第五章 不定积分与定积分习题解答
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Φ′( x) = xe − x ，令 Φ′( x) = 0 ，得驻点 x = 0
x < 0 时， Φ′( x) < 0 ； x > 0 时， Φ′( x) > 0
x = 0 取极小值， Φ (0) = 0 .
2. 求下列极限：
∫ (1) lim
x →0
x 0
cos t 2 dt x
；
∫ (2) lim
2 0
0
π
∫
π
0
sin n x dx = 2 ∫ 2 sin n x dx
0
π
4．计算下列定积分：
(1) ∫
解
4
1
1 dx ； 1+ x x = t ，则 x = t 2
2 2t 2 1 3 dx = ∫ dt = 2 ⎡ t − ln (1 + t ) ⎤ = 2 − 2 ln ⎣ ⎦ 1 1 1 1+ t 2 1+ x 3 dx 4
1 dx ； x 1 1 1 1 1 解 ∫ 2 sin dx = − ∫ sin d = cos + C x x x x x dx (8) ∫ x − x ； e +e (7)
∫x
1
2
sin
解
e x dx dx x = ∫ e x + e− x ∫ e2 x + 1 = arctan e + C dx (9) ∫ ； (2 − x) 1 − x
1
2
当 1 < x < 2 时， 0 < ln x < ln 2 < 1 ，
ln x > ( ln x )
2
∫
2
1
ln x dx > ∫ (ln x) 2 dx .
1
2
3．设 f ( x) 为连续函数，且 f ( x) = x + 2 解 令A=
∫
2 0
f ( x) dx ，求 f ( x) ．
∫
2 0
0 2 3x − 1 f ′( x) ，计算 ∫0 1 + f 2 ( x) dx ． x2 + 1
4
(4) 设 f ( x) =
解
∫
2 0
f ′( x) π ⎛ π⎞ π 2 dx = arctan f ( x ) 0 = −⎜− ⎟ = . 2 1 + f ( x) 4 ⎝ 4⎠ 2
习题 5 − 3 不定积分的概念与性质
令
∫
(2) ∫
解
1
(1 + x )
3
2 3
；
令 x = tan t ， dx = sec tdt ，当 x = 1, 时，t =
2
π
4
，x=
3, 时，t =
π
3
∫
dx
1
(1 + x )
2 3
= ∫ π3 cos tdt = sin t
4
π
π
3
π
4
=
3− 2 2
习题 5 − 5 分部积分法
1．求下列不定积分：
1 x2 ⎛1 2⎞ 1 2 x ⋅ x x = x x = x x − arctan d arctan d arctan ⎜ ⎟ ∫ ∫ ∫ 2 1 + x 2 dx ⎝2 ⎠ 2
解
= (4)
解
1 2 1 1 1 1 x arctan x − x + arctan x + C = ( x 2 + 1) arctan x − x + C 2 2 2 2 2
解
∫ (2 − x)
∫
dx 1− x
2 3
= −2 ∫
；
1 d 1 − x = −2 arctan 1 − x + C 2− x
(10)
解
dx
(a
dx
2
−x
)
令 x = a sin t ， dx = a cos tdt
a
∫
(a
2
− x2 )
3
=∫
a cos tdt 1 x 1 = 2 tan t + C = 2 ⋅ +C 3 3 a cos t a a a2 − x2
∫
x
0
f (t ) dt 在 [0, 2] 上的表达式，并讨论 Φ ( x)
在 (0, 2) 内的连续性． 解
x 1 0 ≤ x < 1 ， Φ ( x ) = ∫ t 2 dt = x 3 0 3
1 x 1 2 1 ≤ x ≤ 2 ， Φ ( x) = ∫ t 2 dt + ∫ dt = + ( x − 1) = x − 0 1 3 3 ⎧1 3 x , 0 ≤ x < 1, ⎪ ⎪3 则 Φ ( x) = ⎨ ⎪ x − 2 , 1 ≤ x ≤ 2. ⎪ 3 ⎩
习题 5 − 4
1． 求下列不定积分：
换元积分法
(1) ∫ xe − x dx ；
2
解
∫ xe
∫
− x2
dx = −
1 2 1 − x2 e d ( − x 2 ) = − e− x + C ∫ 2 2
(2)
解
dx ； x(4 − x) dx d x x = 2∫ = 2 arcsin +C 2 x(4 − x) 4− x
1 dx ． sin x ⋅ cos 2 x 1 解 ∫ dx = ∫ ( sec 2 x + csc 2 x ) dx = tan x − cot x + C 2 2 sin x ⋅ cos x 1 4 或∫ dx = ∫ 2 dx = −2 cot 2 x + C 2 2 sin x ⋅ cos x sin 2 x 3.∫
x →0
1 cos x
e − t dt x2
2
2
．
cos x 2 解 原式 = lim =1 x→0 1
−e − cos x ( − sin x ) 1 −1 原式 = lim = e x→0 2x 2
3．设 f ( x) = ⎨
⎧ x 2 , 0 ≤ x < 1, 1 ≤ x ≤ 2,
⎩ 1,
求函数 Φ ( x) =
2
3．证明： 证
∫
π
0
sin x dx = 2 ∫ 2 sin n x dx
sin n x dx = ∫ 2 sin n x dx + ∫ π sin n x dx
0 2
π
π
令 x = π − t ，则有 所以
∫
π π
2
sin n x dx = ∫ π sin n t ( − dt ) = ∫ 2 sin n t dt
(1)
解
∫
ln x dx ； x ln x 1 ∫ x dx = 2∫ ln x d x = 2 x ln x − 2∫ x ⋅ x dx = 2 x ln x − 4 x + C
(2) ∫ xf ′′( x) dx （其中 f ( x) 二阶可导） ；
解
∫ xf ′′( x) dx = ∫ x df ′( x) = xf ′ ( x ) − ∫ f ′ ( x ) dx = xf ′ ( x ) − f ( x ) + C (3) ∫ x ⋅ arctan x dx ；
f ( x) dx ，则 f ( x ) = x + 2 A
∫
2 0
f ( x ) dx = ∫
( x + 2 A ) dx ， 0
4 3 习题 5 − 2
2
即
A=
1 2 ⋅2 + 4A 2
2 A=− ， 3
f ( x) = x −
微积分基本公式
1．求函数 Φ ( x) = 解
∫
x
0
xe − x dx 的极值．
2
1 − cos x dx ． 1 − cos 2 x 1 − cos x 1 − cos x 1 1 解 ∫ dx = ∫ dx = − cot x + csc x + C 2 1 − cos 2 x 2 sin x 2 2 1 − cos x 1 1 1 x 或∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = tan + C x 1 − cos 2 x 2 (1 + cos x ) 2 2 4 cos 2 2 4.∫
2x −1 +C 5
⎧ xe − x , x ≥ 0, 4 ⎪ 2. 求 ∫ f ( x − 2) dx ，其中 f ( x) = ⎨ 1 1 , −1 < x < 0. ⎪ ⎩1 + cos x 4 2 0 2 2 1 解 ∫ f ( x − 2) dx x − 2 = t ∫ f (t ) dt = ∫ dt + ∫ te− t dt 1 0 −1 −1 1 + cos t t 1 −t 2 2 1 1 1 = tan 0 e 0 = tan − e −4 + −1 − 2 2 2 2 2
(4)
解
1 + x2
x3 1 + x2
(5) ∫
解
∫
tan x dx ； cos x tan x 1 2 +C dx = − ∫ dcosx = 3 cos x cos x ( cos x ) 2 1 dx ；
(6)
解
∫ 1+ e
x
⎛ 1 ex ⎞ 1− dx = x − ln (1 + e x ) + C x ⎟ ∫ 1 + e x dx = ∫ ⎜ ⎝ 1+ e ⎠
t
a2 − x2
