高三第一次月数学(文)考试题及答案7

2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案2016届高三上学期第一次月考数学文试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1]D ．(0,1)2．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ?B ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．﹁p 或q B ．p 且q C ．﹁p 且﹁qD ．﹁p 或﹁q4．设函数f (x )＝x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15B ．3C.23D.1395．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)6．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．27. 如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是( ) A ．a ≥8 B ．a ≤8 C ．a ≥4D ．a ≥－48. 函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图像必经过点( ) A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,0)D ．(2,2)9. 函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图像是( )10. 函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)11. 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2B ．eC.ln22D ．ln212. 函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( )．A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<1}<="" p="">二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13. 已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．14. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________． 15. 函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．16. 若方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等的实根，则k 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分) 化简：(1)3131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(12分)已知函数f (x )＝1a －1(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． 21．（12分）已知函数f (x )＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； 22．（12分）已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学答题卡一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题有一个正确答案）13、 14、15、 16、三、解答题17.(10分) 化简：(1)131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(10分)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；21．（13分）已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．22．（13分）已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学文试卷参考答案1．B2.A3.D4.D5.D6.A7.A8.D9.B10.B11.B12.A13. x －y －2＝0 14. {x |－32<1}<="" p="">15. (0,1] 16. (512，34]17. 解 (1)原式＝121311113233211212633311233().a b a b abab ab a b+-++----==(2)原式＝(－278)23-＋(1500)12-－105－2＋1＝(－827)23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 18. (1)证明设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增，∴f (12)＝12，f (2)＝2.易得a ＝25.19. 解(1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0，f (－1)＝0. (2)由题意知，f (0)＝0. 当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1, 1]上，f (x )＝2x4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.20．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∵x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)∵函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，∴要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝?x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0, 6]，单调递减区间是[－6,0]．21.解 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴f ′(x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)法一设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26.) 法二设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x2＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2) 3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．22.解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－a或x>a.由f′(x)<0，解得－a<x<a，< p="">∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图像可知：实数m的取值范围是(－3,1)．</x<a，<>。

2025学年鹤壁市高中高三（上）第一次综合检测数学试题注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2.每道选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知a ，b ∈R ，若m ，且不等式20x ax b −+<的解集为()1,2m ，则a b +=（ ）A.3B.43C.7D.112.设0.40.40.4log 0.5,0.3,0.5ab c −−==，则,,a b c 的大小关系是（ ）A.b c a >>B.c b a >>C.b a c >>D.c a b >>3.已知A B C D ，，，四点均在半径为R （R 为常数）的球O 的球面上运动，且,,AB AC AB AC AD BC =⊥⊥，若四面体 ABCD 的体积的最大值为43，则球 O 的表面积为（ ） A.2πB.3πC.9π4D.9π4.当π0,2x∈ 时，sin2a x ≥a 的取值范围为（ ）A.(]0,1B.1C.)1,+∞D.1,2+∞5.设1z ，2z 是复数，则下列命题中是假命题的是（ ）A.若12zz z =⋅，则12||||||z z z =⋅ B.若12zz z =⋅，则12z z z =⋅ C.若12||||z z =，则2212z z =D.若12||||z z =，则1122z z z z ⋅=⋅6.重庆八中味园食堂午餐情况监测数据表明，小唐同学周一去味园的概率为 35，周二去味园的概率为310，且小唐周一不去味园的条件下周二去味园的概率是周一去味园的条件下周二去味园的概率的2倍，则小唐同学周一、周二都去味园的概率为（ ） A.970B.950C.340D.3147.在长方体1111ABCD A B C D −中，122AB AD AA ==，点M 是线段11C D 上靠近1D 的四等分点，点N 是线段1CC 的中点，则平面AMN 截该长方体所得的截面图形为（ ） A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形8.已知函数()f x 的导函数为()′f x ，记()1()f x f x ′=，()21(),f x f x ′=()1()n n f x f x +′=()n N ∗∈.若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x +=（ ）A.2cos x −B.2sin x −C.2cos xD.2sin x二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.已知函数()sin221cos2x xf x x=−+，则（ ） A.函数()f x 一个周期是πB.函数()f x 递减区间为()πππ,π22k k k Z−+∈C.函数()f x 有无数多个对称中心D.过点()2,0作曲线()y f x =的切线有且只有一条10.已知函数()f x 的图象是由函数2sin cos y x x =的图象向右平移π6个单位得到，则（ ） A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 在区间ππ,63−上单调递增C.()f x 的图象关于直线π3x =对称 D.()f x 的图象关于点π,06对称11.在三棱锥−P ABC 中，PA ⊥平面,,2,ABC AB BC AB BC PA ⊥==，点D 是三角形PAB 内的动点（含边界），AD CD ⊥，则下列结论正确的是（ ） A.PB 与平面ABC 所成角的大小为π3B.三棱锥C ABD −的体积最大值是2C.D 点的轨迹长度是2π3D.异面直线CD 与AB 所成角的余弦值范围是三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.对于函数()()cos 0f x x kx x =−≥，当该函数恰有两个零点时，设两个零点中最大值为α，当该函数恰有四个零点时，设这四个零点中最大值为β，求()()2221sin21cos21ααββαβ+++=− .13.已知P 是ABC 内一点，45,30ABP PBC PCB ACP °°∠=∠=∠=∠=，则tan BAP ∠= . 14.下图数阵的每一行最右边数据从上到下形成以1为首项，以2为公比的等比数列，每行的第n 个数从上到下形成以12n −为首项，以3为公比的等比数列，则该数阵第n 行()*n ∈N 所有数据的和n S = .四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）在某项比赛中，7位专业评委和7位观众评委分别给选手打分.针对某位选手，下面是两组评委的打分：(1)选择一个可以度量每一组评分相似性的量，据此判断哪一组分数更可能是专业评委打的分数；(2)现从A 组评委所打分数中随机抽取2个分数，记为a ，b ，从B 组评委所打分数中随机抽取2个分数，记为c ，d .记事件:M a ，b 中有一个数据为48，事件:100N a b +=或100c d +=，判断事件M 与事件N 是否相互独立.16.（15分）如图，四边形ABCD内接于圆O，圆O的半径2R=，π2DAB ABC∠+∠=，2CD=.(1)求DBC∠的大小以及线段AB的长；(2)求四边形ABCD面积的取值范围.17.（15分）如图，在四棱锥PP−AAAAAAAA中，△PPAAAA为正三角形，底面AAAAAAAA为正方形，平面PPAAAA⊥平面AAAAAAAA，点MM是棱PPAA的中点，平面AAAAMM与棱PPAA交于点NN.（1）求证：MMNN//平面AAAAAAAA；（2）QQ为平面AAAANNMM内一动点，EE为线段AAAA上一点；①求证：NNQQ⊥AAPP；②当AAQQ+QQEE最小时，求MMMM MMQQ的值.18.（17分）已知抛物线2:=E y x ，过点()1,2T 的直线与抛物线E 交于,A B 两点，设抛物线E 在点,A B 处的切线分别为1l 和2l ，已知1l 与x 轴交于点2,M l 与x 轴交于点N ，设1l 与2l 的交点为P .(1)证明：点P 在定直线上；(2)若PMN 面积为P 的坐标； (3)若,,,P M N T 四点共圆，求点P 的坐标.19.（17分）设函数()f x 的导函数为()(),f x f x ′′的导函数为()(),f x f x ′′′′的导函数为()f x ′′′.若()00f x ′′=，且()00f x ′′′≠，则()()00,x f x 为曲线()y f x =的拐点.(1)判断曲线6y x =是否有拐点，并说明理由；(2)已知函数()535f x ax x =−，若f 为曲线()y f x =的一个拐点，求()f x 的单调区间与极值.数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【解析】根据不等式222x y xy +≤可得()22222244522a b a b a b ++≤=++，当且仅当222244a b a b ++=，即22a b =时等号成立，所以，52≤，所以52m =. 所以，不等式20x ax b −+<的解集为()1,5.根据一元二次不等式的解集与一元二次方程解的关系可知，1和5是方程20x ax b −+=的两个解，所以有1515a b +=×= ，所以65a b = = ，11a b +=. 故选：D. 2.【答案】A【解析】因为0.4log y x =在()0,+∞上单调递减，所以0.40.40.4log 1log 0.5log 0.4<<，即01a <<， 因为0.4y x =在()0,+∞上单调递增，又11100.3,0.523−−==，即110.30.51−−>>，所以()()0.40.4110.40.0.513−−>>，即0.40.410.30.5−−>>，故1b c >>，所以b c a >>. 故选：A. 3.【答案】D【解析】因,,AB AC AB AC =⊥取BC 中点为N ，则AN BC ⊥，又AD BC ⊥，,AN AD ⊂平面AND ，AN AD A = ，则BC ⊥平面AND ，BC ⊂面ABC ，则平面ABC ⊥平面AND ，要使四面体ABCD 的体积最大，则有DN ⊥平面ABC ，且球心O 在DN 上.设球体半径为R ，则OAOD R ==，则()111332D ABC ABC V S DNBC AN R ON −=⋅=⋅⋅+， 又注意到2BC AN =，22222AN OA ON R ON =−=−，则()()()22111333D ABC ABC V S DN AN R ON R ON R ON −=⋅=⋅+=+−. 注意到()()()()()33211122221422366363R ON R ON R R ON R ON R ON R ON R ON ++− +−=++−≤⋅=⋅.当且仅当22R ON R ON −=+，即3R ON =时取等号.又四面体 ABCD 的体积的最大值为43，则314436332R R ⋅=⇒= . 则球的表面积为24π9πR =. 故选：D4.【答案】D【解析】由sin2a x ≥2sin cos a x x ≥ 因为π0,2x∈ ，可得π0,24x ∈ ，所以sin cos 22x x <，可得2sin cos 2sin (cos sin )222x x xa x x ≥−，又因为22sin sin cos ,cos cos sin (cos sin )(cos sin )22222222x x x xx x x x x x ==−=+−，所以4sin cos (cos sin )2sin (cos sin (cos sin )22)2222222x x x x x x x xa x ≥−+−即2cos (c 1os sin )222x x xa +≥，因为2π2cos (cos sin )2sin cos sin cos 1)1222222s 42co x x x x x x x x x ++=+++==+，因为π0,2x ∈ ，可得ππ3π,444x +∈，所以πsin()4x +∈，则π)11]4x ++∈，则1]2，要使得不等式sin2a x ≥a ≥所以12a ≥，即实数a 的取值范围为1,2 +∞. 故选：D.5.【答案】C【解析】设1i z a b =+，2i z c d =+，其中,,,a b c d ∈R . 对于A ，12(i)(i)z z z a b c d ==++==12z z ⋅=，所以12z z z =⋅，故A 正确； 对于B ，(i)(i)()()i z a b c d ac bd bc ad =++=−++，()()i z ac bd bc ad =−−+，()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad ⋅=−−=−−+， 所以12z z z =⋅，故B 正确；对于C ，1i z a b =+=，2i z c d =+= 由12||||z z =，得2222+=+a b c d .因为22212i z a b ab =−+，22222i z c d cd =−+，所以2212z z =不一定成立，如11z =，2i z =，此时12||||z z =，而211z =，221z =−，即2212z z ≠，故C 错误；对于D ，由12||||z z =，得2222+=+a b c d ，2211(i)(i)z z a b a b a b ⋅=+−=+，2222(i)(i)z z c d c d c d ⋅=+−=+，所以1122z z z z ⋅=⋅，故D 正确﹒故选C. 6.【答案】A【解析】设“小唐同学周一去味园”为事件A ，设“小唐周二去味园”为事件B ，则“小唐同学周一、周二都去味园”为事件AB ，由题意可知：33(),()510==P A P B ，且(|)2(|)=P B A P B A ， 由全概率公式可知：()()()(|)(|)=+P B P B A P A P B A P A ，即343(|)(|)1055=+P B A P B A ，解得3(|)14=P B A ， 所以()()339()|14570==×=P AB P B A P A . 故选：A 7.【答案】C【解析】延长MN 交DC 的延长线于点F ，连接AF 交BC 于点H ，连接NH ， 延长NM 交1DD 的延长线于点E ，连接AE 交11A D 于点G ，连接GM ， 则五边形AHNMG 为平面AMN 截该长方体所得的截面图形，不妨设1224AB AD AA ===，又点M 是线段11C D 上靠近1D 的四等分点，点N 是线段1CC 的中点， 所以13C M =，11D M =，11C NNC ==，所以3CF =，又//CF AB ，所以43AB BH CF CH ==，又2BH CH +=，所以67CH =， 又11D M ED DF ED =，即11172ED ED =+，解得113ED =，又11GD ED AD ED =，即1131223GD =+，解得127GD =，符合题意，即五边形AHNMG 为平面AMN 截该长方体所得的截面图形. 故选C.8.【答案】D 【解析】解：()sin f x x x =，则()1()sin cos f x f x x x x ′==+， ()21()cos cos sin 2cos sin f x f x x x x x x x x ′==+−=−， ()32()2sin sin cos 3sin cos f x f x x x x x x x x ′==−−−=−−， ()43()3cos cos sin 4cos sin f x f x x x x x x x x ′==−−+=−+， ()54()4sin sin cos 5sin cos f x f x x x x x x x x ′==++=+，所以猜想：()43()43sin cos k f x k x x x −=−+， ()42()42cos sin k f x k x x x −=−−，()41()41sin cos k f x k x x x −=−−−， 4()4cos sin k f x k x x x =−+，由201945051=×−，202145063=×−， 所以()20192019sin cos f x x x x =−−， ()20212021sin cos f x x x x =+， ()()201920212sin f x f x x +=， 故选：D .二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.【答案】BCD【解析】函数sin2()21cos2xx f x x=−+中，cos 21x ≠−，即2π2π,Z x k k ≠−+∈，解得ππ,Z 2x k k ≠−+∈，22sin cos ()tan 22cos 2x x x xf x x x =−=−，对于A ，显然(0)0f =，π(π)2f =，即(π)(0)f f ≠，A 错误； 对于B ，由()tan 2xf x x =−，求导得211()02cos f x x ′=−<， 因此函数()f x 递减区间为ππ(π,π)(Z)22k k k −+∈，B 正确；对于C ，由ππ(π)()tan(Z π)tan ,222k x x k f k x f k x x k x −−+=−−−=∈+， 得函数()f x 图象关于点ππ(,)(Z)24k k k ∈成中心对称，有无数多个对称中心，C 正确； 对于D ，设过点(2,0)的直线与曲线()y f x =相切于点000(,tan 2)x P x x −， 则切线方程为0002011(tan )()(22)cos x y x x x x −−=−−，则()000200sin 1122cos 2cos x x x x x −+=−−， 整理得000sin 2cos 223x x x −=−00π)234x x −=−，令函数π())234g x x x =−−+，当π4x ≤时，π3232x −≥−>π24x≤−，则()0g x >，即函数()g x 在π(,]4−∞上无零点，当πx ≥时，3232π3x −≤−<−，则()0g x <，即函数()g x 在[π,)+∞上无零点， 当ππ4x <<时，π())24g x x ′=−−，又ππ7π2444x <−<，则πcos(2)41x −<−≤所以π)24x −<−，()0g x ′<，函数()g x 在π(,π)4上单调递减，显然π()0,(π)04g g ><，因此函数()g x 在π(,π)4上有唯一零点，从而方程00π)234x x −=−有唯一实根，过点()2,0作曲线()y f x =的切线有且只有一条，D 正确. 故选：BCD 10.【答案】AD 【解析】因为2sin cos sin 2yx x x =，向右平移π6个单位得()ππsin 2sin 263f x x x=−=−，则最小正周期为2ππ2T ==，故A 选项正确；令πππ2π22π232k x k −+≤−≤+，解得π5πππ1212k x k −+≤≤+，所以单调递增区间为π5ππ,π,Z 1212k k k−++∈，故B 选项错误； 令ππ2π,32x k −=+解得5ππ,Z 122k x k =+∈，故C 选项错误； 令π2π,3x k −=解得ππ,Z 6x k k =+∈所以函数()f x 的对称中心为ππ,0,Z 6k k +∈，故D 选项正确.故选：AD 11.【答案】ACD【解析】如图，把三棱锥−P ABC 补形成正四棱柱并建立空间直角坐标系A xyz −，对于A ，由PA ⊥平面ABC ，得PBA ∠是PB 与平面ABC所成的角，tan PAPBA AB∠= 因此π3PBA ∠=，A 正确； 对于C ，由AD CD ⊥，得D 点的轨迹是以线段AC 为直径的球面与PAB 相交的一段圆弧及点B ， 令,AC AB 的中点分别为,O E ，则OE ⊥平面PAB，1OE OD ==,1DE =，显然D 点所在圆弧所对圆心角大小为2π3，长度是2π3，C 正确； 对于B ，由选项C 知，当DE AB ⊥时，D 点到平面ABC 距离最大，最大距离为1，因此三棱锥C ABD −的体积112212323C ABD D ABCV V −−=≤××××=，B 错误； 对于D ，设2π(0)3AED θθ∠=<≤，则点(1cos ,0,sin )D θθ−，而(2,2,0)C ， 于是(1cos ,2,sin )CD θθ=−−− ，又(2,0,0)AB =，令异面直线CD 与AB 所成的角大小为ϕ，则||cos |cos ,|||||CD AB CD AB CD AB ϕ⋅=〈〉==， 令11cos [,2)2t θ=+∈，cos ϕ=1[,2)2t ∈上单调递增，因此t ≤D 正确. 故选：ACD三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.【答案】3−【解析】函数()()cos 0f x x kx x =−≥恰有两个零点等价于cos y x =与直线y kx =(0)x ≥有且只有两个交点，函数()()cos 0f x x kx x =−≥恰有四个个零点等价于cos y x =与直线y kx =(0)x ≥有且只有四个交点，cos y x =与直线y kx =(0)x ≥的图象如下：根据图象可知， cos y x =与直线y kx =(0)x ≥有且只有两个交点时，则cos y x =与y kx =在点A 处相切，且切点的横坐标为α，此时对应的函数解析式为cos y x =−，所以sin y x ′=，则sin k α=，又cos k αα−=，所以cos sin ααα−=，则()222cos 21sin cos 1sin2sin 2cos sin ααααααααα+ + ==−−同理，cos y x =与直线y kx =(0)x ≥有且只有四个交点时，则cos y x =与y kx =在点B 处相切，且切点的横坐标为β，此时对应的函数解析式为cos y x =，所以sin y x ′=−，则sin k β=−，又cos k ββ=，所以cos sin βββ=−，则()()22222222cos 1cos sin 1cos2sin 1cos 11sin βββββββββ+− +==−−−所以()21sin23ααα+−故答案为：3−. 13.【答案】12/0.5 【解析】在PBC 中，30PBC PCB °∠=∠=，设1PB PC ==， 由余弦定理可得2222cos1201113BC PB PC PB PC °=+−⋅=++=，可得BC = 在ABC 中，75ABC ABP PBC °∠=∠+∠=，所以18045BAC ABC ACB °∠=−∠−∠= ， 由正弦定理得sin sin BC ABBAC ACB =∠∠，即sin 60AB =，可得AB = 在ABP 中，由余弦定理得222952cos 451322AP AB PB AB PB °=+−⋅=+−=，可得AP =222cos 2AP AB PB BAP AB AP +−∠==⋅可得sin BAP∠，因此sin1tancos2BAPBAPBAP∠∠==∠.故答案为：1214.【答案】32n n−【解析】因为每行的第n个数从上到下形成以12n−为首项，以3为公比的等比数列，所以0112231032323232n n n nnS−−−−=×+×+×++×,所以12301222233333n n nnnS−−−−×++++12123331322313nnn n n nnS−−=×=×−=−−.故答案为：32n n−.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）【答案】(1)更可能是专业评委打的分数(2)事件M与事件N不独立.【解析】（1）可以用方差来度量每一组评委打分的相似性，方差越小，相似程度越高.42454853524749487Ax++++++=，48527066774951597Bx++++++=，所以A组数据的方差是22222222 1(4248)(4548)(4848)(5348)(5248)(4748)(4948) 7As=−+−+−+−+−+−+−887=，B组数据的方差是22222222 1(4859)(5259)(7059)(6659)(7759)(4959)(5159) 7Bs=−+−+−+−+−+−+−8287=，因为专业评委给分更符合专业规则，所以相似程度更高，因此组分数更可能是专业评委打的分数.（2）1627C2()C7P M==，:100:4852100,4753100N a b+=+=+=，100:4852100,4951100c d+=+=+=，各有两种，所以()21111722222222227777774C C C C C 2280C C C ?C C C 441P N ×−=+−==， 事件MN ：当4852100a b +=+=时， ,c d 可以任意，有27C 种，当a ，b 中有一个数据为48，另一个不是52时，则100c d +=，有1152C C 种，所以21175222227777C C C 31()C C C C 441P MN =+=， ∴()()()P M P N P MN ≠，则事件M 与事件N 不独立.16.（15分）【答案】(1)π6DBC ∠=，AB =；(2) 【解析】（1）由题易知π2ABC ∠<,由正弦定理得21sin 242DC DBC R ∠===，π6DBC ∴∠=，πππ263DAB DBA DAB ABC DBC ∴∠+∠=∠+∠−∠=−=， 2ππ()3ADB DAB DBA ∴∠=−∠+∠=，2sin 4AB R ADB ∴=×∠=（2）方法一：延长AD ，BC ，交于点E .π2DAB ABC ∠+∠= ，π2AEB ∴∠=.设DAB α∠=， 则11cos sin 6sin cos 3sin 222ABE S AE BE AB AB ααααα=×=××==△. 四边形ABCD 内接于圆O ，ECD DAB α∴∠=∠=，11sin cos 2sin cos sin 222CDE S DE CE CD CD ααααα∴=×=×==△， 2sin ABE CDE ABCD S S S ∴=−=四边形△△，ππ(,)63α∈ ，π2π2(,)33α∴∈，2]ABCD S ∴∈四边形，即四边形ABCD面积的取值范围是.方法二：连接OA ，OB ，OC ，OD ，由已知可得2π3AOB ∠=，OCD 是等边三角形.设AOD θ∠=，则π3BOC θ∠=−，OAD OBC OCD AOBCD S S S S ∴=++五边形△△△22211πsin sin()223R R Rθθ+−π[2sin sin()]3θθ=+−又212πsin 23AOBS R ==△AOB ABCD AOBCD S S S ∴−四边形五边形△ππ2[sin sin()]2sin()33θθθ=+−=+，π(0,)3θ∈ ，ππ2π(,)333θ∴+∈，2]ABCD S ∴∈四边形，即四边形ABCD 面积的取值范围是.17.（15分）【答案】（1）证明见解析； （2）①证明见解析；②12 .【解析】（1）证明：因为AAAA // AAAA ,AAAA ⊂ 平面AAAAPP ,AAAA ⊄ 平面AAAAPP , 所以AAAA // 平面AAAAPP ，又AAAA ⊂ 平面AAAANNMM ，平面AAAANNMM ∩ 平面AAAAPP =MMNN , 所以AAAA // MMNN .又AAAA ⊂平面AAAAAAAA ,MMNN ⊄ 平面AAAAAAAA ， 所以MMNN // 平面AAAAAAAA .(2)解：①由平面PPAAAA ⊥ 平面AAAAAAAA ,AAAA ⊥AAAA , 又平面AAAAAAAA ∩ 平面PPAAAA =AAAA ， 所以AAAA ⊥ 平面PPAAAA ，所以AAAA ⊥AAPP ，由（1），AAAA // MMNN ，故AAPP ⊥MMNN ， 又MM 是棱PPAA 的中点，则NN PPAA 中点，△PPAAAA 为正三角形， 所以AAPP ⊥NNAA ,MMNN ∩NNAA =NN ,MMNN ,NNAA ⊂ 平面AAAANNMM ， 所以AAPP ⊥ 平面AAAANNMM ，且NNQQ ⊂ 平面AAAANNMM ， 所以AAPP ⊥NNQQ .②因为AAPP ⊥NNQQ .且NN 为棱PPAA 中点， 所以AAQQ =PPQQ ，所以AAQQ +QQEE =PPQQ +QQEE当QQ 为PPEE 与平面AAAANNMM 的交点时，(PPQQ +QQEE )mmmm mm =PPEE ， 故当AAQQ +QQEE 最小时，PPEE 取得最小值，此时PPEE ⊥AAAA ， 因为AAAA ⊥AAPP ， 所以PPAA 2=PPAA 2+AAAA 2，同理PPAA 2=PPAA 2+AAAA 2=PPAA 2+AAAA 2=PPAA 2，当PPEE ⊥AAAA 时，可得EE 为AAAA 中点，取PPEE 中点TT ，连接MMTT ，如图：则有MMTT // AAEE 且MMTT =12AAEE =12EEAA ， 有△MMTTQQ ∼△AAEEQQ ，所以MMMMMMQQ =MMMM EEQQ=12.18.（17分）【答案】(1)证明见解析； (2)()0,2−或()2,2； (3)1614,99【解析】（1）由2y x ，得2y x ′=，设()()()221122,,,,,P P A x x B x x P x y .所以1l 方程为：()21112yx x x x =−+，整理得：2112y x x x =−. 同理可得，2l 方程为：2222y x x x =−. 联立方程21122222y x x x y x x x =− =− ，解得12122P P x x x y x x +== . 因为点()1,2T 在抛物线内部，可知直线AB 的斜率存在，且与抛物线必相交， 设直线AB 的方程为()12y k x =−+，与抛物线方程联立得：220x kx k −+−=， 故1212,2x x k x x k +==−， 所以,22P P kx y k ==−，可知22P P y x =−. 所以点P 在定直线22y x =−上. .（2）在12,l l 的方程中，令0y =，得12,0,,022x x M N，所以PMN面积()12121124P S MN y x x x x =⋅=−=故()()()()22221212121212432x x x x x x x x x x −=+−=， 代入1212,2x x k x x k +==−可得：()()22484432k k k k −+−+=.整理得22(2)8(2)40k k −+−−=，解得：0k =或4k =. 所以点P 的坐标为()0,2−或()2,2.（3）抛物线焦点10,4F ，由1,02x M 得直线MF 斜率1112MF MP k x k =−=−， 可知MF MP ⊥，同理NF NP ⊥，所以PF 是PMN 外接圆的直径. 若点T 也在该圆上，则TF TP ⊥. 由74TF k =，得直线TP 的方程为：()4127y x =−−+. 又点P 在定直线22y x =−上， 联立两直线方程()412722y x y x =−−+ =− ，解得169149x y= = ，所以点P 的坐标为1614,99.19.（17分）【答案】(1)没有拐点，理由见解析.(2)单调递增区间为()(),1,1,−∞−+∞；单调递减区间为[]1,1−，极大值为2，极小值为2−.【解析】（1）解：由函数6y x =，可得5436,30,120y x y x y x ===′′′′′′， 由4300x =，得0x =，又由31200x =，得0x =，所以曲线6y x =没有拐点. （2）解：由函数()535f x ax x =−， 可得()()()4232515,20301023f x ax x f x ax x x ax =−=−=′′−′，因为f 为曲线()y f x =的一个拐点，所以0f =′′， 所以12302a ×−=，解得3a =，经检验，当3a =时，0f ≠′′′， 所以()()42221515151f x x x x x =′=−−. 当1x <−或1x >时，()0f x '>，则()f x 的单调递增区间为()(),1,1,−∞−+∞；当11x −≤≤时，()0f x ′≤，且()0f x ′=不恒成立，则()f x 的单调递减区间为[]1,1−， 故当1x =−时，()f x 取得极大值，且极大值为2； 当1x =时，()f x 取得极小值，且极小值为2−.。

龙岩一中2023届高三上学期第一次月考数学试题考试时间:120分钟 试卷满分:150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{A x y ==，201x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B = （ ）A ．[]1,2-B．⎡-⎣C．(-D．2⎡⎤⎣⎦2．已知a = 1.1log 0.9，b = 1.10.9，c =0.91.1，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a3．下列命题中，错误的命题有（ ）A ．函数()f x x =与()2g x =不是同一个函数B ．命题“[]00,1x ∃∈，201x x +≥”的否定为“[]0,1x ∀∈，21x x +<”C ．设函数()22,02,0x x x f x x +<⎧=⎨≥⎩，则()f x 在R 上单调递增D ．设,x y R ∈,则 “x y <”是“2()0x y y -⋅<”的必要不充分条件4．经研究表明，大部分注射药物的血药浓度()C t （单位：g/mL μ）随时间t （单位：h ）的变化规律可近似表示为()0ektC t C -=⋅，其中0C 表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，k 表示该药物在人体内的消除速率常数.已知某麻醉药的消除速率常数0.5k =（单位：1h -），某患者第一次静脉注射该麻醉药后即进入麻醉状态，测得其血药浓度为4.5g/mL μ，当患者清醒时测得其血药浓度为0.9g/mL μ，则该患者的麻醉时间约为（ln 5 1.609≈）（ ）A ．0.8hB ．3.5hC ．2.2hD ．3.2h5.设奇函数()f x 在()0,+∞上是增函数，且，则不等式[]()()0x f x f x --<的解集为(　)A ．{}|101x x x -<<>或B ．{}|1001x x x -<<<<或(1)0f =C ．{}101x |x <x -<<或D ．{}|11x x x <->或6.函数22()41x x x f x ⋅=-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．7．已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a （ ）A ．12-B ．13C ．12D ．18．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x -+=，()(2)x x f f =-，当01x ≤≤时，()21x f x =-，则()2log 2023f =（ ）A ．252048-B ．9991024-C ．10242023-D ．512999-二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分.9．若110a b <<，则下列结论中正确的是（ ）A ．22a b <B ．2ab b <C ．||||||a b a b +>+D ．33a b >10．关于函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪-⎝⎭说法正确的是（ ）A ．定义域为()1,1-B ．图象关于y 轴对称C ．图象关于原点对称D ．在()0,1内单调递增11．已知函数()f x 为R 上的奇函数，()()1g x f x =+为偶函数，下列说法正确的有（ ）A ．()fx 图象关于 (-1,0)对称B ．()20230g =C ．()g x 的最小正周期为4D ．对任意R x ∈都有()()11f x f x -=+12．若实数x ，y 满足1221x y ++=，m x y =+，111()(22-=+x y n ，则（ ）A ．0x <且1y <-B ．m 的最大值为3-C ．n 的最小值为7D ．22m n ⋅<第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共 4题，每小题 5分，共 20分, 其中第15题第一空2分，第二空3分.13．已知集合{}2log 2A x x =<，则R C A =____________.14．若函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则()lg f x 的定义域为____．15．已知正实数a ，b 满足3ab a b ++=，则2a b +的最小值为__________．16．已知函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得()()()()f f b f d m a c f ====，则（1）实数m 的取值范围为_________；（2）+++a b c d 的取值范围是_________．四、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）设函数()()ln 4f x x =+-的定义域为A ，集合{}()1212B x m x m m =+≤≤-≥．（1）求集合A ；（2）若p ：x A ∈，q ：x B ∈，且p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．18.（本题满分12分）已知函数()()2ln f x x a x =+，()2g x ax x =+．（1）当0a=时，求函数()f x 的最小值；（2）当0a ≤时，若对任意1≥x 都有()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围．19．（本题满分12分）已知奇函数()2121x xa f x ⋅-=+的定义域为[]2ab --，（1）求实数a b ，的值；（2）当[]12x ∈，时，()220x m f x ++>恒成立，求m 的取值范围．20．（本题满分12分）第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行．本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务．某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x 千台空调，需另投入资金R 万元，且2210,040901945010000,40x ax x R x x x x ⎧+≤<⎪=⎨-+≥⎪⎩．经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R =4000万元．现每台空调售价为0．9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．（1）求2022年该企业年利润W （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式；（2）2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本．21. （本题满分12分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，ADE 为等边三角形，且平面ADE ⊥平面ABCD ，BF 和平面ABCD 所成的角为45°，且点F 在平面ABCD 上的射影落在四边形ABCD的中心，且AD AB =.（1）证明：//EF 平面ABCD ；（2）求平面AED 与平面BCF 所成角(锐角)的余弦值.22．（本题满分12分）已知()214ln 22f x x a x x =---有两个极值点()1212,x x x x <，（1）求实数a的取值范围；（2）证明：()()126ln f x f x a +<-.龙岩一中2023届高三上学期第一次月考数学答案1-8：C A C DB AC B9.ABD 10.ACD 11.BD 12.ABD17．（1）要使得函数()f x 有意义，只需要20,40,x x +≥⎧⎨->⎩解得24x -≤<，所以集合{}24A x x =-≤<．......4（2）因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A Ü，......5当B =∅时，121m m +>-，解得2m <(舍去). (6)当B ≠∅时，121,12,214,m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-<⎩解得522m ≤<，综上可知，实数m 的取值范围是522⎡⎫⎪⎢⎣⎭，． (10)18. (1)解：由函数()(2)ln f x x a x =+，得()f x 的定义域为(0)+∞，，…..1当0a =时，()ln f x x x =，()1ln f x x '=+，…….2令()0f x '>，解得1ex >；令()0f x '<，解得10e x <<，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，所以当1e x =时，()f x 取得最小值，即()min 11e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭． (6)(2)解：令()()()F x f x g x =-=2(2)ln (1)x a x ax x x +--≥，因为对于任意1≥x 都有()()f x g x ≥，只须()0F x ≥在[)1+∞，上恒成立，又由222(1)()ln 2ln a a x F x x ax x x x-'=+-=+，因为1≥x ，0a ≤所以ln 0x ≥，22(1)0a x -≥，即()0F x '≥所以()F x 在[)1+∞，上单调递增，所以()(1)10F x F a ≥=--≥，解得1a ≤-，所以当1a ≤-时，对任意1≥x 都有()()f x g x ≥成立． (12)19．（1）因为函数()2121x x a f x ⋅-=+是奇函数，所以()()f x f x -=-，即21212121--⋅-⋅-=-++x x x xa a ，即2212121--⋅+=++x x x xa a ，即221-=-⋅+x x a a ，整理得()()1210xa -+=，所以10a -=，即1a =， (4)则23--=-a ，因为定义域为[]2a b --，关于原点对称，所以b =3； (6)（2）因为[]1,2x ∈，所以()21021-=>+x x f x ，又当[]12x ∈，时，()220x mf x ++>恒成立，所以()()222121++-<-xx xm ，[]12x ∈，时恒成立，令21xt =-，则()()2265563+++-<==+++t t ttt t tt m ，[]13t ∈，时恒成立，而6555++≥=+t t ，当且仅当6t t =，即t =5>-m ，即m的取值范围是()5,--+∞． (12)20．（1）由题意知，当10x =时，()21010104000R x a =⨯+=，所以a =300．当040x ≤<时，()229001030026010600260W x x x x x =-+-=-+-；当40x ≥时，22901945010000919010000900260x x x x W x x x -+-+-=--=．所以2210600260,040919010000,40x x x W x x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-+-≥⎪⎩， (6)（2）当040x ≤<时，()210308740W x =--+，所以当30x =时，W 有最大值，最大值为8740；当40x ≥时，10000919091908990W x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当10000x x =，即x =100时，W 有最大值，最大值为8990．因为87408990<，所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元． (12)21. （1）如图所示，连接BD ，取,AD BD 的中点分别为,O G ，再连接,,EO OG GF ，由正方形的性质，可得G 为四边形ABCD 的中心，因为点F 在平面ABCD 上的射影落在四边形ABCD 的中心，所以FG ⊥平面ABCD ，设2AD =，因为BF 和平面ABCD 所成的角为45°，所以045FBG ∠=，因为2BDBG ==FG =又因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE 平面ABCD AD =，⊥EO AD ，所以EO ⊥平面ABCD，EO =，则EO FG =，//EO FG ，所以四边形EOGF 是平行四边形，所以//EF OG .因为EF ⊄平面ABCD ，OG ⊂平面ABCD ，所以//EF 平面ABCD ；……….6（2）在平面ABCD 中，作Oy AD ⊥，如图，以O 为坐标原点，,,OA Oy OE 所在直线分别为,,x y z 轴建系，则()()()((1,0,0,1,0,0,1,,,A D B E F -，又因为平面ADE ⊥平面ABCD ，所以()0,1,0m =u r是平面ADE 的一个法向量.设平面BCF 的法向量为(),,n x y z =，因为(()1,,2,0,0BF BC =-=-，所以200x x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令y =0,x z ==，所以平面BCF的法向量为(n =.记平面AED 与平面BCF 所成的角为θ，可得cos m n m nθ=== ，所以平面AED 与平面BCF 所成角锐角)22．（1）由题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，()244a x x af x x x x-+'=--=-，因为()214ln 22f x x a x x =---有两个极值点12,x x ，所以方程()0f x '=即240x x a -+=在(0,)+∞上有两不等实根，即函数()24g x x x a =-+在(0,)+∞上有两不同零点，因此只需()()002480g a g a ⎧=>⎪⎨=-+<⎪⎩，解得04a <<，即实数a 的取值范围是(0,4)； (5)（2）由（1）知，124x x +=，12x x a =，04a <<，所以()()()()()221212121214ln ln 42f x f x x x a x x x x +=+-+-+-()()21212121116ln 2412ln 1624ln 22a x x x x x x a a a a a a ⎡⎤=--+--=---=-+⎣⎦，因此要证()()126ln f x f x a +<-，即证4ln 6ln a a a a -+<-，即证(1)ln 20a a a -+-<，构造函数()(1)ln 2h a a a a =-+-，04a <<，则11()ln 1ln a h a a a a a-'=-++=-，又211()0h a a a''=--<在()0,4上显然恒成立，所以()h a '在()0,4上单调递减，又(1)10h '=>，11(2)ln 2022h '=-<-=，由函数零点存在性定理可得，()01,2a ∃∈，使得0()0h a '=，即001ln a a =，即00ln 1a a =；所以当()00,a a ∈时，()0'>h a ，则()h a 单调递增；当()0,4a a ∈时，()0h a '<，则()h a 单调递减；所以()000000000()()1ln 2ln ln 2ln 3h a h a a a a a a a a a a ≤=-+-=-+-=+-，又00ln 3y a a =+-在()01,2a ∈上显然单调递增，所以00ln 3ln 223ln 210a a +-<+-=-<，所以()0h a <，即(1)ln 20a a a -+-<，故()()126ln f x f x a +<- (12)。

郑州市宇华实验学校2024—2025学年高三上学期第一次月考数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每道选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则“1cos()4αβ-<”是“1cos sin 4αβ+<”的（ ）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知实数x ,y ,z 满足e ln e y x x y =且1e lne z x z x =,若01y <<,则（ ）A ．x y z >> B ．x z y >> C ．y z x >>D ．y x z >>3．已知函数2||,(),x m x m f x x x m +≤⎧=⎨>⎩，若存在实数b ,使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则实数m 的取值范围是（）A ．(0,2) B ．(,2)(0,2)-∞-C ．(2,0)-D ．(2,0)(2,)-+∞ 4．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，直线BD 与1CB 的距离为（ ）A ．1BC ．12D5．在ABC △中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,ABC △的面积为S ,若22cos bc A b c +=+,则sin cos cos A B C=+（ ）A B ．12C D6．已知z 为复数，且||1z =,则|3i |z -的取值范围是（）A ．[]2,3B ．[]3,4C ．[]2,4D ．4⎡⎤⎣⎦7．若样本空间Ω中的事件123,,A A A 满足()()()()()223113231221,,,4356P A P A A P A P A A P A A =====∣∣∣，则()13P A A =（ ）A ．114 B ．17 C ．27 D ．5288．已知a ,b 均为正实数，若直线y x a =-与曲线ln(2)y x b =+相切，则2a b ab ab ++的最小值是（ ）A ．8 B ．9 C ．10 D ．11二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分．9．下列函数()f x 的最小值为2的是（）A ．2()21f x x x =--+B ．()23()log 210f x x x =++C ．()22x x f x -=+D ．1()32x f x -=+10．如图，在棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足13PD PB +=+,则下列结论正确的是（ ）A ．1B D PB ⊥B ．直线1B P 与平面11A BC 所成角为定值C ．点P 的轨迹的周长为D ．三棱锥11P BB C -体积的最大值为11．对于函数3()()ln ,()f x f x x x g x x ==，则下列说法正确的是（ ）A ．()g x 在x =12eB ．(2)g g >C ．()g x 只有一个零点D ．若方程2()kf x x =恰好只有一个实数根，则0k <三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12．一批小麦种子的发芽率是0.7，每穴只要有一粒发芽，就不需补种，否则需要补种．则每穴至少种_________粒，才能保证每穴不需补种的概率大于97%．()lg 30.48≈13．已知函数2()2sin cos 0)222xxxf x ωωωω=-+>的最小正周期为T ,若223T ππ<<，且3π是()f x 的一个极值点，则ω=_________．14．过点P 作斜率为k 的直线l 交圆22:8E x y +=于,A B 两点，动点Q 满足||||||||PA QA PB QB =，若对每一个确定的实数k ,记||PQ 的最大值为max d ,则当k 变化时，max d 的最小值为_________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）各项都为整数的数列{}n a 满足272,4a a =-=,前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求出所有的正整数m ,使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．16．（15分）如图，正方体111ABCD A B C D -．（1）求证：1A B ⊥面1A BC ;（2）若E 为线段1AC 的中点，求平面ABE 与平面BCE 所成锐二面角的大小．17．（15分）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数x （单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）（2）若年轻人每天阅读时间X 近似地服从正态分布(,100)N μ,其中μ近似为样本平均数x ,求(6494)P X <≤；（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60),[60,70),[80,90)的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于[80,90)的人数ξ的分布列和数学期望．附参考数据：若，则①()0.6827P X μδμδ-<≤+=；②(22)0.9545P X μδμδ-<≤+=；③(33)0.9973P X μδμδ-<≤+=．18．（17分）已知圆22:(1)1M x y ++=,圆22:(1)9N x y -+=动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点Q 的直线l 与曲线C 相交于A ,B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为2-，直线AB 是否过定点，若过定点，写出定点坐标．19．（17分）已知函数()ln f x x x =．（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）若对于任意1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()1f x ax ≤-,求实数a 的取值范围．数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B 【解析】,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0cos 1,0sin 1βα<<<<,所以cos()cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβ-=+<+,所以由1cos()4αβ-<不能推出1cos sin 4αβ+<，充分性不成立；反之，11cos sin cos()44αβαβ+<⇒-<成立，即必要性成立；,0,2παβ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭,则“1cos()4αβ-<”是“1cos sin 4αβ+<”的必要不充分条件．故选：B ．2．【答案】A【解析】由e ln e y xx y =得ln e ex y x y =，由1e ln e z x z x =得ln e e x z x z -=，因此e ey z y z -=，又01y <<,所以0e e z y z y =-<，又e 0z >,所以0z <,利用01y <<得ln 0e ex y x y =>，又e 0x >,所以ln 0x >,即1x >,所以10x y z >>>>,即x y z >>．故选A ．3．【答案】B【解析】分情况讨论，当0m >时，要使()f x b =有三个不同的根，则2|2|020m m m m ⎧>⇒<<⎨>⎩;当0m <时，要使()f x b =有三个不同的根，同理可知，需要2|2|20m m m m ⎧>⇒<-⎨<⎩．当0m =时，两个分段点重合，不可能有三个不同的根，故舍去．所以m 的取值范围是(,2)(0,2)-∞- ．故选B ．4．【答案】D【解析】设M 为直线BD 上任意一点，过M 作1MN CB ⊥,垂足为N ,可知此时M 到直线1CB 距离最短，设111,DM DB DA DC CN CB DA DA DD λλλμμμμ==+===+ ，1(1)()MN DN DM DC CN DM DC DA DD λμλμ=-=+-=-+-+ ，11CB DA DD =+ ,因为1MN CB ⊥,所以10MN CB ⋅= ,即()11(1)()0DC DA DD DA DD λμλμ⎡⎤-+-+⋅+=⎣⎦ ，所以0μλμ-+=，即=2λμ=，所以1(12)MN DC DA DD μμμ=--+ ,所以||MN === ，所以当13μ=时，||MN，所以直线BD 与1CB．故选：D ．5．【答案】D【解析】由22cos bc A b c +=+22sin cos A bc A b c +=+,22cos 2sin 6b c b c A A A bc c b π+⎛⎫+=⇒+=+ ⎪⎝⎭，由于2,2sin 26b c A c b π⎛⎫+≥+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当b c c b =，以及62A ππ+=时，等号成立，结合2sin 6b c A c b π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，因此2sin 26b c A c b π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，且b c c b =，以及3A π=，故3B C π==，因此sin cos cos A B C ==+故选D ．6．【答案】C【解析】因为复数z 满足||1z =,不妨设cos isin ,R z θθθ=+∈,则|3i ||cos i(sin 3)|z θθ-=+-==．因为sin [1,1]θ∈-，所以[2,4]，所以|3i |z -的取值范围是[2,4]．故选：C ．7．【答案】A【解折】因为()()()()()113223231221,,,4356P A P A A P A P A A P A A =====∣∣∣，所以()()()()()2323323P A P A P A A P A P A A =+∣∣()()()()()3233231P A P A A P A PA A =+-∣∣,解得()357P A =，()()31311P A A P A A =-∣∣()()()()()133131111P A A P A P A A P A P A =-=-∣()()()13311P A A P A A P A =∣()()()1133115144714P A P A A P A =-=-⨯=∣．故选：A ．8．【答案】C 【解析】由于直线y x a =-与曲线ln(2)y x b =+相切，设切点为(,)m n ,而12y x b '=+，故112ln(2)m b m b m a⎧=⎪+⎨⎪+=-⎩,解得m a =,故21,,a b a b +=均为正实数，故22122(2)16610a b ab a b a b ab b a ba ++⎛⎫=+++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22a b b a =，结合21a b +=,即得13a b ==时等号成立，故2a b ab ab ++的最小值是10，故选：C ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分．9．【答案】BC【解析】对于A,由二次函数性质可知，()f x 无最小值，A 错误；对于B,令22210(1)99t x x x =++=++≥，因为3log y t =单调递增，所以3()log 92f x ≥=,当1x =-时等号成立，所以min ()2f x =，B 正确；对于C,因为20x >，所以1()222x x f x =+≥，当且仅当122x x =，即0x =时，等号成立，所以min ()2f x =，C 正确；对于D,由指数函数性质可知，130x ->,所以1()322x f x -=+>,D 错误．故选：BC ．10．【答案】ABD【解析】对于A,连接11B D ,因为四边形1111A B C D 为正方形，则1111A C B D ⊥,因为1DD ⊥平面111111,A B C D A C ⊂平面1111A B C D ,则111A C DD ⊥,因为111111,B D DD D B D = 、1DD ⊂平面11B DD ,所以11A C ⊥平面11B DD ,1B D ⊂平面11B DD ,所以111B D A C ⊥,同理可得11B D A B ⊥,因为1111111,A C A B A A C A B =⊂ 、平面11A BC ,所以1B D ⊥平面11A BC ,因为PB ⊂平面11A BC ,所以1B D PB ⊥,故A 正确；对于C,由A 选项知1B D ⊥平面11A BC ,设1B D 平面11A BC E =,即1B E ⊥平面11,A BC DE ⊥平面11A BC ,因为1111111116,A B BC AC A B BB B C ======,所以三棱锥111B A BC -为正三棱锥，因为1B E ⊥平面11A BC ,则E 与正11A BC △的中心，则12sin 3A BBE π==，所以1B E ==,因为1B D ==所以DE =,因为13PD PB +=+,3=+,3+=+(3=+-,两边平方化简可得0)PE PE =>,因为E 点到等边三角形11A BC 的边的距离为163PE ==,所以点P 的轨迹是在11A BC △内，且以E所以点P 的轨迹的周长为，故C 错误；对于B,由选项C 可知，点P 的轨迹是在11A BC △内，且以E 的圆，EP =1B E =1B E ⊥平面11A BC ,所以1B PE ∠就是直线1B P 与平面11A BC 所成角，所以11tan B E B PE PE ∠===102B PE π<∠<，所以直线1B P 与平面11A BC 所成角为定值，故B 正确；对于D,因为点E 到直线1BC点P 到直线1BC =，故1BPC △的面积的最大值为162⨯=,因为1B E ⊥平面11A BC ,则三棱锥11B BPC -体积的最大值为13⨯=，故D 正确．故选：ABD ．11．【答案】AC【解新】对于A ，函数32()ln ()ln ,()f x xf x x xg x x x===，则24312ln 12ln (),0x x xxx g x x x x⨯--'==>,令()0g x '=，即12ln 0x -=,解得x =当0x <<时，()0g x '>,故函数()g x在上为单调递增函数，当x >时，()0g x '<，故函数()g x在)+∞上为单调递减函数，故()g x在x =处取得极大值12eg =,故选项A 正确；对于B,当x >()0g x '<,故函数()g x在)+∞上为单调递减函数，所以(2)g g <，故选项B 错误；对于C,令函数()0g x =,则ln 0x =,解得1x =,所以函数()g x 只有一个零点，故选项C 正确；对于D,易知1x =不是方程的解；当1x ≠时，()0f x ≠，方程2()kf x x =恰好只有一个实数根，等价于y k =和()ln xh x x=只有一个交点，则2ln 1(),0(ln )x h x x x -'=>且1x ≠，令()0h x '=,即ln 10x -=,解得e x =,当e x >时，()0h x '>,故函数()h x 在(e,)+∞上为单调递增函数，当01,1e x x <<<<时，()0h x '<,故函数()h x 在(0,1)，(1,e)上均单调递减，1x =是一条渐近线，当01x <<时，()0h x <,当1e x <<时，()0h x >,故()h x 在e x =处取得极小值(e)e h =,结合条件可知k e =或0k <,故选项D 错误；故选：AC．三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12．【答案】3【解析】记事件A 为“种一粒种子，发芽”，则()0.7,(0.3P A P A ==设每穴种n 粒，则相当于做了n 次独立重复实验，记事件B 为“每穴至少有一粒发芽”，则00()C 0.7(10.7)0.3,()1()10.3n n n n P B P B P B =-==-=-若保证每穴不需补种的概率大于97%，则10.30.97n ->即0.30.03n <，两边取对数得，lg 0.3lg 0.03n <,即(lg 31)lg 32n -<-又lg 30.48≈，则lg 322.92lg 31n ->≈-，又n 为整数，则每穴至少种3粒，才能保证每穴不需补种的概率大于97%．故答案为：3．13．【答案】72【解析】2()2sincossin 2sin 2223xxxf x x x x ωωωπωωω⎛⎫=-+==+ ⎪⎝⎭所以()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2T πω=，于是2223πππω<<，解得34ω<<，因为3π是()f x 的一个极值点，则,Z 332k k πππωπ+=+∈，解得13,2k k Z ω=+∈,所以1k =时，7(3,4)2ω=∈．故答案为：72．14．【答案】2【解析】由题设1348+=<，即P 在圆22:8E x y +=内，令||||P APA PB P Bλ'=='且1λ≠，显然P 是A ,B 内分比点，若P '为外分比点，则||||P APA PB P Bλ'==',此时PP '的中点C 为P ,Q 所在阿氏圆的圆心，对于每一个确定的实数,||k PQ 最大值为max d PP '=,即,Q P '重合时max d 为对应圆直径，根据圆的对称性，如上图，讨论1λ>的情况，而||2OP =,当AB为直径时，max ||3||PA PB λ===+,3=+可得4P B '=-故||PQ 的最大值为max ||2d PP P B PB ''==+=；当AB不为直径时134||AB λ<<+<<,且,||AB λ增减趋势相同，由||P A P B AB P B P Bλ''+==''，得||1AB P B λ'=-，显然||1AB P B λ'=-接近于1时P B '趋向无穷大，此时||PQ 的最大值为max d 趋向无穷大．综上，max d 的最小值是2．故答案为：2．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）【答案】（1）()*54,14N 2,5n n n n a n n --≤≤⎧=∈⎨≥⎩；（2）{1,3}【解析】（1）设前6项的公差为d ,所以2151612,4,5a a d a a d a a d =+=-=+=+，所以()()12112445a d a d a d +=-⎧⎪⎨+⨯=+⎪⎩，化简可得(43)(1)0d d --=,所以1d =或34，又因为{}n a 各项均为整数，所以d 为整数，所以1d =,当*14,n n ≤≤∈N 时，2(2)4n a a n d n =+-=-,当*5,N n n ≥∈时，555621,2,121n n n a a a --⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，综上所述，()*54,14N 2,5n n n n a n n --≤≤⎧=∈⎨≥⎩；（2）当1m =时，1231236,6a a a a a a ++=-=-,满足条件；当2m =时，2342343,0a a a a a a ++=-=,不满足条件；当3m =时，3453450,0a a a a a a ++==，满足条件；当4m =时，4564562,0a a a a a a ++==,不满足条件；当5m ≥时，52n n a -=，若1212m m m m m m a a a a a a ++++++=,则有22111m m m m m m a a a a a a ++++++=,则5311222m m -+-++=，所以28722m -=，所以2727m -=，又因为273m -≥，所以2728m -≥，所以2727m -=无解，综上所述，m 的取值为{1,3}．16．（15分）【答案】（1）证明见解析；（2）3π【解析】（1）因为正方体1111ABCD A B C D -,所以四边形11ABB A 是正方形，所以11AB BA ⊥,又BC ⊥平面111,ABB A AB ⊂平面11ABB A ,所以1BC AB ⊥,又111,,AB BA BA BC ⊥是平面1A BC 内的两条相交直线，所以1AB ⊥面1A BC（2）如图，以A 为原点，以1,,AB AA AD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的边长为a ,又E 为线段1AC 的中点，则(0,0,0),(,0,0),(,,0),,,222a a a A B a C a a E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以(,0,0),,,,(0,,0),,,222222a a a a a a AB a AE BC a BE ⎛⎫⎛⎫====- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面ABE 的法向量为(,,)m x y z =,则0000222ax m AB a a ax y z m AE ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨++=⋅=⎪⎪⎩⎩,令1y =,则0,1x z ==-,所以(0,1,1)m =- ，设平面BCE 的法向量为()111,,n x y z =,11110000222ay n BC a a a x y z n BE ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-++=⋅=⎪⎪⎩⎩，令1111,0x z y ===，所以(1,0,1)n = ，设平面ABE 与平面BCE 所成锐二面角的大小为θ．所以1cos ||||2m n m n θ⋅== ，又0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3πθ=17．（15分）【答案】（1）74；（2）0.8186；（3）分布列见解析；期望为65【解析】（1）根据频率分布直方图得：(550.01650.02750.045850.02950.005)1074x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．（2）由题意知~(74,100)X N ,即74,10μσ==,所以0.68270.9545(6494)(2)0.81862P X P X μδμδ+<≤=-<≤+==．（3）由题意可知[50,60),[60,70)和[80,90)的频率之比为：1:2:2，故抽取的10人中[50,60),[60,70)和[80,90)分别为：2人，4人，4人，随机变量ξ的取值可以为0,1,2,3，321664331010C C C 11(0),(1)C 6C 2P P ξξ======，123644331010C C C 31(2),(3)C 10C 30P P ξξ======，故ξ的分布列为：ξ0123P1612310130所以11316()01236210305E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．18．（17分）【答案】（1）221(2)43x y x +=≠-；（2）直线l 过定点．【解析】（1）设动圆P 的半径为r ,因为动圆P 与圆M 外切，所以||1PM r =+,因为动圆P 于圆N 外切，所以||3PN r =-,则||||(1)(3)4||2PM PN r r MN +=++-=>=,由椭圆的定义可知，曲线C 是以(1,0),(1,0)M N -为左、右焦点，长轴长为4的椭圆．设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>,则2,1a c ==,故2223b a c =-=,所以曲线C 的方程为221(2)43x y x +=≠-．（2）①当直线l斜率存在时，设直线:,l y kx m m =+≠联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得()()222438430k x kmx m +++-=，则()()222(8)164330km k m ∆=-+->,化简得22430k m -+>．设()()1122,,,A x y B x y ，则()12221228434343km x x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩．由题意可知，因为2QA QB k k +=-．2==-，所以)1221121220x y x y x x x x +-++=,所以()())1221121220x kx m x kx m x x x x +++++=,即()1212(22)(0k x x m x x ++-+=,()222438(22)(04343m km k m k k -⎛⎫+⋅+⋅-= ⎪++⎝⎭，即()2(1)3(0k m km m +--=,即(1)]0m m k -++=．因为m ≠，所以1)0m k +=,即m =所以直线l的方程为(y kx k x =-=-,所以直线l过定点．②当直线l 斜率不存在时，设直线:(0)l x t t =≠，且(2,2)t ∈-，则点,,A t B t ⎛⎛ ⎝⎝．所以k 2QA QBk k +=+==-,解得t =,所以直线l的方程为x =也过定点．综上所述，直线l过定点．19．（17分）【答案】（1）1y x =-（2）()f x 的单调递增区间是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；()f x 的单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）1a e ≥-．【解析】（1）因为函数()ln f x x x =,所以1()ln ln 1,(1)ln111f x x x x f x''=+⋅=+=+=．又因为(1)0f =,则切点坐标为(1,0)，所以曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程为1y x =-．（2）函数()ln f x x x =定义域为(0,)+∞,由（1）可知，()ln 1f x x '=+．令()0f x '=解得1x e=．()f x 与()f x '在区间(0,)+∞上的情况如下：x10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1e1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x -0+()f x '↘极小值↗所以，()f x 的单调递增区间是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；()f x 的单调递减区间是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭．（3）当1x e e ≤≤时，“()1f x ax ≤-”等价于“1ln a x x≥+”．令22111111()ln ,,,(),,x g x x x e g x x e x e x x x e -⎡⎤⎡⎤'=+∈=-=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．令()0g x '=解得1x =,当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<,所以()g x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减．当(1,)x e ∈时，()0g x '>,所以()g x 在区间(1,)e 单调递增．而111ln 1 1.5,()ln 1 1.5g e e e g e e e e e⎛⎫=+=->=+=+< ⎪⎝⎭．所以()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以当1a e ≥-时，对于任意1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,都有()1f x ax ≤-．。