一元二次方程的四种解法一对一辅导讲义教学教材

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1.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件， 全组共互赠了182件，问该生物兴趣小组共有多少名学生？
2.一个多边形有9条对角线，这个多边形有多少条边？ 3.某旅游团结束旅游时，其中一位旅客建议，大家互相言别，细心的小
明发现，每两个参加旅游的人互握一次手,所有人共握手66次,这次旅 游的旅客有多少人？ 4.有一个人用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短 信，经过两轮转发后共有56人收到同一短消息，每轮发送短信平均一 个人向多少人发送短信？ 5.我校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间只进行了一次比赛）， 共进行了6场比赛，那么我校有几个球队参加了这次比赛？若进行双循 环比赛呢？ 6.张老师有急事要电话通知全班60名同学，已知一分钟每人只能通知3人， 问:3分钟能否完成任务？
小 分
小 分
支
支
x
…… 枝干
解:设每个支干长出x个小分支,则
1+x+x·x=91
即
x2+x-90=0
解得,x1=9,x2=－10(不合题意,舍去) 答:每个支干长出9个小分支.
x
主
干首页 上页 下页来自1.本节课我们学习了哪些知识? 2.在学习过程中掌握了哪些方法？ 3.通过本节课的学习，你有什么体会？
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②在第二轮传染中，传染源是 x+1人，这些人中每一个人又传染了 x 人，那么第二轮传染了 (x+1)x 人，第二轮传染后，共有 1+x+（1+x）x 人患流感.
（3）题目中的等量关系是什么？
解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据题意得方程：
1+x+（1+x）x=121.

一元二次方程的解法辅导讲义辅导科目：数学 年 级: 班主任： 课 时 数：3 学员姓名： 学科教师： 授课主题 一元二次方程的解法授课日期及时段教 学 内 容一、知识梳理知识点一、一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1） 要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： 1、一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． 2、一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． 3、一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．（2） 任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式20ax bx c ++=()0a ≠．要特别注意对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方 程是一元一次方程．（3） 关于x 的一元二次方程式20ax bx c ++=()0a ≠的项与各项的系数．2ax 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．知识点二、一元二次方程的解法 一、配方法①配方法配方法：把方程化成左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，再利用直接开平方法求解 的这样一种方法就叫做配方法②配方法的一般步骤解形如20(0)ax bx c a ++=≠的一元二次方程， 运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：1、二次项系数化12、常数项右移3、配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）4、化成2()x m n +=的形式．5、若0n ≥，选用直接开平方法得出方程的解．22220 (0)()0 ()()022b b bax bx c a a x x c a x a c a a a ++=≠++=⇒+-+=⇒222224()()2424b b b b aca x c x a a a a-⇒+=-⇒+= 二、公式法①公式法公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b acx a a -+=根的判别式24b ac ∆=-，12,x x 是方程的两根，若240b ac ∆=-≥，则21,242b b acx a-±-= ②公式法解一元二次方程的一般步骤 公式法解方程的步骤： 1、把方程化为一般形式 2、确定a 、b 、c 的值． 3、计算24b ac -的值．4、若240b ac -≥，则代入公式求方程的根．5、若240b ac -<，则方程无解．三、因式分解法①因式分解法：当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求 解，这种用分解因式解一元二次方程的方法叫做因式分解法因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若 0ab =，则0a =或0b =；②因式分解法的条件：方程左边易于分解，右边等于0 ③因式分解法的一般步骤：将方程化为一元二次方程的一般形式；把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0；令每一个因式 都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解.四、可化为一元二次方程的分式方程的解法1、解可化为一元二次方程的分式方程的基本思想是：把分式方程“转化”为整式方程．2、解分式方程的方法：(1)去分母法；(2)换元法．3、用去分母法解分式方程的具体步骤是： （1）把方程两边都乘以最简公分母，约去分母； （2）解所得的整式方程；（3）验根．五、含参的一元二次方程的解法①含字母系数的二次方程的解法解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 和24b ac -的值，然后求解．但解字母系数方程时要注意：(1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；(2)不要把一元二次方程一般形式中的a 、b 、c 与方程中字母系数的a 、b 、c 相混淆； (3)在24b ac -开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能 ②判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实 数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b acx a-±-=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．知识点三、一元二次方程的整数根对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参 数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分 析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质． 方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件： ⑴ 24b ac ∆=-为完全平方数；⑵ 242b b ac ak -+-=或242b b ac ak ---=，其中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为 有理数)知识点四、 一元二次方程的根与系数的关系一、 韦达定理如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-， 12x x q ⋅=．二、 韦达定理与根的符号关系在24b ac ∆=-≥0的条件下，我们有如下结论：⑴ 当0c a<时，方程的两根必一正一负．若0b a -≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba -<， 则 此方程的正根小于负根的绝对值．⑵当0c a>时，方程的两根同正或同负．若0b a ->，则此方程的两根均为正根；若0ba -<，则此方程的两根均为负根．更一般的结论是：若1x ，2x 是20(0)ax bx c a ++=≠的两根（其中12x x ≥），且m 为实数，当0∆≥时，一般地：① 121()()0x m x m x m --<⇔>，2x m <② 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+->1x m ⇔>，2x m > ③ 12()()0x m x m -->且12()()0x m x m -+-<1x m ⇔<，2x m <特殊地：当0m =时，上述就转化为20(0)ax bx c a ++=≠有两异根、两正根、两负根的条件． 三、 韦达定理的应用（1）已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； （2）已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； （3）已知方程的两根，求作方程； （4）结合根的判别式，讨论根的符号特征；（5）逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；（6）利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设 置陷阱．二、例题讲解题型一、一元二次方程的解法例1、已知方程260x x q -+=可以配方成()27x p -=的形式，那么262x x q -+=可以配成下列的（ ） A ．()25x p -=B ．()29x p -=C ．()229x p -+=D ．()225x p -+=【答案】 B 【解析】 配方例2、方程260x x +-=的解是（ ） A ．13x =-，22x = B ．13x =，22x =- C ．13x =，23x =- D ．12x =，22x =-【答案】 D【解析】当0x >时，原方程变形为260x x +-=，利用公式法求解得12x =，23x =-（舍去），当0x <时，原方程变形为260x x --=，利用求根公式解得13x =（舍去），22x =-方程的根12x =，22x =-，故答案为D 选项．例3、一元二次方程2220x bx b --=的解为（ ） A ．1x b =-，22x b =- B ．1x b =，22x b = C ．1x b =-，22x b =D ．1x b =，22x b =-【答案】 C 【解析】原方程可化简为()()20x b x b +-=，因此0x b +=或20x b -=，解得1x b =-，22x b =．例4、分式方程22221332011x x x x +---=-+的解为（ ）A ．12x =，22x =-B ．12x =，22x =-，340x x ==C ．12x =，22x =-，340x x ==D ．11x =，21x =-【答案】 C 【解析】设2211x y x +=-，则原方程可化为320y y --=，解得13y =，21y =-，经检验，13y =，21y =-都是方程320y y --=的根．当13y =时，22131x x +=-，解得2x =±，经检验2x =±是方程的解；当21y =-时，22111x x +=--，解得120x x ==，故答案为C ．例5、含参一元二次方程032)1(32=-+--m x m mx 的解为（ ） A ．11x =-，223m x m -=B ．11x =-，223m x m-=- C ．11x =，223m x m -=D ．11x =，223m x m-=-【答案】【解析】因为原方程是一元二次方程，所以0m ≠，由因式分解法可得()()1230x mx m ---=⎡⎤⎣⎦，解得11x =，223m x m-=，故答案为C ． 例6、已知221140x x x x +---=，求1x x+的值【答案】 3或2- 【解析】 设1x t x +=，则原方程可化为260t t --=，解得13t =，22t =-，故1x x+的值为3或2-变式1、设方程22140x x ---=．求满足该方程的所有根之和 【答案】 26-【解析】当210x ->，即：12x >时，原方程可化为2230x x --=，解得：13x =，21x =-（舍去） 当210x -=，即：12x =时，代入原方程不成立，应舍去．当210x -<，即：12x <时，原方程可化为2250x x +-=，解得：316x =--，41162x =-+>（舍去）所以方程的所有根为3和16--，故方程的所有根之和为3(16)26+--=-变式2、解关于x 的方程22220x mx m n -+-= 【答案】12x m n x m n =-=+，【解析】()()0x m n x m n -+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以12x m n x m n =-=+，变式3、解方程()()()()()()11111111291012x x x x x x x x ++++=-+++++ 【答案】 96492x -±=【解析】 原式变形为11111012x x -=--，去分母整理得2211220x x +-=，解得96492x -±=，经检验都是原方程的根，故原方程的解为96492x -±=变式4、设实数,s t 分别满足2199910s s ++=，299190t t ++=并且1st ≠，求41st s t++的值【答案】 5-【解析】由299190t t ++=可知，0t ≠，故21119()9910t t +⋅+=．又2199910s s ++=，11st s t ≠⇒≠，故s 、1t 是方程2199910x x ++=的两根，从而可知19919s t +=-，119s t =，故41199195445191919st s s s t t t ++-=++⋅=-+⨯==-． 注意：此处方程是构造成2199910x x ++=还是299190x x ++=主要是根据待求式的结构特点而定，待求式含1t，构造方程2199910x x ++=更快．其实构造成299190x x ++=也可，不过此时两根变为1s 和t ，由根系关系可知199t s +=-，19ts=，故144195519t st s s t t s++++-===-题型二、一元二次方程的整数根 例1、方程()3211x x x ++-=的所有整数解的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】 C【解析】当211x x +-=，即1x =或2x =-时，原方程成立； 当211x x +-=-时，当0x =或1x =-．由()03111+-=-≠，()1311-+-=得1x =-是原方程的解；当21x x +-≠1或1-时，有30x +=，得3x =-，41x =，从而知原方程整数解的个数是4． 故选C ．例2、若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个【答案】 5【解析】当6k =时，得2x =；当9k =时，得3x =-，当6,9k ≠时，解得196x k =-，269x k=-，当6139k -=±±±，，时，1x 是整数，这时753153k =-，，，，；当91236k -=±±±±，，，时，2x 是整数这时10811712153k =，，，，，，综上所述，367915k =，，，，时原方程的解为整数变式、已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．【答案】 0或16【解析】设两个根为12x x ≥，由韦达定理得 12126x x ax x a +=-⎧⎨=⎩． 从上面两式中消去a 得12126x x x x ++=⇔12(1)(1)7x x ++=⇔121711x x +=⎧⎨+=⎩或121117x x +=-⎧⎨+=-⎩即1260x x =⎧⎨=⎩或1228x x =-⎧⎨=-⎩．所以120a x x ==或16．题型三、一元二次方程的根与系数的关系例1、若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1k >- B ．1k <C ．1k >-且0k ≠D ．1k <且0k ≠【答案】 C【解析】方程2210kx x --=是一元二次方程，则0k ≠，有两个不相等实数根，则()2240k ∆=-+>，解得1k >-，所以1k >-且0k ≠，答案为C ．例2、已知24b ac -是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ） A ．18ab ≥B ．18ab ≤C ．14ab ≥D ．14ab ≤【答案】 B【解析】∵方程有实数根，∴240b ac -≥．由题意，得22442b b ac b ac a -+-=- ⑴ 或22442b b ac b ac a ---=- ⑵ 令24u b ac =-，则方程⑴可化为：220au u b -+=，方程⑵化为：220au u b ++=∵24u b ac =-是方程⑴或⑵的解，∴方程⑴、⑵的判别式非负，即12180ab ∆=∆=-≥，∴18ab ≤，故答案为B 选项．变式、已知关于x 的方程()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．【答案】 1-【解析】 ∵()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根． ∴0∆=，即()()222210a b b b ++-+= ∴()()22210a b b ++-=，∴0a b +=，10b -= ∴1b =，1a =-，因此321a b +=-．三、课堂巩固1、设a ，b 都是正实数且1110a b a b +-=-，则b a的值为（ ） A ．152+ B ．352- C ．152-+ D ．152--【答案】C【解析】原式可化简为210b ba a⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得152b a -+=或152--（舍去）2、分式方程()()2211011n x x n n n n +-+=++的解为（ ）A ．1x n =，21x n =+B ．11x n =，211x n =+ C ．1x n =，211x n =+ D ．11x n =-，211x n =-+【答案】B【解析】原分式方程可化为1101x x n n ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭，故11x n =，211x n =+，故答案为B ．3、含参一元二次方程2(32)30mx m x m +-+-=的解为（ ） A ．11x =，23m x m -=B ．11x =-，23mx m-= C ．11x =，23mx m-= D ．无法判断【答案】 A【解析】因为原方程是一元二次方程，所以0m ≠，由因式分解法可得()()130x mx m ---=⎡⎤⎣⎦，所以11x =，23m x m-=，故答案为A ．4、若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________【答案】 2m =-【解析】由题意可知，240m -=，20m -≠，故2m =-5、已知2246130x y x y ++-+=，x 、y 为实数，求y x 的值【答案】 8-【解析】通过配方，原式可化为()()22230x y ++-=，由()220x +≥，()230y -≥可得2x =-，3y =，故()328y x =-=-6、解关于x 的方程210x x --=【答案】 1152x +=，2152x --=【解析】当0x ≥时，原方程化为210x x --=，解得152x ±=，因为0x ≥，故152x +=；当0x <时，原方程化为210x x +-=，解得152x -±=，因为0x <，所以152x --=，综上可得原方程的根为1152x +=，2152x --=7、解方程：2191502x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】 12x =，212x =，31x =【解析】 设1x y x +=，则原方程可化为29502y y -+=，解得12y =，252y =；当2y =时12x x +=，去分母整理得2210x x -+=，解得121x x ==，经检验是原方程的解；当52y =时152x x +=，去分母整理得22520x x -+=，解得12x =，212x =，经检验12x =，212x =都是原方程的解，故原方程的解为12x =，212x =，31x =8、已知α，β是一元二次方程210x x +-=的两个根，求5325αβ+的值【答案】 21-【解析】因为α是方程210x x +-=的根，所以210αα+-=，即21αα=-．()24211223ααααα=-=-+=-，()542232353αααααααα=⋅=-=-=-．同理()322121ββββββββ=⋅=-=-=-．所以()()()5325253521101121αβαβαβ+=-+-=+-=-9、（2014初三上期末朝阳区）某商场进价为每件40元的商品，按每件50元出售时，每天可卖出500件．如果这种商品每件涨价1元，那么平均每天少卖出10件．当要求售价不高于每件70元时，要想每天获得8000元的利润，那么该商品每件应涨价多少元？【答案】 10【解析】该题考察的是一元二次方程的应用．设售价应提高x 元，依题意得()()10500108000x x +-=，整理得2403000x x -+= 解方程得110x =；230x =，∵售价不高于70元，所以30x =不符合题意，答：该商品每件应涨价10元．这次课我学到了：签字：年 月 日课后作业1、()()2353x x x -=-的解是（ ） A ．52x =B ．3x =C ．152x =，23x = D ．25x =【答案】 C【解析】原方程可变形为()()3250x x --=，所以152x =，23x =，故答案为C 选项．2、分式方程2191502x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解为（ ）A ．2或12或1 B ．2或12C ．1D ．无实数解【答案】 A【解析】 设1x y x +=，则原方程可化为29502y y -+=，解得12y =，252y =；当2y =时12x x +=，去分母整理得2210x x -+=，解得121x x ==，经检验是原方程的解；当52y =时152x x +=，去分母整理得22520x x -+=，解得12x =，212x =，经检验12x =，212x =都是原方程的解，故原方程的解为12x =，212x =，31x =，故答案为A ．3、含参一元二次方程2(1)(21)20m x m x ---+=的解为（ ）A ．12x =-，211x m =-- B ．12x =，211x m =+ C ．无法确定 D ．12x =，211x m =-【答案】 D 【解析】因为原方程为一元二次方程，所以10m -≠，由因式分解法可得()()2110x m x ---=⎡⎤⎣⎦，所以12x =，211x m =-，故答案为D ．4、若关于x 的方程()0221123=----mx x m mm是一元二次方程，则m =__________【答案】 23m =-【解析】满足10m -≠，且232m m -=，解得23m =-5、（2012中考东城二模）阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程21x =-时，突发奇想：21x =-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使21i =-，那么当21x =-时，有x =±i ，从而x =±i 是方程21x =-的两个根． 据此可知：(1)i 可以运算，例如：321i i i i i =⋅=-⨯=-，则4i = ， 2011i =______________，2012i =__________________；(2)方程2220x x -+=的两根为 （根用i 表示）．【答案】（1）1；-i ；1（2）1i +和1i -【解析】该题考查的是求一元二次方程的根（1）根据21i =-可将4i 化为22i i ⋅；()100520112i i i =⋅；()100620122i i i =⋅进行计算即可；∵21i =-， ∴2421i i i =⋅= ∴()()10051005201121i i i i i ⋅⋅==-=-； ∴()()10061006201221i i i i i ⋅-⋅===．∴41i =，2011i i =-，20121i =……3分（2）先根据21i -=求出∆的值，再由公式法求出x 的值即可． ∵()224124∆=--⨯⨯=-，21i =- ∴24i ∆=，∴方程2220x x -+=的两根为22121ix i ±==±⨯，即1x i =+或1x i =-…5分6、解关于x 的方程()()()2220x p q x pq p q p q -+++-=【答案】1()x p p q =-，()2x q p q =+【解析】用十字相乘法分解因式得()()0x p p q x q p q ---+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以1()x p p q =-，()2x q p q =+7、已知关于x 的方程22212022m x x x x m-++=+-，当m 为何值时，方程恰有三个不相等的实数根？求出这三个实数根【答案】0m =，11x =-，212x =-+，312x =--【解析】设22x x y +=，则原方程可化为22210y my m -+-=，解得11y m =+，21y m =-，所以2210x x m +--=①，2210x x m +-+=②，从而148m ∆=+和24m ∆=应有一个等于0，一个大于0，经讨论当20∆=，即0m =时10∆>，此时②有两个相等的实数根1x =-，①有两个不等实数根12x =-±8、已知m 是不等式组210430m m -≥⎧⎨->⎩的整数解，α、β是关于x 的方程20x mx m --=的两个实根，求：⑴ 33αβ+的值；⑵ 43αβ+的值【答案】 4，5【解析】2101443023m m m -⎧⇒<⎨->⎩≥≤，又m 是整数，故1m =，210x x --=，15,2αβ±= 又α、1c <是210x x --=的两个实根，故210αα--=，210ββ--=． 故()()()332211224αβααββααββαβ+=+++=+++=++=． 故()43325αβαβ+=++=．9、（2012初二下期末朝阳区）列方程解应用题汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2009年盈利1500万元，到2011年盈利2160万元，且从2009年到2011年，每年盈利的年增长率相同．（1）该公司2009年到2011年每年盈利的年增长率是多少?（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2012年盈利多少万元?【答案】（1）0.2x =（2）2592万元【解析】该题考查的是列一元二次方程解应用题． （1）设该公司每年盈利的年增长率是x ．()2150012160x += 3分()21 1.44x +=解得：10.2x =，2 2.2x =-（不合题意，舍去） 4分 答：该公司每年的年增长率是20%（2）()216010.22592+= 5分 答：预计2012年盈利2592万元。

x1=4
x2=-4
因此，我们把方程的左边因式分解，
这样将一元二次方程转化为两个一
元一次方程来求解的方法叫做因式
分解法．
例 x2-5x+6=0
解：把方程的左边因式分解
得 (x-2)(x-3)=0
因此 ，有 x-2=0 或 x-3=0
解得 x1=2
x2=3
１） x2+3x=0 解：x(x+3)=0 因此有 x=0或 (x+3)=0
形如 ax2+c=0（a≠0,a,c异号）
ax2=-c
x2=-
c a
(a*c<0)
我们用直接开平方法求解．
当a*c>0时，此时原方程没有
实数解（根）．
形如 ax2+bx=0 (a≠0)
x(ax+b)=0
x=0 或 ax+b=0
x1=0
x2=-
b a
没有人能忽略这样一张脸孔：泪眼纷纷，呜咽声声，“求求，求求你们。”黑夜在颤抖，墨镜里，必藏着一双红肿、深陷、因其绝望而绝美的眼睛。 她叫苏珊,她说：“这原本是一个温良秋夜，她开车带着3岁和14个月大的两个孩子，行驶在静谧的公路上，忽然一个歹徒窜上车，持枪威逼她下车，带着她的孩子们，扬长而去。
生死教会她锐利果敢。所以她说，那一刻，没有一个母亲，会如苏珊般高贵沉着。 九天九夜的追捕，孩子们找到了。不在暗夜不在森林，而沉在冰冷的湖底。苏珊，终于向警方自首，的确是她，Leabharlann 为一点情欲的贪念，亲手杀了自己的孩子。
1994年的事了。偶尔在一本书里，读到前因后果，和那陌生女子的信。我低一低头，其实并没有泪。我想我懂。 我尚不及为人母，也不曾遭逢死亡，我却曾站在高处林下，看着爱人轻快远去，仿佛有鹳雀在他鞋底翻飞，他是急着赶另一个女子的约会吧?真相凄厉地直逼眼前。不是不知道，在泪落之前应该说再见，我却做不到。因为我爱他。

教学目标1．了解整式方程和一元二次方程的概念；2．知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。

3．通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。

教学建议教学重点和难点：重点：一元二次方程的概念和它的一般形式。

难点：对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定。

教学建议：1．教材分析：1）知识结构：本小节首先通过实例引出一元二次方程的概念，介绍了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程中各项的名称。

2）重点、难点分析理解一元二次方程的定义：是一元二次方程的重要组成部分。

方程，只有当时，才叫做一元二次方程。

如果且，它就是一元二次方程了。

解题时遇到字母系数的方程可能出现以下情况：（1）一元二次方程的条件是确定的，如方程（），把它化成一般形式为，由于，所以，符合一元二次方程的定义。

（2）条件是用“关于的一元二次方程”这样的语句表述的，那么它就隐含了二次项系数不为零的条件。

如“关于的一元二次方程”，这时题中隐含了的条件，这在解题中是不能忽略的。

（3）方程中含有字母系数的项，且出现“关于的方程”这样的语句，就要对方程中的字母系数进行讨论。

如：“关于的方程”，这就有两种可能，当时，它是一元一次方程；当时，它是一元二次方程，解题时就会有不同的结果。

教学设计示例一元二次方程（1）教学目的1.了解整式方程和一元二次方程的概念；2.知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式。

3.通过本节课引入的教学，初步培养学生的数学来源于实践又反过来作用于实践的辨证唯物主义观点，激发学生学习数学的兴趣。

教学难点和难点:重点:1．一元二次方程的有关概念2．会把一元二次方程化成一般形式难点: 一元二次方程的含义.教学过程设计一、引入新课引例：剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm、这块铁片应该怎样剪?分析：1.要解决这个问题，就要求出铁片的长和宽。