2021届高考理科数学二轮复习专题强化双击训练 专题二函数及其性质 A卷

解析：选 B 法一：如图所示，
设∠MON＝α，由弧长公式知 x＝α，在 Rt△AOM 中，|AO|＝1－t，cos x＝ |OA| ＝1－t，∴y＝cos x＝2cos2x
2 |OM|
2
－1＝2(t－1)2－1(0≤t≤1)．故其对应的大致图象应为 B.
法二：由题意可知，当 t＝1 时，圆 O 在直线 l2 上方的部分为半圆，所对应的弧长为π×1＝π，所以 cos π
f2 x ，f1 x ＜f2 x ，
系中分别画出函数 f1(x)与 f2(x)的图象，如图所示，则 g(x)的图象如图中实线部分所示．由图可知 g(x)在[0，
＋∞)上单调递增，又 g(x)在[a，b]上单调递增，故 a，b∈[0,5]，所以 b－a 的最大值为 5.
答案：5
18．定义在 R 上的函数 f(x)在(－∞，－2)上单调递增，且 f(x－2)是偶函数，若对ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ切实数 x，不等式 f(2sin
止移动．记△PCQ 的面积关于移动时间 t 的函数为 S＝f(t)，则 f(t)的图象大致为( )
解析：选 A 当 0≤t≤4 时，点 P 在 AB 上，点 Q 在 BC 上，此时 PB＝6－t，CQ＝8－2t，则 S＝f(t)＝1QC×BP 2
＝1(8－2t)×(6－t)＝t2－10t＋24；当 4＜t≤6 时，点 P 在 AB 上，点 Q 在 CA 上，此时 AP＝t，P 到 AC 的距离 2
1．已知 f(x)＝3ax2＋bx－5a＋b 是偶函数，且其定义域为[6a－1，a]，则 a＋b＝( )
A.1 B．－1 7
C．1 D．7
解析：选 A.∵f(x)为偶函数，∴b＝0.定义域为[6a－1，a]则 6a－1＋a＝0，∴a＝1，∴a＋b＝1.

2021年山东省济宁市汶上五中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）已知集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x=2a，a∈A}，则A∩B=（）A．{0} B．{2} C．{0，2} D．{0，1，2，3}【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出集合B，然后求解交集即可．【解析】：解：集合A={0，1，2，3}，集合B={x|x=2a，a∈A}={0，2，4，6}，则A∩B={0，2}．故选：C．【点评】：本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．2．（5分）复数的共轭复数为（）A．B．C．D．【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：计算题．【分析】：利用两个复数代数形式的乘除法轨则化简复数为﹣+i，由此求得它的共轭复数．【解析】：解：复数==﹣+i，故它的共轭复数为﹣﹣i，故选C．【点评】：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）“x=2”是“log2|x|=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：按照充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解析】：解：当x=2时，log2|x|=1成立，即充分性成立，若log2|x|=1，则x=±2，即必要性不成立．故“x=2”是“log2|x|=1”的充分不必要条件，【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比力基础．4．（5分）在一组样本的数据的频率分布直方图中，共有5个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其它4个长方形的面积和的，且样本容量为280，则中间一组的频数为（）A．56 B．80 C．112 D．120【考点】：频率分布直方图．【专题】：概率与统计．【分析】：按照中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，所有矩形的面积和为1，可求出该组的频率，进而按照样本容量为280，求出这一组的频数．【解析】：解：∵样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，又∵中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，所有矩形的面积和为1，∴该长方形对应的频率为，又∵样本容量为280，∴该组的频数为280×=80．故选：B．【点评】：本题考查的知识点是频率分布直方图，其中按照各组中频率之比等于面积之比，求出该组数据的频率是解答本题的关键．属于基础题．5．（5分）已知，，则cosα=（）A．B．C．或D．【考点】：两角和与差的余弦函数．【专题】：计算题；三角函数的求值．【分析】：按照同角三角函数的关系，算出，再进行副角：α=（）﹣，利用两角差的余弦公式加以计算，即可求出cosα的值．【解析】：解：∵，∴，由此可得，∴cosα=cos[（）﹣]=+==．【点评】：本题给出钝角α，在已知的情况下求cosα的值，着重考查了任意角的三角函数、同角三角函数的基本关系、两角和与差的余弦公式等知识，属于基础题．6．（5分）函数的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：按照分数函数的性质进行化简判断即可．【解析】：解：∵=，∴对应的图象为B．故选：B．【点评】：本题主要考查函数图象的识别和判断，按照分数函数的性质是解决本题的关键，比力基础．7．（5分）等差数列{an}中的a1，a4025是函数的极值点，则=（）A． 2 B．3 C． 4 D．5【考点】：等差数列；函数在某点取得极值的条件．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：求导数结合极值的定义和韦达定理可得a1+a4025=8，进而由等差数列的性质可得a2021，代入化简可得．【解析】：解：∵，∴其导函数f′（x）=x2﹣8x+6，又a1，a4025是函数的极值点，∴a1，a4025是方程x2﹣8x+6=0的实根，由韦达定理可得a1+a4025=8，由等差数列的性质可得a2021==4，∴==2故选：A【点评】：本题考查等差数列的性质，涉及函数的极值，属基础题．8．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AB的中点，D是AA1的中点，则三棱锥D﹣B1C1E的体积与三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积之比是（）A．B．C．D．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：计算题．【分析】：按照﹣﹣S△ADE﹣，求得=，再按照三棱锥的换底性可得==V三棱柱，由此可得答案．【解析】：解：∵﹣﹣S△ADE﹣，又E是AB的中点，D是AA1的中点，∴=S△ADE=，=，=2，∴=，∴==×V三棱柱，∴三棱锥D﹣B1C1E的体积与三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积之比为1：4．【点评】：本题考查了棱锥的体积计算，考查了棱柱与棱锥的体积的量化关系，关键是求得面积比．9．（5分）设F1、F2分别是双曲线C：﹣=1的左，右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支相交于A、B两点，且三角形ABF2是以∠B为直角的等腰直角三角形，记双曲线C的离心率为e，则e2为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：按照题设条件，利用双曲线的定义，推导出|AF2|=4a，再利用勾股定理确定a和c 的关系式，由此能求出结果．【解析】：解：如图，∵过F1的直线l与双曲线的左支相交于A、B两点，且三角形ABF2是以∠B为直角的等腰直角三角形，∴设|BF2|=|AB|=x，∠ABF2=90°，∴|AF1|=x﹣|BF1|=2a，∴|AF2|=4a，∵∠ABF2=90°，∴2x2=16a2，解得|BF2|=|AB|=2a，∴，∴[（）a]2+（2a）2=（2c）2，解得c=a，∴=5﹣2．故选A．【点评】：本题考查双曲线的离心率的平方的求法，解题时要熟练掌握双曲线的性质，注意数形结合思想的合理运用．10．（5分）菱形ABCD的边长为，∠ABC=60°，沿对角线AC折成如图所示的四面体，M 为AC的中点，∠BMD=60°，P在线段DM上，记DP=x，PA+PB=y，则函数y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：按照菱形的性质，利用余弦定理和勾股定理分别求出PA，PB，然后建立函数关系，按照函数关系确定函数图象．【解析】：解：∵DP=x，∴MP=1﹣x，∵菱形ABCD的边长为，∠ABC=60°，∴AM==，BM=MD=1，在直角三角形AMP中，PA=，在三角形BMP中由余弦定理可得PB=，∴y=PA+PB=，∵当0时，函数y单调递减，当x≥1时，函数y单调递增，∴对应的图象为D，故选D．【点评】：本题主要考查函数图象的识别和判断，按照直角三角形的勾股定理和三角形的余弦定理分别求出PA，PB的值是解决本题的关键，本题综合性较强，难度较大．二、填空题：本大题共4小题，第小题5分，共20分．11．（5分）已知轨范框图，则输出的i=9．【考点】：轨范框图．【专题】：算法和轨范框图．【分析】：执行轨范框图，写出每次循环获得的S，i的值，当满足S≥100时，退出执行循环体，输出i的值为9．【解析】：解：S=1，i=3不满足S≥100，执行循环体，S=3，i=5不满足S≥100，执行循环体，S=15，i=7不满足S≥100，执行循环体，S=105，i=9满足S≥100，退出执行循环体，输出i的值为9．故答案为：9．【点评】：本题考察轨范框图和算法，属于基础题．12．（5分）Rt△ABC中，AB=1，BC=2，AC=在边BC上，，则=．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：按照，，BC=2获得，即，然后利用数量积公式直接计算即可．【解析】：解：∵Rt△ABC中，AB=1，BC=2，AC=，∴∠ABC=60°．，∠BAC=90°．∵，BC=2获得，∴，即==，∴===．故答案为：．【点评】：本题主要考查平面向量的数量积运算，按照三角形的边长关系确定三角形的内角关系以及的关系是解决本题的关键，考查学生的运算能力．13．（5分）已知抛物线y2=2x的焦点为F，过F点作斜率为的直线交抛物线于A，B两点，其中第一象限内的交点为A，则=3．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：按照题意，求得抛物线的焦点为F（，0），获得直线AB的方程为y=（x﹣）．将直线AB方程与抛物线y2=2x消去x，获得y2﹣y﹣1=0，解出点A、B的纵坐标，进而可得的值．【解析】：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵抛物线y2=2x的焦点为F（，0），直线AB经过点F且斜率k=，∴直线AB的方程为y=（x﹣），将直线AB方程与抛物线y2=2x消去x，可得y2﹣y﹣1=0，∵点A是第一象限内的交点，∴解方程得y1=，y2=﹣．因此=3．故答案为：3【点评】：本题给出经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A、B两点，求线段AF、BF的比值．着重考查了抛物线的简单性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．14．（5分）设集合S={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={a1，a2，a3}，A⊆S，a1，a2，a3满足a1＜a2＜a3且a3﹣a2≤5，那么满足条件的集合A的个数为55．【考点】：集合的包含关系判断及应用．【专题】：集合．【分析】：从集合S中任选3个元素组成集合A，一个能组成C83个，再把不符合条件的去掉，就获得满足条件的集合A的个数．【解析】：解：从集合S中任选3个元素组成集合A，一个能组成C83个，其中A={1，2，8}不合条件，其它的都符合条件，所以满足条件的集合A的个数C83﹣1=55．故答案为：55【点评】：本题考查元素与集合的关系，解题时要认真审题，仔细思考，认真解答．选做题：请鄙人列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分．15．（5分）如图，在极坐标下，写出点P的极坐标．【考点】：极坐标系．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：如图所示，连接OP．由OA是圆的直径，可得∠P=90°，利用直角三角形的边角关系可得ρ=|OP|=2sin60°，即可得出．【解析】：解：如图所示，连接OP．由OA是圆的直径，则∠P=90°，∴ρ=|OP|=2sin60°=，∴点P的极坐标为．故答案为：．【点评】：本题考查了直角三角形的边角关系、极坐标的求法，属于基础题．【选做题】（共1小题，每小题0分，满分0分）16．方程|x﹣1|﹣|x|+|x+1|=m有四个解，则m的取值范围为（1，2）．【考点】：函数的图象与图象变化．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：按照题意可以令f（x）=|x﹣1|﹣|x|+|x+1|，h（x）=m，可以分别画出这两个函数的图象，利用数形结合的方式进行求解；【解析】：解：∵关于x的方程|x﹣1|﹣|x|+|x+1|=m有四个分歧的实数解，∴令f（x）=|x﹣1|﹣|x|+|x+1|=，h（x）=m，分别画出函数f（x）和h（x）的图象，∵要使f（x）的图象与h（x）的图象有两个交点，如上图直线h（x）=m应该在两条虚线之间，∴1＜m＜2，故答案为：（1，2）【点评】：本题考查了方程根与函数零点之间的关系，也涉及了绝对值方程的应用，利用数形结合的方式进行求解，就会比力简单；四、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a=2sinA，．（Ⅰ）求边c的大小；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：（Ⅰ）已知第二个等式去分母变形后，利用正弦定理化简，求出cosC的值，确定出C的度数，再利用正弦定理即可求出边c的大小；（Ⅱ）由c，cosC的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ab的最大值，利用面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．【解析】：解：（Ⅰ）∵++=0，∴ccosB+2acosC+bcosC=0，由正弦定理化简得：sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC=0，即sin（B+C）+2sinAcosC=0，整理得：sinA+2sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∴C=，∴c==；（Ⅱ）∵c=，cosC=﹣，∴cosC=﹣=，∴a2+b2+ab=3，∵a2+b2≥2ab，∴3ab≤3，∴S△ABC=absinC≤，则△ABC面积的最大值为．【点评】：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）设（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围．【考点】：利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）先求出函数的定义域及函数f（x）的导函数，在定义域下令导函数大于0获得函数的递增区间，在定义域下令导函数小于0获得函数的递减区间．（2）求导数，结合函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，获得导函数f′（x）≥0在[2，+∞）上，则可求a的取值范围．【解析】：解：由于f（x）=x2﹣x﹣lnx（x＞0）则令令所以f（x）在（0，1）单调递减，在[1，+∞）上单调递增；（2）由f′（x）≥0，又x＞0，所以ax2﹣x﹣1≥0，即由所以即得．【点评】：求函数的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0获得函数的递增区间，令导函数小于0获得函数的递减区间．19．（12分）为了了解某班在全市“一检”中数学成绩的情况，按照分层抽样分别抽取了10名男生和5名女生的试卷成绩作为样本，他们数学成绩的茎叶图如图所示，其中茎为百位数和十位数，叶为个位数．（Ⅰ）若该样本男女生平均分数相等，求x的值；（Ⅱ）若规定120分以上为优秀，在该5名女生试卷中每次都抽取1份，且不反复抽取，直到确定出所有非优秀的女生为止，记所要抽取的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）由该样本男女生平均分数相等，利用茎叶图分别求出男生和女生的平均分数就能求出x的值．（Ⅱ）由茎叶图知，5名女生中优秀的人数为3人，非优秀的有2人，由题设知ξ=2，3，4，分别求出相对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ．【解析】：（Ⅰ）解：依题意得解得x=6…（6分）（Ⅱ）由茎叶图知，5名女生中优秀的人数为3人，非优秀的有2人，由题设知ξ=2，3，4，，，，∴ξ的分布列为：ξ 2 3 4P…（12分）【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查茎叶图的应用，是历年高考的必考题型，解题时要认真审题，注意合理运用分列组合知识．20．（12分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD=AD=2，O为AD上一点，且AO=1，平面外两点P、E满足，AE=1，EA⊥AB，EB⊥BD，PO∥EA．（1）求证：EA⊥平面ABCD；（2）求平面AED与平面BED夹角的余弦值；（3）若BE∥平面PCD，求PO的长．【考点】：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】：空间位置关系与距离；空间向量及应用．【分析】：（1）由已知条件推导出BD⊥AB，EB⊥BD，从而获得BD⊥平面ABE，再由BD⊥EA，EA⊥AB，能够证明EA⊥平面ABCD．（2）以O为坐标原点，以OB为x轴，以OD为y轴，以OP为z轴，建立直角坐标系，利用向量法能求出平面AED与平面BED夹角的余弦值．（3）设PO=h，则P（0，0，h），求出平面PCD的法向量=（h，，3），由BE∥平面PCD，获得=0，由此能求出PO的长．【解析】：解：（1）在等腰梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=BC=CD=，AD=4，∴BD⊥AB，又∵EB⊥BD，∴BD⊥平面ABE，∴BD⊥EA，又∵EA⊥AB，∴EA⊥平面ABCD．…（4分）（2）以O为坐标原点，以OB为x轴，以OD为y轴，以OP为z轴，如图建立直角坐标系，由题意知：A（0，﹣1，0），，D（0，3，0），E（0，﹣1，1），∴=（0，0，1），=（0，4，0），=（﹣，﹣1，1），=（﹣，3，0），设平面AED的法向量=（x1，y1，z1），则，，∴，∴平面AED法向量，设平面BED的法向量=（x2，y2，z2），则，，∴，∴平面BED法向量为，设平面PBD与平面PCD所成的角为θ，由cosθ=|cos＜，＞|=||=，∴平面AED与平面BED夹角的余弦值为．…（8分）（3）设PO=h，则P（0，0，h），C（），∴，=（，2，﹣h），，设平面PCD的法向量=（x3，y3，z3），则，，∴，∴平面PCD法向量为=（h，，3），∵BE∥平面PCD，∴=2﹣3=0，解得，∴PO的长为．…（12分）（其他方式相应给分）【点评】：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线段长的求法，解题时要注意向量法的合理运用．21．（13分）单调递增数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=（an2+n）．（1）求a1，并求数列{an}的通项公式；（2）设cn=，求数列{cn}的前2n项和T2n．【考点】：数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）由题设条件，由n=1能求出a1；再由n≥2列出前n﹣1项和，二者作差后通过化简整理能求出数列{an}的通项公式．（2）构造一个新数列，并进行裂项求和，从而对题设条件进行化敏为简，由此入手能够求出数列{cn}的前2n项和T2n．【解析】：解：（1）∵a1+a2+a3+…+an=（an2+n），①∴当n=1时，，解得a1=1，当n≥2时，，②①﹣②并整理，得，∴，解得an﹣an﹣1=1或an+an﹣1=1（n≥2）又∵{an}单调递增数列，故an﹣an﹣1=1∴{an}是首项是1，公差为1的等差数列，∴an=n…（6分）（2）∵cn=，∴=n（n+1）+[1×21+3×23+…（2n﹣1）×22n﹣1]+n记③④由③﹣④得，∴，，∴，，∴．…（13分）【点评】：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和裂项求和法的合理运用．22．（14分）已知双曲线C：，A．B两点分别在双曲线C的两条渐近线上，且，又点P为AB的中点．（1）求点P的轨迹方程并判断其形状；（2）若分歧三点D（﹣2，0）、S、T 均在点P的轨迹上，且；求T点横坐标xT的取值范围．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）设出A，B的坐标，利用点P为AB的中点，确定坐标之间的关系，按照，建立方程，化简，即可求点P的轨迹方程．（2）直线DS、ST分别代入椭圆方程，求出T点横坐标，利用基本不等式，即可求T点横坐标xT的取值范围．【解析】：解：（1）双曲线渐近线为与．所以设，，所以，，又，所以点P的轨迹方程为，所以m=1时P的轨迹为圆；m＞1时P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆；0＜m＜1时P的轨迹为焦点在y轴上的椭圆；（6分）（2）把D（﹣2，0）代入，得P的轨迹的…①设直线DS为y=k（x+2）…②联立①②得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0设点S（x1，y1），有，所以，则直线ST为化简为：③联立①，③得，所以，所以=（因为三点分歧，易知k≠0）=所以xT的取值范围为…（14分）【点评】：本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．。

2021年高考数学二轮复习 三角函数的图象与性质专题训练（含解析）一、选择题1．(xx·全国大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析 cos α＝－4－42＋32＝－45.答案 D2．(xx·四川卷)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度解析 ∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，∴只需把y ＝sin2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y ＝sin(2x ＋1)的图象．答案 A3．(xx·北京东城一模)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π2C.π4D ．－π4解析 y ＝sin(2x ＋φ)错误!sin 错误!＝sin 错误!是偶函数，即错误!＋φ＝k π＋错误!(k ∈Z )⇒φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，φ＝π4，故选C.答案 C4．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．1 B.12 C.22D.32解析 观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0， 由|φ|<π2，得φ＝π3， 则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，∴x 1＋x 2＝π6， ∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.故选D.答案 D5．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，若其图象向右平移π6个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称B ．关于直线x ＝π12对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 D ．关于直线x ＝π6对称解析 ∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)向右平移π6个单位，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ为奇函数， ∴－π3＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝π3＋k π(k ∈Z )，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝1，∴直线x ＝π12为函数图象的对称轴．故选B.答案 B6．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos2x ，其中x ∈R ，给出下列四个结论：①函数f (x )是最小正周期为π的奇函数；②函数f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝2π3；③函数f (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0；④函数f (x )的递增区间为k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .则正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 由已知得，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos2x ＝cos2x cos π3－sin2x sin π3－cos2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，不是奇函数，故①错；当x ＝2π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋π6＝1，故②正确；当x＝5π12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝－sinπ＝0，故③正确；令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋23π，k ∈Z ，故④正确．综上，正确的结论个数为3.答案 C 二、填空题7．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝________. 解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝－79.答案 －798．(xx·江苏卷)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________． 解析 利用函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)的图象交点横坐标，列方程求解． 由题意，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝cos π3， 因为0≤φ<π，所以φ＝π6.答案π69．(xx·北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 解析 由f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，f (x )有对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π知f (x )有对称轴x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋23π＝712π，记T 为最小正周期，则12T ≥π2－π6⇒T ≥23π，从而712π－π3＝T4，故T ＝π.答案 π 三、解答题10．(xx·重庆卷)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．解 (1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因f (x )的图象关于直线x ＝π3对称， 所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因－π2≤φ<π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3得0<α－π6<π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12＝3＋158. 11．(xx·山东菏泽一模)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调增区间； (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．解 (1)由题意得f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3＝sin2ωx －3cos2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3， 由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin2x ＋1的图象， 所以g (x )＝2sin2x ＋1. 令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )， 所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.B 级——能力提高组1．设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数 解析 f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ， ∵其图象关于x ＝0对称，∴f (x )是偶函数． ∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z . 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π6＝2cos2x .易知f (x )的最小正周期为π，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．答案 B2．(xx·全国大纲卷)若函数f (x )＝cos2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析 f (x )＝1－2sin 2x ＋a sin x ＝－2sin 2x ＋a sin x ＋1，sin x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，令t ＝sin x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则y ＝－2t 2＋at ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1是减函数，∴对称轴t ＝a 4≤12，∴a ≤2.答案 (－∞，2]3．(xx·湖北卷)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解 (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3， －1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18. 在10时至18时实验室需要降温． 36014 8CAE 貮33058 8122 脢39755 9B4B 魋21980 55DC 嗜34759 87C7 蟇 30825 7869 硩f33504 82E0 苠 ?" y。

1【精品专题】2021届高考二轮复习理科数学提升精品专题试卷专题二 函数与导数（理）命题趋势1．函数的考查主要为函数性质，基本初等函数，函数的应用为主．函数性质主要为函数的奇偶性、单调性、周期性和值域（最值）的考查，常以选择题、填空题的形式出现；基本初等函数的考查一般单独或与不等式结合命题考查，考查的形式主要为填空题和选择题；函数的应用主要为函数零点问题的考查，难度相对较难．2．导数的考查一般是一道大题一道小题的形式出现，小题即为选择题、填空题，主要对导数的几何意义以及导数在研究函数问题中的直接运用；大题即解答题一般以压轴题的形式出现，主要考查导数、不等式、方程等方面的综合运用，难度较大．一、函数1．函数的单调性单调性是函数下定义域上的局部性质，函数单调性常考的等价形式有：若，且，在上单调递增；在上单调递减．2．函数的奇偶性 ①若是偶函数，则；①若是奇函数，则，在其定义域内，则；①奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性．3．函数的周期性 ①若对，或恒成立，则是周期为的周期函数；①若是偶函数，其图象又关于直线对称，则是周期为的周期函数； ①若是奇函数，其图象又关于直线对称，则是周期为的周期函数；①若或，则是周期为的周期函数．4．函数的对称性 ①若函数满足，即，则的图象关于直线对称； ①若函数满足，即，则的图象关于点对称；①若函数满足，则函数的图象关于直线对称；①若函数满足，则函数的图象关于直线对称．5．函数的零点问题 （1）函数的零点就是方程的根，即函数的图象与函数的图象交点的横坐标．（2）确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；①利用零点存在性定理；①数形结合，利用两个函数图象的交点求解．二、导数1．导数的几何意义函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即．（1）曲线在点的切线的方程为．（2）过点作曲线的切线，点不一定是切点，于是对应切线的斜率也不一定是．切点不确定时，一般先设切点坐标，由导数得到切线斜率，写出切线方程后，再利用条件来确定切点坐标，从而得到切线的方程． 2．单调性与导数的关系设函数在区间内可导．（1）如果在内，恒有，则在此区间是增函数；（2）如果在内，恒有，则在此区间是减函数；（3）如果在内，恒有，那么函数在这个区间内是常函数．3．利用导数判断函数单调性的步骤 （1）确定定义域（易错点：漏写定义域）；（2）求导函数；（3）解（或），得到单调递增（减）区间；（4）在定义域范围内取补集，得到减（增）区间．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号4．极值的定义（1）函数在点的函数值比它在点附近的函数值都小，则把叫做的极小值点，叫做的极小值．若在点处可导，是其导数，就可以用导数描述函数在极小值点附近的特征：；而且在点附近的左侧，右侧．（2）函数在点的函数值比它在点附近的函数值都大，则把叫做的极大值点，叫做的极大值．若在点处可导，是其导数，就可以用导数描述函数在极大值点附近的特征：；而且在点附近的左侧，右侧．注意：极值点指的取值，极值指相应的的取值．5．求可导函数极值的步骤（1）求函数的定义域；（2）求导数，并判断函数的单调性；（3）画表判断函数的极值．6．求函数在区间上的最值得一般步骤（1）求函数在内的极值；（2）比较函数的各极值与端点处的函数值的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．7．定积分的性质（1）；（2）；（3）．8．常用定积分公式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）．9．的几何意义（1）当在区间上大于0时，表示直线，，和曲线所围成的曲边梯形的面积，这也是定积分的几何意义；（2）当在区间上小于0时，表示直线，，和曲线所围成的曲边梯形的面积的相反数；（3）当在区间上有正有负时，等于位于轴上方的曲边梯形的面积减去位于轴下方曲边梯形的面积．2一、选择题．1．函数的图象大致为（）A．B．C．D．2．函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．3．已知是定义在R上的函数，，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（）A．B．C．D．4．已知函数，其中为函数的导数，则（）A．0B．2C．2020D．20215．已知函数，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7．克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为(，)．若，，，则（）A．B．C．D．8．已知，，，若函数有且只有两个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．9．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，函数，若关于的函数恰有2个零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．10．曲线在处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．11．已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12．设函数，直线是曲线的切线，则的最大值是（）A．B．1C．D．二、填空题．13．已知函数，．下列有关的说法中，正确的是______(填写你认为正确的序号)．①不等式的解集为或；①在区间上有四个零点；①的图象关于直线对称；3①的最大值为；①的最小值为．14．已知函数是定义域为上的奇函数，且对任意，都有成立，当时，，则_______．当时，_______．15．设、均为实数，若函数在区间上有零点，则的取值范围是___________．三、解答题．16．已知函数．（1）若，求的极值；（2）若恒成立，求实数a的取值范围．17．已知函数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，若，且在时恒成立，求实数a的取值范围．18．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围．419．已知函数．（1）当时，判断函数的单调性；（2）若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明．一、解答题．1．已知函数，．（1）令，讨论函数的单调性；（2）令，当时，若恒成立，求实数的取值范围．一、选择题．1．已知定义在R上的偶函数满足，且在上递减．若，，，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．2．已知，，，，则、、、的大小关系是（）A．B．C．D．3．区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有种可能．因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次运算．现在有一台机器，每秒能进行次运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下这台机器破译密码所需时间大约为（）（参考数据：）A．秒B．秒C．秒D．秒4．已知函数与函数的图象上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．5．已知函数（其中e为自然对数的底数）有三个零点，则实数m5的取值范围为（）A．B．C．D．6．（多选）假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者，现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型．假设捕食者的数量以表示，被捕食者的数量以表示．下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向．下列说法不．正确的是（）A．若在、时刻满足：，则B．如果数量是先上升后下降的，那么的数量一定也是先上升后下降C．被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值D．被捕食者数与捕食者数总和达到最大值时，捕食者的数量也会达到最大值二、填空题．7．已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________．8．设曲线上任意一点的切线为l，若l的倾斜角的取值范围是，则实数______．三、解答题．9．已知函数，（1）讨论函数在区间内的零点个数；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．10．己知函数．（1）若在R上是减函数，求m的取值范围；（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证有三个零点．11．已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）若在上有两个极值点，．6（i）求实数a的取值范围；（ii）求证：．7一、选择题．1．【答案】D【解析】由题意可得函数的定义域为，设，①，即函数为偶函数，其图象关于轴对称，故排除B、C选项，当时，有，故排除A选项，（取，则，，，因，而，故A选项不符合题意）．综上所得D选项符合题意，故选D．【点评】本题考查函数的图象，由函数的性质入手是解决问题的关键，属于基础题．2．【答案】A【解析】可化为或，解得或，故选A．【点评】常见解不等式的类型：（1）解一元二次不等式用图象法或因式分解法；（2）分式不等式化为标准型后利用商的符号法则；（3）指对数型不等式化为同底的结构，利用单调性解不等式；（4）含参数的不等式需要分类讨论．3．【答案】C【解析】因为，所以函数的图象关于直线对称，又，，，所以，，．因为，，所以，又当时，为减函数，所以，即，故选C．【点评】比较函数值的大小，利用函数的单调性，通过自变量的大小关系转化为函数值的大小．4．【答案】B【解析】，所以，，，所以，所以，所以，故选B．【点评】本题考查函数的对称性和求导函数以及求导函数的奇偶性，解答本题的关键是由解析式求得，从而得到，求出，得到，得到，考查计算能力，属于中档题．5．【答案】D【解析】因为，所以函数在上单调递减，由于，所以，得，故选D．【点评】判断函数的单调性是解题的关键．86．【答案】D【解析】构造函数，其中，则，所以，函数为上的减函数，由，可得，即，所以，，解得．因此，实数的取值范围是，故选D．【点评】四种常用的导数构造法：（1）对于不等式（或），构造函数；（2）对于不等式（或），构造函数；（3）对于不等式（或）（其中为常数且），构造函数；（4）对于不等式（或）（其中为常数），构造函数．7．【答案】B【解析】因为，，，所以，，，根据题意当，时，成立，又，所以，，即，又，所以，所以，故选B．【点评】对数运算的一般思路：（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．8．【答案】A【解析】因为，所以，因为，所以，所以，所以，令，则．令，得；令，得或，所以在上单调递增，在，上单调递减，所以的极大值为，极小值为．因为函数有且只有两个零点，所以方程有且只有两个实数根，即方程和共有两个实数根．又，所以或或，解得或，故选A．【点评】在考查函数的零点的个数判定及应用时，把函数的零点个数的问题转化为两个函数的图象的交点个数，正确作出函数的图象是解答问题的关键．9．【答案】C【解析】或，时，，，时，，递减；时，，递增，①的极小值为，又，因此无解．此时要有两解，则，9又是奇函数，①时，仍然无解，要有两解，则．综上有，故选C．【点评】本题考查函数的奇偶性与函数的零点，考查导数的应用．首先方程化为或，然后用导数研究时，的性质，同理，由奇函数性质得出时，的性质，从而得出无解，有两解时的取值范围．10．【答案】D【解析】由，得，则，，所以曲线在处的切线的方程为，即．令，得；令得．所以直线与两坐标轴的交点坐标分别为，，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为，故选D．【点评】本题的考点为导数的几何意义，属于基础题．11．【答案】D【解析】，由题意在上有解，即在上有解，记，，当时，，单调递增，，，所以，故选D．【点评】本题考查导数与极值．函数在某个区间上有极值，则在这个区间上有零点，有解，又可转化为函数图象与直线有交点，从而再次转化为利用导数判断函数的单调性，求函数的值域．解题关键在于转化．12．【答案】C【解析】由题得，设切点，，则，，则切线方程为：，即，又因为，所以，，则，令，则，则有，；，，即在上递增，在上递减，所以时，取最大值，即的最大值为，故选C．【点评】本题考查了利用导数求曲线的切线方程和研究函数的最值，属于中档题．二、填空题．13．【答案】①①【解析】由，①，即，又，则或，故①不正确；①，则或，又，所以，，，，，共有5个零点，故①不正确；①所以，则的图象关于直线对称，故①正确；①，设，则，则，由，解得；由，解得或，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单10调递减．当时，；当时，，当时，；当时，，所以当时，函数有最大值，所以当时，函数有最小值，所以①正确，①不正确，故答案为①①．【点评】本题考查三角函数的对称性、零点、最值等基础知识，解答本题的关键是将，由条件可得，或，以及，得出函数在上的单调性，属于中档题．14．【答案】，【解析】（1）是定义域为上的奇函数，当时，，，．（2）当时，，，故答案为，．【点评】利用给定性质求函数在某一段的解析式，此类问题的一般做法是：①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，就设定在哪个区间．①利用给定的性质，将要求的区间转化到给定解析式的区间上．①利用已知区间的解析式进行代入，解出．15．【答案】【解析】因为函数在区间上有零点，所以方程在区间上有实数解，即在区间上有实数解，设，要想在区间上有实数解，当在区间上有唯一实数解时，只需，而，当在区间上有二个不相等实数根时，设为，则有，由，而，所以不等式显然成立，因此有，综上所述：，故答案为．【点评】解决函数零点问题往往转化为方程的根的问题，通过方程实数根的分布进行求解．三、解答题．16．【答案】（1）极小值，无极大值；（2）．【解析】（1）①当时，，①，令，，由于，所以，所以在上单调递增，且时，①当，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增，①时取极小值，，无极大值．（2）①，①，令，，令，①，在上是单调递减函数，且，所以当时，，即，的单调递增函数；当时，，即，的单调递减函数，所以，可得，即．【点评】恒（能）成立问题的解法：若在区间D上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；．若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；．17．【答案】（1）答案见解析；（2）．【解析】（1），①当时，恒成立，即函数在递减；①当时，令，解得；令，解得，即函数在上单调递增，在上单调递减．综上，当时，函数在递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减．（2）由题意，即当时，在时恒成立，即在时恒成立．记，则，记，在递增，又，当时，得．下面证明：当时，在时恒成立．因为．所以只需证在时恒成立．记，所以，又，所以在单调递增，又，所以，单调递减；，单调递增，所以，①在恒成立．即在时恒成立．综上可知，当在时恒成立时，实数a的取值范围为．【点评】由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构造函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果．18．【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）．【解析】（1）因为，所以，且．令，得；令，得，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）由题意，，因为函数有且只有一个零点，所以方程有且只有一个实数根．两边同时除以，得．令，则，即，设，则，，由题意，函数有且只有这一个零点．令，．（i）当，即时，，，此时单调递增，符合题意；（ii）当时，方程有两根，设为，则，，所以，所以当时，；当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．①当时，，所以，即．又因为时，，所以在上存在零点，所以此时不符合题意；①当时，因为，，所以，所以，由，当时，，可得在上存在零点，所以此时不符合题意；①当时，易得，，由，当且无限接近于0时，，可得在上存在零点，所以此时不符合题意，综上，实数的取值范围是．【点评】高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值与零点等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题．19．【答案】（1）在上单调递增；（2），证明见解析．【解析】（1）时，，故，在上单调递增．（2）由题意可知有两解，设直线与相切，切点坐标为，则，解得，，，，即，①实数的取值范围是．不妨设，则，两式相加得：，两式相减得：，，故，要证，只需证，即证，令，故只需证在恒成立即可．令，则，①在上单调递增，，即在恒成立，．【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性与不等式的关系，构造关于的不等式，还考查了转化化归的思想、分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题．一、解答题．1．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）．【解析】（1）①，，①，则，，令，则或．①当时，，当或时，，①函数在和上单调递减；当时，，①函数在上单调递增；①当时，，在上恒成立，①函数在上单调递减；①当时，，当或时，，①函数在和上单调递减；当时，，①函数在上单调递增；综上：①当时，函数在和上单调递减，函数在上单调递增；①当时，函数在上单调递减；①当时，函数在和上单调递减，函数在上单调递增．（2）由题设知，，①，，当时，，①函数单调递增，且恒成立，故恒成立，符合题意；当时，令，则或，且，列表如下：当时，①恒成立，①，则恒成立，符合题意；当时，，则恒成立，①，综上，实数的取值范围是．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究不等式恒成立，解题的关键是讨论的取值范围，求出函数的最小值，考查了分析能力、计算能力以及分类讨论的思想．一、选择题．1．【答案】A【解析】因为定义在R上的偶函数，所以，因为，所以，即，所以是以2为周期的周期函数，又在上递减，所以在递增，，，，因为，在上递增，所以，，即，故选A．【点评】本题考查了函数的基本性质，对于抽象函数，要灵活掌握并运用图象与奇偶性、单调性、周期性、对称性等性质，要注意定义域，还应该学会解决的基本方法与技巧，如对于选择题，可选用特殊值法、赋值法、数形结合等，应用分析、逻辑推理、联想类比等数学思想方法．2．【答案】D【解析】，，，，，则，，，则，因此，，故选D．【点评】解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答．3．【答案】B【解析】设这台机器破译所需时间大约为秒，则，两边同时取底数为10的对数，得，所以，所以，所以，所以，而，所以，，故选B．【点评】对数运算的一般思路：（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．4．【答案】A【解析】因为函数与的图象上恰有两对关于轴对称的点，所以，即有两解，则有两解，令，则，所以当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，所以，所以，的取值范围为，故选A．【点评】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．5．【答案】C【解析】令，可得，令，则．令，解得．当时，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，图象如下图所示：所以，令，，因为函数有三个零点，设的两根分别为，，，解得或，则，有下列三种情况，（1）当，时，将带入方程，即，解得，代入方程，即，解得，故舍去；（2）当，时，将带入方程，则，，不满足，故舍去；（3）当，时，，解得，所以，故选C．【点评】解题的关键令，求得的单调性，画出图象，可得t的范围，再利用二次函数的性质，结合t的范围求解，考查分析理解，分类讨论的能力，综合性较强，属中档题．6．【答案】ABD【解析】由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A不正确；在曲线上半段中观察到是先上升后下降，而是不断变小的，故B不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样当被捕食者的数量最大，即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量取最值的时候，所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C正确；当捕食者数量最大时在图象最右端，，，此时二者总和，由图象可知存在点，，，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者数量也会达到最大值，故D错误，故选ABD．【点评】解决本题的关键在于结合图象分析与变化的关系，着重分析、的增减性、最值，必要时可寻找特殊点进行排除．二、填空题．7．【答案】【解析】函数的图象如图所示：若函数有两个不同的零点，等价于，的图象又两个不同的交点，由图知：，故答案为．【点评】由函数零点或个数求参数范围问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围；若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．8．【答案】【解析】，，，当且仅当时等号成立，l的倾斜角的取值范围是，，解得．故答案为．【点评】本题考查导数与切线的关系，解题的关系是求出导数的最小值，得出最小值为1，即可求解．三、解答题．9．【答案】（1）答案见解析；（2）．【解析】（1）函数定义域，，当时，，在内单调递增，所以，在内无零点；当时，的解为，又因为在内单调递增，所以当，，在内单调递减，，所以在内无零点；当，，在内单调递增；，，以在有且仅有一个零点，综上所述：当，函数在无零点；当，函数在有1个零点．（2）由题意知在区间上恒成立，设，则，，设，，所以在单调递减，又因为，列表如下：所以当时，，所以．【点评】判断函数零点个数的方法：（1）直接法：令，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点；（2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间上是连续不断的曲线，并且，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）图象法：画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；将函数拆成两个函数，和的形式，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象交点个数；（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数．10．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由，得，在R上是减函数，则恒成立．设，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增，。