高等数学一(期中)试卷2014

大学高数期中考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=\(\frac{1}{x}\)在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 可积2. 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则：A. 必存在最大值B. 必存在最小值C. 必存在零点D. 以上都不对3. 微分方程\(\frac{dy}{dx} + y = e^x\)的解是：A. \(y = e^x - xe^x\)B. \(y = e^x + ce^{-x}\)C. \(y = e^x - ce^x\)D. \(y = e^x\)4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 无法确定5. 函数\(\sin(x)\)的原函数是：A. \(x\)B. \(\cos(x)\)C. \(-\cos(x)\)D. \(\sin(x)\)6. 若f(x)在区间(a,b)内可导，则f(x)在该区间内：A. 必定单调递增B. 必定单调递减C. 必定连续D. 以上都不对7. 曲线y=\(\sqrt{x}\)与直线x=4所围成的面积是：A. \(\frac{16}{3}\)B. \(\frac{32}{3}\)C. \(\frac{64}{3}\)D. \(\frac{128}{3}\)8. 函数\(\ln(x)\)的泰勒展开式是：A. \(x - 1 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 + \cdots\)B. \(x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \cdots\)C. \(x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \cdots\)D. \(\frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} -\cdots\)9. 若\(\int_{0}^{1} f(x)dx = 2\)，则\(\int_{0}^{1} x f(x)dx\)的值是：A. 0B. 1C. 2D. 无法确定10. 函数\(\frac{1}{1+x^2}\)的不定积分是：A. \(\ln(1+x^2)\)B. \(\arctan(x)\)C. \(\ln|x|\)D. \(\ln|x+1|\)二、填空题（每空1分，共10分）1. 若\(\frac{dy}{dx} = 3x^2\)，则\(dy\) = __________。

山西省忻州一中2014届高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合04x A x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，{B x y ==，则A B 等于( )A ．[2,4]B ．[0,2]C ．[)2,4 D ．[0,8]2.若命题“,0R x ∈∃使得032020<-++m mx x ”为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[]6,2B ．[]2,6--C ．()6,2D ．()2,6--3.已知k ＜4，则曲线14922=+y x 和14922=-+-ky k x 有( ) A ．相同的准线 B ．相同的焦点 C ．相同的离心率 D ．相同的长轴 【答案】B 【解析】试题分析：曲线14922=+y x 中，229,4a b ==，25c =，所以准线为y =为(，离心率为3，长轴为6；14922=-+-k y k x 中，2229,4,5a k b k c =-=-=，所以焦点与k 无关，所以焦点相同，都是(.考点：1.椭圆的标准方程；2.椭圆的准线、焦点、离心率、长轴长.4.设b a ,是平面α内两条不同的直线，是平面α外的一条直线，则”“b l a l ⊥⊥,是”“α⊥l 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5.已知数列{}n a 为等比数列，且5642a a a =⋅，设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，若552b a =，则9S =( )A ．36B ．32C ．24D ．226.函数)(cos sin 42sin )(3R x x x x x f ∈-=的最小正周期为 ( ) A ．8π B ．4π C ．2πD ．π7.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．12πB ．C ．3πD ．8.函数()()ax x f a -=6log 在[]2,0上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．()1,0 B ．()3,1 C ．(]3,1 D ．[)+∞,3 【答案】B 【解析】试题分析：令()6g x ax =-，∵对数的底数0a >，∴()g x 在[]2,0上为减函数，又∵()f x 在[]2,0上为减函数，∴1a >且620a ->，即13a <<.考点：1.复合函数单调性；2.对数函数的定义域.9.已知函数9()41f x x x =-++，(0,4)x ∈，当x a =时，()f x 取得最小值b ，则在直角坐标系中函数||1()()x b g x a+=的图像为（ ）10.在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）A BC ．12D ．12-【答案】C 【解析】试题分析：22222221cos 22442a b c c a b ab C ab ab ab ab +-+===≥=，当且仅当a b =时取等号. 考点：1.余弦定理；2.基本不等式.11.已知偶函数() ()y f x x R =∈在区间[0,3]上单调递增，在区间[3,)+∞上单调递减，且满足(4)(1)0f f -==，则不等式3()0x f x <的解集是（ ） A ．(4,1)(1,4)-- B ．(,4)(1,1)(3,)-∞--+∞ C ．(,4)(1,0)(1,4)-∞-- D ．(4,1)(0,1)(4,)--+∞12.已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数0)0('),('>f x f ，且)(x f 的值域为),0[+∞，则)0(')1(f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．25 C ．2 D ．23 【答案】C 【解析】试题分析：∵'()2f x ax b =+，∵'(0)0f >，∴0b >，∵)(x f 的值域为),0[+∞，∴2404ac b a-=，∴24ac b =，∴b ='(1)112(0)f a b c a c f b b +++==+=≥+=. 考点：1.导数的运算；2.二次函数的顶点坐标；3.基本不等式.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量的模为1，且,满足2||,4||=+=-，则在方向上的投影等于.15.在等差数列{}n a 中，20131-=a ，其前n 项和为n S ，若210121012=-S S ，则2013S 的值等于 . 【答案】-2013 【解析】试题分析：∵210121012=-S S ，∴11121110912102221210a d a d ⨯⨯++-=，∴2d =，∴20131201320122013201220132013(2013)2201322S a d ⨯⨯=+=⨯-+⨯=-. 考点：等差数列的前n 项和公式.16.设函数()()()220log 0x x f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()1y f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点个数为_________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B A A b a sin 2co s 3sin ,=+≥．(1)求角C 的大小； (2)求a bc+的最大值．18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项11a =,公差0d >.且1452a a a ，，分别是等比数列{}n b 的234,,b b b . (1)求数列}{n a 与}{n b 的通项公式； (2)设数列{}n c 对任意自然数n 均有1212c c b b ++…1n n n ca b ++=成立，求12c c ++…2013c +的值.的检验，最后利用等比数列的求和公式求和.试题解析： (1) ∵25141,14,113,a d a d a d =+=+=+且2514,,a a a 成等比数列 ∴2(14)(1)(113)d d d +=++，即2d =， ∴1(1)221n a n n =+-⨯=-， 又∵22353,9b a b a ====， ∴113,1,3n n q b b -===. （2）∵1212c c b b ++…1n n n ca b ++=①∴121c a b = 即1123c b a ==，又1212c c b b ++ (11)(2)n n n ca nb --+=≥ ②①－②：12nn n nc a a b +=-= ∴1223(2)n n n c b n -==⋅≥ …10分 ∴ 13(1)23(2)n n n c n -=⎧=⎨⋅⎩≥ …11分 则123c c c +++…12201332323c +=+⋅+⋅+…2013123-+⋅ 123201232(3333)=+⋅++++201220133(13)32313-=+⋅=- …12分考点：1.等差数列的通项公式；2.等比中项；3.等比数列的前n 项和公式.19.（本小题满分12分）如图在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ，且AD PD PA 22==． (1)求证：面PAB ⊥平面PDC ； (2)求二面角B PD C --的余弦值．解法二：如图,取AD 的中点O , 连结OP ,OF . ∵PA PD =, ∴PO AD ⊥. ∵侧面PAD ⊥底面ABCD , 平面PAD平面ABCD AD =,∴PO ⊥平面ABCD ,而,O F 分别为,AD BD 的中点,∴//OF AB , 又ABCD 是正方形,故OF AD ⊥.∵2PA PD AD ==,∴PA PD ⊥,2a OP OA ==.以O 为原点,向量,,OA OF OP 为,,x y z 轴建立空间直线坐标系,20.（本小题满分12分）如图已知抛物线2:2C y px =的焦点坐标为(1,0)F ，过F 的直线交抛物线C 于A B ,两点，直线AO BO ,分别与直线m ：2x =-相交于M N ,两点． (1)求抛物线C 的方程；(2)证明△ABO 与△MNO 的面积之比为定值．综上14ABOMNOSS∆∆=…12分考点：1.抛物线的标准方程；2.直线方程；3.根与系数关系；4.三角形面积公式.21.（本小题满分12分）某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为5元/本，经销过程中每本书需付给代理商m元（1≤m≤3）的劳务费，经出版社研究决定，新书投放市场后定价为x 元/本（9≤x ≤11），预计一年的销售量为2)20(x -万本． (1)求该出版社一年的利润L （万元）与每本书的定价x 的函数关系式；(2)当每本书的定价为多少元时，该出版社一年的利润L 最大，并求出L 的最大值)(m R .31≤≤m ， 123210332≤+≤∴m ．在m x 3210+=两侧L '的值由正变负．②当332m <≤即21110123m <+≤时()L x 在[9,11]上是增函数， 2max (11)(115)(2011)81(6)L L m m ==---=-所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤-=323),6(81231,)35(4)(3m m m m m R22.（本小题满分12分）设函数()ln af x x x x=+，32()3g x x x =--. （1）讨论函数()()f x h x x=的单调性； （2）若存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数M ； （3）如果对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围.'()0h x >⇒()h x（2）存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立等价于：12max [()()]g x g x M -≥， …………7分 考察32()3g x x x =--，22'()323()3g x x x x x =-=-，由上表可知：min max 285()(),()(2)1327g x g g x g ==-==，12max max min 112[()()]()()27g x g x g x g x -=-=， …………9分 所以满足条件的最大整数4M =； …………10分（3）当1[,2]2x ∈时，因为max ()1g x =，对任意的1,[,2]2r s ∈，都有()()f s g t ≥成立，。

南宫一中高三2013—2014学年第一学期期中考试数学试卷（理科）一．选择题。

本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数31ii-+（i 为虚数单位）的共轭复数为 ( ) A ．1－2iB ．1+2iC ．-1－2iD ．-1+2i2．已知a ，b 为实数，则“a >b >1”是“1a －1<1b －1”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 已知βα,是平面，n m ,是直线，给出下列命题，其中正确的命题的个数是 ( )( 1 )若βα⊂⊥m m ,,则βα⊥( 2 )若ββαα//,//,,n m n m ⊂⊂,则βα//( 3 )如果n m n m ,,,αα⊄⊂是异面直线,那么n 与α相交( 4 )若m n m //,=βα ,且βα⊄⊄n n ,,则α//n 且β//n . A. 1 B. 2 C. 3 D. 44．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f （x ）=2x 2－x ，则f(1)= ( )A ．3B ．-1C ．1 D.-35.用数学归纳法证明“11123+++…1(21n n n +<∈-N 1)n *,>”时,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是 ( )A.12k - B.21k - C.2k D.21k+6.已知实数x,y 满足 121y y x x y m ≥,⎧⎪≤-,⎨⎪+≤,⎩如果目标函数z=x-y 的最小值为-1,则实数m 等于 ( )A. 7B. 5C. 4D. 37.在R 上定义运算:x*y=x(1-y),若不等式(x-a)*(x+a)<1对任意实数x 恒成立,则 ( )A. -1<a<1B. 0<a<2C. 3122a -<<D. 3122a -<<8．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 ( )A ．5B ．6C ．7D ．89．若点P （1，1）为圆0622=-+x y x的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为 ( )A ．2x ＋y －3＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝010.如图所示,正方体ABCD -1111D C B A 中,E 、F 分别是正方形11A ADD 和ABCD 的中心,G 是1CC 的中点,设GF 、E C 1与AB 所成的角分别为α、β则=+βα ( )A. 120B. 60C. 75D. 9011．点P 在直线0102=++y x 上,PA 、PB 与圆422=+y x分别相切于A 、B 两点,则四边形PAOB的面积的最小值为 ( )A. 4B. 8C. 16D. 24 12．已知三棱锥O —ABC ，A 、B 、C 三点均在球心为0的球表面上，AB=BC=1，∠ABC=120°，三棱锥O —ABC 的体积为45，则球O 的表面积是 ( ) A ．64π B ．16π C ． π332D ．544π二．填空题.（本大题共4小题，每小题4分，共20分。

2013-2014学年度上学期期中考试高一数学试卷时间：120分钟 分值：150分一、选择题（每题5分，共50分）1. 集合{}{}2,,(,)2,,A y y x x R B x y y x x R ==∈==+∈⋂则A B=( )A ．{（-1,2），(2，4) } B. {( -1 , 1)} C. {( 2, 4)} D. φ2. 某学生从家里去学校上学，骑自行车一段时间，因自行车爆胎，后来推车步行，下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示该生离学校的距离，则较符合该学生走法的图是（ ）3. 定义集合运算A ◇B =|,,c c a b a A b B =+∈∈，设0,1,2A =，3,4,5B =，则集合A ◇B 的子集个数为（ ）A .32B .31C .30D .144. 已知函数1232(2)()log (1)(2)x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩ ，则))2((f f 的值为 A. 2 B. 1 C. 0 D.35. 已知0.312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，20.3b -=，12log 2c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >> 6. 已知21)21(x x f =-，那么12f ⎛⎫⎪⎝⎭= A ．4 B ．41 C ．16 D ．1617. 已知函数()=f x 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是 （ ）A.0<m ≤4B.0≤m ≤1C.m ≥4D.0≤m ≤48. 函数212()log (32)f x x x =-+的递增区间是A ． (,1)-∞B ． (2,)+∞C ． 3(,)2-∞ D ．3(,)2+∞　9. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(),0-∞上单调递减，且有()3=0f ，则使得()0<f x 的x 的范围为（ ）A.(),3-∞B. ()3,+∞C.()(),33,-∞+∞D.()3,3-10.对实数a 和b 定义运算“⊗”：,1,,1a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩． 设函数22()(2)()f x x x x =-⊗-，x ∈R ，若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（ ）A ．3(,2](1,)2-∞--B ．3(,2](1,)4-∞---C ．11(1,)(,)44-+∞D ．31(1,)[,)44--+∞二、填空题（每题5分，共25分） 11．函数)12(log 741)(2++-=x x x f 的定义域为 .12．幂函数()22211m m y m m x--=--在()0,x ∈+∞时为减函数，则m= ．13. 已知2510m n==，则11m n+= ． 14. 如果函数()f x 满足：对任意实数,a b 都有()()()f a b f a f b +=,且()11f =，则()()()()()()()()()()2342011201212320102011f f f f f f f f f f +++++= _________．15. 给出下列命题：①()f x 既是奇函数，又是偶函数；②()f x x =和2()x f x x=为同一函数；③已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；④函数y =[0,4) 其中正确命题的序号是 .三、解答题（共75分）16.（本小题满分12分）⑴计算：0.25-2-25.0log 10log 2)161(85575.032----⑵已知函数)(x f 是定义域为R 的奇函数，当x ≤0时，)(x f =x(1+x).求函数)(x f 的解析式并画出函数)(x f 的图象.17.（本小题满分12分）已知集合{}|5239A x x =-≤+≤，{}|131B x m x m =+≤≤- （1）求集合A ；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.18．（本小题满分12分）某商品在近30天内每件的销售价格p （元）与时间t （天）的函数关20,025,,100,2530,.t t t N p t t t N +<<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是40+-=t Q ),300(N t t ∈≤<，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？19．（本小题满分12分）定义运算：a bad bc c d=- （1）若已知1k =,求解关于x 的不等式101x x k< -（2）若已知1()1x f x k x=- -，求函数()f x 在[1,1]-上的最大值。