北京清华大学附属中学2020-2021学年九年级下学期3月月考数学试题

2024年北京市清华大学附属中学九年级下册中考数学三模试题一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列调查方式适合用普查的是（ ）A. 检测一批LED 灯的使用寿命B. 检测一批家用汽车的抗撞击能力C. 测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况D. 中央电视台《2024年第九季诗词大会》的收视率【答案】C【解析】【分析】本题考查调查分类，涉及抽样调查和全面调查定义与区别，一般地，具有破坏性、涉及面广，无法普查、普查意义或价值不大的采取抽样调查；对于精度要求较高的调查、事关重大的采取普查，逐项判定即可得到答案，熟记普查与抽查的特征与区别是解决问题的关键．【详解】解：A 、检测一批LED 灯的使用寿命，具有破坏性，适合抽查，不符合题意；B 、检测一批家用汽车的抗撞击能力，具有破坏性，适合抽查，不符合题意；C 、测试2024神舟十八号载人飞船的零部件质量情况，每一个环节都事关重大，适合普查，符合题意；D 、中央电视台《2024年第九季诗词大会》的收视率，涉及面广，无法普查，适合抽查，符合题意；故选：C ．2. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】运用合并同类项、同底数幂除法、幂的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．运用合并同类项、同底数幂除法、幂的乘方逐项判断即可．【详解】解：A. ，故选项A 错误，不符合题意；B. ，故选项B 正确，符合题意；C. 与不是同类项，不能合并，故选项C 错误，不符合题意；D. ，故选项D 错误，不符合题意．故选：B ．5510a a a +=826a a a ÷=32a a a -=()235a a =5552a a a +=826a a a ÷=3a 2a ()236a a =3. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A.B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可．【详解】解：A ．.是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B ．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C ．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D ．是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意．故选D ．4. 在实数，，1中，最小的数是（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】解：在实数，，1中，最小的数是．故选：B5. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）A. B. C.D.180︒π-3-3-π-0>>31π-<-<< ∴π-3-π-12x -<【答案】A【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式以及解集在数轴上的表示方法，掌握一元一次不等式的解法以及解集在数轴上的表示方法是正确解答的前提．求出不等式的解集，再在数轴上将解集表示出来即可．【详解】解：，解得：，∴原不等式的解集为：，故选：A ．6. 如图，在正方形中，点E 、F 分别在边上，满足，连接，点G 在边上，连接交于点H ，使得，连接，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，先证明得到，进而证明得到，再证明得到，，进一步证明，推出，则．【详解】解：如图所示，延长到E 使得，连接，设交于O，12x -<3x <3x <ABCD BC CD 、CE DF =AF DE 、AB DG AF 45DHF ∠=︒GE DAF α∠=BGE ∠902α︒-45α︒+4α315α+︒()SAS ADF DCE ≌DAF CDE α==∠∠90HOD ∠=︒45HDE ∠=︒()SAS ADK CDE ≌ADK CDE ∠=∠DE DK =()SAS KGD EGD ≌45AGD EGD α==︒+∠∠180902BGE AGD EGD α=︒--=︒-∠∠∠BA AK CE =DK DE AF 、∵四边形是正方形，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，故选；A ．7. 如图，点O 是边长为2的正方形的中心，点P 从点A 出发，在正方形的边上沿以每秒1个单位长度做匀速运动．若移动时间为x ，线段的长为y ．则y 与x 关系的图象大致是（ ）A. B.C.ABCD 90AD DC ADF DCE =∠=∠=︒，CE DF =()SAS ADF DCE ≌DAF CDE α==∠∠90DAF ADF ADF CDE ∠+∠=∠+∠=︒90HOD ∠=︒45DHF ∠=︒904545HDE ∠=︒-︒=︒90AK CE DAK DCE AD CD ===︒=，∠∠，()SAS ADK CDE ≌ADK CDE ∠=∠DE DK =9045GDK ADG ADK ADG CDE EDG EDG ∠=+=+=︒-=︒=∠∠∠∠∠∠DG DG =()SAS KGD EGD ≌()90904545AGD EGD ADG αα∠=∠=︒-∠=︒-︒-=︒+180902BGE AGD EGD α=︒--=︒-∠∠∠ABCD ABCD AD DC -OPD.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，动点问题的函数图象，分当时，当时，正确情况利用勾股定理表示出y 即可得到答案．【详解】解：如图所示，当时， 过点O 作于F ，∵点O 是边长为2的正方形的中心，∴，由题意得，，则，在中，由勾股定理得如图所示，当时， 过点O 作于F ，∵点O 是边长为2的正方形的中心，∴，由题意得，，则，在中，由勾股定理得；综上所述，四个选项中，只有B 选项的函数图象符号题意，故选：B ．8.如图，是的直径，内接于，，的半径是4，则弦的长是（ ）02x ≤≤24x <≤02x ≤≤OF AD ⊥ABCD 1OF AF ==AP x =1FP x =-Rt OPF △y OP ===24x <≤OF CD ⊥ABCD 1OF DF ==2DF x =-3FP x =-Rt OPF △y OP ===AB O BDC O tan 1BCD ∠=O BDA. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】本题考查圆周角定理，勾股定理．根据题意，连接，由，得，再由勾股定理得即可求出结果．【详解】解：连接，是的直径，故选：D ．二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．9. 的平方根是________．【答案】【解析】【AD tan 1BCD ∠=DAB BCD ∠=∠1BD AD=222AD BD AB +=AD AB O 90ADB ∴∠=︒tan 1BCD ∠=DAB BCD∠=∠ta n 1DAB ∴∠=1BD AD∴=222,8AD BD AB AB +== 2228BD BD ∴+=B D ∴=2±【分析】本题考查平方根和立方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．，根据平方根的定义即可求得答案．，的平方根是，故答案：．10. 一组数据2，4，，2，4，10的众数是2，则这组数据的平均数是______；中位数是______；方差是______.【答案】①. 4 ②. 3 ③. 8【解析】【分析】本题主要考查方差、平均数、中位数、众数，解题的关键是掌握方差、平均数、中位数、众数的定义．先根据众数的概念求出的值，将原数据重新排列，再由平均数、中位数和方差的定义列式计算即可．【详解】解：数据2，4，，2，4，10的众数是2，，这组数据为2，2，2，4，4，10，所以这组数据的平均数为，中位数为，方差为，故答案为：4、3、811. 如图，已知矩形，为对角线，点、分别是与的重心，连接、，如果，那么_______．为4=4=2±2±x x x 2x ∴=∴222441046+++++=2432+=2221[3(24)2(44)(104)]86⨯⨯-+⨯-+-=ABCD AC E F ABC ADC △AE EF AE EF ⊥sin EAB ∠=【解析】【分析】延长交于M ，连接并延长交于，连接并延长交于，连接并延长交于，连接、、，根据重心的定义、三角形中位线定理及相似三角形的性质可推出，，，，得到，判定，推出，再证明，推出，得到，再用勾股定理求出，即可得解．【详解】解：延长交于M ，连接并延长交于，连接并延长交于，连接并延长交于，连接、、，∵点、分别是与的重心，∴、分别是、边上的中线，即点、分别是、边上的中点；、分别是、边上的中线，即点、分别是、边上的中点，∴，； ，，，，∴，；，，∴，，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵四边形是矩形，∴，，∴，∴，∵，AE BC AF AF CD N CF CF AD G CE CE AB H MN GN HM 23AEAM =23AF AN =MB CM =CN DN =AE AF AM AN=AEF AMN △∽△90AEF AMN ∠=∠=︒ABM MCN V V ∽AB BM MC CN =2212MB AB =AM AE BC AF AF CD N CF CF AD G CE CE AB H MN GN HM E F ABC ADC △AM CH BC AB M H BC AB AN CG CD AD N G CD AD HM AC ∥12HM AC =GN AC ∥12GN AC =MB CM =CN DN =ECA EHM ∠=∠EAC EMH ∠=∠FCA FGN ∠=∠FAC FNG ∠=∠ECA EHM △∽△FCA FGN △∽△22AE AC HM ME HM HM ===22AF AC GN NF GN GN===2223AE AE EM AM AE EM EM EM ===++2223AF AF FN AN AF FN FN FN ===++AE AF AM AN =EAF MAN ∠=∠AEF AMN △∽△AMN AEF ∠=∠AE EF ⊥90AMN AEF ∠=∠=︒ABCD 90B BCD ∠=∠=︒AB CD =90BAM AMB CMN AMB ∠+∠=︒=∠+∠BAM CMN ∠=∠B MCN ∠=∠∴，∴，∵，，∴，∴或（负值不符合题意，舍去），设，则，在中，，∴．．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的重心，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形等知识点，解题的关键是由三角形重心的定义、三角形中位线定理及相似三角形判定和性质推出．12. A ，B 两个容器分别盛有部分液体，容器的底部分别有一个出水口．若将A 中的液体全部倒入B 容器，并打开B 容器的出水口，10分钟可以放完；若将B 中液体全部倒入A 容器，并打开A 容器的出水口，15分钟可以放完．（1）A 出水口的液体流速是B 出水口液体流速的______；（2）若从A 中取出20升液体倒入B 中，再打开两容器的出水口，放完液体，B 需要的时间是A 的2倍．设开始时，A ，B 两容器中液体体积分别为x 升，y 升，则x ，y 应满足的数量关系为______．【答案】①. ②. ##【解析】ABM MCN V V ∽AB BM MC CN=MB CM =1122CN CD AB ==2212MB AB =AB =AB =MB x ==AB Rt ABM AM ===sin BM EAB AM ∠===AE AF AM AN=23380y x =-803y x=-+【分析】本题考查的列函数关系式，正确的理解题意是解题关键，（1）设两个容器内溶液总量为单位1，分别表示两个容器液体流速即可计算求出结论；（2）设A 出水口的液体流速是升/分钟，B 出水口液体流速是升/分钟，由题意列出等式，进而得出表达式．【详解】解：（1）设两个容器内溶液总量为单位1，由题意得：A 出水口的液体流速是，B 出水口液体流速是，出水口的液体流速是B 出水口液体流速的，故答案为：；（2）出水口的液体流速是B 出水口液体流速的，设A 出水口的液体流速是升/分钟，B 出水口液体流速是升/分钟，由题意得：，整理，得，，故答案为：．13. 若关于x 的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y 的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为______．【答案】6【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组和分式方程，根据关于的一元一次不等式组的解的情况求出的取值范围，根据关于的方程的解的情况求出的取值情况，然后求出满足条件的的值，即可得出答案．【详解】解：解不等式组，得，2k 3k 115110A ∴11215103÷=23A 232k 3k 2020223x y k k-+⨯=36020x y -=+380y x ∴=-380y x =-1112631x x x a x +-⎧≥+⎪⎨⎪-≤+⎩42311y a y y y+++=---x a y a a 112x a x ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩不等式组有解且最多有3个整数解，，解得：，整数为：1，2，3，4，5，6，解分式方程，得，分式方程有整数解，整数，且，整数为：1，5，所有满足条件的整数的值之和是．故答案为：6．14. 如图，已知点，，点是线段上的整点（不与重合，且横、纵坐标都是整数），若双曲线（）经过点，写出一个符合条件的的值：______．【答案】或或（任选一个即可）．【解析】【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，由，可得轴，得到点的纵坐标为，再根据横坐标，横坐标为整数，求出点的坐标，即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．【详解】解：∵，，∴轴，∵点在线段上，∴点的纵坐标为，且横坐标，是 1142a +∴≤<17a ≤<∴a 42311y a y y y +++=---12a y -= ∴12a -112a -≠∴a ∴a 156+=()1,4A ()5,4B P AB A B ，k y x=0x >P k 81216()1,4A ()5,4B AB x ∥P 415x <<P ()1,4A ()5,4B AB x ∥P AB P 415x <<∵点的横坐标为整数，∴或或，∴点的坐标为或或，∴的值为，，，故答案为：或或（任选一个即可）．15. 如图，是一个闭环运算游戏，即：给x 一个值，把它代入中得到一个y 值，再把得到的y 值代入中，又求出一个新的x 值．如：把代入中得到；再把代入中求得．（1）把代入中，最后求出的x 值为______；（2）小明发现，给x 一个整数并把它代入中后，最后求出的x 值竟然是它自身，这个整数是______．【答案】①. ②. 【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，和分式方程．（1）根据题意运算法则计算即可求解；（2）设这个数为，依题意得，解一元二次方程求得整数解即可．【详解】解：（1）把代入中，，再把代入中，求得；经检验是原方程的解，故答案为：；（2）设这个数为，依题意得，整理得，解得（舍去），，P 2x =34P ()2,4()3,4()4,4k 812168121623y x =+23x y x-= 1.5x =-23y x =+0y =0y =23x y x-=2x =1x =23y x =+23y x =+17-1-m 2233m m m-+=1x =23y x =+235y =+=5y =253x x -=17x =-17x =-17-m 2233m m m -+=23410m m ++=13m =-1m =-故答案为：．16. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形，等边三角形，等边三角形，⋯中，，，…平行于x 轴，点，，，…在轴正半轴上，三边垂直平分线的交点在原点，，，，…，…，以此类推，则等边三角形的顶点的坐标为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质，特殊角的正切值的计算，掌握等腰三角形的性质，垂直平分线的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质，垂直平分线的性质，可得点O 为所有等边三角形的外心，内心，可得的长度，结合含的直角三角形，特殊角的正切值的计算方法即可求解．【详解】解：∵三边垂直平分线的交点在原点，∴点为所有等边三角形的外心，内心，∴平分，即，∵，∴，且垂直平分，∴点到，到轴的距离为，∵点在第三象限，1-111A B C222A BC 333A BC 11A B 22A B 33A B 1C 2C 3C y 11A B 22A B 33A B 202420242024A B C 2024A ()1012--30︒20242024A B 30︒O 2024OA 202420242024C A B ∠202420242024202430C A O OA B ∠=∠=︒112233A B A B A B ⋯，，⋯20242024A B =2024OC 20242024A B 2024A y =x 301012︒==A∴，故答案为： ．三、解答题：本题共12小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （1）计算：．（2）化简求值：，其中．【答案】（1）；（2），2【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂和零指数幂的意义、分式的化简求值、因式分解；熟练掌握负整数指数幂和零指数幂的意义、分式的化简求值是解决问题的关键．（1）根据负整数指数幂，绝对值，平方根和立方根性质，零指数幂的意义进行计算，即可得出结果；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值．【详解】（1）；（2）解：，当，原式．18. 解方程组：()1012A --()1012--2012|(3π)2-⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭22144139x x x x -+⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭7x =832x x +-x 212(3π)2-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭4231=+-8=22144139x x x x -+⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭()()()2332·32x x x x x +--=--32x x +=-7x =73272+==-722x y x y -=⎧⎨+=⎩①②【答案】【解析】【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，直接利用加减消元法解方程组即可．【详解】解：，①+②得，解得．将代入②，得．所以 19. 如图，在平行四边形中，点E 为边的中点，于点F ，G 为的中点，分别延长，交于点H ，求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质得出，进而利用证明与全等，利用全等三角形的性质和三角形中位线定理解答即可．【详解】解：证明：四边形是平行四边形，，，，点为边的中点，，在与中，34x y =⎧⎨=-⎩722x y x y -=⎧⎨+=⎩①②39x =3x =3x =4y =-34x y =⎧⎨=-⎩，．ABCD BC DF AE ⊥DF AE DC CG DF ⊥AB CD =ASA ABE HCE ABCD AB CD ∴=AB CD ∥B HCE ∴∠=∠ E BC BE EC ∴=ABE HCE， ，，，为的中点，是的中位线，，，即，．20. 中考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A 是某市一中考考点，在位于考点南偏西方向距离米的C 点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东方向的公路前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？请说明理由．）【答案】消防车不需要改道行驶，理由见详解【解析】【分析】本题主要考查方位角与含角的直角三角形的性质的综合运用，掌握方位角的数量关系，勾股定理，垂线段最短的知识是解题的关键．如图，作，根据方位角可得是含角的直角三角形，根据勾股定理可求出的值，结合垂线段最短即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，则，B HCE BE ECAEB HEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA)ABE HCE ∴△≌△AB CH ∴=DC CH ∴=G DF CG ∴DFH CG EH ∴∥DF AE ⊥ DF EH ⊥CG DF ∴⊥15︒50075︒CF 1.732≈30︒AE CF ⊥ACE 30︒AE A AE CF ⊥E 90AEC ∠=︒∵，，∴，∴，则，在直角中，，∴，∴由勾股定理得：，∵消防车的警报声传播半径为400米，且，∴消防车不需要改道行驶．21. 微信拼手气红包是由发红包者自行设置红包总金额和红包个数，系统会随机分配红包金额并发送给其他用户．小李在家庭群里（群成员为爸爸、妈妈、小李，共三人）发了一个如图所示的新年拼手气红包，将三个随机红包记为，分别代表钱数最多，钱数居中，钱数最少，三个红包均被抢走．（1）爸爸抢到红包的概率为_________；（2）请你利用画树状图求妈妈抢到红包，同时小李抢到红包的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查随机事件的概率，列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图1575CAB DCE ∠=︒∠=︒，AB CD 15ACD CAB ∠=∠=︒751560ACE DCE ACD ∠=∠-∠=︒-︒=︒30CAE ∠=︒ACE 500m AC =1250m 2CE AC ==250 1.732433(m)AE ==≈⨯=433400>A B C ，，A B C 1316法求概率的方法是解题的关键．（1）根据概率的计算公式即可求解；（2）列表或画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解．【小问1详解】解：共有3种等可能结果，A 是其中一种，∴抢到A的概率为；【小问2详解】解：运用列表或画树状图把所有等可能结果表示出来，共有6种等可能结果，妈妈抢到红包B ，同时小李抢到红包C 的结果有1种，∴妈妈抢到红包B ，同时小李抢到红包C 的概率为．22. 陕西是面食之乡，其中以“臊子面”最为有名，它柔软光滑、易于消化，与北京炸酱面、河南烩面、武汉热干面、四川担担面被誉为我团五大面食．西安“面霸”餐馆一份臊子面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价格每提高1元，平均每天少销售10份，每份臊子面价格是多少元时，“面新”餐馆能实现每天1080元的利润？【答案】销售价格为元或元时，餐馆能实现每天1080元的利润【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目数量关系，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．根据题意，设提高了元，用含的式子表示出销售价格，利润，销售份数，根据题目数量关系列一元二次方程求解即可．13161619x x【详解】解：设提高了元，则销售价格为元，利润为（元），少买份，∴，整理得，，∴，解得，，，∴销售价格为元或元时，餐馆能实现每天的利润．23. 如图，是的直径，点是上一点，过点作的切线与的延长线交于点，过点作，与交于点，连接，．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据， 得出，根据，得出，即可证明结论；（2）连接，交于点，根据切线的性质得出，证明为的中位线，得出，解直角三角形得出，．最后根据勾股定理求出．【小问1详解】证明：∵，∴，又∵，∴．∴．【小问2详解】x ()12x+1275xx +-=+()16010x -()()5160101080x x +-=211280x x -+=()()470x x --=14x =27x =16191080AB O C O C O CD AB D B BE CD ∥BE O E AE CE ACE D ∠=∠3tan 4ACE ∠=3AE =CE CE =»»AE AE =ACE ABE ∠=∠BE CD ∥ABE D ∠=∠OC BE F 90OCD ∠=︒OF AEB △12OF AE =4BE =5AB =CE ==»»AE AE =ACE ABE ∠=∠BE CD ∥ABE D ∠=∠ACE D ∠=∠解：连接，交于点，如图所示：∵是的切线，切点为，∴，∵，∴，∴⊥，∴为中点．∵为直径中点，∴为的中位线，∴，∵，∴．∵，∴，∵，∴，∵是的直径，∴，在中∵，∴，由勾股定理得．∴．OC BE F CD O C 90OCD ∠=︒BE CD ∥90OFB OCD ∠=∠=︒BE OC F BE O AB OF AEB △12OF AE =3AE =32OF =»»AE AE =ACE ABE ∠=∠3tan 4ACE ∠=3tan 4ABE ∠=AB O 90AEB ∠=︒Rt AEB 3tan 4ABE ∠=4BE =5AB =52OC =∴．∵为中点， ，∴．在中， 由勾股定理得．【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形，中位线的性质，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．24. 已知平面直角坐标系，抛物线：与轴交于点和点，与轴交于点，把抛物线向下平移得到抛物线，设抛物线的顶点为，与轴交于点，直线与轴交于点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点与点重合时，求平移的距离；（3）连接，如果与互补，求点的坐标．【答案】（1） （2）（3）【解析】【分析】（1）将点、代入抛物线：上，得到关于，的二元一次方程组，求解即可；（2）由抛物线顶点式知对称轴为，顶点，设平移的距离为，可1CF =F BE 4BE =2EF =Rt ECFCE ==xOy 1M 2y ax x c =++x ()2,0A -B y ()0,4C 1M 2M 2M D y E DE x P 1M P A AD ADP ÐACB ∠D 2142y x x =-++3()1,3D -()2,0A -()0,4C 1M 2y ax x c =++a c 1M ()219122y x =--+1x =91,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭d得抛物线的表达式为，继而得到，，最后由得，即可得解；（3）连接，过点作轴于点，交的延长线于点，过点作于点，由平移的性质可证明四边形为平行四边形，得，继而得到，得到，在中，，得，继而得到，由，证明，得，则，可得解．【小问1详解】解：∵点和点在抛物线：上，∴，解得：，∴抛物线的表达式为；【小问2详解】∵抛物线：，，∴对称轴为，顶点，把抛物线向下平移得到抛物线，当点与点重合，设平移的距离为，设对称轴交轴于点，∴抛物线的表达式为，∴抛物线的顶点为，∴，，对于抛物线：，2M ()219122y x d =--+-91,2D d ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,4E d -tan tan EAO DAH ∠=∠EO DH AO AH =CF A AG x ⊥A BC G C CK FH ⊥K CEDF CED CFD ∠=∠tan tan 2CED CFD ∠=∠=1tan 2OPE ∠=Rt OAC 1tan 2OCA ∠=OPE OCA ∠=∠CAG DPA ∠=∠180GCA ACB ADP ∠=︒-∠=∠GCA ADP △∽△45G DAP ∠=∠=︒tan 3DH AH DAP =⋅∠=()2,0A -()0,4C 1M 2y ax x c =++4204a c c -+=⎧⎨=⎩124a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩1M 2142y x x =-++1M ()2211941222y x x x =-++=--+()2,0A -1x =91,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭1M 2M P A d 1x =x H 2M ()219122y x d =--+-2M 91,2D d ⎛⎫- ⎪⎝⎭92DH d =-()123AH =--=2M ()219122y x d =--+-当时，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，解得：，∴当点与点重合时，平移的距离是；【小问3详解】连接，过点作轴于点，交的延长线于点，过点作于点，∵，，，对称轴为，∴，，，，四边形为矩形，∴，，∴，∵抛物线：与轴交于点和点，当时，得，解得：或，∴，0x =19422y d d =-+-=-()0,4E d -4OE d =-2AO =90AOE AHD ∠=∠=︒tan tan EAO DAH ∠=∠EO DH AO AH=94223d d --=3d =P A 3CF A AG x ⊥G BC A C CK FH ⊥K ()2,0A -91,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,4C 1x =2AO =()123AH =--=4OC =92FH =COHK 1CK OH ==4KH CO ==1tan 2942CK CFK FK ∠===-1M 2142y x x =-++x ()2,0A -B 0y =21402x x -++=2x =-4x =()4,0B∴，∴，∵把抛物线向下平移得到抛物线，抛物线的顶点为，∴，∵对称轴与轴平行，即，∴四边形为平行四边形，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∵轴，∴轴，∴，，∴，∵与互补，即，∴，∴，∴，∴，∴．4OB OC ==45OCB OBC ∠=∠=︒1M 2M 2M D CE FD =1x =y CE FD ∥CEDF CED CFD ∠=∠tan tan 2OP CFD CED OE∠=∠==2OP OE =1tan 22OE OE OPE OP OE ∠===Rt OAC 21tan 42AO OCA OC ∠===OCA OPE ∠=∠AG x ⊥AG y ∥OCA CAG ∠=∠45G OCB ∠=∠=︒CAG DPA ∠=∠ADP ÐACB ∠180ADP ACB Ð+Ð=°180GCA ACB ADP ∠=︒-∠=∠GCA ADP △∽△45G DAP ∠=∠=︒tan 3tan 453DH AH DAP =⋅∠=⨯︒=()1,3D -【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与性质，平移的性质，锐角三角函数，等边对等角，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点．掌握二次函数的图像与性质，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定和性质是解题的关键．25. 矩形中，，．点在边、上运动，连接，将射线绕点逆时针旋转，交直线CD 于点．（1）如图1，当点恰好与点重合时，则__________度；（2）过点作于点，连接．①如图2，当F 落在线段上时．求的度数；如图3，当落在线段的延长线上且时，求．【答案】（1）（2）①【解析】【分析】（1）利用矩形的性质，结合三角函数，即可作答；（2）①连接，先证明，再证明，即有，问题即可作ABCD AB =6AD =E BC CD AE AE A 30︒F F C FAD ∠=E EG AF ^G DG CD GDC ∠F CD FD DG =FG AG 3060︒t an CD DAC AD ===∠AC AD AG AC AE=EAC GAD △△∽30ADG ACE ∠=∠=︒答；②连接，过点G 作交延长线于点P ，的延长线于点Q ，根据①的方法同理可证明，易得四边形是矩形，再证明，即有， 在中，可得，设，，即有 ，，可得，问题随之得解．【小问1详解】∵在矩形中，，，∴，∴在中，，∴，当点恰好与点重合时，则，故答案为：；【小问2详解】①连接，如图，在（1）中已求出，则有，根据旋转可知：，∵，∴在中，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，AC PQ BC ∥CD BA EAC GAD △△∽ADPQ QGA PGF ∽FG FP GA AQ=Rt GPD cos PD PDG DG =∠=PD =2DG a =2FD DG a ==AQ PD ==2FP FD PD a =-=ABCD AB =6AD =CD AB ==6BC AD ==Rt ACD △t an CD DAC AD ===∠30DAC ∠=︒F C 30FAD CAD ∠=∠=︒30AC 30DAC ∠=︒60ACD ∠=︒30EAF ∠=︒EG AF ^Rt AGE cos AG EAF AE =∠=cos AD CAD AC =∠=AD AG AC AE=30CAD EAF ∠=∠=︒CAD CAF EAF CAF ∠-∠=∠-∠EAC DAF ∠=∠EAC GAD △△∽∴，∴；②连接，过点G 作交延长线于点P ，延长线于点Q ，根据①的方法同理可证明，∴，∵四边形是矩形，∴，，∵，∴四边形是矩形，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴， 在中，，，∴，设，，∵，，∴，∴，的30ADG ACE ∠=∠=︒903060GDC ADCADG ∠=∠-∠=︒-︒=︒AC PQ BC ∥CD BA EAC GAD △△∽60ADG ACE ACD ∠=∠=∠=︒ABCD AB CD 90CBD ∠=︒PQ BC ∥ADPQ AQ DP =90AQG GPD PDA ∠=∠=∠=︒90FPG Ð=°9030GDP ADG ∠=︒-∠=︒AQG FPG ∠=∠QGA FGP ∠=∠QGA PGF ∽FG FP GA AQ=Rt GPD 90GPD ∠=︒30PDG ∠=︒cos PD PDG DG =∠=PD =2DG a =2FD DG a ==AQ PD ==2FP FD PD a =-=FP AQ ==∴．【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，灵活运用相似三角形的判定与性质，作出科学的辅助线，是解答本题的关键．26. 如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中点，，是第一象限内二次函数图象上一动点，过点作于点，交于点．（1）求二次函数的表达式．（2）求的最大值．（3）如图2，过点作的垂线，交轴于点，交二次函数图象的对称轴于点，连接、，是否存在点使得？若存在，直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2（3）存在，点的横坐标为1或【解析】【分析】（1）根据求出点C 的坐标，再把点A ，C 坐标代入，求出a ，c 的值即可；（2）求出直线的解析式，设，求出的长，再根据二次函数的性质可得出的最大值；（3）根据勾股定理求出的值，证明，得，得一元二次方程，求出方程FG FP AG AQ ==xOy 2y ax 2x c =++(3,0)A OA OC =P P PG AB ⊥G AC H PH HC +H AC y M l N GM GN P 45MGN ∠=︒P 223y x x =-++P 95OA OC =2y ax 2x c =++AC ()2,23(03)P m m m x -++<<PH MG G MGN MH ∽V V MG MN MH MG=的解即可得出点P 的横坐标．【小问1详解】，，，，，把代入，得：，解得，二次函数表达式为；【小问2详解】如图1，过点作于点，设直线的解析式为，把代入得：，解得，直线的解析式为，设，则，，，，，，为等腰直角三角形，，．，(3,0)A 3OA ∴=OA OC = 3OC ∴=(0,3)C ∴(3,0),(0,3)A C 2y ax 2x c =++9603a c c ++=⎧⎨=⎩13a c =-⎧⎨=⎩∴223y x x =-++C CT PG ⊥T AC y kx b =+(3,0),(0,3)A C 303k b b +=⎧⎨=⎩13k b =-⎧⎨=⎩∴AC 3y x =-+()2,23(03)P m m m x -++<<(,3)H m m -+()222333PH m m m m m ∴=-++--+=-+OA OC = 90COA ∠=︒45OCA ∴∠=︒45TCH ∴∠=︒CTH ∴CH ∴=23PH CH m m ∴+=-+2(3m m =-+2m ⎛=-+ ⎝10-<【小问3详解】存在点使得，此时点的横坐标为1或．理由如下：如图2，过点作于点，过点作轴于点，过点作轴于点，，，轴，，，，，，同理可得，，，中，在PH CH ∴+P 45MGN ∠=︒P 95C CT PG ⊥T N NQ y ⊥Q H HR y ⊥R OA OC = 45OAC OCA ∴∠=∠=︒PG x ⊥ 45AHG ∴∠=︒45CHT ∴∠=︒45HCT ︒∴∠=HT CT m OG ∴===HC =HM HC ==2MC m =23MO MC OC m ∴=-=-Rt MGO △MG ==在对称轴上，则，，，，，，，，，，，，，，，，，存在点使得，此时点的横坐标为1或．【点睛】本题主要考查运用待定系数法求函数关系式，求函数的最值，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，求出，，的值是解答本题的关键．N Q 1NQ =NQ HR ∴∥45HCR ︒∠= 45RHC ∴∠=︒90MHC ∠=︒ 45MHR ∠︒∴=45MNQ QMN ∠∠︒∴==MN ∴=45AHG ∠=︒90MHC ∠=︒45GHM ∠︒∴=GMN HMG =∠∠45MGN GHM ∠=∠=︒MGN MHG ∴∽△△MG MN MH MG∴=2M MG MH N =∴⋅22(23)m m +-=∴195m =21m =∴P 45MGN ∠=︒P 95MG MH MN。

2024北京人大附中初三3月月考数 学（时间：120分钟 满分：100分）一、选择题（共16分，每小题2分）1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 长方体B. 三棱柱C. 圆锥D. 圆柱2. 2023年我国规模以上内容创作生产营业收人累计值前三个季度分别约为6500亿元13000亿元，20000亿元，合计约39500亿元．将39500用科学记数法表示应为（ ）A. 239510⨯ B. 43.9510⨯ C. 33.9510⨯ D. 50.39510⨯3. 不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（ ）A. 23B.34C.25D.354. 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，若60AOC ∠=︒，40BOE ∠=︒，则DOE ∠的度数为（ ）A.60︒B. 40︒C. 20︒D. 10︒5. 正六边形的外角和是（ ）A. 180︒B. 360︒C. 540︒D. 720︒6. 已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，则实数a 的值是（ ）A. 1- B. 1C. 2D. 37. 如图1是变量y 与变量x 的函数关系的图象，图2是变量z 与变量y 的函数关系的图象，则z 与x 的函数关系的图象可能是（ ）A. B.C. D.8. 如图，正方形边长为a ，点E 是正方形ABCD 内一点，满足90AEB ∠=︒，连接CE ．给出下面四个结论：①AE CE +；②CE ；③BCE ∠的度数最大值为60︒；④当CE a =时，1tan 2ABE ∠=．上述结论中，所有正确结论的序号为（ ）A. ①②B. ①③C. ①④D. ①③④二、填空题（共16分，每小题2分）9. 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是___________．10.分解因式：3a 2﹣12=___．11. 方程322x x=+的解为_______．12. 在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数6y x=的图象经过点(2,)A m 和点(2,)B n -，则m n +=______．13. 如图，树AB 在路灯O 的照射下形成投影AC ，已知路灯高5m PO =，树影3m AC =，树AB 与路灯O 的水平距离 4.5m AP =，则树的高度AB 长是______米．14. 如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，40BAC ∠︒=，则ADC ∠=________°．15. 用一组a ，b ，m 的值说明“若a b <，则ma mb >”是错误的，这组数可以是=a ___________，b =___________，m =___________．16. 从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时公交车用时的频数线路3035t ≤≤3540t <≤4045t <≤4550t <≤合计A59151166124500B 5050122278500C4526516723500早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．三、解答题（共52分）17. 计算：06cos 455(2)+--π-°．18. 解不等式组：221352x x x x +<-⎧⎪⎨-<⎪⎩．19. 已知230x x --=，求代数式(2)(2)(2)x x x x +---的值．20. 如图，在ABC 中， AB AC =．（1）使用直尺和圆规，作AD BC ⊥交BC 于点D （保留作图痕迹）；（2）以D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交AC 于点E ，连接BE ，DE ．①BEC ∠= °；②写出图中一个与CBE ∠相等的角 ．21. 如图，在四边形ABCD 中，90ACB CAD ∠=∠=︒，点E 在BC 上，//,AE DC EF AB ⊥，垂足为F ．（1）求证：四边形AECD 是平行四边形；（2）若AE 平分4,5,cos 5BAC BE B ∠==，求BF 和AD 的长．22. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象经过点()0,1，()2,2-，与x 轴交于点A ．（1）求该一次函数的表达式及点A 的坐标；（2）当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数y kx b =+（0k ≠）的值，直接写出m 的取值范围．23. 列方程解应用题无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？24. 如图，AB 是O 的直径，点E 是OB 的中点，过点E 作弦CD AB ⊥，连接AC ，AD ．（1）求证：ACD 是等边三角形；（2）若点F 是AC的中点，过点C 作CG AF ⊥，垂足为点G ．若O 的半径为2，求CG 的长．25. 学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A 和场景B 下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x 分钟时，在场景A ，B 中的剩余质量分别为1y ，2y （单位：克）．下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：记录1y ，2y 与x 的几组对应值如下：x （分钟）05101520…1y （克）2523.52014.57…2y （克）252015105…（1）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出上表中各组数值所对应的点()1,x y ，()2,x y ，并画出函数1y ，2y 的图象；（2）进一步探究发现，场景A 的图象是抛物线的一部分，1y 与x 之间近似满足二次函数：210.04y x bx c =-++．场景B 的图象是直线的一部分，2y 与x 之间近似满足一次函数2y kx c=+（0k ≠）．则b = ，c = ，k = ；（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A ，B 中发挥作用的时间分别为A x ，B x ，则A x B x （填“>”，“=”或“<”）．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线22y ax ax c =-+（0a >）上任意两点．（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若11x a =+，22x a =+，比较1y 与2y 的大小，并说明理由；（3）若对于11m x m <<+，212m x m +<<+，总有12y y <，求m 的取值范围．27. 如图，在ABC 中，AB AC =，()24590BAC αα∠=︒<<︒，D 是BC 的中点，E 是BD 的中点，连接AE ．将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF AE ⊥交射线AM 于点F ．（1）①依题意补全图形；②求证：B AFE ∠=∠；（2）连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，P 是O 外一点，给出如下的定义：若在O 上存在一点T ，使得点P 关于某条过点T 的直线对称后的点Q 在O 上，则称Q 为点P 关于O 的关联点．（1）当点P 在直线2y x =上时，①若点()1,2P ，在点1Q ⎛ ⎝⎭，()20,1Q ，()31,0Q 中，点P 关于O 的关联点是______；②若P 关于O 的关联点Q 存在，求点P 的横坐标p 的取值范围；（2）已知点32,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，动点M 满足1AM ≤，若M 关于O 的关联点N 存在，直接写出MN 的取值范围．参考答案一、选择题（共16分，每小题2分）1. 【答案】A【分析】结合长方体的三视图特征判断即可．【详解】解：∵长方体的三视图都是长方形，三棱柱的三视图中有三角形，圆锥和圆柱的三视图中有圆，∴该几何体符合长方体的三视图特征，故选A ．【点睛】本题考查了三视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图；掌握常见几何体的三视图特征是解题的关键．2. 【答案】B【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：将39500用科学记数法表示应为43.9510⨯．故选：B ．3. 【答案】D【分析】根据概率计算公式进行求解即可．【详解】解：∵不透明的袋子里装有2个红球，3个黄球，∴从袋子中随机摸出一个，摸到黄球的概率为33235=+ ；故选：D ．【点睛】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．4. 【答案】C【分析】根据对顶角相等可得60BOD ∠=︒，再根据角的和差关系可得答案．【详解】解：60AOC ∠=︒ ，60BOD ∴∠=︒，40BOE ∠=︒ ，∴604020DOE BOD BOE ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等．5. 【答案】B【分析】根据任何多边形的外角和是360︒即可求出答案．【详解】解：正六边形的外角和是360︒．故选：B ．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，关键是掌握任何多边形的外角和是360︒，外角和与多边形的边数无关．6. 【答案】B【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，根据方程有两个相等的实数根，判别式等于0列式求解即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，∴2(2)410a --⨯⨯=，解得：1a =，故选：B ．7. 【答案】D【分析】本题主要考查函数的图象，一次函数的图象与性质，根据图象正确设出函数解析式，学会利用整体思想解决问题是解题关键．由图1可设y kx b =+（k ，b 为常数，且0,0k b <>，由图2可设z my =（m 为常数，0m >），将y kx b =+代入z my =得z mkx mb =+，再根据一次函数图象与系数之间的关系即可判断．【详解】解：由图1可设y kx b =+（k ，b 为常数，且0,0k b <>，由图2可设z my =（m 为常数，0m >），将y kx b =+代入z my =得：()z m kx b mkx mb =+=+，z ∴与x 的函数关系为一次函数关系，0k < ，0b >，0m >，0mk ∴<，0mb >，z ∴与x 的函数图象过一、二、四象限．故选：D ．8. 【答案】C【分析】如图所示，连接AC 交BD 于H ，取AB 中点O ，连接OC ，先证明点E 在以点O 为圆心，AB 为直径的圆上运动，当A E C 、、三点共线，即点E 运动到点H 时AE CE AC +=， 当C O E 、、三点共线时，CE 有最小值，据此可判断①②；如下图所示，当CE 与O 相切时BCE ∠有最大值，证明Rt Rt OBC OEC △≌△，得到CE BC a ==，OCE OCB ∠=∠，则1tan 2OE OCE CE ==∠，再证明ABE BCO OCE ==∠∠∠，得到1tan tan 2ABE OCE ==∠∠，即可判断③④．【详解】解：如图所示，连接AC 交BD 于H ，取AB 中点O ，连接OC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴90AHB ∠=︒；∵90AEB ∠=︒，∴点E 在以点O 为圆心，AB 为直径的圆上运动， ∵90AHB ∠=︒，∴点H 在圆O 上，∵AE CE AC +≥==，∴当A E C 、、三点共线，即点E 运动到点H 时，AE CE AC +=，故①正确；∵点E 在以点O 为圆心，AB 为直径的圆上运动， ∴当C O E 、、三点共线时，CE 有最小值，在Rt OBC △中，由勾股定理得OC ==，∴CE 12a -=，故②错误；如下图所示，当CE 与O 相切时BCE ∠有最大值，∵OB OE OC OC ==，，∴()Rt Rt HL OBC OEC ≌，∴CE BC a ==，OCE OCB ∠=∠，∴1tan 2OE OCE CE ==∠，∴30OCE ≠︒∠，∴60BCE ≠︒∠，∴BCE ∠的度数最大值不是60︒，故③错误；∵BC EC OB OE ==，，∴OC 垂直平分BE ，∴ABE BOC BOC BCO +=+∠∠∠∠，∴ABE BCO OCE ==∠∠∠，∴1tan tan 2ABE OCE ==∠∠，故④正确；故选：C ．【点睛】本题主要考查了圆与正方形综合，解直角三角形，勾股定理等等，根据题意得到点E 的运动轨迹是解题的关键．二、填空题（共16分，每小题2分）9. 【答案】1x ≥【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数非负是解决本题的关键．根据二次根式被开方数非负可得10x -≥，解不等式即可．【详解】由题意得：10x -≥，解得：1x ≥，故答案为：1x ≥．10. 【答案】3（a +2）（a ﹣2）【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．【详解】3a 2﹣12=3（a 2﹣4）=3（a +2）（a ﹣2）．11. 【答案】4x =【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：()322x x =+，解得：4x =，检验：当4x =时，()20x x +≠，所以4x =是分式方程的解，故答案为：4x =．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．12. 【答案】0【分析】将(2,)A m ，(2,)B n -两点代入反比例函数求得m 和n 的值，再计算求值即可；【详解】解：∵点A 和B 在反比例函数图象上，∴632m ==，632n ==--，∴330m n +=-=，故答案为：0；【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的性质，掌握函数图象上的点满足函数关系式是解题关键．13. 【答案】2【分析】由题意知AB PO ∥，得出Rt ABC Rt POC ∽，根据AB AC PO PC=求出AB 的值．【详解】解：由题意知AB PO∥在Rt ABC 和Rt POC △中 C C CAB CPOABC POC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴ Rt ABC Rt POC∽∴AB AC PO PC =∴353 4.5AB =+解得2AB =故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形相似．解题的关键与重点是找出判定三角形相似的条件以及计算三角形的相似比．14. 【答案】50【分析】连接BC ，则由圆周角定理可以得到∠ADC =∠ABC ，再根据直径所对的圆周角是90度，得到∠ACB =90°，再根据∠BAC =40°即可求解.【详解】解：如图所示，连接BC∴∠ADC =∠ABC∵AB 是直径∴∠ACB =90°∵∠BAC =40°∴∠ABC =180°-90°-40°=50°∴∠ADC =∠ABC =50°故答案为：50.【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.15. 【答案】 ①. 1 ②. 2 ③. 0【分析】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理证明，而判断一个命题是假命题，只需举反例即可．本题中依据题意选出适当的a 、b 、c 即可，答案不唯一．【详解】解：当1,2,0a b m ===时，满足a b <，而0,0ma mb ==，不满足ma mb >，∴1,2,0a b m ===符合题意．故答案为：1,2,0.16. 【答案】C【分析】样本容量相同，观察统计表，可以看出C 线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，即可得出结论.【详解】解：样本容量相同，C 线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，所以其频率也最小，∴乘坐C 线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．故答案为：C.【点睛】考查用频率估计概率，读懂统计表是解题的关键.三、解答题（共52分）17. 【答案】4【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂，二次根式的化简，然后根据实数的计算法则求解即可．【详解】解：06cos 455(2)-+--π-°651=-+-4=．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，零指数幂，二次根式的化简，实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．18. 【答案】35x <<【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．【详解】解：221352x x x x +<-⎧⎪⎨-<⎪⎩①②，解不等式①得：3x >，解不等式②得：5x <，∴不等式组的解集为35x <<．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．19. 【答案】2【分析】先利用平方差公式，及单项式乘以多项式法则计算得到最简结果，再把已知等式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：(2)(2)(2)x x x x +---，2242x x x =--+，2224x x =--，∵230x x --=，∴23-=x x ． 0∴原式22()42x x =--=．【点睛】此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20. 【答案】（1）见详解 （2）①90；②CAD∠【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质和圆周角定理．（1）利用基本作图，作BC 的垂直平分线得到AD ；（2）①根据等腰三角形的性质得到DB DC =，则BC 为D 的直径，然后根据圆周角定理得到90BEC ∠=︒；②先利用AB AC =得到A ABC CB =∠∠，再根据圆周角定理得到90BEC ∠=︒，根据等角的余角相等得到CBE CAD ∠=∠．【小问1详解】如图，AD 即为所作．【小问2详解】①AB AC = ，AD BC ⊥，DB DC ∴=，AD 平分BAC ∠，BC ∴为D 的直径，90BEC ∴∠=︒；②AB AC = ，ABC ACB ∴∠=∠，BC ∴为D 的直径，90BEC ∴∠=︒，AD BC ⊥ ，90CBE BCE ∠+∠=︒ ，90CAD ACD ∠+∠=︒，CBE CAD ∴∠=∠．21. 【答案】（1）见详解；（2）4BF =，3AD =【分析】（1）由题意易得AD ∥CE ，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得EF =CE =AD ，然后由45,cos 5BE B ==可进行求解问题．【详解】（1）证明：∵90ACB CAD ∠=∠=︒，∴AD ∥CE ，∵//AE DC ，∴四边形AECD 是平行四边形；（2）解：由（1）可得四边形AECD 是平行四边形，∴CE AD =，∵EF AB ⊥，AE 平分BAC ∠，90ACB ∠=︒，∴EF CE =，∴EF =CE =AD ，∵45,cos 5BE B ==，∴4cos 545BF BE B =⋅=⨯=，∴3EF ==，∴3AD EF ==．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键．22. 【答案】（1）112y x =-+，(2,0)A （2）4m >-【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质．（1）先利用待定系数法求出函数解析式为112y x =-+，然后计算自变量为0时对应的函数值得到A 点坐标；（2）当函数y x n =+与y 轴的交点在点A （含A 点）上方时，当0x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值．【小问1详解】解： 一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(0,1)，(2,2)-，∴122b k b =⎧⎨-+=⎩，解得121k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，该一次函数的表达式为112y x =-+，令0y =，得1012x =-+，2x ∴=，(2,0)A ∴；【小问2详解】解：当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数(0)y kx b k =+≠的值，1212x m x ∴+>-+，4m ∴>-．23. 【答案】150件【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、明确量之间的关系、列出分式方程是解题的关键．设1名快递员平均每天配送包裹x 件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹5x，然后根据等量关系“要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天”列分式方程求解即可．【详解】解：设1名快递员平均每天配送包裹x 件．则1辆无人配送车平均每天配送的包裹5x ，依题意可得：60006000254x x+=，解得：150x =．经检验，150x =是原分式方程的解且符合题意．答：1名快递员平均每天可配送包裹150件．24. 【答案】（1）证明见解析；（2）CG =．【分析】（1）连接OC ，先证明AB 是CD 的垂直平分线，从而求得AC AD =，利用特殊三角函数值判断60COE ∠=︒，则可推得60CAD ∠=︒，利用“有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形”即可得证；（2）先根据()1中的结论及圆周角定理得到30GAC ∠=︒，证明AEC AGC ≌即可得CG CE =，根据勾股定理即可求出直角COE 中CE 的长，即CG 的长．【小问1详解】证：如图，连接OC ，AB 是O 的直径，且CD AB ⊥，CE DE ∴=，BC BD =，BAC BAD ∴∠=∠，AB ∴是CD 的垂直平分线，AC AD ∴=，OC OB = ，点E 是OB 的中点，∴点C 在线段OB 的垂直平分线上，1122OE BE OB OC ===，Rt COE ∴ 中,1cos 2OE COE OC ∠==，即60COE ∠=︒，BC BC =，1302BAD BAC COE ∴∠=∠=∠=︒，即60CAD BAC BAD ∠=∠+∠=︒ACD ∴是等边三角形．【小问2详解】解：由()1得，ACD 是等边三角形，60ADC ∴∠=︒，F 是AC 的中点，12CF AC ∴=，1302GAC ADC BAC ∴∠=∠=︒=∠，CD AB ⊥ ，CG AF ⊥，90AEC AGC ∴∠=∠=︒，在AEC 和AGC 中，AEC AGC GAC EAC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEC AGC AAS ∴ ≌，CG CE ∴=，O 半径为2，且点E 是OB 中点，2OC OB ∴==，1OE =，Rt COE ∴中，CE ===，CG CE ∴==【点睛】本题考查的知识点是垂径定理、圆周角定理、垂直平分线的性质、锐角三角函数、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理并能灵活运用特殊三角函数值．25. 学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A 和场景B 下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x 分钟时，在场景A ，B 中的剩余质量分别为1y ，2y （单位：克）．下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：记录1y ，2y 与x 的几组对应值如下：x （分钟）05101520…1y （克）2523.52014.57…2y （克）252015105…（1）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出上表中各组数值所对应的点()1,x y ，()2,x y ，并画出函数1y ，2y 的图象；（2）进一步探究发现，场景A 的图象是抛物线的一部分，1y 与x 之间近似满足二次函数：210.04y x bx c =-++．场景B 的图象是直线的一部分，2y 与x 之间近似满足一次函数2y kx c =+（0k ≠）．则b = ，c = ，k = ；（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A ，B 中发挥作用的时间分别为A x ，B x ，则A x B x （填“>”，“=”或“<”）．【答案】（1）见详解 （2）0.1b =-，25c =，1k =-（3）>【分析】本题主要考查了一次函数、二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键．（1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解；（2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可；（3）依据题意，分别求出当4y =时x 的值，即可得出答案．【小问1详解】解：（1）由题意，作图如下．【小问2详解】解：由题意，场景A 的图象是抛物线的一部分，1y 与x 之间近似满足函数关系210.04y x bx c =-++．又点(0,25)，(10,20)在函数图象上，∴2250.04101020c b c =⎧⎨-⨯++=⎩．解得：0.125b c =-⎧⎨=⎩．∴场景B 函数关系式为210.040.125y x x =--+．对于场景B 的图象是直线的一部分，2y 与x 之间近似满足函数关系2y kx c =+．又(0,25)，(10,15)在函数图象上，∴251015c k c =⎧⎨+=⎩．解得：251c k =⎧⎨=-⎩．∴场景B 函数关系式为225y x =-+．∴0.1b =-，25c =，1k =-．【小问3详解】解：由题意，当4y =时，场景A 中，20.040.1254x x --+=，解得：1221.7x x =≈=，（舍），即：21.7A x ≈，场景B 中，425B x =-+，解得：21B x =，A B x x ∴>．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线22y ax ax c =-+（0a >）上任意两点．（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若11x a =+，22x a =+，比较1y 与2y 的大小，并说明理由；（3）若对于11m x m <<+，212m x m +<<+，总有12y y <，求m 的取值范围．【答案】（1）抛物线的对称轴为直线1x =（2）12y y <（3）1122m -<<【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．（1）利用抛物线对称轴公式求出即可；（2）根据条件点M 、N 都在对称轴右侧，根据函数增减性进行解答即可；（3）根据二次函数图象上点的坐标特征，分析MN 中点坐标与对称轴的关系得到不等式，解不等式即可得到m 的取值范围．【小问1详解】解：抛物线22y ax ax c =-+（0a >）的对称轴为：212a x a -=-=，∴抛物线的对称轴为直线1x =；【小问2详解】∵0a >，抛物线开口向上，对称轴为直线1x =，121,2x a x a =+=+，∴()11,M x y ，()22,N x y 都在对称轴右侧，∵当1x >时，y 随x 的增大而增大，且12x x <，∴12y y <；【小问3详解】∵11m x m <<+，212m x m +<<+，∴122123222x x m m +++<< ，∵12,0y y a <>，∴()11,M x y 距离对称轴更近，12x x <，则MN 的中点在对称轴的右侧，∴2112m +<，2312m +>，解得：1122m -<<．27. 如图，在ABC 中，AB AC =，()24590BAC αα∠=︒<<︒，D 是BC 的中点，E 是BD 的中点，连接AE ．将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF AE ⊥交射线AM 于点F ．（1）①依题意补全图形；②求证：B AFE ∠=∠；（2）连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）①见解析；②见解析（2）CF DF=【分析】（1）①根据题意画出图形即可求解；②连接AD ，则AD BC ⊥于点D ，AD 平分BAC ∠，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出BAD ∠=α，90B α∠=︒-，根据90AEF ∠=︒，得出90AFE α∠=︒-，则B AFE ∠=∠；（2）延长FE 至点H ，使得EH EF =，连接,BH AH ，CF ，倍长中线法证明HBE FDE ≌，进而证明AHB AFC ≌，即可得证．【小问1详解】解：①如图所示，②连接AD ，∵AB AC =，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥于点D ，AD 平分BAC ∠，∵()24590BAC αα∠=︒<<︒∴BAD ∠=α，90B α∠=︒-，∵EF AE ⊥，∴90AEF ∠=︒，90AFE α∠=︒-，∴B AFE ∠=∠；【小问2详解】CF DF =；证明如下，延长FE 至点H ，使得EH EF =，连接,BH AH ，CF ，∵E 为BD 的中点，E 为HF 的中点∴,EH EF EB ED ==，又HEB FED ∠=∠，∴HBE FDE≌()SAS ，∴BH FD =，∵AE HF ⊥，EH EF =，∴AHF △是等腰三角形，则AH AF =，HAE FAE α∠=∠=，，∵2BAC HAF α∠=∠=，∴HAF BAF BAC BAF ∠-∠=∠-∠，即BAH CAF ∠=∠，∴AHB AFC≌()SAS ，∴CF BH =，∴CF FD =．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．28. 在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，P 是O 外一点，给出如下的定义：若在O 上存在一点T ，使得点P 关于某条过点T 的直线对称后的点Q 在O 上，则称Q 为点P 关于O 的关联点．（1）当点P 在直线2y x =上时，①若点()1,2P ，在点1Q ⎛⎝⎭，()20,1Q ，()31,0Q 中，点P 关于O 的关联点是______；②若P 关于O 的关联点Q 存在，求点P 的横坐标p 的取值范围；（2）已知点32,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，动点M 满足1AM ≤，若M 关于O 的关联点N 存在，直接写出MN 的取值范围．【答案】（1）①1Q ，2Q ；②p ≤≤（2）存在，14MN ≤≤【分析】（1）①根据新定义，画出图形，进而即可求解；②设2y x =与O 交于点M N ，，过点,N P 分别作x 轴的垂线，垂足分别为,A B ，根据勾股定理得出221x y +=，联立直线解析式，得出交点坐标，进而根据平行线分线段成比例得出p =同理可得p 的最小值为，即可求解；（2）依题意，关于O 的关联点在半径为3的圆内，进而根据点与圆的位置关系，求得MN 的最值，即可求解．【小问1详解】解：如图所示，1PQ 连线的中点在O 的内部， 2PQ 的中点的纵坐标为1，则点2,P Q 关于1y =对称点P 关于O 的关联点是1Q ，2Q ，故答案为：1Q ，2Q ．②如图所示，设2y x =与O 交于点M N ，，过点,N P 分别作x 轴的垂线，垂足分别为,A B ，∵设O 上的点的坐标为(),x y ，则221x y +=，联立2212x y y x⎧+=⎨=⎩解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当P 点的对称点为M 时，点P 的横坐标最大，∵1,123ON OP ==+=,NA PB ∥，∴NPx ON OP x =,∴p =同理可得p的最小值为∴p ≤≤【小问2详解】解：依题意，关于O 的关联点在半径为3的圆内，如图所示，∵1AM ≤，则M 在半径为1的A 上以及圆内，M 关于O 的关联点N∴MN 的最大值为314OM ON +=+=，如图所示，当M 在线段OA 上时，MN 取最小值，∵52OA ==∴511122MT OM OT OA AM OT =-=--=--=∴21MN MT ==∴14MN ≤≤【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，平行线分线段成比例，解一元二次方程，点与圆的位置关系求最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．。

北京市清华大学附属中学2023-2024学年九年级下学期月考数学考试试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图是某几何体的视图，该几何体是（ ）A ．圆柱B ．球C ．三棱柱D ．长方体2．故宫又称紫禁城，位于北京中轴线的中心，占地面积高达720000平方米，在世界宫殿建筑群中面最大．请将720000用科学记数法表示应为（ ）A ．50.7210⨯B ．57210⨯.C ．47.210⨯D ．37210⨯3．实数,a b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A ．2a >−B ．a b >C ．0a b +>D ．0b a −<4．将一副三角板（30,45A E ∠︒∠︒＝＝）按如图所示方式摆放，使得//BA EF ，则AOF ∠等于（ ）A ．75︒B ．90︒C ．105︒D ．115︒5．如果2220x x +−=，那么代数式2()21()x x x +++的值是（ ）A ．－5B ．5C ．3D ．－36．实数a b ，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A ．2a −＜B ．1b ＜C ．a b ＞D ．a b −＞7．如图，平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，AC 与BE 交于点F ．则△EFC 与△BF A 的面积比为（ ）A ．1B ．1：2C ．1：4D ．1：88．某函数的图象如图所示，当0x a ≤≤时，在该函数图象上可找到n 个不同的点()11,x y ，()22,x y ，……，(),nnx y ，使得1212nny y y xx x ===，则n 的取值不可能为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题 9．若代数式31x +有意义，则实数x 的取值范围是 ． 10．分解因式：2428a ab −= ．11．把“不相等的角不是对顶角”改写成“如果…那么…”的形式是 ． 12．数据组：28，37，32，37，35的中位数是 ．13．如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，以顶点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 ．14．如图，已知双曲线(0)ky k x=>经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB相交于点C，若OBC△的面积为6，则k= .15．小林、小方和小亮三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小亮的得分是．16．小夏同学从家到学校有A，B两条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：据此估计，早高峰期间，乘坐B线路“用时不超过35分钟”的概率为，若要在40分钟之内到达学校，应尽量选择乘坐（填A或B）线路．三、解答题17316tan3012−⎛⎫︒−−− ⎪⎝⎭．18．解不等式组：()41710863x xxx⎧+≤+⎪⎨−−<⎪⎩．19．下面是晓彤在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明． 求证：BAD BCD ∠=∠，ABC ∠方法一：20．关于x 的方程22210x x m −+−=有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根． 21．如图，在菱形ABCD 中，O 为AC ，BD 的交点，P ，M ，N 分别为CD ，OD ，OC 的中点．(1)求证：四边形OMPN 是矩形；(2)连接AP ，若4AB =，60BAD ∠=，求AP 的长．22．已知一次函数y kx b =+的图像经过()1,2，()3,4−两点且与y 轴交于A 点． (1)求函数解析式及点A 的坐标；(2)当1x <时，对于x 的每一个值，函数y mx =的值都小于函数y kx b =+的值，求m 的取值范围．23．某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价1y （元）与销售时间第x 月之间存在如图1（一条线段）所示的变化趋势，每千克成本2y （元）与销售时间第x 月之间存在如图2（一段抛物线）所示的变化趋势．(1)分别求函数1y 和2y 的表达式；(2)销售这种水果，第几月每千克所获得利润最大？最大利润是多少？ 24．抛物线23y ax bx =++经过点A 、B 、C ，已知(1,0)A −，(3,0)B ． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴平行线，交抛物线于点D ，当BDC 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，延长DP 交x 轴于点F ，(,0)M m 是x 轴上一动点，N 是线段DF 上一点，当BDC 的面积最大时，若90MNC ∠=︒，请直接写出实数m 的取值范围．25．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，过点D 作DH CB ⊥交CB 的延长线于点H ，点F 是DH 延长线上一点，CF CD =．(1)求证：CF 是O 的切线； (2)若1tan 2DCB ∠=，8=CF ，求O 半径的长．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()220y ax x c a =−+≠与y 轴交于点A ，将点A 向右平移4个单位长度，得到点B ．(1)若4c =，点()2,4C −在抛物线上，求抛物线的解析式及对称轴； (2)若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图像，求a 的取值范围．27．如图，在平面角坐标系中，点A 在x 轴的正半轴上，点B的坐标(0−，，过原点的直线OC 与直线AB 交于304C COA OCA OBA AB ∠∠∠===︒=，，(1)点C 坐标为______，OC =______，BOC 的面积为______，OAC OABS S=______；(2)点C 关于x 轴的对称点'C 的坐标为______；(3)过O 点作OE OC ⊥交AB 于E 点，则OAE △的形状为______，请说明理由； (4)在坐标平面内是否存在点F 使AOF 和AOB 全等，若存在，请直接写出F 坐标，若不存在，请说明理由28．已知，四边形ABCD 为O 的内接四边形，BD 、AC 相交于点E ，AB AC =． （1）如图1，求证：2180ADB CDB ∠+∠=︒；（2）如图2，过点C 作CF AB ⊥于点F ，交BD 于点G ，当45DBC ∠=︒时，求证：CE CG =； （3）如图3，在（2）的条件下，连接AO 并延长交BD 于点H ，当AE CE =，3HG =时，求OH 的长．。