2016-2017学年安徽省铜陵市高一(上)期末数学试卷(解析版)
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2016-2017学年安徽省铜陵市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5.00分）已知集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∩B=（）A．{1}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}2．（5.00分）函数f（x）=log2（x﹣1）的零点是（）A．（1，0） B．（2，0） C．1 D．23．（5.00分）函数f（x）=的定义域为（）A．（1，2） B．[1，2]C．（1，4） D．[2，4]4．（5.00分）sin2010°的值等于（）A．B．C．﹣ D．﹣5．（5.00分）已知a=log27，b=log20.7，c=20.7，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c6．（5.00分）如果点P（sin2θ，2cosθ）位于第三象限，那么角θ所在的象限是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角7．（5.00分）已知函数f（x）=，则f（f（））=（）A．B．e C．﹣ D．﹣e8．（5.00分）已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在区间[2，+∞）上递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣4，4）C．（﹣4，4]D．[﹣4，+∞）9．（5.00分）在△ABC中，cosA=，且sinB=，则cosC=（）A．﹣B．C．D．或10．（5.00分）实数x，y满足|x|﹣log2=0，则y关于x的函数的图象形状大致是（）A． B．C．D．11．（5.00分）已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+2|，则下列坐标表示的点一定在函数f（x）图象上的是（）A．（a，﹣f（a））B．（a，﹣f（﹣a））C．（﹣a，﹣f（a））D．（﹣a，f （a））12．（5.00分）设函数f（x）=，若[x]表示不超过x的最大整数，则函数y=[f （x）﹣]+[f（x）+]的值域是（）A．{0，﹣1}B．{0，1}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1}二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5.00分）函数y=x﹣log2（x+2）在[﹣1，1]上的最大值为．14．（5.00分）不等式的解集是．15．（5.00分）已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的余弦值是．16．（5.00分）函数f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+1008（a，b，α，β均为非零实数），若f（2016）=16，则f（2017）=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10.00分）设集合A={x|x2﹣3x+a=0}，B={x|x2+b=0}，若A∩B={2}，求A ∪B．18．（12.00分）（1）已知y=sinx+cosx，x∈R，求y的范围；（2）已知y=sinx+cosx﹣sin2x，x∈R，求y的范围．19．（12.00分）已知函数f（x）对任意的x，y∈R，总有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）若x＜0时恒有f（x）＞0，判断函数f（x）的单调性并证明．20．（12.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）最大值为2，周期为π．（1）求实数A，ω的值；（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．21．（12.00分）设f（x）=x2﹣ax+2，当x∈（2，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．22．（12.00分）已知集合A是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体．①函数f（x）在其定义域上是单调函数；②f（x）的定义域内存在区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域为[]．（1）判断f（x）=x3是否属于M，若是，求出所有满足②的区间[a，b]，若不是，说明理由；（2）若是否存在实数t，使得h（x）=，若存在，求实数t的取值范围；若不存在，说明理由．2016-2017学年安徽省铜陵市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5.00分）已知集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∩B=（）A．{1}B．{0，1}C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}【解答】解：∵A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}={0，1}，∴A∩B={﹣1，0，1，2，3}∩{0，1}={0，1}．故选：B．2．（5.00分）函数f（x）=log2（x﹣1）的零点是（）A．（1，0） B．（2，0） C．1 D．2【解答】解：令log2（x﹣1）=0解得：x=2所以函数的零点为：2故选：D．3．（5.00分）函数f（x）=的定义域为（）A．（1，2） B．[1，2]C．（1，4） D．[2，4]【解答】解：函数f（x）=有意义，可得x﹣1＞0且4﹣x2＞0，即x＞1且﹣2＜x＜2，即有1＜x＜2，则定义域为（1，2）．故选：A．4．（5.00分）sin2010°的值等于（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：sin2010°=sin（360°×6﹣150°）=sin（﹣150°）=﹣sin150°=﹣．故选：C．5．（5.00分）已知a=log27，b=log20.7，c=20.7，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c【解答】解：∵a=log27＞2，b=log20.7＜0，c=20.7∈（1，2），∴a＞c＞b，故选：C．6．（5.00分）如果点P（sin2θ，2cosθ）位于第三象限，那么角θ所在的象限是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解答】解：∵点P（sin2θ，2cosθ）位于第三象限，∴sin2θ=2sinθcosθ＜0，2cosθ＜0，∴sinθ＞0，cosθ＜0，∴θ是第二象限的角．故选：B．7．（5.00分）已知函数f（x）=，则f（f（））=（）A．B．e C．﹣ D．﹣e【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（）=ln=﹣1，∴f[f（）]=f（﹣1）=，故选：A．8．（5.00分）已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在区间[2，+∞）上递增，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4）B．（﹣4，4）C．（﹣4，4]D．[﹣4，+∞）【解答】解：令t（x）=x2﹣ax+3a，由题意知：t（x）在区间[2，+∞）上单调递增且t（x）＞0，，又a∈R+解得：﹣4＜a≤4则实数a的取值范围是（﹣4，4]．故选：C．9．（5.00分）在△ABC中，cosA=，且sinB=，则cosC=（）A．﹣B．C．D．或【解答】解：在△ABC中，∵cosA=＞0，A为三角形的内角，∴A为锐角，可得：sinA==，又∵sinB=，B为三角形的内角，∴cosB=±=±，则cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣×（±）+×=或．故选：D．10．（5.00分）实数x，y满足|x|﹣log2=0，则y关于x的函数的图象形状大致是（）A． B．C．D．【解答】解：∵实数x，y满足|x|﹣log2=0，∴log2=|x|，∴=2|x|，∴y=（）|x|=，故选：B．11．（5.00分）已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+2|，则下列坐标表示的点一定在函数f（x）图象上的是（）A．（a，﹣f（a））B．（a，﹣f（﹣a））C．（﹣a，﹣f（a））D．（﹣a，f （a））【解答】解：因为f（﹣a）=|﹣a+2|+|﹣a﹣2|=|a+2|+|a﹣2|=f（a），所以D正确；故选：D．12．（5.00分）设函数f（x）=，若[x]表示不超过x的最大整数，则函数y=[f （x）﹣]+[f（x）+]的值域是（）A．{0，﹣1}B．{0，1}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1}【解答】解：函数f（x）==，当x＞0时，2＜4x+1，＜f（x）＜1，则函数y=[f（x）﹣]+[f（x）+]，此时y=1；当x＜0时，1＜4x+1＜2，0＜f（x）＜，则函数y=[f（x）﹣]+[f（x）+]，此时y=0；当=0时，4x+1=2，f（x）=，则函数y=[f（x）﹣]+[f（x）+]，此时y=1．f（x）的值域是{0，1}．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5.00分）函数y=x﹣log2（x+2）在[﹣1，1]上的最大值为3．【解答】解：因为单调递减，y=log2（x+2）单调递增，所以函数y=﹣log2（x+2）在区间[﹣1，1]上是单调递减函数，所以函数的最大值是f（﹣1）=3．故答案为：3．14．（5.00分）不等式的解集是．【解答】解：不等式即cosx≤﹣，∴2kπ+≤x≤2kπ+，k ∈z．故不等式的解集为，故答案为．15．（5.00分）已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的余弦值是．【解答】解：设底角为a，则顶角为π﹣2a，由已知cosa=，又sin2α+cos2α=1，得sina=（由于a＜舍去sina=﹣），∴sin（π﹣2a）=sin2a=2sinacosa=．∴cos（π﹣2a）=．则顶角的余弦值是：．故答案为：．16．（5.00分）函数f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+1008（a，b，α，β均为非零实数），若f（2016）=16，则f（2017）=2000．【解答】解：∵f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+1008，其中a，b，α，β均为非零实数，若f（2016）=asin（2016π+α）+bcos（2016π+β）+1008=asinα+bcosβ+1008=16，∴asinα+bcosβ=﹣992，则f （2017）=asin（2017π+α）+bcos（2017π+β）+1008=﹣asinα﹣bcosβ+1008=2000．故答案为：2000．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10.00分）设集合A={x|x2﹣3x+a=0}，B={x|x2+b=0}，若A∩B={2}，求A ∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣3x+a=0}，B={x|x2+b=0}，A∩B={2}，∴，解得a=2，b=﹣4，∴A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，B={x|x2﹣4=0}={﹣2，2}，∴A∪B={﹣2，1，2}．18．（12.00分）（1）已知y=sinx+cosx，x∈R，求y的范围；（2）已知y=sinx+cosx﹣sin2x，x∈R，求y的范围．【解答】解：（1）∵y=sinx+cosx==．∴y∈[]；（2）令sinx+cosx=t（），∴sin2x+2sinxcosx+cos2x=t2，则sin2x=t2﹣1，∴y=sinx+cosx﹣sin2x=t﹣t2+1=﹣t2+t+1，（），对称轴方程为t=，∴当t=时，；当t=﹣时，．∴y∈[]．19．（12.00分）已知函数f（x）对任意的x，y∈R，总有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）若x＜0时恒有f（x）＞0，判断函数f（x）的单调性并证明．【解答】解：（1）函数f（x）为R上的奇函数．∵函数f（x）对任意的x，y∈R，总有f（x+y）=f（x）+f（y）．∴令y=x=0，可得f（0+0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，令y=﹣x，可得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），化为f（﹣x）=﹣f（x），因此函数f（x）为R上的奇函数．（2）函数f（x）在R上单调递减．下面给出证明：∀x1＜x2，则x1﹣x2＜0，f（x1﹣x2）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=f（x1﹣x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）在R上单调递减．20．（12.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）最大值为2，周期为π．（1）求实数A，ω的值；（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）函数f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0）最大值为2，周期为π．∵sin（ωx+）的最大值为1，∴A=2．周期T=π=，可得ω=2，∴f（x）=2sin（2x+）．（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+）．∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，当2x+=时，f（x）取得最大值为2．当2x+=时，f（x）取得最小值为故得当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域为[，2]．21．（12.00分）设f（x）=x2﹣ax+2，当x∈（2，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：由f（x）＞0得f（x）=x2﹣ax+2＞0，即ax＜2+x2，∵x∈（2，+∞），∴a＜x+，令g（x）=x+，（x＞2），则g′（x）=1﹣=＞0，故g（x）在（2，+∞）递增，故g（x）＞g（2）=3，故a≤3．22．（12.00分）已知集合A是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体．①函数f（x）在其定义域上是单调函数；②f（x）的定义域内存在区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域为[]．（1）判断f（x）=x3是否属于M，若是，求出所有满足②的区间[a，b]，若不是，说明理由；（2）若是否存在实数t，使得h（x）=，若存在，求实数t的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）g（x）=x3在R上为增函数，满足性质①；解x3=得，x=0，或x=±；∴满足性质②；∴g（x）属于M，且满足②的区间[a，b]为[﹣，0]，[0，]，或[﹣，]；（2）函数h（x）的定义域是[1，+∞），当x＞1时，h′（x）=＞0，故函数h（x）在[1，+∞）上是增函数，若h（x）∈M，则存在a，b∈[1，+∞），且a＜b，使得h（a）=，h（b）=，即a﹣2﹣2t=0，且b﹣2﹣2t=0，令=y（x≥1），则y≥0，于是关于y的方程y2﹣2y+1﹣2t=0在[0，+∞）上有两个不等的实根，记u（y）=y2﹣2y+1﹣2t，∴，∴t∈（0，]．。
