2019~2020厦门市高一上学期期末考试数学试题及答案

2019-2020学年度厦门市第一学期高一年级质量检测数学试题满分为150分,考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.全部答案答在答题卡上,答在本试卷上无效。

一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{1,2,3,4},B＝{x|x2﹣x﹣6＜0},则A∩B＝()A.{2}B.{1,2}C.{2,3}D.{1,2,3}2.已知函数y＝f(x)定义域是[﹣2,3],则y＝f(2x)的定义域是()A.[﹣2,3]B.C.[﹣3,2]D.[﹣4,6]3.若＝4,则tanα等于()A. B. C.3 D.74.图中曲线是幂函数y＝x n在第一象限的图象.已知n取±2,±四个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为()A.﹣2,﹣,,2B.2,,﹣,﹣2C.﹣,﹣2,2,D.2,,﹣2,﹣5.已知a＝log0.36,b＝log26,()A.b﹣2a＞ab＞b+2aB.b﹣2a＞b+2a＞abC.b+2a＞b﹣2a＞abD.ab＞b﹣2a＞b+2a6.已知向量、的夹角为120°,,,则在方向上的投影为()A. B. C.4 D.﹣47.函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜)的最小正周期为π,其图象向左平移个单位后关于原点对称,则函数f(x)在[0,]上的最小值为()A.﹣B.﹣C.D.8.定义在R上的函数f(x)满足：f(x﹣2)的对称轴为x＝2,f(x+1)＝(f(x)≠0),且f(x)在区间(1,2)上单调递增,已知α,β是钝角三角形中的两锐角,则f(sinα)和f(cosβ)的大小关系是()A.f(sinα)＞f(cosβ)B.f(sinα)＜f(cosβ)C.f(sinα)＝f(cosβ)D.以上情况均有可能二、多选题：本大题共2个小题,每小题5分,共10分。

2019-2020学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设A ＝{x |2x ＞1}，B ＝{x |﹣2≤x ≤2}，则A ∪B ＝（ ） A ．[0，2]B ．（0，2]C ．（0，+∞）D ．[﹣2，+∞）2．（5分）已知向量a →=（1，2），a →+b →=（m ，4），若a →⊥b →，则m ＝（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．2D ．33．（5分）已知扇形的圆心角为2π3，面积为4π3cm 2，则扇形的半径为（ ） A ．12cmB ．1cmC ．2cmD ．4cm4．（5分）已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50N ，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（ ） A ．100NB ．50√3NC ．50ND ．50√33N5．（5分）已知a ＝0.20.3，2b ＝0.3，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＞b ＞aB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b6．（5分）已知点（m ，n ）在函数y ＝log 2x 的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是（ ） A ．（m 2，n 2）B ．（2m ，2n ）C ．（m +2，n +1）D ．(m2，n −1)7．（5分）已知函数f （x ）＝sin x +|sin x |，则下列结论正确的是（ ） A ．f （x +π）＝f （x ）B ．f （x ）的值域为[0，1]C ．f （x ）在[π2，π]上单调递减D ．f （x ）的图象关于点（π，0）对称8．（5分）若函数f （x ）＝x 2+a |x ﹣2|在（0，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣4，0] B ．（﹣∞，0]C ．（﹣∞，﹣4]D ．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．（5分）如图，某池塘里的浮萍面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）的关系式为y ＝ka t （k ∈R ，且k ≠0；a ＞0，且a ≠1）．则下列说法正确的是（ ）A ．浮萍每月增加的面积都相等B ．第6个月时，浮萍的面积会超过30m 2C ．浮萍面积从2m 2蔓延到64m 2只需经过5个月D ．若浮萍面积蔓延到4m 2，6m 2，9m 2所经过的时间分别为t 1，t 2，t 3，则t 1+t 3＝2t 2 10．（5分）已知函f （x ）＝ln （√x 2+1+1），则下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）是偶函数 B ．f （x ）有最小值 C ．f （x +2）＞f （x +1）D ．方程f （x ）+|x |﹣3＝0有两个不相等的实数根E ．方程f （x ）+|x |﹣3＝0有两个不相等的实数根 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.11．（5分）如图，全集U ＝N *，A 是小于10的所有偶数组成的集合B ＝{x ∈N *|x ≥5}，则图中阴影部分表示的集合为 ．12．（5分）已知函数y ＝a x ﹣2+3（a ＞0，且a ≠1）的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数y ＝f （x ）的图象上，则f （x ）＝ ．13．（5分）已知tan α＝3，π＜α＜3π2，则cos α﹣sin α＝ ．14．（5分）在四边形ABCD 中，若AC →+CB →+CD →=0→，且|AB →|=|AC →|=|AD →|＝4，则△BCD 的面积为 ．15．（5分）若函数f(x)=1x−1，g(x)=2cos(π3x +π6)，则f （x ）+f （2﹣x ）＝ ：当x ∈[﹣7，7]时，方程f （x ）＝g （x ）的所有实数根的和为 ．（本题第一空2分，第二空3分）16．（5分）高斯是德国著名的数学家用其名字命名的“高斯函数”为y ＝[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数．例如[﹣2.1]＝﹣3，[3.1]＝3．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|（3﹣[x ]），x ∈[0，2），若f(x)=52，则x ＝ ；不等式f （x ）≤x 的解集为 ． 四、解答题：本题共6小题共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(√32，12)为单位圆上一点，射线OA 绕点O按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为y ＝f （θ）． （1）求函数y ＝f （θ）的解析式，并求f(π2)+f(2π3)； （2）若f(θ)=13，求cos(θ−π3)−sin(θ+7π6)的值．18．（12分）设函数f(x)=x +1x ，x ∈（1，+∞）． （1）判断函数f （x ）的单调性，并用定义证明；（2）若关于x 的方程x 2﹣ax +1＝0在[2，3]上有解，求实数a 的取值范围．19．（12分）如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，BC ＝1，AD ＝3，△ABC 为等边三角形，E 是CD 的中点设AB →=a →，AD →=b →． （1）用a →，b →表示AC →，AE →； （2）求AE →与AB →夹角的余弦值．20．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示．。

2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．设A＝{x|2x＞1}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∪B＝（）A．[0，2] B．（0，2] C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）2．已知向量＝（1，2），+＝（m，4），若⊥，则m＝（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．33．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为（）A．B．1cm C．2cm D．4cm4．已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50N，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（）A．100N B．C．50N D．5．已知a＝0.20.3，2b＝0.3，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞c＞b6．已知点（m，n）在函数y＝log2x的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是（）A．（m2，n2）B．（2m，2n）C．（m+2，n+1）D．7．已知函数f（x）＝sin x+|sin x|，则下列结论正确的是（）A．f（x+π）＝f（x）B．f（x）的值域为[0，1]C．f（x）在上单调递减D．f（x）的图象关于点（π，0）对称8．若函数f（x）＝x2+a|x﹣2|在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，0] B．（﹣∞，0]C．（﹣∞，﹣4] D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．如图，某池塘里的浮萍面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系式为y＝ka t（k ∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1）．则下列说法正确的是（）A．浮萍每月增加的面积都相等B．第6个月时，浮萍的面积会超过30m2C．浮萍面积从2m2蔓延到64m2只需经过5个月D．若浮萍面积蔓延到4m2，6m2，9m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t3＝2t2 10．已知函f（x）＝ln（+1），则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）有最小值C．f（x+2）＞f（x+1）D．方程f（x）+|x|﹣3＝0有两个不相等的实数根E．方程f（x）+|x|﹣3＝0有两个不相等的实数根三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.11．如图，全集U＝N*，A是小于10的所有偶数组成的集合B＝{x∈N*|x≥5}，则图中阴影部分表示的集合为．12．已知函数y＝a x﹣2+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，且点A在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（x）＝．13．已知tanα＝3，π＜α＜，则cosα﹣sinα＝．14．在四边形ABCD中，若＝，且||＝4，则△BCD的面积为．15．若函数，，则f（x）+f（2﹣x）＝：当x∈[﹣7，7]时，方程f（x）＝g（x）的所有实数根的和为．（本题第一空2分，第二空3分）16．高斯是德国著名的数学家用其名字命名的“高斯函数”为y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数．例如[﹣2.1]＝﹣3，[3.1]＝3．已知函数f（x）＝|x﹣1|（3﹣[x]），x ∈[0，2），若，则x＝；不等式f（x）≤x的解集为．四、解答题：本题共6小题共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17．如图，在平面直角坐标系xOy中，为单位圆上一点，射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于θ的函数为y＝f（θ）．（1）求函数y＝f（θ）的解析式，并求；（2）若，求的值．18．设函数，x∈（1，+∞）．（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；（2）若关于x的方程x2﹣ax+1＝0在[2，3]上有解，求实数a的取值范围．19．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝1，AD＝3，△ABC为等边三角形，E是CD的中点设＝，＝．（1）用，表示，；（2）求与夹角的余弦值．20．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式，并写出函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象．若函数g（x）的图象关于直线对称，求函数g（x）在区间上的值域．21．2019年是中华人民共和国成立70周年.70年披荆斩棘，70年砥砺奋进，70年风雨兼程70年沧桑巨变，勤劳勇敢的中国人用自己的双手创造了一项项辉煌的成绩，取得了举世瞩目的成就为此，某市举行了“辉煌70年”摄影展和征文比赛，计划将两类获奖作品分别制作成纪念画册和纪念书刊某公司接到制作300本画册和900本书刊的订单已知该公司有50位工人，每位工人在1小时内可以制作完3本画册或5本书刊现将全部工人分为两组，一组制作画册，另一组制作书刊，并同时开始工作．设制作画册的工人有x位，制作完画册所需时间为g（x）（小时），制作完书刊所需时间为h（x）（小时）．（1）试比较g（x）与h（x）的大小，并写出完成订单所需时间f（x）（小时）的表达式；（2）如何分组才能使完成订单所需的时间最短？22．已知函数f（x）＝2x﹣2﹣x，g（x）＝log2x．（1）对任意的x∈[0，1]，f（x）＞g（k）恒成立，求实数k的取值范围；（2）设，证明：h（x）有且只有一个零点x0，且．参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设A＝{x|2x＞1}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∪B＝（）A．[0，2] B．（0，2] C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∪B．解：∵A＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，∴A∪B＝{x|x≥﹣2}＝[﹣2，+∞）．故选：D．2．已知向量＝（1，2），+＝（m，4），若⊥，则m＝（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得m的值．解：∵向量＝（1，2），+＝（m，4），∴＝（m﹣1，2），若⊥，则m﹣1+2×2＝0，∴m＝﹣3，故选：A．3．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径为（）A．B．1cm C．2cm D．4cm【分析】利用扇形的面积即可求出扇形的半径．解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S，可得S＝lr＝r2α．则：r2＝＝＝4．解得r＝2，故选：C．4．已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50N，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（）A．100N B．C．50N D．【分析】如图所示，可得||＝||＝•tan30°．解：如图所示，||＝||＝•tan30°＝N．故选：D．5．已知a＝0.20.3，2b＝0.3，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞c＞b【分析】利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较a，b，c与0和1的大小得答案．解：0＜a＝0.20.3＜0.20＝1，由2b＝0.3，得b＝log20.3＜log21＝0，c＝log0.30.2＞log0.30.3＝1，∴c＞a＞b．故选：B．6．已知点（m，n）在函数y＝log2x的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是（）A．（m2，n2）B．（2m，2n）C．（m+2，n+1）D．【分析】把点（m，n）代入函数解析式得log2m＝n，再利用log2＝n﹣1即可判断出点也在函数图象上．解：∵点（m，n）在函数y＝log2x的图象上，∴y＝log2m＝n，若x＝，则log2x＝log2＝log2m﹣1＝n﹣1，∴点（，n﹣1）也在该函数的图象上，故选：D．7．已知函数f（x）＝sin x+|sin x|，则下列结论正确的是（）A．f（x+π）＝f（x）B．f（x）的值域为[0，1]C．f（x）在上单调递减D．f（x）的图象关于点（π，0）对称【分析】利用分段函数化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．解：函数f（x）＝sin x+|sin x|＝，故函数的周期为2π，即f（x+2π）＝f（x），故排除A；显然，函数的值域为[0，2]，故排除B；在上，函数t＝sin x单调递减，故函数y＝2sin x单调递减，故C正确；根据故函数f（x）的图象特征，可得它的图象不关于点（π，0）对称，故排除D，故选：C．8．若函数f（x）＝x2+a|x﹣2|在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，0] B．（﹣∞，0]C．（﹣∞，﹣4] D．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）【分析】先通过讨论x的范围，将f（x）写出分段函数的形式，结合二次函数的性质，得到不等式组，解出即可．解：f（x）＝x2+a|x﹣2|＝，要使f（x）在[0，+∞）上单调递增，则：，解得﹣4≤a≤0；∴实数a的取值范围是[﹣4，0]．故选：A．二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．如图，某池塘里的浮萍面积y（单位：m2）与时间t（单位：月）的关系式为y＝ka t（k ∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1）．则下列说法正确的是（）A．浮萍每月增加的面积都相等B．第6个月时，浮萍的面积会超过30m2C．浮萍面积从2m2蔓延到64m2只需经过5个月D．若浮萍面积蔓延到4m2，6m2，9m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t3＝2t2【分析】函数关系式：y＝×2t＝2t﹣1，即可判断．解：由题意可知，函数过点（1，1）和点（3，4），代入函数关系式：y＝ka t（k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1），得：，解得：，∴函数关系式：y＝×2t＝2t﹣1，∵函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不相等，故选项A错误，当x＝6时，y＝25＝32，浮萍的面积超过了30m2，故选项B正确，令y＝2得：t＝2；令y＝64得：t＝7，所以浮萍面积从2m2增加到64m2需要5个月，故选项C正确，令y＝4得：t1＝3；令y＝6得：t2＝log212；令y＝9得：t3＝log218，∴t1+t2＝3+log212＝log296≠t3，故选项D错误，故选：BC．10．已知函f（x）＝ln（+1），则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）有最小值C．f（x+2）＞f（x+1）D．方程f（x）+|x|﹣3＝0有两个不相等的实数根E．方程f（x）+|x|﹣3＝0有两个不相等的实数根【分析】A：计算f（﹣x），再利用偶函数的定义判断即可；B：，而y＝lnx单调递增，所以函数的最小值为ln2；C：利用“同增异减”的原则判断函数的单调性，由于未已知x的范围，所以无法判断f （x+2）和f（x+1）的大小关系；D：构造函数g（x）＝f（x）+|x|﹣3，当x＞0时，结合函数的单调性和零点存在定理判断零点个数，再由偶函数的性质，得出x＜0时零点的个数，进而得出方程根的个数．解：函数的定义域为R对于A选项，，所以f（x）是偶函数，即A正确；对于B选项，，所以f（x）有最小值ln2，即B 正确；对于C选项，由复合函数单调性的判断原则﹣﹣同增异减，可知：当x＞0时，函数f（x）单调递增；当x＜0时，函数f（x）单调递减；而此选项中，x的范围无法确定，所以无法比较f（x+2）和f（x+1）的大小，即C错误；对于D选项，令g（x）＝f（x）+|x|﹣3，当x＞0时，g（x）＝f（x）+x﹣3，由于g（0）＝f（0）﹣3＝ln2﹣3＜0，g（）＝f（）+＝ln4+＞lne+＝＞0，即由零点存在性定理，以及函数的单调性可知：当x＞0时，g（x）＝0有唯一实根因为函数g（x）为偶函数，所以当x＜0时，g（x）＝0有唯一实根，因此，方程f（x）+|x|﹣3＝0有两个不相等的实数根．所以D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.11．如图，全集U＝N*，A是小于10的所有偶数组成的集合B＝{x∈N*|x≥5}，则图中阴影部分表示的集合为{2，4} ．【分析】先求出集合A，集合∁U B，先利用韦恩图得到图中阴影部分表示的集合为∁U B∩A，从而求出结果．解：由题意可知：A＝{2，4，6，8}，∁U B＝{1，2，3，4}∴图中阴影部分表示的集合为∁U B∩A＝{2，4}，故答案为：{2，4}．12．已知函数y＝a x﹣2+3（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，且点A在幂函数y＝f（x）的图象上，则f（x）＝x2．【分析】令幂指数等于0，求得x、y的值，可得点A的坐标，再利用待定系数法求幂函数的解析式．解：对于函数y＝a x﹣2+3（a＞0，且a≠1），令x﹣2＝0，求得x＝2，y＝4，可得它的的图象恒过定点A（2，4），∵点A在幂函数y＝f（x）的图象上，∴设f（x）＝xα，则有4＝2α，∴α＝2，则f（x）＝x2，故答案为：x2．13．已知tanα＝3，π＜α＜，则cosα﹣sinα＝．【分析】由tanα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα与sinα的值，代入原式计算即可．解：∵tanα＝3，π＜α＜，∴cosα＝﹣＝﹣，sinα＝﹣＝﹣，则cosα﹣sinα＝﹣+＝，故答案为：14．在四边形ABCD中，若＝，且||＝4，则△BCD的面积为4．【分析】由向量的加减运算可得四边形ABCD为平行四边形，再由条件可得四边形ABCD 为边长为4的菱形，由三角形的面积公式计算可得所求值．解：在四边形ABCD中，++＝，即为+＝，即＝，可得四边形ABCD为平行四边形，又，可得四边形ABCD为边长为4的菱形，则△BCD的面积为正△ABC的面积，即为×42＝4，故答案为：4．15．若函数，，则f（x）+f（2﹣x）＝0 ：当x∈[﹣7，7]时，方程f（x）＝g（x）的所有实数根的和为 4 ．（本题第一空2分，第二空3分）【分析】第一空：用2﹣x替换x代入解析式计算即可；第二空：作出图象，数形结合即可．解：f（x）+f（2﹣x）＝+＝+＝0；作出f（x）与g（x）在[﹣7，7]上的图象如图：由图可知，共有4个交点，且两两关于点（1，0）对称，设四个交点的横坐标从小到大为a，b，c，d，则a+d＝2，b+c＝2，故这四个实根的和为2×2＝4，故答案为：0；4．16．高斯是德国著名的数学家用其名字命名的“高斯函数”为y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数．例如[﹣2.1]＝﹣3，[3.1]＝3．已知函数f（x）＝|x﹣1|（3﹣[x]），x ∈[0，2），若，则x＝；不等式f（x）≤x的解集为．【分析】根据题意，化简函数f（x）可得，再分别求解即可．解：当x∈[0，1）时，[x]＝0，f（x）＝3|x﹣1|＝3（1﹣x），令，解得，满足题意；当x∈[1，2）时，[x]＝1，f（x）＝|x﹣1|（3﹣1）＝2（x﹣1），令，解得，不合题意；故若，则；由以上分析可知，，当x∈[0，1）时，令3（1﹣x）≤x，解得；当x∈[1，2）时，令2（x﹣1）≤x，解得1≤x＜2；综上，不等式f（x）≤x的解集为．故答案为：，．四、解答题：本题共6小题共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17．如图，在平面直角坐标系xOy中，为单位圆上一点，射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于θ的函数为y＝f（θ）．（1）求函数y＝f（θ）的解析式，并求；（2）若，求的值．【分析】（1）结合三角函数的定义的正弦定义即可求解；（2）由已知结合诱导公式对所求式子进行化简即可求解解：（1）由题意可得，∠AOx＝，根据三角函数的定义可得，y＝f（θ）＝sin（），因此＝sin+sin＝；（2由），可得sin（）＝，所以＝cos[]+sin（）＝2sin （）＝．18．设函数，x∈（1，+∞）．（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；（2）若关于x的方程x2﹣ax+1＝0在[2，3]上有解，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据对勾函数性质可知其在（1，+∞）上单调递增，取任意1＜x1＜x2，证明f（x1）＜f（x2）即可；（2）分离参数得a＝，结合（1）即可求得a的取值范围．解：（1）f（x）在（1，+∞）上单调递增，取任意1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+﹣＝（x1﹣x2）+＝，因为1＜x1＜x2，所以＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；（2）由方程可得a＝＝x+，根据（1）可知a∈[，]．19．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝1，AD＝3，△ABC为等边三角形，E是CD的中点设＝，＝．（1）用，表示，；（2）求与夹角的余弦值．【分析】（1）如图所示，建立直角坐标系．利用向量坐标运算性质、向量平面基本定理即可得出．（2）利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出．解：（1）如图所示，建立直角坐标系．A（0，0），D（3，0），B（﹣，），C（，），E（，），＝＝（﹣，），＝＝（3，0），设＝（，）＝x（﹣，）+y（3，0），解得x＝1，y＝．∴＝+．同理可得＝+．（2）＝（，），＝（﹣，），•＝﹣+＝﹣．＝＝，＝＝1．设与夹角为θ．∴cosθ＝＝﹣．20．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式，并写出函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象．若函数g（x）的图象关于直线对称，求函数g（x）在区间上的值域．【分析】（1）由函数图象过的两点及最大值求出函数f（x）的解析式，进而求出函数的单调递增区间；（2）由题意求出函数g（x）的解析式换元，画出函数图象，有图象求出函数g（x）在所给区间的值域．解：（1）由图象知：A＝2，且：﹣πω+φ＝﹣π+2kπ，+φ＝2kπ，k∈Z，|φ|＜π，解得：ω＝，φ＝﹣，所以函数f（x）＝2sin（x﹣）；单调递增区间满足+2kπ≤k∈Z，解得：+4kπ≤x≤+4kπ，k∈Z，所以单调递增区间为：[+4kπ，π+4kπ]，k∈Z；（2）由（1）可得：将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得2sin（2x﹣），又左平移个单位长度可得：g（x）＝2sin （2x+2m﹣），由题意可得：2+2m﹣＝+kπ，k∈Z，0，解得：m＝，所以g（x）＝six（2x﹣），∵x∈[，]，∴2x﹣∈[﹣，]，令t＝2x﹣∈[﹣，]，g（t）＝2sin t，t﹣，]，如图所示；当t＝﹣时，g（t）最小，且为：﹣1，当t＝时g（t）最大且2，所以g（t）∈[﹣1，2]，所以g（x）在[，]的值域为：[﹣1，2]．21．2019年是中华人民共和国成立70周年.70年披荆斩棘，70年砥砺奋进，70年风雨兼程70年沧桑巨变，勤劳勇敢的中国人用自己的双手创造了一项项辉煌的成绩，取得了举世瞩目的成就为此，某市举行了“辉煌70年”摄影展和征文比赛，计划将两类获奖作品分别制作成纪念画册和纪念书刊某公司接到制作300本画册和900本书刊的订单已知该公司有50位工人，每位工人在1小时内可以制作完3本画册或5本书刊现将全部工人分为两组，一组制作画册，另一组制作书刊，并同时开始工作．设制作画册的工人有x位，制作完画册所需时间为g（x）（小时），制作完书刊所需时间为h（x）（小时）．（1）试比较g（x）与h（x）的大小，并写出完成订单所需时间f（x）（小时）的表达式；（2）如何分组才能使完成订单所需的时间最短？【分析】（1）由题意可得函数g（x）和函数h（x）的解析式，再用作差法比较大小即可；（2）利用函数f（x）在各段的单调性即可求解．解：（1）由题意可知：g（x）＝，h（x）＝，（0＜x＜50），∴，∴0＜x＜50，∴当1≤x≤17（x∈N*）时，g（x）＞h（x）；当18≤x≤49（x∈N*）时，g（x）＜h（x）；∴，其中x∈N*；（2）即求当x为何值时，f（x）最小，∵f（x）＝在[1，17]上为减函数，f（x）＝在[18，49]上为增函数，而，∴当x＝18时，f（x）最小，即制作画册的工人18位，制作书刊的工人32位，完成订单所需时间最短．22．已知函数f（x）＝2x﹣2﹣x，g（x）＝log2x．（1）对任意的x∈[0，1]，f（x）＞g（k）恒成立，求实数k的取值范围；（2）设，证明：h（x）有且只有一个零点x0，且．【分析】（1）先判断出函数f（x）的单调性，然后求其最小值，再列出关于k的不等式，求解即可；（2）分类讨论函数h（x）在（0，2]和（2，+∞）上的零点情况，其中用到了零点存在性定理；利用得出的零点结论，找到关系式，然后将﹣log2x0代入函数f（x）中进行计算即可证明不等式成立．解：（1）因为是增函数，是减函数，所以函数f（x）单调递增，所以f（x）min＝f（0）＝0，因为对任意的x∈[0，1]，f（x）＞g（k）恒成立，所以g（k）＝log2k＜0，解得0＜k＜1，故k的取值范围为（0，1）．（2）（i）由于函数在（0，+∞）上的值域为[﹣1，1]，所以下面分两种情况讨论：①当x∈（0，2]时，因为g（x）与均单调递增，所以h（x）在（0，2]上单调递增．因为，，所以．由函数零点存在定理知，∃，使得h（x0）＝0，所以h（x）在x∈（0，2]有且只有一个零点x0．②当x∈（2，+∞）时，因为g（x）＝log2x单调递增，所以g（x）＞g（2）＝log22＝1，因为≥﹣1，所以h（x）＞1+（﹣1）＝0，即h（x）在（2，+∞）上没有零点．综上所述，h（x）有且只有一个零点x0．（ii）因为，即，所以0，，因为在上单调递减，所以，所以．。

........................优质文档..........................福建省厦门市2019-2020学年高一数学上学期期末质量检测试题满分为150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将白己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题下对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效.一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B = （）A.{}|12x x -<≤ B.{}|01x x ≤<C.{}|12x x <≤ D.{}1|0x x <<2.已知函数()f x 的定义域为[2,3]-，则函数2()g x =的定义域为（）A.(,1)(2,)-∞-+∞B.[6,1)(2,3]--⋃C.[1)-⋃D.[2,1)(2,3]--⋃3.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与直线3y x =重合，且sin 0α<，又()P m n ,是角α终边上一点，且OP =(O 为坐标原点)，则m n -等于（）A.2B.2- C.4D.4-4.某工厂前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 值为（）A.2B.4C.5D.65.()122ln211lg2lg 254e -⎛⎫---- ⎪⎝⎭）A.-1B.12C.3D.-56.已知a ，b 都为单位向量，且a ，b夹角的余弦值是45，则2(a b -= )A.45B.95C.55 D.3557.已知3cos(63πα+=，则sin(26απ-的值为（）A.23 B.13C.13-D.23-8.已知函数，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个不同实数解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则1234x x x x +++的取值范围为（）A.12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.12,4⎛⎤- ⎥⎝⎦C.[)2,-+∞ D.()2,-+∞二、多选题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9.以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -．例如，当()31x x ϕ=，()2sin x x ϕ=时，()1x A ϕ∈，()2x B ϕ∈．则下列命题中正确的是：（）A.设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b R ∀∈，a D ∃∈，()f a b =”B.函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值C.若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B+∉D.若函数()()()2ln 22,1xf x a x x a R x =++>-∈+有最大值，则()f x B ∈10.已知,,,O A B C 为平面上两两不重合的四点，且()00xOA yOB zOC xyz ++=≠，则（）．A.当且仅当0xyz <时，O 在ABC ∆的外部B.当且仅当::3:4:5x y z =时，4ABC OBC S S ∆∆=C.当且仅当x y z ==时，O 为ABC ∆的重心D.当且仅当0x y z ++=时，,,A B C 三点共线三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在答题卡上的相应题目的答题区域内作答．11.计算：1726cos()sin 43ππ-+=_____．12.已知集合{|12}A x x =≤≤，集合{|}B x x a =≥，若A B B ⋃=，则实数a 的取值范围是_______.13.在平面直角坐标系中，角α终边过点()2,1P ，则2cos sin2αα+的值为__________．14.在平面内，点A 是定点，动点B ，C 满足||1AB AC == ，0AB AC ⋅=，则集合{|,12}P AP AB AC λλ=+≤≤所表示的区域的面积是________.15.某辆汽车以/xkm h 的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求________________________________________60120x ≤≤）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为14500()5x k L x-+，其中k 为常数.若汽车以120/km h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L ，欲使每小时的油耗不超过．．．9L ，则速度x 的取值范围为___．16.偶函数()y f x =满足()()33f x f x +=-，在[)3,0x ∈-时，()2xf x -=．若存在1x ，2x ，…n x ，满足120n x x x ≤<<<…，且()()()()()()122312019n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=…，则n x 最小值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答．17.已知函数()sin()(0,0)2f x A x πωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若α为第二象限角且3sin 5α=，求()f α的值.18.已知函数()1515xxf x -=+．（1）写出()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性；（3）已知()f x 在定义域内为单调减函数，若对任意的t R ∈，不等式________________________________________()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．19.ABC ∆是边长为3的等边三角形，2BE BA λ= ,1(1)2BF BC λλ=<<,过点F 作DF BC ⊥交AC 边于点D ，交BA 的延长线于点E ．（1）当23λ=时，设,BA a BC b == ，用向量,a b 表示EF ；（2）当λ为何值时，AE FC ⋅取得最大值，并求出最大值．20.如图，已知P 是单位圆（圆心在坐标原点）上一点，3xOP π∠=，作PM x ⊥轴于M ，PN y ⊥轴于N ．（1）比较OM 与6π的大小，并说明理由；（2）AOB ∠的两边交矩形OMPN 的边于A ，B 两点，且4AOB π∠=，求OA OB ⋅ 的取值范围．21.如图，河的两岸分别有生活小区ABC 和DEF ，其中,,AB BC EF DF DF AB ⊥⊥⊥，,,C E F 三点共线，FD 与BA 的延长线交于点O ，测得3AB km =，4BC km =，94DF km =，3FE km =，32EC km =，若以,OA OD 所在直线分别为,x y 轴建立平面直________________________________________角坐标系xOy 则河岸DE 可看成是曲线x by x a+=+（其中,a b 是常数）的一部分，河岸AC 可看成是直线y kx m =+（其中,k m 为常数）的一部分．（1）求,,,a b k m 的值．（2）现准备建一座桥MN ，其中,M N 分别在,DE AC 上，且MN AC ⊥，M 的横坐标为t ．写出桥MN 的长l 关于t 的函数关系式()l f t =，并标明定义域；当t 为何值时，l 取到最小值？最小值是多少？22.设()f x 是定义在[,]a b 上的函数，若存在(,)x a b ∈，使得()f x 在[,]a x 单调递增，在[,]x b 上单调递减，则称()f x 为[,]a b 上的单峰函数，x 为峰点，包含峰点的区间称为含峰区间，其含峰区间的长度为：b a -．（1）判断下列函数中，哪些是“[0,1]上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因；2123241()2,()121,()log ,()sin 42f x x x f x x f x x f x x 骣÷ç=-=--=+=÷ç÷ç桫；（2）若函数3()(0)f x ax x a =+<是[1,2]上的单峰函数，求实数a 的取值范围；（3）若函数()f x 是区间[0,1]上的单峰函数，证明：对于任意的1212,(0,1),x x x x Î<，若12()()f x f x ³，则2(0,)x 为含峰区间；若12()()f x f x ≤，则1(,1)x 为含峰区间；试问当12,x x 满足何种条件时，所确定的含峰区间的长度不大于0.6．参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.B2.C3.A4.C5.A6.D7.B8.B二、多选题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9.ACD10.CD三、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在答题卡上的相应题目的答题区域内作答．11.32212.1a ≤13.8514.3π15.[60,100]16.1012三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答．17.(1)()2(2)6f x sin x =+p ;(2)7243()2(2625f sin παα-=+=.18.（1）{}x x R ∈（2）()f x 为奇函数．（3）13k <-19.（1）4233a b -+ ；（2）91620.（1）6OM π<，见解析（2）13,44⎡⎢⎣⎦21.（1）4,7a b =-=-，4,23k m ==-.（2）19|49|,[0,3]54l t t t =+-∈-；当52t =时取到最小值，为1km22.（1）①21()2f x x x =-图像如下图所示，其对称轴为14x =，由图可知，21()2f x x x =-是[0,1]上的单峰函数，峰点为14；②2()121f x x =--的图像如下图所示，其对称轴为12x =，由图可知，2()121f x x =--是[0,1]上的单峰函数，峰点为12x =；③321()log 2f x x 骣÷ç=+÷ç÷ç桫的图像如下图所示，根据图像可知，321()log 2f x x 骣÷ç=+÷ç÷ç桫不是[0,1]上的单峰函数；④4()sin 4f x x =的图像如下图所示，其对称轴为π8x =，由图可知，4()sin 4f x x =是[0,1]上的单峰函数，峰点为8π.（2）函数3()(0)f x ax x a =+<是[1,2]上的单峰函数，令()'2310fx ax =+=，解得13x a =-113x a ≤<-()f x 123x a-<≤时，()f x 递减，所以1123a<-，解得11312a -<<-，故a 的取值范围是11,312⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（3）设0x 为()f x 的峰点，则由单峰函数定义可知，()f x 在[]00,x 上递增，在[]0,1x 上递减.当()()12f x f x ≥时，假设()020,x x ∉，则120x x x <≤，从而()()()021f x f x f x ≥>，与()()12f x f x ≥矛盾，所以()020,x x ∈，即()20,x 是含峰区间.当()()12f x f x ≤时，假设()01,1x x ∉，则012x x x ≤<，从而()()()012f x f x f x ≥>，与()()12f x f x ≤矛盾，所以()01,1x x ∈，即()1,1x 是含峰区间.在所得的含峰区间内选取3x ，由3x 与1x 或3x 与2x ，确定一个新的含峰区间，对先选择的12,x x ，12x x <，121x x =+①，在第一次确定的含峰区间为()20,x 的情况下，3x 的取值应满足312x x x +=②，由①②可得2131112x x x x =-⎧⎨=-⎩，当13x x >时，含峰区间的长度为1x .由条件130.2x x -≥，得()11120.2x x --≥，从而10.4x ≥.因此确定的含峰区间的长度不大于0.6，只要取120.40.6x x =⎧⎨=⎩.。

2019-2020学年福建省厦门市高一上学期期末质量检测数学试题一、单选题1．设{}21xA x=>∣，{22}B x x =-≤≤∣，则A B =（ ）A ．[]0,2B ．(]0,2 C ．()0,∞+ D ．[)2,-+∞【答案】D【分析】解出不等式21x >，然后可得答案.【详解】因为{}{}210xA xx x =>=>∣∣，{22}B x x =-≤≤∣ 所以A B =[)2,-+∞故选：D2．已知向量(1,2)a =，(,4)a b m +=，若a b ⊥ ，则m =（ ） A ．3- B ．2-C ．2D ．3【答案】A【分析】先计算b 的坐标，再利用a b ⊥可得0a b ⋅=，即可求解. 【详解】()()(,4)1,2(1,2)b a b a m m =+-=-=-， 因为a b ⊥，所以()112230a b m m ⋅=-⨯+⨯=+=， 解得：3m =-， 故选：A3．已知扇形的圆心角为23π，面积为24 c m 3π，则扇形的半径为（ ） A ．12cm B ．1cmC ．2cmD ．4cm【答案】C【分析】利用扇形的面积公式即可求解. 【详解】设扇形的半径为R ，则扇形的面积2211242233S R R ππα==⨯⨯=， 解得：2R =， 故选：C4．已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态.若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50N ，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（ ） A ．100N B ．503NC ．50ND ．503N 【答案】D【分析】利用向量的平行四边形法则求解即可【详解】如图，两条绳子提起一个物体处于平衡状态，不妨设50AC =， 根据向量的平行四边形法则，503tan 30OB AC OA ==⋅︒=故选：D5．已知0.302a =.，20.3b =，0.3log 0.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c b a >> B ． c a b >> C ．b a c >> D ．a c b >>【答案】B【分析】根据指数函数的单调性分析出a 的范围，根据对数函数的单调性分析出,b c 的范围，结合中间值1，即可判断出,,a b c 的大小关系.【详解】因为0.2xy =在R 上单调递减，所以...030002021<<=，所以01a <<，又因为20.3b =且2log y x =在()0,∞+上单调递增，所以22log 0.3log 10b =<=，所以0b <，又因为0.3log y x =在()0,∞+上单调递减，所以0.30.3log 0.2log 0.31>=，所以1c >， 综上可知：c a b >>， 故选：B.【点睛】方法点睛：常见的比较大小的方法： （1）作差法：作差与0作比较；（2）作商法：作商与1作比较（注意正负）； （3）函数单调性法：根据函数单调性比较大小； （4）中间值法：取中间值进行大小比较.6．已知点(),m n 在函数2log y x =的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是（ ） A ．()22,m nB ．()2, 2m nC ．()2, 1m n ++D ．,12m n ⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D【分析】由题意可得2log n m =，再依次验证四个选项的正误即可求解. 【详解】因为点(),m n 在函数2log y x =的图象上， 所以2log n m =，222log 2log 2m m n ==，故选项A 不正确；22222log log log 1m m n +==+，故选项B 不正确；()2log 21m n +≠+，故选项C 不正确；222log log log 212mm n =-=-，故选项D 正确. 故选：D7．已知函数()sin |sin |f x x x =+，则下列结论正确的是（ ） A ．()()f x f x π+= B ．()f x 的值域为[]0,1 C ．()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 的图象关于点(,0)π对称 【答案】C【分析】利用分段函数化简函数解析式，再利用函数的图像和性质，从而得出结论.【详解】2sin ,[2,2]()()sin sin 0,(2,22)()x x k k k Z f x x x x k k k Z πππππππ∈+∈⎧=+=⎨∈++∈⎩故函数的周期为2π，即(2)()f x f x π+=，故排除A, 显然函数()f x 的值域为[]0,2，故排除B,在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，函数()2sin f x x =为单调递减，故C 正确， 根据函数()f x 的图像特征，可知图像不关于点(,0)π对称，故排除D. 故选：C.【点睛】本题解题时主要利用分段函数化简函数的解析式，在化简的过程中注意函数的定义域，以及充分利用函数的图像和性质解题.8．若函数2()|2|f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]4,0- B ．(],0-∞C ．(],4-∞-D ．(,4][0,)-∞-+∞【答案】A【分析】将()f x 写成分段函数的形式，根据单调性先分析每一段函数需要满足的条件，同时注意分段点处函数值关系，由此求解出a 的取值范围.【详解】因为2()|2|f x x a x =+-，所以222,2()2,2x ax a x f x x ax a x ⎧+-≥=⎨-+<⎩， 当()212f x x ax a =+-在[)2,+∞上单调递增时，22a-≤，所以4a ≥-， 当()222f x x ax a =-+在()0,2上单调递增时，02a≤，所以0a ≤， 且()()12224f f ==，所以[]4,0a ∈-， 故选：A.【点睛】思路点睛：根据分段函数单调性求解参数范围的步骤： （1）先分析每一段函数的单调性并确定出参数的初步范围； （2）根据单调性确定出分段点处函数值的大小关系；（3）结合（1）（2）求解出参数的最终范围.二、多选题9．如图，某池塘里的浮萍面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系式为(t y ka k R =∈且0k ≠，1)a ≠．则下列说法正确的是（ ）A ．浮萍每月增加的面积都相等B ．第6个月时，浮萍的面积会超过230mC ．浮萍面积从22m 蔓延到264m 只需经过5个月D ．若浮萍面积蔓延到24m ，26m ，29m 所经过的时间分别为1t ，2t ，3t ，则1322t t t += 【答案】BCD【分析】由题意结合函数图象可得314ka ka =⎧⎨=⎩，进而可得12t y -=；由函数图象的类型可判断A ；代入6x =可判断B ；代入2y =、64y =可判断C ；代入4y =、6y =、9y =，结合对数的运算法则即可得判断D ；即可得解.【详解】由题意可知，函数过点(1,1)和点(3,4)，则314ka ka =⎧⎨=⎩，解得122k a ⎧=⎪⎨⎪=⎩（负值舍去）， ∴函数关系式为11222tt y -=⨯=， 对于A ，由函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不相等，故选项A 错误； 对于B ，当6x =时，523230y ==>，故选项B 正确；对于C ，令2y =得2t =；令64y =得7t =，所以浮萍面积从22m 增加到264m 需要5个月，故选项C 正确；对于D ，令4y =得13t =；令6y =得22log 12t =；令9y =得32log 18t =； 所以1222323log 12log 144log 1222t t t =+===+，故选项D 正确. 故选：BCD.【点睛】本题考查了函数解析式的确定及函数模型的应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于基础题.10．已知函数)()ln 1f x =，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 有最小值C ．(2)(1)f x f x +>+D ．方程()||30f x x +-=有两个不相等的实数根 【答案】ABD【分析】A ．利用函数奇偶性定义判断()f x 的奇偶性；B ．根据()f x 的奇偶性和单调性确定出()f x 的最小值；C ．根据()f x 的单调性，采用举例的方式进行分析；D ．利用零点的存在性定理判断出()()3g x f x x =+-的零点个数，即可分析出方程()||30f x x +-=的实根个数.【详解】A ．因为)()ln 1f x =的定义域为R 关于原点对称，且()))()ln 1ln1f x f x -===，所以()f x 为R 上的偶函数，故正确；B ．当[)0,x ∈+∞时，1y =单调递增，所以)()ln 1f x =在[)0,+∞单调递增，所以)()ln 1f x =在(),0-∞上单调递减，所以()()min 0ln 2f x f ==，故正确；C ．因为()f x 在(),0-∞上递减，在[)0,+∞上递增，所以()()12f f -<-， 所以()()3231f f -+<-+，所以(2)(1)f x f x +>+此时不成立，故错误；D ．记()()3g x f x x =+-，且3y x =-在(),0-∞上递减，在[)0,+∞上递增， 所以()g x 在(),0-∞上递减，在[)0,+∞上递增，又3y x =-为偶函数，所以()g x 为偶函数，因为())())1ln120,3ln10g g =-<=>，所以()g x 在[)0,+∞上有一个零点，所以()g x 在(),0-∞上也有一个零点， 所以()g x 在R 上有两个零点，所以方程()||30f x x +-=有两个不相等的实数根，故正确， 故选：ABD.【点睛】结论点睛：奇、偶函数在对称区间上的单调性和最值： （1）奇函数在对称区间上的最值互为相反数； （2）偶函数在对称区间上的最值相等； （3）奇函数在对称区间上的单调性相同； （4）偶函数在对称区间上的单调性相反.三、填空题11．如图，全集*U =N ，A 是小于10的所有偶数组成的集合，{}*5B x x =∈≥N ∣，则图中阴影部分表示的集合为__________.【答案】{}2,4【分析】根据维恩图可知，求()UA B ∩，根据补集、交集运算即可.【详解】*U =N ，A 是小于10的所有偶数组成的集合，{}*5B x x =∈≥N ∣，{2,4,6,8}A ∴=，{1,2,3,4}UB =由维恩图可知，阴影部分为(){}2,4U A B =,故答案为：{}2,412．已知函数23x y a -=+(0a >，且1a ≠)的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数()y f x =的图象上，则()f x =__________.【答案】2x【分析】先求出定点A 的坐标，再代入幂函数()f x x α=，即可求出解析式.【详解】令20x -=可得2x =，此时034y a =+=， 所以函数23x y a -=+(0a >，且1a ≠)的图象恒过定点()2,4A ， 设幂函数()f x x α=，则42α=，解得2α=，所以()2f x x =，故答案为：2x【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用指数函数的性质和图象的特点得出()2,4A ，设幂函数()f x x α=，代入即可求得2α=，()2f x x =.13．已知tan α=，32ππα<<，则cos sin αα-=_________.【分析】由条件结合三角函数的同角基本关系可解出1sin 2αα==-，然后可得答案.【详解】因为sin tan cos ααα==32ππα<<，22sin cos 1αα+=所以可解得1sin 22αα=-=-所以cos sin αα-=12-14．在四边形ABCD 中，若0AC CB CD ++=，且||||||4AB AC AD ===，则BCD △的面积为_______.【答案】【分析】由向量的加减运算可得四边形ABCD 为平行四边形，再由条件可得四边形ABCD 为边长为4的菱形，由三角形的面积公式计算可得所求值．【详解】在四边形ABCD 中，0AC CB CD ++=，即为0AB CD +=，即AB DC =， 可得四边形ABCD 为平行四边形，又||||||4AB AC AD ===， 可得四边形ABCD 为边长为4的菱形， 则BCD △的面积为正ABC 23443=， 故答案为：43四、双空题 15．若函数1()1f x x =-，()2cos 36g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()(2)f x f x +-=_________；当[]7,7x ∈-时，方程()()f x g x =的所有实数根的和为__________. 【答案】0 4【分析】直接计算11()(2)0121f x f x x x +-=+=---，可以判断1()1f x x =-的图象和()2cos 36g x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象都关于点()1,0中心对称，所以所以两个函数图象的交点都关于点()1,0对称，数形结合即可求解.【详解】因为1()1f x x =-， 所以11()(2)0121f x f x x x +-=+=---， 分别作出函数()f x 与()g x 的图象，1()1f x x =-图象的对称中心为()1,0， 令()362x k k Z ππππ+=+∈，可得13x k =+，当0k =时，1x =，所以()2cos 36g x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心为()1,0，所以两个函数图象的交点都关于点()1,0对称， 当[]7,7x ∈-时，两个函数图象有4个交点，设4个交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<， 则232x x +=，142x x +=，所以12344x x x x +++=，所以方程()()f x g x =的所有实数根的和为4， 故答案为：0，4【点睛】关键点点睛：本题的关键点是判断出1()1f x x =-的图象和()2cos 36g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象都关于点()1,0中心对称，作出函数图象可知两个函数图象有4个交点，设4个交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则2x 和3x 关于()1,0中心对称，1x 和4x 关于()1,0中心对称，所以232x x +=，142x x +=，即可求解.16．高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为[]y x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数.例如：[ 2.1]3-=-，[3.1]3=.已知函数()()|1|3[]f x x x =--[)0,2x ∈，若5()2f x =，则x =________；不等式()f x x ≤的解集为________. 【答案】16 3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】第一空：”根据“高斯函数”的定义，可得33,01()22,12x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩，进而再分类讨论建立方程求值即可；第二空：分类讨论建立不等式求解即可.【详解】由题意，得33,01()22,12x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩， 当01x ≤<时，5332x -=，即16x =； 当12x ≤<时，5222x -=，即94x =(舍)，综上16x =；当01x ≤<时，33x x -≤，即314x ≤<，当12x ≤<时，22x x -≤，即12x ≤<， 综上，324x ≤<. 故答案为：16；3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】关键点睛：求解分段函数相关问题的关键是“分段归类”，即应用分类讨论思想.五、解答题17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，31,2A ⎛⎫⎪⎪⎝⎭为单位圆上一点，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y fθ=.（1）求函数()y f θ=的解析式，并求223f f ππ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）若1()3f θ=，求7cos sin 36ππθθ⎛⎫⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【答案】（1）()sin 6f πθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，23123f f ππ+⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）23. 【分析】（1）由三角函数的定义得到()sin 6f πθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，进而代入计算；（2）由已知得1sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将所求利用诱导公式转化即得.【详解】解：（1）因为12A ⎫⎪⎪⎝⎭，所以6xOA π∠=，由三角函数定义，得()sin 6f πθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭.所以2251sin sin 23362f f ππππ⎛⎫⎛⎫+=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）因为1()3f θ=，所以1sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以7cos sin cos sin 36626πππππθθθθπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=+--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin sin 66ππθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin 63πθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考査三角函数的定义，三角函数性质，诱导公式.考查运算求解能力，推理论证能力.考查转化与化归，数形结合等数学思想. 已知1sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求7cos sin 36ππθθ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时要将已知中的角作为整体不分离，观察所求中的角与已知中的角的关系，利用诱导公式直接转化是化简求值的常见类型.18．设函数1()f x x x=+，(1,)x ∈+∞. （1）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；（2）若关于x 的方程210x ax -+=在[]2,3上有解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）在(1,)+∞上为增函数，证明见解析；（2）510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）任取12,(1,)x x ∈+∞且12x x <，作差()()12f x f x -，整理计算判断出正负即可；（2）将关于x 的方程210x ax -+=在[]2,3上有解转化为1a x x=+在[]2,3上有解，进一步转化为1()f x x x=+在[]2,3上的值域问题，求出值域即可. 【详解】解：（1）任取12,(1,)x x ∈+∞且12x x <，()()12121211f x f x x x x x -=+-- ()()()()1212211212121212111x x x x x x x x x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为121x x <<，所以120x x -<，1210x x ->， 所以()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数； （2）由题意，得21ax x =+在[]2,3上有解，即1a x x=+在[]2,3上有解. 由（1）知1()f x x x=+在[]2,3上为增函数，所以510(),23f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以a 的取值范围是510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】方法点睛：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.19．如图，在四边形ABCD 中，//BC AD ，1BC =，3AD =，ABC 为等边三角形，E 是CD 的中点.设AB a =，AD b =.（1）用a ，b 表示AC ，AE ， （2）求AE 与AB 夹角的余弦值. 【答案】（1）13AC a b =+，1223AE a b =+；（2）13【分析】（1）利用向量的线性运算即平面向量基本定理确定AC ，AE 与a ，b 的关系； （2）解法一：利用向量数量积运算公式求得向量夹角余弦值；解法二：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示确定向量夹角余弦值. 【详解】解法一：（1）由图可知1133AC AB BC AB AD a b =+=+=+. 因为E 是CD 的中点，所以11112()22323AE AC AD a b b a b ⎛⎫=+=++=+ ⎪⎝⎭. （2）因为BC AD ∥，ABC 为等边三角形，所以120BAD ∠=︒，1AB =，所以13||||cos 1322a b a b BAD ⎛⎫⋅=∠=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， 所以212121231123232322AE AB a b a a a b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=⨯+⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222121241||12AE a b a a b b ⎛⎫=+=+⋅+=⨯= ⎪. 设AE 与AB 的夹角为θ，则1cos 13||||132AE AB AE AB θ-⋅===-，所以在AE 与AB 夹角的余弦值为13-. 解法二：（1）同解法一.（2）以A 为原点，AD 所在直线为x 轴，过A 且与AD 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系， 则(0,0)A ，12⎛-⎝⎭B ，12C ⎛ ⎝⎭，(3,0)D . 因为E 是CD 的中点，所以744E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以7,44AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，122AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以71142422AE AB ⎛⎫⋅=⨯-+=- ⎪⎝⎭，227313||44AE ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设AE 与AB 的夹角为θ，则1132cos ||||131AE AB AE AB θ-⋅===-⨯，所以AE 与AB 夹角的余弦值为13-. 【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．20．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如下图所示.（1）求函数()f x 的解析式，并写出函数()f x 的单调递增区间； （2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的14(纵坐标不变)，再将所得的函数图象上所有点向左平移02m m π⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度，得到函数()g x 的图象.若函数()g x 的图象关于直线512x π=对称，求函数()g x 在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. 【答案】（1）12()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，递增区间为74,4,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）[]1,2-.【分析】（1）由三角函数的图象，求得函数的解析式12()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解.（2）由三角函数的图象变换，求得2()2sin 223g x x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，根据()g x 的图象关于直线512x π=对称，求得m 的值，得到()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由图象可知2A =，422433T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以212T πω==，所以1()2sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由图可求出最低点的坐标为,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2sin 236f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以262k ππϕπ+=-+，所以22,3k k Z πϕπ=-+∈， 因为||ϕπ<，所以23πϕ=-，所以12()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由1222,2232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，可得744,33k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 所以函数()f x 的单调递增区间为74,4,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由题意知，函数22()2sin 2()2sin 2233g x x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=+-=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 因为()g x 的图象关于直线512x π=对称， 所以5222,1232m k k Z ππππ⨯-+=+∈，即,62k m k Z ππ=+∈， 因为02m π<<，所以6m π=，所以()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，可得1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以2sin 2[1,2]3x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的值域为[]1,2-. 【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.21．2019年是中华人民共和国成立70周年，70年披荆斩棘，70年砥砺奋进，70年风雨兼程，70年沧桑巨变，勤劳勇敢的中国人用自己的双手创造了一项项辉煌的成绩，取得了举世瞩目的成就，为此，某市举行了“辉煌70年”摄影展和征文比赛，计划将两类获奖作品分别制作成纪念画册和纪念书刊，某公司接到制作300本画册和900本书刊的订单，已知该公司有50位工人，每位工人在1小时内可以制作完3本画册或5本书刊，现将全部工人分为两组，一组制作画册，另一组制作书刊，并同时．．开始工作．．．．，设制作画册的工人有x 位，制作完画册所需时间为()g x (小时)，制作完书刊所需时间为()h x (小时).（1）试比较()g x 与()h x 的大小，并写出完成订单所需时间()f x (小时)的表达式； （2）如何分组才能使完成订单所需的时间最短？ 【答案】（1）当()*117x x ≤≤∈N时，()()g x h x >；当()*1849x x ≤≤∈N 时，()()g x h x <；()()**100,117()180,184950x x xf x x x x⎧≤≤∈⎪⎪=⎨⎪≤≤∈⎪-⎩N N ；（2）安排18位工人制作画册，32位工人制作书刊，完成订单所需时间最短. 【分析】（1）由题意得300100()3g x x x==，900180()5(50)50h x x x ==--，利用作差法可比较出()g x 与()h x 的大小，然后可得()f x 的表达式； （2）利用反比例函数的知识求出()f x 的最小值即可. 【详解】（1）由题意得300100()3g x x x==，900180()5(50)50h x x x ==--，()*149,x x ≤≤∈N所以1001805000280()()50(50)x g x h x x x x x --=-=--，()*149,x x ≤≤∈N . 所以当()*117x x ≤≤∈N 时，()()g x h x >；当()*1849x x ≤≤∈N时，()()g x h x <，所以完成订单所需时间()()**100,117()180,184950x x xf x x x x⎧≤≤∈⎪⎪=⎨⎪≤≤∈⎪-⎩N N . （2）当()*117x x ≤≤∈N 时，()f x 为减函数，此时100()(17)17f x f ≥=； 当()*1849x x ≤≤∈N时，()f x 为增函数，此时45()(18)8f x f ≥=. 因为(17)(18)f f >，所以当18x =时，()f x 取得最小值458. 所以安排18位工人制作画册，32位工人制作书刊，完成订单所需时间最短. 22．已知函数()22x x f x -=-，2()log g x x =.（1）对任意的[0,1]x ∈，()()f x g k >恒成立，求实数k 的取值范围；（2）设()()sin4xh x g x π=+，证明：()h x 有且只有一个零点0x ，且05sin46x f π⎛⎫< ⎪⎝⎭. 【答案】（1）()0,1；（2）证明见解析.【分析】（1）利用()f x 的单调性以及对数函数的单调性，即可求出k 的范围（2）对x 进行分类讨论，分为：2(]0,x ∈和(2,)x ∈+∞，利用零点存在定理和数形结合进行分析，即可求解【详解】解：（1）因为2x y =是增函数，2x y -=是减函数，所以()22xxf x -=-在[]0,1上单调递增.所以()f x 的最小值为()00f =， 所以2()log 0g k k =<，解得01k <<， 所以实数k 的取值范围是()0,1. （2）函数2()log sin4xh x x π=+的图象在(0,)+∞上连续不断.①当2(]0,x ∈时，因为2log y x =与sin 4xy π=在(]0,2上单调递增， 所以()h x 在(]0,2上单调递增.因为2222221log sin log log 0336323h π⎛⎫=+=+=< ⎪⎝⎭，(1)sin 04h π=>，所以2(1)03h h ⎛⎫< ⎪⎝⎭. 根据函数零点存在定理，存在02,13x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00h x =. 所以()h x 在(]0,2上有且只有一个零点0x .②当(2,)x ∈+∞时，因为2log y x =单调递增，所以22log log 21y x =>=， 因为sin14xy π=≥-.所以()1(1)0h x >+-=.所以()h x 在(2,)+∞上没有零点.综上：()h x 有且只有一个零点0x . 因为()0020log sin 04x h x x π=+=，即020sinlog 4x x π=-，所以()2020log log 020001sinlog 224x x x f f x x x π-⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 因为1y x x =-在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以001325236x x -<-=， 所以05sin46x f π⎛⎫< ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点睛：对x 进行分类讨论时，①当2(]0,x ∈时，因为2log y x =与sin4xy π=在(]0,2上单调递增，再结合零点存在定理，即可求解；②当(2,)x ∈+∞时，()0h x >恒成立，所以，()h x 在(2,)+∞上没有零点；最后利用()0020log sin04x h x x π=+=，得到020sinlog 4x x π=-，然后化简可求解。

福建省厦门市2019-2020学年高一上学期质量检测期末考试数学试题一、单选题(★) 1 . 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2 . 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A．B．C．D．(★) 3 . 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与直线重合，且，又是角终边上一点，且( 为坐标原点)，则等于（）A．B．C．D．(★) 4 . 某工厂前年的总产量与之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前年的年平均产量最高，值为（）A．2B．4C．5D．6(★) 5 . 的值为（）A．-1B．C．3D．-5(★★) 6 . 已知，都为单位向量，且，夹角的余弦值是，则A．B．C．D．(★★) 7 . 已知，则的值为（）A．B．C．D．(★★) 8 . 已知函数，若关于的方程有四个不同实数解，，，，且，则的取值范围为（）A．B．C．D．二、多选题(★★★★★) 9 . 以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间。

例如，当，时，，。

则下列命题中正确的是：（）A．设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”B．函数的充要条件是有最大值和最小值C．若函数，的定义域相同，且，，则D．若函数有最大值，则(★★) 10 . 已知为平面上两两不重合的四点，且，则（）．A．当且仅当时，在的外部B．当且仅当时，C．当且仅当时，为的重心D．当且仅当时，三点共线三、填空题(★★) 11 . 计算： _____ ．(★) 12 . 已知集合，集合，若，则实数的取值范围是_______.(★) 13 . 在平面直角坐标系中，角终边过点，则的值为__________．(★★★★) 14 . 在平面内，点是定点，动点，满足，，则集合所表示的区域的面积是 ________ .(★★) 15 . 某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中为常数.若汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为，欲使每小时的油耗不超过，则速度的取值范围为 ___ ．(★★★★) 16 . 偶函数满足，在时，．若存在，，… ，满足，且，则最小值为__________．四、解答题(★★) 17 . 已知函数的部分图象如图所示.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若为第二象限角且，求的值.(★★) 18 . 已知函数．（1）写出的定义域；（2）判断的奇偶性；（3）已知在定义域内为单调减函数，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．(★★) 19 . 是边长为的等边三角形，, ,过点作交边于点，交的延长线于点．（1）当时，设，用向量表示；（2）当为何值时，取得最大值，并求出最大值．(★★) 20 . 如图，已知是单位圆（圆心在坐标原点）上一点，，作轴于，轴于．（1）比较与的大小，并说明理由；（2）的两边交矩形的边于，两点，且，求的取值范围．(★★★★) 21 . 如图，河的两岸分别有生活小区和，其中，三点共线，与的延长线交于点，测得，，，，，若以所在直线分别为轴建立平面直角坐标系则河岸可看成是曲线（其中是常数）的一部分，河岸可看成是直线（其中为常数）的一部分．（1）求的值．（2）现准备建一座桥，其中分别在上，且，的横坐标为．写出桥的长关于的函数关系式，并标明定义域；当为何值时，取到最小值？最小值是多少？(★★★★★) 22 . 设是定义在上的函数，若存在，使得在单调递增，在上单调递减，则称为上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间称为含峰区间，其含峰区间的长度为：．（1）判断下列函数中，哪些是“ 上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因；；（2）若函数是上的单峰函数，求实数的取值范围；（3）若函数是区间上的单峰函数，证明：对于任意的，若，则为含峰区间；若，则为含峰区间；试问当满足何种条件时，所确定的含峰区间的长度不大于0.6．。

2019-2020学年度厦门市第一学期高一年级质量检测数学试题满分为150分,考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.全部答案答在答题卡上,答在本试卷上无效。

一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,B＝{x|lg(2x﹣2)＞0},则A∩B＝()A.{x|﹣3＜x＜﹣}B.{x|1＜x≤2}C.D.{x|x≤﹣1}2.已知f(lnx)＝x+1,则f(x)＝()A.e x+1B.e x﹣1C.x+1D.x2+13.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,卷一《方田》[三三]：“今有宛田,下周六步,径四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田,弧长6步,其所在圆的直径是4步,问这块田的面积是()平方步？A.6B.3C.12D.94.的值为()A. B. C. D.5.已知a＝log1.60.6,b＝0.60.6,c＝1.60.6,则a,b,c的大小关系为()A.a＞b＞cB.c＞a＞bC.c＞b＞aD.b＞c＞a6.函数f(x)＝ln|x|+|cos x|(且x≠0)的图象大致是()A. B.C. D.7.函数y＝sin(ωx+φ)与y＝cos(ωx+φ)(其中ω＞0,|φ|＜)在x∈[0,]的图象恰有三个不同的交点P,M,N,△PMN为直角三角形,则φ的取值范围是()A.[﹣,]B.(﹣,]C.[﹣,)D.[0,]8.函数的最大值是()A. B. C. D.二、多选题：本大题共2个小题,每小题5分,共10分。

在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。

全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分.9.设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a、b∈P,都有a+b、a﹣b、ab、∈P(除数b≠0)则称P是一个数域,例如有理数集Q是数域,下列命题中正确的是()A.数域必含有0,1两个数B.整数集是数域C.若有理数集Q⊆M,则数集M必为数域D.数域必为无限集10.已知不恒为零的函数f(x)在定义域[0,1]上的图象连续不间断,满足条件f(0)＝f(1)＝0,且对任意x1,x2∈[0,1]都有|f(x1)﹣f(x2)|≤|x1﹣x2|,下列四个结论中正确的有()A.若f(1﹣x)＝f(x)且0≤x≤时,f(x)＝x(x﹣),则当＜x≤1时,f(x)＝(1﹣x)(﹣x)B.若对∀x∈[0,1]都有f(1﹣x)＝﹣f(x),则y＝f(x)至少有3个零点C.对∀x∈[0,1],|f(x)|≤恒成立D.对∀x1,x2∈[0,1],|f(x1)﹣f(x2)|≤恒成立三、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.在答题卡上的相应题目的答题区域内作答.11.已知集合A＝{1,2,3,4},那么A的真子集的个数是.12.在△ABC中,向量＝,P是BN上一点,若向量＝λ+,则λ＝.13.设函数f(x)＝A sin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,﹣＜φ＜,x∈R)的部分图象如图所示.则函数y＝f(x)的解析式为.14.已知θ是钝角,且,则的值为.15.已知函数,g(x)＝x2﹣2mx+5m﹣2(m∈R),对于任意的x1∈[﹣2,2],总存在x2∈[﹣2,2],使得f(x1)＝g(x2)成立,则实数m的取值范围是.16.已知函数f(x)＝,若对任意a,b,c∈(0,+∞)都有f(a)+f(b)＞f(c)成立,则m的取值范围是三、解答题：本大题共6小题,共70分,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤,在答题卡上相应题目的答题区域内作答.17.(本小题满分10分)已知向量＝(1,2sin x),＝(1,cos x﹣sin x),f(x)＝(1)求函数f(x)最小正周期；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)当x∈[0,]时,若方程|f(x)|＝m有两个不等的实数根,求m的取值范围.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x＞0时,f(x)＝x﹣.(1)求f(﹣2)的值；(2)用函数单调性的定义证明：函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；(3)求函数f(x)在x∈R上的解析式.如图,已知△OAB中,点C是点B关于A的对称点,点D是线段OB的一个靠近B的三等分点,DC和OA交于E,设＝,＝(1)用向量与表示向量；(2)若＝,求实数λ的值.图为大型观览车主架示意图.点O为轮轴中心,距地面高为32m(即OM＝32m).巨轮半径为30m,点P为吊舱与轮的连结点,吊舱高2m(即PM＝2m),巨轮转动一周需15min.某游人从点M进入吊舱后,巨轮开始按逆时针方向匀速转动3周后停止,记转动过程中该游人所乘吊舱的底部为点M'.(1)试建立点M'距地面的高度h(m)关于转动时间t(min)的函数关系,并写出定义域；(2)求转动过程中点M'超过地面45m的总时长.今年入秋以来,某市多有雾霾天气,空气污染较为严重.市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现,每一天中空气污染指数与f(x)时刻x(时)的函数关系为f(x)＝|log25(x+1)﹣a|+2a+1,x∈[0,24],其中a为空气治理调节参数,且a∈(0,1).(1)若a＝,求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；(2)规定每天中f(x)的最大值作为当天的空气污染指数,要使该市每天的空气污染指数不超过3,则调节参数a应控制在什么范围内？设函数f(x)＝,其中k＜﹣2.(1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示)；(2)讨论函数f(x)在D上的单调性；(3)若k＜﹣6,求D上满足条件f(x)＞f(1)的x的集合(用区间表示).2020年厦门市高一年期末考试模拟3数学试题参考答案一.选择题(共8小题)1.【解答】解：由得,或,解得x≤﹣1或0＜x≤2,∴A＝{x|x≤﹣1或0＜x≤2},且,∴.故选：C.2.【解答】解：已知f(lnx)＝x+1,设lnx＝t,则x＝e t,所以f(t)＝e t+1,故f(x)＝e x+1.故选：A.3.【解答】解：∵弧长6步,其所在圆的直径是4步,∴由题意可得：S＝×2×6＝6(平方步),故选：A.4.【解答】解：＝cos45°cos15°﹣sin45°sin(180°+15°)＝cos45°cos15°+sin45°sin15°＝cos(45°﹣15°)＝cos30°＝,故选：A.5.【解答】解：∵a＝log1.60.6＜log1.61＝0,0＜b＝0.60.6＜0.60＝1,c＝1.60.6＞1.60＝1.∴c＞b＞a.故选：C.6.【解答】解：∵函数f(x)＝ln|x|+|cos x|,(且x≠0),∴f(﹣x)＝f(x),∴f(x)为偶函数,故排除A.∵且x≠0,当x＝时,f()＝ln＞0,故排除C,当x＞0时,f(x)＝lnx+cos x,可得：f′(x)＝﹣sin x,令﹣sin x＝0,作出y＝与y＝sin x图象如图可知两个函数有一个交点,就是函数有一个极值点,故选：D.7.【解答】解：图象恰有三个不同的交点P,M,N,△PMN为直角三角形,可知直角三角形△PMN的高为,且是等腰直角三角形,可得斜边长为2,即周期T＝2.∴,那么ω＝.∵x∈[0,]上,∴ωx+φ∈[φ,+φ]上,根据正余弦函数的图象性质,可得：φ,且+φ.又∵|φ|＜,∴φ.故选：A.8.【解答】解：函数,则f(x)≥0,∴f2(x)＝,令g(x)＝f2(x),g′(x)＝[2(sin x+1)•cos x(3+2cos x+sin x)﹣(sin x+1)2•(﹣2sin x+cos x)]＝(sin x+1)(cos x+2)(sin x+2cos x+1),令g′(x)＝0,得sin x+1＝0或sin x+2cos x+1＝0；当sin x＝﹣1,f(x)＝0,为最小值,当sin x+2cos x＝﹣1时,设方程的根为m,则导数在x＝m处附近左正右负,为极大值点,也为最大值点.此时sin m+2cos m＝sin(m+φ)＝﹣1,其中tanφ＝2,则tan(m+φ)＝,tan m＝tan(m+φ﹣φ)＝,则cos m＝﹣即有f(m)＝＝﹣cos m＝,故选：D.二.多选题(共2小题)9.【解答】解：当a＝b时,a﹣b＝0、＝1∈P,故可知A正确.当a＝1,b＝2,∉Z不满足条件,故可知B不正确.当M中多一个元素i则会出现1+i∉M所以它也不是一个数域；故可知C不正确.根据数据的性质易得数域有无限多个元素,必为无限集,故可知D正确.故选：AD.10.【解答】解：由f(1﹣x)＝f(x)得函数f(x)图象关于直线x＝对称,若0≤x≤时,f(x)＝x(x﹣),则当＜x≤1时,f(x)＝(1﹣x)(﹣x),故A正确；∵f(1﹣x)＝﹣f(x),故函数图象关于(,0)对称,又由f(0)＝f(1)＝0,故函数f(x)至少有3个零点0,,1.故B正确；∵当0≤x≤时,|f(x)|≤x≤；当＜x≤1时,则1﹣x≤,|f(x)|＝|f(x)﹣f(1)|≤(1﹣x)≤＝.∴∀x∈[0,1],|f(x)|≤恒成立,故C正确,设∀x1,x2∈[0,1],当|x1﹣x2|≤时,|f(x1)﹣f(x2)|≤|x1﹣x2|≤,当|x1﹣x2|＞时,|f(x1)﹣f(x2)|＝|f(x1)﹣f(0)+f(1)﹣f(x2)|≤|f(x1)﹣f(0)|+|f(1)﹣f(x2)|≤|x1﹣0|+|1﹣x2|＝×1+(1﹣x2)＝﹣(x2﹣x1)≤﹣×＝.故D正确故选：ABCD.三.填空题(共6小题)11.【解答】解：集合A＝{1,2,3,4}的真子集有：∅,{1},{2},{3},{1,2},…,{2,3,4}共15个.故答案为：1512.【解答】解：如图.设＝x,＝＝＝＝＝＝(1﹣x)∵＝λ+,∴得解得：故答案为：13.【解答】(本题满分为8分)解：由图象知,A＝2,…(2分)又＝﹣＝,ω＞0,所以T＝2π＝,得ω＝1.…(4分)所以f(x)＝2sin(x+φ),将点(,2)代入,得+φ＝2kπ+(k∈Z),即φ＝+2kπ(k∈Z),又﹣＜φ＜,所以,φ＝.…(6分)所以f(x)＝2sin(x+).故答案为：.…(8分)14.【解答】解：∵θ是钝角,且,∴cosθ＝﹣＝﹣,∴＝﹣2sinθcosθ＝﹣2××(﹣)＝.故答案是：.15.【解答】解：(1)∵函数f(x)＝2﹣x＝2﹣(x+2)+2＝3﹣,∴当x∈[﹣2,2]时,2≤f(x)≤3,∴f(x)的值域是[2,3]；(2)又当x∈[﹣2,2]时,①若m＜﹣2,则g(x)＝x2﹣2mx+5m﹣2在[﹣2,2]上是增函数,最小值g(﹣2)＝9m+2,最大值g(2)＝m+2；∴g(x)的值域是[9m+2,m+2],∴[2,3]⊆[9m+2,m+2],即,解得﹣1≤m≤0,此时无解；②若m＞2,则g(x)＝x2﹣2mx+5m﹣2在[﹣2,2]上是减函数,最小值g(2)＝m+2,最大值g(﹣2)＝9m+2；∴g(x)的值域是[m+2,9m+2],∴[2,3]⊆[m+2,9m+2],即,解得﹣≤m≤0,此时无解；③若﹣2≤m≤2,则g(x)＝x2﹣2mx+5m﹣2在[﹣2,2]上是先减后增的函数,最小值是g(m)＝﹣m2+5m﹣2,最大值是max{g(﹣2),g(2)}＝max{9m+2,3m+2}；∴当m≥0时,g(x)的值域是[﹣m2+5m﹣2,9m+2],∴[2,3]⊆[﹣m2+5m﹣2,9m+2],即,解得≤m≤1,或m≥4(不符合条件,舍去)；则取≤m≤1；当m＜0时,g(x)的值域是[﹣m2+5m﹣2,m+2],∴[2,3]⊆[﹣m2+5m﹣2,m+2],即；解得m＝1,或m≥4,不符合条件,舍去；综上知,实数m的取值范围是：[,1].故答案为：[,1].16.【解答】解：依题意,设f(x)在(0,+∞)上的最小值和最大值分别为f(x)min和f(x)max,f(x)＝＝1+,①当m＝1时,f(x)＝1,所以满足f(a)+f(b)＝2＞1＝f(c)；②当m＞1时,f(x)为(0,+∞)上的减函数,且当x→+∞时,f(x)→1+,所以f(0)＞f(x)max＞f(x)min＞1,要使任意a,b,c∈(0,+∞)都有f(a)+f(b)＞f(c)成立,只需2f(x)min＞f(x)max,只需2×1≥f(0)＝m,所以1＜m≤2；③当m＜1时,f(x)为(0,+∞)上的增函数,且当x→+∞时,f(x)→1﹣,所以f(0)＜f(x)min＜f(x)max＜1,要使任意a,b,c∈(0,+∞)都有f(a)+f(b)＞f(c)成立,只需2f(x)min＞f(x)max,即2m≥1,解得m,所以；综上m∈[,2],故答案为：[,2].四.解答题(共6小题)17.【解答】解：(1)由已知得f(x)＝•＝1+2sin x(cos x﹣sin x)＝sin(2x+),故f(x)的最小正周期T＝＝π；(2)令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈z,交点：﹣+kπ≤x≤+kπ,故f(x)的递增区间是[﹣+kπ,+kπ],(k∈z)；(3)画出函数y＝|f(x)|在[0,]上的简图如下所示：,当m∈(0,1)∪(1,)时,直线y＝m和y＝|f(x)|的图象在[0,]上有2个不同的交点,故方程|f(x)|＝m有2个不同的实数根,故m的范围是(0,1)∪(1,).18.【解答】解：(1)根据题意,当x＞0时,f(x)＝x﹣,则f(2)＝2﹣＝,又由f(x)为奇函数,则f(﹣2)＝﹣f(2)＝﹣,(2)证明：设0＜x1＜x2,f(x1)﹣f(x2)＝(x1﹣)﹣(x2﹣)＝(x1﹣x2)﹣(﹣)＝(x1﹣x2)(1+),又由0＜x1＜x2,则x1﹣x2＜0,则f(x1)﹣f(x2)＜0,即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；(3)函数f(x)为定义在R上的奇函数,则f(0)＝0,设x＜0,则﹣x＞0,即f(﹣x)＝﹣x﹣,又由f(x)为奇函数,则f(x)＝﹣f(﹣x)＝x+,故f(x)＝.19.【解答】解：(1)△OAB中,∵点C是点B关于A的对称点,∴＝＝,∴＝﹣,∴＝+＝﹣+(﹣)＝﹣﹣；又∵＝2＝2,点D是线段OB的一个靠近B的三等分点,∴＝；又∵＝+＝﹣+,∴＝+＝2+(﹣+)＝+；(2)∵＝+,设＝+＝+x,＝y,x、y∈R；∴+＝y+xy,即,解得y＝,x＝；∴＝,＝；∴当＝时,λ＝.20.【解答】解：(1)如图所示,以O为坐标原点,建立平面直角坐标系xOy,设以Ox为始边,按逆时针方向经过时间t(min)转动至终边OP′所形成的角为t﹣,则点P′的纵坐标为30sin(t﹣),所以M′点距地面的高度为h＝30sin(t﹣)+32﹣2＝30(1﹣cos t),t∈[0,45]；(2)当点M′超过地面45m时,h＝30(1﹣cos t)＞45,即cos t＜﹣,所以+2kπ＜t＜+2kπ,k∈Z,即5+15k＜t＜10+15k,k∈Z；因为t∈[0,45],所以t∈(5,10)∪(20,25)∪(35,40),所以总时长为15分钟,即点M′超过地面45m的总时长为15分钟.21.【解答】解：(1)a＝时,f(x)＝|log25(x+1)﹣|+2,x∈[0,24],令|log25(x+1)﹣|＝0,解得x＝4,因此：一天中第4个时刻该市的空气污染指数最低.(2)令f(x)＝|log25(x+1)﹣a|+2a+1＝,当x∈(0,25a﹣1]时,f(x)＝3a+1﹣log25(x+1)单调递减,∴f(x)＜f(0)＝3a+1.当x∈[25a﹣1,24)时,f(x)＝a+1+log25(x+1)单调递增,∴f(x)≤f(24)＝a+1+1.联立,解得0＜a≤.可得a∈.因此调节参数a应控制在范围.22.【解答】解：(1)设t＝x2+2x+k,则f(x)等价为y＝g(t)＝,要使函数有意义,则t2+2t﹣3＞0,解得t＞1或t＜﹣3,即x2+2x+k＞1或x2+2x+k＜﹣3,则(x+1)2＞2﹣k,①或(x+1)2＜﹣2﹣k,②,∵k＜﹣2,∴2﹣k＞﹣2﹣k,由①解得x+1＞或x+1,即x＞﹣1或x,由②解得﹣＜x+1＜,即﹣1﹣＜x＜﹣1+,综上函数的定义域为(﹣1,+∞)∪(﹣∞,﹣1﹣)∪(﹣1﹣,﹣1+).(2)f′(x)＝＝＝﹣,由f'(x)＞0,即2(x2+2x+k+1)(x+1)＜0,则(x+1+)(x+1﹣)(x+1)＜0解得x＜﹣1﹣或﹣1＜x＜﹣1+,结合定义域知,x＜﹣1﹣或﹣1＜x＜﹣1+,即函数的单调递增区间为：(﹣∞,﹣1﹣),(﹣1,﹣1+),同理解得单调递减区间为：(﹣1﹣,﹣1),(﹣1+,+∞).(3)由f(x)＝f(1)得(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)﹣3＝(3+k)2+2(3+k)﹣3,则[(x2+2x+k)2﹣(3+k)2]+2[(x2+2x+k)﹣(3+k)]＝0,∴(x2+2x+2k+5)(x2+2x﹣3)＝0即(x+1+)(x+1﹣)(x+3)(x﹣1)＝0,∴x＝﹣1﹣或x＝﹣1+或x＝﹣3或x＝1,∵k＜﹣6,∴1∈(﹣1,﹣1+),﹣3∈(﹣1﹣,﹣1),∵f(﹣3)＝f(1)＝f(﹣1﹣)＝f(﹣1+),且满足﹣1﹣∈(﹣∞,﹣1﹣),﹣1+∈(﹣1+,+∞),由(2)可知函数f(x)在上述四个区间内均单调递增或递减,结合图象,要使f(x)＞f(1)的集合为：()∪(﹣1﹣,﹣3)∪(1,﹣1+)∪(﹣1+,﹣1+).。

高一数学期末复习2一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答． 1．已知集合}31|{≤≤-∈=x Z x A ，则下列说法正确的是A ．A ∈}3,2,1{B ．A ∉0C ．A ∈21D ．}3,2,1,0{⊆A 2．已知α为第四象限角，322sin -=α，则=αcos A ．31 B ．91 C ．31- D ．91-3．已知扇形的圆心角为56π，半径为4，则该扇形的面积为A ．53πB ．103πC ．203πD ．403π4．已知2.04.0=a ，4.04.0=b ，3log 2=a ，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．a >b >c 5．已知函数12)1ln()(+-+=x x x f ，0x 是)(x f 的零点，则0x 所在区间为 A ．)0,1(- B ．)1,0( C ．)2,1( D ．)3,2(6．已知函数2)(2-+=x e x f x有两个零点1x ，2x ，则=+21x xA ．-1B ．0C ．1D ．37．如图，弹簧挂着的小球作上下运动，它在t 秒时相对于平衡位置的 高度h 厘米由关系式2sin()3h t π=+确定．下列结论正确的是 A ．小球的最高点和最低点相距2厘米 B ．小球在0t =时的高度1h =C ．每秒钟小球往复运动的次数为2πD ．从1t =到3t =，弹簧长度逐渐变长8．已知=(3,1)a x -，(,2)b x =，若a 与b 的方向相反，则实数x 的值为 A ．2- B ．3 C ．2-或3 D ．2或3-9．已知点(1,2)A ，(3,1)B -，则AB 在y 轴正方向上的投影为A ．3B ．2C ．2-D ．3-10．已知()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线(0)y m m =>的三个相邻交点的横坐标分别是21014,,333．当[,]x m A ∈时，)(x f 的值域为22[,]33-，则A 的值是 A ．23 B ．43C ．2D ．411．如图，在ABC ∆中，2ABC π∠=，AD 是BAC ∠的角平分线，过点B 作AD 的垂线，分别交AD ，AC 于E ，F ．若6AF =，8BC =，则=AEA ．13210AB AC +B ．1123AB AC + C ．23510AB AC +D ．2153AB AC +12．已知函数⎩⎨⎧>-≤+=.,1,,1)(t x x t x ax x f 对任意实数t ，函数)(x f 在R 上总是不单调．．．．．，则实数a 的取值范围是A ．]0,(-∞B ．),1[+∞C ．),0[]1,(+∞--∞D ．),1[]0,(+∞-∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．已知sin()2cos απα+=，则22sin cos cos ααα⋅-= * * * ．14．不等式m x x+>⎪⎭⎫⎝⎛31对于任意]1,(-∞∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是 * * * ．15．已知a ，b ，c 均是单位向量，若3a b c +=，则a 与b 的夹角为 * * * ．16．已知函数22)11()1()(-++=x x x f 的定义域为]1,21[，则)(x f 的最小值为 * * * ．13．___________ 14．___________ 15．___________ 16．___________三、解答题：本大题共6小题，第17题10分，其他每题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知集合}1|{+==x y x A ，}10,5|{≤≤==x y y B x ．（1）求)(B C A R ；（2）若}22|{a x a x C ≤≤-=，且C B ⊆，求a 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数121)(+-=x a x f （0>a 且1≠a ）． （1）当1>a 时，利用函数单调性的定义证明)(x f 在定义域上是增函数；（2）若31)1(=f ，解不等式0))1((log 2<-x f ．如图，角,αβ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，锐角α的终边与单位圆交于点A ．（1）若点A 的坐标为43(,)55，OA 绕原点逆时针旋转4π， 与角β的终边重合，求sin β；（2）已知点(0,C ，(1,0)D ，角α终边的反向延长线，与单位圆交于点B ，求当角α取何值时，四边 形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．20．（本小题满分12分）用水清洗蔬菜上残留的农药时，用水量越多，农药残留量越小，现有两种清洗方式：①用x 个单位的水冲洗，冲洗后与冲洗前残留量之比满足函数关系2411)(xx f +=； ②用x 个单位的水充分浸泡，浸泡后与浸泡前残留量之比满足函数关系xa ax g +=)(．已知用21个单位的水冲洗或浸泡蔬菜后，农药残留量相等．（1）求)(x g ，并说明)0(g 的实际意义；（2）现用m 个单位的水清洗蔬菜，可选择冲洗，也可选择把水均分成两份后浸泡两次，哪种方案清洗后蔬菜农药残留量比较少？请说明理由．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的周期为π，图象关于直线4x π=对称．（1）求()f x 的解析式，并画出其在区间[]0,π上的图象；（2）将sin y x =图象上的点的横坐标缩短至原来的12倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移2π个单位得到()g x 的图象．当[]0,10x π∈时，求函数2()12[()](21)()1F x f x a g x a =--+--(01)a ≤<的零点个数．22．（本小题满分12分）已知函数xx x f -+=33log )(2，k x k x k x g +-+-=)2()1()(2． （1）判断函数)(x f 的奇偶性，并画出)(x f 在]37,37[-上的图象；（2）若)59,0(∈x 时，函数)2)(()(+=x f g x h 有两个零点，求实数k 的取值范围．高一数学期末复习2参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1—5：AACAC 6—10：BDADB 11-12AD 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．1- 14．23m <- 15．60︒ 16．3三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分）解：（1）依题意，集合[1,)A =-+∞，[1,5]B =， ················································· 2分所以(,1)(5,)B =-∞+∞R ð， ······························································· 3分 所以()[1,1)(5,)AB =-+∞R ð．························································· 5分 （2）由B C ⊆得2125a a -≤⎧⎨≥⎩，（列对一个不等式给2分） ·································· 8分解得532a ≤≤，即实数a 的取值范围是5[,3]2········································ 10分18．（本小题满分12分）解：（1）函数()f x 的定义域为R任取12,x x R ∈，且12x x < ···································································· 1分则121222()()(1)(1)11x x f x f x a a -=---++12122()(1)(1)x x xx a a a a -=++ ······················ 3分 12x x <且1a >210x x a a ∴>>12120,(1)(1)0x x x x a a a a ∴-<++> ························································· 4分 12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x < ···················································· 5分()f x ∴在其定义域上是增函数． ·························································· 6分 （2）21(1)113f a =-=+2a ∴= ································································ 7分 法一：由（1）得()f x 在其定义域上是增函数 ········································· 8分又02(0)1021f =-=+，（不写，不扣分） ·········································· 9分 2(log (1))0f x ∴-<化为2(log (1))(0)f x f -< ········································ 10分 即2log (1)0x -<，011x ∴<-< ························································ 11分12x ∴<< ····················································································· 12分 即原不等式的解集为(1,2) 法二：由10x ->得1x > ···································································· 8分由2(log (1))0f x -<得2log (1)21021x --<+ ················································· 9分 所以210(1)1x -<-+，即21x< ·························································· 11分因为1x >，所以12x << ·································································· 12分 所以原不等式的解集为(1,2)19．（本小题满分12分） 解：（1）依题意得43cos ,sin 55αα== ····························································· 1分角α的终边绕原点逆时针转4π与角β的终边重合， ∴=+2,4k k πβαπ+∈Z ··································································· 2分∴sin sin()4πβα=+········································································ 3分sin coscos sin4ππαα=+ ································································ 4分34525210=⨯+⨯= ································································ 5分 （2）设00(,)A x y ，则00(,)B x y --，由三角函数的定义得0cos x α=，0sin y α=， ∴(cos ,sin )A αα，(cos ,sin )B αα--， ············································· 7分∴四边形ABCD 的面积OAD ODC OCB S S S S ∆∆∆=++111||sin ||||||cos 222OD OD OC OC αα=⋅+⋅+⋅ 1sin 222αα=++······························ 9分 sin()3πα=++····································· 10分02πα<<，∴5336πππα<+<···················································· 11分 ∴当32ππα+=即6πα=时，四边形ABCD 的面积达到最大值1+ ····· 12分 20．（本小题满分12分）解：（1）当使用12单位的水进行浸泡时，浸泡后农药残留量与浸泡前残留量的比值为1112=12122g a a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭+， ····································································· 2分由条件，两种清洗方式清洗效果相同，故111222g f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ··················· 3分所以12a =，()112g x x=+； ······························································· 4分(0)1g =，表示没有用水洗时，蔬菜上的农药残留量没有减少． ·················· 5分 （2）若仅用m 个单位的水进行冲洗，则残留的农药比例为()2114f m m =+ ·········· 6分若将水均分成两份进行浸泡，则残留的农药比例为()2211==221+1+22m m g g m m ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭， ······················ 7分 所以()()()()2222221123==21411+41m m m f m g m m m m -⎛⎫-=- ⎪+++⎝⎭ ··················· 9分当2230m m ->，即20,3m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()22m f m g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，浸泡两次后农药残留量较少 ······································· 10分当223=0m m -，即2=3m 时，()2=2m f m g ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 冲洗与浸泡两次后农药残留量相等 ······················································ 11分 当2230m m -<，即2+3m ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，时，()22m f m g ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 冲洗后农药残留量较少． ·································································· 12分21．（本小题满分12分） 解：（1）2ππω=，2ω∴=； ····································································· 1分 函数()f x 图象关于4x π=对称，∴sin()12πϕ+=±法一：∴,22k k ππϕπ+=+∈Z ，22ππϕ-<<，∴0ϕ= ··················· 3分法二：∴cos 1ϕ=±，22ππϕ-<<，∴0ϕ=∴函数()f x 的解析式为()sin 2f x x =找到5个关键点1分，图象1分） ····································································· 5分（2）依题意得()sin(2)sin 2g x x x π=+=- ··················································· 6分∴2()(12sin 2)(21)sin 21F x x a x a =-++-- ······································ 7分22sin 2(21)sin 2(2sin 21)(sin 2)x a x a x x a =-++-=--- ········· 8分令()0F x =，∴1sin 22x =或sin 2x a = ··············································· 9分1sin 22x =在],0(π上有2个实根，∴在(]0,10π上有20个实根，①当12a =时，210sin ≠，∴函数()F x 在区间[]0,10π上有20个零点． · 10分②当0a =时，sin 20x =在],0(π上有2个根，∴在(]0,10π有20个实根，又00sin =sin 20x =在[]0,10π上有21个实根， ∴函数()F x 在区间[]0,10π上有41个零点． ·································· 11分③当102a <<或112a <<时 sin 2x a =在],0(π上有2个实根，∴在(]0,10π上有20个实根，又a ≠0sin ，0sin =∴x 函数()F x 在区间[]0,10π上有40个零点． · 12分∴22．（本小题满分12分）解：（1）由3>03xx+-得定义域为()3,3- ······························································· 1分 2233()log log ()33x xf x f x x x-+-==-=-+-，所以()f x 为奇函数 ···················· 3分 图象过原点，端点值、单调性正确给1分，不要求列表描点和证明单调性 ···· 5分 （2）令()+2t f x =，则(2,4)t ∈，令2()(1)(2)g t k t k t k =-+-+（*）6分当)59,0(∈x 时，函数)2)(()(+=x f g x h 有两个零点等价于方程2(1)(2)0k t k t k -+-+=在(2,4)t ∈有两个不等实根，······························ 7分 法一：依题意得2021k k ->-（）-（），解得(1,2)k ∈，······································· 8分 令函数2()(1)(2)g t k t k t k =-+-+，开口向上所以222421(2)4(1)0(2)4(1)2(2)0(4)16(1)4(2)0k k k k k g k k k g k k k -⎧<<⎪-⎪⎪∆=--->⎨⎪=-+-+>⎪=-+-+>⎪⎩-（）（） ················································· 10分即106958787k k k k ⎧<<⎪⎪⎪<<⎪⎪⎨⎪>⎪⎪⎪>⎪⎩，解得8(7k ∈ ············································· 12分所以当8(7k ∈时，函数()h x 有两个零点． 法二：由（*）式可得2212k t t t t ++=+（），即22221=1+11t t t k t t t t +-=++++ ······· 8分 令1(1,3)t m -=∈2211+113(1)11333m m k m m m m m m==+=+++++++++ ························ 10分当m ∈时，1133y m m=+++单调递增，此时8(7y ∈ ·············· 11分当m ∈时，1133y m m=+++单调递减，此时8(7y ∈所以当8(7k ∈时，函数()h x 有两个零点． ···································· 12分。