是（）（A）若直线m、n都平行于平面α，则m∥n（B）设α—l—β是直二面角，若直线m⊥l，则m⊥β（C）若直线m、n在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，且m⊥n，则n在α内或n与α平行（D）设m、n是异面直线，若m与平面α平行，则n与α相交[答案]C[解析]A显然错误，此时m与n可能平行，也可能相交或异面；B也是错误的，当m⊥l，且m⊂α时，才有m⊥β；D也错误，因m与n异面，m与α平行，n与α可能相交，也可能平行，也可能在平面α内；故应选C.二、填空题αβ=，P是空间一点，且P到α、β的距离分别11．已知平面α⊥β，l是1、2，则点P到l的距离为。

第五章三角函数 5.3 诱导公式一、选择题（共40小题；共200分）1. 已知sin(π+α)=45，且α是第四象限角，则cos(α−2π)的值是( )A. −35B. 35C. ±35D. 452. 已知sin(5π2+α)=15，那么cosα=( )A. −25B. −15C. 15D. 253. 设函数f(x)=sin(2x−π2),x∈R，则f(x)是( )A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为π2的奇函数 D. 最小正周期为π2的偶函数4. 知f(sinx)=sin3x，则f(cos10∘)的值为( )A. −12B. 12C. −√32D. √325. 如图，△ABC中，已知点D在BC上，AD⊥AC，sin∠BAC=2√23，AB=3√2，AD=3，则BD 的长为( )A. 2B. √3C. 4D. 16. 为得到函数y=cos(2x+π3)的图象，只需将函数y=sin2x的图象( )A. 向左平移5π12个长度单位 B. 向右平移5π12个长度单位C. 向左平移5π6个长度单位 D. 向右平移5π6个长度单位7. 要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cos(x−π3)的图象( )A. 向右平移π6个单位 B. 向右平移π3个单位C. 向左平移π3个单位 D. 向左平移π6个单位8. 已知sin(π−α)=−2sin(π2+α)，则tanα的值为( )A. 12B. 2 C. −12D. −29. 已知sin(α−π8)=45，则cos(α+3π8)=( )A. −45B. 45C. −35D. 3510. ＂θ=2π3＂是＂tanθ=2cos(π2+θ)＂的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件11. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=−f(x)，且在[−3,−2]上递减，α，β是锐角三角形的两个内角且α≠β，则下列不等式正确的是( )A. f(sinα)>f(cosβ)B. f(sinα)<f(cosβ)C. f(sinα)>f(sinβ)D. f(cosα)>f(cosβ)12. 已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(x∈R,ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)=cosωx 的图象，只要将y=f(x)的图象( )A. 向左平移π8个单位长度 B. 向右平移π8个单位长度C. 向左平移π4个单位长度 D. 向右平移π4个单位长度13. 已知cos(π12−θ)=13，则sin(5π12+θ)的值是( )A. 13B. 2√23C. −13D. −2√2314. 在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边与单位圆交于点(35,45)，则tan(π+θ)的值为( )A. 43B. 34C. −43D. −3415. 已知α∈(0,π6)，sin(α+π3)=1213，则cos(π6−α)=( )A. 512B. 1213C. −513D. −121316. 若A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式成立的是( )A. cos(B+C)=cosAB. tan(B+C)=tanAC. sin B+C2=sin A2D. cos B+C2=sin A217. 已知f(cosx)=cos3x，则f(sin30∘)的值为( )A. 0B. 1C. −1D. √3218. 在△ABC中，若sin(A+B−C)=sin(A−B+C)，则△ABC必是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形19. 已知cos(5π12+α)=13，且−π<α<−π2，则cos(π12−α)等于( )A. 2√33B. 13C. −13D. −2√2320. 为了得到函数y=sin(2x−π6)的图象，可以将函数y=cos2x的图象( )A. 向右平移π6个单位长度 B. 向右平移π3个单位长度C. 向左平移π6个单位长度 D. 向左平移π3个单位长度21. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0,+∞)上是增函数．令a=f(sin2π7)，b=f(cos5π7)，c=f(tan5π7)，则( )A. b <a <cB. c <b <aC. b <c <aD. a <b <c22. △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．已知 sinB +sinA (sinC −cosC )=0，a =2，c =√2，则 C = ( )A. π12B. π6C. π4D. π323. 设 A 是三角形的一个内角且 cos (π+A )=√32，那么 cos (π2+A) 的值是 ( )A. 12B. √32C. −12D. −√3224. 已知 sin (π3−θ)=12，则 cos (π6+θ)= ( )A. −√32B. −12C. 12D. √3225. 已知：sin (π2+θ)+3cos (π−θ)=sin (−θ)，则 sinθcosθ+cos 2θ= ( )A. 15B. 25C. √55D. 3526. 已知 sin (x +π12)=13，则 cos (x +7π12) 的值为 ( )A. 13 B. −13C. −2√23D.2√2327. 设 a =sin5π7，b =cos2π7，c =tan 2π7，则 ( )A. a <b <cB. a <c <bC. b <c <aD. b <a <c28. 有四个关于三角函数的命题： p 1：∃A ∈R ，使得 sin 2A2+cos 2A2=12；p 2：∃A ，B ∈R ，使得 sin (A −B )=sinA −sinB ； p 3：∀x ∈[0,π]，都有 √1−cos2x2=sinx 成立；p 4：sinx =cosy ⇒x +y =π2．其中假命题是 ( )A. P 1,P 4B. P 2,P 4C. P 1,P 3D. P 2,P 329. 若角 A ，B ，C 是 △ABC 的三个内角，则下列等式中，一定成立的是 ( )A. cos (A +B )=cosCB. sin (A +B )=−sinCC. cosA+C 2=sinBD. sinB+C 2=cos A230. 已知函数 f (x )=asin (πx +α)+bcos (πx +β)，且 f (4)=3，则 f (2013) 的值为 ( )A. −1B. 1C. 3D. −331. 已知 f (α)=sin (π−α)cos (2π−α)cos (−π−α)tanα，则 f (−313π) 的值为 ( ) A. 12B. −13C. −12D. 1332. 已知 sin (π−θ)=−2sin (π2+θ), 则 sinθ⋅cosθ= ( )A. 25B. −25C. 25 或 −25D. −1533. 若 tan π12cos 5π12=sin 5π12−m ⋅sin π12，则实数 m 的值为 ( ) A. 2√3B. √3C. 2D. 334. 已知 sinα−cosα=13，则 cos (π2−2α)= ( ) A. −89B. 23C. 89D.√17935. 设函数 f (x )(x ∈R ) 满足 f (x −π)=f (x )+sinx ，当 0≤x ≤π，f (x )=1 时，则 f (−13π6)=( )A. 12B. −12C. 32D. −3236. 若 sin (π−α)=13，且 π2≤α≤π，则 cosα= ( )A.2√23B. −2√23 C. −4√29D.4√2937. 已知 tan (α+π4)=34，则 cos 2(π4−α)= ( )A. 725B. 925C. 1625D. 242538. 已知 θ 是第四象限角，且 sin (θ+π4)=35，则 tan (θ−π4)= ( )A. 34B. −34C. 43D. −4339. 设函数 f (x )(x ∈R ) 满足 f (x +π)=f (x )+sinx ．当 0≤x <π 时，f (x )=0，则 f (23π6)=( )A. 12B. √32C. 0D. −1240. 设 a ∈R ，b ∈[0,2π]．若对任意实数 x 都有 sin (3x −π3)=sin (ax +b )，则满足条件的有序实数对 (a,b ) 的对数为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（共40小题；共200分） 41. 已知 sin (x −π3)=13，则 cos (x +π6)= .42. 化简：1+sin (α−360∘)cos (α−270∘)−2cos 2α= ． 43. cos17π6= ．44. 计算 cos7π6的值为 ．45. 若 sin (π4−α)=13，则 cos (π4+α)= ．46. 已知 sin (π−α)=log 814，且 α∈(−π2,0)，则 tan (2π−α) 的值为 ．47. cos (−585∘)tan495∘+sin (−690∘) 的值是 ． 48. tan (−556π) 的值是 ．49. sin1320∘ 的值是 ．50. 已知 sin40∘=a ，则 cos130∘= ． 51. 已知 tan (π6−α)=√33，则 tan (56π+α)= ．52. 已知 sinβ=13，sin (α+β)=1，则 sin (2α+β)= ． 53. 已知 sin (x +π6)=13，那么 sin (x −5π6)+sin 2(π3−x) 的值为 ． 54. 已知 α 是锐角，且 cos (α+π6)=13，则 cos (α−π3)= ．55. 已知函数 f (x )=asin (πx +α)+bcos (πx +β)，且 f (4)=3，则 f (2017) 的值为 ．56. 设函数 f (x )(x ∈R ) 满足 f (x +π)=f (x )+sinx ，当 0≤x <π 时，f (x )=0，则f (23π6)= ．57. 已知 cos (π6−α)=23，则 sin (α−2π3)= ．58. 已知角 α 终边上一点 P (−4,3)，则 cos(π2+α)sin (−π−α)cos(11π2−α)sin(9π2+α)的值为 ．59. 已知 f (α)=sin (π+α)cos (2π−α)tan(−α+3π2)cos (−π−α)，则 f (−31π3) 的值为 ．60. 已知函数 f (x )=asin (πx +α)+bcos (πx +β)，且 f (4)=3，求 f (2013) 的值． 61. 已知 sinα 是方程 5x 2−7x −6=0 的根，求sin(α+32π)sin(32π−α)tan 2(2π−α)tan (π−α)cos(π2−α)cos(π2+α)的值．62. 已知函数 f (x )=cos x2，给出下列等式：① f (2π−x )=f (x )；② f (2π+x )=f (x )；③f (−x )=−f (x )；④ f (−x )=f (x )．其中恒成立的有 ．（填序号） 63. √1−2cos (π+2)sin (π+2)= ．64. 化简：tan1∘⋅tan2∘⋅tan3∘⋅ ⋯ ⋅tan89∘= ． 65. 若 cos (π−α)=√53，且 α∈(π2,π)，则 sin (π+α)= ．66. 已知 α 为第二象限角，且 sinα=35，那么 tan(π＋α)= ． 67. 已知 cos (α−π6)=−13，那么 sin (2π3−α)= ．68. 已知 α 为锐角，且 2tan (π−α)−3cos (π2+β)+5=0，tan (π+α)+6sin (π+β)=1，那么sinα 的值是 ． 69. 计算：sin (−π3)+2sin4π3+3sin2π3= ．70. 已知角 α 和角 β 的终边关于直线 y =x 对称，且 β=−π3，那么 sinα= ． 71. 若函数 f (x )=asin2x +btanx +1，且 f (−3)=5，则 f (π+3)= ． 72. 已知 f (α)=cos(π2+α)sin(3π2−α)cos (−π−α)tan (π−α)，则 f (−25π3) 的值为 ．73. 若sinθ+cosθsinθ−cosθ=2，则 sin (θ−5π)sin (3π2−θ)= ．74. cos 21∘+cos 22∘+⋯+cos 289∘= ．75. 设 a,b ∈R ，c ∈[0,2π]，若对任意实数 x 都有 2sin (3x −π3)=asin (bx +c )，则满足条件的有序实数组 (a,b,c ) 的组数为 ．76. 已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足cosAsinA1=cosBsinB1=cosCsinC1=1则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．（i）在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是：（请写出符合要求的条件的序号）①A=90∘,B=60∘,C=30∘；②A=75∘,B=60∘,C=45∘；③A=75∘,B=75∘,C=30∘．（ii）若△ABC存在“友好”三角形，且A=70∘，则另外两个角的度数分别为．77. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a+c=4，(2−cosA)tan B2=sinA，则△ABC的面积的最大值为．78. 有下列命题：①y=cosx在第一象限是减函数；②若cos(α+β)=1，则sin(2α+β)+sinβ=0；③若定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=−f(x)，则y=f(x)是周期函数；④a⃗，b⃗⃗，c⃗是非零向量，若a⃗∥b⃗⃗，b⃗⃗∥c⃗，则a⃗∥c⃗；⑤若存在实数m，n，使得ma⃗=nb⃗⃗，则b⃗⃗与a⃗共线．其中正确命题的序号为．79. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cosBcosC =−b2a+c，若b=√13，a+c=4，则a的值为．80. 由sin36∘=cos54∘，可求得cos2016∘的值为．三、解答题（共20小题；共260分）81. （1）求下列三角函数值：①cos225∘；②sin25π6；③sin(−17π3)；④tan(−32π3)．（2）将下列三角函数化为0∘到45∘之间角的三角函数：①sin85∘；②cos35π；③tanπ3；82. 已知tan(α+π4)=13．（1）求tanα的值；（2）求2sin2α−sin(π−α)sin(π2−α)+sin2(3π2+α)的值．83. 函数f(x)=cos(πx+φ)(0<φ<π2)的部分图象如图所示．（1）求 φ 及图中 x 0 的值； （2）设 g (x )=f (x )+f (x +13)，求函数 g (x ) 在区间 [−12,13] 上的最大值和最小值．84. 已知函数 f (x )=sin (x −π6)+cosx ．（1）求函数 f (x ) 的最小正周期； （2）若 α 是第一象限角，且 f (α+π3)=45，求 tan (α−π4) 的值．85. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且满足2a−b cosB=c cosC．（1）求角 C 的值； （2）若 c =7，△ABC 的面积为 10√3，求 a +b 的值．86. 在 △ABC 中，∠A =60∘，c =37a ．（1）求 sinC 的值； （2）若 a =7，求 △ABC 的面积．87. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 2cos (B −C )+1=4cosBcosC ．（1）求 A ； （2）若 a =2√7，△ABC 的面积为 2√3，求 b +c ．88. 已知函数 f (x )=sin (π−ωx )cosωx +cos 2ωx (ω>0) 的最小正周期为 π．（1）求 ω 的值；（2）将函数 y =f (x ) 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 12，纵坐标不变，得到函数 y =g (x ) 的图象，求函数 g (x ) 在区间 [0,π16] 上的值域．89. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 所对应的边分别为 a ，b ，c ．已知 asin2B =√3bsinA ．（1）求 B ； （2）若 cosA =13，求 sinC 的值．90. 已知向量 m ⃗⃗⃗=(sinx,−1)，n ⃗⃗=(√3cosx,−12)，函数 f (x )=m ⃗⃗⃗2+m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗−2．（1）求 f (x ) 的最大值，并求取最大值时 x 的取值集合；（2）已知 a 、 b 、 c 分别为 △ABC 内角 A 、 B 、 C 的对边，且 a ，b ，c 成等比数列，角 B 为锐角，且 f (B )=1，求1tanA+1tanC的值．91. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，设 S 为 △ABC 的面积，满足 4S =√3(a 2+b 2−c 2)． （1）求角 C 的大小； （2）若 1+tanAtanB =2c b，且 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−8，求 c 的值．92. 设 x ∈R ，函数 f (x )=cos (ωx +φ)（ω>0，−π2<φ<0）的最小正周期为 π，且 f (π4)=√32．（1）求 ω 和 φ 的值；（2）在给定坐标系中作出函数 f (x ) 在 [0,π] 上的图象； （3）若 f (x )>√22，求 x 的取值范围．93. 已知 f (α)=sin (π−α)cos (2π−α)tan(−α+32π)1tan (−α−π)⋅sin (−π−α)，若 cos (α−32π)=15，且 α 是第三象限的角，求 f (α) 的值．94. 已知 cos (75∘+α)=13⋅α 是第三象限角，求 cos (15∘−α)+sin (α−15∘) 的值．95. △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．已知 a =3，cosA =√63，B =A +π2．（1）求 b 的值； （2）求 △ABC 的面积．96. 角 α 的终边上的点 P 与 A (a,b ) 关于 x 轴对称（a ≠0，b ≠0），角 β 的终边上的点 Q 与 A 关于原点对称，求 sinαcosβ+tanαtanβ+cosαsinβ 的值．97. 已知 cos (75∘+α)=13，α 是第三象限角，求 cos (15∘−α)+sin (α−15∘) 的值．98. 每年的1月1日是元旦节，7月1日是建党节，而2013年的春节是2月10日，因为2sin11∘sin71∘sin [( )∘+30∘]=sin2013∘sin210∘ ，新年将注定不平凡，请在括号内填写一个由月份和日期构成的正整数，使得等式成立，也正好组成我国另外一个重要节日.99. 己知向量 m ⃗⃗⃗=(√3sin x4,1)，n ⃗⃗=(cos x4,cos 2x4)．记 f (x )=m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗．（1）若 cos (2π3−x)=−12，求 f (x )=m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ 的值；（2）在锐角 △ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，且满足 (2a −c )cosB =bcosC ，求函数 f (A ) 的取值范围．100. （1）在 △ABC 中，已知边 BC =√3，AC =√2，已知角 B =45∘，求角 A ；若该题中的条件改为边 BC =√3，AC =√2，已知角 A =60∘，求角 B ；请根据该题的解答归纳判断解三角形的一个解、两个解的依据；（2）A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，已知 3acosA =ccosB +bcosC ，求 A 的值；（3）在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，若 a 2−b 2=√3bc ，sinC =2√3sinB ，求角 A ；（4）在锐角 △ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，ba +ab =6cosC ，求 tanCtanA +tanCtanB 的值．答案第一部分 1. B【解析】由 sin (π+α)=45，得 sinα=−45，而 cos (α−2π)=cosα，且 α 是第四象限角， 所以 cosα=√1−sin 2α=35． 2. C【解析】因为 sin (5π2+α)=sin (2π+π2+α)=sin (π2+α)=cosα=15，所以 cosα=15． 3. B 【解析】f (x )=−cos2x ．4. C 【解析】cos10∘=sin80∘，所以 f (sin80∘)=sin240∘=sin (180∘+60∘)=−sin60∘=−√32． 5. B6. A【解析】y =cos (2x +π3)=sin (2x +5π6)=sin2(x +5π12), 只需将函数 y =sin2x 的图象向左平移 5π12 个单位，可得到函数 y =cos (2x +π3) 的图象．7. A 8. D 9. A 10. A【解析】cos (π2+θ)=−sinθ，于是可得 tanθ=−2sinθ，即 cosθ=−12或 sinθ=0．显然 θ=2π3时，cosθ=−12，充分性成立；而 cos4π3=−12，必要性不成立．11. A 【解析】因为 f (x +1)=−f (x )， 所以 f (x +2)=−f (x +1)=f (x )， 所以 f (x ) 是周期为 2 的周期函数． 因为 y =f (x ) 是定义在 R 上的偶函数， 所以 f (−x )=f (x )．因为 f (x ) 在 [−3,−2] 上是减函数，所以根据偶函数图象的对称性可知函数 f (x ) 在 [2,3] 上是增函数． 根据函数的周期可知，函数 f (x ) 在 [0,1] 上是增函数． 因为 α，β 是锐角三角形的两个内角， 所以 α+β>90∘，α>90∘−β，所以 1>sinα>sin (90∘−β)=cosβ>0， 所以 f (sinα)>f (cosβ)．12. A 【解析】函数 f (x )=sin (2x +π4)，则 g (x )=cos2x =sin (2x +π2)，为了得到函数 g (x ) 的图象，需要将 y =f (x ) 的图象向左平移 π8 个单位．13. A 【解析】sin (5π12+θ)=sin (π2−(π12−θ))=cos (π12−θ)=13． 14. A15. B 16. D 17. C 18. C19. D 【解析】cos (π12−α)=cos [π2−(5π12+α)]=sin (5π12+α)． 又 −π<α<−π2， 所以 −712π<5π12+α<−π12．所以 sin (512π+α)=−2√23． 所以 cos (π12−α)=−2√23．20. B21. A 【解析】由题可得 sin 2π7=sin5π7，且 ∣cos 5π7∣<∣sin 5π7∣<∣tan 5π7∣．因为 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 [0,+∞) 上是增函数，所以 b <a <c ． 22. B 【解析】由题意 sin (A +C )+sinA (sinC −cosC )=0 得 sinAcosC +cosAsinC +sinAsinC −sinAcosC =0， 即 sinC (sinA +cosA )=√2sinCsin (A +π4)=0， 所以 A =3π4．由正弦定理 asinA =csinC 得 2sin3π4=√2sinC ，即 sinC =12，得 C =π6．23. C 24. C 25. D【解析】因为 sin (π2+θ)+3cos (π−θ)=cosθ−3cosθ=−2cosθ=sin (−θ)=−sinθ，所以 tanθ=2， 则 sinθcosθ+cos 2θ=sinθcosθ+cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tanθ+1tan 2θ+1=35．26. B 【解析】因为 sin (x +π12)=13，所以 cos (x +7π12)=cos [π2+(x +π12)]=−sin (x +π12)=−13． 27. D 【解析】a =sin5π7=sin2π7，且2π7>π4，c >1>a >√22>b ．28. A 【解析】p 1 为假命题；因为 sin 2A2+cos 2A2=1 恒成立，所以命题 p 1 为假命题； p 2 为真命题；因为当 A =0，B =0 时，sin (A −B )=sinA −sinB ，所以命题 p 2 为真命题； p 3 为真命题； 因为 √1−cos2x2=√sin 2x =∣sinx∣，而 x ∈[0,π]，所以 sinx ≥0，所以 √1−2cos2x2=sinx ，所以命题 p 3 为真命题； p 4 为假命题； 因为 sin5π2=cos0，而5π2+0≠π2，所以命题 p 4 为假命题．29. D 30. D【解析】因为 f (4)=asin (4π+α)+bcos (4π+β)=asinα+bcosβ=3， 所以f (2013)=asin (2013π+α)+bcos (2013π+β)=asin (π+α)+bcos (π+β)=−asinα−bcosβ=−(asinα+bcosβ)=−3. 31. C 【解析】因为 f (α)=sinαcosα−cosαtanα=−cosα，所以 f (−313π)=−cos (−313π)=−cos (10π+π3)=−cos π3=−12．32. B 【解析】由已知等式得 sinθ=−2cosθ， 所以 sin 2θ+cos 2θ=5cos 2θ=1，所以 cos 2θ=15，故 sinθcosθ=−2cos 2θ=−25． 33. A34. C 【解析】因为 sinα−cosα=13，所以两边平方，可得：1−2sinαcosα=19， 可得：1−sin2α=19，所以 cos (π2−2α)=sin2α=89．35. C36. B 【解析】因为 sin (π−α)=sinα=13，且 π2≤α≤π，则 cosα=−√1−sin 2α=−2√23． 37. B 【解析】因为 tan (α+π4)=34，所以cos 2(π4−α)=sin 2(α+π4)=sin 2(α+π4)sin 2(α+π4)+cos 2(α+π4)=11+cos 2(α+π4)sin 2(α+π4)=11+1tan 2(α+π4)=11+169=925.38. D 【解析】因为 θ 是第四象限角，所以 −π2+2kπ<θ<2kπ，则 −π4+2kπ<θ+π4<π4+2kπ,k ∈Z ，又 sin (θ+π4)=35， 所以 cos (θ+π4)=√1−sin 2(θ+π4)=45．所以 cos (π4−θ)=sin (θ+π4)=35，sin (π4−θ)=cos (θ+π4)=45．所以tan (θ−π4)=−tan (π4−θ)=−sin(π4−θ)cos(π4−θ)=−4535=−43.39. A 【解析】f (23π6)=f (17π6)+sin 17π6=f (11π6)+sin11π6+sin17π6=f (5π6)+sin5π6+sin11π6+sin17π6=0+12−12+12=12.40. B【解析】sin (3x −π3)=sin (3x −π3+2π)=sin (3x +5π3)，(a,b )=(3,5π3)，又 sin (3x −π3)=sin [π−(3x −π3)]=sin (−3x +4π3)，(a,b )=(−3,4π3)，注意到 b ∈[0,2π]，只有这两组． 第二部分 41. −13 42. 略 43. −√32【解析】cos 17π6=cos (3π−π6)=−cos π6=−√32． 44. −√32【解析】cos 7π6=cos (π+π6)=−cos π6=−√32． 45. 13【解析】因为 sin (π4−α)=13，所以 cos (π4+α)=sin (π2−(π4+α))=sin (π4−α)=13． 46.2√55【解析】sin (π−α)=sinα=log 814=−23，因为α∈(−π2,0)，所以cosα=√1−sin2α=√53，所以tan(2π−α)=tan(−α)=−tanα=−sinαcosα=2√55．47. √248. −√3349. −√3250. −a51. −√3352. 1353. 59【解析】因为sin(x−5π6)=sin(x+π6−π)=−sin(x+π6)=−13,sin2(π3−x)=sin2[π2−(x+π6)]=cos2(x+π6)=1−sin2(x+π6)=89,所以原式=−13+89=59.54. 2√2355. −3【解析】因为f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β)=asinα+bcosβ=3,所以f(2017)=asin(2017π+α)+bcos(2017π+β) =asin(π+α)+bcos(π+β)=−asinα−bcosβ=−3.56. 12【解析】由已知，得f (23π6)=f (17π6)+sin 17π6=f (11π6)+sin11π6+sin17π6=f (5π6)+sin5π6+sin11π6+sin17π6=0+12+(−12)+12=12.57. −23【解析】因为 (π6−α)+(α−2π3)=−π2， 所以 α−2π3=−π2−(π6−α)．所以sin (α−2π3)=sin [−π2−(π6−α)]=−sin [π2+(π6−α)]=−cos (π6−α)=−23.58. −34【解析】因为 tanα=y x =−34， 所以cos(π2+α)sin (−π−α)cos(11π2−α)sin(9π2+α)=−sinα⋅sinα−sinα⋅cosα=tanα=−34．59. 12【解析】原式=−sinαcosαcotα−cosα=cosα，则 f (α)=cosα，所以 f (−31π3)=cos (−31π3)=cos 31π3=cos π3=12．60. −3【解析】∵f (4)=asin (4π+α)+bcos (4π+β)=asinα+bcosβ=3.∴f (2013)=asin (2013π+α)+bcos (2013π+β)=asin (π+α)+bcos (π+β)=−asinα−bcosβ=−(asinα+bcosβ)=−3. 61. ±34 62. ④ 63. sin2−cos2 64. 1【解析】因为 tanα⋅tan (90∘−α)=1tanα⋅tanα=1， 所以tan1∘⋅tan2∘⋅ ⋯ ⋅tan89∘=(tan1∘⋅tan89∘)⋅(tan2∘⋅tan88∘)⋅ ⋯ ⋅(tan44∘⋅tan46∘)⋅tan45∘= 1. 65. −23【解析】因为 cos (π−α)=−cosα=√53， 所以 cosα=−√53． 又 α∈(π2,π)， 所以 sinα=√1−cos 2α=√1−(−√53)2=23，所以 sin (π+α)=−sinα=−23． 66. −34【解析】因为 α 为第二象限角，所以 cosα=−√1−(35)2=−45，所以tan (π+α)=tanα=sinαcosα=−34.67. −13【解析】由题知sin (2π3−α)=sin [π2+(π6−α)]=sin [π2−(α−π6)]=cos (α−π6)=−13.68.3√1010【解析】由题意可知 −2tanα+3sinβ+5=0，tanα−6sinβ=1，解得 tanα＝3，故 sinα=3√1010． 69. 0【解析】原式=−sin π3+2sin (π+π3)+3sin (π−π3)=−sin π3−2sin π3+3sin π3=0.70. 12【解析】因为角 α 和角 β 的终边关于直线 y =x 对称， 所以 α+β=2kπ+π2(k ∈Z )，又 β=−π3， 所以 α=2kπ+5π6(k ∈Z )，所以 sinα=12．71. −3【解析】因为 f (−3)=−(asin6+btan3)+1=5， 所以 asin6+btan3=−4，所以 f (π+3)=asin6+btan3+1=−3． 72. 12 73. 310【解析】由 sinθ+cosθsinθ−cosθ=2， 得 sinθ+cosθ=2(sinθ−cosθ)，两边平方得 1+2sinθcosθ=4(1−2sinθcosθ)， 故 sinθcosθ=310， 所以sin (θ−5π)sin (3π2−θ)=sinθcosθ=310.74. 892 75. 4【解析】（i ）若 a =2， 若 b =3，则 c =5π3；若 b =−3，则 c =4π3．（ii ）若 a =−2，若 b =−3，则 c =π3；若 b =3，则 c =2π3．共 4 组． 76. ②，45∘,65∘ .【解析】由题意，三角形 ABC 为锐角三角形，A +A 1=90∘ 或 A +A 1=180∘，B +B 1=90∘ 或 B +B 1=180∘，C +C 1=90∘ 或 C +C 1=180∘ .所以经检验②存在“友好”三角形；当 A =70∘ 时，B +C =110∘ . B 1+C 1=160∘或20∘ .不防设另外两个角中的一个角 B 的度数为 x ，则另一个角的度数为 110∘−x .所以对应的 B 1 、 C 1 分别为：B 1=90∘−x ，C 1=90∘−(110∘−x ) （舍）；或 B 1=180∘−(90∘−x )，C 1=90∘−(110∘−x ) .所以 B =45∘,C =65∘ . 77. √3【解析】方法一：均值取等法，不难猜出当 a =c 时面积取最大值， 此时 A =C ⇒B =π−A −C ⇒B =π−2A ．(2−cosA )tan B2=sinA ⇒(2−cosA )tan (π2−A)=sinA ⇒(2−cosA )cosAsinA =sinA ⇒2cosA =cos 2A +sin 2A =1．所以 cosA =12⇒A =60∘， 所以 a =b =c =2⇒S =√3．方法二：(2−cosA )tan B2=sinA ⇒sinA2−cosA =tan B2=sinB2cosB2=2sinB2cosB22cos2B2=sinB1+cosB⇒sinA+sinAcosB=2sinB−sinBcosA⇒(sinAcosB+sinBcosA)+sinA=2sinB⇒sin(A+B)+sinA=2sinB⇒sinC+sinA=2sinB⇒a+c=2b=4⇒b=2,a+c=4.所以cosB=a 2+c2−b22ac=(a+c)2−2ac−222ac=12−2ac2ac=6−acac．又ac≤(a+c2)2=4（当且仅当a=c时取等号），所以S=12acsinB=12ac√1−cos2B=12ac√1−(6−acac)2=12√(ac)2−(6−ac)2=12√6(2ac−6)≤12√12=√3．78. ②③④【解析】①y=cosx在(0,π2)上是减函数，但在第一象限不是减函数，例如cosπ3=12，cos13π6=√32，显然π3<13π6时，12<√32，①不正确；②因为cos(α+β)=1，所以sin(α+β)=0，所以sin(2α+β)+sinβ=sin[(α+β)+α]+sinβ=sinα+sinβ，又α+β=2kπ，k∈Z，所以α=2kπ−β，k∈Z，所以sinα+sinβ=sin(2kπ−β)+sinβ=−sinβ+sinβ=0，所以②正确；③f(x+2)=f[(x+1)+1]=−f(x+1)=−(−f(x))=f(x)，所以2是f(x)的周期，③正确；④因为a⃗∥b⃗⃗，b⃗⃗∥c⃗，所以存在非零实数m，n有a⃗=mb⃗⃗，b⃗⃗=nc⃗，所以a⃗=(mn)c⃗，所以a⃗∥c⃗，④正确；⑤若m=n=0，则必有ma⃗=nb⃗⃗=0，而a⃗与b⃗⃗可以不共线，⑤不正确．79. 1或3【解析】cosBcosC =−b2a+c，即有−2acosB=bcosC+ccosB，即−2sinAcosB=sinBcosC+cosCsinB=sin(B+C)=sinA，即有cosB=−12，由于B为三角形的内角，则B=2π3，又b2=a2+c2−2accosB，即有13=a2+c2+ac，又a+c=4，解得，a=1，c=3或a=3，c=1．80. −√5+14【解析】由sin36∘=cos54∘得2sin18∘cos18∘=cos(36∘+18∘)，化简整理得4sin218∘+2sin18∘−1=0，解得sin18∘=−2+√22+162×4=√5−14，所以cos2016∘=cos(6×360∘−144∘)=cos(144∘)=−cos36∘=2sin218∘−1=−√5+1.第三部分81. （1）①cos225∘=cos(180∘+45∘)=−cos45∘=−√22.②sin25π6=sin(π6+4π)=sinπ6=12.③sin(−17π3)=sin(π3−3×2π)=sinπ3=√32.④tan(−32π3)=tan(−11π+π3)=tanπ3=√3.（2）①sin85∘=sin(−5∘+90∘)=cos5∘.②cos35π=cos(π2+π10)=−sinπ10=−sin18∘.③tanπ3=tan(−π6+π2)=cotπ6=sin30∘.82. （1）因为tan(α+π4)=tanα+11−tanα=13，所以tanα=−12．（2）原式=2sin2α−sinαcosα+cos2α=2sin2α−sinαcosα+cos2αsin2α+cos2α=2tan2α−tanα+1tan2α+1=2×(−12)2−(−12)+1(−12)2+1=85.83. （1）由题图得f(0)=√32，所以cosφ=√32，因为0<φ<π2，故φ=π6．由于f(x)的最小正周期等于2，所以由题图可知1<x0<2，故7π6<πx0+π6<13π6．由f(x0)=√32得cos(πx0+π6)=√32，所以πx0+π6=11π6，x0=53．（2）因为f(x+13)=cos[π(x+13)+π6]=cos(πx+π2)=−sinπx，所以g(x)=f(x)+f(x+13)=cos(πx+π6)−sinπx=cosπxcosπ6−sinπxsinπ6−sinπx=√32cosπx−32sinπx=√3sin(π6−πx).当x∈[−12,13]时，−π6≤π6−πx≤2π3．所以−12≤sin(π6−πx)≤1，故π6−πx=π2，即x=−13时，g(x)取得最大值√3；当π6−πx=−π6，即x=13时，g(x)取得最小值−√32．84. （1）f(x)=sin(x−π6)+cosx=sinxcosπ6−cosxsinπ6+cosx=√32sinx+12cosx=sinxcosπ6+cosxsinπ6=sin(x+π6).所以函数f(x)的最小正周期为2π．（2）因为f(α+π3)=45，所以sin(α+π3+π6)=45．所以sin(α+π2)=45．所以cosα=45．因为α是第一象限角，所以sinα=√1−cos2α=35．所以tanα=sinαcosα=34．所以tan (α−π4)=tanα−tanπ41+tanα⋅tanπ4=34−11+34×1=−17.85. （1） 由题意得 (2a −b )cosC −ccosB =0． 即 (2sinA −sinB )cosC −sinCcosB =0，整理得 2sinAcosC =sinBcosC +sinCcosB =sin (B +C )=sinA ， 因为 0<A <π， 所以 sinA ≠0． 所以 cosC =12． 又因为 0<C <π， 所以 C =π3．（2） 由 S △ABC =12absinC =12absin π3=10√3 得 ab =40， 由（1）知 cosC =12，所以由余弦定理得 c 2=a 2+b 2−2abcosC =(a +b )2−3ab =(a +b )2−3×40， 即 49=(a +b )2−3×40，(a +b )2=169． 故 a +b =13．86. （1） ∠A =60∘，c =37a ， 由正弦定理可得 sinC =37sin∠A =37×√32=3√314． （2） a =7，则 c =3，c <a ， 所以 C <∠A ，C 为锐角， 由（1）可得 cosC =1314， 所以sinB =sin (∠A +C )=sin∠AcosC +cos∠AsinC=√32×1314+12×3√314=4√37,所以 S △ABC =12acsinB =12×7×3×4√37=6√3．87. （1） 2cosBcosC +2sinBsinC +1=4cosBcosC ，cosBcosC −sinBsinC =12，cos (B +C )=12，cosA =−12， 所以 A =2π3．（2） S =12bcsinA 得 bc =8，a 2=b 2+c 2−2bccosA ，28=(b +c )2−bc ，b +c =6． 88. （1） 由 f (x )=sin (π−ωx )cosωx +cos 2ωx ， 得 f (x )=sinωxcosωx +cos 2ωx =12sin2ωx +1+cos2ωx2=√22sin (2ωx +π4)+12，所以 T =2π2ω=π，得 ω=1． （2） 由（1）知 f (x )=√22sin (2x +π4)+12， 所以 g (x )=√22sin (2×2x +π4)+12=√22sin (4x +π4)+12，因为 0≤x ≤π16，所以 π4≤4x +π4≤π2， 所以 √22≤sin (4x +π4)≤1， 所以 g (x )∈[1,√2+12]． 89. （1） 在 △ABC 中，由 a sinA=b sinB，可得 asinB =bsinA ，又由 asin2B =√3bsinA ，得 2asinBcosB =√3bsinA =√3asinB ． 又 sinB ≠0，得 cosB =√32，从而 B =π6． （2） 由 cosA =13，得 sinA =2√23，则 sinC=sin [π−(A +B )]=sin (A +B )=sin (A +π6)=√3sinA +1cosA =2√6+16.90. （1）f (x )=(m ⃗⃗⃗+n ⃗⃗)⋅m ⃗⃗⃗−2=sin 2x +1+√3sinxcosx +12−2=1−cos2x2+√32sin2x −12=√32sin2x −12cos2x=sin (2x −π6)故 f (x )max =1，此时 2x −π6=2kπ+π2,k ∈Z ，得 x =kπ+π3,k ∈Z ， 取最大值时 x 的取值集合为 {x∣ x =kπ+π3,k ∈Z}． （2） f (B )=sin (2B −π6)=1，因为 0<B <π2， 所以 −π6<2B −π6<5π6，所以 2B −π6=π2，B =π3．由 b 2=ac 及正弦定理得 sin 2B =sinAsinC 于是1tanA +1tanC =cosAsinA+cosC sinC =sinCcosA+cosCsinAsinAsinC=sin (A+C )sin 2B=1sinB =2√33．91. （1） 因为根据余弦定理得 a 2+b 2−c 2=2abcosC ，△ABC 的面积 S =12absinC ，所以由 4S =√3(a 2+b 2−c 2) 得 4×12absinC =2√3abcosC ， 化简得 sinC =√3cosC ，可得 tanC =sinCcosC =√3， 因为 0<C <π， 所以 C =π3．（2） 因为 1+tanAtanB =2cb，所以 1+sinAcosB sinBcosA =cosAsinB+sinAcosBcosAsinB =2c b，可得 sin (A+B )cosAsinB =2cb，即 sinCcosAsinB =2cb ．所以由正弦定理得 sinC cosAsinB=2sinC sinB，解得 cosA =12，结合 0<A <π，得 A =π3．因为 △ABC 中，C =π3，所以 B =π−(A +C )=π3，因此，AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣⋅∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣cosB =−12c 2， 因为 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−8， 所以 −12c 2=−8，解之得 c =4（舍负）． 92. （1） ∵ 函数 f (x ) 的最小正周期 T =2πω=π，∴ω=2，∴f (π4)=cos (2×π4+φ)=cos (π2+φ)=−sinφ=√32． 又 −π2<φ<0， ∴φ=−π3．（2） 由（1）知 f (x )=cos (2x −π3)，列表如下：xπ65π122π311π12π2x −π3−π30π2π3π25π3f (x )1210−1012f (x ) 在 [0,π] 上的图象如图所示：（3） ∵f (x )>√22，即 cos (2x −π3)>√22， ∴2kπ−π4<2x −π3<2kπ+π4(k ∈Z )，则 2kπ+π12<2x <2kπ+7π12(k ∈Z )，即 kπ+π24<x <kπ+7π24(k ∈Z )．∴x 的取值范围是 {x∣ kπ+π24<x <kπ+7π24,k ∈Z}． 93. 略94. sin (15∘−α)=cos (75∘+α)=13 .于是 sin (α−15∘)=−sin (15∘−α)=−13.因为 α 是第三象限角，所以 15∘−α∈(15∘,105∘)，结合 sin (15∘−α)=13 可知，15∘−α 在第一象限，于是 cos15∘=√1−(13)2=2√23 .所以 cos (15∘−α)+sin (α−15∘)=2√2−13. 95. （1） 因为 cosA =√63， 所以 sinA =√1−69=√33， 因为 B =A +π2．所以 sinB =sin (A +π2)=cosA =√63， 由正弦定理知 a sinA=b sinB ， 所以 b =a sinA⋅sinB =√33√63=3√2． （2） 因为 sinB =√63，B =A +π2>π2所以 cosB =−√1−69=−√33，sinC =sin (π−A −B )=sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =√33×(−√33)+√63×√63=13,所以 S =12a ⋅b ⋅sinC =12×3×3√2×13=3√22． 96. 略． 97. 略． 98. 101【解析】sin2013∘=sin (33∘+11×180∘)=−sin33∘，sin210∘=−sin30∘=12 .2sin11∘sin71∘sin [( )∘+30∘]=sin2013∘sin210∘ 可化为 4sin11∘sin71∘sin [( )∘+30∘]=sin33∘ ， 根据结论：4sinx ⋅sin (60∘−x )⋅sin (60∘+x )=sin3x ， 令 x =11∘ ，则有 4sin11∘sin71∘sin49∘=sin33∘ ， 因此 sin49∘=sin131∘=sin [( )∘+30∘] ， 故依题意得：101 .99. （1） 由 cos (2π3−x)=−12，得2π3−x =2kπ+2π3,k ∈Z ，即 x =−2kπ,k ∈Z ．f (x )=m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=√3sin x 4cos x 4+cos 2x4=√32sin x 2+12cos x 2+12=sin (x2+π6)+12.所以当 x =−2kπ,k ∈Z 时，f (x )=1 或 f (x )=0． （2） 因为 (2a −c )cosB =bcosC ，由正弦定理，得 (2sinA −sinC )cosB =sinBcosC ， 所以 2sinAcosB −sinCcosB =sinBcosC ， 即 2sinAcosB =sin (B +C )． 因为 A +B +C =π，所以 sin (B +C )=sinA ，且 sinA ≠0， 从而 cosB =12，即 B =π3， 所以 A +C =2π3．因为 △ABC 锐角三角形，所以 0<A <π2，且 0<C <π2，即 0<2π3−A <π2，解得 π6<A <π2，则 π4<A 2+π6<5π12，所以 √22<sin (A2+π6)<√6+√24． 又因为 f (x )=m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=sin (x2+π6)+12， 所以 f (A )=sin (A2+π6)+12．故函数 f (A ) 的取值范围是 (√2+22,√6+√2+24)． 100. （1） ①由正弦定理可得：√3sinA =√2sin45∘，可得 sinA =√32，因为 a >b ，所以 A =60∘ 或 120∘．② BC =√3，AC =√2，A =60∘，由正弦定理可得：√3sin60∘=√2sinB，解得 sinB =√22，因为 a >b ，所以B =45∘．综上可得：已知 a >b ，A 为锐角，则 B 为锐角，B 有一解．已知 a >b ，B 为锐角，b <asinB 时，无解；b =asinB 时，A =90∘；asinB <b <a 时，A 有两解． （2） 由正弦定理可得：3sinAcosA =sinCcosB +sinBcosC =sin (B +C )=sinA ， 因为 sinA ≠0，所以 cosA =13，所以 A =arccos 13．（3） 因为 sinC =2√3sinB ，由正弦定理可得：c =2√3b ，又 a 2−b 2=√3bc ，所以 a 2=b 2+6b 2=7b 2，即 a =√7b ． 所以 cosA =b 2+c 2−a 22bc=2222b×23b=√32，又 A ∈(0,π)，所以 A =π6．。

高中数学人教A 版（新教材）选择性必修第二册5.3.2第1课时 函数的极值一、选择题1．设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( ) A ．－x 0是－f (－x )的极小值点 B ．对任意x ∈R ，f (x )≤f (x 0) C ．－x 0是f (－x )的极小值点 D ．x 0是－f (x )的极大值点2．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(0，＋∞)C ．(0，1)D ．(－1，0)3．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示则( )A ．12为f (x )的极大值点B ．－2为f (x )的极大值点C ．2为f (x )的极大值点D ．45为f (x )的极小值点4．当x ＝1时，三次函数有极大值4，当x ＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( ) A ．y ＝x 3＋6x 2＋9x B ．y ＝x 3－6x 2＋9x C ．y ＝x 3－6x 2－9xD ．y ＝x 3＋6x 2－9x5．已知a 为常数，函数f (x )＝x ln x －ax 2＋x 有两个极值点，则实数a 的取值范围为( ) A ．⎝⎛⎭⎫0，e2 B ．(0，e) C ．⎝⎛⎭⎫e 2，eD ．⎝⎛⎭⎫e 2，e 26．(多选题)定义在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是( )A ．－3是f (x )的一个极小值点B ．－2和－1都是f (x )的极大值点C ．f (x )的单调递增区间是(－3，＋∞)D ．f (x )的单调递减区间是(－∞，－3)7．(多选题)若函数f (x )＝x 3＋2x 2＋a 2x －1有两个极值点，则a 的值可以为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、填空题8．已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 无极值，则实数c 的取值范围为________．9．若可导函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f ′(1)＝________，1是函数f (x )的________值．10．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )极大值与极小值之差为________．11．已知函数f (x )＝(x 2－mx －m )e x ＋2m (m ∈R ，e 是自然对数的底数)在x ＝0处取得极小值，则m ＝________，这时f (x )的极大值是________．12．已知函数f (x )＝x e 2x －1，则函数f (x )的极小值为________，零点有________个． 三、解答题13．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －1，曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝－8x ＋1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)求y ＝f (x )在区间(－1，4)上的极值．14．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由． 15．已知函数f (x )＝2x 2－kx ＋ke x (k ∈R )．(1)k 为何值时，函数f (x )无极值？(2)试确定k 的值，使f (x )的极小值为0.参考答案一、选择题 1．答案：A答案：对于A ，函数－f (－x )与函数f (x )的图象关于原点对称，因此－x 0是－f (－x )的极小值点；对于B ，极值是一个局部性概念，因此不能确定在整个定义域上f (x 0)是否最大；对于C ，函数f (－x )与函数f (x )的图象关于y 轴对称，因此－x 0是f (－x )的极大值点；对于D ，函数f (x )与函数－f (x )的图象关于x 轴对称，因此x 0是－f (x )的极小值点，故D 错误． 2．答案：D解析：∵f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若a <－1，∴f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，－1)上单调递增，∴f (x )在x ＝a 处取得极小值，与题意不符；若－1<a <0，则f (x )在(－1，a )上单调递增，在(a ，＋∞)上单调递减，从而在x ＝a 处取得极大值，符合题意；若a >0，则f (x )在(－1，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，与题意不符，故选D. 3．答案：A解析：对于A 选项，当－2＜x ＜12时，f ′(x )＞0，当12＜x ＜2时，f ′(x )＜0，12为f (x )的极大值点，A 选项正确； 对于B 选项，当x ＜－2时，f ′(x )＜0，当－2＜x ＜12时，f ′(x )＞0，－2为f (x )的极小值点，B 选项错误；对于C 选项，当12＜x ＜2时，f ′(x )＜0，当x ＞2时，f ′(x )＞0，2为f (x )的极小值点，C 选项错误；对于D 选项，由于函数y ＝f (x )为可导函数，且f ′⎝⎛⎭⎫45＜0，45不是f (x )的极值点，D 选项错误． 故选A. 4．答案：B解析：∵三次函数过原点，故可设为y ＝x 3＋bx 2＋cx ，∴y ′＝3x 2＋2bx ＋c . 又x ＝1，3是y ′＝0的两个根，∴⎩⎨⎧1＋3＝－2b 3，1×3＝c3，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－6，c ＝9，∴y ＝x 3－6x 2＋9x ， 又y ′＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，∴当x ＝1时，f (x )极大值＝4 ， 当x ＝3时，f (x )极小值＝0，满足条件，故选B.] 5．答案：A解析：[f ′(x )＝ln x ＋2－2ax ，函数f (x )有两个极值点，则f ′(x )有两个零点，即函数y ＝ln x 与函数y ＝2ax －2的图象有两个交点，当两函数图象相切时，设切点为(x 0，y 0)，对函数y＝ln x 求导(ln x )′＝1x ，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝ln x 0，y 0＝2ax 0－2，1x 0＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－1，x 0＝1e ，a ＝e 2，要使函数图象有两个交点，则0＜2a ＜e ，即0＜a ＜e2.故选A.]6．答案：ACD解析：当x ＜－3时，f ′(x )＜0，x ∈(－3，＋∞)时f ′(x )≥0，∴－3是极小值点，无极大值点，增区间是(－3，＋∞)，减区间是(－∞，－3)．故选ACD. 7．答案：AB解析：∵f (x )＝x 3＋2x 2＋a 2x －1，∴f ′(x )＝3x 2＋4x ＋a 2.∵函数f (x )＝x 3＋2x 2＋a 2x －1有两个极值点，则f ′(x )＝3x 2＋4x ＋a 2与x 轴有两个交点， 即Δ＝42－4×3×a 2＞0解得－233＜a ＜233，故满足条件的有AB.故选AB.二、填空题8．答案：⎣⎡⎭⎫14，＋∞解析：∵f ′(x )＝x 2－x ＋c ，要使f (x )无极值，则方程f ′(x )＝x 2－x ＋c ＝0没有变号的实数解，从而Δ＝1－4c ≤0，∴c ≥14.9．答案：0 极大解析：[由题意可知，当x ＜1时，f ′(x )＞0，当x ＞1时，f ′(x )＜0， ∴f ′(1)＝0，1是函数f (x )的极大值．] 10．答案：4解析：求导得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝2取得极值， 所以f ′(2)＝3·22＋6a ·2＋3b ＝0，即4a ＋b ＋4＝0. ① 又因为图象在x ＝1处的切线与直线6x ＋2y ＋5＝0平行， 所以f ′(1)＝3＋6a ＋3b ＝－3，即2a ＋b ＋2＝0， ②联立①②可得a ＝－1，b ＝0，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)． 当f ′(x )＞0时，x ＜0或x ＞2；当f ′(x )＜0时，0＜x ＜2，∴函数的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，函数的单调减区间是(0，2)， 因此求出函数的极大值为f (0)＝0＋c ，极小值为f (2)＝－4＋c ， 故函数的极大值与极小值的差为0－(－4)＝4，故答案为4. 11．答案：0 4e －2解析：由题意知f ′(x )＝[x 2＋(2－m )x －2m ]e x ，由f ′(0)＝－2m ＝0，解得m ＝0， 则f (x )＝x 2e x ，f ′(x )＝(x 2＋2x )e x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－2，故函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－2)，(0，＋∞)，单调递减区间是(－2，0)， 所以函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，且有f (－2)＝4e －2. 12．答案：－12e－1 1解析：∵f (x )＝x e 2x －1，f ′(x )＝e 2x ＋2x e 2x ＝(1＋2x )e 2x ， 令f ′(x )＝0，可得x ＝－12，如下表所示：所以，函数y ＝f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12e －1，f (x )＝0⇒e 2x ＝1x， 则函数y ＝f (x )的零点个数等于函数y ＝e 2x 与函数y ＝1x的图象的交点个数，如图所示：两个函数的图象有且只有一个交点，即函数y ＝f (x )只有一个零点． 三、解答题13．解： (1)因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程的斜率k ＝f ′(x )|x ＝1＝f ′(1)＝3＋2a ＋b . 又因为k ＝－8，所以2a ＋b ＝－11. ① 又因为f (1)＝1＋a ＋b －1＝－8×1＋1， 所以a ＋b ＝－7， ②联立①②解得a ＝－4，b ＝－3. 所以f (x )＝x 3－4x 2－3x －1.(2)由(1)知，f ′(x )＝3x 2－8x －3＝3⎝⎛⎭⎫x ＋13(x －3)， 令f ′(x )＝0得，x 1＝－13，x 2＝3.当－1＜x ＜－13，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当－13≤x ＜3，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当3≤x ＜4，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )在区间(－1，4)上的极小值为f (3)＝－19，极大值为f ⎝⎛⎭⎫－13＝－1327. 14．解： f ′(x )＝3ax 2 ＋2bx ＋c ， (1)法一：∵x ＝±1是函数的极值点， ∴x ＝±1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系知⎩⎨⎧－2b3a＝0， ①c3a ＝－1， ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1，③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.法二：由f ′(1)＝f ′(－1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0， ① 3a －2b ＋c ＝0， ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1， ③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x ＜－1或x ＞1时f ′(x )＞0，当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0.∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数． ∴当x ＝－1时，函数取得极大值，x ＝－1为极大值点； 当x ＝1时，函数取得极小值，x ＝1为极小值点．15．解： (1)∵f (x )＝2x 2－kx ＋k e x ，∴f ′(x )＝－2x 2＋(k ＋4)x －2ke x .要使f (x )无极值，只需f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立即可． 设g (x )＝－2x 2＋(k ＋4)x －2k ，∵e x ＞0，∴f ′(x )与g (x )同号． ∵g (x )的二次项系数为－2，∴只能满足g (x )≤0恒成立，∴Δ＝(k ＋4)2－16k ＝(k －4)2≤0，解得k ＝4，∴当k ＝4时，f (x )无极值． (2)由(1)知k ≠4，令f ′(x )＝0，得x 1＝2，x 2＝k2.①当k2＜2，即k ＜4时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由题意知f ⎝⎛⎭⎫k 2＝0，可得2·⎝⎛⎭⎫k 22－k ·k 2＋k ＝0，∴k ＝0，满足k ＜4. ②当k2＞2，即k ＞4时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由题意知f (2)＝0，可得2×22－2k ＋k ＝0，∴k ＝8，满足k ＞4.综上，当k＝0或k＝8时，f (x)有极小值0.。

高中数学5.3基本算法语句 试题 2019.091,在算法中，需要重复执行同一操作的结构称为（ ）A 顺序结构 B.循环结构C.选择结构 D 以上都正确2,下面是一个算法的流程图，回答下面的问题：当输入的值为5时,输出的结果为（将“=”换成“←”）3,设计算法求 100991431321211⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯的值，并画出程序框图。

4,高一某班一共有50名学生，设计一个算法，统计班上数学成绩良好（分数大于80且小于90）和优秀（分数大于或等于90）的学生人数，并画出流程图．5,阅读图中所示的流程图，解答下列问题：（1）变量y 在这个算法中的作用是什么？（2）这个算法的循环体是哪一部分，功能是什么？（3）这个算法的处理是什么？6,一个容量为n 的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别为30和0.25，则n=___________．7,求方程023=-x x 的近似根，要先将它近似地放在某两个连续整数之间，下面正确的是( )A.在1和2之间B.在2和3之间C.在3和4之间D.在4和5之间8,移动公司出台一项新的优惠政策：若顾客该月接听电话时间在500分钟以内，则收取8元的费用，超过500分钟的，按超过部分每分钟0.2元计（不足1分钟按1分钟计）。

根据下面的流程图,空白处应填写的语句是________________9,已知梯形的上下底和高分别为5、8、9.写出求梯形的面积的算法，并画出流程图。

10,下面是一个算法的流程图，回答下面的问题：当输入x的值为3时,输出的结果为 .内所有奇数的和；11,根据条件把流程图补充完整，求11000(1)处填 ;(2)处填 .12,画出下列问题的算法的流程图.13,已知直角坐标系的两点A(－1，0)，B(3，2)，写出求直线AB的方程的一个算法。

14,写出交换两个大小相同的杯子中的液体(A 水、 B 酒) 的一个算法。

15,下面程序运行结束后M的值为：（）程序：M←1M←M+2M←M+3A．1 B． 3 C．5 D．616,下列程序段运行后，M的值为a←5b←10m←aif b>m then m←bA．5 B．10 C．5和10 D．以上都不是17,下列程序段运行后，变量a ，b 的值为a ←3b ←4if a<b thent ←aa ←bb ←tend ifA ．3，4B ．4，3C ．3，3D ．4，418,下列算法中，最后输出的a ，b ，c 各是多少？19,下列流程图表示的数学解析式是什么？20,用算法语句给出用公式法求方程0432=--x x 的两个根的算法。

诱导公式同步练习一、选择题已知角a 是第四象限角，且满足sin 弓+a ） -3cos （。

一兀）=1,则tan （"a ）是若cos - 6)= -a 则tan (6 + §的值为(着sin (2n - a) = cos (TT + a)=；，则a 所在象限为C--T8 .已知△力BC, WO a sinA =cosB”是“△力8c 是直角三角形”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件1. 2.A. V3B. -V3CTD-F 列式子化简结果和sim ,不同的是（A. sin(7r — %)B. sin(7T + %)C. cos(^-x)D.3.4.tan 号的值是（6 B. -7C 一二j 3D.B. V3C. -V35. 若600。

的角的终边上有一点（-4,a ）, 则，，的值是（B. ±4\/3C. —4^3D. V36. A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7. cos(—2040°)=()第8贞，共9页9 .若sin(x + $ + cos(x 贝ljsin(2x +3=()12 .在锐角三角形ABC 中，下列不等式一定成立的是（）A. sin A > sinBB. cos A > cosBC. si nA < sinBD. sinA > cosB二、填空题13 . sin 2l° + sin 220 + sin 2880 + sin 289° =. 14 .已知sin （? + a ） = £ 则cosa =. 15 .已知cos — X ） = s, 则sin2x =16 .若5也（九+二）=一：，其中。

是第二象限角，则cos （2rr-a ）=.三、解答题17 . 448c 中，。

，〃，c 分别为内角A, B, C 所对的边.已知a = 3,cosA =匹,8 =力+二.（ 32/）求人的值： （〃）求/力8c 的面积.10.sin （一器的值是（）O11.若sing — a) = £ 则cos(1+ 2a)=D.*D-TD418.在平面四边形ABC。

5.3.4 频率与概率知识点一频率与概率1．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为mn，当n很大时，P(A)与mn的关系是( )A．P(A)≈mnB．P(A)<mnC．P(A)>mnD．P(A)＝mn2．某企业生产的乒乓球被某乒乓球训练基地指定为训练专用球．日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如下表所示：抽取球数n 5010020050010002000 优等品数m 45921944709541902优等品频率m n(2)从这批乒乓球产品中任取一个，估计其为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)3．某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数(单位：人)如下：时间2016年2017年2018年2019年出生婴儿数21840230702009419982 出生男婴数11453120311029710242(2)该市男婴出生的概率约为多少？知识点二对概率的正确理解4．下列说法正确的是( )A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C．随机试验的频率与概率相等D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%5．围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次从中随机摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，你认为一定有一次会摸到黑棋子吗？说明你的理由．知识点三用频率估计概率6．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5～170.5 cm之间的概率约为( )A．25B．12C．23D．137．在检测一批相同规格共500 kg航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为( ) A．8.834 kg B．8.929 kgC．10 kg D．9.835 kg8．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表：“满意”的概率是( )A．715B．25C．1115D．13159．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字1～5进行了标记，投掷100次，记录下落在桌面上的数字，得到如下频数表：10．某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若这个月(按30天计)仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率约是________．11．对某批产品进行抽样检查，数据如下：抽查________件产品．12．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力出了10个智力题，每个题10分，然后做了统计，统计结果如表：贫困地区到0.001)；(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．13．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表：赔付金额(元)01000200030004000 车辆数500130100150120(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．14．假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200 h，试估计该产品是甲品牌的概率．15．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．：易错点一混淆概率与频率的概念把一枚质地均匀的硬币连续掷了1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则可认为掷一次硬币正面朝上的概率为________．易错点二对用频率估计概率的方法理解不透致误已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．一、单项选择题1．从一批电视机中随机抽出10台进行质检，其中有一台次品，下列说法正确的是( )A．次品率小于10% B．次品率大于10%C．次品率等于10% D．次品率接近10%2．某人将一枚硬币连抛10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的( )A．概率为35B．频率为35C．频率为6 D．概率接近0.63．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如表：卡片号码12345678910 取到的次数101188610189119A．0.53 B．0.5C．0.47 D．0.374．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增大，有( )A．f(n)与某个常数相等B．f(n)与某个常数的差逐渐减小C．f(n)与某个常数的差的绝对值逐渐减小D．f(n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )A．0.09 B．0.20C．0.25 D．0.456．某厂生产的电器是家电下乡政府补贴的指定品牌，其产品是优等品的概率为90%，现从该厂生产的产品中任意地抽取10件进行检验，结果前9件产品中有8件是优等品，1件是非优等品，那么第10件产品是优等品的概率为( ) A．90% B．小于90%C．大于90% D．无法确定7．有下列说法：①抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②如果某种彩票的中奖概率为110，那么买10张这种彩票一定能中奖；③在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做不公平；④一个骰子掷一次得到点数2的概率是16，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2.其中不正确的说法是( )A．①②③④ B．①②④C．③④ D．③8．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3000辆帕萨特出租车，乙公司有3000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车．交警部门应先调查哪家公司的车辆较合理？( )A．甲公司B．乙公司C．甲与乙公司D．以上都对二、多项选择题9．下列说法中，正确的有( )A．频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性大小B．百分率是频率，但不是概率C．频率是不能脱离试验次数n的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值10．下列说法正确的是( )A．事件A的概率为P(A)，必有0≤P(A)≤1B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效．现有胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的概率约为76% D．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖11．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来学生的考试成绩(取整数)分布：法正确的是( )A．估计她得90分以上(含90分)的概率约为0.067B．估计她得60～69分的概率约为0.150C．估计她得60分以上(含60分)的概率约为0.982D．估计她得59分以下(含59分)的概率约为0.10812．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买，则下列说法正确的是( )B．估计顾客同时购买乙和丙的概率为0.2C．估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为0.4D．如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中的丙的可能性最大三、填空题13．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20000辆汽车的数据，时间是从某年的5月1日到下一年的4月30日，共发现有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率的近似值是________．14．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10,20)2个；[20,30)3个；[30,40)x个；[40,50)5个；[50,60)4个；[60,70]2个．则x等于________；根据样本的频率估计概率，数据落在[10,50)的概率约为________．15．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看某明星的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？答：________.16．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是去年200例类似项目开发的实施结果．四、解答题17．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化，假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)18．某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)；(2)从该校高一年级随机选取一名学生，估计这名学生该次期末考试成绩在70分以上(包括70分)的概率．19．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40) 天数21636257 4(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．20．甲、乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于100为优品，大于等于90且小于100为合格品，小于90为次品，现随机抽取这两台机床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[85,90)[90,95)[95,100)[100,105)[105,110)甲机床81240328 乙机床7184029 6(2)甲机床生产1件零件，若是优品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品则亏损20，假设甲机床某天生产50零件，请估计甲机床该天的日利润(单位：元)；(3)从甲、乙机床生产的零件指标在[90,95)内的零件中，采用分层随机抽样的方法抽取5件，从这5件中任意抽取2件进行质量分析，求这2件都是乙机床生产的概率．5.3.4 频率与概率知识点一频率与概率1．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为mn，当n很大时，P(A)与mn的关系是( )A．P(A)≈mnB．P(A)<mnC．P(A)>mnD．P(A)＝mn答案 A解析根据概率的定义，当n很大时，频率是概率的近似值．2．某企业生产的乒乓球被某乒乓球训练基地指定为训练专用球．日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如下表所示：抽取球数n 5010020050010002000 优等品数m 45921944709541902优等品频率m n(2)从这批乒乓球产品中任取一个，估计其为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)解(1)表中乒乓球为优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知，随着抽取的球数n的增加，计算得到的频率值虽然不同，但都在常数0.950的附近摆动，所以任意抽取一个乒乓球检测时，其为优等品的概率约为0.950.3．某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数(单位：人)如下：(2)该市男婴出生的概率约为多少？解(1)2016年男婴出生的频率为1145321840≈0.524.同理可求得2017年、2018年和2019年男婴出生的频率分别为0.521,0.512,0.513.(2)该市男婴出生的概率约为0.52.知识点二对概率的正确理解4．下列说法正确的是( )A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C．随机试验的频率与概率相等D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%答案 D解析A中，此概率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非一定是比赛5场甲胜3场；B中，此治愈率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非10个病人一定有1人治愈；C中，随机试验的频率可以估计概率，并不等于概率；D中，概率为90%，即可能性是90%.故选D.5．围棋盒里放有同样大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次从中随机摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，你认为一定有一次会摸到黑棋子吗？说明你的理由．解不一定．有放回地摸10次棋子相当于做10次重复试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以摸10次棋子的结果也是随机的．可能有两次或两次以上摸到黑棋子，也可能没有一次摸到黑棋子．知识点三用频率估计概率6．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：162,153,148,154,165,168,172,171,173,150，151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5～170.5 cm之间的概率约为( )A．25B．12C．23D．13答案 A解析从已知数据可以看出，在随机抽取的这20名学生中，身高在155.5～170.5 cm之间的学生有8人，频率为25，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人，其身高在155.5～170.5 cm之间的概率约为2 5 .7．在检测一批相同规格共500 kg航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为( ) A．8.834 kg B．8.929 kgC．10 kg D．9.835 kg答案 B解析由题意可得，该批垫片中非优质品约为5280×500≈8.929 kg.8．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表：满意情况不满意比较满意满意非常满意人数200n 21001000 “满意”的概率是( )A．715B．25C．1115D．1315答案 C解析由题意，得n＝4500－200－2100－1000＝1200，所以随机调查的网上购物消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1200＋2100＝3300，所以随机调查的网上购物消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为33004500＝1115.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为1115.故选C．9．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上用数字1～5进行了标记，投掷100次，记录下落在桌面上的数字，得到如下频数表：落在桌面的数字1234 5 频数3218151322答案0.35解析落在桌面的数字不小于4，即4,5的频数共13＋22＝35，所以频率为35100＝0.35，所以估计落在桌面的数字不小于4的概率约为0.35.10．某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若这个月(按30天计)仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率约是________．答案0.4解析由频率的定义可知用电量超过指标的频率为1230＝0.4，由频率估计概率，知第一天用电量超过指标的概率约是0.4.11．对某批产品进行抽样检查，数据如下：抽查________件产品．答案1000解析根据题表中数据可知合格品出现的频率依次为0.94,0.92,0.96,0.95,0.95，故合格品出现的概率约为0.95，因此要从该批产品中抽到950件合格品大约需要抽查1000件产品．12．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力出了10个智力题，每个题10分，然后做了统计，统计结果如表：贫困地区到0.001)；(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．解(1)贫困地区的频率分别逐渐趋近于0.5和0.55.故所求概率分别为0.5和0.55.13．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表：(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．解(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，样本车辆总数n＝500＋130＋100＋150＋120＝1000，以频率估计概率得P(A)＝1501000＝0.15，P(B)＝1201000＝0.12.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元或4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100辆，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆．所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率，得P(C)＝0.24.14．假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200 h，试估计该产品是甲品牌的概率．解(1)甲品牌产品寿命小于200 h的频率为5＋20100＝14，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200 h的概率为1 4 .(2)根据抽样结果，寿命大于200 h的产品共有75＋70＝145个，其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，寿命大于200 h的产品是甲品牌的频率是75145＝1529，用频率估计概率，所以已使用了200 h的该产品是甲品牌的概率为15 29.15．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值．求：错误!解(1)由题意可知，厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为400600＝23.(2)由题意可知，生活垃圾投放错误有200＋60＋20＋20＝300，故生活垃圾投放错误的概率为3001000＝3 10.(3)由题意可知，∵a＋b＋c＝600，∴a，b，c的平均数为200，∴s2＝13[(a－200)2＋(b－200)2＋(c－200)2]＝13(a2＋b2＋c2－120000)，∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥a2＋b2＋c2，因此有当a＝600，b＝0，c ＝0时，有s2＝80000.易错点一混淆概率与频率的概念把一枚质地均匀的硬币连续掷了1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则可认为掷一次硬币正面朝上的概率为________．易错分析由于混淆了概率与频率的概念而致误，事实上频率是随机的，而概率是一个确定的常数，与每次试验无关．答案0.5正解通过做大量的试验可以发现，正面朝上的频率都在0.5附近摆动，故掷一次硬币，正面朝上的概率是0.5，故填0.5.易错点二对用频率估计概率的方法理解不透致误已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．易错分析(1)对随机数表认识不到位，不能准确找出恰有两次命中的组数；(2)对用频率估计概率的方法理解不到位，不能求出“运动员三次投篮恰有两次命中”的概率．答案1 4正解20组随机数中，恰有两次命中的有5组，用频率估计概率，因此，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P＝520＝14.一、单项选择题1．从一批电视机中随机抽出10台进行质检，其中有一台次品，下列说法正确的是( )A．次品率小于10% B．次品率大于10%C．次品率等于10% D．次品率接近10%答案 D解析抽出的样本中次品率为110，即10%，所以总体中次品率大约为10%.2．某人将一枚硬币连抛10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的( )A．概率为35B．频率为35C．频率为6 D．概率接近0.6 答案 B解析因为抛了10次硬币，正面朝上的情形出现了6次，我们说频率为3 5，而不能说概率为35.3．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如表：卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数101188610189119A ．0.53B ．0.5C ．0.47D ．0.37答案 A解析 取到号码为奇数的次数为10＋8＋6＋18＋11＝53，所以f ＝53100＝0.53，所以估计取到号码为奇数的概率约为0.53.4．若在同等条件下进行n 次重复试验得到某个事件A 发生的频率f (n )，则随着n 的逐渐增大，有( )A ．f (n )与某个常数相等B ．f (n )与某个常数的差逐渐减小C ．f (n )与某个常数的差的绝对值逐渐减小D ．f (n )在某个常数的附近摆动并趋于稳定 答案 D解析 由频率和概率的关系知，在同等条件下进行n 次重复试验得到某个事件A 发生的频率f (n )，随着n 的逐渐增加，频率f (n )逐渐趋近于概率．5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )A．0.09 B．0.20C．0.25 D．0.45答案 D解析由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25,30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件产品为二等品的概率为0.45.6．某厂生产的电器是家电下乡政府补贴的指定品牌，其产品是优等品的概率为90%，现从该厂生产的产品中任意地抽取10件进行检验，结果前9件产品中有8件是优等品，1件是非优等品，那么第10件产品是优等品的概率为( ) A．90% B．小于90%C．大于90% D．无法确定答案 A解析概率是一个确定的常数，在试验前已经确定，与试验次数无关．故选A．7．有下列说法：①抛掷硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②如果某种彩票的中奖概率为110，那么买10张这种彩票一定能中奖；③在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面还是反面来决定哪一方先发球，这样做不公平；④一个骰子掷一次得到点数2的概率是16，这说明一个骰子掷6次会出现一次点数2.其中不正确的说法是( )A．①②③④ B．①②④C．③④ D．③答案 A解析概率反映的是随机性的规律，但每次试验出现的结果具有不确定性，因此①②④错误；③中抛掷均匀塑料圆板出现正面与反面的概率相等，是公平的，因此③错误．8．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有。

2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第二册训练：5.3.1 样本空间与事件课堂含解析第五章5。

3 5.3。

11．“抛掷一个均匀的正方体玩具(它的每一面上分别标有数字1、2、3、4、5、6)，它落地时向上的数字是2”是(C)A．不可能现象B．必然现象C．随机现象D．无法确定［解析]抛掷一个均匀的正方体玩具（它的每一面上分别标有数字1、2、3、4、5、6)，它落地时向上的数字可能是1、2、3、4、5、6，故选C．2．“连续抛掷两个质地均匀的骰子，记录朝上的面的点数”，该试验的结果共有（D)A．6种B．12种C．24种D．36种［解析](1,1），(1，2），(1,3），（1，4)，（1，5),(1，6），（2，1）,（2，2）,(2，3),（2,4)，(2,5），(2,6），（3,1）,（3，2)，（3,3)，(3，4)，（3，5）,(3,6），(4,1)，（4,2），（4，3)，(4,4），（4，5)，（4，6）,（5,1）,（5,2），（5，3)，(5，4）,（5，5),（5,6）,(6,1)，（6，2)，(6，3）,（6，4)，(6，5)，（6，6)，共36种．3．有下列事件:①掷一枚硬币，出现反面；②实数的绝对值不小于零；③若a＞b，则b＜A．其中是随机事件的是(B) A．②B．①C．③D．②③[解析］掷一枚硬币,可能出现正面，也可能出现反面，故①是随机事件，②③是必然事件．4．一个盒子中装有8个完全相同的球,分别标上号码1、2、3、…、8，从中任取一个球，写出基本事件空间__Ω＝{1,2，3，4,5，6，7，8}__．［解析］记取得球的标号为i,则Ω＝｛1，2，3,…,8}．5．有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3，4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用（x，y）表示结果,其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数，y表示第2个正四面体玩具朝下的点数．试写出该试验的样本空间．[解析］这个试验的样本空间为：Ω＝｛（1，1)，（1,2)，(1，3),（1，4)，（2,1)，(2，2）,(2,3)，（2,4)，（3,1），(3,2)，(3，3），（3,4),（4,1)，(4，2)，（4,3)，(4,4)}．攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。

5.3概率5.3.1样本空间与事件必备知识基础练1.某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组,某同学只选报其中的2个,则基本事件共有()A.1个B.2个C.3个D.4个{数学,计算机},{数学,航空模型},{计算机,航空模型},共3个.2.(多选题)下列说法不正确的是()A.一事件发生的概率为十万分之一,说明此事件不可能发生B.一事件不是不可能事件,说明此事件是必然事件C.对于任一事件A,0≤P(A)≤1D.一事件发生的概率为99.999%,说明此事件必然发生一事件发生的概率为十万分之一,不能说明此事件不可能发生,只能说明此事件发生的可能性比较小;B.如果一事件不是不可能事件,说明此事件是必然事件或随机事件;D.一事件发生的概率为99.999%,不能说明此事件必然发生,因为它不是必然事件.故选ABD.3.同时投掷两枚完全相同的骰子,用(x,y)表示出现的结果,其中x,y分别为两枚骰子向上的点数,则该事件的所有结果种数为()A.11B.22C.36D.66:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共有36种可能结果.故选C.4.(2020陕西高二期末)下列事件:①物体在重力作用下会自由下落;②方程x2-2x+3=0有两个不相等的实数根;③下周三会下雨;④某寻呼台每天某一时段内收到传呼的次数少于10次.其中随机事件的个数为.是必然事件,②是不可能事件,③④是随机事件.5.从3双鞋子中,任取4只,其中至少有两只鞋是一双,这个事件是(填“必然”“不可能”或“随机”)事件.6.做试验“从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中,不放回地取两次小球,每次取一个,构成有序数对(x,y),x为第一次取到的小球上的数字,y为第二次取到的小球上的数字”.(1)求这个试验结果的个数;(2)写出“第一次取出的小球上的数字是2”这一事件.当x=1时,y=2,3,4;当x=2时,y=1,3,4;同理当x=3,4时,也各有3个不同的有序数对,所以共有12个不同的有序数对.故这个试验结果的个数为12.(2)记“第一次取出的小球上的数字是2”为事件A,则A={(2,1),(2,3),(2,4)}.关键能力提升练7.已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标,则事件“点P落在x轴上”包含的基本事件共有()A.7个B.8个C.9个D.10个点P落在x轴上”包含的基本事件的特征是纵坐标为0,A中有9个非零数,故选C.8.(多选题)在10名学生中,男生有x名,现从10名学生中任选6人去参加某项活动:①至少有1名女生;②5名男生,1名女生;③3名男生,3名女生.若要使①为必然事件,②为不可能事件,③为随机事件,则x可能的值为()A.3B.4C.5D.6,10名同学中,男生人数少于5人,但不少于3人,故x=3或4.9.投掷两枚骰子,点数之和为8的样本点有个,点数之和不大于4的样本点有个.68的样本点有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5个.点数之和不大于4的样本点有(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2),共6个.10.一袋中装有10个红球、8个白球、7个黑球,现在把球随机地一个一个摸出来,为了保证在第k次或第k次之前能首次摸出红球,则k的最小值为.15个.11.现在甲、乙、丙三人玩剪刀、石头、布的出拳游戏,观察其出拳情况.(1)写出该试验的样本空间;(2)事件“三人出拳相同”包含的样本点有哪些?J,S,B分别表示剪刀、石头、布.(1)Ω={(J,J,J),(J,J,S),(J,S,J),(S,J,J),(J,J,B),(J,B,J),(B,J,J),(J,S,S),(S,J,S),(S,S,J),(J,B,B),(B,J,B),(B,B,J), (S,S,S),(S,S,B),(S,B,S),(B,S,S),(B,B,S),(B,S,B),(S,B,B),(B,B,B),(J,S,B),(J,B,S),(S,J,B),(S,B,J),(B,J,S),(B,S,J)}.(2)事件“三人出拳相同”包含下列三个样本点:(J,J,J),(S,S,S),(B,B,B).学科素养创新练12.已知关于x的二次函数f(x)=ax2-bx+1,设集合P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4}.试验:分别从集合P和Q 中随机取一个数a和b得到数对(a,b).(1)写出这个试验的样本空间;(2)写出事件“函数y=f(x)有零点”包含的样本点的个数;(3)写出事件“函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数”所包含的样本点.这个试验的样本空间为Ω={(1,-1),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)}.(2)函数y=f(x)有零点等价于Δ=b2-4a≥0,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6个样本点.(3)由题意知a>0,函数y=f(x)图像的对称轴为直线x=b2a ,在区间[1,+∞)上是增函数,所以有b2a≤1,满足条件的样本点为(1,-1),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,-1),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4).。

5.3.1函数的单调性（精练）一．单选题（每道题目只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）1．（2023春·河北沧州·高二校考阶段练习）函数()25ln 4f x x x =--的单调递减区间是（）A ．()0,3B ．()3,+∞C ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．50,2⎛⎫⎪⎝⎭2．（2023秋·山西大同）设()a f x x a x =-+在()1,+∞上为增函数，则实数a 取值范围是（）A ．[)0,∞+B ．[)1,+∞C ．[)2,-+∞D ．[)1,-+∞3．（2023秋·江西吉安）已知函数()12ln f x x x x=+-，则不等式()()311f x f x -<-的解集为（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4．（2023春·重庆江北·高二重庆十八中校考期中）若函数()ln f x x a x =+在区间()1,2内存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是（）A ．(,1)-∞-B ．(,1]-∞-C ．(,2)-∞-D ．(,2]-∞-5．（2023·全国·高三专题练习）已知5ln 9a =，6ln8b =，7ln 7c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．b c a >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．a b c >>6．（2023秋·陕西）已知函数()f x 的定义域是()5,5-，其导函数为()f x '，且()()2f x xf x '+>，则不等式()()()()23231124x f x x f x x ----->-的解集是（）A ．()2,+∞B ．()2,6C ．()4,6-D ．()2,47．（2023·云南）函数()()e e -=-x x f x x 的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．8．（2023秋·陕西榆林）若直线()111y k x =+-与曲线e x y =相切，直线()211y k x =+-与曲线ln y x =相切，则12k k 的值为（）A ．21e B ．1e C ．1D ．e二．多选题（每道题目至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）10．（2023春·山东淄博·高二校考阶段练习）已知()ln x f x x =，下列说法正确的是（）A ．()f x 在1x =处的切线方程为1y x =+B ．()f x 的单调递减区间为()e,+∞C ．()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-D ．()f x 的单调递增区间为()e,+∞11．（2023秋·云南昆明）已知函数()e e sin x x f x x -=-+，若()()130f t f t +-<，则实数t 的值不可能是（）A ．12B ．1C ．2D ．012．（2022秋·江苏连云港）定义在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '>成立；则下列正确的是（）．A ππ43⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()π12sin16f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ππ64f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 3π6πf ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．（2023秋·河北）下列大小关系正确的是（）A ．2ln2ln2<B ． 2.222 2.2<C ．2 3.33.32>D ．4 3.33.34<三．填空题（每题5分，4题共20分）13．（2022秋·西藏拉萨）若函数()()ln 1f x ax x =-+在()1,x ∈+∞是严格增函数，则实数a 的最小值是．14．（2023·全国·高三专题练习）定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +'>，且有()33f =，则()33ex f x ->的解集为.15．（2023·北京）已知函数()322f x x x x =-+-，若过点()1,P t 可作曲线()y f x =的三条切线，则t 的取值范围是．16．（2023春·福建泉州·高二校考期中）已知函数21()ln 22f x x x x =+-满足2(2)(412)f a a f a -≤+，则实数a 的取值范围是.四．解答题（17题10分，18-22题每题12分，6题共70分）17．（2023春·河北沧州·高二校考阶段练习）已知函数()2ln f x x x =-，()0x >.点()()1,1P f 是函数()f x 图象上一点.(1)求函数()f x 图像在点P 处的切线方程；(2)求函数()y f x =的单调递减区间.18．（2023·湖北）已知函数()2ln 3f x x x =+.(1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 过点1(,0)2-的切线方程.19．（2023秋·贵州遵义）已知函数()323f x x x ax =+-.(1)若7a =-，求曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程；(2)若()f x 在[)1,+∞上单调递增，求a 的取值范围.20．（2023春·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）已知函数()()1ln f x x a x =-，a R ∈.(1)当0a ≥时，讨论()f x 的单调性；(2)若10,2x ⎛⎤∈ ⎝⎦时，都有()1f x <，求实数a 的取值范围.21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()23e 22x a f x x x ax a R =-+-∈,(1)当0a =时，求函数()f x 在0x =处的切线方程;(2)讨论函数()f x 的单调性.22（2023秋·安徽亳州）已知函数()()()2e x f x x a x =--.(1)当4a =时，求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；(2)讨论()f x 的单调性.。

5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性基础过关练题组一利用导数研究函数的图象变化1.如图所示的是导函数y=f'(x)的图象,那么函数y=f(x)的单调递减区间是()A.(x1,x3)B.(x2,x4)C.(x4,x6)D.(x5,x6)2.设函数f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为()3.若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是()4.已知f(x)满足f(4)=f(-2)=1,f'(x)为其导函数,且导函数y=f'(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是 .题组二 利用导数确定函数的单调性与单调区间 5.函数f(x)=x+ln x( ) A.在(0,6)上是增函数 B.在(0,6)上是减函数C.在(0,1e )上是减函数,在(1e ,6)上是增函数D.在(0,1e )上是增函数,在(1e ,6)上是减函数 6.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是( ) A.y=sin x B.y=xe x C.y=x 3-x D.y=ln x-x7.(2020河南开封五县高二上期末联考)函数y=1x +3ln x 的单调递增区间为( ) A.(0,1) B.(0,13)C.(1,+∞)D.(13,+∞)8.(2020广西来宾高二下期末)函数f(x)=x 2ln x 的单调递减区间为( )A.(0,√e )B.(√e e,+∞)C.(√e ,+∞)D.(0,√ee)9.求下列函数的单调区间.(1)f(x)=3x2-2ln x;(2)f(x)=x2·e-x;.(3)f(x)=x+1x10.(2020天津部分区高二上期末)已知函数f(x)=x3-ax2+b(a,b∈R).(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-1=0,求a,b的值;(2)若a>0,求f(x)的单调区间.11.(2020浙江金华江南中学月考)已知函数f(x)=ax2+2x-4ln x的导函数3f'(x)的一个零点为x=1.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间.题组三利用导数解决含参函数的单调性问题12.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是单调函数,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-√3]∪[√3,+∞)B.[-√3,√3]C.(-∞,-√3)∪(√3,+∞)D.(-√3,√3)13.若函数f(x)=ax3+3x2+x+b(a>0,b∈R)恰好有三个不同的单调区间,则实数a的取值范围是()A.(0,3)∪(3,+∞)B.[3,+∞)C.(0,3]D.(0,3)14.若函数y=x2-2bx+6在(2,8)内是增函数,则实数b的取值范围是.x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则b的取值范围15.若f(x)=-12是.16.试求函数f(x)=kx-ln x的单调区间.17.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1.(1)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求实数a的值;(2)若f(x)在区间(-1,1)内单调递减,求实数a的取值范围.能力提升练题组一利用导数研究函数的图象变化1.(2020浙江杭州六校高二下期中,)若函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()2.(2020河北冀州中学高三上期末,)在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则关于x的不等式xf'(x)<0的解集为()A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-2,-1)∪(1,2)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)3.(2020浙江绍兴高三上期末,)函数f(x)=x 2+xe x的大致图象是()4.()已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示,则函数g(x)=f(x)e x的单调递减区间为.题组二利用导数研究函数的单调性及其应用5.(2020福建三明高二上期末质量检测,)若x,y∈[-π2,π2],且xsinx-ysin y>0,则下列不等式一定成立的是()A.x<yB.x>yC.|x|<|y|D.|x|>|y|6.(2019山东聊城一中高三上期中,)函数f(x)=sin x+2xf'(π3),f'(x)为f(x)的导函数,令a=12,b=log32,则下列关系正确的是()A.f(a)<f(b)B.f(a)>f(b)C.f(a)=f(b)D.f(a)≤f(b)7.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为(深度解析) A.(-1,1) B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)8.(多选)()若函数g(x)=e x f(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的为()A.f(x)=2-xB.f(x)=3-xC.f(x)=x3D.f(x)=x2+29.(多选)()素数分布问题是研究素数性质的重要课题,德国数学家高斯提出了一个猜想:π(x)≈xlnx,其中π(x)表示不大于x的素数的个数,即随着x的增大,π(x)的值近似接近xlnx的值.从猜想出发,下列推断正确的是()A.当x很大时,随着x的增大,π(x)的增长速度变慢B.当x很大时,随着x的增大,π(x)减小C.当x很大时,在区间(x,x+n)(n是一个较大常数)内,素数的个数随x的增大而减少D.因为π(4)=2,所以π(4)>4ln410.(2020江西上饶高二中、高三上第三次段考,)已知函数f(x)=x+sinx,若正实数a,b满足f(4a)+f(b-9)=0,则1a +1b的最小值为.11.()已知函数f(x)=ln x-ax+1−ax-1(a∈R).(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)当a≤12时,讨论f(x)的单调性.12.(2020河南濮阳高二上期末,)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若a>0,求不等式f(x)-f(2a-x)>0的解集.题组三利用导数解决含参函数的单调性问题13.(2020河南新乡高二上期末,)已知函数f(x)=e x(a-cos x)在R上单调递增,则a的取值范围为()A.[1,+∞)B.(-∞,-√2]C.[√2,+∞)D.(-∞,-1]14.(2020河北保定高二上期末,)已知函数f(x)=x2-9ln x+3x在其定义域内的子区间(m-1,m+1)上不单调,则实数m的取值范围是()A.(12,32) B.[1,32)C.(1,52) D.[1,52)15.(2020山西吕梁高二上期末,)已知f(x)=aln x+12x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>2成立,则a的取值范围是(深度解析)A.(0,1]B.(1,+∞)C.(0,1)D.[1,+∞)16.(2019河北张家口高三上期末,)函数f(x)=sin x-aln x在(0,π4)上单调递增,则实数a的取值范围是.深度解析17.()已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).(1)当a=-14时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围.18.(2020辽宁省实验中学高三上期末,)已知a∈R,函数f(x)=e x+ax2.(1)已知f'(x)是函数f(x)的导函数,记g(x)=f'(x),若g(x)在区间(-∞,1]上为单调函数,求实数a的取值范围;(2)设实数a>0,求证:对任意实数x1,x2(x1≠x2),总有f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2成立.附:简单复合函数求导法则为[f(ax+b)]'=af'(ax+b).答案全解全析基础过关练1.B函数的单调递减区间就是使其导函数的值小于零的区间.故选B.2.C∵f(x)在(-∞,1),(4,+∞)上为减函数,在(1,4)上为增函数,∴当x<1或x>4时,f'(x)<0;当1<x<4时,f'(x)>0.故选C.3.A因为y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,所以函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的.故选A.4.答案(-2,4)解析由f(x)的导函数f'(x)的图象知,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.当x≤0时,由f(x)<1=f(-2),得-2<x≤0;当x>0时,由f(x)<1=f(4),得0<x<4.综上所述,f(x)<1的解集为(-2,4).5.A f'(x)=1+1x =x+1x(x>0),当0<x<6时,f'(x)>0,∴f(x)在(0,6)上是增函数.6.B A中,y'=cos x,在(0,+∞)内不恒大于0,故A不满足题意;B 中,y'=e x+xe x=e x(1+x),当x∈(0,+∞)时,y'>0,故B满足题意;C中,y'=3x2-1,在(0,+∞)内不恒大于0,故C不满足题意;D中,y'=1x -1=1−xx,在(0,+∞)内不恒大于0,故D不满足题意.故选B.7.D易知函数y=1x +3ln x的定义域为(0,+∞),y'=-1x2+3x=3x-1x2,令y'=3x-1x2>0,解得x>13.故选D.8.D 由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x ·ln x+x 2·1x=2xlnx+x=x(2ln x+1).令f'(x)<0,得2ln x+1<0,解得0<x<√ee, 故函数f(x)=x 2ln x 的单调递减区间为(0,√e e). 9.解析 (1)易知函数的定义域为(0,+∞).f'(x)=6x-2x ,令f'(x)=0,解得x 1=√33,x 2=-√33(舍去),用x 1分割定义域,得下表:x (0,√33)(√33,+∞) f'(x) - + f(x)↘↗∴函数f(x)的单调递减区间为(0,√33),单调递增区间为(√33,+∞). (2)易知函数的定义域为(-∞,+∞).f'(x)=(x 2)'e -x +x 2(e -x )'=2xe -x -x 2e -x =e -x ·(2x-x 2),令f'(x)=0,得x=0或x=2,当x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x (-∞,0) (0,2) (2,+∞) f'(x) - + - f(x) ↘↗↘∴f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递增区间为(0,2). (3)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).f'(x)=1-1x 2,令f'(x)=0,得x=-1或x=1,当x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x (-∞,-1) (-1,0) (0,1) (1,+∞) f'(x) + - - + f(x) ↗↘↘↗∴函数f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1),单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).10.解析 (1)∵f(x)=x 3-ax 2+b(a,b ∈R),∴f'(x)=3x 2-2ax. ∵函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-1=0, ∴{f'(1)=3-2a =−1,f(1)=1-a +b =0, 解得{a =2,b =1. (2)由(1)得f'(x)=3x 2-2ax=3x x-2a 3,令f'(x)=0,得x=0或x=2a3.∵a>0,∴当f'(x)>0时,x ∈(-∞,0)∪2a 3,+∞;当f'(x)<0时,x ∈(0,2a3).∴f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(2a 3,+∞),单调递减区间为(0,2a 3).11.解析 (1)f'(x)=2ax+2-43x ,由f'(1)=2a+23=0,得a=-13.(2)由(1)得f(x)=-13x 2+2x-43ln x,则f'(x)=-23x+2-43x=-2(x -1)(x -2)3x.令f'(x)=0,得x=1或x=2. 当f'(x)>0时,1<x<2; 当f'(x)<0时,0<x<1或x>2.因此f(x)的单调递增区间是(1,2),单调递减区间是(0,1),(2,+∞).12.B 由题意知,f'(x)=-3x 2+2ax-1,因为y=f(x)在R 上是单调函数,且y=f'(x)的图象开口向下,所以f'(x)≤0在R 上恒成立,故Δ=4a 2-12≤0,即-√3≤a ≤√3.13.D 由题意得f'(x)=3ax 2+6x+1(a>0), ∵函数f(x)恰好有三个不同的单调区间, ∴f'(x)有两个不同的零点, ∴Δ=36-12a>0,解得0<a<3, ∴实数a 的取值范围是(0,3).故选D. 14.答案 (-∞,2]解析 由题意得y'=2x-2b ≥0在(2,8)内恒成立,即b ≤x 在(2,8)内恒成立,所以b ≤2. 15.答案 (-∞,-1]解析 ∵f(x)在(-1,+∞)上是减函数, ∴f'(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立. ∵f'(x)=-x+b x+2,∴-x+bx+2≤0在(-1,+∞)上恒成立,即b ≤x(x+2)在(-1,+∞)上恒成立. 令g(x)=x(x+2)=(x+1)2-1, 则当x>-1时,g(x)>-1,∴b ≤-1.16.解析 易知函数f(x)=kx-ln x 的定义域为(0,+∞),f'(x)=k -1x =kx -1x.当k ≤0时,kx-1<0,∴f'(x)<0, 则f(x)在(0,+∞)上单调递减. 当k>0时,令f'(x)<0,得0<x<1k ;令f'(x)>0,得x>1k.∴当k>0时,f(x)的单调递减区间为(0,1k ),单调递增区间为(1k ,+∞).综上所述,当k ≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间; 当k>0时,f(x)的单调递减区间为(0,1k ),单调递增区间为(1k ,+∞). 17.解析 由题意得f'(x)=3x 2+2ax+2a-3=(x+1)(3x+2a-3). (1)∵f(x)的单调递减区间为(-1,1), ∴-1和1是方程f'(x)=0的两个根, ∴3−2a 3=1,∴a=0.(2)∵f(x)在区间(-1,1)内单调递减, ∴f'(x)≤0在(-1,1)内恒成立.又二次函数y=f'(x)的图象开口向上,方程f'(x)=0的一根为-1, ∴3−2a 3≥1,∴a ≤0.∴实数a 的取值范围是{a|a ≤0}.能力提升练1.D 设导函数y=f'(x)的图象与x 轴交点的横坐标从左到右依次为x 1,x 2,x 3,其中x 1<0,x 3>x 2>0,故y=f(x)在(-∞,x 1)上单调递减,在(x 1,x 2)上单调递增,在(x 2,x 3)上单调递减,在(x 3,+∞)上单调递增.故选D.2.A 由f(x)的图象得,f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,因此,当x ∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,f'(x)>0,当x ∈(-1,1)时,f'(x)<0.则xf'(x)<0⇔{x >0,f'(x)<0或{x <0,f'(x)>0,解得0<x<1或x<-1,故选A. 3.A 函数y=x 2+x e x的导数为y'=-x 2+x+1e x,令y'=0,得x=1±√52, 当x ∈(-∞,1−√52)时,y'<0,当x ∈(1−√52,1+√52)时,y'>0, 当x ∈(1+√52,+∞)时,y'<0.∴函数在(-∞,1−√52)和(1+√52,+∞)上单调递减,在(1−√52,1+√52)上单调递增,排除D.当x=0时,y=0,排除B.当x=-1时,y=0,当x=-2时,y>0,排除C.故选A. 4.答案 (0,1),(4,+∞) 解析 g'(x)=f'(x)e x -f(x)(e x )'(e x )2=f'(x)-f(x)e x,由题中图象可知,当x ∈(0,1)时,f'(x)-f(x)<0,此时g'(x)<0; 当x ∈(4,+∞)时,f'(x)-f(x)<0,此时g'(x)<0, 故函数g(x)=f(x)e x的单调递减区间为(0,1),(4,+∞).5.D 构造函数f(x)=xsin x,x ∈-π2,π2,则f(x)是偶函数,且f'(x)=sin x+xcos x.当0≤x ≤π2时,f'(x)≥0,因此f(x)在[0,π2]上是增函数,从而xsin x-ysiny>0⇔xsin x>ysin y ⇔f(x)>f(y)⇔f(|x|)>f(|y|)⇔|x|>|y|,故选D. 6.B 由题意得,f'(x)=cos x+2f'(π3),f'(π3)=cos π3+2f'(π3), 解得f'(π3)=-12,所以f(x)=sin x-x.所以f'(x)=cos x-1≤0, 所以f(x)为减函数. 因为b=log 32>log 3√3=12=a,所以f(a)>f(b),故选B.7.B 令g(x)=f(x)-2x-4,则g'(x)=f'(x)-2.因为f'(x)>2,所以f'(x)-2>0,即g'(x)>0,所以g(x)=f(x)-2x-4在R 上单调递增.又因为f(-1)=2,所以g(-1)=f(-1)-2=0,所以g(x)>0⇔g(x)>g(-1)⇔x>-1,所以f(x)>2x+4的解集是(-1,+∞),故选B.易错警示 构造函数解不等式是利用导数解决函数单调性问题的一个重要题型,构造函数时,要结合导数与不等式,如本题中构造函数g(x)=f(x)-2x-4,根据g'(x)=f'(x)-2和f'(x)>2得到单调性.8.AD 对于A,f(x)=2-x,则g(x)=e xf(x)=e x·2-x=(e 2)x为R 上的增函数,符合题意;对于B,f(x)=3-x,则g(x)=e xf(x)=e x·3-x=(e 3)x为R 上的减函数,不符合题意;对于C,f(x)=x 3,则g(x)=e x f(x)=e x ·x 3, g'(x)=e x ·x 3+3e x ·x 2=e x (x 3+3x 2)=e x ·x 2(x+3),当x<-3时,g'(x)<0,当x>-3时,g'(x)>0,∴g(x)=e x f(x)在定义域R 上先减后增,不符合题意;对于D,f(x)=x 2+2,则g(x)=e x f(x)=e x (x 2+2),g'(x)=e x (x 2+2)+2xe x =e x (x 2+2x+2)>0在R 上恒成立,符合题意.故选AD. 9.AC 设函数f(x)=x lnx,x>0且x ≠1,则f'(x)=lnx-1ln2x =1lnx-1ln2x,x>0且x≠1,f″(x)=2−lnxx(lnx)3,x>0且x≠1,当x→+∞时,f″(x)<0,故当x很大时,随着x的增大,π(x)的增长速度变慢,故A正确;函数f(x)=xlnx的图象如图所示:由图象可得随着x的增大,π(x)并不减小,故B错误;当x很大时,在区间(x,x+n)(n是一个较大常数)内,函数增长得慢,素数的个数随x的增大而减少,故C正确;4ln4≈2.89>2,故D错误.故选AC.10.答案1解析因为f(-x)=-x-sin x=-f(x),所以f(x)是奇函数.又f'(x)=1+cos x≥0在R上恒成立,∴f(x)在R上是增函数.于是f(4a)+f(b-9)=0⇔f(4a)=f(9-b)⇔4a=9-b⇔4a+b=9,又a>0,b>0,∴1a +1b=19(1a+1b)(4a+b)=195+ba+4ab≥195+2√ba·4ab=1,当且仅当b=2a=3时取等号,即1a +1b的最小值为1.11.解析(1)当a=-1时,f(x)=ln x+x+2x -1(x>0),f'(x)=1x+1-2x2,f(2)=ln2+2,f'(2)=1,故所求切线方程为y=x+ln2.(2)因为f(x)=ln x-ax+1−ax -1x>0,a≤12,所以f'(x)=1x-a+a -1x 2=-ax 2-x+1−ax 2(x>0),令g(x)=ax 2-x+1-a=(x-1)(ax-1+a)(x>0). (i)当a=0时,g(x)=-x+1(x>0),所以当x ∈(0,1)时,g(x)>0,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减; 当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增. (ii)当a ≠0时,令g(x)=0, 解得x=1或x=1a -1.①若a=12,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;②若0<a<12,则函数f(x)在(0,1),(1a-1,+∞)上单调递减,在1,1a-1上单调递增;③当a<0时,1a -1<0,若x ∈(0,1),则g(x)>0,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减; 若x ∈(1,+∞),则g(x)<0,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.综上所述,当a ≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;当a=12时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;当0<a<12时,函数f(x)在(0,1),(1a -1,+∞)上单调递减,在1,1a -1上单调递增.12.解析 (1)易知f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=1x -a=1−ax x,①若a ≤0,则f'(x)>0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②若a>0,则当0<x<1a时,f'(x)>0,当x>1a时,f'(x)<0,综上,当a ≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),当a>0时,f(x)的单调递增区间为(0,1a ),单调递减区间为(1a ,+∞).(2)∵f(x)的定义域为(0,+∞),∴{x >0,2a -x >0,a >0,∴0<x<2a.设F(x)=f(x)-f (2a -x)=ln x-ax-ln (2a-x)+a (2a-x)=ln x-ln (2a -x)-2ax+2,x ∈(0,2a ),则F'(x)=1x+12a-x-2a=2a(x -1a)2x(2a -x)≥0,∴F(x)在(0,2a)上单调递增,又F (1a )=0,∴当x ∈(0,1a )时,F(x)<0,当x ∈(1a ,2a )时,F(x)>0,∴f(x)-f (2a -x)>0的解集为(1a ,2a). 13.C 因为f(x)=e x (a-cos x)在R 上单调递增,所以f'(x)=e x (a-cos x+sin x)≥0恒成立,即a ≥cos x-sin x 恒成立. 令g(x)=cos x-sin x,则g(x)=cos x-sin x=√2cos (x +π4),即g(x)∈[-√2,√2],所以a ≥√2.故选C. 14.D 因为f(x)=x 2-9ln x+3x, 所以f'(x)=2x-9x +3,令f'(x)=0,即2x-9x+3=0,解得x=32或x=-3(舍去).所以当x ∈(0,32)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x ∈(32,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.因为f(x)在区间(m-1,m+1)上不单调, 所以m-1<32<m+1,解得12<m<52,因为(m-1,m+1)是函数f(x)定义域内的子区间,所以m-1≥0,即m ≥1,所以m 的取值范围是[1,52).故选D.15.D 由f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2>2, 得f(x 1)-2x 1-[f(x 2)-2x 2]x 1-x 2>0,令g(x)=f(x)-2x=aln x+12x 2-2x(a>0),则g(x)为增函数,所以g'(x)=ax +x-2≥0(x>0,a>0)恒成立,即a ≥x(2-x)恒成立,又当x>0时,x(2-x)的最大值为1,所以a ≥1.方法技巧 解决不等式恒成立问题,常见的解题技巧是分离变量,这样可以避免分类讨论,如本题中将不等式ax +x-2≥0恒成立中的a 分离出来,即为a ≥x(2-x)恒成立. 16.答案 (-∞,0]解析 函数f(x)=sin x-aln x 在0,π4上单调递增,即f'(x)=cos x-ax≥0在(0,π4)上恒成立,即a ≤xcos x 在(0,π4)上恒成立.令g(x)=xcos x,则g'(x)=cos x-xsin x,令h(x)=cos x-x ·sin x,则h'(x)=-2sin x-xcos x<0在(0,π4)上恒成立, 所以g'(x)在(0,π4)上单调递减,又g'(π4)>0,所以g'(x)>0恒成立,所以函数g(x)在(0,π4)上单调递增,可得g(x)>g(0)=0,所以a ≤0.方法技巧 利用导数解决函数的单调性问题时,经常会遇到f(x)=0(或f(x)>0)这样的方程(或不等式)不易求解的情况,可采用二次求导来解决问题,如本题中,g'(x)=cos x-xsin x=0,不易求解,令h(x)=cos x-x ·sin x,再求一次导数h'(x)=-2sin x-xcos x,即二次求导.17.解析 (1)当a=-14时,f(x)=-14x 2+ln(x+1)(x>-1),则f'(x)=-12x+1x+1=-(x+2)(x -1)2(x+1)(x>-1).令f'(x)>0,解得-1<x<1; 令f'(x)<0,解得x>1.故函数f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,+∞). (2)因为函数f(x)在区间[1,+∞)上是减函数,所以f'(x)=2ax+1x+1≤0对任意x ∈[1,+∞)恒成立, 即a ≤-12x(x+1)对任意x ∈[1,+∞)恒成立. 令g(x)=-12x(x+1),x ∈[1,+∞),易求得g'(x)>0在[1,+∞)上恒成立, 所以g(x)在[1,+∞)上单调递增, 因此g(x)min =g(1)=-14,故a ≤-14.即实数a 的取值范围是(-∞,-14].18.解析 (1)由已知得f'(x)=e x +2ax, 则g(x)=f'(x)=e x +2ax,则g'(x)=e x +2a.①若a ≥0,则g'(x)>0,g(x)在区间(-∞,1]上单调递增,符合题意; ②若a<0,令g'(x)=0,解得x=ln(-2a),∵g'(x)是单调递增函数, ∴要使g(x)在区间(-∞,1]上为单调函数,只需ln(-2a)≥1,解得a ≤-e2,此时g(x)在区间(-∞,1]上为单调递减函数.由①②可得,使导函数f'(x)在区间(-∞,1]上为单调函数的a 的取值范围是(-∞,-e2]∪[0,+∞).(2)证明:∵x 1≠x 2,∴不妨设x 1<x 2,取x 1为自变量构造函数F(x 1)=f (x 1+x 22)-f(x 1)+f(x 2)2,则F'(x 1)=12f'(x 1+x 22)-f'(x 1)2=12[f'(x 1+x 22)-f'(x 1)],∵a>0,∴f'(x)=e x +2ax 在R 上单调递增, 又x 1+x 22-x 1=x 2-x 12>0,∴f'(x 1+x 22)>f'(x 1),即F'(x 1)>0.∴关于x 1的函数F(x 1)单调递增, ∴F(x 1)<F(x 2)=0, ∴f (x 1+x 22)<f(x 1)+f(x 2)2.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

高中数学5.3试题及答案试题：一、选择题（每题3分，共15分）1. 若函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。

A. 4B. 2C. 0D. -22. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。

A. 27B. 25C. 23D. 213. 圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，求直线与圆的位置关系。

A. 相切B. 相交C. 相离D. 内切4. 已知三角形ABC的三边长分别为3，4，5，求三角形ABC的面积。

A. 6B. 5C. 4D. 35. 函数\( y = \log_{2}(x) \)的定义域是：A. \( x > 0 \)B. \( x \geq 0 \)C. \( x < 0 \)D. \( x \leq 0 \)二、填空题（每题4分，共20分）6. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)是三角形的三边，且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则此三角形为________。

7. 正弦函数\( y = \sin x \)的周期是________。

8. 若\( \cos \alpha = \frac{1}{3} \)，且\( \alpha \)为锐角，则\( \sin \alpha \)的值为________。

9. 已知\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5 \)，\( x + y = 8 \)，求\( xy \)的值。

10. 已知等比数列的首项为2，公比为3，求第5项的值。

三、解答题（共65分）11. 解不等式：\( 3x^2 - 5x + 2 > 0 \)。

（10分）12. 证明：若\( a \)，\( b \)，\( c \)是三角形的三边，且\( a +b >c \)，则三角形ABC存在。

（15分）13. 已知点A(-1,2)，B(2,5)，求直线AB的斜率及方程。