浙江省金华十校2022-2023学年高三下学期4月模拟考试预演数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若向量，，且，则（ ）(),2a x = ()1,2b =- a b ⊥a =A ．B ．4C ．D ．2．已知集合满足，那么这样的集合M 的个数为（ ）M {}{}2,31,2,3,4,5M ⊆⊆A ．6B ．7C ．8D ．93．已知，则的值为（ ）()()523456012345611x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++3a A ．B ．0C ．1D ．21-4．若复数，则的最大值为（ ）23i i i i n z =+++⋅⋅⋅+*N n ∈zA ．1B C D ．25．已知等比数列的公比的平方不为，则“是等比数列”是“是等差{}n a *1,N n b ∈{}n b a {}n b 数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为R O AB αB BCD △αR 的正三角形，线段分别与球面交于点，那么三棱锥的体积是,AC AD ,M N A OMN -（ ）A B C D 33337．设函数（）（为自然对数的底数），若恰好存在()2e =-+xf x ax ax R a ∈e 2.718= 两个正整数，使得，，则实数的取值范围是（ ）m n ()0f m <()0f n <a A ．B ．24e e ,212⎛⎤ ⎥⎝⎦34e e ,612⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．D ．32e e ,62⎛⎤ ⎥⎝⎦24e e ,212⎡⎫⎪⎢⎣⎭它们的公共点，且都在圆上，直线AB 与x 轴交于点P ，直线CP 与双曲线222x y c +=2C交于点Q ，记直线AC 、AQ 的斜率分别为、，若椭圆1k 2k 1C 12k k ⋅的值为（ ）A ．2B ．C ．3D ．452二、多选题9．已知 ，，则（ ）1sin cos 5θθ+=()0,πθ∈A ． B ． 12sin cos 25θθ=-sin cos 1225θθ-=C ． D ．7sin cos 5θθ-=4tan 3θ=-10．如图，在正方体中，，点P 在侧面及其边界上运动，1111ABCD A B C D -1AB =11BCC B 并且总是保持，则下列结论正确的是（ ）1AP BD ⊥A ．113P AA D V -=B ．点P 在线段上1BC C ．平面1BD ⊥11A C DD ．直线AP 与侧面所成角的正弦值的范围为11BCC B ⎫⎪⎪⎭11．设，为椭圆的左，右焦点，直线过交椭圆于A ，B 两点，则以1F 2F 22143x y +=l 1F 下说法正确的是（ ）A ．的周长为定值8B ．的面积最大值为2ABF △2ABF △C ．的最小值为8D ．存在直线l 使得的重心为2212AF AF +2ABF △11,64⎛⎫⎪⎝⎭12．已知各项均为正数的数列满足为其前项和，{}n a ()1*111,e cos ,n a n n n a a a n S ++==-∈N n 则（ ）A ．B ．1n n a a +>211n n n a a a ++<+C ．D ．n a ≤n S <三、填空题13．已知、，直线上有且只有一个点满足，写出满足条件()0,0O ()3,0A l P 2PA PO =的其中一条直线的方程__________．l 14．在2021年6月某区的高二期末质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学()98,100X N 成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是______．附:若,()2~,X N μσ则，.()0.6826P X μσμσ-<<+=(22)0.9544P X μσμσ-<<+=15．已知矩形在平面的同一侧，顶点在平面上，，ABCD αA 4AB =BC =，与平面所成的角的大小分别为30°，45°，则矩形与平面所成角的AB BC αABCD α正切值为______．16．定义：如果甲队赢了乙队，乙队赢了丙队，而丙队又赢了甲队，则称甲乙丙为一个“友好组”.如果20支球队参加单循环比赛，则友好组个数的最大值为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱中，，，M 为的111ABC A B C 2CA CB ==AB =13AA =AB(1)证明：平面；1//AC 1B CM (2)求点A 到平面的距离.1B CM 18．记为数列的前项和，已知.n S {}n a n 1111,2n n n n S S a a a +=-=-(1)求的通项公式；{}n a (2)令，记数列的前项和为，试求除以3的余数.2n an b ={}n b n n T 21n T -19．甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得分；两人都进球1-或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为，甲扑到乙踢出球的12概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响．1213(1)经过1轮踢球，记甲的得分为X ，求X 的分布列及数学期望；(2)求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．20．记的内角的对边分别为.已知.ABC ,,A B C ,,a b c sin cos tan A B C ==(1)求；2A C +(2)证明：.25c b a >>21．已知抛物线，圆是上的一点.21:C x y =222:(4)1,C x y P +-=1C (1)设是上的一点，求的最小值；Q 2C PQ (2)过点作的两条切线分别交于两点（异于）.若，求点的坐标.P 2C 1C ,A B P PA PB =P 22．已知函数.()()11ln ,2f x x g x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭(1)证明：当时，；1x ≥()()f x g x ≤(2)设为正实数且.,a b a b（i ）若；b a a b =e >（ii ）若，证明：.1a b +=b a a b a b a b +<+参考答案：1．D【分析】根据向量垂直的坐标表示求，再由向量的模的坐标表示即得.x 【详解】由，可得，a b ⊥220x -+⨯=所以，，4x =()2,2a =||a ===故选：D.2．C【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可.【详解】因为，{}{}2,31,2,3,4,5M ⊆⊆所以集合可以为：，M {}{}{}{}{}2,3,1,2,3,2,3,4,2,3,5,1,2,3,5共8个，{}{}{}1,2,3,4,2,3,4,5,1,2,3,4,5故选：C.3．B【分析】根据，结合二项式定理求解即可.()()()()5551111x x x x x =--+--【详解】因为，展开式第项()()()()5551111x x x x x =--+--()51x -1r +，当时，，当时，55155C (1)C (1)r r r rr r r T x x --+=-=-3r =33235C (1)10x x x ⋅-=-2r =，故，即.22335C (1)10x x -=333310100a x x x -+==30a =故选：B 4．B【分析】分、、、四种情()*4N n k k =∈()41N n k k =+∈()42N n k k =+∈43n k =+()N k ∈况讨论，分别求出，即可得到，从而得解.z z 【详解】解：因为，，，，，1i i =2i 1=-3i i =-41i = ，，，，，且，41i i k +=42i 1k +=-43i i k +=-4i 1k =N k ∈234i i i i 0+++=所以当，时，则，4n k =()*N k ∈0z =0z =当，时，则，41n k =+()N k ∈i z =1z =当，时42n k =+()N k ∈1i z =-+=当，时，则，43n k =+()N k ∈1z =-1z =所以的最大值为z 故选：B 5．C【分析】利用等差数列和等比数列的递推关系进行证明即可.【详解】设等比数列的公比为，若是等比数列，则为常数，{}n a q {}n b a 1111111n n n n n nb b b b b b a a q q a a q+++---==由为常数，所以是等差数列；211n n q b b +≠⇒-{}n b 若是等差数列，设的公差为，则为常数，所以是{}n b {}n b d 1111111n n n n n nb b b b d b b a a q q q a a q+++---==={}n b a 等比数列.综上，“是等比数列”是“是等差数列”的充要条件.{}n b a {}n b 故选：C 6．A【分析】作出辅助线，根据三角形相似表达出各边长，利用三角形面积公式求出的面AOP 积及三棱锥的体积.【详解】连接，因为为直径，,,,BM MN OM ON AB 所以，在Rt 中，，BM AM ⊥ABC Rt BCM RtACB 所以，即，BC CMAC BC=2CB CM AC=⋅其中，所以，AC ==,CM AM ==易证，所以，AMN ACD ∽4455MN CD R ==取的中点的中点，连接，MN ,P CD Q AQ 则必过点，于是，AQ P ()2122ABQ S R ⎫=⨯⨯=⎪⎪⎭又，14,25AO AB AP AQ ==所以1114sin sin 2225AOP S AO AP OAP AB AQ OAP∠∠⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 141sin 252AB AQ AOP ∠⎛⎫=⨯⋅⋅ ⎪⎝⎭，2214142525ABQ S R ⎫=⨯=⨯⨯=⎪⎪⎭于是.23114335A OMNAOP V S MN R -⎫⎛⎫=⋅=⋅⋅=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭故选：A 7．A【分析】根据给定条件，只需考查当时，成立的正整数有且只有两个，再构1x >2e xa x x >-造函数，探讨其性质即可作答.【详解】函数中，，而恰好存在两个正整数使得()2e =-+xf x ax ax (1)e>0f =,m n ，则，()()00,f m f n <<1,1m n >>当时，，因此有且只有两个大于1的正整数使得成立，1x >2e ()0x f x a x x <⇔>-2e xa x x>-令，求导得：，由得，由2e (),1x g x x x x =>-222(31e ()())x x x x g x x -+'=-()0g x '<1x <<得()0g x '>x >因此函数在上单调递减，在上单调递增，而，()g x )+∞23<<则必有，又，因此符合题意的正整数只有2和3两2e (2)2a g >=322e e e e (3)(2)6232g g ==⋅<=个，于是得，所以实数的取值范围是.4e (4)12a g ≤=a 24e e 212a <≤故选：A【点睛】关键点睛：涉及不等式整数解的个数问题，构造函数，分析函数的性质并画出图象，数形结合建立不等关系是解题的关键.8．D【分析】设椭圆方程为，双曲线方程为，根据椭圆离心率得到22221x y a b +=22221x y s t-=，故椭圆方程为，联立求出点坐标，从而由对称性得2225b a =222252x y a +=222x y c +=A到点坐标，表达出，将点代入双曲线方程，结合,,B C P :CP y x ⎫=⎪⎪⎭A 得到，，得到双曲线方程，联立2222232s t a b b +=-=222b s =22t b =222221x y b b-=，得到两根之和，两根之积，表达出，从而求出，:CP y x ⎫=⎪⎪⎭,Q 12,k k 得到乘积.【详解】设椭圆方程为，双曲线方程为，22221x y a b +=22221x y s t -=则，22222a b s t c -=+=由，c a =2235a c =因为，所以，222c a b =-2225b a =故椭圆方程为，222252x y a +=联立可得：，，222x y c +=22222223253236x c b b b b =-=-=2223b y =则，A ⎫⎪⎪⎭由对称性可知A 、C 两点关于原点对称，A 、B 两点关于轴对称，x则，，,B ⎫⎪⎪⎭,C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭所以，故,0P ⎫⎪⎪⎭CP k =直线，:CP y x ⎫=⎪⎪⎭代入中得，①，A ⎫⎪⎪⎭22221x y s t -=222252163b b s t -=又②，22222225322s t a b b b b +=-=-=②①结合得到或，2252b s =222b s =因为，显然，故，所以，2252a b =s a <222b s =2222322b t b b =-=故双曲线方程为，222221x y b b-=联立与得：，:CP y x ⎫=⎪⎪⎭222221x y b b -=2297056x b -=设，()11,Qx y 则，解得：，217569b =-⋅1x =故1y ⎫==⎪⎪⎭所以，,Q 所以，其中2k ==1k =故.124k k ==故选：D【点睛】椭圆和双曲线共焦点时，焦距成为联系两个曲线的桥梁，要根据题目条件列出方程，寻找到椭圆中长半轴，短半轴，和双曲线中实半轴，虚半轴的关系，再求解离心率或其他相关问题，共焦点的椭圆和双曲线的重要结论：①具有公共焦点的椭圆和双曲线离心率分别为，为它们的一个交点，且，12,e e P 122F PF θ∠=则；2212sin cos 1e e θθ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②若点是椭圆与双曲线的一()00,P x y ()22122:10x y C a b a b +=>>()2222210,0:x y C m n m n -=>>个公共点，且它们在处的切线互相垂直，则椭圆与双曲线有公共焦点.()00,P x y 1C 2C 9．ACD【分析】根据同角基本关系，结合完全平方公式可判断各项.【详解】对于A ：因为所以1sin cos ,5θθ+=21(sin cos )12sin cos ,25θθθθ+=+=即，所以A 正确;12sin cos 25θθ=-对于B 、C ：因为，且，249(sin cos )12sin cos ,25θθθθ-=-=()0,πθ∈12sin cos 025θθ=-<所以，即，所以所以B 错误，C 正确;sin 0cos 0θθ><，sin θcos θ0->7sin cos ,5θθ-=对于D ：联立，解得所以，所以D 正确.1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩43sin ,cos ,55θθ==-4tan 3θ=-故选：ACD.10．BC【分析】对A ，由面面平行说明；1113P AA D AA D V S CD -=⋅对B ，以D 为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，由向量法说明，C ，P 三点共线；1B 对C ，由向量法证，再由线线垂直证平面；1111,DA BD DC BD ⊥⊥1BD ⊥11A C D 对D ，由向量法求线面角，进而讨论范围.【详解】对于A ，点P 在平面内，平面平面，所以点P 到平面11BCC B 11BCC B ∥1AA D 1AA D 的距离即为点C 到平面的距离，即正方体的棱长，1AA D 所以，A 错误；1111111113326P AA D AA D V S CD -=⋅=⨯⨯⨯⨯= 对于B ，以D 为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，且，，()1,0,0A (),1,P x z ()1,1,0B ()10,0,1D ()11,1,1B ()0,1,0C 01x ≤≤01z ≤≤所以，，．()1,1,AP x z =- ()11,1,1BD =--()11,0,1B C =-- 因为，所以，所以，即，所以，1AP BD ⊥1110AP BD x z ⋅=--+=x z =(),1,P x x (),0,CP x x = 所以，即，C ，P 三点共线，故点P 在线段上，B 正确；1CP xB C =-1B 1B C 对于C ，，，，，，()11,0,1A ()10,1,1C ()11,0,1DA = ()10,1,1DC = ()11,1,1BD =--由，111111110,0,DA BD DC BD DA BD DC BD ⋅=⋅=⇒⊥⊥因为，，平面，所以平面，C 正确；11DA DC D ⋂=1DA 1DC ⊂11A C D 1BD ⊥11A C D 对于D ，，，平面的一个法向量为．()1,1,AP x x =- 01x ≤≤11BCC B ()0,1,0m = 设与平面的夹角为，为锐角，AP11BCC B θθ其正弦值为sin m APm APθ⋅===由，D 错误．01x ≤≤sin θ≤≤故选：BC ．11．ACD【分析】利用椭圆的定义可判断A ，根据基本不等式结合椭圆的定义可判断C ，设直线的l 方程为，联立椭圆方程利用韦达定理法，可表示出的面积，的重心1x my =-2ABF △2ABF △进而判断BD.【详解】由椭圆，可得，22143x y +=2,1a b c ===所以为，故A 正确；2ABF △121248AF AF BF BF a +++==因为，所以，当且仅当取等号，124AF AF +=()221122282AF AF AF AF +≥+=12AF AF =故C 正确；由题可设直线的方程为，由，l 1x my =-221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得，()2234690m y my +--=设，则，()()1122,,,A x y B xy 12122269,3434m y y y y m m +==-++所以1y-==所以的面积为，2ABF △12112S F F y =-令，，t =1t ≥221m t =-所以，212121313t S t t t ===++因为，由对勾函数的性质可知，1t ≥134t t+≥所以，当，即取等号，故B 错误；2121231313t S t t t===≤++1t =0m =由上可知122634my y m +=+所以，又，()212122268223434m x x m y y m m +=+-=-=-++()21,0F 所以的重心为，2ABF △221821,33434m m m ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭令，解得，221811334621344m m m ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪+⎝⎭⎨⎪=⎪+⎩2m =所以当直线的方程为时的重心为，故D 正确.l 21x y =-2ABF △11,64⎛⎫⎪⎝⎭故选：ACD.12．ACD【分析】A 选项，先构造函数，并研究其单调性，利用()()e cos >0=-xf x x x ()e 1>0>+x x x 进行放缩，利用数学归纳法可证明；B 选项，构造函数，判断其单调性即可；()()2e cos >0=---xf x x x x x C 选项，利用数学归纳法和假设法可证明；D 选项，结合C 选项结论对进行放缩即可证明.n a 【详解】设函数，则，故在上单调()()e cos >0=-xf x x x ()e sin 0x f x x '=+>()f x ()0,∞+递增.用数学归纳法下证.01n a <≤当时，有；1n =1011a <=≤假设当时，有，n k =01k a <≤由于，()()()1001e cos e 1+-=≤=<=<k k f a f f a 所以根据在上单调递增可知，()f x ()0,∞+101+<≤k a 即当时，有.1n k =+101+<≤k a 综上可知，.101+<≤k a 对于A ，令，()e 1,>0=--xg x x x 因为，故在上单调递增，故，()e 10xg x '=->()g x ()0,∞+()()00g x g >=即，即.e 1>0--x x ()e 1>0>+xx x ，故A 正确.11111e cos 1cos +++++=->+->n a n n n n n a a a a a 对于B ，令，，()2e cos ,>0=---x h x x x x x ()e sin 12x h x x x '=+--令，()()m x h x '=()e cos 2xm x x '=+-令，则>0，所以，即在上单调递增，()()n x m x '=()e sin xn x x '=-()n x ()m x '()0,∞+所以，所以即 在上单调递增，()()00m x m '>='()m x ()h x '()0,∞+所以，所以在上单调递增，()()00h x h ''>=()h x ()0,∞+所以，即，即.()()00h x h >=2e cos >0---x x x x 2e cos >-+x x x x 故，故选项B 错误；()12111e cos *++++=->+n a n n n n a a a a对于C ，可用数学归纳法证明：.n a ≤当时，有1n =1110=≤=<a假设当时，有，n k =)0∈<k a k *N若1+k a则由可知()*21111++=>>+>+>k k k k a a a与假设k a ≤1+≤k a故，故C 正确.n a ≤对于D ，当时，，1n ≥2==<=n a故D 正确.112==<==∑∑nnk k k n S a 故选：ACD.【点睛】与数列相关的不等式问题证明方法点睛：（1）可以利用数学归纳法来进行证明；（2）可以构造函数，利用导数进行证明，通过求导得到函数的单调性并结合不等式进行放缩得到结果.13．（答案不唯一，只需满足直线与圆相切即可）1x =l ()2214x y ++=【分析】设点，由，求出点的轨迹方程，可知点的轨迹为圆，且圆(),P x y 2PA PO =P P 心为，半径，分析可知直线与圆相切即可.()1,0C -2r =l C【详解】设点，由可得，(),P x y 2PA PO ==整理可得，即点的轨迹为圆，且圆心为，半径，()2214x y ++=P ()1,0C -2r =直线上有且只有一个点满足，所以，直线与圆相切，l P 2PA PO =l C 所以，直线的方程可为.l 1x =故答案为：（答案不唯一，只需满足直线与圆相切即可）.1x =l ()2214x y ++=14．1500【分析】根据正态分布特点，则，再乘以总人数即可.()1080.1587P ξ≥=【详解】因为考试的成绩服从正态分布，X ()98,100N 根据，，则，98μ=10σ=1089810μσ=+=+得，()10.68261080.15872P ξ-≥==即数学成绩高于108分的学生占总人数的15.87%，由，可知这位学生的数学成绩108分大约排在该区的名次是1500．945015.87%1500⨯≈故答案为：1500.15【分析】如图，过，分别做平面的垂线，垂足分别为，，连接，，通过B D αE F AE AF几何关系可得到，，过作满足，过2BE DF AF ===AE =EF BD ==A l //l EF E做垂直于点，连接，则即为所求，通过等面积法计算出EP l P BP BPE ∠PE =解【详解】如图，过，分别做平面的垂线，垂足分别为，，连接，，B D αE F AE AF 由，所以，,,DF BE αα⊥⊥,AE AF α⊂,DF AF BE AE ⊥⊥因为，与平面所成的角的大小分别为30°,45°,且，，AB BC α//BC AD =BC AD所以，，得，30BAE ∠=︒45DAF ∠=︒2BE DF AF ===AE =因为所以，,,DF BE αα⊥⊥//DF BE 又，所以四边形是平行四边形，2BE DF ==DFEB所以，因为，所以，所以//BD EF ,BD EF αα⊄⊂BD α∥EF BD ==过作满足，则即为矩形与平面的交线，A l //l EF l ABCD α过做垂直于点，连接，则即为所求，E EP l P BP BPE ∠在中，AEF △cos FAE ∠==由可得，22cos sin 1,0πFAE FAE FAE ∠+∠=<∠<sin FAE ∠=所以，解得11222AEF S FAE EP =⨯⨯∠= PE =所以矩形与平面所成角的正切值为.ABCD αtan BEBPE PE∠==.16．330【分析】从反面考虑非友好组的个数的最小值，后者可用逐步调整法来处理.【详解】当为偶数时，令，则总共有场比赛.m 2m n =22C n 不妨设有个友好组，考虑其反面，若甲乙丙三对为非友好组，不妨设甲队赢了乙队和丙队，x 此时，记甲队为非友好组的组长.对甲队而言，可以在赢的所有队伍中任意选择两队构成非友好组.因此，若队在比赛中赢了场，则，且以为组长的非友好组有()1,2,,2i A i n = i k 2221C ni n i k ==∑i A 个（补充定义：，于是所有非友好组的个数为.2C ik )2201C C 0==221C i nk i =∑下求最小值.221C i nk i =∑若在中，有.122,,,n k k k 2j i k k -≥则令，其余且，**1,1i i j j k k k k =+=-*(12j i k k l n =≤≤,)l i j ≠，**2222222211C 11C C C C C C C i j i j i j ijk k k k k k i j k k k k +-+-=+-=-+--≤-故调整后的总和变小.重复上述操作，直至任意两个数的差最多为1.221C i nk i =∑不妨设有个个，则有y ,2a n y -1a +()()()222121,n ya n y a C n n +-+==-整理有.()1122y a n n -=--由于，故.由等式两边对应相等可知，，121y n ≤≤-()0,12yn∈1,a n y n =-=即调整后有个个.此时的值为，n 1,n n -n 221C i nk i =∑2(1)n n -则，()()32211(1)3C n n n n x n n -+≤--=故友好组个数的最大值为，即.()()113n n n -+()()2224m m m -+下面为取到最大值的例子：设在.共支球队中，当时，队胜122,,,n A A A 2n 1i n ≤≤i A ；当时，队胜，下标均是在模的意义下.12,,i i i n A A A +++ 12n i n +≤≤i A 121,,,i i i n A A A +++- 2n 综上所述，当为偶数时，友好组个数的最大值为.故如果20支球队参加m ()()2224m m m -+单循环比赛，友好组个数的最大值为330.故答案为：33017．(1)证明见解析【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明；(2)利用等体积法求解.【详解】（1）连接交于点，连接，1BC 1B C N MN 则有为的中点，M 为的中点，N 1BC AB 所以，1//AC MN 且平面，平面，1AC ⊄1B CM MN ⊂1B CM 所以平面.1//AC 1B CM （2）连接,因为，所以,1AB 2CA CB ==CM A B ⊥又因为平面，平面，1AA ⊥ABC CM ⊂ABC所以，,所以平面,1AA CM ⊥1AB AA A ⋂=CM ⊥11ABB A 又因为平面,所以,1MB ⊂11ABB A 1CM MB ⊥又，所以是等腰直角三角形，222CA CB AB +=ABC,112CM AB MB ====所以1112CMB S CM MB =⋅=△,1111222ACM ACB S S CA CB ==⨯⋅=△△设点A 到平面的距离为，1B CM d 因为,所以,11A B CM B ACM V V --=111133B CM ACM S d S AA⨯⨯=⨯⨯ 所以11ACM B CM S AA d S ⨯== 18．(1)n a n =(2)2【分析】（1）根据等差数列的定义及通项公式求出，再根据12n n S n a +=11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出；n a n =（2）利用等比数列前n 项和公式求出，然后应用二项式展开式求余数21n T -【详解】（1）由有，即，112n n n n S S a a +-=-11112n n n n n S a S a a +++--=-1112n n n n S S a a ++-=又，故，11a =111S a =所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭12所以，即，12n n S n a +=12n n n S a +=故，两式相减得，即，1122n n n S a +++=112122n n n n n a a a ++++=-1122n n n n a a ++=所以，11111n n a a a n n +====+因此的通项公式为.{}n a n a n =（2）由（1）及，有，所以，2n a n b =2n n b =2212242n nn T -=-=-又，011114(31)C 3C 3C 31n n n n n n n n --=+=++++ 因为均为正整数，所以存在正整数使得，11C ,C ,,C n n n n - k 431n k =+故，221224231n nn T k -=-=-=-所以除以3的余数为2.21n T -19．(1)分布列见解析；期望为112(2)79192【分析】（1）先分别求甲、乙进球的概率，进而求甲得分的分布列和期望；（2）根据题意得出甲得分高于乙得分的所有可能情况，结合（1）中的数据分析运算.【详解】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A ，乙进球为事件B ，A ，B 相互独立，由题意得：，，()1111233P A ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭()1111224P B ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭甲的得分X 的可能取值为，1,0,1-，()()()()11111346P X P AB P A P B ⎛⎫=-===-⨯= ⎪⎝⎭()()()()()()()11117011343412P X P AB P AB P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫==+=+=⨯+-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()11111344P X P AB P A P B ⎛⎫====⨯-= ⎪⎝⎭所以X 的分布列为：X 1-01p1671214.()1711101612412E X =-⨯+⨯+⨯=（2）经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分；甲3轮中有1轮得1分，21-轮各得0分，甲3轮各得1分的概率为，3111464P ⎛⎫==⎪⎝⎭甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为，2223177C 41264P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分的概率为，1-2233111C 4632P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为，21431749C 412192P ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率.1714979646432192192P =+++=20．(1)；3π2(2)证明见解析.【分析】（1）根据，由诱导公式逆推可得，再由，可得sin cos A B =π2A B =±π2A B +≠，再代入计算即可；π2A B =+2A C +（2）根据（1）可得，再通过二倍角公式化简计算可得3πcos 2sin tan tan 22sin 2AA C A A⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，换元后构造新函数，322cos 2cos 2cos 10A A A +--=()()32222110f x x x x x =+---<<求解导函数从而判断函数单调性，从而可得，再结合正弦函数的平方关系与12cos 25A -<<商式关系，判断三角函数的范围，由正弦定理边角互化即可证明.【详解】（1）由，得，由题意可知，存在，sin cos A B =π2A B =±tan C 所以，即，所以，π2C ≠π2A B +≠π2A B =+所以.()π3π22π2π22A C A A B A A A ⎡⎤⎛⎫+=+--=+---=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（2）由，3πcos 2sin tan tan 22sin 2AA C A A⎛⎫==-= ⎪⎝⎭得，()222221cos cos sin 22sin cos 1sin cos 22cos 12cos 1A A A A A A A A A -=⋅==--故，322cos 2cos 2cos 10A A A +--=令，则，()cos 10A x x =-<<()()32222110f x x x x x =+---<<，()()()26422311f x x x x x '=+-=-+当时，；当时，；1x <-()0f x '>10x -<<()0f x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，()f x (),1-∞-()1,0-又，所以，120,025f f ⎛⎫⎛⎫->-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos 25A -<<，sin cos tan A B C <==<12sin 25B -<<可得，所以.π6B C <<b c <而，故.sin sin 2tan sin cos 5b B B B a A B ===>>25b a >所以.25c b a >>【点睛】求解本题的关键是根据题目等式关系结合二倍角公式化简得，然后利用换元法构造新函数，求解导函数判断单调性，从322cos 2cos 2cos 10A A A +--=而得的范围，再利用三角函数平方关系与商式关系判断其他三角函数值，结合正弦定cos A 理边角互化证明边的关系.21．1(2)或235⎫⎪⎪⎭235⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据圆的几何性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可；（2）根据圆的切线性质，结合等腰三角形的性质、一元二次方程根与系数关系、点到直线距离公式进行求解即可.【详解】（1）设，圆心，半径为，2(,)P t t 2(0,4)C 1，=所以当时，有最小值t =2PC所以的最小值；PQ 1（2）由题设，切线斜率一定存在，设切线的斜率为，k 所以切线的方程为：，()220y t k x t kx y t kt -=-⇒-+-=由圆的切线性质可知：，()()()()22222124410t k t t k t ⇒-+-+--=*设，()()22112212,,,,,A x x B x x x x t ≠，是方程的两个不相等实根，2112220x k ty x x k t kx y t kt =-⎧⎧=⇒⎨⎨=--+-=⎩⎩12,k k *因此，即，且，210t -≠()2122241t t k k t -+=-PA PB =所以由圆的切线性质知：，2AB PC ⊥()()22222221212212444411211t t x x t t t x x t x x t t t t ⎡⎤-----⎢⎥⋅=-⇒+⋅=-⇒-⋅=---⎢⎥⎣⎦，2235t t ⇒=⇒=所以的坐标为或.P 235⎫⎪⎪⎭235⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：根据圆的切线长定理、一元二次方程根与系数关系是解题的关键.22．(1)证明见解析(2)（i ）证明见解析（ii ）证明见解析【分析】（1）构造并利用导数研究其在单调性，即可证结论；11()ln 2h x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭[1,)+∞（2）（i ）问题化为，设且，利用0,0,,y x x y x y x y >>=≠e>x y >11x y n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，构造研究其值域范围，即可证结论；y x x y =1211n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()1211n f n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（ii ）设，令研究其单调性可得，再构造1012b a <<<<()ln 1x f x x =-01b a b a <<<研究单调性得，最后构造研究()ln (01)xh x x x=<<ln ln b a a a b b >()()1x x x a b b x a ϕ-=+≤≤单调性比较函数值大小即可证结论.【详解】（1）令且，则，11()ln 2h x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1x ≥222111(1)()1022x h x x x x -⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭'所以在上递减，故，即，()h x [1,)+∞()(1)0h x h ≤=11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭所以时.1x ≥()()f x g x ≤（2）（i ）设，0,0,,y x x y x y x y >>=≠e >不妨设，且，则，x y >11x y n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭111[1]y y n y y n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭.1111111n n y y y n n +⎛⎫⇒+=⇒=+ ⎪⎝⎭11111n n y x n n +⎛⎫⎛⎫⇒=+⇒=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1211n n +⎛⎫⇒=+ ⎪⎝⎭设，则，.()1211n f n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()11ln ln 12f n n n ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()111ln 1212f n f n n n n ⎛⎫=+-- ⎪+⎭'⎝设，则.()()111ln 1212g n n n n ⎛⎫=+-- ⎪+⎝⎭()()221111[]2(1)1g n n n n n =+-'++22102(1)n n =>+于是，在内单调递增，当趋向于时，趋向于，故.()g n ()0,∞+n +∞()g n 0()0gn <由得：，则在内单调递减，当趋向于时，趋向于()0f n >()0f n '<()f n ()0,∞+n +∞()f n e ，故.()e f n >.e >（ii ）证明：，其中，b a a b a b a b +<<+0,0,1a b a b >>+=由对称性知：不妨设，令，此时，1012b a <<<<()ln 1xf x x =-()211ln (1)x x f x x --'+=令且，则，即递减，11ln y x x=-+01x <<221110x y x x x -=-=<'y 所以，即，故，则单调递增，1|0x y y =>=1ln 1x x>-()0f x '>()f x 则，于是，()()ln ln ln ln 11a b a b a bf a f b a b a b b a>⇒>⇔>⇔>--01b a b a <<<令，此时，单调递增，()ln (01)x h x x x=<<()21ln 0xh x x '-=>()h x则ln ln ln ln ()()a b baa b ab a b a a b bh b h a a b a b⇔⇔>11ln ln ln ln a b b a a a b b a a b b --⇔>⇔>令，此时，()()1x x x a b b x a ϕ-=+<<()1ln ln x xx a a b b ϕ--'=令，则，()1ln ln x x x a a b b μ-=-()212(ln )(ln )0x x x a a b b μ-=+>'所以递增，即递增，则，()x μ()x ϕ'()min ()ln ln 0b ax b a a b b ϕϕ''==->于是，单调递增，则.()0x ϕ'>()x ϕ()()12b a a bb a a b a b ϕϕϕ⎛⎫<<⇔+<<+ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：第二问，（i ）注意令且，结合得到x y >11x y n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x x y =为关键；（ii ）依次构造函数证明、，最后构造1211n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭01b a b a <<<ln ln b a a a b b >证结论.()()1x x x a b b x a ϕ-=+<<。
