【线性代数】07-线性函数1. 线性函数1.1 k重线性函数 前⾯讨论了纯代数意义上的线性空间，在实际场景中，我们经常需要处理向量的度量。
度量⼀般表现为向量的函数，⽐如⾏列式可以看成是n个⾏（列）向量的函数，矩阵之积的每⼀个元素其实就是⼀个⾏向量和⼀个列向量的函数。
严格来讲，对域F上的线性空间V，映射V\times\cdots\times V\mapsto F（k个V）叫做线性空间V上的k元函数，⼀般记作f(\xi_i,\cdots,\xi_k)。
如果函数在每⼀个变量\xi_i上都满⾜线性等式（1），它也叫V上的k重线性函数。
由定义容易知道，如果选定V的⼀组基，k重线性函数可以由\xi_1,\cdots,\xi_k分别取遍这组基所唯⼀确定。
特别地，n维线性空间上的k重线性函数由n^k个独⽴变量完全确定。
所有k重线性函数可以组成F上的线性空间，严格定义你可以⾃⼰给出。
f(\cdots,\xi_{i-1},k_1\alpha+k_2\beta,\xi_{i+1},\cdots)=k_1f(\cdots,\xi_{i-1},\alpha,\xi_{i+1},\cdots)+k_2f(\cdots,\xi_{i-1},\beta,\xi_{i+1},\cdots)\tag{1} 前⾯举的⾏列式和⾏列向量乘法显然都是线性函数，观察这两个例⼦，我们发现线性函数还有⼀个性质可以继续讨论，那就是变量\xi_i,\xi_j位置的交换对函数值的影响。
当然我们只讨论最典型的情况，对任何向量，式（2）恒成⽴的函数叫对称线性函数，⽽式（3）恒成⽴的叫反对称线性函数，这两种情况都是⽐较常见的。
容易证明，对称线性函数变量的顺序可以随意改变，⽽不影响函数的值。
f(\cdots,\xi_i,\cdots,\xi_j,\cdots)=f(\cdots,\xi_j,\cdots,\xi_i,\cdots)\tag{2}f(\cdots,\xi_i,\cdots,\xi_j,\cdots)=-f(\cdots,\xi_j,\cdots,\xi_i,\cdots)\tag{3} 反线性函数中，若\xi_i=\xi_j，则有f(\cdots,\xi_i,\cdots,\xi_j,\cdots)=0，继⽽将某个变量的倍数加到另⼀个变量后，函数的值不变。
