6.1不等式的性质

6.1不等式的性质一、素质教育目标1、知识教学点⑴实数的运算性质与大小顺序之间的关系⑵关于a≥b或a≤b的含义⑶不等式的五条重要性质2、能力训练点（1）理解并掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系（2）掌握不等式的五条重要性质（3）掌握比较两个实数（代数式）大小的数学思维过程。

（4）培养学生对数学知识的理解能力、应用能力及论证能力二、学法指导不等式是数学中的重要内容，是研究数量的大小关系的必备知识，是我们进一步学习数学和其他学科的基础和工具。

要点1：实数与数轴上的点是一一对应的。

要点2：实数的运算性质与大小顺序之间的关系（它是不等式这一章内容的理论基础，是不等式性质的证明、证明不等式和解不等式的主要依据。

实数运算的符号法则是学习不等式的基础）a>b ⇔a－b>0；a＝b⇔a－b=0；a<b ⇔a－b<0要点3：比较两个实数大小的方法比较两个实数大小的依据是实数的运算性质与大小顺序之间的关系，即要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了。

请沿着以下脉络学习，学习过程中要注意有关思想方法的领会与把握。

三、教学重点、难点1、重点：实数的基本性质2、难点：实数的基本性质的应用及对字母的分类讨论四、课时安排本课题安排3课时五、教与学过程设计第一课时 不等式的性质学习目标：（1） 理解实数与数轴上的点是一一对应的（2） 理解并掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系（3） 掌握比较两个实数（代数式）大小的数学思维过程，会用差值比较法比较两个实数（代数式）的大小教学过程1、 创设情境某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 2，深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：设水池底面的一边的长度为x m ， 则另一边的长度为x34800m 。

又设水池总造价为 y 元。

根据题意，得y ＝150×34800+ 120(2×3x + 2×3×x34800) ＝240000＋720（x + x1600）这是一个求函数最小值的问题，怎么办？ 利用函数f (x) = x +xa( a> 0)在（0，a ］上是减函数，在[a , +∞ ）是增函数来求最小值。

还有什么方法呢？学习了本章不等式的有关定理后，就很容易解决这个问题。

不等式是数学的重要内容，是研究数量的大小关系的必备知识，是我们进一步学习数学和其他学科的基础和工具。

以前我们已经学习了一元一次不等式、一元二次不等式和绝对值不等式的解法，本章我们将进一步学习不等式的性质、不等式的证明和某些简单不等式的解法。

2、 实数与数轴上的点的关系 实数与数轴上的点一一对应，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。

如图1，点A 表示的实数为a ，点B 表示的实数为b ，则a>b 。

我们再看图1，a>b 表示a 减去b 所得的差是一个大于0的数即正数。

• •a b图13、4、 例1 比较（a ＋3）（a －5）与（a ＋2）（a －4解：（a ＋3）（a －5）－（a ＋2）（a －4）＝（a 2―2a ―15）－（a 2―2a ―8）＝ －7 ＜ 0∴（a ＋3）(a －5)＜(a ＋2）（a －4）小结：比较两个实数（代数式）大小的思维过程是：将要比较的两个实数（代数式）的大小问题转化为考察它们的差与0的关系。

这种方法叫做比较法（作差法）。

例2 已知x ≠0,比较(x 2＋1)2与x 4＋x 2＋1的大小。

解：(x 2＋1)2－（x 4＋x 2＋1）＝x 4＋2x 2＋1―x 4―x 2－1＝x 2 由于x ≠0,得x 2＞0，从而(x 2＋1)2＞x 4＋x 2＋1 变：如无x ≠0这个条件，结果如何？板演：P 5练习 1、2、3 5、总结提炼数学思想：数形结合、等价转化 数学方法：比较法 知识点：实数与数轴上的点是一一对应、实数的运算性质与大小顺序之间的关系、比较两个实数（代数式）大小 6、作业：P 8 习题6.1 1、2、3预习 课本P 5－7，并思考不等式的性质有哪些？它们是如何证明的。

思考题：板书设计教学后记的大小。

＋与＋时，比较当222121x 1x 10x x <<第二课时 不等式的性质学习目标：（1） 理解并掌握不等式的基本性质 （2） 能利用不等式性质比较大小 教学过程1、 复习与回顾（1）实数的运算性质与大小顺序之间的关系由此可见，要比较两个实数（代数式）的大小，只要考察它们的差就可以了。

（2）初中不等式的性质a >b ⇔b < aa > b,b >c ⇒ a > ca > b, c >0 ⇒ ac > bc; a >b ,c <0⇒ac < bc2、推导不等式的基本性质定理1 如果a > b , 那么b < a ；如果b < a, 那么a > ba b b a Th <⇔>:1证明：∵a ＞ b∴a －b ＞0由正数的相反数是负数，得 －（a －b ）＜0 即b －a ＜0 ∴ b ＜ a ∵b ＜ a∴b －a ＜0由负数的相反数是正数，得 －（b －a ）＞0 即 a －b ＞0 ∴ a ＞ b 定理2 如果a > b , b > c , 那么 a > cc a c b b a Th >⇒>>,:2证明：∵a ＞ b ，b ＞C ∴a ―b ＞0，b ―c ＞0 根据两个正数的和仍是正数，得（a －b ）＋（b －c ）＞0 即a － c ＞0 ∴ a ＞c根据定理1，定理2还可以表示为：如果c ＜b, b ＜a,那么c ＜a 。

定理3 如果a ＞ b,那么a ＋c ＞ b ＋ Cc b c a b a Th +>+⇔>:3证明：∵（a ＋ c ）－（b ＋ c ）＝a － b ＞0∴a ＋ c ＞ b ＋ c想一想：①如果a ＜ b,是否有a + c ＜b + c ? ②如果a ＋ c ＜ b ＋ c,是否有a ＜ b ？ ③如果a ＋ c ＜ b,是否有a ＜ b － c ？说明：①不等式两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向。

推论：如果a ＞ b , 且c ＞ d ,那么a + c ＞d b ca d cb a De +>+⇒>>,:证明：∵a ＞ b ∴a ＋ c ＞ b＋ c∵c ＞ d ∴b ＋ c ＞ b ＋ d 由①，②得 a ＋ c ＞ b ＋ d想一想：如果a 1 ＞b 1 ，a 2 ＞b 2 ，a 3 ＞b 3 ，…,a n ＞ b n ,是否有 a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋…＋ a n ＞ b 1 ＋ b 2 ＋ b 3 ＋ … ＋b n ？ 推广：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，向。

定理4： 如果 a ＞ b, 且 c ＞ 0 , 那么ac ＞ bc ； 如果 a ＞ b ,且 c ＜ 0 ，那么 ac ＜ bc 。

.0,;0,:4bc ac c b a bc ac c b a Th <⇒<>>⇒>>证明： ac － bc ＝(a － b)c ∵ a ＞ b ∴a －b ＞0 根据同号相乘得正，异号相乘得负，得当c ＞0时，c(a － b)＞0，即ac ＞ bc ； 当c ＜0时，c(a － b)＜0，即ac ＜ bc 。

想一想：a ＞ b , c ＞ d ，是否有ac ＞ bd?若成立，请加以证明；若不成立，请添加适当的条件是命题成立。

特殊化：3＞2,4＞2有3×4＞2×2；3＞－4,6＞－7，但3×6＜（－4）×（－7）； －3＞－5，－2＞－7但（－3）×（－2）＜（－5）×（－7） 猜想：如果a ＞ b ＞0 ,且 c ＞ d ＞0 ，那么ac ＞ bd 证明：∵a ＞ b , c ＞ 0 ∴ ac ＞ bc ① ∵c ＞ d , b ＞ 0 ∴ bc ＞ bd ②由①，②得 ac ＞ bd推论1 如果a ＞ b ＞0 ,且 c ＞ d ＞0 ，那么ac ＞bd ac d c b a De >⇒>>>>0,0:1想一想：这一推论是否可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向？ 推广：两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。

想一想：a ＞ b,n 是正整数，是否有a n ＞ b n?根据推论1知：推论2：如果a ＞ b ＞0，n ∈N,且n ＞1，那么a n ＞b n.n n b a 1N N ,0:2>⇒∈>>＞，且n b a De定理5 如果a ＞b ＞ 0, n ∈N,且n ＞1，那么n a > n nb a n N n b a Th >⇒>∈>>1,,0:5板演：P 7 练习 1、2 3、应用举例例1 已知a ＞ b , c ＜ d ,求证：a ― c ＞ b ―证明：由a ＞ b 知a － b ＞0,由c ＜ d 知 d － c ＞ ∵（a － c ）－（b － d ）＝（a － b ）＋（d － c ）＞0 ∴a － c ＞ b － d想一想，你能否用方法加以证明？ 证法二：∵c ＜ d ∴－c ＞－d又a ＞ b ∴a ＋（－c ）＞ b 即a － c ＞ b － d例2 已知a ＞ b ＞0, c ＜0, 求证：c/a ＞ c/b证法一：∵a ＞ b ＞0 ∴ b － a ＞，ab ＞0, 又c ＞0∴ c/a － c/b ＝(cb － ca)/ab ＝c(b －a)/ab ＞0 即c/a ＞ c/bn n n n n n n n n n n ba 0b a ba b a b a b a 12a ,b a ,b a >>>==<<=<　所以矛盾　这些都与已知条件时，有　当；时，有，当和定理　由推论或者则不大于证明：假设证法二：∵a ＞ b ＞0 两边同乘以正数1/ab1/b ＞ 1/a 即 1/a ＜1/b 又c ＜0 ∴c/a ＞ c/b4、总结提炼数学思想：等价转化数学方法：比较法、综合法、反证法 知识点：不等式的基本性质5、作业：P 8 习题6.1 4（填在书上）、5（用多种方法加以证明） 思考题：板书设计教学后记第三课时 不等式的性质的大小与试比较＝均为正数，设、已知N M ,yx 4N ,y1x 1M y x +=+学习目标：（1）进一步巩固不等式的基本性质 （2）能利用不等式性质解决简单问题（3）提高学生分析问题、解决问题的能力，开发创新思维。