二元一次方程组、一元一次不等式(组)的性质及其应用

一次函数与方程（组）、不等式及二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系1、一次函数与一元一次方程从“数”的角度看，解方程kx+b=0相当于一次函数y=kx+b 的函数值为0时，求自变量的取值；从“形”的角度看，解方程kx+b=0，相当于确定直线y=kx+b 与x 轴交点横坐标的值 一次函数与一元一次不等式从“数”的角度看，解不等于式kx+b 〉0（<0）相当于一次函数y=kx+b 的函数值>0(<0)时，求自变量x 的取值范围；从“形”的角度看，求不等于式kx+b>0(<0）的解集，相当于确定直线y=kx+b 在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围 从“数”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +相当于一次函数111b x k y +=与222b x k y +=函数值y 1>y 2时，求自变量的取值范围；从“形”的角度看，解不等于式11b x k +〉22b x k +，相当于确定直线111b x k y +=在直线222b x k y +=上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围 一次函数与二元一次方程组从“数”的角度看，解二元一次方程组{y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2相当于求自变量x 为何值时相应的两个函数y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2的函数值相等，从“形”的角度看，解二元一次方程组，相当于确定直线y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2交点的坐标类比可得出二次函数与二元一次方程、二元一次不等式的关系：1、从数的角度看，解方程02＝c bx ax ++相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y=0时自变量x 的值，从形的角度看，解方程02=++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与x 轴的交点模坐标的值2、从数的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于二次函数c bx ax y ++=2的函数值y>0(<0)时自变量x 的取值范围，从形的角度看，解方程)0(02<>++c bx ax 相当于确定二次函数c bx ax y ++=2与在x 轴上（下）方部分所对应的自变量x 取值范围。

二元一次方程组及不等式的综合应用崔莹莹2016-6-112．（2015•广东省,第22题，7分）某电器商场销售A ，B 两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元. 商场销售5 台A 型号和1台B 型号计算器，可获利润76元；销售6台A 型号和3台B 型号计算器，可获利润120元.（1）求商场销售A ，B 两种型号计算器的销售价格分别是多少元？(利润=销售价格﹣进货价格）（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A ，B 两种型号计算器共70台，问最少需要购进A 型号的计算器多少台？【答案】解：（1）设A ，B 型号的计算器的销售价格分别是x 元，y 元，得：5(30)(40)766(30)3(40)120-+-=⎧⎨-+-=⎩x y x y ，解得4256=⎧⎨=⎩x y .答：A ，B 两种型号计算器的销售价格分别为42元，56元.（2）设最少需要购进A 型号的计算a 台，得3040(70)2500+-≥a a ，解得30≥a .答：最少需要购进A 型号的计算器30台.【考点】二元一次方程组和一元一次不等式的应用（销售问题）.【分析】（1）要列方程（组），首先要根据题意找出存在的等量关系，本题设A ，B 型号的计算器的销售价格分别是x 元，y 元，等量关系为：“销售5 台A 型号和1台B 型号计算器的利润76元”和“销售6台A 型号和3台B 型号计算器的利润120元”.（2）不等式的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式求解. 本题设最少需要购进A 型号的计算a 台，不等量关系为：“购进A ，B 两种型号计算器共70台的资金不多于2500元”.6．（2015·四川甘孜、阿坝，第26题8分）一水果经销商购进了A ，B 两种水果各10箱，分配给他的甲、乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售，预计每箱水果的盈利情况如下表：A种水果/箱B种水果/箱甲店11元17元乙店9元13元（1）如果甲、乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱，请你计算出经销商能盈利多少元？（2）在甲、乙两店各配货10箱（按整箱配送），且保证乙店盈利不小于100元的条件下，请你设计出使水果经销商盈利最大的配货方案，并求出最大盈利为多少？考点：一元一次不等式的应用．.分析：（1）经销商能盈利=水果箱数×每箱水果的盈利；（2）设甲店配A种水果x箱，分别表示出配给乙店的A水果，B水果的箱数，根据盈利不小于110元，列不等式求解，进一步利用经销商盈利=A种水果甲店盈利×x+B种水果甲店盈利×（10﹣x）+A种水果乙店盈利×（10﹣x）+B种水果甲店盈利×x；列出函数解析式利用函数性质求得答案即可．解答：解：（1）经销商能盈利=5×11+5×17+5×9+5×13=5×50=250；（2）设甲店配A种水果x箱，则甲店配B种水果（10﹣x）箱，乙店配A种水果（10﹣x）箱，乙店配B种水果10﹣（10﹣x）=x箱．∵9×（10﹣x）+13x≥100，∴x≥2，经销商盈利为w=11x+17•（10﹣x）+9•（10﹣x）+13x=﹣2x+260．∵﹣2＜0，∴w随x增大而减小，∴当x=3时，w值最大．甲店配A种水果3箱，B种水果7箱．乙店配A种水果7箱，B种水果3箱．最大盈利：﹣2×3+260=254（元）．点评：此题考查一元一次不等式的运用，一次函数的实际运用，找出题目蕴含的不等关系与等量关系解决问题．7．（2015·山东潍坊第19 题9分）为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．（1）求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台；（2）为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润=售价﹣进价）考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．.分析：（1）设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台，根据“购进了A、B两种型号家用净水器共160台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．”列出方程组解答即可；（2）设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，则每台B型号家用净水器的毛利润是2a 元，根据保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，列出不等式解答即可．解答：解：（1）设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台，由题意得，解得．答：A种型号家用净水器购进了100台，B种型号家用净水器购进了60台．（2）设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，则每台B型号家用净水器的毛利润是2a 元，由题意得100a+60×2a≥11000，解得a≥50，150+50=200（元）．答：每台A型号家用净水器的售价至少是200元．点评：此题考查一元一次不等式组的实际运用，二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系与不等关系是解决问题的关键．12.（2015•四川眉山，第24题9分）某厂为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本（每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同）作为奖品．若购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，购买5支钢笔和1本笔记本共需90元．（1）购买一支钢笔和一本笔记本各需多少元？（2）工会准备购买钢笔和笔记本共80件作奖品，根据规定购买的总费用不超过1100元，则工会最多可以购买多少支钢笔？考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．.分析：（1）首先用未知数设出买一支钢笔和一本笔记本所需的费用，然后根据关键语“购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，购买5支钢笔和1本笔记本共需90元”，列方程组求出未知数的值，即可得解．（2）设购买钢笔的数量为x，则笔记本的数量为80﹣x，根据总费用不超过1100元，列出不等式解答即可．解答：解：（1）设一支钢笔需x元，一本笔记本需y元，由题意得解得：答：一支钢笔需16元，一本笔记本需10元；（2）设购买钢笔的数量为x，则笔记本的数量为80﹣x，由题意得16x+10（80﹣x）≤1100解得：x≤50答：工会最多可以购买50支钢笔．点评：此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程组和不等式．13. （2015•四川泸州,第21题7分）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵。

第三讲 二元一次方程及方程组一元一次不等式及不等式组。

本讲课程目标知识与技能熟练掌握方程的解法，提高分析问题的能力及解题能力，着重训练实际问题的审题、找相等关系并正确地列出方程的能力。

过程与方法 系统复习初一下册、一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式及不等式组等三章内容，讲练结合。

情感态度价值观本讲课程的重点1．一元一次方程的解法。

2．二元一次方程组的解法。

3．一元一次不等式及不等式组的解法本讲课程的难点1．应用一元一次方程解决实际问题。

2．二元一次方程组的消元技巧。

3．不等式的性质3的符号变换，不等式组的解集的分类。

教学方法建议精讲多练，讲练结合 选材程度及数量课堂精讲例题 搭配课堂训练题 课后作业 A 类（ ）道（ ）道（ ）道B 类 （ ）道 （ ）道 （ ）道C 类（ ）道（ ）道（ ）道—、回顾上一讲知识一：有理数知识的复习★第一步：要点一知识规律或思维方法、解题方法梳理1．正数、负数、有理数、数轴、相反数、绝对值及倒数的概念。

2．有理数的加减法、乘除法、以及乘方的运算法则及运算律（交换律、结合律、分配律）。

3．科学记数法及近似数，以及有理数混合运算的运算顺序。

★第二步：要点一经典例题讲解1．(－61＋43－125)⨯)12(-； （ 用分配律）2．B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-÷--⨯---3210)2(322)32(31(答案：0 )★第三步：要点一课堂巩固练习1．B.（－1）2009－（43－61－83）×24－（－2）2×3 （答案：-18 ） 2．B.20103)1(|52|)3(2)2(---+-⨯--。

（答案：0 ）二、整式的加减★第一步：要点二知识规律或思维方法、解题方法梳理1．单项式、多项式的概念。

2．整式加减的去括号的方法。

3．合并同类项的方法。

★第二步：要点二经典例题讲解1．B.已知一个多项式与x x 932+的和等于1432-+x x ，则此多项式是 （ B ）A ．1562---x xB ．15--xC ．1562++-x x D ．15+-x2. C. 已知5,4=-=+c b b a ，则代数式222222a b c ab bc +++-= 41 。

考点07 一元一次不等式（组）及其应用中考数学中，一元一次不等式（组）的解法及应用时有考察，其中，不等式基本性质和一元一次不等式（组）解法的考察通常是以选择题或填空题的形式出题，还通常难度不大。

而对其简单应用，常会和其他考点（如二元一次方程组、二次函数等）结合考察，此时难度上升，需要小心应对。

对于一元一次不等式中含参数问题，虽然难度系数上升，但是考察几率并不大，复习的时候只需要兼顾即可！一、不等式的基本性质二、一元一次不等式（组）的解法三、求不等式（组）中参数的值或范围四、不等式（组）的应用考向一：不等式的基本性质【易错警示】1．若a ＞b ，则下列不等式中，错误的是（ ）A ．3a ＞3bB ．﹣＜﹣C ．4a ﹣3＞4b ﹣3D ．ac 2＞bc 2【分析】根据不等式的性质进行一一判断．【解答】解：A 、在不等式a ＞b 的两边同时乘以3，不等式仍成立，即3a ＞3b ，故本选项正确；B 、在不等式a ＞b 的两边同时除以﹣3，不等号方向改变，即﹣＜﹣，故本选项正确；C 、在不等式a ＞b 的两边同时先乘以4、再减去3，不等式仍成立，4a ﹣3＞4b ﹣3，故本选项正确；D 、当c ＝0时，该不等式不成立，故本选项错误．故选：D ．2．已知x ＜y ，下列式子不成立的是（ ）A ．x +1＜y +1B ．x ＜y +100C ．﹣2022x ＜﹣2022yD ．【分析】根据不等式的性质判断即可．【解答】解：A 、在不等式x ＝y 的两边同时加上1得x +1＜y +1，原变形成立，故此选项不符合题意；B 、在不等式x ＜y 的两边同时加上100得x +100＜y +100，原变形成立，故此选项不符合题意；C 、在不等式x ＜y的两边同时乘以﹣2022得﹣2022x ＞﹣2022y ，原变形不成立，故此选项符合题意；D 、在不等式x ＜y 的两边同时除以2022得x ＜y ，原变形成立，故此选项不符合题意；故选：C ．3．若x＞y，且（a+3）x＜（a+3）y，求a的取值范围　a＜﹣3　．【分析】根据题意，在不等式x＞y的两边同时乘以（a+3）后不等号改变方向，根据不等式的性质3，得出a+3＜0，解此不等式即可求解．【解答】解：∵x＞y，且（a+3）x＜（a+3）y，∴a+3＜0，则a＜﹣3．故答案为：a＜﹣3．4．已知3x﹣y＝1，且x≤3，则y的取值范围是　y≤8　．【分析】根据3x﹣y＝1求出x＝，根据x≤3得出≤3，再根据不等式的性质求出不等式的解集即可．【解答】解：∵3x﹣y＝1，∴3x＝1+y，∴x＝，∵x≤3，∴≤3，∴1+y≤9，∴y≤8，即y的取值范围是y≤8，故答案为：y≤8．5．已知a，b，c为三个非负实数，且满足，若W＝3a+2b+5c，则W的最大值为　130　．【分析】将方程组两个方程相加，得到3a+5c＝130﹣4b，整体替换可得W＝130﹣2b，再由b的取值范围即可求解．【解答】解：，①+②，得3a+4b+5c＝130，可得出a＝10﹣，c＝20﹣，∵a，b，c为三个非负实数，∴a ＝10﹣≥0，c ＝20﹣≥0，∴0≤b ≤20，∴W ＝3a +2b +5c ＝2b +130﹣4b ＝130﹣2b ，∴当b ＝0时，W ＝130﹣2b 的最大值为130，故答案为：130．考向二：一元一次不等式（组）的解法1. 一元一次不等式的解法2. 一元一次不等式（组）的解法①按照一元一次不等式的解法解出每个不等式的解集②依据数轴取各不等式解集的公共部分一元一次不等式组解法及解集的四种情况无解大大小小则无解1．不等式3（2﹣x）＞x+2的解在数轴上表示正确的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：∵3（2﹣x）＞x+2，∴6﹣3x＞x+2，﹣3x﹣x＞2﹣6，﹣4x＞﹣4，x＜1，故选：C．2．在平面直角坐标系中，点A（a，2）在第二象限内，则a的取值可以是（ ）A．1B．﹣C．0D．4或﹣4【分析】根据第二象限内点的坐标特点列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．【解答】解：∵点A（a，2）是第二象限内的点，∴a＜0，四个选项中符合题意的数是，故选：B．3．关于x的方程ax＝2x﹣7的解为负数，则a的取值范围是　a＞2　．【分析】先解方程得到x＝，根据题意得到＜0，所以2﹣a＜0，然后解不等式即可．【解答】解：解方程ax＝2x﹣7的得x＝，∵方程ax＝2x﹣7的解为负数，∴＜0，∴2﹣a＜0，解得a＞2，即a的取值范围为a＞2．故答案为：a＞2．4．已知x＞2是关于x的不等式x﹣3m+1＞0的解集，那么m的值为　1　．【分析】先把m看作常数，求出不等式的解集，再根据不等式解集为x＞2，建立关于m的方程，求解即可．【解答】解：x﹣3m+1＞0x＞3m﹣1，∵x＞2 是关于x的不等式x﹣3m+1＞0 的解集，∴3m﹣1＝2，解得：m＝1，故答案为：1．5．若关于的不等式﹣ax＞bx﹣b（ab≠0）的解集为x＞，则关于x的不等式3bx＜ax﹣b的解集是　x＞﹣1　．【分析】根据已知不等式的解集，即可确定的值以及a+b的符号，进而求得a＝2b，进一步求得b＜0，从而解不等式即可．【解答】解：移项，得：（a+b）x＜b，根据题意得：a+b＜0且＝，即3b＝a+b，则a＝2b，又a+b＜0，即3b＜0，则b＜0，则关于x的不等式3bx＜ax﹣b化为：3bx＜2bx﹣b，解得x＞﹣1．故答案为：x＞﹣1．6．解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来．（1）﹣x+19≥2（x+5）；（2）．【分析】（1）先去括号，再移项、合并同类项，把x的系数化为1，再把不等式的解集在数轴上表示出来即可；（2）不等式两边都乘12去分母后，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．【解答】解：（1）﹣x+19≥2（x+5），去括号，得）﹣x+19≥2x+10，移项，得﹣x﹣2x≥10﹣19，合并同类项，得﹣3x≥﹣9，系数化为1，得x≤3．将解集在数轴上表示为：（2），去分母，得3（x+4）﹣12＜4（4x﹣13），去括号，得3x+12﹣12＜16x﹣52，移项，得3x﹣16x＜﹣52﹣12+12，合并同类项，得﹣13x＜﹣52，系数化为1，得x＞4．解集在数轴上表示为：7．关于x的方程5x﹣2k＝6+4k﹣x的解是负数，求字母k的值．【分析】解方程得出x＝k+1，根据方程的解为负数得出关于k的不等式，解之可得．【解答】解：解方程5x﹣2k＝6+4k﹣x得x＝k+1，∵方程的解是负数，∴k+1＜0，∴k＜﹣1．8．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）A．B．C．D．【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．【解答】解：，解不等式①，得：x≥1，解不等式②，得：x≥2，故原不等式组的解集是x≥2，其解集在数轴上表示如下：，故选：C．9．对于任意实数x，我们用{x}表示不小于x的最小整数．如：{2.7}＝3，{2022}＝2022，{﹣3.14}＝﹣3，若{2x+3}＝﹣2，则x的取值范围是（ ）A．B．C．D．【分析】根据{x}表示不小于x的最小整数，可得﹣3＜2x+3≤﹣2，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵{2x+3}＝﹣2，∴﹣3＜2x+3≤﹣2，∴﹣6＜2x≤﹣5，∴﹣3＜x≤﹣，故选：D．10．不等式组的解集是　x＜3　．【分析】先求出每个一元一次不等式的解集，再求出它们的公共部分即为不等式组的解集．【解答】解：，解①得：x≤8，解②得：x＜3，∴不等式组的解集为x＜3．故答案为：x＜3．11．解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来：（1）2（x﹣1）+2＜3x；（2）．【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：（1）∵2（x﹣1）+2＜3x，∴2x﹣2+2＜3x，∴2x﹣3x＜2﹣2，∴﹣x＜0，则x＞0，将解集表示在数轴上如下：（2）解不等式3x﹣（x﹣2）≥6，得：x≥2，解不等式x+1＞，得：x＜4，则不等式组的解集为2≤x＜4，将不等式组的解集表示在数轴上如下：考向三：求不等式组中参数的值或范围方法步骤总结：①解出不等式（组）的解集——用含参数的表达式表示；②根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间；③由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”。

题型三--方程应用（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01一次方（组）程应用1．列方程（组）解应用题的一般步骤（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．2．一次方程（组）常见的应用题型×100％；售价=标价×折扣；销售（1）销售打折问题：利润 售价-成本价；利润率=利润成本额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．（4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．1.（2022·山东泰安）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A 种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格．2．（2022·湖南常德）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，某天，他们以平常的速度行驶了12的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？3.（2021·重庆中考真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低3a% 4．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加5%2a，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加5%11a．求a的值．4.（2020•安徽）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．（1）设2019年4a元，线上销售额为x元，请用含a，x的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；时间销售总额（元）线上销售额（元）线下销售额（元）2019年4月份a x a﹣x2020年4月份 1.1a 1.43x 1.04（a﹣x）（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．5.（2020•江西）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．6.（2020•重庆）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B的平均亩产量比A的平均亩产量高100kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价不变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加209a%．求a的值．考点02不等式的应用3、列不等式（组）解决实际问题列不等式（组）解应用题的基本步骤如下：①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案．考情总结：列不等式（组）解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等．列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用“≤”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接．1.（2022·四川泸州）某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B 种农产品3件，共需690元；购进A种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．(1)A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？(2)该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？2．（2021·四川成都市·中考真题）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？3．（2021·四川眉山市·中考真题）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若千个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．（1）足球和篮球的单价各是多少元？（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？4.（2021·浙江温州市·中考真题）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？5.（2021·四川资阳市·中考真题）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的12，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．6.（2021·江苏连云港市·中考真题）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．（1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的1 3，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．考点03分式方程的应用4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．1.（2022·重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．2.（2020•泰州）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度．3.（2020•常德）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？4.（2020•广东）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的35．（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍．求建造这90个摊位的最大费用．5.（2021·山东聊城市·中考真题）为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买A种花卉与用900元购买B种花卉的数量相等，且B种花卉每盆比A种花卉多0.5元．（1）A，B两种花卉每盆各多少元？（2）计划购买A，B两种花卉共6000盆，其中A种花卉的数量不超过B种花卉数量的1 3，求购买A种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？6.（2021·湖南中考真题）“七一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A奖品比B奖品每件多25元预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍．（1）求A，B奖品的单价；（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折．．销售，学校调整了购买方案：不超过．．．720元，A，B两种奖品共100件．求购买A，．．．预算资金且购买A奖品的资金不少于B两种奖品的数量，有哪几种方案？7.（2020•牡丹江）某商场准备购进A，B两种书包，每个A种书包比B种书包的进价少20元，用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍，A种书包每个标价是90元，B种书包每个标价是130元．请解答下列问题：（1）A，B两种书包每个进价各是多少元？（2）若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个，且A种书包不少于18个，购进A，B两种书包的总费用不超过5450元，则该商场有哪几种进货方案？（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出5个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有4个样品，每种样品都打五折，商场仍获利1370元．请直接写出赠送的书包和样品中，B种书包各有几个？8.（2020•黔西南州）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元？（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍．已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？考点04二次方程的应用5、利用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．6．增长率等量关系（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设a 为原来量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则()1n a m b +=；当m 为平均下降率时，则有()1n a m b -=．7．利润等量关系（1）利润=售价－成本．（2）利润率=利润成本×100％．8．面积问题（1）类型1：如图1所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，空白“回形”道路的宽为x ，则阴影部分的面积为()(22)a x b x --．（2）类型2：如图2所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则空白部分的面积为()()a x b x --．（3）类型3：如图3所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则4块空白部分的面积之和可转化为()()a x b x --．1.（2022·四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？2.（2022·湖北宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加%m ．5月份每吨再生纸的利润比上月增加%2m ，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m 的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？3.（2021·四川遂宁市·中考真题）某服装店以每件30元的价格购进一批T 恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T 恤的销售单价提高x 元．（1）服装店希望一个月内销售该种T 恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T 恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T 恤获得的利润最大？最大利润是多少元？4.（2021·重庆中考真题）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份，为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低3a% 4．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加5%2a，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加5%11a．求a的值．5.（2021·重庆中考真题）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B 产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加2925 a%．求a的值．。

二元一次方程（组）和不等式（组）的应用1、端午节是我国传统的节日，人们素有吃粽子的习俗。

某商场在端午节来临之际，用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同，已知A种粽子的单价是B种粽子的单价的1.2倍。

（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共260 0个，已知A、B 两种粽子的进价不变，求A种粽子最多能购进多少个？2、某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话：老板：如果你在多买一个，就可以打八五折，花费比现在还省17元。

小明：那就多买一个吧，谢谢！（1）结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过400元，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么小明最多可购买钢笔多少支？3、在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子，A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，若B型粽子的总量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子公用了2560元，求两种型号粽子各多少千克？4、刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了105元，几天后，遇上这种大米8折出售，她用了140元又买了一些，两次一共购买了40 kg，这种大米的原价是多少？5、随着中国传统几日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折销售，乙品牌粽子打七五折销售，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需要660元，打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元。

（1）打折前甲乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？6、某商场购进甲乙两种商品，甲种商品公用了2000元，乙种商品公用了2400元。

第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程三、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.。

一元一次不等式（组）知识定位不等式是一个比较重要的知识点，难度不是很大，在理解的基础上，使用适当的技巧即可解决。

知识梳理一、不等式与不等式的性质1、不等式：表示不等关系的式子。

（表示不等关系的常用符号：≠，＜，＞）。

2、不等式的性质：（l ）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不改变，如a ＞ b ， c 为实数⇒a ＋c ＞b ＋c（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，如a ＞b ， c ＞0⇒ac ＞bc 。

（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，如a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc.注：在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错。

3、任意两个实数a ，b 的大小关系（三种）：（1）a – b ＞0⇔ a ＞b（2）a – b=0⇔a=b（3）a–b ＜0⇔a ＜b4、（1）a ＞b ＞0⇔b a >（2）a ＞b ＞0⇔22b a <二、不等式（组）的解、解集、解不等式1、能使一个不等式（组）成立的未知数的一个值叫做这个不等式（组）的一个解。

不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。

不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。

2．求不等式（组）的解集的过程叫做解不等式（组）三、不等式（组）的类型及解法1、一元一次不等式：（l ）概念：含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式。

（2）解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时，不等号方向要改变。

2、一元一次不等式组：（l ）概念：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

（2）解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分。

注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。

职高数学重要知识点总结一、代数1. 一元一次方程及其应用(1) 一次方程的概念与性质(2) 一元一次方程的解(3) 实际问题的一元一次方程建立与解决(4) 一元一次方程的应用题2. 一元二次方程及其应用(1) 一元二次方程的一般形式及其性质(2) 一元二次方程的求解(3) 一元二次方程的判别式与根的关系(4) 一元二次方程的应用题3. 不等式及其应用(1) 不等式的性质(2) 一元一次不等式与一元一次方程的关系(3) 一元二次不等式与一元二次方程的关系(4) 不等式的应用题4. 描述函数关系的方法(1) 函数的概念及函数的表示(2) 函数的性质(3) 直线函数与一次函数(4) 二次函数的图像、性质及应用(5) 一次函数与二次函数的实际问题5. 二元一次方程组的解法(1) 二元一次方程组的概念和性质(2) 二元一次方程组的解法及其应用(3) 实际问题的二元一次方程组建立与解决6. 一元一次不等式组的解法(1) 一元一次不等式组的概念和性质(2) 一元一次不等式组的解法及其应用(3) 实际问题的一元一次不等式组建立与解决7. 分式方程(1) 分式方程的概念及性质(2) 分式方程的解法(3) 实际问题的分式方程建立与解决8. 根据实际问题建立方程或不等式(1) 问题的解析和设方程、不等式(2) 实际问题建立方程或不等式的基本方法二、几何1. 平面直角坐标系(1) 平面直角坐标系(2) 点和点的坐标(3) 线段、直线和线段的长度(4) 点和线段的中点(5) 角的概念与性质(6) 用坐标表示角2. 平面图形的认识与计算(1) 三角形① 三角形的基本性质② 三角形的分类③ 三角形的全等、相似④ 三角形的中线、角平分线、垂心、外心、内心和重心(2) 四边形① 四边形的分类② 四边形的性质(3) 多边形① 多边形的分类② 多边形的性质(4) 圆① 圆的性质② 圆的图形(5) 平行四边形和梯形① 平行四边形的性质② 梯形的性质3. 空间图形的认识与计算(1) 三棱锥、四棱锥、棱柱的认识及性质(2) 三棱锥、四棱锥、棱柱的计算(3) 圆柱、圆锥与球的认识及性质(4) 圆柱、圆锥与球的计算4. 空间图形的展开与网格(1) 空间图形在展开时的性质(2) 制作空间图形的展开图(3) 网格纸和图形的展开与叠合5. 三视图(1) 三视图(2) 空间图形的三视图及其绘图6. 地图与比例(1) 地图的制图和使用(2) 比例尺(3) 直接与反比例关系三、概率统计1. 概率(1) 随机事件与概率(2) 概率的性质(3) 概率的计算与应用2. 统计(1) 统计调查(2) 统计图形(3) 统计参数以上是职业高中数学课程中的一些重要知识点，希望同学们在学习数学时认真学习，掌握这些知识点，为日后的学习和生活打下坚实的基础。

⼈教七年级数学⼆元⼀次⽅程组和⼀元⼀次不等式组复习讲义⼆元⼀次⽅程组相关知识归纳1.⼆元⼀次⽅程⼆元⼀次⽅程具备以下四个特征：（1）是⽅程；（2）有且只有两个未知数；（3）⽅程是整式⽅程，即各项都是整式；（4）各项的最⾼次数为1.2.⼆元⼀次⽅程的解.3.⼆元⼀次⽅程组.它有两个特点：⼀是⽅程组中每⼀个⽅程都是⼀次⽅程；⼆是整个⽅程组中含有两个且只含有两个未知数.4.⼆元⼀次⽅程组的解.1概念：将⽅程组中⼀个⽅程的某个未知数⽤含有另⼀个未知数的代数式表⽰出来，代⼊另⼀个⽅程中，消去⼀个未知数，得到⼀个⼀元⼀次⽅程，最后求得⽅程组的解. 这种解⽅程组的⽅法叫做代⼊消元法，简称代⼊法. （2）代⼊法解⼆元⼀次⽅程组的步骤①选取⼀个系数较简单的⼆元⼀次⽅程变形，⽤含有⼀个未知数的代数式表⽰另⼀个未知数；②将变形后的⽅程代⼊另⼀个⽅程中，消去⼀个未知数，得到⼀个⼀元⼀次⽅程（在代⼊时，要注意不能代⼊原⽅程，只能代⼊另⼀个没有变形的⽅程中，以达到消元的⽬的. ）；③解这个⼀元⼀次⽅程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代⼊①中变形后的⽅程中，求出另⼀个未知数的值；⑤⽤“{”联⽴两个未知数的值，就是⽅程组的解；⑥最后检验求得的结果是否正确（代⼊原⽅程组中进⾏检验，⽅程是否满⾜左边＝右边）.加减消元法2概念：当⽅程中两个⽅程的某⼀未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个⽅程的两边相加或相减来消去这个未知数，从⽽将⼆元⼀次⽅程化为⼀元⼀次⽅程，最后求得⽅程组的解，这种解⽅程组的⽅法叫做加减消元法，简称加减法. （2）加减法解⼆元⼀次⽅程组的步骤①利⽤等式的基本性质，将原⽅程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；②再利⽤等式的基本性质将变形后的两个⽅程相加或相减，消去⼀个未知数，得到⼀个⼀元⼀次⽅程（⼀定要将⽅程的两边都乘以同⼀个数，切忌只乘以⼀边，然后若未知数系数相等则⽤减法，若未知数系数互为相反数，则⽤加法）；③解这个⼀元⼀次⽅程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代⼊原⽅程组中的任何⼀个⽅程中，求出另⼀个未知数的值；⑤⽤“{”联⽴两个未知数的值，就是⽅程组的解；⑥最后检验求得的结果是否正确（代⼊原⽅程组中进⾏检验，⽅程是否满⾜左边＝右边）.【⼩结】解⼆元⼀次⽅程组可以⽤代⼊法，也可以⽤加减法．⼀般地说，当⽅程组中有⼀个⽅程的某⼀个未知数的系数的绝对值是1或有⼀个⽅程的常数项是0时，⽤代⼊法⽐较⽅便；当两个⽅程中某⼀未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，⽤加减法⽐较⽅便．(1)、三元⼀次⽅程的概念(2)、三元⼀次⽅程组的概念(3)、三元⼀次⽅程组的解法三元⼀次⽅程组解题的基本步骤：①利⽤代⼊法或加减法，把⽅程组中的⼀个⽅程与另两个⽅程分别组成两组，消去两组中的同⼀个未知数，得到关于另外两个未知数的⼆元⼀次⽅程组。

一元一次不等式（组）及二元一次方程（组）一、不等式（组）及其性质用不等号>、<、≤、≥表示的关系式，叫做不等式。

由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组，不等式组中的所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集，求不等式组的解集的过程叫做解不等式组。

不等式性质1 不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等式的方向不变，即：如果a>b ，那么a+m>b+m;如果a<b, 那么a+m<b+m.不等式性质2 不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：如果a>b,且m>0，那么am>bm(或a m >b m)； 如果a>b,且m<0，那么am<bm(或a m <b m ). 不等式性质3 不等式的两边同时乘以（或除以）同一负数，不等号的方向改变。

即：如果a>b,且m<0，那么am<bm （或a m <b m）； 如果a>b,且m>0, 那么am>bm （或a m >b m ）. 二、一元一次不等式的解法在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

不等式的解的全体叫做不等式的解集。

求不等式解集的过程叫做解不等式。

只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。

解一元一次不等式的一般步骤：① 去分母② 去括号③ 移项④ 化成ax>b 或ax<b （a ≠0）⑤ 两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集解一元一次不等式组的一般步骤是：1、求出不等式组中的各个不等式的解集；2、在数轴上表示各个不等式的解集；3、确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集。

例1 解不等式2- 1-x 6 ＞x+42例2解不等式组例 3 若不等式组的解集为x＞3，求a的取值范围．三、用不等式和不等式组解决实际问题用不等式（组）解决实际问题的步骤1、一般步骤：⑴审题；⑵设未知数；⑶找出大小关系；⑷列出不等式（组）；⑸解不等式（组），并根据问题的实际意义确定问题的解.⑹检验，写出答案.2、注意：①“至多”、“至少”、“不大于”、“不小于”等词语很关键，一定要准确理解.②在实际问题中对答案很可能有一定的限制（往往取正整数），所以要根据实际情况把解集中的符合条件的解选出来.例4 在一次环保知识竞赛中，竞赛试题共有25道题.每道题都给出4个答案，其中只有一个答案是正确的.要求学生把正确答案选出来.每道题选对得4分，不选或错选倒扣2分.如果一个学生在本次知识竞赛中的得分不低于60分，那么他至少选对了多少道题？例5 今年9月份，我市某果农收获苹果30吨，梨13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往南方.已知甲种货车可装苹果4吨和梨1吨，乙种货车可装苹果、梨各2吨.该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你设计出来.四、二元一次方程含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程。

一元一次不等式组及其应用◆知识讲解1．解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．2．由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．不等式组 （其中a<b ）图示解集口诀x ax b ≥⎧⎨≥⎩x ≥b同大取大x ax b ≤⎧⎨≤⎩x ≤a 同小取小x ax b ≥⎧⎨≤⎩ a ≤x ≤b 大小、小大中间找 x ax b≤⎧⎨≥⎩空集小小、大大找不到3．列一元一次不等式组解决实际问题是中考要考查的一个重要内容，在列不等式解决实际问题时，应掌握以下三个步骤：（1）•找出实际问题中的所有不等关系或相等关系（有时要通过不等式与方程综合来解决），设出未知数，列出不等式组（•或不等式与方程的混合组）；（2）解不等式组；（3）从不等式组（或不等式与方程的混合组）•的解集中求出符合题意的答案．◆经典例题： 例1 （2006，江苏江阴）关于x 的不等式组1532223x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有4个整数解，则a 的取值范围是：（ ） A ．-5≤a ≤-143 B ．-5≤a<-≤-143 C ．-5<a ≤-143 D ．-5<a<-143例2 （2004，南昌市）仔细观察图，认真阅读对话：根据对话内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？例3 （2004，江西赣州）某钱币收藏爱好者，想把3．50元纸币兑换成的1分，2•分，5分的硬币；他要求硬币总数为150枚，2分硬币的枚数不少于20枚且是4的倍数，5•分的硬币要多于2分的硬币；请你根据此要求，设计所有的兑换方案．◆强化训练：一、填空题1．（06，四川达州）不等式组31011x x -+≥⎧⎨+>-⎩的解集是_______．2．（2006，四川成都）不等式组52(1)1233x x x >-⎧⎪⎨-≤-⎪⎩的整数解的和是______． 3．不等式1≤3x-7<5的整数解是______． 4．对于整数a ，b ，c ，d ，符号a b c d表示运算ac-bd ，已知1<a b c d<3，则b+d 的值是____．5．长度分别为3cm ，•7cm ，•xcm•的三根木棒围成一个三角形，•则x•的取值范围是_______．6．如果a<2，那么不等式组2x a x >⎧⎨>⎩的解集为________；当______时，不等式组2x a x <⎧⎨>⎩的解集是空集．7．（2006，山西）若不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩的解集是-1<x<1，则（a+b ）=______．8．已知关于x 的不等式组0321x a x -≥⎧⎨->-⎩的整数解共有5个，则a 的取值范围是______．9．（2008，苏州）2008年6月1日起，某超市开始有偿提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为1元，2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3kg ，5kg 和8kg ．6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20kg 散装大米，他们选购的3只环保购物袋至少应付给超市_______元． 二、选择题10．已知0<b<a ，那么下列不等式组中无解的是（ ）A ．x a x b>⎧⎨<⎩ B ．x a x b>-⎧⎨<-⎩ C ．x a x b>⎧⎨<-⎩ D ．x a x b>-⎧⎨<⎩11．（2008，义乌）不等式组312,840x x ->⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示为（ ）A B C D 12．（2006，山东聊城）已知24221x y k x y k +=⎧⎨+=+⎩，且-1<x-y<0，则k 的取值范围是（ ）A ．-1<k<-12B ．0<k<12C ．0<k<1D ．12<k<1 13．如果不等式组320x x m-≥⎧⎨≥⎩有解，则m 的取值范围是（ ） A ．m<32B ．m ≤32C ．m>32D ．m ≥3214．若15233m m +>⎧<⎪⎨-⎪⎩，化简│m+2│-│1-m │+│m │得（ ）A ．m-3B ．m+3C ．3m+1D ．m+115．不等式组3(2)423x a xx x +--≤⎧>⎪⎨⎪⎩无解，则a 的取值范围是（ ） A ．a<1 B ．a ≤1 C ．a>1 D ．a ≥116．为了改善城乡人民生产，生产环境，我市投入大量资金治理清水河污染，在城郊建立了一个综合性污水处理厂．设库池中存有待处理的污水at ，又从城区流入库池的污水按每小时bt 的固定流量增加．如果同时开动2台机组需30h 处理完污水，同时开动4台机组需10h 处理完污水．若要求在5h 内将污水处理完毕，那么至少要同时开动机组的台数为（ ） A ．6台 B ．7台C ．8台 D ．9台 三、解答题17．（1）（2005，南京市）解不等式组2(2)33134x x xx +≤+⎧⎪+⎨<⎪⎩，并写出不等式组的整数解； （2）（2004，太原市）解不等式组312(1)2(1)4x x x x+≥-⎧⎨+>⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．18．（2006，湖北十堰）某牛奶乳业有限公司经过市场调研，决定从明年起对甲，乙两种产品实行“限产压库”，要求这两种产品全年共新增产量20件，这20件的总产值p （万元）满足：110<p<120．已知有关数据如表所示，•那么该公司明年应怎样安排新增产品的产量？19．（2004，湖北省）如图所示，一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4个，•则剩下9个；如果每人分6个，则最后一个儿童分得的橘子数少于3个，问共有几个儿童，•分了多少个橘子？20．（2005，江苏省）七（2）班有50名学生，老师安排每人制作一件A 型和B 型的陶艺品，学校现有甲种制作材料36kg ，乙种制作材料29kg ，制作A ，B 两种型号的陶艺品用料情况如下表：需甲种材料 需乙种材料1件A 型陶艺品 0.9kg 0.3kg 1件B 型陶艺品 0.4kg1kg（1）设制作B 型陶艺品x 件，求x 的取值范围；（2）请你根据学校现有材料，分别写出七（2）班制作A 型和B 型陶艺品的件数．产品 每件产品的产值 甲 4.5万元 乙7.5万元21．（2008，青岛）2008年8月，北京奥运会帆船比赛在青岛国际帆船中心举行，•观看帆船比赛的船票分为两种：A种船票600/张，B种船票120/张．•某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票费不超过5000元的情况下，购买A，B两种船票共15张，要求A种船票的数量不少于B种船票数量的一半，若设购买A 种船票x张，请你解答下列问题：（1）共有几种符合题意的购票方案？写出解答过程；（2）根据计算判断：哪种购票方案更省钱？22．（2006，青岛）“五一”黄金周期间，某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金每辆为320元，60•座客车的租金每辆为460元．（1）若学校单独租用这两种车辆各需多少钱？（2）若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），•而且要比单独租用一种车辆节省租金．请你帮助学校选择一种最节省的租车方案．23．（2005，深圳）某工程，甲工程队单独做40天完成，若乙工程队单独做30天后，•甲，乙两工程队再合作20天完成．（1）求乙工程队单独做需要多少天完成？（2）将工程分两部分，甲做其中的一部分用了x天，乙做另一部分用了y天，其中x，y均为正整数，且x<15，y<70，求x，y．24．（2005，苏州）苏州地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到如下信息：①每亩水面的年租金为500元，水面需按整数亩出租；②每亩水面可在年初混合投放4kg蟹苗和20kg虾苗；③每公斤蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可获1400元收益；④每公斤虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益；（1）若租用水面n亩，则年租金共需______元；（2）水产养殖的成本包括水面年租金，苗种费用和饲养费用，•求每亩水面蟹虾混合养殖的年利润（利润=收益-成本）；（3）李大爷现有资金25000元，他准备再向银行贷不超过25000元的款，•用于蟹虾混合养殖，已知银行贷款的年利率为8%，试问李大爷应该租多少亩水面，•并向银行贷款多少元，可使年利润超过35000元。

初中数学知识归纳二元一次方程组与不等式初中数学知识归纳：二元一次方程组与不等式在初中数学学习中，二元一次方程组和不等式是我们必须要掌握的重要内容。

本文将对这两个概念进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、二元一次方程组二元一次方程组由两个含有两个未知数的方程组成，一般形式为：{ax + by = cdx + ey = f}其中a、b、c、d、e、f为已知的实数，x、y为未知数。

1. 解的概念解即是满足方程组中所有方程的变量值，使方程组中的等式成立。

对于二元一次方程组，它可能有唯一解、无解或者无穷解三种情况。

2. 解的求解方法（1）消元法：通过将方程组中的一方程乘以适当因子，使得两个方程中的某一未知数系数相等或当前系数可消去。

（2）代入法：将方程组中的一方程解出其中一个未知数，再代入另一个方程中去求解。

（3）等式法：将方程组两个方程相加或相减，消去一个未知数，再求解另一个未知数。

3. 实际应用二元一次方程组在日常生活和实际问题中有广泛应用。

例如，通过解决方程组可以计算某商品的单价和数量，或者找到两架飞机的速度等。

二、不等式不等式是数学中的一种表达式形式，表示两个数或表达式的大小关系。

不等式有三种基本形式：大于（>）、小于（<）和大于等于（≥）。

1. 解的概念不等式中的解是使不等式成立的取值范围。

对于一元不等式，解可以用数轴表示；对于多元不等式，解可以用数平面或空间中的区域表示。

2. 不等式的性质（1）加减性质：对不等式两边同时加或减一个数，不等号方向不改变。

（2）乘除性质：对正数乘除不等式两边，不等号方向不改变；对负数乘除不等式两边，不等号方向改变。

3. 实际应用不等式在实际问题中有着广泛的应用。

例如，通过解决不等式可以求解某个数的范围或满足某种条件的取值范围。

综上所述，初中数学知识中的二元一次方程组和不等式是我们必须要掌握的重要内容。

通过对二元一次方程组的解法和不等式的性质的学习，我们可以更好地理解和应用这些知识。

一元一次不等式（组）与方程（组）的结合培优资料考点·方法·破译1．进一步熟悉二元一次方程组的解法，以及一元二次不等式组的解法．2．综合运用一元一次不等式组和二元一次方程组解决一些典型的实际问题． 经典·考题·赏析【例1】求方程3x +27＝17的正整数解．【解法指导】一般地，一个二元一次方程有无数个解，但它的特殊解是有限个，如一个二元一次方程的正整数解，非负整数解都是有限个．求不定方程的正（非负）整数解时，往往借助不等式，整数的奇偶性等相关知识来帮助求解．解：将方程变形为2y ＝17－3x 即2317x y -= ∵y ＞0 ∴2317x -＞0 ∴x ＜317即x ＜325 又∵y 为正整数（即2317x -为整数） ∴17－3x 为偶数∴x 必为奇数∴x ＝1，3，5当x ＝1时，7213172317=⨯-=-=x y 当x ＝3时，4233172317=⨯-=-=x y 当x ＝5时，1253172317=⨯-=-=x y故原方程的正整数解为⎩⎨⎧x =1y =7 或⎩⎨⎧x =3y =4 或⎩⎨⎧x =5y =1 【变式题组】01．求下列各方程的正整数解：⑴2x +y ＝10 (2) 3x +4y ＝2102．有10个苹果，要分给两个女孩和一个男孩，要求苹果不得切开，且两个女孩所得的苹果数相等，每个孩子都有苹果吃，问有哪几种分法？【例2】足球联赛得分规定如下：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分•某队在足球联赛的4场比赛中得6分，这个队胜了几场，平了几场，负了几场？【解法指导】本题中，所有的等量关系只有两个，而未知量有三个•因而所列方程的个数少于未知数的个数，即为不定方程组，但每个未知数量的数目必为非负整数•因此，此题的实质就是滶不定方程的非负整数解的问题．此方程组有两个方和，三个未知数，解法仍然是消元，即消去某一个未知数后，变为二元一次方程，再仿照例1的解法施行．解：设该队胜了x 场，平了y 场 ，负了z 场，依题意可得：⎩⎨⎧x ＋y ＝4 ①3x ＋y ＝6 ②②－①得：2x －z ＝2 ③变形得： z ＝2x －2∵0≤z ≤2∴0≤2x －2≤2即1≤x ≤2又x 为正整数∴x ＝1，2相应地，y ＝3，0 z ＝0，2答：这个队胜了1场，平了3场，或胜了2，负了2场．【变式题组】01．（佳木斯）为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么可能购买甲种笔（ ）．A ．11支B ．9支C ．7支D ．5支02．一旅游团50人到一旅舍住宿，旅舍的客户有三人间、二人间、单人间三种•其中三人间的客房每人每晚20元，二人间的客房每人每晚30元，单人间的客房每人每晚50元．(1)若旅游团共住满了20间客房，问三种客房各住了几间？怎样住消费最低？(2)若该旅游团中，夫妻住二人间，单身住三人间，小孩随父母住在一起，现已知有小孩4人（每对夫妻最多只带1个小孩），单身30人，其中男性17人，有两名单身心脏病患者要求住单人间，问这一行人共需多少间客房？【例3】已知：关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧x －y =a +32x +y =5a若x ＞y ，求a 的取值范围． 【解法指导】解本题的指导思想就是构建以a 为未知数的不等式•解之即得a 的取值范围，构建不等式的依据就是x ＞y ，而解方程组即可用a 的代数式分别表示x 和y ，进而可得不等式．解：解方程组⎩⎨⎧x －y ＝a ＋32x ＋y ＝5a 得 ⎩⎨⎧x ＝2a ＋1y ＝a －2∵x ＞y ∴2a ＋1＞a －2 解得a ＞－3故a 的取值范围是a ＞－3．【变式题组】01．已知：关于x 的方程3x －(2a －3) ＝5x ＋(3a ＋6)的解是负数，则a 的取值范围是_____．02．已知：关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧x +y =3a +9x －y =5a +1的解为非负数． (1)求a 的取值范围；(2)化简｜4a +5｜－｜a －4｜．03．当m 为何值时，关于x 的方程2153166--=--m x m x 的解大于1？4．已知方程组⎩⎨⎧2x +y =5m +6x －2y =－17 的解x 、y 都是正数，且x 的值小于y 的值，求m 的取值范围．【例4】（凉州）若不等式⎩⎨⎧x －a ＞2b －2x ＞0 的解集是－1＜x ＜1，求（a +b ）2009的值． 【解法指导】解此不等式组得a +2＜x ＜2b ，而依题意，该不等式的解集又是－1＜x ＜1，而解集是唯一的，因此两解集的边界点分别“吻合”，从而得两等式即得方程组，解之可得a 、b 之值．解：解不等式组⎩⎨⎧x －a ＞2a －2x ＞0 得a +2＜x ＜2b 又∵此不等式组的解集是－1＜x ＜1∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a +2=－12b =1a 解设⎩⎨⎧a =－3a b =2a ∴（a +b ）2009＝（－1）2009＝－1【变式题组】01．若⎩⎨⎧2a +x ＞a 2－3x ＞a的解集为－1＜x ＜2，则a ＝___________，b ＝_____________． 02．已知：关于x 的不等式组⎩⎨⎧x －a ≥b 2x －a ＜2b +1的解集为3≤x ＜5，则ab 的值为（ ）A ．－2B ．21-C ．－4D ． 41- 03．若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧34+x ＞12+x x +a ＞0b的解集为x ＜2，则a 的取值范围是___________．04．已知：不等式组⎩⎨⎧x +2＞a +b x －1＜a －b 的解庥为－1＜x ＜2，求（a +b ）2008的值．【例5】（永春）商场正在销售“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，已知购买1盒“福娃”玩具和2盒徽章共需145元；购买2盒“福娃”玩具和3盒徽章共需280元•(1)一盒“福娃”玩具和一盒徽章的价格各是多少元？(2)某公司准备购买这两种奥运商品共20盒送给幼儿园（要求每种商品都要购买），且购买金额不能超过450元，请你帮该公司设计购买方案•【解法指导】本题属材料选择类的方程与不等式结合的实际应用题，但方程组与不等式组是分开的•分析可知：第(1)问只需依照题目主干所提供的两个等量关系即可列出二元一次方程组•第(2)问由题目所给不等关系“购买金额不能超过450元”及第(1)问所求出的数据列出不等式，从而求解•解：(1)设一盒“福娃”玩具和一盒徽章的价格分别为x 元和y 元．依题意，得⎩⎨⎧x +2y =142x +3y =280 解得⎩⎨⎧x =125y =10答：一盒“福娃”玩具和一盒徽章的价格分别是125元和10元．(2)设购买“福娃”玩具m 盒，则购买徽章（20－m ）盒．由题意，得125m +10（20－m ）≤450，解得m ≤2.17．所以m 可以取1，2． 答：该公司有两种购买方案．方案一：购买“福娃”玩具1盒，徽章19盒；方案二：购买“福娃”玩具2盒,徽章18盆．【变式题组】01．(益阳)开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品,小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本;小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品， 奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．02． (眉山)渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾0.8元．相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%．⑴若购买这批鱼苗共用了 2600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？⑵若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？⑶若要使这批鱼苗的成活率不低于93%，且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？ 03．（盐城）整顿药品市场，降低药品价格是国家的惠民政策之一．根据国家的《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%根据相关信息解决下列问题：⑴降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？⑵降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实 际情况决定：对甲种药品每盒加价15%对、乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？【例6】认真阅读下面三个人的对话．小朋友：阿姨，我买一盒饼干和一袋牛奶（递上10元钱入）．售货员：本来你用10元钱买一盒饼干是多余的，但再买一袋牛奶就不够了．不过今天是儿童节，我给你买的饼干打九折，两样东西请拿好，还有找你的8角钱．旁边者：一盒饼干的标价可是整数哦！根据对话内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少？【解法指导】本题的条件蕴藏在对话中，应学会从对话中获取信息，“用10元钱买一盒饼干是多余的”， 说明一盒饼干的售价小于10元，此不等关系之一；“但再买一袋牛奶就不够了 ”，说明一盒饼干和一袋牛奶的价格之和大于10元，此不等关系之二．对话中还包含有一个等量关系，就是用10元钱买上述两样东西剩余0.8 元钱，即是说一袋牛奶与一盒饼干的价格之和等于10元减去0.8元，由一个方程和两个不等式结合最终可求出答案．解：设饼干的标价为每盒x 元，牛奶的标价为每袋^元.根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞10 ①0.9x ＋y ＝10－0.8 ②x ＜10 ③由②，得y ＝9.2－9x 将其代入①，得x +9.2－9x ＞10，解得：x ＞8．所以综合③可知8＜x ＜10．又因为x 为整数，所以x ＝9，y ＝9.2－9x ＝1.1即饼干的标价为每盒9元，牛奶的标价为每袋1. 1元．【变式题组】01．某次足球联赛A 组共6队，比赛规定采取小组循环赛的形式，取前3名进人决赛，记分方法为胜1场得2 分，负1场扣1分，平1场不得分，问该小组共需比赛几场？某队得了 7分，则它是几胜几负？能否进人决赛？02．(杭州)宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加，去年达到550名，其中有面向全省招收的“宏志班” 学生，也有一般普通班学生．由于场地、师资等条件限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可多招20%，“宏志班”学生可多招10%问今年最少可招收“宏志班”学生多少名？03．把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本，如果前面的每个学生分5本，那么最后一个同学分不到3本，这些书有多少本？学生有多少人？【例7】(北京市竞赛题)已知：a 、b 、c 是三个非负数，并且满足3a +2b +c ＝5，2a +b －3c ＝1，设m ＝3a +b －7 c ，设x 为m 的最大值，y 为m 的最小值．求xy 的值．【解法指导】要求某一代数式的最大(或最小)值，往往依题意构建一个不等式组：若s ≤m ≤t ，则m 的最小值为s ，最大值为t ．本题思路亦类此，首先利用前两个等式，将c 看作已知量，解关于a 、b 的二元一次方程组，得到用含c 的式子表示a 、b 的形式，代入第三个等式，得到用含c 的式子表示m 的形式，同时依据a 、b 、c 均为非负数，得到c 的范围，代入m 与c 的关系式，得m 的范围，因而x 、y 可求．解：由条件得：解得： ⎩⎨⎧3a ＋2b =5－c 2a ＋b =1+3 c⎩⎨⎧a =7c －3b =7－11 c则m ＝3a +7－7c ＝3(7c －3)+ (7－11 c ) －7 c ＝3 c －2由a ≥0，b ≥0，c ≥0得⎩⎪⎨⎪⎧7c －3≥07－11c ≥0c ≥0解得，37≤c ≤711从而x ＝－57，y ＝－111故xy ＝577． 【变式题组】01．若a 、b 满足3a +5∣b ∣＝7，S ＝2a 2－3∣b ∣，则 S 的取值范围是 ．02．已知：x 、y 、z 是三个非负有理数，且满足3 x +2 y +z ＝5，x +y －z ＝2，若S ＝3 x + y －z ，则S 的取值范围是 ．演练巩固 反馈提高一、填空题01．方程3x +y ＝ 10的解有 个，其正整数解有 个．02．若关于x 的不等式(a －1)＜a +5和2x ＜4的解集相同，则a 的值为 ．03．已知：关于x 的不等式2x －a ≥－3的解集如图所示，则a ＝ ．04．已知方程组⎩⎨⎧2x －y =m 2y －x =1，若未知数x 、y 满足尤x +y ＞0，则m 的取值范围是 ． 05．若方程组⎩⎨⎧3x +2y =2k 2y －x =3的解满足无x ＜1且y ＞0，则整数k 的个数是 ． 06．若∣x －1∣ x －1＝－1则x 的取值范围是 ． 二、选择题07．已知：关于尤的不等式组⎩⎨⎧x －y ≥b 2x －a ＜2b +1的解为3≤x ＜5，则b a 的值为( ) A ．－2 B ．－2 C ．2 D ．108．若∣x +1∣＝－1－x ，∣3x +4∣＝3x +4．则x 取值范围是( )A ．－43≤x ≤－1B ．x ≥－1C ．―43≤x ≤―1D ．―43＜x ＜―1 09．已知：m 、n 是整数，3 m +2＝5n +3，且3 m +2＞30，5n +3＜40，则mn 的值是〈 〕A ．70B ．72C ．77D ．8410．某次测验共20道选择题，答对一题记5分，答错一题记―2分，不答记0分，某同学得48分，那么他答对的题目最多是（ ）道．A ．9B ．10C ．11D ．12三、解答题11．学校举办奥运知识竞赛，设一、二、三等奖共12名，奖品发放方案如下表：一等奖二等奖 三等奖 1盒福娃和1枚徽章 1盒福娃 1枚徽章用于购买奖品的总费用不少于1000元但不超过1100元，小明在购买“福娃”和徽章前，了解到图所示的信息：⑴求一盒“福娃”和一枚徽章各多少元？⑵若本次活动设一等奖2名，则二等奖和三等奖应各设多少名？12．（宿迁）某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木1 株，共需成本1500元．⑴求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元；⑵据市场调研，1株甲种花木的售价为760元，1株乙种花木的售价为540元．该花农决定在成本不超过30000元的前提下培育甲乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株，那么要使总利润不少于21600元，花农有哪几种具体的培育方案？13．—项维修工程，若由甲工程队单独做，则40天可以完成，需费用24万元；若由乙工程队单独做，则60天可以完成，需费用21万元•现打算由甲、乙两工程队共同完成，要使该项目的总费用不超过22万元，则乙工程队至少要施工多少天？14．足球联赛得分办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分•在一次足球赛中，南方足球队参加了14场比赛，至少负了1场，共积分19分．试推算南方足球队胜、平、负各多少场．15．（温州）某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒.⑴现有正方形纸板162张，长方形纸板340张．若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒x个．①根据题意，完成以下表格：盒纸板竖式纸盒（个）横式纸盒（个）x正方形纸板（张）2(100－x)长方形纸板（张）4x②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？(2)若有正方形纸板162张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知290＜a＜306．则求a的值．(写出一个即可)培优升级 奥赛检测01．若方程组⎩⎨⎧4x +y =k +1x+4y =3的解满足条件0＜x+y ＜1，则k 的取值范围是( ) A ．－4＜k ＜1 B ．－4＜k ＜0 C ．0＜k ＜9 D ．k ＜－402．（浙江省竞赛题)要使方程组⎩⎨⎧3x +2y =a 2x+3y =2的解是一对异号的数，则a 的取值范围是( ) A ．43＜k ＜3 B ．a ＜43 C ．a ＞3 D ．a ＜43或a ＞3 03．已知a +b +c ＝0，a ＞b ＞c ，则 c a的取值范围是 ． 04．(新加坡竞赛题）正整数m 、n 满足8m +9n ＝mn +6，则m 的最大值是 ．05．（“希望杯”邀请赛初一试题）（中国古代问题）唐太宗传令点兵，若一千零一卒为一营，则剩余一人；若一千零二卒为一营，则剩余四人，此次点兵至少有 人．06．（第15届“希望杯”邀请赛试题）若正整数x 、y 满足2004x ＝15y ，则x +y 的最小值为 ． 07．（北京市竞赛题）有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能表示为3个连续的正整数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是 ．三、解答题08．已知:关于x 的方程组⎩⎨⎧x －y =a +32x+y =5a的解满足x ＞y ＞0，化简∣a ∣+∣3－a ∣．09．a 、b 、c 、d 是正整数，且a +b ＝20，a +c ＝24，a +d ＝22，设a +b +c +d 的最大值为M ，最小值为N ，求M －N 的值．10．在车站开始检票时，有a (a ＞0)名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？11．（河南省竞赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那正好取完，求盒子里共有多少粒棋子？12．(“希望杯”初二竞赛题)一个布袋中有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字和等于21，则小明摸出的球中，红球的个数最多不超过多少个？13．（第20届香港中学数学竞赛题）已知：n 、k 皆为自然数，且1＜k ＜n ，若1+2+3+…+n －k n －1，及n +k ＝a ，求a 的值．。

知识构造：第七章二元一次方程组实二二元元二元一次际一一次次方程组的问方方解法程程题组应知一、基本观点二元一次方程：含有两个未知数，而且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程。

二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

二元一次方程组：两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x和y），而且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

二、基本法例二元一次方程组的解法主要运用“消元”思想。

主要方法有两种：代入消元法：将一个未知数用另一个未知数来表示，而后辈入方程中，消去一个未知数，获得一个一元一次方程。

这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减， 就能消去这个未知数，获得一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

【注意】更多时候同一未知数的系数需经简单变形后，才成为相反数或相等。

应会列二元一次方程式(组)。

解二元一次方程组。

用二元一次方程组解实质问题。

例题 以下方程组是否是二元一次方程组。

不是的请说明原因。

x 3y 4 xy 4(1)5y7(2)5y72x2xx 3y 4 x 2 3y 4(3)z 7(4)5y 72x2x2.（1）方程（a ＋2）x+(b-1)y=3是二元一次方程，试求 a 、b 的取值范围.a –1是二元一次方程，试求 a 的值.（2）方程x∣∣+(a-2)y=2已知以下三对值：x ＝－6x ＝10 x ＝10y ＝－9y ＝－6y ＝－1（1）哪几对数值使方程1x－y＝6的左、右两边的值相等？2（2）哪几对数值是方程组1x y6的解？231y2x114.x a是方程2x+y=2的解，求8a+4b-3的值。

若by5.解以下方程组：（1）y2x（）m n2（）3x2y212x y12232m3n123x4y36.已知方程组3xy5的解也是方程组ax2y4的解，则4x7y13x-by5a=_______，b=________,3a+2b=___________。