一元二次方程辅导1

1、认识一元二次方程2、掌握一元二次方程常见解法；3、经历一元二次方程解法的发现过程，体验归纳、类比的思想方法。

第一课时 一元二次方程的四种解法知识梳理1．已知x=1是一元二次方程2210mx x -+=的一个解，则m 的值是多少？2．已知关于x 的一元二次方程222320()x m mx ++-=-的一个根是0，求m 的值。

3.已知x=1是方程210x mx -+=的根，化简226912m m m m -+--+；4.已知实数a 满足2280a a+-=，求)3)(1(12)1)(1(31a 12+++-⨯+-+-+a a a a a a a 的值。

新课标第一网5.已知m ，n 是有理数，方程20x mx n ++=有一个根是52-，求m+n 的值。

课前检测一、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解） 形式：2()x a b +=举例：解方程：29(1)25x +=解：方程两边除以9，得：225(1)9x += 1251352581,13333x x x ∴+=±∴=-==--=-二、配方法：（理论依据：根据完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±，将原方程配成2()x a b +=的形式，再用直接开方法求解.）举例：解方程：24830x x -+= 配方法解一元二次方程20ax bx c ++= (0a ≠)的步骤：解： 23204x x -+= ①、二次项系数化为1. (两边都除以二次项系数.)2324x x -=- ②、移项.(把常数项移到=号右边.) 22232114x x -+=-+ ③、配方.(两边都加上一次项系数绝对值一半的 21(1)4x -= 平方，把原方程化成2()x a b +=的形式) ∴112x -=± ④、求解.(用直接开方法求出方程的解.) 113111,212222x x ∴=+==-+=三、公式法：（求根公式：242b b ac x a-±-=） 举例：解方程：2273x x -= 公式法解一元二次方程的步骤：解： 22730x x --= ①、把一元二次方程化为一般形式：20ax bx c ++=(0a ≠)2,7,3a b c ∴==-=- ②、确定,,a b c 的值.知识梳理60x ∴-=或10x +=216,1x x ∴==-【4】其它常见类型举例：①、解方程：(1)(3)8x x ++= ②、解方程：222x +x-1=x +x（换元法） 解：原方程可变形为： 解：令2x +x y =，原方程可化为：21y y-=， 即：220y y --= 2450x x +-= ∴(2)(1)0y y -+= ∴20y -=或10y +=(5)(1)0x x +-= ∴122,1y y ==-50x ∴+=或10x -= ∴22x x +=，即220x x +-=215,1x x ∴=-= (2)(1)0x x +-=，212,1x x ∴=-=或21x x +=-，即210x x ++=1,1,1a b c ∴=== 224141130b ac ∴-=-⨯⨯=-<∴方程210x x ++=无解。

《一元二次方程》数学教案8篇作为一位兢兢业业的人民教师，通常需要准备好一份教案，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。

那么什么样的教案才是好的呢？这里作者为大家分享了8篇《一元二次方程》数学教案，希望在一元二次方程教案的写作这方面对您有一定的启发与帮助。

元二次方程教案篇一一、教材分析：1、教材所处的地位：此前学生已经学习了应用一元一次方程与二元一次方程组来解决实际问题。

本节仍是进一步讨论如何建立和利用一元二次方程模型来解决实际问题，只是在问题中数量关系的复杂程度上又有了新的发展。

2、教学目标要求：（1）能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；（2）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理；（3）经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述；（4）通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。

3、教学重点和难点：重点：列一元二次方程解与面积有关问题的应用题。

难点：发现问题中的等量关系。

二．教法、学法分析：1、本节课的设计中除了探究3教师参与多一些外，其余时间都坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性。

教学过程中，教师只注重点、引、激、评，注重学生探究能力的培养。

还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的产生过程，拓展学生的创造性思维。

同时，注意加强对学生的启发和引导，鼓励培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究的思想。

2、本节内容学习的关键所在，是如何寻求、抓准问题中的数量关系，从而准确列出方程来解答。

因此课堂上从审题，找到等量关系，列方程等一系列活动都由生生交流，兵教兵从而达到发展学生思维能力和自学能力的目的，发掘学生的创新精神。

三．教学流程分析：本节课是新授课，根据学生的知识结构，整个课堂教学流程大致可分为：活动1复习回顾解决课前参与活动2封面设计问题的探究活动3草坪规划问题的延伸活动4课堂回眸这有名程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。

新人教版九年级数学上册21 一元二次方程复习1导学案学习目标：能灵活选择解题方法正确熟练地解一元二次方程．重点：解一元二次方程．难点：解含有一个参数的一元二次方程．一、相关知识链接：一元二次方程的一般形式是：02=++c bx ax （a 、b 、c 是已知数，特别强调．．．．0≠a ）， 其中a 、b 、c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项．练习1: 把一元二次方程3)4()3(2+-=-x x x x 化为一般形式为 ， 其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．练习2: （1）已知关于x 的方程()0122=-+-ax x a 为一元二次方程，则a 的取值范围是 ．（2）关于x 的一元二次方程043)2(22=+-+-m x x m 有一个解是0，则=m ．二、一元二次方程的解法：（1）解一元二次方程的基本思想是通过降次将其转化为一元一次方程.（2）常用的解法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法.其中配方法和公式法适用于解任何一元二次方程．配方法的步骤：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式是 ．其中△=ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式；① 当 042>-ac b 时，方程 的实数根；② 当 042=-ac b 时，方程 实数根； ③ 当 042<-ac b 时，方程 实数根；④ 当 时，方程有两个实数根。

（3）想一想：怎样选择合适的方法解一元二次方程？问题解决：练习1:1．方程0)5)(2(=+-x x 的解为 ． 2．方程())1(31-=-x x x 的解为 ．3．+-x x 42 =2______)(-x ．4．若关于x 的一元二次方程()0022≠=++a bx ax 的一个根为1-，则=-b a ． 5．已知一元二次方程042=++k x x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为 ．6．方程12-=k x 有两个实数根，则k 的取值范围是 ．练习2: 请你选择适当的方法解下列方程．．．．．．．： （1）02)1(2=--x ． （2）0232=+x x ． （3）0262=+-x x ．练习3：1．经过配方，方程0762=+-x x 可以变形为 （ ）A ．16)3(2=-xB ．2)3(2=+xC ．29)6(2=-xD ．2)3(2=-x 2． 不解方程，判别方程03532=+-x x 的根的情况是 （ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根3．已知m是方程42=-x x 的解，则代数式m m 2232+-的值是 （ ）A ．－3B ．－5C ．1D ．－1【课堂探究】问题1：解下列方程：（1）83752+=++x x x （2）1422+=x x问题2：已知：关于x 的一元二次方程022=+-n mx x ．（1）当2=m 时，方程有两个实数根，求n 的取值范围；（2）若n （0≠n ）是这个方程的一个实数根，且7=+m n ，求n 的值．问题3：已知关于x 的一元二次方程01)(2)1(222=+++-+b x b a x a ．（1）当2=b 时，方程有一个实数根为2，求a 的取值范围；（2）若此方程有实数根，当13-<<-a 时，求b 的取值范围．【课堂检测】1．一元二次方程x x 2332-=的一次项系数和常数项分别是 （ ）A ．2和－3B ．3 和－2C ．－3和2D ．3和22．方程02=+x x 的根是 （ ）A ．1-=xB ．01=x ，12-=xC ．01=x ，1=xD ．x x -=1，x x --=2 3．若关于x 的一元二次方程01)1(22=-+--k x x k 的一个根为0，则k 等于 （ ）A ．1-=k 或1=kB ．1=kC ．1-=kD ．1=k4．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是 （ ）A ．12+=x xB ．0122=-+x xC ．022=+x xD ．02222=+-x x5．方程k x -=32有两个实数根，则k 的取值范围是 ． 6．解下列方程：（1）142+=x x ． （2）2275x x =+7．已知关于x 的一元二次方程)(2)2(2m x x m m x -=-+的两个实数根分别为1x ，2x ．（1）若方程有一个根是2，求m 的值；（2）若012>>x x ，且1242x x y -=，求y 的取值范围．。

03一元二次方程高中必备知识点1：根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a -+=．①因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝242b b ac a-±-；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝242b b ac a-±-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．典型考题【典型例题】关于的一元二次方程，其根的判别式为，求的值．【变式训练】已知关于的一元二次方程若方程的一个根为，求的值及另一个根； 若该方程根的判别式的值等于，求的值．【能力提升】方程（x ﹣5）（2x ﹣1）=3的根的判别式b 2﹣4ac = ．高中必备知识点2：根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根2142b b ac x a --=，2242b b acx a--=， 则有2212442222b b ac b b ac b bx x a a a a------+=+==-；2222122244(4)42244b b ac b b ac b b ac ac cx x a a a a a-+-----=⋅===． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．典型考题【典型例题】如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请问一元二次方程x 2﹣6x +8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由． （2）若一元二次方程x 2+bx +c ＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b 、c 的值．【变式训练】求方程x 2﹣2x ﹣2＝0的根x 1，x 2（x 1＞x 2），并求x 12+2x 2的值．【能力提升】已知关于x 的一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2＝0有两根α，β (1)求m 的取值范围； (2)若α+β+αβ＝0．求m 的值．专题验收测试题1．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2﹣mx ﹣3＝0的两个根，下面结论一定正确的是（ ） A ．x 1+x 2＞0B ．x 1≠x 2C ．x 1•x 2＞0D ．x 1＜0，x 2＜02．已知关于x 的一元二次方程2x 2+mx ﹣3＝0的一个根是﹣1，则另一个根是（ ） A ．1B ．﹣1C ．23D ．32-3．用配方法解一元二次方程x 2+4x ﹣5＝0，此方程可变形为（ ） A ．（x +2）2＝9B ．（x ﹣2）2＝9C ．（x +2）2＝1D ．（x ﹣2）2＝14．有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了90场，每两队之间都比赛2场，则下列方程中符合题意的是（ ） A ．12x （x ﹣1）＝90 B ．12x （x +1）＝90 C ．x （x ﹣1）＝90 D ．x （x +1）＝905．关于x 的一元二次方程x 2﹣x +m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≤3B ．m ＞3C ．m ＜3D ．m ≥36．关于x 的方程（m ﹣2）x 2﹣m -3x +14＝0有实数根，则m 的取值范围（ ）A．m≤52且m≠2B．m＞52C．m≤52D．m≤3且m≠27．关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定8．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．2x2+3＝0 B．x2＝2x C．x2+4x﹣1＝0 D．x2﹣8x+16＝0 9．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝2a，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝2a．则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长10．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），则a的取值范围是（）A．a＜3 B．a＞3 C．a＜﹣3 D．a＞﹣311．一元二次方程x（x+5）＝x+5的解为_____．12．一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值为_____．13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2+m＝0无实数根，则m的取值范围是_____．14．已知x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个实数根，那么直线y＝（1211x x）x﹣（x12+x22）不经过第_____象限．15．已知x=-1是关于x的一元二次方程x2+(m+ 1)x-m2=0的一个实数根,则m=_____. 16．已知α、β是一元二次方程x2﹣2019x+1＝0的两实根，则代数式（α﹣2019）（β﹣2019）＝_____．17．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣k﹣2＝0．（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根之和等于3，求k的值以及方程的两个根．18．四川雅安地震牵动着全国人民的心，扬州市教育局开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款14400元(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； (2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 19．解方程或不等式： （1）解方程：； （2）解不等式．20．关于x 的一元二次方程x 2﹣(2k ﹣1)x +k 2+1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． (1)求实数k 的取值范围；(2)若方程的两实数根x 1，x 2满足|x 1|+|x 2|＝x 1•x 2，求k 的值．21．关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2+1=0有两个不等实根x 1，x 2． （1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两实根x 1，x 2满足x 1+x 2=－x 1x 2，求k 的值． 22．已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根．求k 的取值范围；若k 为负整数，求此时方程的根．专题03一元二次方程高中必备知识点1：根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a -+=．①因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝242b b ac a-±-；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝242b b ac a-±-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．典型考题【典型例题】关于的一元二次方程，其根的判别式为，求的值．【答案】．【解析】 由题意得，，整理得，， 解得：．【变式训练】已知关于的一元二次方程若方程的一个根为，求的值及另一个根；若该方程根的判别式的值等于，求的值．【答案】(1)；即原方程的另一根是．【解析】（1）设方程的另一根是x2．∵一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0的一个根为3，∴x=3是原方程的解，∴9m﹣（m+2）×3+2=0，解得m=；又由韦达定理，得3×x2=，∴x2=1，即原方程的另一根是1；（2）∵△=（m+2）2﹣4×m×2=1∴m=1，m=3．【能力提升】方程（x﹣5）（2x﹣1）=3的根的判别式b2﹣4ac= ．【答案】105【解析】先把方程（x﹣5）（2x﹣1）=3化为一元二次方程的一般形式，再求出根的判别式即可．方程（x﹣5）（2x﹣1）=3化为一元二次方程的一般形式为：2x2﹣11x+2=0，故△=b2﹣4ac=（﹣11）2﹣4×2×2=105．高中必备知识点2：根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根1x =，2x =， 则有1222b bx x a a-+===-；221222(4)444b b ac ac cx x a a a--====．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．典型考题【典型例题】如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请问一元二次方程x 2﹣6x +8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由． （2）若一元二次方程x 2+bx +c ＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b 、c 的值． 【答案】（1）该方程是倍根方程，理由见解析；（2）当方程根为1，2时， b ＝﹣3，c ＝2；当方程根为2，4时b ＝﹣6，c ＝8． 【解析】（1）该方程是倍根方程，理由如下：x 2﹣6x +8＝0，解得x 1＝2，x 2＝4， ∴x 2＝2x 1，∴一元二次方程x 2﹣6x +8＝0是倍根方程；（2）∵方程x 2+bx +c ＝0是倍根方程，且方程有一个根为2， ∴方程的另一个根是1或4，当方程根为1，2时，﹣b ＝1+2，解得b ＝﹣3，c ＝1×2＝2； 当方程根为2，4时﹣b ＝2+4，解得b ＝﹣6，c ＝2×4＝8．【变式训练】求方程x 2﹣2x ﹣2＝0的根x 1，x 2（x 1＞x 2），并求x 12+2x 2的值． 【答案】6 【解析】方程x 2﹣2x ﹣2＝0的根x 1，x 2，∴211220x x --=，.221=+x x∴()112122222222262.22x x x x x x =++=++=⨯+=+【能力提升】已知关于x 的一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2＝0有两根α，β (1)求m 的取值范围； (2)若α+β+αβ＝0．求m 的值． 【答案】(1)m ≥﹣；(2)m 的值为3． 【解析】(1)由题意知，(2m +3)2﹣4×1×m 2≥0， 解得：m ≥﹣；(2)由根与系数的关系得：α+β＝﹣(2m +3)，αβ＝m 2， ∵α+β+αβ＝0， ∴﹣(2m +3)+m 2＝0，解得：m 1＝﹣1，m 1＝3， 由(1)知m ≥﹣， 所以m 1＝﹣1应舍去， m 的值为3．专题验收测试题1．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2﹣mx ﹣3＝0的两个根，下面结论一定正确的是（ ） A ．x 1+x 2＞0 B ．x 1≠x 2C ．x 1•x 2＞0D ．x 1＜0，x 2＜0【答案】B 【解析】解：∵△＝（﹣m ）2﹣4×1×（﹣3）＝m 2+4＞0， ∴方程x 2﹣mx ﹣3＝0有两个不相等的实数根， ∴x 1≠x 2． 故选：B ．2．已知关于x 的一元二次方程2x 2+mx ﹣3＝0的一个根是﹣1，则另一个根是（ ） A ．1 B ．﹣1C ．23D ．32【答案】C 【解析】设方程的另一根为x 1，根据根与系数的关系可得：﹣1•x 1＝﹣32， 解得x 1＝32． 故选：C ．3．用配方法解一元二次方程x 2+4x ﹣5＝0，此方程可变形为（ ） A ．（x +2）2＝9 B ．（x ﹣2）2＝9 C ．（x +2）2＝1 D ．（x ﹣2）2＝1【答案】A 【解析】解：x 2+4x ﹣5＝0， x 2+4x ＝5，x2+4x+22＝5+22，（x+2）2＝9，故选：A．4．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了90场，每两队之间都比赛2场，则下列方程中符合题意的是（）A．12x（x﹣1）＝90 B．12x（x+1）＝90 C．x（x﹣1）＝90 D．x（x+1）＝90【答案】C【解析】解：由题意可得，x（x﹣1）＝90，故选：C．5．关于x的一元二次方程x2﹣23x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≤3B．m＞3 C．m＜3 D．m≥3【答案】C【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣23x+m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣23）2﹣4×1×m＞0，解得m＜3．故选：C．6．关于x的方程（m﹣2）x2﹣m3x+14＝0有实数根，则m的取值范围（）A．m≤52且m≠2B．m＞52C．m≤52D．m≤3且m≠2【答案】C 【解析】当m﹣2＝0，即m＝2时，关于x的方程（m﹣2）x2﹣x+14＝0有一个实数根，当m﹣2≠0时，∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣x+14＝0有实数根，∴△＝3﹣m ﹣4（m ﹣2）•14≥0， 解得：m ≤52， ∴m 的取值范围是m ≤52， 故选：C ．7．关于x 的一元二次方程x 2﹣（m +2）x +m ＝0根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定 【答案】A【解析】由关于x 的一元二次方程x 2﹣（m +2）x +m ＝0，得到a ＝1，b ＝﹣（m +2），c ＝m ，△＝（m +2）2﹣4m ＝m 2+4m +4﹣4m ＝m 2+4＞0，则方程有两个不相等的实数根，故选A ．8．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A ．2x 2+3＝0B ．x 2＝2xC ．x 2+4x ﹣1＝0D ．x 2﹣8x +16＝0 【答案】A【解析】A 、△＝0﹣24＝﹣24＜0，即方程没有实数根，符合题意；B 、△＝4﹣0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；C 、△＝16+4＝20＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；D 、△＝64﹣64＝0，方程有两个相等的实数根，不符合题意，故选：A ．9．欧几里得的《原本》记载，形如x 2+ax ＝b 2的方程的图解法是：画Rt △ABC ，使∠ACB ＝90°，BC ＝2a ，AC ＝b ，再在斜边AB 上截取BD ＝2a ．则该方程的一个正根是（ ）A ．AC 的长B ．AD 的长C ．BC 的长D ．CD 的长【答案】B【解析】欧几里得的《原本》记载，形如x 2+ax ＝b 2的方程的图解法是：画Rt △ABC ，使∠ACB ＝90°，BC ＝2a ，AC ＝b ，再在斜边AB 上截取BD ＝2a ， 设AD ＝x ，根据勾股定理得：（x +2a ）2＝b 2+（2a ）2， 整理得：x 2+ax ＝b 2，则该方程的一个正根是AD 的长，故选：B ．10．若关于x 的一元二次方程ax 2+2x ﹣5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜3B ．a ＞3C ．a ＜﹣3D ．a ＞﹣3【答案】B【解析】试题分析：当x =0时，y =－5；当x =1时，y =a －3，函数与x 轴在0和1之间有一个交点，则a －3＞0，解得：a ＞3．考点：一元二次方程与函数11．一元二次方程x （x +5）＝x +5的解为_____．【答案】x 1＝﹣5，x 2＝1【解析】解：方程整理得：x （x +5）﹣（x +5）＝0，分解因式得：（x +5）（x ﹣1）＝0，解得：x 1＝﹣5，x 2＝1，故答案为：x 1＝﹣5，x 2＝112．一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，则x 12+3x 2+x 1x 2﹣2的值为_____．【答案】7【解析】解：∵一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，∴x 12＝3x 1+2，x 1x 2＝﹣2，x 1+x 2＝3，∴x 12+3x 2+x 1x 2﹣2＝3x 1+2＝3（x 1+x 2）+x 1x 2＝7，故答案为：7．13．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +2+m ＝0无实数根，则m 的取值范围是_____． 【答案】14m >【解析】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4（2+m ）＜0， 解得m ＞14． 故答案为m ＞14． 14．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2+3x ﹣6＝0的两个实数根，那么直线y ＝（1211x x +）x ﹣（x 12+x 22）不经过第_____象限．【答案】二【解析】∵x 1、x 2是一元二次方程x 2+3x ﹣6＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝﹣3，x 1•x 2＝﹣6， ∴121112x x +=， x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝32﹣2×（﹣6）＝21，∴y ═221212111()()212x x x x x x +-+=-， ∴该函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故答案为：二．15．已知x =-1是关于x 的一元二次方程x 2+(m + 1)x -m 2=0的一个实数根,则m =_____.【答案】0或－1【解析】由题意可知：将1x =-代入方程()22 10x m x m ++-=可得22(1)(1)(1)0m m -++⨯--= 整理可得：20m m +=(1)0m m += ，即01m m ==-或故答案为：01-或16．已知α、β是一元二次方程x2﹣2019x+1＝0的两实根，则代数式（α﹣2019）（β﹣2019）＝_____．【答案】1【解析】∵α、β是一元二次方程x2﹣2019x+1＝0的两实根，∴α2﹣2019α＝﹣1，β2﹣2019β＝﹣1，αβ＝1，2019＝1．∴（α﹣2019）（β﹣2019）＝αβ-2019（α+β）+2故答案为：1．17．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣k﹣2＝0．（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根之和等于3，求k的值以及方程的两个根．【答案】（1）见解析；（2）x1＝，x2＝．【解析】（1）证明：因为△＝k2﹣4（﹣k﹣2）＝k2+4k+8＝（k+2）2+4＞0，所以方程有两个不相等的实数根．（2）由题意，得﹣k＝3，所以k＝﹣3．当k＝﹣3时，方程为x2﹣3x+1＝0．所以x1＝，x2＝．根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握判别式公式，（2）正确掌握根与系数的关系公式．18．四川雅安地震牵动着全国人民的心，扬州市教育局开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款14400元(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？【答案】(1)捐款增长率为10%；(2)第四天该单位能收到13310元捐款．【解析】(1)设第二天、第三天的增长率为x，由题意，得10000(1+x)2＝12100，解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1(舍去)．则x＝0.1＝10%．答：捐款增长率为10%；(2)第四天收到的捐款为12100×(1+10%)＝13310(元)．答：第四天该单位能收到13310元捐款．19．解方程或不等式：（1）解方程：；（2）解不等式．【答案】（1）；（2）【解析】（1）解：（2）解：由①得，由②得，故20．关于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．(1)求实数k的取值范围；(2)若方程的两实数根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．【答案】(1)k＜﹣34；(2)-2．【解析】解：(1)根据题意得△＝(2k﹣1)2﹣4(k2+1)＞0，解得k＜﹣34；(2)x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+1，∵k＜﹣34，∴x1+x2＝2k﹣1＜0，而x1x2＝k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0，∵|x1|+|x2|＝x1•x2，∴﹣(x1+x2)＝x1•x2，即﹣(2k﹣1)＝k2+1，整理得k2+2k＝0，解得k1＝0，k2＝﹣2，而k＜﹣34，∴k＝﹣2．21．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程两实根x1，x2满足x1+x2=－x1x2，求k的值．【答案】（1）k>；（2）2.【解析】（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=（2k+1）2-4（k2+1）＞0，解得：k＞，即实数k的取值范围是k＞；（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2=-（2k+1），x1•x2=k2+1，又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=-x1•x2，∴-（2k+1）=-（k2+1），解得：k1=0，k2=2，∵k＞，∴k只能是2．22．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．求k的取值范围；若k为负整数，求此时方程的根．【答案】（；（时，．【解析】(1)由题意得Δ＞0，即9－4(1－k)＞0，解得k＞.(2)若k为负整数，则k＝－1，原方程为x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2.。